Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures

Gespeichert in:
Bibliographische Detailangaben
Datum:2003
1. Verfasser: Corduneanu, C.
Format: Artikel
Sprache:English
Veröffentlicht: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2003
Schriftenreihe:Механика твердого тела
Online Zugang:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123733
Tags: Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures / C. Corduneanu // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 169-173. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-123733
record_format dspace
spelling irk-123456789-1237332017-09-10T03:03:33Z Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures Corduneanu, C. 2003 Article Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures / C. Corduneanu // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 169-173. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123733 532.592 en Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language English
format Article
author Corduneanu, C.
spellingShingle Corduneanu, C.
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
Механика твердого тела
author_facet Corduneanu, C.
author_sort Corduneanu, C.
title Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
title_short Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
title_full Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
title_fullStr Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
title_full_unstemmed Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
title_sort periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2003
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123733
citation_txt Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures / C. Corduneanu // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 169-173. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series Механика твердого тела
work_keys_str_mv AT corduneanuc periodicsolitarywavesinonedimensionalhyperbolikstructures
first_indexed 2025-07-09T00:09:41Z
last_indexed 2025-07-09T00:09:41Z
_version_ 1837125895192576000
fulltext ��������� �� ������� ��� �������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)� �- �� � �!�/.10324�5� � 687:9<;>=�? @A;>B�? C© ?>D�D�=�@FEHGIEKJ�L&M4N4OQP�R!OSN TVU1WYX+Z\[]X+E_^4Z\`IXbadcHW1egf�c5h#UV^ XbijZ\ikUmln[]Xbo�U3ip^SX+Z\iqc]`sr#e#TVU1W]tuZ\`IX+E_^)aVW\vqE:aKv]WYUV^ XbOFw+L�J)M4Nyx>w�z{JFOIG/|~}]���!�>������}��>� C �����������n�>�����d�+��}b�u������� }���� ���\}b� �������!�>�8� ��� ����� }b�>�:��� ����}b�\� � }b� C �����F}b�q���#��� C �>���>����� ��}b���F����� C }b���!�&�������#�> 4��� }3 {����� utt = uxx + f(u, ux), (1) �5�����k�!�>����� C � ���&� C ��� C }b���k {���d��� }¡}�¢�������}b� C }V�> y�F}b������� � C ��� }b�b@ £�� }��\}���� � �¤��}����!�>���K� ��} C ��� ���������p������}b� � C ��� ¥¦��� }�� ����� ��}b�§���¦����� ���!�>���s� ��¨�}b��}b�������>� }b���!�&������� �1�> I��} C �>� ������� }b�b©��>� �ª��� }b�p�>� � ��� ��� ¥H�����\}K«�� ���5�p��}b��� �����m {��������� }K��� }b�����q�> I� ���&� } ��� �!�>�\� C �>����� ����}b�\�b@­¬��®�!�&����� C � ���>�b©4��� }]}�¢�������}b� C }#�> ¯�p�F}b������� � C ���������������~�5��������}#� }b������}b����� �\}��>� �5�> ®°)�b±}b�!�>���S² ����}b��� ���5���k� ��� ����� }��>�d��� C �������&�����>� �b@ £�� } C �>��}��> 8�!�>���>������� C }b���!�&������� �1�> ��H�����\�����>�5 {�����³����´¶µ�·m�!�>�1�F}b}b�p����}��&��}b�p���q��� }:���>�\} �\}���� � �#���k��� ��} C }b� ��� ¥\�!�>�F}b�5�> 4��� }V�>����� ���¡¸¹µbº»@ ¼ ��} C }������F}b������� }b���d��}� {}b��}b� C }1 {���I��� } C ��� C }����5�> )���������n�>�����d����}1���d½¾@ ¿5}b�\��������}b� }��3¸ À&º»@HÁ!��� ��� }H�>� � ��� C �&������� �¯��� ��� C ��� C }b���K�!�>�¡¥�}b� }b���&��}b�¾��}\��}b� �¾��� }u��}��>� }b�¡���]��� }u� ��� C }b}b� ��� ¥��¡������� �\} �> Â��� }:à }���}b������Ä1���>���Yà � �\�\}b�5¬�� ������������}H¸ =&ºd´»ÃF@!£y�>«�}b� ��©�ÅÆ� �������n·�@�½q�>���k�>��� }b�5��}� {}b��}b� C }b�3�>��} ��� � � C �&��}b�#���]��� ����}¡�\}b��������� }b�k�>�F�+��}>@ Ç:@m½q��È� �����ɸ Ê>º3�!�>�k��} C }b�������¦� }��>���]�5�����É�F}b������� � C ��������}b����� ¥Ë�d�+��}b�k���Ì��}�� C ������� ��� ��¨�� ������� }b���!�&������� �b©!� ����� ¥���� }VÍm���� Â� �� {� � C �&�������Y��} C � � ����� }>@ Î G3aKÏQP¦[#zÑÐIP�L�P OFw�z{R!Ò¡U3ÓSNQR�w�z{JFO-J�ÔY^SJFÒÕzÑw+R L+Ö�f-R�×FP Ø>Gd°)}���� ����� ��«p {���:���������n�>�����d����}b� ¥�����}b�#���]��� }3����� ¥���}1�>�&�����>� ��}1 {� � C ������� y = y(x + ct), (2) �5� }b��} c ∈ R �!�>�����u�F}b����� ¥���� C }b���n�>���#������}b���&�>���b©����u�F}¡� }���}b���\��� }b�#�F}b���+�¡@ à � � ��������������� ¥ u = y(x + ct) ���¾´�µ+·�© ��� }¡�����n�>��� ����� }¡����� ���!�>���Y� ��¨�}b��}b�������>�S}b���!�&������� (c2 − 1)y′′ = f(y, y′), ´Õ=�· �5� � C �]��}b� ��}b��}b�����m�:��} C �>� �k����� }b�d}b���!�&�����>�#�>���H�����\} c2 − 1 6= 0 @H£�� } C �>��}b� c = ±1 ��}��>�H���u� Ù �����¯����� }b�m���\� ��� C �¹�5}b���!�&�����>�S@q|~}V���!�>���)� ��� C � ���¯���&��}b����� ���5�������!�&�������S©��5� }b�k��� }¡�d�+��}K��}�� ¥>���k�>  ��� }¡��}��>� C � }b�q���������n�>���\�d����}¡���d��� }¡���>�\}V�>����� C �>��}¡�> y��� } C ���&����� C �>�S}b���!�&������� utt = uxx © �»@ }>@�© y = y(x ± t). ´{Ê�· £�� }V}b���!�&�������~´Õ=�·�©� {��� c2 − 1 6= 0 © ���5����} C ��� �q����� }b�m�>������� ���\��� ��� ��¨�}b��}b�������>��}b���!�&�������S@k£�� } }�¢�������}b� C }Y�> d�F}b������� � C ��������������� �3�!�>�K��}b}b���>�\� ���p� ��� C � ����}b�Ë������� }\�H�&��� }b�H�&��� C �>�Æ�>� �Ë�>� � ����}b� � C ��}b� C }¯������}b���&��� ��}>@KÁ!��� C ���>����� C �>�!��}b��� �����b©���� C ��� � ��� ¥3}�¢�������}b� C }¯�> S�����u�¹� C � C ��}b���>� �\��}b���&��}b�u����� � C �b© �d}q��}b� ���n� }k��}��>� }b�\���¾��� }q�\��� ��¥����>� � �nÚ�����}��&������}b�H�>����� ����}b�Û���ÜÅ�@ ¼ @dÝ���� � ��� ¥>�����Û�>� �¦ÞV@ °)}�� ��� �����®¸ ;�º»©)ß�@SÃ��>� �����\}��>� ��¿¡@)Ý������n�d¸ À&º»©)ß�@�à�����«�� �>¨��>� �¾ß�@Sݯ@)¿5�>�n�ª¸ á�º»©SÁ�@Sà����>� }b�3�>� � â�@ ¼ @�Þm��� }b�I¸ ã&º»@ µ+À�B äSå�ä�æ�ç�è&é�ê�ë¶ìnê�é ¼ ���F} C ���>� C �>��}K�> 5´¶µ�·�©!��� � C �q���5�!�>����� C � ���>���¹�]������}b��}b������� ¥u {���5� �¯���#��� ���5�!�>�F}b�b© C ������}b���F��� � � ������� } C � ��� C } f(y, y′) = g(y)y′ + h(y). ´»;�· à ���u}]��}b¥�� ���>������� C ��� � ��������� �:������� }] {� � C ������� � g(y) �>� � h(y) �5�������F}]���F} C � Ù }b�®�F}b���+�¡©Â��� � C�C �����!�>� C }3�5�����H��� }3��}b��� ����}b�\}b�������> )��� }3��}b��� �����������F}3�>� � ����}b�Y���Y����� }b�d���:� }b������}1}�¢�������}b� C }¡�>  ��}b����� � � C ��������������� �d������� }¡}b���!�&������� �K´Õ=�·���� ���������F} C ���>� C �>��}H´»;�·�@ ¬í�H���u���\�F�����n�>�������~�F�������H�>���\��� }k Õ� C �\���!�&��©Æ {���q´»=�·�©Â�d}k� }b}b�¦��}b����� � � C ��������������� �b©Æ�� ¯��} �d�>���¡��� }u���������n�>���k������}b�V����«�}#´»?�·¯���#�F}u�F}b������� � C ���p�����\}>@�½k����}b�+��}b�b©)��� C �~�������������>� �3�:� ���V�F} C �>��������� ��� �b@ Á ���Y��� ���n�>� C }>©d�>����� �\��� ¥ c2 6= 1, �>� � C � � ������� ¥ f(y, y′) = yy′ � ��� � � C ��©���� }p�����n�>��� � �������������>� �d���q´Õ=�·��> 4��� }3 {����� y = ��¥ (C1x + C2), ´ÕÀ�· �5�¹�n� C1 = [2(c2 −1)]−1, �>� �Y�>��� �������>��� C2 @:£�� }b��}¯���>����������� �8�>��}m�F}b������� � C ©�� ����� �>� C ����������� ��� � ´{�>  C ��� ����}>©!}b�����\���!�&����� ¥K��� } C ��� ���n�>�����m�>��������� ���>����������������� �n·�@ |¾}1���!�>���F�\�>«�}¯��� }¯�\����}m��}b�H�>��«u���\��� } C �>��} c2 − 1 = 0. ¬��Y��� ��� C �>��}>© �>����������}b�H�>��� �I {����� ��� }¡}b���!���n�����Ë´Õ=�·����d��� } Ù �����m����� }b�5���\� ��� C ���d}b���!�&������� f(y, y′) = 0. ´»á�· ¬í d´»á�·��>� �\�����d� C2− ��������������� y0(x) ©�� } Ù � }b�k���Y��� }1�5� ����}1��}b�>�)��¢����b© ��� }b� y0(x± t) ��}b� ��}b��}b����� �������¹���&���q�d�+��}b�K {���3��� }H��� ����}b�g� }b� C ������}b��������� }\}b���!�&�������¦´¶µ�·�@ÌÁ!���¡��� ���n�>� C }>©Q {��� f(y, y′) = y2 + (y′)2 − 1 © ��� }3 {� � C ������� � C ��� (x ± t) �>� �î����� (x ± t) ��}b� ��}b��}b���1�������¹���&���u������}b�5 {���ï´¶µ�·�@ ð � } C �>�q��}b}¡ {�����ñ��� }K�>������}V� ��� C � ���������#���!�&�m}b���!�&������� �m�> y��� }3 {�����ò´¶µ�·d�F������}b���¯��������������� � ���!�&�5¥�}b� }b���&��}¡���������n�>���\�d�+��}b�b@ ó G�aKÏQPVU3ÓSNQR�w�z{JFO utt = uxx +g(u)u x +h(u) @�£�� }��>�F�+��}I}b���!�&�������S©��5� � C � C ������}b������� � � ���V��� } C � ��� C }¯�>  f(u, ux) ¥�����}b�Y���ª´»;�·�©\�������!�>��������� }��>�I��� u. ¬í����� ��� �d���������:��}3�>�]�>� � ����� �����&��} }�¢ �&�\� ��}3�5� }b�q}b���!�&�������~´Õ=�·8�n�>«�}b����� }¡ {�����ô�5� � C �q�>�����+�5��� �����\� ��}K�u°)�b±}b�!�>���S² ����� �F}3��� }b����}b�  {���d��� }3}�¢�������}b� C }K�> Â��� ����������� ���>���F}b������� � C ���������������S@ °)}��m� ���5������}3��� }¡}b���!�&�������~´Õ=�·�© ��� C �>��}¡�> 4��� }¡���F} C ���>� C � ��� C }3 {��� f ¥�����}b�#���¾´»;�·�õ (1 − c2)y′′ + g(y)y′ + h(y) = 0. ´Õã�· ¬��¾����� }b�3���# {�����:� ���&��}:��� } C ��� � ��������� �3��� g(y) �>� � h(y) ©)��}b��� ����}b�~���p��� }\� ��}\�> -°)�b±}b�!�>���S² � ��� �F}3��� }b����}b�k©���}¡�!����}3���u� ��������� ¥�� �����Y�F}����d}b}b�k��� } C �>��}b� |c| < 1 �>� � |c| > 1 @#|~}3���!�>���S� }��>� ��� �¹���5�����~�n� } C �>��} |c| < 1 ©4��}���� ��� ¥k�n�q��� }H��}b�>� }b�K��� }H�n�>��«����q {������� ������}u��� } C ������}b���F��� � ��� ¥ C �>� � ��������� �����]��� } C �>��} |c| > 1 @ à�}� {�>��}¯��}3 {�����:� ���&��}5��� } C ��� � ��������� �� {���d}b���!�&�����>�~´Õã�·�©���� C �#���!�&�������5�����F�F������}b���¯�:�F}������ � � C �������������>�S©���}��8� �����n�&��}m� }b��}m��� }¯�>� ¢��������>���:��}b��� �����> ª°)�b±}b�!�>���S² �I��� �F}m��}¯���!�>���!��}b���u� �F���S@:|~}5�n�>«�} ���d {�����î¸ ã�©!£�� }b����}b�³À�@A?�º»@ £�� }�����}b�öµ�@FÝ���� ����� }b����� }¡}b���!���n����� y′′ + a(y)y′ + b(y) = 0, ´ÕB�· � � � }b����� }3 {�������+�5��� ¥u�>����� �\��������� �bõ ´{�Ñ· a(y) �>� � b(y) �>��} C ��������� � ��� �����Y� ��¨�}b��}b�������>� ��}1�H�>� �d {����� R ������� R ÷ µ�á&D ø ëíç»ù¹æ+è�ù�úQû�æ�üAù�ý�ìnçÕþ¡ÿ ì��në�û�ù êVæ�ê�ë��Ñè�ù �mëíê&ûÕù¹æ�ê>ìnü��bþ���ëíç �+æ�ü ù mû�ý�ç�é+ú�ýÕé�ç¶ë�û ´{���Ñ· yb(y) > 0  {�>� y 6= 0;´{�����Ñ·³¬í 4�d}¡� }b� �>��} A(y) = ∫ y 0 a(u)du, y ∈ R, ´¶µ+D�· ��� }b� ����� |A(y)| = +∞, � � |y| → ∞; ´{��� ·�£�� }b��}V}�¢������m�F������������}3��� �:�F}b��� α, β ©!��� C �k���!�&� A(y) < 0  {��� y < −α ��� 0 < y < β, �>� � A(y) > 0  {��� − α < y < 0 ��� y > β. £�� }b�S©!��� }¡}b���!�&�������~´ÕB�·��!�>�m�u� ����������� ���>���F}b������� � C ���������������S@ ¿5}b�H�>��«�@q£�� } C ��� � ��������� �s�Ñ·��Y��� ·�� �\� �>�m�>����� ��}¡��� }¡� � ����� }b� }b���¯�> 4��� }V��}b����� � � C ��������������� ���¾´ÕB�·�@��m� � }b�3}�¢ �����]�>����� �\��������� �b©��>�\��� ¥\��� }b�_��� }:��� �\�\}������k�>  a(y) ©��»@ }>@�© a(y) = a(−y) © �>� ����� }]�>�����¹����� �\�\}������¾�>  b(y) ©y�»@ }>@�© b(−y) = −b(y) ©Â��� C �>����}]��� �+�5�����!�&�:��� }Y� ����������� ���>� �F}b����� � � C ���������������]�> y}b���!�&�������Ë´ÕB�·������ � ����� }>@ ¿5}���� ��� ��� ¥d������� }Æ}b���!�&�������\´Õã�·�©b�5� � C �¡� ���+� ��� }b�S��� }Æ���������n�>���m�d����}b�Q {���I´¶µ�·�©��5����� f(y, y′) ¥�����}b� ���¾´»;�·�©���}V� �>��� C }1���!�&�5���5�����> 4��� }3 {�����ö´ÕB�·�©��5� }b��} a(y) = (1 − c2)−1g(y), b(y) = (1 − c2)−1h(y). ´¶µ�µ�· |~}¡�!�+��} C � ����}b�k���u� }��>�)���#� }��n�>�����5�����]��� } C �>��} |c| < 1 ©��5� � C �k�\}��>� � (1 − c2)−1 > 0 @ ¬í�5��������� ����� ���n�!��� C ��� � ��������� �Û�Ñ· − ��� ·��> Q��� }1��� }b����}b�ô���n�&��}b�#�>�F�+��}S�5�����F�F}1��}b��� Ù }b�#���H��� }  {� � C ������� � a(y) �>� � b(y) ¥�����}b�k���¾´¶µ�µ�·�© ��  g(y) �>� � h(y) ���&������ Ñ�Y��� }3 {�������+�5��� ¥��>����� �\��������� �bõ µ�· g(y) �>� � h(y) �>��} C ����������� ��� �����]� ��¨�}b��}b�������>� ��}1�H�>� �d {����� R ������� R;?�· yh(y) 6= 0  {��� y 6= 0 ÷=�·#¬í 4�d}¡� }b� �>��} G(y) = ∫ y 0 g(u)du, y ∈ R, ´¶µ�?�· ��� }b� ����� |G(y)| = +∞ � � |y| → ∞. Ê�·#£�� }b��}V}�¢������5�F������������}3� � �:�F}b��� α © β ©!��� C �k���!�&� G(y) < 0  {��� y < −α ��� 0 < y < β, �>� � G(y) > 0  {��� − α < y < 0 ��� y > β. Ý���� ��}b��� }b��������©)������}b�!�>�� 8�> I��� }u�>� ¢��������>���#��� }b����}b� ���n�&��}b�~�&�F�+��}>©���} C �>�p {�����:� ���&��}V��� }  {�������+�5��� ¥:��}b��� ���m���]��}b¥��>���#������� }¡}b���!�&������� utt = uxx + g(u)ux + h(u), (13) µ�á µ äSå�ä�æ�ç�è&é�ê�ë¶ìnê�é �5� � C �k���d��� }¡����} C ���>� C �>��}V�& 5´¶µ�·�©��5����� f C � ����}b�q���¾´»;�·�õ Ý��>� ����� }b�8��� }m}b���!���n�����p´¶µ+=�·�©��5����� g(u) �>� � h(u) ���&������ Ñ� ��� ¥¡��� } C ��� � ��������� �Ûµ�· −4 ·u���n�&��}b� �>���+��}>@ £�� }��S©4��� }b��}H}n¢������:�F}������ � � C ���������n�>���ª�d����}b� C ������}b���F��� � ��� ¥k����´¶µ+=�·�©)�> d��� }u {����� u(t, x) = = y(x± ct) �5� }b��}m��� }5 {� � C ������� y ���8�V��}b����� � � C ���������������u�> ���� }m� ��� ����� }��>��°)�b±}b�!�>���S² ��}b���!�&������� ´Õã�·�@ ¿5}b�\�>��«]µ�@�¬í  y(x) �����V�F}������ � � C ���������������\�> ���� }¯}b���!�&�������p´Õã�·�©����+�u�> )�F}b������� ω > 0 ©���� }b� ��� }¯�F}b����� �Y�> )��� }1��������������� y(x± ct), �5�����Y��}b���F} C ����� t © ��� ω/|c| @H¬��Y��� } C �>��} |c| < 1 © �>���!��� } ��}b����� � �¡�&��}:���>��¥�}b�¯���!�>� ω ©)�>� �p��� }b��}u�>��}���������������� �¯�> ��>��� �������>���q���>��¥�}K�F}b����� �S@�ÅÆ�������H�&��}b�1 {��� ��� }¡��}b����� � ω �>��}3� ��� C � �������u�����n�>���]���]��� }¡¥�}b� }b���>� C �>��}>@ ¿5}b�\�>��«3? @�à�}b����� }b�)��� }Æ�F}b������� � C ���������������S©�}b���!�&�������H´Õã�·��>� �\�����S�>�����5�>��� �\�����>��� C �>���¹�m�F}b����� � � C �������������>� �Æ�n�!����¥�}b� }b���&��}b�d�>��� �\�����>��� C �>���¹���F}b������� � C �d�+��}b�b@\¬í�����8�>�����V�F��������� ��}5���V¥�}������������������u {��� ´Õã�·¯�5� � C �¾��}b� ���>��� �\�����>��� C �>���¹�q���k��� }\������¥���� (0, 0) �> ���� }\� �!�>��}H� ���>� }��5� }b� t → +∞ ��� t → −∞ @ ¼ ���4��� }b��}î�������!�&������� �3�>��}u}b��}b�\}b���n�>��� C ��� ��}b��� }b� C }b�K�> 8��� }u� ������}b������}b�¡�> 8��� }������\�¹� C � C ��}b�5 {����� ���>� }<�>������� ���\��� �d��� ����}b�u��@pà }b}>©! {�>����� ���n�>� C }>©Q¸ ;+��á�º»@� G¯c]OQJ!w�ÏQP�LË^��IP x�z{R!Ò:EKR!ØbP®J�ÔuU3ÓSNQR�w�z{JFO�� Î � @)|~}Y���!�>��� C ��� ����� }b�:� �+� ��� } C �>��}H�5� }b� f(y, y′) ���5��� � }b��}b� � }b���m�>  y′, �5� � C �k�\}��>� �����!�&����� }3�d����}¡}b���!�&�������~´�µ+·d��}b� � C }b�5��� utt = uxx + f(u), ´¶µ�Ê�· �5� ����}1��� }¡����� ���!�>���Y� ��¨�}b��}b�������>�S}b���!�&�������] {���d��� }¡���������n�>���\�d����}b�m��} C ���\}b� (1 − c2)y′′ + f(y) = 0. ´¶µ�;�· £�� ���Y���Y�>�¦}b���!�&�������Û�> 3��� }ª��}b� � � ��� � �¶� �F}p�>� �Û���Y�F������}b����}b�#�F}b����� � � C ��������������� �\� � � }b� �>� }����!�&��} C ��� � ��������� ����� f(y) @ °)}��\� �\�>����� �\}Y���!�&� |c| < 1 �>¥��>���S©4��� } C �>��} |c| > 1 ��}��>� ��� ¥ª���������\�����>�:�>����� �\��������� �  {��� f(y). £�� ���1�����\}V��}:�5�����4�!����}u�H Õ�>�\���¹�k�> 8�F}b������� � C ��������������� �b©F� }b�F}b� � ��� ¥]���¾�H����� ¥���}:��}��>� �!�>���>�u}���}b�b@H½k����}¯� ��} C ����}b����© ���\��� }¯� �!�>��}¯� ���>� }>©���� }¯������¥������5��������������}b���5�V� }b��¥�� ������� � � �\�5� � C � ��� Ù ����}b�]� �#�5�����#�F}b������� � C ��������������� �b@ °)}���� ���n�>«>}1�>¥��>���S© �>����}� {}b��}b� C }>©!�K��}b��� ���� {�����_¸ á © £�� }b����}b�ñÀ�@�µbº»@�Á!�����:� ���&����� ¥V� ����} C �����u��� � ��� �F�>��� }b��}b�m��� f(y) ©���� }3 {�������+�5��� ¥:��}b��� ��� C �>�#�F}¡���n�&��}b�k���#��}b¥��>���]���u��� }¡}b���!�&�������~´¶µ�Ê�·�õ £�� }�����}b�j?�@-Ý���� ����� }b�:��� }]}b���!�&�������s´¶µ�Ê�·V���Ë�5� � C � f(u) ��� C ����������� ��� �����~� ��¨�}b��}b�������>� ��}  {����� R ������� R © ��� C �#���!�&� uf(u) > 0  {��� u 6= 0, f(u) = −f(−u). ´¶µ+À�· £�� }��S©F��� }b��}:}�¢��������1�u Õ�>�\���¹�]�> I��}b����� � � C ���������n�>���Y�d����}b�1��������������� �����p´¶µ�Ê�·�©F� }��F}b� � ��� ¥Y�> I� ��}��>�S�!�>���>�\}���}b� r, r < r0, �5����� r0 > 0 ��� � C ��}b�������]���H�>���Õ@ ÅI� C �k��}b����� � � C ���������n�>���\�d����}¡�����> Q�n� }1 {����� y = y(x ± ct), �5����� y(x) ���F}b����� � � C ��������������� �> 4��� }¡}b���!���n�����Ë´¶µ�Ê�·�@ £�� }3� ��� �> 4�> 4£�� }b����}b�³?K���d��� }3���\�u}b� ���&��} C ��� ��}b��� }b� C }V�> Â�>� � ��� ��� ¥K���:��� }3}b���!�&�������~´¶µ�;�· ��� }¡��}b��� ���5�\}b��������� }b�k�>�F�+��}3 {�����ö¸ á�º»@ ¿5}b�\�>��«�@s¬��~��� }Y� �!�>��}Y���!� C } (y, y′) ©Q��� }H��������} C ��������}b�K�> 5�F}b������� � C ��������������������´¶µ�;�·V�>��} ��� �\�\}��n��� C �5�����Ë��}b���F} C �u���ª��� }Y������¥����S@É£�� }]��}��>�d�!�>���>�\}���}b� r C �>����}Y�n�>«>}b��}b���!�>�����ª��� } �>� � C �������u�> 4��� }¡������}b����} C �������#�> 4��� }3��������} C �������Y�5�����]��� } y �¶��¢����b@ ¬�� C ��� C ��� � ��� ¥1��� ���Â�!�>�F}b�b©���}5� �>��� C }���� }� Õ� C �Æ���!�&�8�3�����\� ��}���� �F}b���F����� C ������� C ��� ��}5� }b� C �����F}b� ���É}b���!�&�������ï´¶µ�· C �>�¤¥�}b� }b���&��}>©m� � � }b�ª�>� }b���!�&��}Ë�>����� �\��������� �b©¯���&�>����}��¶�Ì�> ����������n�>���Û�d����}b�b© µ�á>? ø ëíç»ù¹æ+è�ù�úQû�æ�üAù�ý�ìnçÕþ¡ÿ ì��në�û�ù êVæ�ê�ë��Ñè�ù �mëíê&ûÕù¹æ�ê>ìnü��bþ���ëíç �+æ�ü ù mû�ý�ç�é+ú�ýÕé�ç¶ë�û ��� C ��� � ��� ¥:��� }¡�F}b������� � C ��� }b�b@ ���! #"%$'&%(*)�+-,%)�(. #/�02143'5 6*7*598;:'3-< =�14> > 5 ?�@BA�< =C1ED25 ?F?�6�?�> 5 ?�1E<C3#7*5 G�H�DI5 6�?FJF6*7*14>9D;K�KMLN5 O�143I:-<�D2P!<%:'Q�14JR<%:'5984<��%SR�ET�T�U��SWVYX X X%�*SR02�Z�E[]\E^-�4T��C�_*�a`M+�bR"%c9d-d4+�)�+�e;fg/�hi< =�1EDkjl<C>9> 1E7nm]6�> 5 :'6�?�D4�oj;6�?�8�14p*:-Dq<C?�7Yrts*p�143'5 JF14?�:-D4�*SWul143'> 5 ?Nv�m]p�3'5 ?�@�143Ewx�ET�T�y���SY_Cy�z{pN�U��i|�,E}�+�)�"�~x/9��r;7x� �F�M�]?�<CJF5984<C>�0#3'6�O�> 14JRDa5 ?�m]6�> 5 :'6�?�m]�*D�:'14JRDWK�K.0#3'6*8C�26C��\E:'Q�����6C:'6im]H�JFJF143F��?�D�:'5 :'H*:'1��tSul143'> 5 ?Nv�m]p�3'5 ?�@�143Ewx�ET�[��*��SY_C[��BpN�� �Rfg,t�)�" d4,��2/�0 143'5 6�7*598�:'3-< =C14> > 5 ?�@YAl< =�1EDk5 ?g?�6�?�> 5 ?�1E<C3B3'1E<�8-:-5 6�?*^�7*5 G�H�DI5 6�?!1E��H�<%:'5 6�?�Dk=]59<WJ{H�> :'5 p�> 1F�k6�p*�;O�5 ��H�3I^84<%:'5 6�?N�]S�jl<%:-<C> H�?]��<�w�_Cz�z�_*��S!�20#3'14p�3'5 ?�:�K{�k?�5 =���0 6�> 5 :'1E8�?�5984<R7*1{jl<%:-<C> H�?]��<�����*�! #"E&�&%c�)]�Ce�"%)!�k/ �{/t,%)�&F�N+��Ec�)�d4"%).�{/*SW��Q�146�3'�W6C�;�M3-7*5 ?�<C3'�W�M5 G�143'14?�:-59<C>Nr;��H�<%:'5 6�?�D4�]SY k14A¢¡#6�3'£�v�P!8E¤B3-<EA�^�k5 > >¥wN�ET����*��S � _CT{pN�y��R~x,%)�d4"%)�+W¦k/ §M #"%)�e¥cZ`¨/� k6�?�> 5 ?�1E<C3q�M5 G�143'14?�:'59<C>Nr;��H�<%:'5 6�?�D4�]SW k14A¢¡#6�3'£�v*021�3'@�<CJF6�?�0#3'1ED'D4wx�ET�y � ��SY�CU�y{pN�\]�F©qc�$'}Eª�"I«¬¦k/ §B`M"%e�,­¦k/¥ #/q�M3-7*5 ?�<C3'�®�M5 G�143'14?�:'59<C>kr;��H�<%:'5 6�?�D4� ^�hi<C> :'Q�<CJn¯21�:-8C� v;ul>9<C59D'7*14> >�0#H�O�>¥��j;6�� wq�ET�y�T�� SU�y�yCpN�[��F©q$',%(�+�$B°l/ § �{"Eª�+�±Z²*/ �¨/���Q�1{³MH�<C> 5 :-<%:'5 =C1���Q�146�3'�R6C�#�M3-7*5 ?�<C3'�R�M5 G�143'14?�:'59<C>xr;��H�<%:'5 6�?�D���´k?n��?�:-3'6*7*H�8�:'5 6�?o���]S k14A¢¡#6�3'£�v��M6 =�143q0#H�O�>¥� wZ�ET�[�T*� µ ��ëY¶ ê�ù¥�nëíçíûÕù�ý þ¡æ · µ ë'¸&ì�ûQì+ýt¹Qç»ü ù ê*º>ýÑæ�ê »�¼�½*¾�¿�À�Á�Â�Ão»EÄ�Å%À*Æ*Â#Ç�¿]È�ÅtÇIÂ�¾�¿ É 1E8�145 =�1E7g�%\]� z�_*� z�U µ�á>=