Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле
Рассматривается вполне интегрируемая гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение твердого тела в двойном силовом поле при условиях типа Ковалевской (А = В = 2С, центры оснащенности лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции). Найдено множество на плоскости независим...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123739 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов, Е.Г. Шведов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123739 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237392017-09-10T03:03:48Z Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле Харламов, М.П. Шведов, Е.Г. Рассматривается вполне интегрируемая гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение твердого тела в двойном силовом поле при условиях типа Ковалевской (А = В = 2С, центры оснащенности лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции). Найдено множество на плоскости независимых существенных параметров h (постоянная интеграла энергии) и γ (отношение скалярных характеристик действия силовых полей), при пересечении которого происходят перестройки бифуркационных диаграмм двух интегралов динамических систем, индуцированных на пятимерных компактных уровнях интеграла энергии. Приведены иллюстрации для классической задачи Ковалевской (γ = 0). 2004 Article Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов, Е.Г. Шведов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123739 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается вполне интегрируемая гамильтонова система с тремя степенями свободы, описывающая движение твердого тела в двойном силовом поле при условиях типа Ковалевской (А = В = 2С, центры оснащенности лежат в экваториальной плоскости эллипсоида инерции). Найдено множество на плоскости независимых существенных параметров h (постоянная интеграла энергии) и γ (отношение скалярных характеристик действия силовых полей), при пересечении которого происходят перестройки бифуркационных диаграмм двух интегралов динамических систем, индуцированных на пятимерных компактных уровнях интеграла энергии. Приведены иллюстрации для классической задачи Ковалевской (γ = 0). |
| format |
Article |
| author |
Харламов, М.П. Шведов, Е.Г. |
| spellingShingle |
Харламов, М.П. Шведов, Е.Г. Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Харламов, М.П. Шведов, Е.Г. |
| author_sort |
Харламов, М.П. |
| title |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_short |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_full |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_fullStr |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_full_unstemmed |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле |
| title_sort |
бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка ковалевской в двойном поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123739 |
| citation_txt |
Бифуркационные диаграммы на изоэнергетических уровнях волчка Ковалевской в двойном поле / М.П. Харламов, Е.Г. Шведов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 59-65. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT harlamovmp bifurkacionnyediagrammynaizoénergetičeskihurovnâhvolčkakovalevskojvdvojnompole AT švedoveg bifurkacionnyediagrammynaizoénergetičeskihurovnâhvolčkakovalevskojvdvojnompole |
| first_indexed |
2025-07-09T00:10:21Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:10:21Z |
| _version_ |
1837125936686825472 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. Ì.Ï. Õàðëàìîâ, Å.Ã. Øâåäîâ
ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÎÍÍÛÅ ÄÈÀÃÐÀÌÌÛ
ÍÀ ÈÇÎÝÍÅÐÃÅÒÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÎÂÍßÕ
ÂÎË×ÊÀ ÊÎÂÀËÅÂÑÊÎÉ Â ÄÂÎÉÍÎÌ ÏÎËÅ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìàÿ ãàìèëüòîíîâà ñèñòåìà ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îïèñûâàþ-
ùàÿ äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà â äâîéíîì ñèëîâîì ïîëå ïðè óñëîâèÿõ òèïà Êîâàëåâñêîé (A = B = 2C,
öåíòðû îñíàùåííîñòè ëåæàò â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè). Íàéäåíî ìíîæåñòâî íà
ïëîñêîñòè íåçàâèñèìûõ ñóùåñòâåííûõ ïàðàìåòðîâ h (ïîñòîÿííàÿ èíòåãðàëà ýíåðãèè) è γ (îòíîøåíèå
ñêàëÿðíûõ õàðàêòåðèñòèê äåéñòâèÿ ñèëîâûõ ïîëåé), ïðè ïåðåñå÷åíèè êîòîðîãî ïðîèñõîäÿò ïåðåñòðîéêè
áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì äâóõ èíòåãðàëîâ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì, èíäóöèðîâàííûõ íà ïÿòèìåðíûõ
êîìïàêòíûõ óðîâíÿõ èíòåãðàëà ýíåðãèè. Ïðèâåäåíû èëëþñòðàöèè äëÿ êëàññè÷åñêîé çàäà÷è Êîâàëåâ-
ñêîé (γ = 0).
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ñè-
ëîâîì ïîëå [1], çàïèñàííûå â ãëàâíûõ îñÿõ òåíçîðà èíåðöèè, ïîñëå ïåðåõîäà ê áåçðàç-
ìåðíûì ïåðåìåííûì èìåþò âèä
2ω·
1 = ω2ω3 + β3, 2ω·
2 = −ω1ω3 − α3, ω·
3 = α2 − β1,
α·
1 = α2ω3 − α3ω2, β·
1 = β2ω3 − β3ω2.
(1)
Çäåñü ωi, αi, βi (i = 1, 2, 3) � êîìïîíåíòû â ïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñîîòâåòñòâåííî,
óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà è ïîñòîÿííûõ â èíåðöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå âåêòîðîâ α, β, õà-
ðàêòåðèçóþùèõ íàïðàâëåíèå è èíòåíñèâíîñòü äåéñòâèÿ ñèëîâûõ ïîëåé. Íåâûïèñàííûå
óðàâíåíèÿ âòîðîé ãðóïïû ïîëó÷àþòñÿ öèêëè÷åñêîé ïåðåñòàíîâêîé èíäåêñîâ.
Ôàçîâûì ïðîñòðàíñòâîì ñèñòåìû (1) ñ÷èòàåì ìíîãîîáðàçèå P 6, êîòîðîå çàäàíî â
R9(ωi, αi, βi) ôèêñèðîâàííûìè çíà÷åíèÿìè ãåîìåòðè÷åñêèõ èíòåãðàëîâ. Òîãäà óðàâíå-
íèÿ (1) îïèñûâàþò äèíàìèêó ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû ñ òðåìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû, îá-
ëàäàþùåé òðåìÿ ïî÷òè âñþäó íåçàâèñèìûìè ïåðâûìè èíòåãðàëàìè â èíâîëþöèè [1, 2].
Êàê ïîêàçàíî â [3], âåêòîðûα, β áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü âçàèìíî
îðòîãîíàëüíûìè. Îáîçíà÷åíèÿ ñèëîâûõ ïîëåé, ïîðÿäîê è íàïðàâëåíèÿ îñåé ïîäâèæíîãî
òðèýäðà ïðè ýòîì âûáèðàåì òàê, ÷òî
|α| > |β| . (2)
Ó ñèñòåìû (1) íà P 6 â äåéñòâèòåëüíîñòè èìååòñÿ ëèøü îäèí ñóùåñòâåííûé ïàðà-
ìåòð, âûðàæàþùèé îòíîøåíèå ÷èñëîâûõ õàðàêòåðèñòèê ñèëîâûõ ïîëåé
γ = |β| / |α| . (3)
Ðàñïîðÿæàÿñü îñòàâøèìñÿ â (1) ïðîèçâîëîì â âûáîðå åäèíèöû èçìåðåíèÿ äëèí
α, β, ïîëîæèì
|α| = 1. (4)
Òîãäà ôèãóðèðóþùèé â [3] ïàðàìåòð |α× β| ñîâïàäàåò ñ âåëè÷èíîé (3), êîòîðàÿ,
ñîãëàñíî (2), ëåæèò â ïðåäåëàõ
0 6 γ 6 1. (5)
59
Ì.Ï. Õàðëàìîâ, Å.Ã. Øâåäîâ
Ïðè γ = 0 ñèñòåìà (1) îïèñûâàåò äâèæåíèå âîë÷êà Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé â ïîëå ñèëû
òÿæåñòè [4], à ïðè γ = 1 èìååì ñëó÷àé Õ.Ì. ßõüÿ [5]. Ýòè ïðåäåëüíûå çàäà÷è îáëà-
äàþò ãðóïïîé ñèììåòðèé S1, äåéñòâóþùåé íà êîíôèãóðàöèîííîì ïðîñòðàíñòâå SO(3),
è ïîòîìó ñòàíäàðòíîé òåõíèêîé ñâîäÿòñÿ ê îäíîïàðàìåòðè÷åñêîìó ñåìåéñòâó èíòåãðè-
ðóåìûõ ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåì ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Äàëåå, åñëè íå îãîâîðåíî
ïðîòèâíîå, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
0 < γ < 1. (6)
Ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû ñèñòåìû (1) çàïèøåì òåïåðü òàê
α2
1 + α2
2 + α2
3 = 1, β2
1 + β2
2 + β2
3 = γ2,
α1β1 + α2β2 + α3β3 = 0.
(7)
Ñòðîãî ãîâîðÿ, ñàìî ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî P 6 ïðè ýòîì çàâèñèò îò γ, îäíàêî âñå
ìíîãîîáðàçèÿ P 6(γ) êàíîíè÷åñêè äèôôåîìîðôíû ïðîñòðàíñòâó êàñàòåëüíîãî ðàññëîå-
íèÿ TSO(3), ïîòîìó íèæå ýòó çàâèñèìîñòü ÿâíî íå óêàçûâàåì.
Ïîëíûé èíâîëþòèâíûé íàáîð èíòåãðàëîâ îáðàçóþò ôóíêöèè: èíòåãðàë ýíåðãèè �
ãàìèëüòîíèàí ñèñòåìû (1)
H = ω2
1 + ω2
2 +
1
2
ω2
3 − (α1 + β2) (8)
è èíòåãðàëû, íàéäåííûå â [1, 2],
K = (ω2
1 − ω2
2 + α1 − β2)
2 + (2ω1ω2 + α2 + β1)
2,
G =
1
4
(2α1ω1 + 2α2ω2 + α3ω3)
2 +
1
4
(2β1ω1 + 2β2ω2 + β3ω3)
2+
+
1
2
ω3(2γ1ω1 + 2γ2ω2 + γ3ω3)− α1γ
2 − β2.
(9)
×åðåç γi îáîçíà÷åíû êîìïîíåíòû â ïîäâèæíûõ îñÿõ ïîñòîÿííîãî â èíåðöèàëüíîì ïðî-
ñòðàíñòâå âåêòîðà α× β.
Ðàññìîòðèì èíòåãðàëüíûå îòîáðàæåíèÿ
I = G×K ×H : P 6 → R3 (10)
è
Ih = G×K|Eh
= π ◦ I|Eh
: Eh → R2, (11)
ãäå Eh = {H = h} ⊂ P 6, à π : R3 → R2 � ïðîåêöèÿ âäîëü òðåòüåé êîîðäèíàòíîé îñè.
Çàâèñèìîñòü I, Eh, Ih îò γ òàê æå, êàê äëÿ P 6, ïîäðàçóìåâàåòñÿ.
Íèæå ðåøàåòñÿ ñôîðìóëèðîâàííàÿ â [3] çàäà÷à êëàññèôèêàöèè ïî ïàðàìåòðàì γ, h
áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì Σh(γ) îòîáðàæåíèé (11).
Çàìå÷àíèå. Ïîä áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììîé îòîáðàæåíèÿ ãëàäêèõ ìíîãîîáðà-
çèé f : M → N , èìåþùåãî êîìïàêòíûé õàðàêòåð, ïîíèìàþò ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ
çíà÷åíèé f . Ïðè ðàññìîòðåíèè îãðàíè÷åíèé fL : L → N íà íåêîòîðîå ïîäìíîæåñòâî
L ⊂ M â áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó îòîáðàæåíèÿ fL åñòåñòâåííî âêëþ÷èòü è îáðàç
òåõ òî÷åê, â êîòîðûõ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ L òåðÿåò ñòðóêòóðó ãëàäêîãî ìíîãîîáðàçèÿ.
 òàêîì ïîíèìàíèè äëÿ ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå çàäà÷è äèàãðàììà Σh(γ) ïðåäñòàâëÿ-
åò ñîáîé ñå÷åíèå áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû Σ(γ) îòîáðàæåíèÿ (10) ñîîòâåòñòâóþùåé
60
Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ
ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè (g, k), íåçàâèñèìî îò òîãî, ÿâëÿåòñÿ
ëè h ðåãóëÿðíûì èëè êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì èíòåãðàëà ýíåðãèè.
2. Óðàâíåíèÿ áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì. Ñîãëàñíî òåîðåìå 2 ðàáîòû [3], áè-
ôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ (10) ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îáúåäèíåíèÿ ïî-
âåðõíîñòåé Γ1 � Γ3 â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò R3(g, k, h) èíòåãðàëîâ (9), (8). Ïîëó÷åííûå
â [3] óðàâíåíèÿ ýòèõ ïîâåðõíîñòåé ñ ó÷åòîì (3), (4) ïðåîáðàçóåì ê âèäó, åñòåñòâåííîìó
äëÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è
Γ1 : k = 0; (12)
Γ2 : k =
1
(1− γ2)2
[2g − (1 + γ2)h]2; (13)
Γ3 :
g = −s3 + hs2 +
γ2
s
k = 3s2 − 4hs + h2 + 1 + γ2 − γ2
s2
, s ∈ R\{0}. (14)
Ïî ñäåëàííîìó âûøå çàìå÷àíèþ, ïðè ôèêñèðîâàííîì h óðàâíåíèÿ (12)�(14) îïðåäå-
ëÿþò êðèâûå â ïëîñêîñòè (g, k), îáúåäèíåíèå êîòîðûõ Σ̃h(γ) ñîäåðæèò â ñåáå äèàãðàììó
Σh(γ). Î÷åâèäíî,
Σh(γ) = Σ̃h(γ) ∩∆h(γ),
ãäå ∆h(γ) åñòü îáðàç Eh ïðè îòîáðàæåíèè (11) � îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äâèæåíèé ñ
çàäàííîé ýíåðãèåé â ïëîñêîñòè êîíñòàíò èíòåãðàëîâ (9) ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè
ïàðàìåòðà γ.
Ïîëíîå àíàëèòè÷åñêîå îïèñàíèå ∆h(γ) âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ðàáîòû. Îòìåòèì
ëèøü, ÷òî ∆h(γ) çàâåäîìî âêëþ÷åíî â îáëàñòü, îïðåäåëåííóþ íåðàâåíñòâàìè
k > 0, (15)
2g 6 (1− γ2)
√
k + (1 + γ2)h (16)
(çíà÷åíèå
√
k àðèôìåòè÷åñêîå). Íåðàâåíñòâî (15) î÷åâèäíî â ñèëó ñòðóêòóðû ôóíê-
öèè K â ïðåäñòàâëåíèè (9), à (16) ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî íà îòêðûòîì âñþäó ïëîòíîì
ïîäìíîæåñòâå ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà âûðàæåíèå
(1 + γ2)h− 2g + (1 + γ2)
√
k
ÿâëÿåòñÿ ñóììîé êâàäðàòîâ äâóõ ãëàäêèõ ôóíêöèé (ïðåäñòàâëåíèå (44) ðàáîòû [3]). Äëÿ
âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ïîëå ñèëû òÿæåñòè (γ = 0 ) íåðàâåíñòâî, âûòåêàþùåå èç (16),
áûëî ïîëó÷åíî Ã.Ã. Àïïåëüðîòîì [6].
Êðîìå òîãî, ∆h(γ) íåïóñòî ëèøü äëÿ çíà÷åíèé
h > −1− γ (17)
è ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó â ñëó÷àå ðàâåíñòâà â (17), ñîîòâåòñòâóþùåãî àáñîëþòíîìó ìèíè-
ìóìó ýíåðãèè íà ðåøåíèÿõ ñèñòåìû (1), ïîä÷èíåííûõ óñëîâèÿì (7).
3. Ðàçäåëÿþùèå êðèâûå â ïëîñêîñòè (γ, h). Íàçîâåì ðàçäåëÿþùèì ìíîæå-
ñòâîì íà ïëîñêîñòè (γ, h) ñîâîêóïíîñòü òî÷åê, ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êîòîðûå äèàãðàììà
Σh(γ) ïðåòåðïåâàåò êà÷åñòâåííûå èçìåíåíèÿ. Ýòî ìîæåò âûðàæàòüñÿ â èçìåíåíèè êî-
ëè÷åñòâà îáëàñòåé, íà êîòîðûå êîìïàêòíîå ìíîæåñòâî Σh(γ) ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü (g, k),
61
Ì.Ï. Õàðëàìîâ, Å.Ã. Øâåäîâ
ðàñïîëîæåíèÿ îòíîñèòåëüíî ýòèõ îáëàñòåé òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ èëè êàñàíèÿ ãëàäêèõ îò-
ðåçêîâ êðèâûõ (12)�(14).
Ââèäó ïðîñòîé ñòðóêòóðû ìíîæåñòâ Γ1, Γ2, ìîæíî çàðàíåå ïåðå÷èñëèòü ñëó÷àè, â
êîòîðûõ ïðîèñõîäÿò òàêèå èçìåíåíèÿ:
1◦) ïðîõîæäåíèå h ÷åðåç êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå èíòåãðàëà ýíåðãèè;
2◦) âîçíèêíîâåíèå îñîáûõ òî÷åê (òî÷åê âîçâðàòà) êðèâîé Γ3 ;
3◦) èçìåíåíèå êîëè÷åñòâà è âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ íà Γ3 òî÷åê ïåðåñå÷åíèé Γ2 ∩ Γ3
è Γ1 ∩ Γ3 (â ÷àñòíîñòè, ïîïàäàíèå òî÷åê âîçâðàòà Γ3 íà Γ1 èëè Γ2);
4◦) èçìåíåíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà Γ1 ∩ Γ2 ∩ Γ3.
Èçó÷èì ýòè âîçìîæíîñòè.
1◦. Êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ H äîñòèãàþòñÿ â ïîëîæåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ òåëà (íåïî-
äâèæíûõ òî÷êàõ ñèñòåìû (1) íà ìíîæåñòâå (7)). Ïîñëåäíèå çàäàíû ôîðìóëàìè (11)
ðàáîòû [3]. Ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ h òàêîâû: −1− γ; −1 + γ; 1− γ; 1 + γ.
Ýòî ïîðîæäàåò ðàçäåëÿþùèå êðèâûå
Q1 : h = −1− γ;
Q2 : h = −1 + γ;
Q3 : h = 1− γ;
Q4 : h = 1 + γ.
Äàëåå áåç äîïîëíèòåëüíûõ êîììåíòàðèåâ îòáðàñûâàþòñÿ çàâèñèìîñòè h è γ, íå
óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (5), (17).
2◦. Îáîçíà÷èì ôóíêöèè ïàðàìåòðà s â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (14) ÷åðåç g(s), k(s). Èìååì
g′(s) = − 1
s2
(3s4 − 2hs3 + γ2), k′(s) =
2
s3
(3s4 − 2hs3 + γ2),
ïîýòîìó g′(s) è k′(s) ìîãóò îáðàùàòüñÿ â íóëü ëèøü îäíîâðåìåííî, â îñîáîé òî÷êå êðè-
âîé Γ3, è ñîîòâåòñòâóþùåå s åñòü êîðåíü óðàâíåíèÿ
3s4 − 2hs3 + γ2 = 0. (18)
Èçìåíåíèå ñòðóêòóðû ìíîæåñòâà îñîáûõ òî÷åê (âîçíèêíîâåíèå ïàðû òî÷åê âîçâðà-
òà) ïðîèñõîäèò ïðè íàëè÷èè êðàòíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ (18), ÷òî ïðèâîäèò ê ðàçäåëÿ-
þùèì ñëó÷àÿì
Q5 : h = 2
√
γ;
Q6 : h = −2
√
γ.
Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå (18) íå ìîæåò èìåòü áîëüøå äâóõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé è îíè
ñóùåñòâóþò ïðè h2 > 4γ.
3◦. Íàéäåì ïåðåñå÷åíèå Γ2 ñ Γ3. Ïîäñòàâëÿÿ (14) â (13), ïîëó÷àåì
(s2 − 1)(s2 − γ2)[2s2 − 2hs + 1 + γ2]2 = 0. (19)
Òàêèì îáðàçîì, ýòè êðèâûå èìåþò ÷åòûðå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå çíà÷å-
íèÿì
s = ±1, s = ±γ. (20)
Ïîñëåäíèé ñîìíîæèòåëü â (19) îòâå÷àåò çà òî÷êè êàñàíèÿ Γ2 è Γ3, â êîòîðûõ
s =
1
2
[h±
√
h2 − 2(1 + γ2)]. (21)
62
Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ
Óñëîâèå âåùåñòâåííîñòè ýòèõ çíà÷åíèé äàåò ðàçäåëÿþùóþ êðèâóþ
Q7 : h =
√
2(1 + γ2),
à âîçìîæíîñòü ñîâïàäåíèÿ êàêîãî-ëèáî èç çíà÷åíèé (20) ñ îäíèì èç çíà÷åíèé (21) ïðè-
âîäèò ê ñëåäóþùèì ðàçäåëÿþùèì ñëó÷àÿì:
Q8 : h =
1
2
(3 + γ2);
Q9 : h =
1
2γ
(1 + 3γ2).
Ê ýòèì æå çàâèñèìîñòÿì ïðèõîäèì â ïðåäïîëîæåíèè î íàëè÷èè îáùåãî êîðíÿ ó óðàâ-
íåíèé (18), (19), òî åñòü â ñëó÷àå ïîïàäàíèÿ íà Γ2 îñîáîé òî÷êè êðèâîé Γ3.
Óñëîâèå èçìåíåíèÿ ñòðóêòóðû ïåðåñå÷åíèÿ Γ1 ∩ Γ3 èìååò âèä
k(s) = 0, k′(s) = 0. (22)
Îäíàêî, êàê îòìå÷åíî âûøå, ïðè ýòîì è g′(s) = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷åê êàñàíèÿ Γ1 è Γ3
áûòü íå ìîæåò, à ðàâåíñòâà (22) îçíà÷àþò ïîïàäàíèå íà Γ1 òî÷êè âîçâðàòà êðèâîé Γ3.
Ðèñ. 1. Ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî íà ïëîñêîñòè (γ, h).
Èñêëþ÷åíèå s èç (22) ïðèâîäèò ê íåÿâíîìó óðàâíåíèþ äëÿ h(γ) âûñîêîé ñòåïåíè.
Óäîáíåé ðàçðåøèòü ñèñòåìó (22) îòíîñèòåëüíî h, γ è çàïèñàòü íîâóþ ðàçäåëÿþùóþ
êðèâóþ â ïàðàìåòðè÷åñêîé ôîðìå
Q10 :
{
h = s(3− s2)−
√
(s2 − 1)3
γ =
√
s3[s(3− 2s2)− 2
√
(s2 − 1)3]
, s ∈ [1,
2√
3
]. (23)
Îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà è çíàêè ðàäèêàëîâ â (23) âûáðàíû èç óñëîâèé (5), (17).
4◦. Óñëîâèå Γ1 ∩ Γ2 ∩ Γ3 6= ∅ îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà
k(s) = 0 (24)
63
Ì.Ï. Õàðëàìîâ, Å.Ã. Øâåäîâ
íà îäíîì èç çíà÷åíèé (20), (21). Íåïîñðåäñòâåííî ïðîâåðÿåòñÿ, ÷òî â òî÷êàõ (21) ýòîãî
áûòü íå ìîæåò, òî åñòü òî÷êè êàñàíèÿ Γ2 ñ Γ3 âûõîäà íà Γ1 íå èìåþò. Ïîäñòàâëÿÿ (20)
â (24), ïðèõîäèì ê ðàçäåëÿþùèì êðèâûì
Q11 : h = 2;
Q12 : h = 2γ;
Q13 : h = −2γ.
Íà ðèñ. 1 ïîêàçàíà ñîâîêóïíîñòü êðèâûõ Q1 - Q13 íà ïëîñêîñòè (γ, h) â äîïóñòèìîé
îáëàñòè (5), (17) (îñü h èçîáðàæåíà ãîðèçîíòàëüíîé ââèäó ñïåöèôèêè ðèñóíêà).
4. Ïðèìåðû äèàãðàìì. Ïîñòðîåíèå äèàãðàìì Σh(γ) ìîæåò áûòü âûïîëíåíî ÷èñ-
ëåííî äëÿ âñåõ îáëàñòåé, íà êîòîðûå ðàçäåëÿþùåå ìíîæåñòâî ðàçáèâàåò ïëîñêîñòü ïà-
ðàìåòðîâ.  êàæäîé îáëàñòè äîñòàòî÷íî âçÿòü ïî îäíîé òî÷êå, òàê êàê êà÷åñòâåííûõ
èçìåíåíèé ñòðóêòóðû Σh(γ) âíóòðè îáëàñòåé íå ïðîèñõîäèò. Ïðè ðàçëè÷íûõ γ èç èí-
òåðâàëà (6) èìååì îò 11 äî 13 ñòðóêòóðíî óñòîé÷èâûõ äèàãðàìì Σh(γ).
 ïðåäåëüíîì ñëó÷àå γ = 1 (ñëó÷àé ßõüÿ) ïåðåñòðîéêè äèàãðàìì îòâå÷àþò ëèøü
ïåðåõîäàì ÷åðåç êðèòè÷åñêèå çíà÷åíèÿ ýíåðãèè h = −2; 0; 2 è óñòîé÷èâûõ äèàãðàìì
âñåãî òðè. Ïðè γ = 0 (òåëî â ïîëå ñèëû òÿæåñòè � ñëó÷àé Êîâàëåâñêîé) ðàçäåëÿþùèìè
çíà÷åíèÿìè h ñëóæàò
−1; 0; 1;
√
2; 3/2;
√
3; 2. (25)
 ÷àñòíîñòè, íà îñü γ = 0 èìåþò âûõîä ñåìü îáëàñòåé îáùåãî ñëó÷àÿ. Íà ðèñ. 2
Ðèñ. 2. Ïðèìåðû áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàìì äëÿ ñëó÷àÿ γ = 0.
èçîáðàæåíû äèàãðàììû Σh(0), äåìîíñòðèðóþùèå ïåðåõîäû ÷åðåç çíà÷åíèÿ h = −1; 0; 1:
ïðè h < −1 ìíîãîîáðàçèå Eh ïóñòî; ïðè h = −1 äèàãðàììà âìåñòå ñ îáëàñòüþ ñóùåñòâî-
64
Áèôóðêàöèîííûå äèàãðàììû íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ
âàíèÿ äâèæåíèé ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òî÷êó (óðîâåíü E−1 ñîñòîèò òîëüêî èç óñòîé÷èâûõ
ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ); ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç çíà÷åíèå h = 0 â îáëàñòè ñóùåñòâîâàíèÿ
äâèæåíèé âîçíèêàåò íîâàÿ ïîäîáëàñòü, òî åñòü ìåíÿåòñÿ ñòðóêòóðà ëèóâèëëåâà ñëîåíèÿ;
çíà÷åíèå h = 1 ÿâëÿåòñÿ êðèòè÷åñêèì çíà÷åíèåì èíòåãðàëà ýíåðãèè (îòâå÷àåò âîçíèê-
íîâåíèþ â ñîñòàâå Eh íåóñòîé÷èâûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ), ïîýòîìó çäåñü èçìåíÿåòñÿ
òîïîëîãè÷åñêèé òèï ñàìîãî ìíîãîîáðàçèÿ Eh. Îáëàñòü ∆h çàòåíåíà, ïóíêòèðîì ïîêàçà-
íû ïðîäîëæåíèÿ êðèâûõ çà ïðåäåëû ∆h.
Ïðè äàëüíåéøèõ ïåðåñå÷åíèÿõ çíà÷åíèé (25) èçìåíåíèÿ ïðîèñõîäÿò â ìàëîé îêðåñò-
íîñòè âåðøèíû ïàðàáîëû Γ2 è ñâÿçàíû ñ ïðîäâèæåíèÿìè òî÷êè âîçâðàòà êðèâîé Γ3. Íà
ðèñ. 3 ïðèâåäåíû äèàãðàììà è åå óâåëè÷åííûé ôðàãìåíò â óêàçàííîé îêðåñòíîñòè äëÿ
Ðèñ. 3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äëÿ ñëó÷àÿ γ = 0, h > 2.
çíà÷åíèé h > 2. Çäåñü ïîêàçàíà ïóíêòèðîì è ÷àñòü ïàðàáîëû Γ2, ëåæàùàÿ ñòðîãî âíóòðè
∆h, òî÷êè êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ, íåñìîòðÿ íà ýòî, ðåãóëÿðíûìè çíà÷åíèÿìè èíòåãðàëüíî-
ãî îòîáðàæåíèÿ (11). Åå ñóùåñòâîâàíèå ñëåäóåò èç èññëåäîâàíèÿ òàê íàçûâàåìûõ îñîáî
çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé [6].
 îáùåì ñëó÷àå â îáëàñòè ïàðàìåòðîâ (6), (17) èìååòñÿ 19 ñòðóêòóðíî óñòîé÷è-
âûõ è 30 ðàçäåëÿþùèõ òèïîâ äèàãðàìì. Ââèäó îãðàíè÷åííîñòè ìåñòà ïîëíûé íàáîð
èëëþñòðàöèé çäåñü íå ïðèâîäèòñÿ.
1. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Äâà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà â ñèëîâîì ïîëå // Äîêë.
ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1984. � 275, � 6. � Ñ. 1359�1363.
2. Bobenko A.I., Reyman A.G., Semenov-Tian-Shansky M.A. The Kowalewski top 99 years later: a Lax
pair, generalizations and explicit solutions // Commun. Math. Phys. � 1989. � 122, � 2. � P. 321�354.
3. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà çàäà÷è î äâèæåíèè âîë÷êà
Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå. � Ñì. íàñò. ñá. � Ñ. 47-58.
4. Êîâàëåâñêàÿ Ñ.Â. Çàäà÷à î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè // Íàó÷íûå ðàáîòû.
� Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1948. � Ñ. 153�220.
5. Yehia H. New integrable cases in the dynamics of rigid bodies // Mech. Res. Commun. � 1986. � 13,
� 3. � P. 169�172.
6. Àïïåëüðîò Ã.Ã. Íå âïîëíå ñèììåòðè÷íûå òÿæåëûå ãèðîñêîïû. �  êí.: Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà
âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. � Ì.-Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1940. � Ñ. 61�156.
Âîëãîãðàäñêàÿ àêàäåìèÿ ãîñóäàðñòâåííîé ñëóæáû, Ðîññèÿ
mharlamov@vags.ru
Ïîëó÷åíî 01.09.04
65
|