Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку

Запропоновано використання матриць шостого порядку для моделювання хвильового поля на вільній поверхні шаруватого півпростору. Показано, що цей підхід значно розширює використання матричного методу. Одержані результати математичного моделювання є простими у використанні, їх можна застосовувати для і...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2008
Автори:	Малицький, Д.В., Хитряк, О.І.
Формат:	Стаття
Мова:	Ukrainian
Опубліковано:	Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України 2008
Теми:	Математична геофізика
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12374
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку / Д.В. Малицький, О.І. Хитряк // Геоінформатика. — 2008. — № 4. — С. 44-48. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-12374
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-123742010-10-07T12:04:15Z Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку Малицький, Д.В. Хитряк, О.І. Математична геофізика Запропоновано використання матриць шостого порядку для моделювання хвильового поля на вільній поверхні шаруватого півпростору. Показано, що цей підхід значно розширює використання матричного методу. Одержані результати математичного моделювання є простими у використанні, їх можна застосовувати для інтерпретації сейсмічних записів. Предлагается использование матриц шестого порядка для моделирования волнового поля на свободной поверхности слоистого полупространства. Показано, что данный подход значительно расширяет использование матричного метода. Полученные результаты математического моделирования являются простыми в использовании и могут применяться для интерпретации сейсмических записей. Authors suggest using of 6-th order matrices for modelling of the seismic wave field on a free surface of a layered half-space. It is shown, that current approach significantly expands utilization of Matrix method. The results of mathematical modelling are simple in utilization and can be used for interpretation of seismic records. 2008 Article Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку / Д.В. Малицький, О.І. Хитряк // Геоінформатика. — 2008. — № 4. — С. 44-48. — Бібліогр.: 11 назв. — укр. 1684-2189 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12374 550.344 uk Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Ukrainian
topic	Математична геофізика Математична геофізика
spellingShingle	Математична геофізика Математична геофізика Малицький, Д.В. Хитряк, О.І. Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
description	Запропоновано використання матриць шостого порядку для моделювання хвильового поля на вільній поверхні шаруватого півпростору. Показано, що цей підхід значно розширює використання матричного методу. Одержані результати математичного моделювання є простими у використанні, їх можна застосовувати для інтерпретації сейсмічних записів.
format	Article
author	Малицький, Д.В. Хитряк, О.І.
author_facet	Малицький, Д.В. Хитряк, О.І.
author_sort	Малицький, Д.В.
title	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
title_short	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
title_full	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
title_fullStr	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
title_full_unstemmed	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
title_sort	математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку
publisher	Центр менеджменту та маркетингу в галузі наук про Землю ІГН НАН України
publishDate	2008
topic_facet	Математична геофізика
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/12374
citation_txt	Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку / Д.В. Малицький, О.І. Хитряк // Геоінформатика. — 2008. — № 4. — С. 44-48. — Бібліогр.: 11 назв. — укр.
work_keys_str_mv	AT malicʹkijdv matematičnemodelûvannâhvilʹovihprocesívušaruvatomupívprostorízvikoristannâmmatricʹšostogoporâdku AT hitrâkoí matematičnemodelûvannâhvilʹovihprocesívušaruvatomupívprostorízvikoristannâmmatricʹšostogoporâdku
first_indexed	2025-07-02T14:29:37Z
last_indexed	2025-07-02T14:29:37Z
_version_	1836545820639363072
fulltext	44 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2008, ¹ 4 Âñòóï. Çàäà÷àì ìîäåëþâàííÿ õâèëüîâèõ ïðî- öåñ³â ó íåîäíîð³äíèõ ñåðåäîâèùàõ ïðèä³ëåíî çíà÷íó óâàãó, ÿê ó â³ò÷èçíÿíèõ, òàê ³ â çàêîð- äîííèõ âèäàííÿõ [1–5, 10]. Ñë³ä â³äçíà÷èòè, ùî ð³çí³ ìåòîäè ³ ï³äõîäè, ÿê³ âèêëàäåí³ ó áàãàòüîõ ïóáë³êàö³ÿõ, º äîñòàòíüî åôåêòèâíèìè, àëå íå çàâæäè çàñòîñîâàí³ äëÿ ïåâíîãî êëàñó çàäà÷, ùî âèêîðèñòîâóþòüñÿ â ñåéñìîëîã³¿. Äî òàêèõ çà- äà÷, ÿê³ º àêòóàëüíèìè â íàø ÷àñ, íàëåæàòü ïðî- áëåìè ðîçâ’ÿçàííÿ îáåðíåíèõ äèíàì³÷íèõ çàäà÷ ñåéñì³êè ñòîñîâíî õàðàêòåðèñòèê ìîäåë³ ñåðåäî- âèùà ³ âîãíèùà çåìëåòðóñó. Íàäçâè÷àéíî âàæ- ëèâèì º âèçíà÷åííÿ ïàðàìåòð³â äæåðåëà çà äà- íèìè ñåéñì³÷íèõ ñïîñòåðåæåíü íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ øàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó. Ìè íà öüîìó íàãîëîøóºìî, òîìó ùî âèêîðèñòàííÿ ñèíòåòè÷- íèõ ñåéñìîãðàì äëÿ âèçíà÷åííÿ îð³ºíòàö³¿ ïëî- ùèíè ðîçðèâó ³ ñêàëÿðíîãî ñåéñì³÷íîãî ìîìåí- òó º ïðîáëåìîþ, íàä ÿêîþ ïðàöþº áàãàòî â÷åíèõ [9, 11]. Òîìó î÷åâèäíî, ùî ìàòåìàòè÷íå ìîäå- ëþâàííÿ õâèëüîâèõ ïðîöåñ³â ó íåîäíîð³äíîìó ñåðåäîâèù³ ìàº âàæëèâå çíà÷åííÿ äëÿ ðîçâ’ÿ- çàííÿ ÿê ïðÿìèõ, òàê ³ îáåðíåíèõ çàäà÷ ñåéñìî- ëîã³¿. Ïîñòàíîâêà çàäà÷³. Ðîçãëÿíåìî ìîäåëü øàðó- âàòîãî ñåðåäîâèùà ó âèãëÿä³ n îäíîð³äíèõ ³çî- òðîïíèõ øàð³â íà (n + 1) îäíîð³äíîìó ï³âïðîñòîð³ ç â³ëüíîþ ïîâåðõíåþ. Äæåðåëî ñåéñì³÷íèõ õâèëü ðîçì³ùåíå âñåðåäèí³ îäíîð³äíîãî s-øàðó. Ââàæàº- ìî, ùî íà ìåæàõ ì³æ øàðàìè âèêîíóþòüñÿ óìîâè æîðñòêîãî êîíòàêòó, êð³ì s-øàðó, äå ðîçì³ùåíå äæåðåëî. Âîãíèùå çåìëåòðóñó ìîäåëþºìî òåíçî- ðîì ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó Mij, ³ âîíî ìàº ðîçì³ùó- âàòèñÿ íà äîñòàòí³é â³äñòàí³ â³ä â³ëüíî¿ ïîâåðõí³, ïî÷èíàþ÷è ç ê³ëüêîõ ñîòåíü ìåòð³â. Ïîëå ïåðå- ì³ùåíü îäåðæóºìî ç âèêîðèñòàííÿì ìàòðè÷íîãî ìåòîäó çà ðîçâ’ÿçàííÿì P –SV- òà SH-çàäà÷. Ïî- ñòàíîâêà ö³º¿ çàäà÷³ òà ¿¿ ðåçóëüòàòè îïèñàí³ â ðî- áîòàõ ³ ìàòåð³àëàõ êîíôåðåíö³é [6–8]. Ó ñòàòò³ íàâåäåíî îñíîâí³ ðåçóëüòàòè äëÿ ïîëÿ ïåðåì³ùåí- íÿ ó äàëüí³é çîí³: ( ) ( ) ( ) 2 1(0) a 1 1 0 , , , , 2 j kt z a z j k J kr u r t dk M k g e d j δ+ ∞∞ η δ− ∞ ϕ = η ϕ η+ π∫ ∫ ( ) ( ) 2 0 t 2 2 0 , , e 2 j k a z j k J kr dk M k g d j δ+ ∞∞ η δ− ∞ + η ϕ η+ π∫ ∫ ( ) ( ) 2 0 t 3 3 0 , , ; 2 j k a z j k J kr dk M k g e d j δ+ ∞∞ η δ− ∞ + η ϕ η π∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 0(0) a 1 1 0 , , , , 2 j kt r a r j k J kr u r t dk M k g e d j δ+ ∞∞ η δ− ∞ ϕ = η ϕ η+ π∫ ∫ ( ) ( ) 2 1 2 2 0 , , 2 j kt a r j k J kr dk M k g e d j δ+ ∞∞ η δ− ∞ + η ϕ η+ π∫ ∫ (1) ( ) ( ) 2 1 3 3 0 , , ; 2 j kt a r j k J kr dk M k g e d j δ+ ∞∞ η δ− ∞ + η ϕ η π∫ ∫ ( ) ( ) ( ) 2 0(0) 5 5 0 , , , , d 2 j kt a a j k J kr u r t dk M k g e j δ+ ∞∞ η ϕ ϕ δ− ∞ ϕ = η ϕ η+ π∫ ∫ ( ) ( ) 2 1 6 6 0 , , , 2 j kt a j k J kr dk M k g e d j δ+ ∞∞ η ϕ δ− ∞ + η ϕ η π∫ ∫ äå J0, J1 ôóíêö³¿ Áåññåëÿ; 1 2cos sin , ,xz a yz a zzM M M M M= ϕ + ϕ = 2 2 3 cos sin sin 2 ,a xx a yy a xyM M M M= ϕ ⋅ + ϕ ⋅ + ϕ ⋅ 5 cos sin ,yz a xz aM M M= ϕ − ϕ (2) 6 sin 2 sin 2 2cos 2 ;a xx a yy a xyM M M M= ϕ ⋅ − ϕ ⋅ − ϕ ⋅ ÓÄÊ 550.344 ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÅ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÕÂÈËÜÎÂÈÕ ÏÐÎÖÅÑ²Â Ó ØÀÐÓÂÀÒÎÌÓ Ï²ÂÏÐÎÑÒÎÐ² Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ ÌÀÒÐÈÖÜ ØÎÑÒÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ © Ä.Â. Ìàëèöüêèé, Î.². Õèòðÿê, 2008 Êàðïàòñüêå â³ää³ëåííÿ ²íñòèòóòó ãåîô³çèêè ÍÀÍ Óêðà¿íè, Ëüâ³â, Óêðà¿íà Authors suggest using of 6-th order matrices for modelling of the seismic wave field on a free surface of a layered half- space. It is shown, that current approach significantly expands utilization of Matrix method. The results of mathematical modelling are simple in utilization and can be used for interpretation of seismic records. 45ISSN 1684-2189 ÃÅÎ²ÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2008, ¹ 4 11 31 31 11 13 31 3 3 11 1 3 ' ' 1, , 2z z s d' d d' d d d d d1g = g Δ 2 − − = πμ Δ π 1 2 31 3 2 11 2 2 2 13 31 3 3 11 s 2 ' ' 1 ' ' 2 11 , 2 z s p p d d d d g V d d d d V V ⎧ −⎪= +⎨ Δ ρ⎪⎩ ⎫⎛ ⎞− ⎪−⎜ ⎟⎬⎜ ⎟Δ π⎪⎝ ⎠⎭ 31 12 11 32 3 3 1 2 13 3 2 1r 3 ' ' ' '1 1, , 2 2r s d d d d d d d d g g − − = = Δ πμ Δ π (3) 3 2 1 2 1 2 3 2 2 2 s p 2 33 12 13 3 2 2 ' ' 1 ' ' 2 11 , 2 r s p d d d d g ρ V d d d d V V ⎧ −⎪= +⎨ Δ⎪⎩ ⎫⎛ ⎞− ⎪+ −⎜ ⎟⎬⎜ ⎟Δ π⎪⎝ ⎠⎭ / / 12 11 5 6* * 11 11 1 1, . 2 4s d dg g d dϕ ϕ= − =− πμ π Ó êîåô³ö³ºíòè g1z, g2z, g3z, g1r, g2r, g3r, g5ϕ, g6ϕ âõîäÿòü åëåìåíòè õàðàêòåðèñòè÷íèõ ìàòðèöü, ùî íàâåäåí³ íèæ÷å. Õàðàêòåðèñòè÷í³ ìàòðèö³ âñüîãî n-øàðóâàòîãî ñåðåäîâèùà íà (n + 1)-ï³âïðîñòîð³ äëÿ P –SV- òà SH-çàäà÷³ çàäàíî òàê: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1 1, 1,4 * * * * * * * 1 * * * 1 1 1 2 1 1 1, 1,2 A A L A ...A A L A ; A A L A ...A A L A . ij n n n ni j ij n n n ni j D d D d − − − + −= − − + −= = = = = Õàðàêòåðèñòè÷í³ ìàòðèö³ ñåðåäîâèùà ï³ä äæå- ðåëîì ìàþòü âèãëÿä ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 1 1, 1,4 * * * * * * * 1 * * 1 1 1 2 1 1, 1,2 A A L A ...A A A ; A A L A ...A A A . ij n n n n s s si j ij n n n n s s si j D d D d − − − + − + + += − − + − + + += ′ ′= = ′ ′= = Õàðàêòåðèñòè÷í³ ìàòðèö³ ââåäåí³ ç âèêîðèñ- òàííÿì óìîâ æîðñòêîãî êîíòàêòó íà ìåæàõ ì³æ øàðàìè, óìîâè âèïðîì³íþâàííÿ òà â³äñóòíîñò³ íà- ïðóæåííÿ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³. Çàóâàæèìî, ùî åëåìåíòè âèùåíàâåäåíèõ ìàò- ðèöü âèçíà÷àºìî ô³çè÷íèìè ïàðàìåòðàìè ìîäåë³ ñåðåäîâèùà: μi – ìîäóëü çñóâó â i-ìó øàð³; ρi – ãóñòèíà i-ãî øàðó; VPi, VSi – øâèäêîñò³ ïîøèðåííÿ P- ³ S-õâèëü â i-ìó øàð³. Ó ôîðìóëàõ (3) çíà÷åííÿ ô³çè÷íèõ ïàðàìåòð³â VP, VS, μ, ρ âèçíà÷åí³ äëÿ s-ãî øàðó, â ÿêîìó ðîçì³ùåíå âîãíèùå çåìëåòðóñó. Çíàìåííèê Δ º ì³íîðîì äðóãîãî ïîðÿäêó õà- ðàêòåðèñòè÷íî¿ ìàòðèö³ D âñüîãî ñåðåäîâèùà: 11 3 2 31 1 2.d d d dΔ = − (4) Ïîëå ïåðåì³ùåíü. Ìè íàâåëè ñï³ââ³äíîøåí- íÿ (1)–(3) äëÿ ïîëÿ ïåðåì³ùåííÿ ÷åðåç ïàðà- ìåòðè ñåðåäîâèùà ³ êîìïîíåíòè òåíçîðà ñåéñì³÷- íîãî ìîìåíòó. Ùå ðàç â³äçíà÷èìî, ùî ìàòðè÷íèé ìåòîä äàº çìîãó ðîçâ’ÿçóâàòè äâ³ îê- ðåì³ çàäà÷³: P –SV òà SH. Àíàë³çóþ÷è ñï³ââ³äíî- øåííÿ (1)–(3), à ñàìå êîìïîíåíòè õàðàêòåðèñ- òè÷íî¿ ìàòðèö³ D (P –SV-çàäà÷à), ñòèêàºìîñü ³ç òðóäíîùàìè, ÿê³ ïîâ’ÿçàí³ ç åëåìåíòàìè ä³àãî- íàëüíî¿ ìàòðèö³: exp( ) 0 0 0 0 exp( ) 0 0 0 0 exp( ) 0 0 0 0 exp( ) i i i i i i i i i k h k h L k h k h α⎛ ⎞ ⎜ ⎟− α⎜ ⎟= ⎜ ⎟β ⎜ ⎟ − β⎝ ⎠ , 2 2 2 21 , 1 . p sv v η η α = ± + β = ± + äå η – çì³ííà Ìåëë³íà; hi – ïîòóæí³ñòü i-ãî øàðó; k – ãîðèçîíòàëüíå õâèëüîâå ÷èñëî. Äëÿ âåëèêèõ çíà÷åíü hi (ïîòóæí³ñòü i-ãî øàðó) êîìïîíåíòè ìàòðèö³ L äóæå âåëèê³ àáî äóæå ìàë³. Öå ïîâ’ÿçàíå ç òèì, ùî ðàäèêàëè αi òà β i º êîìïëåêñíèìè ç ä³éñíîþ òà óÿâíîþ ÷àñòèíà- ìè. Äëÿ íåîäíîð³äíèõ P- òà S-õâèëü ðàäèêàëè º ñóòî ä³éñí³, òîáòî çíà÷åííÿ exp(±k hi αi) òà exp(±k hi β i) ïðÿìóþòü äî íåñê³í÷åííîñò³ àáî äî íóëÿ. Êð³ì òîãî, ö³ âåëè÷èíè âõîäÿòü â ì³íîðè â ÷èñåëüíèêó ³ çíàìåííèêó, ÷åðåç ÿê³ âèçíà÷àºìî â³äïîâ³äí³ ïàðàìåòðè ó ôîðìóëàõ (3), ùî ïðèâî- äèòü äî ðîçá³æíîñò³ ðîçâ’ÿçêó äëÿ ïîëÿ ïåðå- ì³ùåíü (1). Âñ³ ìàòðèö³, âèêîðèñòàí³ ó öüîìó ï³äõîä³, º ìàòðèöÿìè 4×4 (P –SV-âèïàäîê) ³ 2×2 (SH-âèïàäîê). Ïðÿìà äèíàì³÷íà çàäà÷à ñåéñì³êè, ÿêà âèêîðèñòîâóº ìàòðèö³ 4-ãî ïîðÿäêó, äàº çìî- ãó îäåðæóâàòè õâèëüîâå ïîëå íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ òîíêîøàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó [7, 8]. Ó âèïàäêó ñïåöèô³÷íîãî íàáîðó ñèñòåìè øàð³â, âèáðàíèõ êóò³â ïàä³ííÿ ³ ÷àñòîòíîãî ä³àïàçîíó çàïðîïîíî- âàíà ìåòîäèêà ìîæå äàòè íåãàòèâíèé ðåçóëüòàò (ðèñ.1, òàáë.1). À öå îçíà÷àº, ùî äëÿ øàðóâàòî¿ ìîäåë³ ñåðåäîâèùà, íàïðèêëàä, ç ïîòóæíîñòÿìè hi ~ 1000 ì âèíèêàþòü òðóäíîù³, îïèñàí³ âèùå. Òîìó ñêîðèñòàºìîñÿ ðîáîòàìè ïðîôåñîðà Ë.À. Ìî- ëîòêîâà [2], â ÿêèõ çä³éñíåíî ïåðåõ³ä â³ä ìàò- ðèöü 4×4 äî ìàòðèöü 6×6. Îòæå, êîæí³é ìàòðèö³ 11 1 2 13 1 4 21 22 23 24 4 4 31 32 33 34 41 421 43 44 F , F f f f f f f f f C f f f f f f f f × ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ∈⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ñòàâèòüñÿ ó â³äïîâ³äí³ñòü ìàòðèöÿ 13 13 13 13 13 13 13 24 14 23 12 34 24 24 24 24 24 24 13 24 14 23 12 34 14 14 14 14 14 14 13 24 14 23 12 34 23 23 23 23 23 23 13 24 14 23 12 34 12 12 12 12 12 12 13 24 14 23 12 34 34 34 34 34 34 34 13 24 14 23 12 34 F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F F ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜⎜ ⎝ ⎠ � 6 6, F C ×∈ ⎟ ⎟⎟ � . 46 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2008, ¹ 4 Åëåìåíòàìè ìàòðèö³ F� º ì³íîðè äðóãîãî ïî- ðÿäêó ìàòðèö³ F, òîáòî .i l i mi k l m k l k m f f F f f = (6) Âëàñòèâ³ñòü ì³íîðíèõ ìàòðèöü [2]. ßêùî äëÿ 4 4, ,A B C C ×∀ ∈ , ùî çàäîâîëüíÿþòü óìîâó: A ⋅ B = C, ïîáóäóâàòè â³äïîâ³äí³ ìàòðèö³ 6 6, ,A B C C ×∈� �� çà ôîðìóëîþ (6), òî âèêîíóâàòèìåòüñÿ ð³âí³ñòü [2]: A B C⋅ =� �� . Ñêîðèñòàºìîñÿ ì³íîðíèìè ìàòðèöÿìè â íà- øèõ ôîðìóëàõ. Äëÿ õàðàêòåðèñòè÷íî¿ ìàòðèö³ âñüîãî ñåðåäîâèùà (5) çàì³íèìî êîæíó ç ìàòðèöü 1 4 4, , , 1 1i i iA A L C i ,n− ×∈ = + â³äïîâ³äíèìè ìàòðèöÿìè øîñòîãî ïîðÿäêó 1 6 6, ,i i iA A L C− ×∈� � � . ßê ïðèêëàä äëÿ ìàòðèö³ Ai òàêèé ïåðåõ³ä íà- âåäåíî íèæ÷å: Çã³äíî ç âëàñòèâ³ñòþ ì³íîðíèõ ìàòðèöü, îäåð- æèìî õàðàêòåðèñòè÷íó ìàòðèöþ âñüîãî ñåðåäîâè- ùà 6 6D C ×∈� : 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 .n n n n n nD A A L A A L A A L A− − − − + − −= � � � � � � �� … (7) Äëÿ åëåìåíò³â ìàòðèöü D òà D� ñïðàâåäëèâå ñï³ââ³äíîøåííÿ (6). Çðîáèâøè ïåðåõ³ä äî ìàòðèöü øîñòîãî ïîðÿä- êó, çíàìåííèê ó ôîðìóë³ (4) çàïèøåìî ó âèãëÿä³ 11 31 13 1 2 15 12 3 2 d d D d d d Δ = = = �� . (8) Òàêèì ÷èíîì, ñï³ââ³äíîøåííÿ (4) çàì³íþº- ìî åëåìåíòîì ìàòðèö³ øîñòîãî ïîðÿäêó 15d� . Çà- óâàæèìî, ùî ïîëå ïåðåì³ùåííÿ äëÿ SH-çàäà÷³ íå ïîòðåáóº âèêîðèñòàííÿ ìàòðèöü âèùîãî ïî- ðÿäêó. Ðèñ. 1. Íåãàòèâíèé ðåçóëüòàò ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ ïîëÿ ïåðåì³ùåíü (0) (0),z ru u ç âèêîðèñòàííÿì ìàòðèöü 4×4 (P –SV-çàäà÷à) Òàáëèöÿ 1. Ìîäåëü ñåðåäîâèùà: äâà øàðè íà ï³âïðîñòîð³ Номер шару Vp, м/с Vs, м/с h, м μ ·1011, Па 1 6000 3550 2000 3,2451 2 6000 3550 3000 3,2451 Півпростір 6300 3700 ∞ 3,62781 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 2 2 g g g g 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 4 2 2 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i A g g g g g g g g g g g A −β β⎛ ⎞ ⎜ ⎟α −α − −⎜ ⎟= ⎜ ⎟μ α − μ α −μ −μ ⎜ ⎟ μ μ − μ β μ β⎝ ⎠ −μ − α β −μ − α β −μ + α β −μ + α β − μ α μ β μ − α β μ − α β μ + α β μ + α β μ α − μ β −β μ − β μ − =� ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i i 2 2 0 0 .2 2 2 2 0 0 1 1 1 1 2 2 4 4 4 4 4 4 i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i g g g g g g g g g g g g g ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟β μ − −β μ − ⎜ ⎟ α μ − −α μ − α μ − −α μ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟− −α β − −α β − +α β − +α β − α β ⎜ ⎟ ⎜ ⎟μ − α β μ − α β μ + α β μ + α β μ α − μ β⎝ ⎠ 47ISSN 1684-2189 ÃÅÎ²ÍÔÎÐÌÀÒÈÊÀ, 2008, ¹ 4 ×èñåëüí³ ðîçðàõóíêó õâèëüîâîãî ïîëÿ. Âèêî- ðèñòàºìî ôîðìóëè (1) òà (8) äëÿ ðîçðàõóíêó õâè- ëüîâîãî ïîëÿ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ øàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó. ßê ïðèêëàä ðîçãëÿíåìî ìîäåëü ñåðåäîâèùà: ñ³ì øàð³â íà ï³âïðîñòîð³, äëÿ ÿêî¿ ïàðàìåòðè äðó- ãîãî ³ òðåòüîãî øàð³â îäíàêîâ³. Çàäàìî òåíçîð ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó ó âèãëÿä³ 13 13 13 13 13 12 13 12 13 5,687 10 7,805 10 1,498 10 7,805 10 2,046 10 9,594 10 1,498 10 9,594 10 7,733 10 m ⎛ ⎞⋅ − ⋅ − ⋅ ⎜ ⎟ = − ⋅ ⋅ − ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⋅ − ⋅ − ⋅⎝ ⎠ . (9) Âèêîðèñòàâøè ïðîãðàìíèé ïàêåò MATLAB, îòðèìóºìî ÷èñåëüí³ ðîçðàõóíêè õâèëüîâîãî ïîëÿ, çã³äíî ç ôîðìóëîþ (9) ³ òàáë. 2. Äæåðåëî ñåéñì³÷- íèõ õâèëü, ïðåäñòàâëåíå òåíçîðîì ñåéñì³÷íîãî ìîìåíòó (9), ðîçì³ùåíî âñåðåäèí³ äðóãîãî øàðó íà ãëèáèí³ hS = 10900 ì (òàáë. 2). Åï³öåíòðàëüíà â³äñòàíü äîð³âíþº 12 êì. Ðèñ. 2 ³ëþñòðóº òðè êîìïîíåíòè ïîëÿ, ïåðåì³ùåí³ íà â³ëüí³é ïîâåðõí³. Òåîðåòè÷í³ ðîçðàõóíêè ÷àñ³â âñòóïó P- ³ S-õâèëü äàþòü òàê³ çíà÷åííÿ: tp = 2,64 – ÷àñ âñòóïó Ð-õâèë³; ts = 4,48 – ÷àñ âñòóïó S-õâèë³. Çã³äíî ç ÷èñåëüíèìè ðîçðàõóíêàìè çà ôîðìó- ëàìè (1), (3), (8), ìè îäåðæàëè ñèíòåòè÷í³ ñåéñ- ìîãðàìè (ðèñ. 2), ÿê³ â³äïîâ³äàþòü ÷àñàì âñòóïó P- ³ S-õâèëü, ðîçðàõîâàíèì òåîðåòè÷íî. Âèñíîâîê. Ðåçóëüòàòè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäå- ëþâàííÿ ïîøèðåííÿ ñåéñì³÷íèõ õâèëü ó øàðó- âàòîìó ï³âïðîñòîð³ äàþòü ï³äñòàâè ñòâåðäæó- âàòè, ùî âèêîðèñòàííÿ ìàòðèöü øîñòîãî ïîðÿäêó º äîñòàòíüî åôåêòèâíèé ñïîñ³á äëÿ ³íòåðïðåòàö³¿ ïîëÿ ïåðåì³ùåííÿ íà â³ëüí³é ïî- âåðõí³. Äëÿ ïðèøâèäøåííÿ ðîçðàõóíê³â, òîáòî äëÿ çìåíøåííÿ ìàøèííîãî ÷àñó, â ìîíîãðàô³¿ [3] çä³éñíåíî ïåðåõ³ä â³ä ìàòðèöü 6×6 äî ìàò- ðèöü 5×5, ùî ìè ïëàíóºìî ïîêàçàòè ó ïîäàëü- øèõ ðîáîòàõ. Êð³ì òîãî, ïëàíóºìî ïðîâåñòè ìàòåìàòè÷í³ ïåðåòâîðåííÿ ó ôîðìóëàõ (3). Íà- âåäåí³ îïåðàö³¿ äàþòü çìîãó çíà÷íî ïîë³ïøèòè ðåçóëüòàòè ³ ðîçøèðèòè ìîæëèâîñò³ äëÿ ìàòå- ìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ õâèëüîâèõ ïðîöåñ³â ó øàðóâàòîìó ï³âïðîñòîð³. Òàáëèöÿ 2. Ìîäåëü ñåðåäîâèùà: ñ³ì øàð³â íà ï³âïðîñòîð³ Ðèñ. 2. Êîìïîíåíòè (0) (0) (0), ,z ru u uϕ ïîëÿ ïåðåì³ùåíü íà â³ëüí³é ïîâåðõí³ ç âèêîðèñòàííÿì äàíèõ òàáë. 2 Номер шару VP, м/с VS, м/с h, м μ·1011, Па 1 6000 3550 5600 3,245 2 6300 3700 5300 3,627 3 6300 3700 790 3,627 4 7000 4000 684 4,483 5 7500 4300 134 4,945 6 7900 4800 184 5,267 7 8300 5100 484 5,963 Півпростір 8500 5300 ∞ 6,263 48 ISSN 1684-2189 GEOINFORMATIKA, 2008, ¹ 4 Ä.Â. Ìàëèöüêèé, Î.². Õèòðÿê ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÍÅ ÌÎÄÅËÞÂÀÍÍß ÕÂÈËÜÎÂÈÕ ÏÐÎÖÅÑ²Â Ó ØÀÐÓÂÀÒÎÌÓ Ï²ÂÏÐÎÑÒÎÐ² Ç ÂÈÊÎÐÈÑÒÀÍÍßÌ ÌÀÒÐÈÖÜ ØÎÑÒÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÓ Çàïðîïîíîâàíî âèêîðèñòàííÿ ìàòðèöü øîñòîãî ïîðÿäêó äëÿ ìîäåëþâàííÿ õâèëüîâîãî ïîëÿ íà â³ëüí³é ïî- âåðõí³ øàðóâàòîãî ï³âïðîñòîðó. Ïîêàçàíî, ùî öåé ï³äõ³ä çíà÷íî ðîçøèðþº âèêîðèñòàííÿ ìàòðè÷íîãî ìåòîäó. Îäåðæàí³ ðåçóëüòàòè ìàòåìàòè÷íîãî ìîäåëþâàííÿ º ïðîñòèìè ó âèêîðèñòàíí³, ¿õ ìîæíà çàñòîñîâóâàòè äëÿ ³íòåðïðåòàö³¿ ñåéñì³÷íèõ çàïèñ³â. Ä.Â. Ìàëèöêèé, Î.È. Õèòðÿê ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÎÅ ÌÎÄÅËÈÐÎÂÀÍÈÅ ÂÎËÍÎÂÛÕ ÏÐÎÖÅÑÑÎÂ Â ÑËÎÈÑÒÎÌ ÏÎËÓÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÅ Ñ ÈÑÏÎËÜÇÎÂÀÍÈÅÌ ÌÀÒÐÈÖ ØÅÑÒÎÃÎ ÏÎÐßÄÊÀ Ïðåäëàãàåòñÿ èñïîëüçîâàíèå ìàòðèö øåñòîãî ïîðÿäêà äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ âîëíîâîãî ïîëÿ íà ñâîáîäíîé ïîâåðõ- íîñòè ñëîèñòîãî ïîëóïðîñòðàíñòâà. Ïîêàçàíî, ÷òî äàííûé ïîäõîä çíà÷èòåëüíî ðàñøèðÿåò èñïîëüçîâàíèå ìàò- ðè÷íîãî ìåòîäà. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ìàòåìàòè÷åñêîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè â èñïîëüçîâà- íèè è ìîãóò ïðèìåíÿòüñÿ äëÿ èíòåðïðåòàöèè ñåéñìè÷åñêèõ çàïèñåé. 1. Àêè Ê., Ðè÷àðäñ Ï. Êîëè÷åñòâåííàÿ ñåéñìîëîãèÿ: Òåî- ðèÿ è ìåòîäû. – Ì.: Ìèð, 1983. – T. 1, 2. – 880 ñ. 2. Ìîëîòêîâ Ë.À. Èññëåäîâàíèå ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí â ïîðèñòûõ è òðåùèíîâàòûõ ñðåäàõ íà îñíîâå ýôôåê- òèâíûõ ìîäåëåé Áèî è ñëîèñòûõ ñðåä. – Ì.: Íàóêà, 2001. – 348 ñ. 3. Ìîëîòêîâ Ë.À. Ìàòðè÷íûé ìåòîä â òåîðèè ðàñïðîñò- ðàíåíèÿ âîëí â ñëîèñòûõ, óïðóãèõ è æèäêèõ ñðåäàõ. – Ì.: Íàóêà, 1984. – 201ñ. 4. Ìàëèöüêèé Ä.Â. Îñíîâí³ ïðèíöèïè ðîçâ’ÿçàííÿ äèíà- ì³÷íî¿ çàäà÷³ ñåéñìîëîã³¿ íà îñíîâ³ ðåêóðåíòíîãî ï³äõîäó // Ãåîô³ç. æóðí. – 1998. – ¹ 5. – Ñ. 96–98. 5. Ìàëèöüêèé Ä.Â., Ïàê Ð.Ì. Âèêîðèñòàííÿ ðåêóðåíòíî- ãî ìåòîäó äëÿ ðîçâ’ÿçàííÿ çàäà÷ ñåéñìîëîã³¿ // Òàì ñàìî. – 2004. – ¹ 6. – Ñ. 168–173. 6. Ìàëèöüêèé Ä.Â., Ìóéëà Î.Î. Ïðî çàñòîñóâàííÿ ìàò- ðè÷íîãî ìåòîäó ³ éîãî ìîäèô³êàö³é äëÿ äîñë³äæåííÿ ïîøèðåííÿ ñåéñì³÷íèõ õâèëü ó øàðóâàòîìó ñåðåäî- âèù³ // Òåîðåòè÷í³ òà ïðèêëàäí³ àñïåêòè ãåî³íôîðìà- òèêè. – Ê., 2007. – Ñ.124–136. 7. Ìàëèöêèé Ä.Â., Ïàê Ð.Ì., Êîçëîâñêèé Ý.Ì., Ìîñüïàí Î.È., Ìóéëà Î.Î. Àíàëèç âîëíîâûõ ïîëåé, ãåíåðèðóå- ìûõ èñòî÷íèêîì ñåéñìè÷åñêèõ âîëí â âèäå òåíçîðà ñåé- ñìè÷åñêîãî ìîìåíòà â ñëîèñòîé ñðåäå // Ìàòåðèàëû ìåæ- äóíàð. íàó÷. êîíô. “Óðîêè è ñëåäñòâèÿ ñèëüíûõ çåìëå- òðÿñåíèé (ê 80-ëåòèþ ðàçðóøèòåëüíûõ çåìëåòðÿñåíèé â Êðûìó)”, ßëòà, 25–28 ñåíò., 2007 ã. – Ñ. 221–223. 8. Ìàëèöüêèé Ä., Ïàê Ð., Êîçëîâñüêèé Å., Ìîñüïàí Î., Ìóéëà Î. Ïîøèðåííÿ ñåéñì³÷íèõ õâèëü ó øàðóâàòî- ìó ñåðåäîâèù³. ×èñåëüí³ ìåòîäè ðîçðàõóíêó õâèëüî- âîãî ïîëÿ // Ìàòåð³àëè íàóê. êîíô. “Íîâ³ ãåîô³çè÷í³ òåõíîëîã³¿ ïðîãíîçóâàííÿ òà ìîí³òîðèíãó ãåîëîã³÷íî- ãî ñåðåäîâèùà”, ïðèñâÿ÷. ïàì’ÿò³ ôóíäàòîð³â Êàðïàò. â³ä-íÿ. ²í-òó ãåîô³çèêè ³ì. Ñ.². Ñóááîò³íà ÍÀÍ Óê- ðà¿íè Òàðàñà Çèíîâ³éîâè÷à Âåðáèöüêîãî ³ ßðîñëàâà Ñòàí³ñëàâîâè÷à Ñàïóæàêà, 9–11 æîâò., 2007 ð. – Ëüâ³â, 2007. – Ñ.66–69. 9. Kennet B.L.N. The seismic wavefield. – Cambridge:Univ. Press, 2001. – 370 ñ. 10. Dunkin I.W. Computation of modal solutions in layered elastic media at high frequencies // Bul. Seismol. Soc. Amer. – 1965. – 55, ¹ 2. – P. 335–358. 11. Müller G. The reflectivity method: a tutorial // J. Geophysics. – 1985. – ¹ 58. – P. 153–174. Íàä³éøëà äî ðåäàêö³¿ 14.04.2008 ð.

Математичне моделювання хвильових процесів у шаруватому півпросторі з використанням матриць шостого порядку

Репозитарії

Схожі ресурси