Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле
Для вполне интегрируемой системы с гремя степенями свободы, описывающей движение твердого гола в двойном си-новом иоле, подчиненного условиям типа Ковалевской (А = В = 2С. центры оснащенности лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции), найдено множество критических точек интегрального отоб...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123738 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 47-58. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123738 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237382017-09-10T03:03:37Z Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле Харламов, М.П. Для вполне интегрируемой системы с гремя степенями свободы, описывающей движение твердого гола в двойном си-новом иоле, подчиненного условиям типа Ковалевской (А = В = 2С. центры оснащенности лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции), найдено множество критических точек интегрального отображения, порожденного гремя интегралами в инволюции. Оно состоит из инвариантных подмножеств, на которых индуцированная динамическая система почти всюду гамильтонова с двумя степенями свободы. Критическому множеству сопоставлен его образ - бифуркационная диаграмма в пространстве консгант первых интегралов, которая лежит в объединении грех поверхностей. Две из них заданы явными уравнениями, а последняя - параметрическими, в которых роль параметров играю! постоянная одного из общих интегралов и кратный корень многочлена, обобщающего резольвенту Эйлера второго многочлена Ковалевской. Проведена аналогия с классами Аппельрота в задаче о движении волчка Ковалевской виоле силы тяжести. 2004 Article Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 47-58. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123738 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Для вполне интегрируемой системы с гремя степенями свободы, описывающей движение твердого гола в двойном си-новом иоле, подчиненного условиям типа Ковалевской (А = В = 2С. центры оснащенности лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции), найдено множество критических точек интегрального отображения, порожденного гремя интегралами в инволюции. Оно состоит из инвариантных подмножеств, на которых индуцированная динамическая система почти всюду гамильтонова с двумя степенями свободы. Критическому множеству сопоставлен его образ - бифуркационная диаграмма в пространстве консгант первых интегралов, которая лежит в объединении грех поверхностей. Две из них заданы явными уравнениями, а последняя - параметрическими, в которых роль параметров играю! постоянная одного из общих интегралов и кратный корень многочлена, обобщающего резольвенту Эйлера второго многочлена Ковалевской. Проведена аналогия с классами Аппельрота в задаче о движении волчка Ковалевской виоле силы тяжести. |
| format |
Article |
| author |
Харламов, М.П. |
| spellingShingle |
Харламов, М.П. Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Харламов, М.П. |
| author_sort |
Харламов, М.П. |
| title |
Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_short |
Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_full |
Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_fullStr |
Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_full_unstemmed |
Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_sort |
критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка ковалевской в двойном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123738 |
| citation_txt |
Критическое множество и бифуркационная диаграмма задачи о движении волчка Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 47-58. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp kritičeskoemnožestvoibifurkacionnaâdiagrammazadačiodviženiivolčkakovalevskojvdvojnompole |
| first_indexed |
2025-07-09T00:10:14Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:10:14Z |
| _version_ |
1837125930130079744 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. Ì.Ï. Õàðëàìîâ
ÊÐÈÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÍÎÆÅÑÒÂÎ È ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÎÍÍÀß ÄÈÀÃÐÀÌÌÀ
ÇÀÄÀ×È Î ÄÂÈÆÅÍÈÈ ÂÎË×ÊÀ ÊÎÂÀËÅÂÑÊÎÉ
 ÄÂÎÉÍÎÌ ÏÎËÅ
Äëÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà
â äâîéíîì ñèëîâîì ïîëå, ïîä÷èíåííîãî óñëîâèÿì òèïà Êîâàëåâñêîé (A = B = 2C, öåíòðû îñíàùåííî-
ñòè ëåæàò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè), íàéäåíî ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê
èíòåãðàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïîðîæäåííîãî òðåìÿ èíòåãðàëàìè â èíâîëþöèè. Îíî ñîñòîèò èç èíâàðè-
àíòíûõ ïîäìíîæåñòâ, íà êîòîðûõ èíäóöèðîâàííàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà ïî÷òè âñþäó ãàìèëüòîíîâà
ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Êðèòè÷åñêîìó ìíîæåñòâó ñîïîñòàâëåí åãî îáðàç � áèôóðêàöèîííàÿ äèà-
ãðàììà â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, êîòîðàÿ ëåæèò â îáúåäèíåíèè òðåõ ïîâåðõíîñòåé.
Äâå èç íèõ çàäàíû ÿâíûìè óðàâíåíèÿìè, à ïîñëåäíÿÿ � ïàðàìåòðè÷åñêèìè, â êîòîðûõ ðîëü ïàðàìåòðîâ
èãðàþò ïîñòîÿííàÿ îäíîãî èç îáùèõ èíòåãðàëîâ è êðàòíûé êîðåíü ìíîãî÷ëåíà, îáîáùàþùåãî ðåçîëü-
âåíòó Ýéëåðà âòîðîãî ìíîãî÷ëåíà Êîâàëåâñêîé. Ïðîâåäåíà àíàëîãèÿ ñ êëàññàìè Àïïåëüðîòà â çàäà÷å
î äâèæåíèè âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè.
Ââåäåíèå. Ðàññìàòðèâàåòñÿ òâåðäîå òåëî ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé O â ïîòåíöèàëü-
íîì ïîëå, ïîðîæäàþùåì ìîìåíò ñèë îòíîñèòåëüíî O âèäà
e1 ×α + e2 × β, (1)
ãäå âåêòîðû e1, e2 ôèêñèðîâàíû â òåëå, à α, β � íåèçìåííû â ïðîñòðàíñòâå. Ïîëàãàåì,
÷òî e1, e2 � ýòî îðòû â ñîñòàâå ãëàâíûõ îñåé òåíçîðà èíåðöèè â íåïîäâèæíîé òî÷êå,
âûáðàííûõ â êà÷åñòâå ïîäâèæíîé ñèñòåìû îòñ÷åòà, à ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñâÿ-
çàíû ñîîòíîøåíèåì Êîâàëåâñêîé A = B = 2C. Ïåðåõîäÿ ê áåçðàçìåðíûì âåëè÷èíàì,
çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ïîäâèæíûõ îñÿõ:
2ω·
1 = ω2ω3 + β3, 2ω·
2 = −ω1ω3 − α3, ω·
3 = α2 − β1,
α·
1 = α2ω3 − α3ω2, β·
1 = β2ω3 − β3ω2.
(2)
Çäåñü ω1, ω2, ω3 � êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè, ñìûñë îñòàëüíûõ îáîçíà÷åíèé î÷åâè-
äåí. Íåâûïèñàííûå óðàâíåíèÿ âòîðîé ãðóïïû ïîëó÷àþòñÿ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêîé
èíäåêñîâ.
Ìîìåíò (1) èíâàðèàíòåí îòíîñèòåëüíî ïîäñòàíîâêè(
e1
e2
)
7→ Θ
(
e1
e2
)
,
(
α
β
)
7→ Θ
(
α
β
)
,
ãäå Θ ∈ SO(2) � ïîñòîÿííàÿ ìàòðèöà. Ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ ñâîéñòâî îðòîíîðìèðîâàí-
íîñòè ïàðû e1, e2 â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè, òî åñòü ýòè âåêòî-
ðû ïî-ïðåæíåìó âêëþ÷àþòñÿ â ïîäâèæíóþ ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñîñòàâëåííóþ èç ãëàâíûõ
îñåé òåíçîðà èíåðöèè. Â òî æå âðåìÿ, ïðîèçâîëîì â âûáîðå Θ ìîæíî ðàñïîðÿäèòüñÿ
òàê, ÷òîáû âåêòîðû α, β îêàçàëèñü âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíû.
Ñëåäîâàòåëüíî, áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû ñèñòåìû (2)
ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
α2
1 + α2
2 + α2
3 = a2, β2
1 + β2
2 + β2
3 = b2,
α1β1 + α2β2 + α3β3 = 0.
(3)
47
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
Ïðè a = b çàäà÷à (2), (3) îáëàäàåò öèêëè÷åñêèì èíòåãðàëîì [8] è ñâîäèòñÿ îáû÷íîé
ïðîöåäóðîé ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Â äàëüíåéøåì ðàñ-
ñìàòðèâàåòñÿ îáùèé ñëó÷àé, â êîòîðîì a 6= b. Íàïðàâëåíèÿ îñåé äëÿ îïðåäåëåííîñòè
âûáèðàåì òàê, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî
a > b. (4)
Èçâåñòíî [7], ÷òî â ýòîì ïðåäïîëîæåíèè óðàâíåíèÿ (2) îïèñûâàþò âïîëíå èíòåãðè-
ðóåìóþ ãàìèëüòîíîâó ñèñòåìó ñ ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì P 6, äèôôåîìîðôíûì TSO(3)
(â äàííîì ñëó÷àå îíî çàäàíî â R9(ω, α, β) ñîîòíîøåíèÿìè (3)), íî îíà ãëîáàëüíî íå
ñâîäèìà, â îòëè÷èå îò çàäà÷ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà ñ îñåñèììåòðè÷íûì ïîòåíöèà-
ëîì, ê ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ñèñòåìó (2) ñ óñëîâèÿìè (3), (4) íèæå, äëÿ
êðàòêîñòè, íàçûâàåì îáîáùåííûì âîë÷êîì Êîâàëåâñêîé.
Ïîëíûé èíâîëþòèâíûé íàáîð èíòåãðàëîâ ñèñòåìû (2) íà P 6 ñîñòàâëÿþò ôóíêöèè:
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − (α1 + β2),
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1 − β2)
2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)
2,
G =
1
4
(2α1ω1 + 2α2ω2 + α3ω3)
2 +
1
4
(2β1ω1 + 2β2ω2 + β3ω3)
2+
+
1
2
ω3(2γ1ω1 + 2γ2ω2 + γ3ω3)− α1b
2 − β2a
2.
(5)
Çäåñü ÷åðåç γi îáîçíà÷åíû êîìïîíåíòû â ïîäâèæíûõ îñÿõ ïîñòîÿííîãî â èíåðöèàëüíîé
ñèñòåìå âåêòîðà γ = α× β.
Èíòåãðàë K âïåðâûå óêàçàí â ðàáîòå [2], à èíòåãðàë G (â áîëåå îáùåé ôîðìå äëÿ
çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà) � â ðàáîòå [7].  [7] òàêæå íàìå÷åí ïóòü ïîñòðîåíèÿ
àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ äëÿ îáîáùåííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé, îñíîâàííûé íà ìåòî-
äå êîíå÷íîçîííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ, äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè òàê è íå ðåàëèçîâàííûé.
Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç çàäà÷è â öåëîì òàêæå íå ïðîâîäèëñÿ.
Ðàññìîòðèì èíòåãðàëüíîå îòîáðàæåíèå
I = H ×K ×G : P 6 → R3. (6)
Äàëåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé (5) (ïîñòîÿííûå èíòåãðàëîâ) îáîçíà÷àåì ñîîòâåòñòâóþ-
ùèìè ñòðî÷íûìè áóêâàìè, à çíà÷åíèå îòîáðàæåíèÿ (6), äëÿ êðàòêîñòè, � ÷åðåç c, òàê
÷òî c = (h, k, g).
Òîïîëîãè÷åñêèé àíàëèç ïðåäïîëàãàåò îïèñàíèå ñëîåíèÿ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà íà
èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ
Ic = I−1(c) (7)
(èëè, â áîëåå òîíêîé ïîñòàíîâêå, îïèñàíèå ñåìåéñòâ èõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò � òîðîâ
Ëèóâèëëÿ è èõ âûðîæäåíèé).
Îáîçíà÷èì ÷åðåç σ ⊂ P 6 ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (6), à ÷åðåç
Σ � áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó, òî åñòü ìíîæåñòâî òî÷åê c ∈ R3, íàä êîòîðûìè îòîá-
ðàæåíèå (6) íå ÿâëÿåòñÿ ëîêàëüíî-òðèâèàëüíûì.
 ñëó÷àå c /∈ Σ ìíîãîîáðàçèå (7) åñòü îáúåäèíåíèå òðåõìåðíûõ òîðîâ, òðàåêòîðèè íà
êîòîðûõ óñëîâíî-ïåðèîäè÷åñêèå. Èõ áèôóðêàöèè ïðîèñõîäÿò ïðè âîçíèêíîâåíèè êðè-
òè÷åñêèõ äâèæåíèé � òðàåêòîðèé, öåëèêîì ëåæàùèõ â σ.  êðèòè÷åñêîì ñëó÷àå îáùåãî
48
Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå
ïîëîæåíèÿ äëÿ òî÷êè c ∈ Σ ìíîæåñòâî Ic ∩ σ áóäåò ñîñòîÿòü èç äâóìåðíûõ òîðîâ, à íà
îáúåäèíåíèè ñåìåéñòâà òàêèõ òîðîâ, ïàðàìåòðèçîâàííîãî òî÷êîé íåêîòîðîãî îòêðûòîãî
ïîäìíîæåñòâà Σ, èíäóöèðîâàííàÿ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà áóäåò ãàìèëüòîíîâîé ñ äâóìÿ
ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Íàõîæäåíèå êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà σ (è ñîîòâåòñòâóþùåé áèôóðêàöèîííîé äèà-
ãðàììû), èññëåäîâàíèå èíäóöèðîâàííîé íà íåì äèíàìèêè è âîçíèêàþùèõ ñëîåíèé íà
äâóìåðíûå òîðû Ëèóâèëëÿ ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûì ýòàïîì òîïîëîãè÷åñêîãî àíàëèçà
çàäà÷è â öåëîì.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ìíîæåñòâî σ íàéäåíî â âèäå îáúåäèíåíèÿ òðåõ ïîâåðõíîñòåé,
êàæäàÿ èç êîòîðûõ èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ôàçîâîãî ïîòîêà (2), ïî÷òè âñþäó ÿâ-
ëÿåòñÿ ãëàäêèì ÷åòûðåõìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì, íà êîòîðîì èíäóöèðîâàííàÿ ñèñòåìà
ãàìèëüòîíîâà. Íàéäåíû è óðàâíåíèÿ áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (6).
1. Íåêîòîðûå îñîáûå äâèæåíèÿ.  êëàññè÷åñêèõ çàäà÷àõ äèíàìèêè òâåðäîãî òå-
ëà îñîáóþ ðîëü èãðàþò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ è ðàâíîìåðíûå
âðàùåíèÿ (ñîîòâåòñòâóþùèå òðàåêòîðèè âñåãäà ëåæàò â ìíîæåñòâå òî÷åê çàâèñèìîñòè
ïåðâûõ èíòåãðàëîâ). Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî â äàííîé çàäà÷å ðàâíîìåðíûõ
âðàùåíèé íå ñóùåñòâóåò. Óêàçàííàÿ âûøå âîçìîæíîñòü îðòîãîíàëèçàöèè îñåé ñèëîâûõ
ïîëåé ñðàçó æå âûÿâëÿåò ñåìåéñòâà ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé � ìîìåíò âíåøíèõ ñèë áó-
äåò íàïðàâëåí ïî ïîñòîÿííîé â ïðîñòðàíñòâå îñè âðàùåíèÿ òåëà â ñëåäóþùèõ ñëó÷àÿõ:
α ≡ ±ae1, ω = ϕ·e1, β = b(e2 cos ϕ− e3 sin ϕ),
2ϕ·· = −b sin ϕ;
(8)
β ≡ ±be2, ω = ϕ·e2, α = a(e1 cos ϕ + e3 sin ϕ),
2ϕ·· = −a sin ϕ;
(9)
γ ≡ ±abe3, ω = ϕ·e3,
α = a(e1 cos ϕ− e2 sin ϕ), β = ±b(e1 sin ϕ + e2 cos ϕ),
ϕ·· = −(a± b) sin ϕ.
(10)
Îáùèìè äëÿ ðåøåíèé (8) - (10) ÿâëÿþòñÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ
α ≡ ±ae1, β ≡ ±be2, ω ≡ 0 (11)
(çäåñü êîìáèíàöèÿ çíàêîâ ïðîèçâîëüíà). Èç óðàâíåíèé (2), (3) ñëåäóåò, ÷òî, êðîìå ÷å-
òûðåõ òî÷åê (11), äðóãèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ â äàííîé çàäà÷å íåò (â [5] îøèáî÷íî
óêàçàíî, ÷òî ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ äâà).
 òî÷êàõ òðàåêòîðèé (8), (9) ðàíã îòîáðàæåíèÿ (6) ðàâåí åäèíèöå, òî åñòü ãðàäè-
åíòû âñåõ òðåõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ (5) êîëëèíåàðíû. Îòìåòèì, ÷òî, êðîìå ýòèõ òî÷åê è
êðèòè÷åñêèõ òî÷åê ñàìîé ôóíêöèè K, äðóãèõ ñëó÷àåâ çàâèñèìîñòè äâóõ ôóíêöèé H è
K íåò. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè â íåêîòîðîé òî÷êå ïðîñòðàíñòâà P 6 äèôôåðåíöèàëû dH, dK
ëèíåéíî çàâèñèìû è ïðè ýòîì dK 6= 0, òî íà òðàåêòîðèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ýòó òî÷êó,
∂H/∂ω3 = ω3 ≡ 0 (ôóíêöèÿ K íå çàâèñèò îò ω3). Äèôôåðåíöèðóÿ ýòî ñîîòíîøåíèå â
ñèëó ñèñòåìû (2), ïðèäåì ê ìàÿòíèêîâûì äâèæåíèÿì âèäà (8) èëè (9).
2. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî. Ê íàñòîÿùåìó ìîìåíòó èçâåñòíû äâà ÷åòûðåõìåð-
íûõ ìíîãîîáðàçèÿ, âõîäÿùèõ â ñîñòàâ ìíîæåñòâà σ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (6),
íà êîòîðûõ äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà (2) ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó ãàìèëüòîíîâîé ñ äâóìÿ ñòå-
ïåíÿìè ñâîáîäû. Ïåðâîå óêàçàíî â [2] � ýòî ìíîæåñòâî íóëåâîãî óðîâíÿ íàéäåííîãî â [2]
49
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
èíòåãðàëà K. Óñëîâèå K = 0, î÷åâèäíî, çàïèñûâàåòñÿ äâóìÿ íåçàâèñèìûìè óðàâíåíè-
ÿìè, è îïðåäåëÿåìîå èìè ìíîãîîáðàçèå M4 ⊂ σ âñþäó ãëàäêîå. Îäíàêî, êàê ïîêàçàíî â
[9], 2-ôîðìà, èíäóöèðîâàííàÿ íà M4 ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé ôàçîâîãî ïðîñòðàí-
ñòâà P 6, íåâûðîæäåíà ëèøü ïî÷òè âñþäó. Äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû òàêîãî ðîäà àâòîð [9]
íàçâàë ïî÷òè ãàìèëüòîíîâûìè.
Âòîðîå êðèòè÷åñêîå ìíîãîîáðàçèå N4 ⊂ σ íàéäåíî â [5] è òàêæå îïðåäåëåíî ñè-
ñòåìîé äâóõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé, íî âõîäÿùèå â ýòè óðàâíåíèÿ ôóíêöèè èìåþò
íåóñòðàíèìûå îñîáåííîñòè â òî÷êàõ, çàäàííûõ óñëîâèåì
α1 = β2, α2 = −β1. (12)
Êàê ïîêàçàíî â [6], N4 ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íóëåâîãî óðîâ-
íÿ íåêîòîðîé ãëàäêîé ôóíêöèè íà P 6, âûðàæàþùåéñÿ ÷åðåç èíòåãðàëû (5), è òåðÿåò
ñòðóêòóðó ãëàäêîãî ÷åòûðåõìåðíîãî ìíîãîîáðàçèÿ â îïðåäåëåííûõ òî÷êàõ âèäà (12).
 ÷àñòíîñòè, åãî íåëüçÿ ãëîáàëüíî çàäàòü ñèñòåìîé äâóõ íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèé. È â
ýòîì ñëó÷àå èíäóöèðîâàííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ëèøü ïî÷òè ãàìèëüòîíîâîé â ãëàäêîé
÷àñòè N4.
Ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò çàâåðøàåò îïèñàíèå êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà, äîáàâëÿÿ ê
íåìó åùå îäíî èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî O4, ïî÷òè âñþäó ÿâëÿþùååñÿ ãëàäêèì ìíî-
ãîîáðàçèåì. Îòìåòèì, ÷òî ïîïàðíûå ïåðåñå÷åíèÿ ìíîæåñòâ M4, N4, O4 íå ïóñòû è ñî-
îòâåòñòâóþò áèôóðêàöèÿì êðèòè÷åñêèõ èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé âíóòðè èíäóöèðî-
âàííûõ ïî÷òè ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Îáîçíà÷èì
p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2;
ξ1 = α1 − β2, ξ2 = α2 + β1, η1 = α1 + β2, η2 = α2 − β1.
Òåîðåìà 1. Ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (6) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ
ïîäìíîæåñòâ:
1) ìíîæåñòâà M4, îïðåäåëåííîãî ñèñòåìîé óðàâíåíèé
Z1 = 0, Z2 = 0, (13)
ãäå
Z1 = ω2
1 − ω2
2 + ξ1, Z2 = 2ω1ω2 + ξ2; (14)
2) ìíîæåñòâà N4, îïðåäåëåííîãî ñèñòåìàìè óðàâíåíèé
F1 = 0, F2 = 0, ξ2
1 + ξ2
2 6= 0, (15)
ãäå
F1 = (ξ2
1 + ξ2
2)ω3 − 2[(ξ1ω1 + ξ2ω2)α3 + (ξ2ω1 − ξ1ω2)β3],
F2 = 2ξ1ξ2(ω
2
1 − ω2
2 + ξ1)− (ξ2
1 − ξ2
2)(2ω1ω2 + ξ2)
(16)
è
ξ1 = ξ2 = 0, α3 = ±r, β3 = 0, η2
1 + η2
2 = 2(p2 − r2),
(ω2
1 + ω2
2)(α3ω3 + η1ω1 + η2ω2) + r2ω1 = 0;
(17)
3) ìíîæåñòâà O4, îïðåäåëåííîãî ñèñòåìîé óðàâíåíèé
R1 = 0, R2 = 0, (18)
50
Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå
ãäå
R1 = (α3ω2 − β3ω1)ω3 + 2ξ1ω1ω2 − ξ2(ω
2
1 − ω2
2) + η2(ω
2
1 + ω2
2),
R2 = (α3ω1 + β3ω2)ω
2
3 + [α2
3 + β2
3 + ξ1(ω
2
1 − ω2
2) + 2ξ2ω1ω2+
+ η1(ω
2
1 + ω2
2)]ω3 + 2[ξ1(α3ω1 − β3ω2) + ξ2(α3ω2 + β3ω1)].
(19)
Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ óïðîùåíèÿ âûðàæåíèé óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíîé
çàìåíîé ïåðåìåííûõ [5], îáîáùàþùåé çàìåíó, ïðåäëîæåííóþ Ñ. Â. Êîâàëåâñêîé äëÿ
âîë÷êà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè [3]:
x1 = ξ1 + iξ2, x2 = ξ1 − iξ2,
y1 = η1 + iη2, y2 = η1 − iη2,
z1 = α3 + iβ3, z2 = α3 − iβ3,
w1 = ω1 + iω2, w2 = ω1 − iω2, w3 = ω3.
(20)
Îáîçíà÷àÿ øòðèõîì äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî it, çàïèøåì ñèñòåìó (2) â âèäå
x′
1 = −x1w3 + z1w1, x′
2 = x2w3 − z2w2,
y′1 = −y1w3 + z2w1, y′2 = y2w3 − z1w2,
2z′1 = x1w2 − y2w1, 2z′2 = −x2w1 + y1w2,
2w′
1 = −(w1w3 + z1), 2w′
2 = w2w3 + z2, 2w′
3 = y2 − y1.
(21)
Ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû (3) äàþò
z2
1 + x1y2 = r2, z2
2 + x2y1 = r2,
x1x2 + y1y2 + 2z1z2 = 2p2.
(22)
 ïåðåìåííûõ (20) ïåðâûå èíòåãðàëû (5) çàïèøóòñÿ òàê
H =
1
2
w2
3 + w1w2 −
1
2
(y1 + y2),
K = (w2
1 + x1)(w
2
2 + x2),
G =
1
4
(p2 − x1x2)w
2
3 +
1
2
(x2z1w1 + x1z2w2)w3+
+
1
4
(x2w1 + y1w2)(y2w1 + x1w2)−
1
4
p2(y1 + y2) +
1
4
r2(x1 + x2).
(23)
Âñþäó íèæå ïîä êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèé, åñëè íå îãîâîðåíî ïðîòèâíîå,
ïîäðàçóìåâàþòñÿ èõ êðèòè÷åñêèå òî÷êè íà P 6.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ôóíêöèé, âûðàæåí-
íûõ â ïåðåìåííûõ (20), íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü îãðàíè÷åíèÿ (22). Òî æå îòíîñèòñÿ è ê
ôèãóðèðóþùèì äàëåå äèôôåðåíöèàëàì.
1. Êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè K óäîâëåòâîðÿþò îäíîìó èç äâóõ óñëîâèé: ëèáî
w2
1 + x1 = 0, w2
2 + x2 = 0, (24)
ëèáî
w1 = w2 = 0, z1 = z2 = 0. (25)
Ñèñòåìà (24) ñîâïàäàåò ñ (13), à ìíîæåñòâî (25) ñîñòîèò èç òî÷åê òðàåêòîðèé (10),
êîòîðûå, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå (18). Ïîýòîìó äàëåå ðàññìàòðèâàåì òî÷êè,
íå ÿâëÿþùèåñÿ êðèòè÷åñêèìè äëÿ K.
51
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
2. Òî÷êè çàâèñèìîñòè H è K, êàê îòìå÷åíî âûøå, ñîñòîÿò èç òî÷åê òðàåêòîðèé
(8), (9), à îíè óäîâëåòâîðÿþò êàê îäíîé èç ñèñòåì (15), (17), òàê è ñèñòåìå (18). Äàëåå
ïîëàãàåì äèôôåðåíöèàëû ôóíêöèé H è K íåçàâèñèìûìè.
3. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ îñòàëüíûõ ñëó÷àåâ ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè äèôôåðåíöèàëîâ
ôóíêöèé (23) ââåäåì ôóíêöèþ ñ íåîïðåäåëåííûìè ìíîæèòåëÿìè Ëàãðàíæà τ, s:
L = 2G + (τ − p2)H + sK (26)
(â ñèëó ïðåäïîëîæåíèÿ î íåçàâèñèìîñòè H, K ìíîæèòåëü ïðè G ìîæåò áûòü âûáðàí
ëþáûì íåíóëåâûì, ñëàãàåìîå ñ p2 ââåäåíî äëÿ óäîáñòâà).
Ìíîæåñòâî σ0 ⊂ σ òî÷åê, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïðè êàêèõ-ëèáî τ, s óñëîâèþ
2dG + (τ − p2)dH + sdK = 0, (27)
èíâàðèàíòíî îòíîñèòåëüíî ôàçîâîãî ïîòîêà ñèñòåìû (21). Ïðèìåíÿÿ ê (27) ïðîèçâîä-
íóþ Ëè âäîëü ñîîòâåòñòâóþùåãî âåêòîðíîãî ïîëÿ, ïîëó÷èì
τ ′dH + s′dK = 0,
à òàê êàê H, K ïðåäïîëàãàþòñÿ íåçàâèñèìûìè, òî íà σ0
τ ′ = 0, s′ = 0, (28)
òî åñòü τ, s ÿâëÿþòñÿ ÷àñòíûìè èíòåãðàëàìè äâèæåíèÿ íà èíâàðèàíòíîé ïîâåðõíî-
ñòè σ0.
Âûïèøåì ÷àñòü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé, îòâå÷àþùèõ â (26) ÷àñòíûì ïðîèçâîäíûì
ïî w1, w2, w3 (ïðè ýòîì îãðàíè÷åíèÿ (22) ó÷èòûâàþòñÿ ëèøü ïîñëå âû÷èñëåíèÿ ïðîèç-
âîäíûõ):
x2z1w3 + x2y2w1 + (τ − z1z2)w2 + 2sw1(w
2
2 + x2) = 0,
x1z2w3 + (τ − z1z2)w1 + x1y1w2 + 2sw2(w
2
1 + x1) = 0,
(29)
(τ − x1x2)w3 + x2z1w1 + x1z2w2 = 0. (30)
Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé (12). Äëÿ ïåðåìåííûõ (20) èìååì èç (22)
x1 = x2 = 0, z2
1 = z2
2 = r2, y1y2 = 2(p2 − r2). (31)
Òàê êàê z1, z2 êîìïëåêñíî ñîïðÿæåíû, òî çäåñü îíè âåùåñòâåííû è ðàâíû ìåæäó
ñîáîé. Îáîçíà÷èì èõ îáùåå çíà÷åíèå ÷åðåç z = ±r.
Óðàâíåíèÿ (29)�(31) ñîâìåñòíû, åñëè w1w2 = 0 èëè w3 = 0. Âûïîëíåíèå êàêîãî-
ëèáî èç ýòèõ ðàâåíñòâ íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè (à òîãäà è òîæäåñòâåííî ïî t)
ïðèâîäèò ê îäíîìó èç óæå èçâåñòíûõ ðåøåíèé (8)�(10).
Ïóñòü ïðè óñëîâèè (31) w1w2 6= 0, w3 6= 0. Òîãäà èç (29), (30) íàõîäèì
τ = 0, s = r2/(2w1w2).
Ïîäñòàíîâêà ýòèõ çíà÷åíèé â óñëîâèÿ çàâèñèìîñòè äèôôåðåíöèàëà ôóíêöèè (26)
ïî âñåì äåâÿòè ïåðåìåííûì (20) è òàêèõ æå äèôôåðåíöèàëîâ ôóíêöèé, ñòîÿùèõ â
ëåâûõ ÷àñòÿõ ñîîòíîøåíèé (22), äàåò
w1w2[2zw3 + (w2y1 + w1y2)] + r2(w1 + w2) = 0. (32)
52
Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå
 èñõîäíûõ ôàçîâûõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ (31), (32) ïðèíèìàþò âèä (17). Èíòå-
ðåñíî îòìåòèòü, ÷òî ýòè æå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ ïðåäåëüíûì ïåðåõîäîì â ñèñòåìå
(15) ê íà÷àëó êîîðäèíàò íà ïëîñêîñòè ξ1ξ2 âäîëü ïðÿìûõ ξ1/ξ2 = const ëèøü ïîñëå
ñîêðàùåíèÿ íà ìàêñèìàëüíî âîçìîæíóþ ñòåïåíü âåëè÷èíû ρ =
√
ξ2
1 + ξ2
2 . Òàêèì îá-
ðàçîì, ñèñòåìà (15) áåç ïðåäïîëîæåíèÿ ρ 6= 0 èìååò â òî÷êàõ âèäà (12) ðåøåíèÿ, íå
ïðèíàäëåæàùèå σ.
Äàëåå ïîëàãàåì
x1x2 6= 0. (33)
Îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû (29) ïî τ, s ðàâåí δ = 2(x1w
2
2 − x2w
2
1). Åñëè ïðåäïîëîæèòü,
÷òî íà íåêîòîðîì âðåìåííîì èíòåðâàëå δ ≡ 0, òî ïîñëåäîâàòåëüíîå äèôôåðåíöèðîâàíèå
ýòîãî òîæäåñòâà â ñèëó óðàâíåíèé (21) ïðèâîäèò ê îäíîìó èç óæå îòìå÷åííûõ ñëó÷àåâ
(24), (25). Ïîýòîìó äàëåå ïîëàãàåì δ 6= 0. Òîãäà èç (29) íàõîäèì
s =
1
2(x1w2
2 − x2w2
1)
[(x2z1w1 − x1z2w2)w3 + x2y2w
2
1 − x1y1w
2
2], (34)
τ = z1z2 +
1
x1w2
2 − x2w2
1
{[x1x2(z2w1 − z1w2)− w1w2(x2z1w1 − x1z2w2)]w3− (35)
− w1w2(x2y2w
2
1 − x1y1w
2
2) + x1x2w1w2(y1 − y2)}.
Óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (30) è (35) ïî τ èìååò âèä
S1 = 0,
ãäå
S1 = [x1x2(z2w1 − z1w2)− w1w2(x2z1w1 − x1z2w2)]w
2
3+
+ [(x1x2 − z1z2)(x2w
2
1 − x1w
2
2)− w1w2(x2y2w
2
1 − x1y1w
2
2)+
+ x1x2w1w2(y1 − y2)]w3 − (x2w
2
1 − x1w
2
2)(x2z1w1 + x1z2w2).
Âûðàçèì τ èç (30) è, ñîãëàñíî (28), ïðèðàâíÿåì ê íóëþ ïðîèçâîäíóþ ïîëó÷åííîãî
âûðàæåíèÿ â ñèëó óðàâíåíèé (21). Ïîëó÷èì
S2 = 0,
ãäå
S2 = (x2z1w1 − x1z2w2)w
2
3 + (x2y2w
2
1 − x1y1w
2
2 + x2z
2
1 − x1z
2
2)w3−
− (y1 − y2)(x2z1w1 + x1z2w2).
Çàìåòèì, ÷òî
S1 + w1w2S2 = F1R,
ãäå
F1 = x1x2w3 − (x2z1w1 + x1z2w2)
åñòü âûðàæåíèå â ïåðåìåííûõ (20) ïåðâîé ôóíêöèè (16), à ôóíêöèÿ
R = (z2w1 − z1w2)w3 + x2w
2
1 − x1w
2
2 + w1w2(y1 − y2) (36)
ñâÿçàíà ñ ïåðâîé ôóíêöèåé (19) ðàâåíñòâîì R = 2iR1. Òàêèì îáðàçîì, íà òðàåêòîðèÿõ,
ñîñòîÿùèõ èç èñêîìûõ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê, äîëæíî áûòü ëèáî F1 ≡ 0, ëèáî R1 ≡ 0. Äèô-
ôåðåíöèðóÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ ïî âðåìåíè â ñèëó ñèñòåìû (2), ïðèõîäèì ê óðàâíåíèÿì
53
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
(15) è (18) ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, óêàçàííûå óðàâíåíèÿ ñëóæàò íåîáõîäèìûì
óñëîâèåì ïðèíàäëåæíîñòè òî÷êè ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà ìíîæåñòâó σ0.
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà äîñòàòî÷íîñòè ïðèâåäåì öåïî÷êó ðàññóæäåíèé äëÿ ñèñòåìû
(15) (ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìóëû èìåþòñÿ â [6]). Íà ìíîæåñòâå (33) ôóíêöèè (16) íåçà-
âèñèìû, ïîýòîìó îïðåäåëÿåìîå ñèñòåìîé (15) îòêðûòîå ïîäìíîæåñòâî N4
0 ⊂ N4 ÿâëÿ-
åòñÿ ãëàäêèì ÷åòûðåõìåðíûì ìíîãîîáðàçèåì. Âû÷èñëèì ñêîáêó Ïóàññîíà {F1, F2} è
óáåäèìñÿ, ÷òî ïî÷òè âñþäó íà N4
0 îíà îòëè÷íà îò íóëÿ. Ïîýòîìó 2-ôîðìà, èíäóöèðî-
âàííàÿ íà N4
0 èñõîäíîé ñèìïëåêòè÷åñêîé ñòðóêòóðîé, íåâûðîæäåíà âñþäó, çà èñêëþ-
÷åíèåì ïîäìíîæåñòâà {F1, F2} = 0 êîðàçìåðíîñòè îäèí. Ñëåäîâàòåëüíî, îãðàíè÷åíèå
äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû (2) íà N4
0 ïî÷òè âñþäó ÿâëÿåòñÿ ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé ñ äâó-
ìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îáëàäàþùåé äâóìÿ ïî÷òè âñþäó íåçàâèñèìûìè ïåðâûìè èíòå-
ãðàëàìè.  ÷àñòíîñòè, ðàçìåðíîñòü åå èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé íå ïðåâûøàåò äâóõ,
÷òî âîçìîæíî ëèøü íà ìíîæåñòâå êðèòè÷åñêèõ òî÷åê îòîáðàæåíèÿ (6). Àíàëîãè÷íûå
ðàññóæäåíèÿ ïðèìåíèìû è ê ñèñòåìå (18), îäíàêî âûêëàäêè âåñüìà ãðîìîçäêè. Ìû èõ
çäåñü íå ïðèâîäèì, ïîñêîëüêó íèæå áóäåò óêàçàíà ÿâíàÿ çàâèñèìîñòü ïåðâûõ èíòåãðà-
ëîâ (5) íà ìíîæåñòâå (18) â âèäå óðàâíåíèé áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû. �
Çàìå÷àíèå. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ ïî÷òè ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû íà èíâàðèàíòíîì
ìíîãîîáðàçèè M4, óêàçàííîì â [2], èçó÷åíà â ðàáîòå [9]. Ñèñòåìà èíâàðèàíòíûõ ñîîòíî-
øåíèé (15), íàéäåííàÿ â [5], âêëþ÷åíà â ãëîáàëüíî îïðåäåëåííîå èíâàðèàíòíîå ìíîæå-
ñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê N4 â ðàáîòå [6], ïðè ýòîì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íà N4 ðàçäåëåíû
è èñõîäíûå ôàçîâûå ïåðåìåííûå âûðàæåíû ÷åðåç äâå âñïîìîãàòåëüíûå ïåðåìåííûå, çà-
âèñèìîñòü êîòîðûõ îò âðåìåíè çàäàåòñÿ ýëëèïòè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè ßêîáè. Äâèæåíèÿ
íà M4 îáîáùàþò äâèæåíèÿ 1-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà (êëàññà Äåëîíå) çàäà÷è Êîâàëåâ-
ñêîé, à ïðåäåëüíûì ñëó÷àåì äâèæåíèé íà N4 ïðè β → 0, êàê ïîêàçàíî â [5], ÿâëÿþòñÿ
îñîáî çàìå÷àòåëüíûå äâèæåíèÿ 2-ãî è 3-ãî êëàññîâ Àïïåëüðîòà [1]. Ñèñòåìà (18) ðàíåå
íå îòìå÷àëàñü.
Óêàæåì êëàññè÷åñêèé àíàëîã êðèòè÷åñêîãî ìíîæåñòâà O4. Ïîëîæèì â îïðåäåëåíèè
ôóíêöèé (19) β = 0. Òîãäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïðè ýòîì ξ1 = η1 = α1, ξ2 = η2 = α2, ïîëó÷èì
R1 = 2`ω2, R2 = 2`(ω1ω3 + α3),
ãäå
2` = 2α1ω1 + 2α2ω2 + α3ω3
åñòü ïîñòîÿííàÿ èíòåãðàëà ïëîùàäåé, ñóùåñòâóþùåãî â ñëó÷àå íàëè÷èÿ ëèøü îäíîãî
ñèëîâîãî ïîëÿ.
Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ (18) áóäóò âûïîëíåíû ëèáî ïðè ` = 0, ëèáî íà ìíîæåñòâå
ω2 = 0, ω1ω3 + α3 = 0. (37)
Ïîÿâëåíèå óñëîâèÿ ` = 0 ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî ïðè β = 0 çíà÷åíèå èíòåãðàëà G
îáðàùàåòñÿ â `2. Óñëîâèÿ (37) îïðåäåëÿþò îñîáî çàìå÷àòåëüíûå äâèæåíèÿ 4-ãî êëàññà
Àïïåëüðîòà [1].
3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà. Ïîñêîëüêó âñå ñîâìåñòíûå óðîâíè (7) ïåðâûõ
èíòåãðàëîâ êîìïàêòíû, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì êðèòè-
÷åñêèõ çíà÷åíèé îòîáðàæåíèÿ (6): Σ = I(σ).
Ïîëîæèì γ = |α× β|. Â ñèëó (3) èìååì γ = ab.
54
Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå
Îáîçíà÷èì ÷åðåç ∆ îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äâèæåíèé � ìíîæåñòâî òî÷åê â ïðî-
ñòðàíñòâå êîíñòàíò ïåðâûõ èíòåãðàëîâ, äëÿ êîòîðûõ ìíîãîîáðàçèÿ (7) íå ïóñòû.
Òåîðåìà 2. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà èíòåãðàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ H × K × G
ñèñòåìû (2) ñîñòîèò èç ëåæàùèõ â ∆ òî÷åê ïîâåðõíîñòåé
Γ1 : k = 0; (38)
Γ2 : (2g − p2h)2 − r4k = 0; (39)
Γ3 :
h = s +
g
s2
− γ2
s3
k = p2 − 2g
s
+
γ2
s2
+
g2
s4
− 2gγ2
s5
+
γ4
s6
. (40)
 ïàðàìåòðè÷åñêîé çàïèñè ïîâåðõíîñòè Γ3 ïàðàìåòð s èãðàåò ðîëü êðàòíîãî êîðíÿ
ìíîãî÷ëåíà
Φ(s) = s4 − 2hs3 + (h2 + p2 − k)s2 − 2gs + γ2. (41)
Äîêàçàòåëüñòâî. 1. Óðàâíåíèå ïîâåðõíîñòè (38) ñðàçó æå ñëåäóåò èç (13), (14) è
ôîðìû èíòåãðàëà K.
2. Ââåäåì ôóíêöèþ
F = (p2H − 2G)2 − r4K.
Óðàâíåíèå åå íóëåâîãî óðîâíÿ ðàñïàäàåòñÿ íà äâà
p2H − 2G + r2
√
K = 0,
p2H − 2G− r2
√
K = 0.
(42)
Çäåñü çíà÷åíèå
√
K � àðèôìåòè÷åñêîå.
 ïåðåìåííûõ (20) ïðè óñëîâèè (33) ââåäåì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ôóíêöèè
U1 =
√
x2
x1
(w2
1 + x1), U2 =
√
x1
x2
(w2
2 + x2). (43)
Ëåâàÿ ÷àñòü ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (42) ïðèìåò âèä ñóììû êâàäðàòîâ âåùåñòâåííûõ
âåëè÷èí
F 2
1 + 2r2(Im U1)
2 = 0, (44)
à âòîðîãî � ðàçíîñòè êâàäðàòîâ
F 2
1 − 2r2(Re U1)
2 = 0. (45)
Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî (16), (43), èìååì
F2 = U2
1 − U2
2 = 4Im U1Re U1.
Ïîýòîìó ðåøåíèÿ ñèñòåìû (15) óäîâëåòâîðÿþò ëèáî (44), ëèáî (45), è, ñëåäîâàòåëü-
íî, ëåæàò íà íóëåâîì óðîâíå ôóíêöèè F , à ñîîòâåòñòâóþùèå ïîñòîÿííûå èíòåãðàëîâ
óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâó (39). Èç âûðàæåíèé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â âèäå (23) ïîëó÷èì,
÷òî ýòî æå ðàâåíñòâî âûïîëíåíî âî âñåõ òî÷êàõ ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà, ãäå x1x2 = 0
(íåçàâèñèìî îò ñâîéñòâà êðèòè÷íîñòè), à çíà÷èò, îíî âûïîëíÿåòñÿ è â òî÷êàõ (17).
55
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
3. Îáðàòèìñÿ ê ñèñòåìå (18). Â ïåðåìåííûõ (20) îíà ýêâèâàëåíòíà ñëåäóþùåé:
R = 0, R∗ = 0. (46)
Çäåñü R � ôóíêöèÿ (36), à
R∗ = (z2w1 + z1w2)w
2
3 + [x2w
2
1 + x1w
2
2 + w1w2(y1 + y2) + 2z1z2]w3+
+ 2(x2z1w1 + x1z2w2).
(47)
Çàìåòèì, ÷òî âîçìîæíîñòü z2
2w
2
1 − z2
1w
2
2 ≡ 0 ïðèâîäèò ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèé â
ñèëó óðàâíåíèé (21) ê óñëîâèÿì (25), òî åñòü ê îñîáûì äâèæåíèÿì (10). Ïîäñòàíîâêà
(25) â (22) äàåò
x1x2 = p2 − 2q, y1y2 = p2 + 2q, (x1 + x2)y1y2 = r2(y1 + y2)
(q = ±γ).
Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåãðàëîâ (23)
h =
1
2
w2
3 −
1
2
(y1 + y2), k = p2 − 2q, g = qh
óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèÿì (40) ïîâåðõíîñòè Γ3, åñëè â êà÷åñòâå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà s
âçÿòü êîðåíü óðàâíåíèÿ qs2−gs+q2 = 0. Íåîáõîäèìûå ïðè ýòîì óñëîâèÿ âåùåñòâåííîñòè
íà òðàåêòîðèÿõ (10) âûïîëíåíû.
Ðàññìàòðèâàÿ äàëåå ëèøü òàêèå òðàåêòîðèè, íà êîòîðûõ ðàâåíñòâà (25) íå âûïîë-
íÿþòñÿ òîæäåñòâåííî, ìîæåì âûðàçèòü w3 èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (46):
w3 = − 1
z2w1 − z1w2
[x2w
2
1 − x1w
2
2 + w1w2(y1 − y2)]. (48)
Ïîäñòàâèâ íàéäåííîå çíà÷åíèå â (z2w1−z1w2)
2R∗, ïîëó÷èì âûðàæåíèå 2w1w2Q (ðå-
çóëüòàíò (36), (47) ïî w3), ãäå Q � íåîäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí òðåòüåé ñòåïåíè ïî w1, w2,
êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî � ìíîãî÷ëåíû ñòåïåíè íå âûøå 4 ïî ïåðåìåííûì xi, yi, zi. Ïî-
ñêîëüêó âîçìîæíîñòü (25) óæå èñêëþ÷åíà èç ðàññìîòðåíèÿ, òî ñèñòåìà (18) çàìåíÿåòñÿ
íà óñëîâèå (48) è ðàâåíñòâî
Q = 0. (49)
Çíà÷åíèÿ (34), (35) óäîâëåòâîðÿþò â ñèëó (48), (49) ñëåäóþùèì òîæäåñòâàì
τ − p2 − 2s(s−H) = 0,
(τ − p2)2 + 4(p2 −K)s2 − 8Gs + (p4 − r4) = 0,
(τ − p2)(2s−H) + 2(p2 −K)s− 2G = 0.
(50)
Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü âû÷èñëåíèé òàêîâà. Ïîäñòàâëÿåì â ëåâóþ ÷àñòü ïðîâåðÿåìîãî
ðàâåíñòâà (50) çíà÷åíèÿ (23), (34), (35), (48) è äîìíîæàåì íà îáùèé çíàìåíàòåëü, âîç-
ìîæíîñòü îáðàùåíèÿ â íóëü êîòîðîãî óæå èçó÷åíà. Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå îêàçûâàåòñÿ
ïðîèçâåäåíèåì íåêîòîðîãî ìíîãî÷ëåíà îò ïåðåìåííûõ (20) íà ìíîãî÷ëåí Q, ðàâíûé íó-
ëþ â ñèëó (49).
Çàìåíÿÿ â (50) ôóíêöèè H, K, G èõ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè h, k, g è èñêëþ÷àÿ
τ ñ ïîìîùüþ ïåðâîãî ñîîòíîøåíèÿ, ïðèâåäåì äâà îñòàâøèõñÿ ê âèäó
Φ(s) = 0, dΦ(s)/ds = 0, (51)
56
Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå
ãäå Φ � ìíîãî÷ëåí (41). Ðàâåíñòâà (40) ðàâíîñèëüíû ñèñòåìå (51). �
Çàêëþ÷åíèå. Ðåçóëüòàòû äàííîé ðàáîòû ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé áàçó äëÿ äàëüíåéøå-
ãî èññëåäîâàíèÿ ôàçîâîé òîïîëîãèè âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ñèñòåìû ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè
ñâîáîäû, îïèñûâàþùåé äâèæåíèå âîë÷êà òèïà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ñèëîâîì ïîëå.
Îïûòà òàêîãî èññëåäîâàíèÿ ïîêà íåò. Âñå èíòåãðèðóåìûå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî
òåëà, ïîäâåðãàâøèåñÿ òîïîëîãè÷åñêîìó àíàëèçó, èìåëè îñåñèììåòðè÷íûé ïîòåíöèàë è
ñâîäèëèñü â öåëîì ê îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâî-
áîäû.
Çíàÿ êðèòè÷åñêèå ìíîãîîáðàçèÿ â ñîñòàâå èíòåãðàëüíûõ ïîâåðõíîñòåé, îòâå÷àþùèõ
áèôóðêàöèîííûì çíà÷åíèÿì (38)�(40), è õàðàêòåð îãðàíè÷åíèé îòîáðàæåíèÿ, êàñàòåëü-
íîãî ê (6), íà ïëîñêîñòè, òðàíñâåðñàëüíûå ê ìíîãîîáðàçèÿì M4, N4, O4, îïðåäåëåííûå,
íàïðèìåð, ãðàäèåíòàìè ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé (14), (16), (19), ìîæíî ïîëó÷èòü âñþ
èíôîðìàöèþ î êîëè÷åñòâå ñâÿçíûõ êîìïîíåíò (òðåõìåðíûõ òîðîâ Ëèóâèëëÿ) ðåãóëÿð-
íûõ óðîâíåé (7) è î òîïîëîãè÷åñêîì õàðàêòåðå ïðîèñõîäÿùèõ áèôóðêàöèé.
Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ ïðè β → 0 (r → p, γ → 0) íåïðåðûâíî äåôîðìèðóåò-
ñÿ â áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó çàäà÷è Êîâàëåâñêîé, íàéäåííóþ â [4].  òî æå âðåìÿ
ïðîñòðàíñòâåííûé âèä ïîâåðõíîñòè Γ3 ïðèíöèïèàëüíî áîëåå ñëîæåí, ÷åì â ïðåäåëüíîé
êëàññè÷åñêîé çàäà÷å.
Ôîðìà çàïèñè (40), ãäå ðîëü íåçàâèñèìîãî ïàðàìåòðà, íàðÿäó ñ s, èãðàåò ïîñòîÿí-
íàÿ îáùåãî èíòåãðàëà G, âûáðàíà äëÿ óäîáñòâà ñîïîñòàâëåíèÿ ñ ðåçóëüòàòàìè [4] äëÿ
âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Ïðè ýòîì ìíîãî÷ëåí (41) îáîáùàåò ðåçîëü-
âåíòó Ýéëåðà âòîðîãî ìíîãî÷ëåíà Êîâàëåâñêîé [3, 1]. Öåëåñîîáðàçíî èçó÷èòü ñå÷åíèÿ
Σh ìíîæåñòâà Σ ïëîñêîñòÿìè h = const, ïîñêîëüêó îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé áèôóð-
êàöèîííûå äèàãðàììû ñèñòåì (óæå íå èìåþùèõ ãàìèëüòîíîâîé ñòðóêòóðû), èíäóöè-
ðîâàííûõ íà ïÿòèìåðíûõ èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ E5
h ⊂ P 6. Ñàìà äèàãðàììà Σh
áóäåò êîìïàêòíûì îäíîìåðíûì ïîäìíîæåñòâîì ïëîñêîñòè ñ íåêîòîðîé ñîâîêóïíîñòüþ
îñîáûõ òî÷åê. Íàäñòðîéêà íàä îãðàíè÷åííîé åþ îáëàñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ äâèæåíèé
ñ çàäàííûì çíà÷åíèåì h, ïîëó÷åííàÿ ïóòåì ñîïîñòàâëåíèÿ îòäåëüíîé òî÷êè êàæäîé
ñâÿçíîé êîìïîíåíòå èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ, ïðåäñòàâèò ñîáîé "äâóìåðíûé" àíà-
ëîã ãðàôà Ôîìåíêî, èãðàþùåãî âàæíóþ ðîëü äëÿ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû.
Äëÿ çàäà÷è â öåëîì ìîæíî ñòàâèòü âîïðîñ îá èññëåäîâàíèè ñôåðè÷åñêèõ ìîëåêóë (åñëè
â ïðîñòðàíñòâå-îáðàçå îòîáðàæåíèÿ (6) âçÿòü ìàëóþ äâóìåðíóþ ñôåðó, âñþäó òðàíñ-
âåðñàëüíî ïåðåñåêàþùóþ ñòðàòû áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ, òî åå ïðîîáðàç â P 6
áóäåò ãëàäêèì êîìïàêòíûì ìíîãîîáðàçèåì ðàçìåðíîñòè 5, ðàññëîåííûì íà ñåìåéñòâà
òðåõìåðíûõ òîðîâ Ëèóâèëëÿ). Àïïàðàò äëÿ áîëåå äåòàëüíûõ èññëåäîâàíèé (òàêèõ, êàê
óñòàíîâëåíèå êëàññîâ ëèóâèëëåâîé ýêâèâàëåíòíîñòè ñèñòåì íà óðîâíÿõ E5
h èëè íà óïî-
ìÿíóòûõ ïðîîáðàçàõ ìàëûõ ñôåð) åùå íå ðàçðàáîòàí (âèäèìî, â ñèëó òîãî, ÷òî ðàíåå
îòñóòñòâîâàëè ñîäåðæàòåëüíûå ïðèìåðû).
Èìåÿ ÷åòêîå ïðåäñòàâëåíèå î âèäå ñå÷åíèé ïîâåðõíîñòè Σ, ïàðàëëåëüíûõ íåêîòîðîé
ïëîñêîñòè, ìîæíî îïðåäåëèòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äâèæåíèé: åñëè îáîçíà÷èòü ÷åðåç
Σ̃ ïîâåðõíîñòü, çàäàííóþ óðàâíåíèÿìè (38)�(40), òàê ÷òî Σ = Σ̃∩∆, òî â R3\Σ̃ íåîáõî-
äèìî îòáðîñèòü ñâÿçíûå êîìïîíåíòû, â êîòîðûõ ëèáî êîîðäèíàòà h íåîãðàíè÷åíà ñíèçó,
ëèáî êîîðäèíàòà k ìîæåò ïðèíèìàòü îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Äëÿ ïîâåðõíîñòåé Γ1, Γ2
òå èõ ÷àñòè, ãäå Ic 6= ∅, èçâåñòíû [9, 6]. Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ ïîâåðõíîñòü Γ3 òðåáóåò
äîïîëíèòåëüíîãî èññëåäîâàíèÿ.
57
Ì.Ï. Õàðëàìîâ
1. Àïïåëüðîò Ã.Ã. Íå âïîëíå ñèììåòðè÷íûå òÿæåëûå ãèðîñêîïû //  êí.: Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà
âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. � Ì.-Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1940. � Ñ. 61 �156.
2. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Äâà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà â ñèëîâîì ïîëå // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1984. � 275, � 6. � Ñ. 1359 � 1363.
3. Êîâàëåâñêàÿ Ñ.Â. Çàäà÷à î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè // Íàó÷. ðàáîòû. �
Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1948. � Ñ. 153 � 220.
4. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Áèôóðêàöèè ñîâìåñòíûõ óðîâíåé ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå Êîâàëåâñêîé //
Ïðèêë. ìàòåì. è ìåõàíèêà. � 1983. � 47, âûï. 6. � Ñ. 922 � 930.
5. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îäèí êëàññ ðåøåíèé ñ äâóìÿ èíâàðèàíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè çàäà÷è î äâèæåíèè
âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîñòîÿííîì ïîëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2002. � Âûï. 32. �
Ñ. 32 � 38.
6. Õàðëàìîâ Ì.Ï., Ñàâóøêèí À.Þ. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â îäíîé
÷àñòíîé çàäà÷å î äâèæåíèè îáîáùåííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé // Óêð. ìàò. âåñòíèê. � 2004. � 1,
âûï. 4. � Ñ. 548 � 565.
7. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax
pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys. � 1989. � 122, � 2. � P. 321 � 354.
8. Yehia H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Commun. � 1986. � 13,
� 3. � P. 169 � 172.
9. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Regular and chaotic dynamics.
� 2000. � 5, � 4. � P. 437�458.
Âîëãîãðàäñêàÿ àêàäåìèÿ ãîñóäàðñòâåííîé ñëóæáû, Ðîññèÿ
mharlamov@vags.ru
Ïîëó÷åíî 01.09.04
58
|