Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures
Gespeichert in:
Datum: | 2003 |
---|---|
1. Verfasser: | |
Format: | Artikel |
Sprache: | English |
Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2003
|
Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123733 |
Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Zitieren: | Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures / C. Corduneanu // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 169-173. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-123733 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1237332017-09-10T03:03:33Z Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures Corduneanu, C. 2003 Article Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures / C. Corduneanu // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 169-173. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123733 532.592 en Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
English |
format |
Article |
author |
Corduneanu, C. |
spellingShingle |
Corduneanu, C. Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures Механика твердого тела |
author_facet |
Corduneanu, C. |
author_sort |
Corduneanu, C. |
title |
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures |
title_short |
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures |
title_full |
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures |
title_fullStr |
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures |
title_full_unstemmed |
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures |
title_sort |
periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2003 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123733 |
citation_txt |
Periodic solitary waves in one-dimensional hyperbolik structures / C. Corduneanu // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2002. — Вип. 32. — С. 169-173. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT corduneanuc periodicsolitarywavesinonedimensionalhyperbolikstructures |
first_indexed |
2025-07-09T00:09:41Z |
last_indexed |
2025-07-09T00:09:41Z |
_version_ |
1837125895192576000 |
fulltext |
��������� ��
�������
���
�������������� !�#"�$ �&%�')( *+(#"��+,)�
�-
�� � �!�/.10324�5� �
687:9<;>=�? @A;>B�?
C© ?>D�D�=�@FEHGIEKJ�L&M4N4OQP�R!OSN
TVU1WYX+Z\[]X+E_^4Z\`IXbadcHW1egf�c5h#UV^
XbijZ\ikUmln[]Xbo�U3ip^SX+Z\iqc]`sr#e#TVU1W]tuZ\`IX+E_^)aVW\vqE:aKv]WYUV^
XbOFw+L�J)M4Nyx>w�z{JFOIG/|~}]���!�>������}��>� C �����������n�>�����d�+��}b�u�������
}����
���\}b�
�������!�>�8�
���
�����
}b�>�:��� ����}b�\�
�
}b� C �����F}b�q���#��� C �>���>����� ��}b���F����� C }b���!�&�������#�> 4���
}3 {�����
utt = uxx + f(u, ux), (1)
�5�����k�!�>����� C �
���&� C ��� C }b���k {���d���
}¡}�¢�������}b� C }V�> y�F}b�������
� C ���
}b�b@
£��
}��\}����
� �¤��}����!�>���K�
��} C ���
���������p������}b�
� C ���
¥¦���
}��
�����
��}b�§���¦�����
���!�>���s�
��¨�}b��}b�������>�
}b���!�&�������
�1�> I��} C �>�
�������
}b�b©��>�
�ª���
}b�p�>�
�
��� ���
¥H�����\}K«��
���5�p��}b���
�����m {���������
}K���
}b�����q�> I�
���&�
}
��� �!�>�\� C �>����� ����}b�\�b@¬��®�!�&����� C �
���>�b©4���
}]}�¢�������}b� C }#�> ¯�p�F}b�������
� C ���������������~�5��������}#�
}b������}b�����
�\}��>�
�5�> ®°)�b±}b�!�>���S² ����}b���
���5���k�
���
�����
}��>�d��� C �������&�����>�
�b@
£��
} C �>��}��> 8�!�>���>������� C }b���!�&�������
�1�> ��H�����\�����>�5 {�����³����´¶µ�·m�!�>�1�F}b}b�p����}��&��}b�p���q���
}:���>�\}
�\}����
� �#���k���
��} C }b�
���
¥\�!�>�F}b�5�> 4���
}V�>�����
���¡¸¹µbº»@
¼ ��} C }������F}b�������
}b���d��}� {}b��}b� C }1 {���I���
} C ��� C }����5�> )���������n�>�����d����}1���d½¾@
¿5}b�\��������}b�
}��3¸ À&º»@HÁ!���
���
}H�>�
�
��� C �&�������
�¯���
��� C ��� C }b���K�!�>�¡¥�}b�
}b���&��}b�¾��}\��}b�
�¾���
}u��}��>�
}b�¡���]���
}u�
��� C }b}b�
���
¥��¡�������
�\}
�> ���
}:à }���}b������Ä1���>���Yà �
�\�\}b�5¬��
������������}H¸ =&ºd´»ÃF@!£y�>«�}b�
��©�ÅÆ�
�������n·�@�½q�>���k�>���
}b�5��}� {}b��}b� C }b�3�>��}
���
�
� C �&��}b�#���]���
����}¡�\}b���������
}b�k�>�F�+��}>@
Ç:@m½q��È�
�����ɸ Ê>º3�!�>�k��} C }b�������¦�
}��>���]�5������F}b�������
� C ��������}b�����
¥Ë�d�+��}b�k���Ì��}�� C ������� ���
��¨��
�������
}b���!�&�������
�b©!�
�����
¥����
}VÍm���� Â�
�� {�
� C �&�������Y��} C �
�
�����
}>@
Î G3aKÏQP¦[#zÑÐIP�L�P OFw�z{R!Ò¡U3ÓSNQR�w�z{JFO-J�ÔY^SJFÒÕzÑw+R
L+Ö�f-R�×FP Ø>Gd°)}����
����� ��«p {���:���������n�>�����d����}b�
¥�����}b�#���]���
}3�����
¥���}1�>�&�����>�
��}1 {�
� C �������
y = y(x + ct), (2)
�5�
}b��}
c ∈ R
�!�>�����u�F}b�����
¥���� C }b���n�>���#������}b���&�>���b©����u�F}¡�
}���}b���\���
}b�#�F}b���+�¡@
à �
�
���������������
¥
u = y(x + ct)
���¾´�µ+·�©
���
}¡�����n�>���
�����
}¡�����
���!�>���Y�
��¨�}b��}b�������>�S}b���!�&�������
(c2 − 1)y′′ = f(y, y′),
´Õ=�·
�5�
� C �]��}b�
��}b��}b�����m�:��} C �>�
�k�����
}b�d}b���!�&�����>�#�>���H�����\} c2 − 1 6= 0
@H£��
} C �>��}b� c = ±1
��}��>�H���u�
Ù �����¯�����
}b�m���\�
��� C �¹�5}b���!�&�����>�S@q|~}V���!�>���)�
��� C �
���¯���&��}b�����
���5�������!�&�������S©��5�
}b�k���
}¡�d�+��}K��}��
¥>���k�>
���
}¡��}��>� C �
}b�q���������n�>���\�d����}¡���d���
}¡���>�\}V�>����� C �>��}¡�> y���
} C ���&����� C �>�S}b���!�&������� utt = uxx
©
�»@ }>@�©
y = y(x ± t).
´{Ê�·
£��
}V}b���!�&�������~´Õ=�·�©� {���
c2 − 1 6= 0
©
���5����} C ���
�q�����
}b�m�>�������
���\���
���
��¨�}b��}b�������>��}b���!�&�������S@k£��
}
}�¢�������}b� C }Y�> d�F}b�������
� C ���������������
�3�!�>�K��}b}b���>�\�
���p�
��� C �
����}b��������
}\�H�&���
}b�H�&��� C �>��>�
��>�
�
����}b�
� C ��}b� C }¯������}b���&���
��}>@KÁ!��� C ���>����� C �>�!��}b���
�����b©���� C ���
�
���
¥3}�¢�������}b� C }¯�> S�����u�¹� C � C ��}b���>�
�\��}b���&��}b�u�����
� C �b©
�d}q��}b�
���n�
}k��}��>�
}b�\���¾���
}q�\���
��¥����>�
�
�n�����}��&������}b�H�>�����
����}b�Û���ÜÅ�@ ¼ @dÝ����
�
���
¥>�����Û�>�
�¦ÞV@
°)}�� ���
�����®¸ ;�º»©)ß�@SÃ��>�
�����\}��>�
��¿¡@)Ý������n�d¸ À&º»©)ß�@�à�����«��
�>¨��>�
�¾ß�@Sݯ@)¿5�>�n�ª¸ á�º»©SÁ�@Sà����>�
}b�3�>�
�
â�@ ¼ @�Þm���
}b�I¸ ã&º»@
µ+À�B
äSå�ä�æ�ç�è&é�ê�ë¶ìnê�é
¼ ���F} C ���>� C �>��}K�> 5´¶µ�·�©!���
� C �q���5�!�>����� C �
���>���¹�]������}b��}b�������
¥u {���5�
�¯���#���
���5�!�>�F}b�b© C ������}b���F���
�
�
�������
} C �
��� C }
f(y, y′) = g(y)y′ + h(y).
´»;�·
à ���u}]��}b¥��
���>������� C ���
�
���������
�:�������
}] {�
� C �������
� g(y)
�>�
�
h(y)
�5�������F}]���F} C � Ù }b�®�F}b���+�¡©Â���
� C�C �����!�>� C }3�5�����H���
}3��}b���
����}b�\}b�������> )���
}3��}b���
�����������F}3�>�
�
����}b�Y���Y�����
}b�d���:�
}b������}1}�¢�������}b� C }¡�>
��}b����� �
� C ���������������
�d�������
}¡}b���!�&�������
�K´Õ=�·����
���������F} C ���>� C �>��}H´»;�·�@
¬í�H���u���\�F�����n�>�������~�F�������H�>���\���
}k Õ� C �\���!�&��©Æ {���q´»=�·�©Â�d}k�
}b}b�¦��}b����� �
� C ���������������
�b©Æ�� ¯��}
�d�>���¡���
}u���������n�>���k������}b�V����«�}#´»?�·¯���#�F}u�F}b�������
� C ���p�����\}>@�½k����}b�+��}b�b©)��� C �~�������������>�
�3�:�
���V�F}
C �>���������
���
�b@
Á
���Y���
���n�>� C }>©d�>�����
�\���
¥ c2 6= 1,
�>�
� C �
� �������
¥ f(y, y′) = yy′
�
��� �
� C ��©����
}p�����n�>���
�
�������������>�
�d���q´Õ=�·��> 4���
}3 {�����
y =
��¥
(C1x + C2),
´ÕÀ�·
�5�¹�n�
C1 = [2(c2 −1)]−1,
�>�
�Y�>���
�������>���
C2
@:£��
}b��}¯���>�����������
�8�>��}m�F}b�������
� C ©��
�����
�>� C �����������
���
�
´{�> C ���
����}>©!}b�����\���!�&�����
¥K���
} C ���
���n�>�����m�>��������� ���>�����������������
�n·�@
|¾}1���!�>���F�\�>«�}¯���
}¯�\����}m��}b�H�>��«u���\���
} C �>��} c2 − 1 = 0.
¬��Y���
��� C �>��}>©
�>����������}b�H�>���
�I {�����
���
}¡}b���!���n�����Ë´Õ=�·����d���
} ٠�����m�����
}b�5���\�
��� C ���d}b���!�&�������
f(y, y′) = 0.
´»á�·
¬í d´»á�·��>�
�\�����d�
C2−
���������������
y0(x)
©��
} Ù �
}b�k���Y���
}1�5�
����}1��}b�>�)��¢����b© ���
}b�
y0(x± t)
��}b�
��}b��}b�����
�������¹���&���q�d�+��}b�K {���3���
}H��� ����}b�g�
}b� C ������}b���������
}\}b���!�&�������¦´¶µ�·�@ÌÁ!���¡���
���n�>� C }>©Q {��� f(y, y′) =
y2 + (y′)2 − 1
©
���
}3 {�
� C �������
� C ��� (x ± t)
�>�
�����
(x ± t)
��}b�
��}b��}b���1�������¹���&���u������}b�5 {���ï´¶µ�·�@
ð �
} C �>�q��}b}¡ {�����ñ���
}K�>������}V�
��� C �
���������#���!�&�m}b���!�&�������
�m�> y���
}3 {�����ò´¶µ�·d�F������}b���¯���������������
�
���!�&�5¥�}b�
}b���&��}¡���������n�>���\�d�+��}b�b@
ó G�aKÏQPVU3ÓSNQR�w�z{JFO
utt = uxx +g(u)u
x
+h(u)
@�£��
}��>�F�+��}I}b���!�&�������S©��5�
� C � C ������}b�������
�
�
���V���
} C �
��� C }¯�> f(u, ux)
¥�����}b�Y���ª´»;�·�©\�������!�>���������
}��>�I���
u.
¬í�����
���
�d���������:��}3�>�]�>�
�
�����
�����&��}
}�¢
�&�\�
��}3�5�
}b�q}b���!�&�������~´Õ=�·8�n�>«�}b�����
}¡ {�����ô�5�
� C �q�>�����+�5���
�����\�
��}K�u°)�b±}b�!�>���S² ����� �F}3���
}b����}b�
{���d���
}3}�¢�������}b� C }K�> Â���
����������� ���>���F}b�������
� C ���������������S@
°)}��m�
���5������}3���
}¡}b���!�&�������~´Õ=�·�©
��� C �>��}¡�> 4���
}¡���F} C ���>� C �
��� C }3 {��� f
¥�����}b�#���¾´»;�·�õ
(1 − c2)y′′ + g(y)y′ + h(y) = 0.
´Õã�·
¬��¾�����
}b�3���# {�����:�
���&��}:���
} C ���
�
���������
�3��� g(y)
�>�
�
h(y)
©)��}b���
����}b�~���p���
}\�
��}\�> -°)�b±}b�!�>���S² �
��� �F}3���
}b����}b�k©���}¡�!����}3���u�
���������
¥��
�����Y�F}����d}b}b�k���
} C �>��}b� |c| < 1
�>�
�
|c| > 1
@#|~}3���!�>���S�
}��>�
���
�¹���5�����~�n�
} C �>��} |c| < 1
©4��}���� ���
¥k�n�q���
}H��}b�>�
}b�K���
}H�n�>��«����q {�������
������}u���
} C ������}b���F���
�
���
¥
C �>�
�
���������
�����]���
} C �>��} |c| > 1
@
à�}� {�>��}¯��}3 {�����:�
���&��}5���
} C ���
�
���������
�� {���d}b���!�&�����>�~´Õã�·�©���� C �#���!�&�������5�����F�F������}b���¯�:�F}������ �
� C
�������������>�S©���}��8�
�����n�&��}m�
}b��}m���
}¯�>� ¢��������>���:��}b���
�����> ª°)�b±}b�!�>���S² �I��� �F}m��}¯���!�>���!��}b���u�
�F���S@:|~}5�n�>«�}
���d {�����î¸ ã�©!£��
}b����}b�³À�@A?�º»@
£��
}�����}b�öµ�@FÝ����
�����
}b�����
}¡}b���!���n�����
y′′ + a(y)y′ + b(y) = 0,
´ÕB�·
�
�
�
}b�����
}3 {�������+�5���
¥u�>�����
�\���������
�bõ
´{�Ñ·
a(y)
�>�
�
b(y)
�>��} C ��������� �
���
�����Y�
��¨�}b��}b�������>�
��}1�H�>�
�d {����� R
�������
R ÷
µ�á&D
ø ëíç»ù¹æ+è�ù�úQû�æ�üAù�ý�ìnçÕþ¡ÿ
ì��në�û�ù êVæ�ê�ë��Ñè�ù �mëíê&ûÕù¹æ�ê>ìnü��bþ���ëíç �+æ�ü ù
mû�ý�ç�é+ú�ýÕé�ç¶ë�û
´{���Ñ·
yb(y) > 0
{�>�
y 6= 0;´{�����Ñ·³¬í 4�d}¡�
}b�
�>��}
A(y) =
∫ y
0
a(u)du, y ∈ R,
´¶µ+D�·
���
}b�
�����
|A(y)| = +∞, �
� |y| → ∞;
´{���
·�£��
}b��}V}�¢������m�F������������}3���
�:�F}b���
α, β
©!��� C �k���!�&�
A(y) < 0
{���
y < −α
���
0 < y < β,
�>�
�
A(y) > 0
{���
− α < y < 0
���
y > β.
£��
}b�S©!���
}¡}b���!�&�������~´ÕB�·��!�>�m�u�
����������� ���>���F}b�������
� C ���������������S@
¿5}b�H�>��«�@q£��
} C ���
�
���������
�s�ѷ��Y���
·��
�\�
�>�m�>�����
��}¡���
}¡�
�
�����
}b�
}b���¯�> 4���
}V��}b����� �
� C ���������������
���¾´ÕB�·�@��m�
�
}b�3}�¢ �����]�>�����
�\���������
�b©��>�\���
¥\���
}b�_���
}:��� �\�\}������k�>
a(y)
©��»@ }>@�©
a(y) = a(−y)
©
�>�
�����
}]�>�����¹����� �\�\}������¾�>
b(y)
©y�»@ }>@�©
b(−y) = −b(y)
©Â��� C �>����}]���
�+�5�����!�&�:���
}Y�
����������� ���>�
�F}b����� �
� C ���������������]�> y}b���!�&�������Ë´ÕB�·������
�
�����
}>@
¿5}����
���
���
¥d�������
}Æ}b���!�&�������\´Õã�·�©b�5�
� C �¡�
���+� ���
}b�S���
}Æ���������n�>���m�d����}b�Q {���I´¶µ�·�©��5����� f(y, y′)
¥�����}b�
���¾´»;�·�©���}V�
�>��� C }1���!�&�5���5�����> 4���
}3 {�����ö´ÕB�·�©��5�
}b��}
a(y) = (1 − c2)−1g(y), b(y) = (1 − c2)−1h(y).
´¶µ�µ�·
|~}¡�!�+��} C �
����}b�k���u�
}��>�)���#�
}��n�>�����5�����]���
} C �>��} |c| < 1
©��5�
� C �k�\}��>�
� (1 − c2)−1 > 0
@
¬í�5��������� �����
���n�!��� C ���
�
���������
�Û�Ñ· − ���
·��> Q���
}1���
}b����}b��n�&��}b�#�>�F�+��}S�5�����F�F}1��}b��� ٠}b�#���H���
}
{�
� C �������
� a(y)
�>�
�
b(y)
¥�����}b�k���¾´¶µ�µ�·�©
��
g(y)
�>�
�
h(y)
���&������ �Y���
}3 {�������+�5���
¥��>�����
�\���������
�bõ
µ�·
g(y)
�>�
�
h(y)
�>��} C �����������
���
�����]�
��¨�}b��}b�������>�
��}1�H�>�
�d {����� R
�������
R;?�·
yh(y) 6= 0
{���
y 6= 0 ÷=�·#¬í 4�d}¡�
}b�
�>��}
G(y) =
∫ y
0
g(u)du, y ∈ R,
´¶µ�?�·
���
}b�
�����
|G(y)| = +∞ �
� |y| → ∞.
Ê�·#£��
}b��}V}�¢������5�F������������}3� �
�:�F}b���
α
©
β
©!��� C �k���!�&�
G(y) < 0
{���
y < −α
���
0 < y < β,
�>�
�
G(y) > 0
{���
− α < y < 0
���
y > β.
����
��}b���
}b��������©)������}b�!�>�� 8�> I���
}u�>� ¢��������>���#���
}b����}b� ���n�&��}b�~�&�F�+��}>©���} C �>�p {�����:�
���&��}V���
}
{�������+�5���
¥:��}b���
���m���]��}b¥��>���#�������
}¡}b���!�&�������
utt = uxx + g(u)ux + h(u), (13)
µ�á µ
äSå�ä�æ�ç�è&é�ê�ë¶ìnê�é
�5�
� C �k���d���
}¡����} C ���>� C �>��}V�& 5´¶µ�·�©��5����� f C �
����}b�q���¾´»;�·�õ
��>�
�����
}b�8���
}m}b���!���n�����p´¶µ+=�·�©��5�����
g(u)
�>�
�
h(u)
���&������ � ���
¥¡���
} C ���
�
���������
�Ûµ�· −4
·u���n�&��}b�
�>���+��}>@
£��
}��S©4���
}b��}H}n¢������:�F}������ �
� C ���������n�>���ª�d����}b� C ������}b���F���
�
���
¥k����´¶µ+=�·�©)�> d���
}u {����� u(t, x) =
= y(x± ct)
�5�
}b��}m���
}5 {�
� C ������� y
���8�V��}b����� �
� C ���������������u�> ����
}m�
���
�����
}��>��°)�b±}b�!�>���S² ��}b���!�&�������
´Õã�·�@
¿5}b�\�>��«]µ�@�¬í
y(x)
�����V�F}������ �
� C ���������������\�> ����
}¯}b���!�&�������p´Õã�·�©����+�u�> )�F}b������� ω > 0
©����
}b�
���
}¯�F}b����� �Y�> )���
}1���������������
y(x± ct),
�5�����Y��}b���F} C ����� t
© ���
ω/|c|
@H¬��Y���
} C �>��} |c| < 1
©
�>���!���
}
��}b����� �
�¡�&��}:���>��¥�}b�¯���!�>�
ω
©)�>�
�p���
}b��}u�>��}����������������
�¯�> ��>���
�������>���q���>��¥�}K�F}b����� �S@�ÅÆ�������H�&��}b�1 {���
���
}¡��}b����� �
ω
�>��}3�
��� C �
�������u�����n�>���]���]���
}¡¥�}b�
}b���>� C �>��}>@
¿5}b�\�>��«3? @�à�}b�����
}b�)���
}�F}b�������
� C ���������������S©�}b���!�&�������H´Õã�·��>�
�\�����S�>�����5�>��� �\�����>��� C �>���¹�m�F}b����� �
� C
�������������>�
�Æ�n�!����¥�}b�
}b���&��}b�d�>��� �\�����>��� C �>���¹���F}b�������
� C �d�+��}b�b@\¬í�����8�>�����V�F���������
��}5���V¥�}������������������u {���
´Õã�·¯�5�
� C �¾��}b�
���>��� �\�����>��� C �>���¹�q���k���
}\������¥���� (0, 0)
�> ����
}\�
�!�>��}H�
���>�
}��5�
}b�
t → +∞
���
t → −∞
@ ¼ ���4���
}b��}������!�&�������
�3�>��}u}b��}b�\}b���n�>��� C ���
��}b���
}b� C }b�K�> 8���
}u�
������}b������}b�¡�> 8���
}������\�¹�
C � C ��}b�5 {�����
���>�
}<�>�������
���\���
�d��� ����}b�u��@pà }b}>©! {�>�����
���n�>� C }>©Q¸ ;+��á�º»@� G¯c]OQJ!w�ÏQP�LË^��IP x�z{R!Ò:EKR!ØbP®J�ÔuU3ÓSNQR�w�z{JFO�� Î
� @)|~}Y���!�>��� C ���
�����
}b�:�
�+� ���
} C �>��}H�5�
}b�
f(y, y′)
���5���
�
}b��}b�
�
}b���m�>
y′,
�5�
� C �k�\}��>�
�����!�&�����
}3�d����}¡}b���!�&�������~´�µ+·d��}b�
� C }b�5���
utt = uxx + f(u),
´¶µ�Ê�·
�5�
����}1���
}¡�����
���!�>���Y�
��¨�}b��}b�������>�S}b���!�&�������] {���d���
}¡���������n�>���\�d����}b�m��} C ���\}b�
(1 − c2)y′′ + f(y) = 0.
´¶µ�;�·
£��
���Y���Y�>�¦}b���!�&�������Û�> 3���
}ª��}b�
�
�
���
� �¶� �F}p�>�
����Y�F������}b����}b�#�F}b����� �
� C ���������������
�\�
�
�
}b�
�>�
}����!�&��} C ���
�
���������
����� f(y)
@
°)}��\�
�\�>�����
�\}Y���!�&�
|c| < 1
�>¥��>���S©4���
} C �>��} |c| > 1
��}��>�
���
¥ª���������\�����>�:�>�����
�\���������
�
{���
f(y).
£��
���1�����\}V��}:�5�����4�!����}u�H Õ�>�\���¹�k�> 8�F}b�������
� C ���������������
�b©F�
}b�F}b�
�
���
¥]���¾�H�����
¥���}:��}��>�
�!�>���>�u}���}b�b@H½k����}¯�
��} C ����}b����© ���\���
}¯�
�!�>��}¯�
���>�
}>©����
}¯������¥������5��������������}b���5�V�
}b��¥�� �������
� � �\�5�
� C �
��� ٠����}b�]�
�#�5�����#�F}b�������
� C ���������������
�b@
°)}����
���n�>«>}1�>¥��>���S© �>����}� {}b��}b� C }>©!�K��}b���
���� {�����_¸ á © £��
}b����}b�ñÀ�@�µbº»@�Á!�����:�
���&�����
¥V�
����} C �����u���
�
��� �F�>���
}b��}b�m���
f(y)
©����
}3 {�������+�5���
¥:��}b���
��� C �>�#�F}¡���n�&��}b�k���#��}b¥��>���]���u���
}¡}b���!�&�������~´¶µ�Ê�·�õ
£��
}�����}b�j?�@-����
�����
}b�:���
}]}b���!�&�������s´¶µ�Ê�·V���Ë�5�
� C � f(u)
��� C �����������
���
�����~�
��¨�}b��}b�������>�
��}
{�����
R
�������
R
©
��� C �#���!�&�
uf(u) > 0
{���
u 6= 0, f(u) = −f(−u).
´¶µ+À�·
£��
}��S©F���
}b��}:}�¢��������1�u Õ�>�\���¹�]�> I��}b����� �
� C ���������n�>���Y�d����}b�1���������������
�����p´¶µ�Ê�·�©F�
}��F}b�
�
���
¥Y�> I�
��}��>�S�!�>���>�\}���}b�
r, r < r0,
�5�����
r0 > 0
���
� C ��}b�������]���H�>���Õ@
ÅI� C �k��}b����� �
� C ���������n�>���\�d����}¡�����> Q�n�
}1 {����� y = y(x ± ct),
�5�����
y(x)
���F}b����� �
� C ���������������
�> 4���
}¡}b���!���n�����Ë´¶µ�Ê�·�@
£��
}3�
��� �> 4�> 4£��
}b����}b�³?K���d���
}3���\�u}b�
���&��} C ���
��}b���
}b� C }V�> �>�
�
��� ���
¥K���:���
}3}b���!�&�������~´¶µ�;�·
���
}¡��}b���
���5�\}b���������
}b�k�>�F�+��}3 {�����ö¸ á�º»@
¿5}b�\�>��«�@s¬��~���
}Y�
�!�>��}Y���!� C } (y, y′)
©Q���
}H��������} C ��������}b�K�> 5�F}b�������
� C ��������������������´¶µ�;�·V�>��}
��� �\�\}��n��� C �5�����Ë��}b���F} C �u���ª���
}Y������¥����S@É£��
}]��}��>�d�!�>���>�\}���}b� r C �>����}Y�n�>«>}b��}b���!�>�����ª���
}
�>�
� C �������u�> 4���
}¡������}b����} C �������#�> 4���
}3��������} C �������Y�5�����]���
} y
�¶��¢����b@
¬�� C ��� C ���
�
���
¥1���
���Â�!�>�F}b�b©���}5�
�>��� C }����
}� � C ����!�&�8�3�����\�
��}���� �F}b���F����� C ������� C ���
��}5�
}b� C �����F}b�
���É}b���!�&�������ï´¶µ�· C �>�¤¥�}b�
}b���&��}>©m�
�
�
}b�ª�>�
}b���!�&��}�>�����
�\���������
�b©¯���&�>����}��¶�Ì�> ����������n�>���Û�d����}b�b©
µ�á>?
ø ëíç»ù¹æ+è�ù�úQû�æ�üAù�ý�ìnçÕþ¡ÿ
ì��në�û�ù êVæ�ê�ë��Ñè�ù �mëíê&ûÕù¹æ�ê>ìnü��bþ���ëíç �+æ�ü ù
mû�ý�ç�é+ú�ýÕé�ç¶ë�û
��� C ���
�
���
¥:���
}¡�F}b�������
� C ���
}b�b@
���! #"%$'&%(*)�+-,%)�(. #/�02143'5 6*7*598;:'3-< =�14> > 5 ?�@BA�< =C1ED25 ?F?�6�?�> 5 ?�1E<C3#7*5 G�H�DI5 6�?FJF6*7*14>9D;K�KMLN5 O�143I:-<�D2P!<%:'Q�14JR<%:'5984<��%SR�ET�T�U��SWVYX X X%�*SR02�Z�E[]\E^-�4T��C�_*�a`M+�bR"%c9d-d4+�)�+�e;fg/�hi< =�1EDkjl<C>9> 1E7nm]6�> 5 :'6�?�D4�oj;6�?�8�14p*:-Dq<C?�7Yrts*p�143'5 JF14?�:-D4�*SWul143'> 5 ?Nv�m]p�3'5 ?�@�143Ewx�ET�T�y���SY_Cy�z{pN�U��i|�,E}�+�)�"�~x/9��r;7x� �F�M�]?�<CJF5984<C>�0#3'6�O�> 14JRDa5 ?�m]6�> 5 :'6�?�m]�*D�:'14JRDWK�K.0#3'6*8C�26C��\E:'Q�����6C:'6im]H�JFJF143F��?�D�:'5 :'H*:'1��tSul143'> 5 ?Nv�m]p�3'5 ?�@�143Ewx�ET�[��*��SY_C[��BpN�� �Rfg,t�)�" d4,��2/�0
143'5 6�7*598�:'3-< =C14> > 5 ?�@YAl< =�1EDk5 ?g?�6�?�> 5 ?�1E<C3B3'1E<�8-:-5 6�?*^�7*5 G�H�DI5 6�?!1E��H�<%:'5 6�?�Dk=]59<WJ{H�> :'5 p�> 1F�k6�p*�;O�5 ��H�3I^84<%:'5 6�?N�]S�jl<%:-<C> H�?]��<�w�_Cz�z�_*��S!�20#3'14p�3'5 ?�:�K{�k?�5 =���0
6�> 5 :'1E8�?�5984<R7*1{jl<%:-<C> H�?]��<�����*�! #"E&�&%c�)]�Ce�"%)!�k/ �{/t,%)�&F�N+��Ec�)�d4"%).�{/*SW��Q�146�3'�W6C�;�M3-7*5 ?�<C3'�W�M5 G�143'14?�:-59<C>Nr;��H�<%:'5 6�?�D4�]SY k14A¢¡#6�3'£�v�P!8E¤B3-<EA�^�k5 > >¥wN�ET����*��S � _CT{pN�y��R~x,%)�d4"%)�+W¦k/ §M #"%)�e¥cZ`¨/� k6�?�> 5 ?�1E<C3q�M5 G�143'14?�:'59<C>Nr;��H�<%:'5 6�?�D4�]SW k14A¢¡#6�3'£�v*021�3'@�<CJF6�?�0#3'1ED'D4wx�ET�y � ��SY�CU�y{pN�\]�F©qc�$'}Eª�"I«¬¦k/ §B`M"%e�,¦k/¥ #/q�M3-7*5 ?�<C3'�®�M5 G�143'14?�:'59<C>kr;��H�<%:'5 6�?�D4� ^�hi<C> :'Q�<CJn¯21�:-8C� v;ul>9<C59D'7*14> >�0#H�O�>¥��j;6�� wq�ET�y�T��
SU�y�yCpN�[��F©q$',%(�+�$B°l/ §
�{"Eª�+�±Z²*/ �¨/���Q�1{³MH�<C> 5 :-<%:'5 =C1���Q�146�3'�R6C�#�M3-7*5 ?�<C3'�R�M5 G�143'14?�:'59<C>xr;��H�<%:'5 6�?�D���´k?n��?�:-3'6*7*H�8�:'5 6�?o���]S k14A¢¡#6�3'£�v��M6 =�143q0#H�O�>¥� wZ�ET�[�T*�
µ ��ëY¶ ê�ù¥�nëíçíûÕù�ý þ¡æ · µ ë'¸&ì�ûQì+ýt¹Qç»ü ù ê*º>ýÑæ�ê
»�¼�½*¾�¿�À�Á�Â�Ão»EÄ�Å%À*Æ*Â#Ç�¿]È�ÅtÇIÂ�¾�¿ É
1E8�145 =�1E7g�%\]� z�_*� z�U
µ�á>=
|