О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки
Показано, что симметричные периодические движения (СПД) в задаче. Эйлера с центром тяжести тела в главной плоскости инерции всегда допускают пару простых нулевых характеристических показателей (ХП), пару нулевых ХП с жордановой клеткой и два ХП противоположного знака. Установлено, такие ХП в общем с...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123734 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки / В.Н. Тхай // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 3-8. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123734 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237342017-09-10T03:03:35Z О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Тхай, В.Н. Показано, что симметричные периодические движения (СПД) в задаче. Эйлера с центром тяжести тела в главной плоскости инерции всегда допускают пару простых нулевых характеристических показателей (ХП), пару нулевых ХП с жордановой клеткой и два ХП противоположного знака. Установлено, такие ХП в общем случае обеспечивают принадлежность СПД в двухпараметрическому семейству, а также - отсутствие дополнительного гладкого интеграла. 2004 Article О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки / В.Н. Тхай // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 3-8. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123734 531.36; 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Показано, что симметричные периодические движения (СПД) в задаче. Эйлера с центром тяжести тела в главной плоскости инерции всегда допускают пару простых нулевых характеристических показателей (ХП), пару нулевых ХП с жордановой клеткой и два ХП противоположного знака. Установлено, такие ХП в общем случае обеспечивают принадлежность СПД в двухпараметрическому семейству, а также - отсутствие дополнительного гладкого интеграла. |
| format |
Article |
| author |
Тхай, В.Н. |
| spellingShingle |
Тхай, В.Н. О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки Механика твердого тела |
| author_facet |
Тхай, В.Н. |
| author_sort |
Тхай, В.Н. |
| title |
О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_short |
О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_full |
О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_fullStr |
О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_full_unstemmed |
О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки |
| title_sort |
о характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123734 |
| citation_txt |
О характеристических показателях симметричного периодического движения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки / В.Н. Тхай // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 3-8. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT thajvn oharakterističeskihpokazatelâhsimmetričnogoperiodičeskogodviženiâtâželogotverdogotelavokrugnepodvižnojtočki |
| first_indexed |
2025-07-09T00:09:46Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:09:46Z |
| _version_ |
1837125900865372160 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.36; 531.38
c©2004. Â.Í. Òõàé
Î ÕÀÐÀÊÒÅÐÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÏÎÊÀÇÀÒÅËßÕ
ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÏÅÐÈÎÄÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß
ÒßÆÅËÎÃÎ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ ÂÎÊÐÓà ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÎÉ ÒÎ×ÊÈ1
Ïîêàçàíî, ÷òî ñèììåòðè÷íûå ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ (ÑÏÄ) â çàäà÷å Ýéëåðà ñ öåíòðîì òÿæåñòè òåëà
â ãëàâíîé ïëîñêîñòè èíåðöèè âñåãäà äîïóñêàþò ïàðó ïðîñòûõ íóëåâûõ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé
(ÕÏ), ïàðó íóëåâûõ ÕÏ ñ æîðäàíîâîé êëåòêîé è äâà ÕÏ ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà. Óñòàíîâëåíî, ÷òî
òàêèå ÕÏ â îáùåì ñëó÷àå îáåñïå÷èâàþò ïðèíàäëåæíîñòü ÑÏÄ ê äâóõïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó, à
òàêæå � îòñóòñòâèå äîïîëíèòåëüíîãî ãëàäêîãî èíòåãðàëà.
Ââåäåíèå. Äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé îïèñû-
âàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ïóàññîíà
Aṗ = (B − C)qr + P (z0γ2 − y0γ3), γ̇1 = γ2r − γ3q,
Bq̇ = (C − A)rp+ P (x0γ3 − z0γ1), γ̇2 = γ3p− γ1r,
Cṙ = (A−B)pq + P (y0γ1 − x0γ2), γ̇3 = γ1q − γ2p
(1)
(A,B,C � ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè òåëà, P � âåñ òåëà, x0, y0, z0 � êîîðäèíàòû öåíòðà
òÿæåñòè, ω = (p, q, r) � óãëîâàÿ ñêîðîñòü, γ = (γ1, γ2, γ3) � åäèíè÷íûé âåêòîð âåðòèêàëè,
íàïðàâëåííûé ââåðõ).
Ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò êëàññè÷åñêèå èíòåãðàëû
V1 = Ap2 +Bq2 + Cr2 + 2P (x0γ1 + y0γ2 + z0γ3) = 2h(const),
V2 = Apγ1 +Bqγ2 + Crγ3 = σ(const),
V3 = γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = 1.
Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ñèñòåìû (1) ÿâëÿåòñÿ åå èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëü-
íî çàìåíû G : (ω,γ, t) → (−ω,γ,−t). Çíà÷èò, ñèñòåìà (1) ïðèíàäëåæèò [1] ê êëàññó
îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íåïîäâèæíûì ìíîæåñòâîì M = {ω,γ : ω = 0}.
Èíòåãðàëû V1,3 ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî M , òî åñòü
V1,3(−p,−q,−r, γ1, γ2, γ3) = V1,3(p, q, r, γ1, γ2, γ3),
à äëÿ èíòåãðàëà V2 èìååì
V2(−p,−q,−r, γ1, γ2, γ3) = −V2(p, q, r, γ1, γ2, γ3).
 ñëó÷àå ðàñïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè â ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè
(y0 = 0) ñèñòåìà (1) òàêæå èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî çàìåíû
Gy : (p, q, r, γ1, γ2, γ3, t) → (p,−q, r, γ1,−γ2, γ3,−t),
1 ñòàòüå èçëîæåí ôðàãìåíò ëåêöèè, ïðî÷èòàííîé íà êîíôåðåíöèè �Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè
òâåðäîãî òåëà�, ïîñâÿùåííîé 80-ëåòèþ Ï.Â. Õàðëàìîâà.
3
Â.Í. Òõàé
òî åñòü äîïóñêàåò âòîðîå íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
My = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : q = 0, γ2 = 0}.
 ýòîì ñëó÷àå âñå êëàññè÷åñêèå èíòåãðàëû ñòàíîâÿòñÿ ñèììåòðè÷íûìè
Vj(p,−q, r, γ1,−γ2, γ3) = Vj(p, q, r, γ1, γ2, γ3).
Ñëó÷àþ y0 = 0 ïðèíàäëåæàò [2] ïî÷òè âñå èçâåñòíûå òî÷íûå ðåøåíèÿ çàäà÷è Ýé-
ëåðà, êðîìå ïåðìàíåíòíûõ âðàùåíèé. Òàê ê ñèììåòðè÷íûì, îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà
My, îòíîñÿòñÿ, íàïðèìåð, ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ, ïðåöåññèè Ãðèîëè è äð.
ÕÏ ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé ñèñòåìû (1) âû÷èñëÿëèñü â ðàáîòàõ [3-12]. Îòìå÷àëîñü
íàëè÷èå íå ìåíåå ÷åòûðåõ íóëåâûõ ÕÏ èç øåñòè [3,4], äëÿ ïðåöåññèé Ãðèîëè óêàçûâà-
ëîñü [5,6] íàëè÷èå òðåõ ãðóïï ðåøåíèé, îòâå÷àþùèõ íóëåâûì ÕÏ.
1. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè äëÿ ÑÏÄ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû. Îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà èìååò âèä [13]
u̇ = U(u, v), v̇ = V (u, v); u ∈ R l, v ∈ R n (l ≥ n),
U(u,−v) = −U(u, v), V (u,−v) = V (u, v).
(2)
Ìíîæåñòâî M∗ = {u, v : v = 0} íàçûâàåòñÿ íåïîäâèæíûì ìíîæåñòâîì ñèñòåìû (2).
Ïåðâûé èíòåãðàë V (u, v) = const, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ
V (u,−v) = V (u, v), (3)
íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì.
Äâèæåíèå u = u(t), v = v(t) ñèñòåìû (2), ïåðåñåêàþùåå íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
M∗ â íåêîòîðûé ìîìåíò t∗, íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷íûì. Íà òàêîì äâèæåíèè v(t∗) = 0.
Ñèììåòðè÷íîå ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå (ÑÏÄ) ïåðåñåêàåò ìíîæåñòâî M∗ ïî êðàéíåé
ìåðå äâàæäû è çàäàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè t: ÷åòíîé � u = ϕ(t) è
íå÷åòíîé � v = ψ(t).
Àíàëîãè÷íûå ïîíÿòèÿ ââîäÿòñÿ äëÿ ñèñòåìû (2), ïåðèîäè÷åñêîé ïî âñåì èëè ÷àñòè
êîìïîíåíò âåêòîðà v.
Ñîñòàâèì óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ äëÿ ÑÏÄ :
δu̇ = A−(t)δu+ A+(t)δv, δv̇ = B+(t)δu+B−(t)δv,
δu ∈ R l, δv ∈ R n.
(4)
Çäåñü è âñþäó íèæå èíäåêñîì ïëþñ (ìèíóñ) îáîçíà÷åíû ìàòðè÷íûå, âåêòîðíûå è
ñêàëÿðíûå ÷åòíûå (íå÷åòíûå) ôóíêöèè; ïåðèîä ôóíêöèé A±(t), B±(t) ïîëîæèì ðàâíûì
2π.
Ìåòîä âû÷èñëåíèÿ õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé (ÕÏ) ðàçðàáîòàí â [5]. Åñëè
ôóíäàìåíòàëüíàÿ ìàòðèöà ðåøåíèé ñèñòåìû (4) çàïèñàíà â âèäå [14]
S(t) =
∣∣∣∣ δu+(t) δu−(t)
δv−(t) δv+(t)
∣∣∣∣ , S(0) = Il+n
(Ij � åäèíè÷íàÿ j-ìàòðèöà), òî ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.
4
Î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëÿõ
Òåîðåìà 1. [5]. Ñèñòåìà (4) âñåãäà èìååò l− n ïðîñòûõ ÕÏ. Îñòàëüíûå ÕÏ ðàçáè-
âàþòñÿ íà ïàðû ±κ è îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
κ =
1
2π
Archα, det(δv+(2π)− αIn) = 0. (5)
Ñóùåñòâîâàíèå l − n ïðîñòûõ ÕÏ ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî rank δv−(π) ≤ n, à â ðå-
çóëüòàòå ýëåìåíòàðíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ l − n ñòîëáöîâ ìàòðèöû δv−(π) ìîæíî ïîëà-
ãàòü íóëåâûìè. Çíà÷èò, l − n ðåøåíèé íà÷èíàþòñÿ ïðè t = 0 íà íåïîäâèæíîì ìíîæå-
ñòâå M1 = {δu, δv : δv = 0}, δu 6= 0 è äîñòèãàþò ýòîãî ìíîæåñòâà â ìîìåíò, ðàâíûé
π (δv(π) = 0). Òàêèå ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ÑÏÄ.
Ïîäîáíûå 2π-ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ
x = x+(t), y = y−(t) (6)
èìååò òàêæå è ñîïðÿæåííàÿ ê (4) ñèñòåìà. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ ðåøåíèÿ (6), íàéäåì íå
ìåíüøå l − n ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ
W = x+
1 (t)δu1 + . . .+ x+
l δul + y−1 (t)δv1 + . . .+ y−n δvn = const (7)
ñèñòåìû (1). Ýòè èíòåãðàëû ïîçâîëÿþò "óðàâíÿòü" ðàçìåðíîñòè âåêòîðîâ δu è δv â (4).
Óêàæåì, ÷òî ïðèâåäåíèå ñèñòåìû (4) ê ñèñòåìå ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì çàìåíû âèäà
ξj = α+
j1(t)δu1 + . . .+ α+
jl(t)δul + β−j1(t)δv1 + . . .+ β−jn(t)δvn, j = 1, . . . , l;
ηk = α−k1(t)δu1 + . . .+ α−kl(t)δul + β+
k1(t)δv1 + . . .+ β+
knδvn, k = 1, . . . , n
(8)
ñ ïåðåõîäîì M1 â íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî {ξ, η : η = 0}.
Âûâîäû ïîëó÷åíû äëÿ ëèíåéíîé îáðàòèìîé ñèñòåìû (4) áåç ñâÿçè ñ ÑÏÄ êîíêðåò-
íîé ñèñòåìû (2).
Ïî òåîðåìå Ïóàíêàðå [15] óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ (4) äëÿ ïåðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ
ñèñòåìû (2) îáÿçàòåëüíî èìåþò åùå îäèí ÕÏ, â äîïîëíåíèå ê l − n ïðîñòûì íóëåâûì
ÕÏ.  ñèëó îáðàòèìîñòè ñèñòåìû (4) òàêèõ íóëåâûõ ÕÏ äâà. Âûÿñíèì êîëè÷åñòâî ãðóïï
ðåøåíèé, îòâå÷àþùèõ ýòèì ïîêàçàòåëÿì.
Äëÿ ÑÏÄ ñèñòåìû (2) óðàâíåíèÿ (4) äîïóñêàþò ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå
δu = ϕ̇(t), δv = ψ̇(t); ϕ̇(−t) = −ϕ̇(t), ψ̇(−t) = ψ̇(t) (9)
Îíî ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M2 = {δu, δv : δu = 0}. Ìíîæåñòâî M2
ïðè ïðåîáðàçîâàíèÿõ (8) ïåðåõîäèò â {ξ, η : ξ = 0}. Ïîýòîìó ïàðà ïåðåìåííûõ ξ, η,
îòâå÷àþùàÿ íóëåâîìó ðåøåíèþ, äàåò óðàâíåíèÿ
ξ̇ = 0, η̇ = ξ
ñ ïåðèîäè÷åñêèì ðåøåíèåì: ξ = 0, η = 1. Îòñþäà ïîëó÷àåì îäíó ãðóïïó ðåøåíèé äëÿ
äâóõ íóëåâûõ ÕÏ. Äðóãîé âûâîä çàêëþ÷àåòñÿ â ñóùåñòâîâàíèè åùå îäíîãî èíòåãðàëà
âèäà (7) è èíòåãðàëà
tW (δu, δv, t) + x−1 (t)δu1 + . . .+ x−l (t)δul + y+
1 (t)δv1 + . . .+ y+
n (t)δvn = const (10)
5
Â.Í. Òõàé
Òåîðåìà 2. Óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ äëÿ ÑÏÄ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû
(2), ïîìèìî l − n ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ, èìåþò åùå ïàðó íóëåâûõ ÕÏ ñ æîðäàíîâîé
êëåòêîé.
Çàìå÷àíèå. Íàëè÷èå æîðäàíîâîé êëåòêè ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëîì. Âûðîæäåíèå ïðèâî-
äèò ê ïàðå ïðîñòûõ ÕÏ.
Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà (2) äîïóñêàåò ñèììåò-
ðè÷íûé èíòåãðàë (3).  îêðåñòíîñòè ÑÏÄ ëèíåéíàÿ ÷àñòü ýòîãî èíòåãðàëà èìååò âèä
α+(t)δu+ β−(t)δv, α+(t) =
∂V
∂u
∣∣∣∣
∗
, β−(t) =
∂V
∂v
∣∣∣∣
∗
(11)
(çâåçäî÷êà îçíà÷àåò ïîäñòàíîâêó â ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé u = ϕ(t), v = ψ(t)). Ñðàâíåíèå
(11) ñ èíòåãðàëîì (7) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó âûâîäó.
Òåîðåìà 3. Åñëè îáðàòèìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà (2) äîïóñêàåò ÑÏÄ è óðàâíåíèÿ
â âàðèàöèÿõ (4) äëÿ ýòîãî ÑÏÄ èìåþò òîëüêî l − n + 2 íóëåâûõ ÕÏ, òî ñèñòåìà (2)
ìîæåò äîïóñêàòü íå áîëåå l − n+ 1 ãëàäêèõ ñèììåòðè÷íûõ èíòåãðàëîâ.
Ïîñëåäíèé âîïðîñ, êîòîðûé ïðèìûêàåò ê ðàñìîòðåííûì, ýòî ïðîáëåìà ïðèíàäëåæ-
íîñòè äàííîãî ÑÏÄ ê ñåìåéñòâó ÑÏÄ. Îêàçûâàåòñÿ, ÑÏÄ âñåãäà îáðàçóþò ñåìåéñòâà.
Çàïèøåì íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ÑÏÄ â âèäå [16]
v(u0, 0, T ) = 0
(u0 � íà÷àëüíàÿ òî÷êà íà M , T � ïîëóïåðèîä ÑÏÄ).
Ýòî óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå: u0 = u∗ = ϕ(0), T = π. Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçîâà-
íèå òåîðåìû î íåÿâíîé ôóíêöèè ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü óñëîâèå
rank
∣∣∣∣∂v(u∗, 0, π)
∂u0
,
∂v(u∗, 0, π)
∂T
∣∣∣∣ = n (13)
ñóùåñòâîâàíèÿ (l − n+ 1)�ñåìåéñòâà.
×àñòíûå ïðîèçâîäíûå â (13) óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì â âàðèàöèÿõ (4). Ïîýòîìó
óñëîâèå (13) ýêâèâàëåíòíî íàëè÷èþ l−n ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ ïëþñ îäíà ïàðà íóëåâûõ
ÕÏ, êîòîðàÿ ñîäåðæèò èëè æîðäàíîâóþ êëåòêó, èëè ïðîñòûå ÕÏ.
Òåîðåìà 4. Âñÿêîå ÑÏÄ îáðàòèìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû (2) ïðèíàäëåæèò
(l − n + 1)-ñåìåéñòâó, åñëè óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ (4) íå èìåþò äîïîëíèòåëüíûõ ê
(l − n+ 2) íóëåâûõ ÕÏ.
2. Äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, êîãäà öåíòð òÿæåñòè íàõîäèòñÿ â
ãëàâíîé ïëîñêîñòè èíåðöèè.  ñëó÷àå y0 = 0 óðàâíåíèÿ Ýéëåðà�Ïóàññîíà (1) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå îáðàòèìîé ñèñòåìû (2) ñ l = 4, n = 2 è âåêòîðàìè u = (p, q, γ1, γ3)
T ,
v = (q, γ2)
T ; T � òðàíñïîíèðîâàíèå. Êëàññè÷åñêèå èíòåãðàëû ñòàíîâÿòñÿ ñèììåòðè÷íû-
ìè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîãî ìíîæåñòâà My. Â îêðåñòíîñòè ëþáîãî ÑÏÄ ëèíåéíîå
ïðèáëèæåíèå èíòåãðàëîâ èìååò âèä (7).
Òåîðåìà 5.  ñëó÷àå y0 = 0 ëþáîå ÑÏÄ çàäà÷è èìååò äâà ïðîñòûõ íóëåâûõ ÕÏ,
äâà íóëåâûõ ÕÏ, îáðàçóþùèõ æîðäàíîâó êëåòêó, à îñòàâøèåñÿ äâà ÕÏ âû÷èñëÿþòñÿ
ïîñòðîåíèåì òîëüêî äâóõ ðåøåíèé çàäà÷è Êîøè.
Äàííûé âûâîä ñëåäóåò èç òåîðåì 1,2. Èçâåñòíûå ÑÏÄ îïèñàíû â [2], ÕÏ äëÿ ÑÏÄ
âû÷èñëÿëèñü â [5-12]. Ïðè îòñóòñòâèè âûðîæäåíèÿ äâà ÕÏ íå ðàâíû íóëþ [5-12]. Òåî-
ðåìà 1 èñïîëüçîâàëàñü â ðàáîòàõ [5-7, 11].
6
Î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëÿõ
Ôîðìóëèðîâêà òåîðåìû 5 ïðèâåäåíà â âèäå, óäîáíîì äëÿ ÷èñëåííîãî âû÷èñëåíèÿ
ÕÏ. Óêàæåì, ÷òî ïðè íàäëåæàùåì ëèíåéíîì ïðåîáðàçîâàíèè âåêòîðà δv â ñèñòåìå
(2) äëÿ íàõîæäåíèÿ îñòàâøèõñÿ äâóõ ÕÏ äîñòàòî÷íî ïîñòðîèòü òîëüêî îäíî ðåøåíèå
çàäà÷è Êîøè.
Áåç êàêèõ-ëèáî äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ìîìåíòû èíåðöèè è òî÷êó êðåï-
ëåíèÿ òåëà ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ Ìëîäçèåâñêîãî [17]
Bq̇ = P (x0γ3 − z0γ1), γ̇1 = −γ3, γ̇3 = qγ1,
p = r = 0, γ2 = 0
(14)
ïðåäñòàâëÿþò íàèáîëåå ïðîñòîå ÑÏÄ. ÕÏ äëÿ ðåøåíèÿ (14) âû÷èñëÿëèñü â [7]. Îêàçà-
ëîñü (èññëåäîâàëèñü âðàùåíèÿ), ÷òî â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ âûðîæäåíèÿ äâà ÕÏ îòëè÷íû
îò íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 6.  ñëó÷àå y0 = 0, ïðè îòñóòñòâèè äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé íà ìî-
ìåíòû èíåðöèè è òî÷êó êðåïëåíèÿ òåëà, íå ñóùåñòâóåò äîïîëíèòåëüíîãî ê êëàññè÷åñêèì
ãëàäêîãî ñèììåòðè÷íîãî èíòåãðàëà.
Íàêîíåö, ïîñëåäíèé âûâîä îáîáùàåò íà ëþáîå ÑÏÄ ðåçóëüòàò [5, 6], ïîëó÷åííûé
âïåðâûå äëÿ ïðåöåññèé Ãðèîëè. Ïðèìåíÿÿ òåîðåìó 4, èìååì:
Òåîðåìà 7. Ïðè ôèêñèðîâàííûõ A,B,C, x0, z0 â òèïè÷íîì ñëó÷àå ÑÏÄ çàäà÷è Ýé-
ëåðà ñ y0 = 0 îáðàçóþò äâóõïàðàìåòðè÷åñêîå îò h è σ ñåìåéñòâî.
 ñàìîì äåëå, ïîíÿòíî, ÷òî äâà ïðîñòûõ ÕÏ ñâÿçàíû ñ èíòåãðàëàìè êèíåòè÷åñêîãî
ìîìåíòà è ãåîìåòðè÷åñêèì; â îêðåñòíîñòè ÑÏÄ ïîëó÷èì ëèíåéíûå èíòåãðàëû âèäà
(7). Ýòè èíòåãðàëû äàþò îäèí ïàðàìåòð σ. Äðóãîé ïàðàìåòð h äàåò èíòåãðàë ýíåðãèè è
ñâÿçàííàÿ ñ íèì ïàðà íóëåâûõ ÕÏ ñ æîðäàíîâîé êëåòêîé; è ýòîò èíòåãðàë â îêðåñòíîñòè
ÑÏÄ òàêæå èìååò âèä (7).
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (03-01-00052) è ïðîãðàììû
�Ãîñóäàðñòâåííàÿ ïîääåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë� (ÍØ- 2000.2003.01).
1. Òõàé Â.Í.Îáðàòèìîñòü ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1991. � 55, âûï.4.
� Ñ.578-586.
2. Ãîðð Ã.Â., Êóäðÿøîâà Ë.À., Ñòåïàíîâà Ë.À. Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ðàç-
âèòèå è ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. � 296 ñ.
3. Áðþì À.Ç. Èññëåäîâàíèå ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé
ïåðâûì ìåòîäîì Ëÿïóíîâà// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1987. � Âûï.19. � Ñ.68-72.
4. Âàðõàëåâ Þ.Ï., Ãîðð Ã.Â. Ïåðâûé ìåòîä Ëÿïóíîâà â èññëåäîâàíèè àñèìïòîòè÷åñêèõ äâèæåíèé â
äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà// Òàì æå. � 1992. � Âûï.24. � Ñ.25-41.
5. Òõàé Â.Í. Îá óñòîé÷èâîñòè ðåãóëÿðíûõ ïðåöåññèé Ãðèîëè// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. �
2000. � 64, âûï.5. � Ñ.848-857.
6. Òõàé Â.Í. Ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé, áëèçêèå
ê ðåãóëÿðíûì ïðåöåññèÿì Ãðèîëè// Çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ.
� Ì.: ÂÖ ÐÀÍ, 2000. � ×.1. � Ñ.60-67.
7. Òõàé Â.Í., Øâûãèí À.Ë.Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèé âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè òÿæåëîãî òâåðäîãî
òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé// Òàì æå. � ×. 2. � Ñ.149-160.
8. Ìàðêååâ À.Ï. Î ðåãóëÿðíîé ïðåöåññèè íåñèììåòðè÷íîãî ãèðîñêîïà (ñëó÷àé Ãðèîëè)// Äîêë. ÐÀÍ.
� 2002. � 387, � 3. � Ñ.338-342.
9. Ìàðêååâ À.Ï. Àëãîðèòì íîðìàëèçàöèè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû â çàäà÷å îá îðáèòàëüíîé óñòîé÷è-
âîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé// Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2002. � 66, âûï.6. � Ñ.929-938.
10. Ìàðêååâ À.Ï. Îá óñòîé÷èâîñòè ïðåöåññèé Ãðèîëè// Òàì æå. � 2003. � 67, âûï.4. � Ñ.557-572.
11. Ãàøåíåíêî È.Í., Êó÷åð Å.Þ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé óðàâíåíèé
Ýéëåðà-Ïóàññîíà// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2002. � Âûï.32. � Ñ.50-59.
7
Â.Í. Òõàé
12. Êó÷åð Å.Þ. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ïåðèîäè÷åñêèõ ðåøåíèé Ñòåêëîâà è ×àïëûãèíà//
Òàì æå. � 2003. � Âûï.33. � Ñ.33-39.
13. Òõàé Â.Í. Îáðàòèìûå ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû// Íåëèíåéíàÿ ìåõàíèêà. � Ì.: ÔÈÇÌÀÒËÈÒ, 2001.
� C.131-146.
14. Òõàé Â.Í. Íåëèíåéíûå êîëåáàíèÿ îáðàòèìûõ ñèñòåì // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1995. �
59, âûï.1. � Ñ.38-50.
15. Ïóàíêàðå À. Íîâûå ìåòîäû íåáåñíîé ìåõàíèêè. � Èçáð. òðóäû. Â 3-õ ò. � Ì.: Íàóêà, 1971. � Ò.1.�
771 ñ.
16. Òõàé Â.Í. Ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû, áëèçêîé ê îáðàòèìîé ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìå// Ïðè-
êë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 2001. � 65, âûï.4. � Ñ.661-680.
17. Ìëîäçèåâñêèé Á.Ê. Î ïåðìàíåíòíûõ îñÿõ â äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé
òî÷êè// Òð. îòä. ôèç. íàóê î-âà ëþáèò. åñòåñòâ., àíòðîïîë. è ýòíîãðàô. � 1894. � 7, âûï.1. � Ñ.46-48.
Èí-ò ïðîáëåì óïðàâëåíèÿ ÐÀÍ, Ìîñêâà, Ðîññèÿ
tkhai@ccas.ru
Ïîëó÷åíî 30.08.2004
8
|