Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле
Исследована фазовая топология вполне интегрируемой гамильтоновой системы, описывающей волчок Ковалевской в двойном силовом поле при условиях на параметры, обеспечивающих существование группы симметрий SO(2) синхронных вращений вокруг оси динамической симметрии и нормали к плоскости силовых полей....
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123740 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле / Д.Б. Зотьев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 66-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123740 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237402017-09-10T03:03:49Z Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле Зотьев, Д.Б. Исследована фазовая топология вполне интегрируемой гамильтоновой системы, описывающей волчок Ковалевской в двойном силовом поле при условиях на параметры, обеспечивающих существование группы симметрий SO(2) синхронных вращений вокруг оси динамической симметрии и нормали к плоскости силовых полей. Вычислена бифуркационая диаграмма и области возможности движения. Описаны геометрические особенности, характерные для данной задачи. Найдены топологические типы фазового пространства и изоэнергетических поверхностей, которые оказались погруженными подмногообразиями с самопересечениями . Описаны соответствующие особые движения. 2004 Article Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле / Д.Б. Зотьев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 66-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123740 513.94;531.8 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследована фазовая топология вполне интегрируемой гамильтоновой системы, описывающей волчок Ковалевской в двойном силовом поле при условиях на параметры, обеспечивающих существование группы симметрий SO(2) синхронных вращений вокруг оси динамической симметрии и нормали к плоскости силовых полей. Вычислена бифуркационая диаграмма и области возможности движения. Описаны геометрические особенности, характерные для данной задачи. Найдены топологические типы фазового пространства и изоэнергетических поверхностей, которые оказались погруженными подмногообразиями с самопересечениями . Описаны соответствующие особые движения. |
| format |
Article |
| author |
Зотьев, Д.Б. |
| spellingShingle |
Зотьев, Д.Б. Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле Механика твердого тела |
| author_facet |
Зотьев, Д.Б. |
| author_sort |
Зотьев, Д.Б. |
| title |
Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле |
| title_short |
Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле |
| title_full |
Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле |
| title_fullStr |
Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле |
| title_full_unstemmed |
Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле |
| title_sort |
фазовая топология волчка ковалевской в so(2)-симметричном двойном силовом поле |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123740 |
| citation_txt |
Фазовая топология волчка Ковалевской в SO(2)-симметричном двойном силовом поле / Д.Б. Зотьев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 66-71. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT zotʹevdb fazovaâtopologiâvolčkakovalevskojvso2simmetričnomdvojnomsilovompole |
| first_indexed |
2025-07-09T00:10:27Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:10:27Z |
| _version_ |
1837125943426023424 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34ÓÄÊ 513.944;531.38
©2004. Ä.Á. ÇîòüåâÔÀÇÎÂÀß ÒÎÏÎËÎ�Èß ÂÎË×ÊÀ ÊÎÂÀËÅÂÑÊÎÉ SO(2)-ÑÈÌÌÅÒ�È×ÍÎÌ ÄÂÎÉÍÎÌ ÑÈËÎÂÎÌ ÏÎËÅÈññëåäîâàíà �àçîâàÿ òîïîëîãèÿ âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìû, îïèñûâàþùåé âîë÷îêÊîâàëåâñêîé â äâîéíîì ñèëîâîì ïîëå ïðè óñëîâèÿõ íà ïàðàìåòðû, îáåñïå÷èâàþùèõ ñóùåñòâîâàíèåãðóïïû ñèììåòðèé SO(2) � ñèíõðîííûõ âðàùåíèé âîêðóã îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè è íîðìàëè êïëîñêîñòè ñèëîâûõ ïîëåé. Âû÷èñëåíà áè�óðêàöèîíàÿ äèàãðàììà è îáëàñòè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ.Îïèñàíû ãåîìåòðè÷åñêèå îñîáåííîñòè, õàðàêòåðíûå äëÿ äàííîé çàäà÷è. Íàéäåíû òîïîëîãè÷åñêèå òèïû�àçîâîãî ïðîñòðàíñòâà è èçîýíåðãåòè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, êîòîðûå îêàçàëèñü ïîãðóæåííûìè ïîäìíî-ãîîáðàçèÿìè ñ ñàìîïåðåñå÷åíèÿìè. Îïèñàíû ñîîòâåòñòâóþùèå îñîáûå äâèæåíèÿ.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. �àññìîòðèì íàìàãíè÷åííîå òâåðäîå òåëî ñ íåïîäâèæíîéòî÷êîé, êîòîðîå âðàùàåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ãðàâèòàöèîííîãî è ìàãíèòíîãî ïîëåé [1℄. Ïî-ëÿ ïðåäïîëàãàþòñÿ îäíîðîäíûìè è ñòàöèîíàðíûìè.  ïîäâèæíîé ñèñòåìå îòñ÷åòà äè-íàìèêà òåëà îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ïóàññîíà
Ṁ = [M,ω] + mg[r,γ] + B[d, δ], γ̇ = [γ,ω], δ̇ = [δ,ω], (1)ãäå m � ìàññà òåëà, M � êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò, ω � óãëîâàÿ ñêîðîñòü, r � ðàäèóñ-âåêòîð öåíòðà ìàññ, gγ � óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ, d � ïîëíûé ìàãíèòíûé ìîìåíòòåëà, Bδ � íàïðÿæåííîñòü ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Âåêòîðû γ, δ åäèíè÷íû è íåïîäâèæíû âïðîñòðàíñòâå, à âåêòîðû r,d �èêñèðîâàíû â òåëå.Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè ñâÿçàíû óñëîâèåì Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé
I1 = I2 = 2I3, à âåêòîðû r, d âçàèìíî îðòîãîíàëüíû è ïàðàëëåëüíû ýêâàòîðèàëüíîéïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè [1℄. Òîãäà ïîäâèæíóþ ñèñòåìó ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òî
mgr = (r1, 0, 0), Bd = (0, d2, 0).Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ = (γ, δ), c1 = (4I3r1)
2 , c2 = (4I3)
2r1d2(γ, δ), c3 = (4I3d2)
2 èâ êà÷åñòâå îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ âûáåðåì êîìïîíåíòû
Mi, ξi, ηi (2)â ïîäâèæíûõ îñÿõ âåêòîðîâ M, ξ,η, ãäå ξ =
√
c1γ, η =
√
c3δ.Äàëåå ïîëàãàåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ âûáðàííûìè òàê, ÷òî 4I3 = 1. Ñèñòåìà (1)çàïèøåòñÿ â âèäå
Ṁ1 = 2M2M3 + η3, Ṁ2 = −2M1M3 − ξ3, Ṁ3 = ξ2 − η1;
ξ̇1 = 2(2M3ξ2 − M2ξ3), ξ̇2 = 2(M1ξ3 − 2M3ξ1), ξ̇3 = 2(M2ξ1 − M1ξ2);
η̇1 = 2(2M3η2 − M2η3), η̇2 = 2(M1η3 − 2M3η1), η̇3 = 2(M2η1 − M1η2).
(3)Â ðàáîòå [1℄ ïîêàçàíî, ÷òî, êðîìå èíòåãðàëà ýíåðãèè
H = M2
1 + M2
2 + 2M2
3 − ξ1 − η2, (4)ñèñòåìà (3) èìååò åùå îäèí îáùèé èíòåãðàë òèïà Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé
Z = (M2
1 − M2
2 + ξ1 − η2)
2 + (2M1M2 + ξ2 + η1)
2. (5)66
Òîïîëîãèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ñèììåòðè÷íîì äâîéíîì ïîëå�åîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ (γ,γ) = 1, (δ, δ) = 1, (γ, δ) = c, ãäå |c| 6 1, çàäàþòâ �àçîâîì ïðîñòðàíñòâå R
9 èíâàðèàíòíîå ïîäìíîãîîáðàçèå O. Â ïåðåìåííûõ (2) îíîîïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé óðàâíåíèé
3∑
i=1
ξ2
i = c1,
3∑
i=1
ξiηi = c2,
3∑
i=1
η2
i = c3 (c2
2 6 c1c3). (6)Åñëè |c| = 1, òî O=̃S2×R
3, à åñëè |c| < 1, òî O=̃SO(3)×R
3=̃RP
3×R
3. Ïðè |c| = 1ñèñòåìà âûðîæäàåòñÿ â ñëó÷àé Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé.  äàëüíåéøåì ïîëàãàåì |c| < 1, ÷òîðàâíîñèëüíî c2
2 < c1c3. [1℄ äîêàçàíà ïîëíàÿ èíòåãðèðóåìîñòü ñèñòåìû (3) íà èíâàðèàíòíîì ïîäìíîæåñòâå
M4 = Z−1(0) ∩ O, ñîñòîÿùåì èç òî÷åê ãëîáàëüíîãî ìèíèìóìà èíòåãðàëà Z, � â äîïîë-íåíèå ê èíòåãðàëó (4) óêàçàí ÷àñòíûé èíòåãðàë F : M4 → R, êîòîðûé â ïåðåìåííûõ(2) çàïèøåì òàê
F = (M2
1 + M2
2 )
(
M3 ±
√
ξ1 + η2 − M2
1 − M2
2 + 2
√
c1
2
)
. (7)Ñîâîêóïíîñòü äâèæåíèé, îòâå÷àþùàÿ òðàåêòîðèÿì íà M4, îáîáùàåò 1-é êëàññ Àï-ïåëüðîòà (ñëó÷àé Äåëîíå [2℄). Îáîáùåíèå 2-ãî, 3-ãî è 4-ãî êëàññîâ Àïïåëüðîòà äëÿ ñè-ñòåìû (3) íàéäåíî â ðàáîòàõ [4,5℄.  ðàáîòå [3℄ àâòîðîì èçó÷åíà òîïîëîãèÿ ñëîåíèÿËèóâèëëÿ íà ìíîãîîáðàçèè M4 â ïðåäïîëîæåíèè
(c1 − c3)
2 + c2
2 6= 0. (8)Â [3℄ äîêàçàíî, ÷òî M4=̃S2 × S1 × R, à óñëîâèå
(c1 − c3)
2 + c2
2 = 0 (9)îêàçûâàåòñÿ åäèíñòâåííûì ñëó÷àåì, êîãäàM4 òåðÿåò ãëàäêîñòü.  ðàáîòå [6℄ ñëó÷àé (9)áûë îòìå÷åí êàê èìåþùèé îäíîïàðàìåòðè÷åñêóþ ãðóïïó ñèììåòðèé SO(2). Ïðè ýòîìñèñòåìà äîïóñêàåò ñèíõðîííûå âðàùåíèÿ âîêðóã âåêòîðà [γ, δ] è îñè äèíàìè÷åñêîéñèìììåòðèè òåëà.Ì.Ï. Õàðëàìîâ äîêàçàë [5℄, ÷òî âåêòîðû γ è δ áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíîñ÷èòàòü âçàèìíî îðòîãîíàëüíûìè, òî åñòü àïðèîðíî ïîëîæèòü c2 = 0. Ïîýòîìó, �àê-òè÷åñêè, ïðè íóëåâîì çíà÷åíèè èíòåãðàëà Z èìååòñÿ îäíîïàðàìåòðè÷åñêîå ñåìåéñòâî(ñóùåñòâåííûé ïàðàìåòð � îòíîøåíèå c3/c1) èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àåâ Î.È. Áîãîÿâëåí-ñêîãî, îïèñûâàþùèõ àíàëîã îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé 1-ãî êëàññà ïî Àïïåëüðîòóäëÿ íàìàãíè÷åííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ îäíîãî èç íèõ � ñëó÷àÿ
c1 = c3 � íèêåì íå èçó÷àëàñü.  äàííîé ñòàòüå ýòîò ïðîáåë âîñïîëíåí. Ïîëíîñòüþîïèñàíà �àçîâàÿ òîïîëîãèÿ äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîé îãðàíè÷åíèåì ñèñòå-ìû (3) íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî M4 = Z−1(0) ∩ O, ïðè óñëîâèÿõ c2
2 < c1c3 è
(c1 − c3)
2 + c2
2 = 0. ßâíî óêàçàíû äâèæåíèÿ, îòâå÷àþùèå òî÷êàì ñàìîïåðåñå÷åíèÿ ïî-ãðóæåííîãî ïîäìíîãîîáðàçèÿ M4.2. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ. Âñþäó íèæå ïîëàãàåì
c2 = 0, c1 = c3 > 0. (10)67
Ä.Á. ÇîòüåâÏðåäëîæåíèå 1. Èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî M4 ⊂ O ÿâëÿåòñÿ ïîãðóæåííûì ïîä-ìíîãîîáðàçèåì è èìååò òðàíñâåðñàëüíîå ñàìîïåðåñå÷åíèå ïî èíâàðèàíòíîìó ãëàäêîìóöèëèíäðó C2=̃S1 × R, êîòîðûé îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíåíèÿìè
η2
1 + η2
2 = c1, ξ1 = η2, ξ2 = −η1, ξ3 = η3 = 0, M1 = M2 = 0. (11)Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (5) ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèÿ M4 â O èìåþò âèä
Z1 = 0, Z2 = 0, (12)ãäå
Z1 = M2
1 − M2
2 + ξ1 − η2, Z2 = 2M1M2 + ξ2 + η1. (13)Ïðè óñëîâèè (10) äè��åðåíöèàëû �óíêöèé (13) íà O çàâèñèìû ëèøü â òî÷êàõâèäà (11), ñîñòàâëÿþùèõ íåêîòîðîå (èíâàðèàíòíîå) ïîäìíîæåñòâî C2. Òàê êàê M3 ïðî-èçâîëüíî, òî C2=̃S1 ×R.  êàæäîé òî÷êå p ∈ C2 ìíîæåñòâî âñåõ âåêòîðîâ, êàñàòåëüíûõê äè��åðåíöèðóåìûì êðèâûì íà M4, ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ïàðû 4-ìåðíûõ ïîäïðî-ñòðàíñòâ T±
p M4, ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî TpC2. Ýòè ïîäïðîñòðàíñòâà ïåðåñòàíîâî÷íû îòíî-ñèòåëüíî ñèììåòðèè, êîòîðàÿ îáðàùàåò çíàêè êîîðäèíàò M1 è M2. Ïîñêîëüêó M4 \ C2ñóòü ãëàäêîå ìíîãîîáðàçèå è T+
p M4+T−
p M4 = TpO â êàæäîé òî÷êå p ∈ C2, òî î÷åâèäíî,÷òîM4 � ïîãðóæåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå, èìåþùåå òðàíñâåðñàëüíîå ñàìîïåðåñå÷åíèå ïîöèëèíäðó C2. ¤Èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ ñèñòåìû íà M4 ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ñîâìåñòíûå óðîâ-íè èíòåãðàëîâ H,F , è èõ ïåðåñòðîéêè îòâå÷àþò òî÷êàì áè�óðêàöèîííîé äèàãðàììûîòîáðàæåíèÿ
H × F : M4 → R
2. (14)Ïðåäëîæåíèå 2. Áè�óðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ (14) ÿâëÿåòñÿ îáúåäè-íåíèåì ëó÷à
f = 0, h > −2d2 (15)è êðèâîé
f = ±h + 6d2 −
√
h2 + 12d2
2
3
√
6
√
h + 6d2 + 2
√
h2 + 12d2
2. (16)Ìíîæåñòâî (15), (16) èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå. Îäíîçíà÷íûå âåòâè AA+ è AA− êðè-âîé (16) ñõîäÿòñÿ â òî÷êå A = (−2d2, 0), ÿâëÿþùåéñÿ íà÷àëîì ëó÷à (15).Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ:
y = ξ1 + η2, ρ =
√
(ξ1 − η2)2 + (ξ2 + η1)2. (17)Èç (12), (13) ñëåäóåò, ÷òî ρ = M2
1 +M2
2 íà M4. Òî÷êè, â êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ ãëàäêîñòü
M4, ñ÷èòàåì êðèòè÷åñêèìè äëÿ èíòåãðàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ, ïîýòîìó ëó÷ (15) âêëþ-÷àåòñÿ â äèàãðàììó êàê îáðàç öèëèíäðà C2 (ïðåäëîæåíèå 1). Ôóíêöèÿ H : M4 → Rèìååò òîëüêî äâà áè�óðêàöèîííûõ çíà÷åíèÿ ±2d2. Åäèíñòâåííàÿ òî÷êà ìèíèìóìà ÿâ-ëÿåòñÿ ïðîîáðàçîì A = (−2d2, 0), îñòàëüíûå òî÷êè áè�óðêàöèè ëåæàò íà ïðîîáðàçå68
Òîïîëîãèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ñèììåòðè÷íîì äâîéíîì ïîëå
B = (2d2, 0). Èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3
h = H−1(h) â M4 îïðåäåëÿåòñÿ óðàâíå-íèåì
M3 = ±
√
y − ρ + h
2
. (18)Çàìåòèì, ÷òî ïðè −2d2 < h 6 2d2 ïîâåðõíîñòü Q3
h ÿâëÿåòñÿ ñâÿçíîé, à ïðè h > 2d2îíà ñîñòîèò èç äâóõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò, íà îäíîé èç êîòîðûõ M3 > 0 è F > 0, à íàäðóãîé M3 < 0 è F 6 0. Îáîçíà÷èì ÷åðåç Fh îãðàíè÷åíèå èíòåãðàëà (7) íà Q3
h:
Fh =
ρ√
2
(
±
√
y − ρ + h ±
√
y − ρ + 2
√
c1
)
. (19)Èç óñëîâèÿ dFh = 0 ñëåäóåò óðàâíåíèå (16). ¤Îïðåäåëåíèå. Ïîãðóæåíèå j : S3 → M,
Áè�óðêàöèîííàÿ äèàãðàììà.
ãäå M ïðîèçâîëüíîå ìíîãîîáðàçèå ðàçìåðíîñòè
n > 4, íàçîâåì ñêðó÷èâàþùèì ïîãðóæåíèåì, àåãî îáðàç j(S3) � ñêðó÷åííîé ñ�åðîé, åñëè:à) ñóùåñòâóåò îêðóæíîñòü S1 ⊂ S3 òàêàÿ,÷òî îãðàíè÷åíèå j|S1 ÿâëÿåòñÿ äâóëèñòíûì íà-êðûòèåì îêðóæíîñòè j(S1) ⊂ M;á) â êàæäîé òî÷êå p ∈ j(S1) ìíîæåñòâî âñåõâåêòîðîâ, êàñàòåëüíûõ ê íåïðåðûâíî-äè��åðåí-öèðóåìûì êðèâûì íà j(S3), ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíå-íèåì ïàðû 3-ìåðíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ, ïåðåñåêà-þùèõñÿ ïî ïðÿìîé Tpj(S
1);â) îòîáðàæåíèå j èíúåêòèâíî íà ìíîæåñòâå
S3 \ S1.Îòìåòèì, ÷òî ââåäåííûå òåðìèíû íå ÿâëÿþòñÿ îáùåïðèíÿòûìè è íèãäå, êðîìåäàííîé ñòàòüè, íå ïðèìåíÿþòñÿ.Ïðåäëîæåíèå 3. Ëþáûå äâå ñêðó÷åííûå ñ�åðû ãîìåîìîð�íû.Òàêèì îáðàçîì, ñêðó÷åííàÿ ñ�åðà � ýòî òîïîëîãè÷åñêèé òèï.Ïðåäëîæåíèå 4. Ïîãðóæåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå M4 ãîìåîìîð�íî ïðîèçâåäåíèþñêðó÷åííîé ñ�åðû íà ïðÿìóþ.Äîêàçàòåëüñòâî. Èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî M4 ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå M4 =
= N 3 × R(M3) ⊂ R
9, ãäå ïîãðóæåííîå ïîäìíîãîîáðàçèå N 3 ⊂ R
8 îïðåäåëÿåòñÿ óðàâ-íåíèÿìè (6) è (12). Ïðè ýòîì C2 = S1
0 × R(M3), ãäå îêðóæíîñòü S1
0 ⊂ N 3 îïðåäåëÿåòñÿóðàâíåíèÿìè (11), êîòîðûå ýêâèâàëåíòíû ρ = 0. Äëÿ íåêîòîðîãî h > 2d2 çà�èêñèðóåìîäíó èç äâóõ ñâÿçíûõ êîìïîíåíò Q3
h, íàïðèìåð, êîìïîíåíòó, ó êîòîðîé M3 > 0. Îíàÿâëÿåòñÿ ãðà�èêîì �óíêöèè M3, çàäàííîé ñîãëàñíî (18), íåïðåðûâíîé íà N 3 è ãëàä-êîé íà N 3 \ S1
0 . Îãðàíè÷èì èíòåãðàë F íà äàííóþ êîìïîíåíòó. Ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íàêîìïîíåíòå ñïðîåêòèðóåì íà ìíîãîîáðàçèå N 3 \ S1
0 . Ïðîåêöèÿ �óíêöèè F íà N 3, çàêîòîðîé ìû ñîõðàíÿåì îáîçíà÷åíèå F , â ïåðåìåííûõ (17) èìååò âèä (19), ãäå èç ïåðâîãî
± ñëåäóåò âûáðàòü çíàê +. Ôóíêöèÿ F ïîðîæäàåò ñëîåíèå N 3 \ S1
0 íà âëîæåííûå òîðû
T 2. Çàìåòèì, ÷òî F > 0 è F−1(0) = S1
0 . Âëîæåííûé â N 3 òîð F−1(f) îáîçíà÷èì T 2
f .Ïðîåêöèÿ òîðà T 2
f íà ïëîñêîñòü R
2(y, ρ) ÿâëÿåòñÿ �ðàãìåíòîì êðèâîé
y =
(h − 2
√
c1)
2
8f 2
ρ2 + ρ − h + 2
√
c1
2
+
f 2
2ρ2
, (20)69
Ä.Á. Çîòüåâíå âûõîäÿùèì èç òðåóãîëüíèêà A1A2A3, êîòîðûé îãðàíè÷åí îòðåçêàìè ïðÿìûõ
[A1A2] : y − ρ = −2
√
c1, [A2A3] : y + ρ = 2
√
c1, [A1A3] : ρ = 0.Ýòîò �ðàãìåíò êðèâîé (20), ÿâëÿþùèéñÿ âëîæåííûì îòðåçêîì, áóäåì íàçûâàòüäóãîé. Åñëè çíà÷åíèå f ñòðåìèòñÿ ê ìàêñèìóìó fmax, òî äóãà ñòÿãèâàåòñÿ â íåêîòîðóþòî÷êó A4 ∈ (A2A3). Ñîîòâåòñòâóþùèé òîð T 2
f ñòÿãèâàåòñÿ íà ìàêñèìàëüíóþ îêðóæ-íîñòü. Ïðè ýòîì íåêîòîðûé íåòðèâèàëüíûé öèêë σ(f) ⊂ T 2
f ñòÿãèâàåòñÿ â òî÷êó. Åñëè
f ñòðåìèòñÿ ê íóëþ, òî äóãà ãîìîòîïèðóåòñÿ â îòðåçîê [A1A3], ñêëàäûâàÿñü â ïðåäå-ëå âäâîå. Ñîîòâåòñòâóþùèé òîð T 2
f ãîìîòîïèðóåòñÿ â îêðóæíîñòü S1
0 . Ïðè ýòîì öèêë
σ(f) ñòÿãèâàåòñÿ íà S1
0 ïîäîáíî òîìó, êàê ãðàíèöà ëèñòà Ìåáèóñà ñòÿãèâàåòñÿ íà îñåâóþîêðóæíîñòü. Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè óìåíüøåíèè f îò fmax äî íóëÿ òîð T 2
f çàìåòàåò ñ�åðó
S3, ñêðó÷åííóþ âäîëü îêðóæíîñòè S1
0 . Ïóñòü j : S3 → R
8 �
êðó÷èâàþùåå ïîãðóæåíèåýòîé ñ�åðû, òîãäà j(S3) = N 3. Ñëåäîâàòåëüíî M4 = j(S3) × R. ¤Îïðåäåëåíèå. Ïóñòü ïîäìíîãîîáðàçèÿ N1 ⊂ M è N2 ⊂ M ïåðåñåêàþòñÿ ïî ïîä-ìíîãîîáðàçèþ Q ⊂ M. Íàçîâåì ýòî ïåðåñå÷åíèå ðåãóëÿðíûì, åñëè TpQ = TpN1 ∩ TpN2â êàæäîé òî÷êå p ∈ Q.Ïðåäëîæåíèå 5. 1. Ïðè −2d2 < h < 2d2 èçîýíåðãåòè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü Q3
h ÿâëÿåò-ñÿ îáúåäèíåíèåì ïàðû âëîæåííûõ â O ñ�åð S3, ðåãóëÿðíî ïåðåñåêàþùèõñÿ ïî îêðóæ-íîñòè S1 ⊂ C2, êîòîðàÿ èñ÷åðïûâàåò ïåðåñå÷åíèå êàæäîé èç ñ�åð ñ öèëèíäðîì C2.2. Ïðè h > 2d2 ïîâåðõíîñòü Q3
h èìååò äâå ñâÿçíûõ êîìïîíåíòû, êàæäàÿ èç êîòî-ðûõ ÿâëÿåòñÿ ñêðó÷åííîé ñ�åðîé j(S3) è ïåðåñåêàåòñÿ ñ öèëèíäðîì C2 ïî ñâîåé îñîáîéîêðóæíîñòè.Äîêàçàòåëüñòâî. Âòîðîå óòâåðæäåíèå ñîäåðæèòñÿ â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 4.Ïåðâîå ïîëó÷àåòñÿ àíàëîãè÷íî, îäíàêî îòðåçîê [A1A2] ëåæèò íà ïðÿìîé y−ρ = −h, ãäå
−2
√
c1 < h < 2
√
c1.  ýòîì ñëó÷àå Q3
h ñâÿçíà è íà îêðóæíîñòü S1(h) ⊂ Q3
h, îïðåäåëÿ-åìóþ ðàâåíñòâîì ρ = 0, ñòÿãèâàåòñÿ ïàðà òîðîâ Ëèóâèëëÿ T 2
f , îòâå÷àþùèõ çíà÷åíèÿì
f > 0 è f < 0. Ïðè ýòîì òîðû ñåìåéñòâà [0, fmax] çàìåòàþò âëîæåííóþ ñ�åðó S3, àòîðû ñåìåéñòâà [fmin, 0] çàìåòàþò ñâîþ âëîæåííóþ ñ�åðó S3. Îáå ñ�åðû ðåãóëÿðíîïåðåñåêàþòñÿ ïî S1(h). ¤Òåïåðü ìû ãîòîâû îïèñàòü ñëîåíèå Ëèóâèëëÿ íà M4 \ C2. Îáîçíà÷èì ÷åðåç p+(h)è p−(h) òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé H = h ñ êðèâûìè AA+ è AA− (ñì.ðèñóíîê).Ïðåäëîæåíèå 6. Ïðîîáðàçîì êàæäîé òî÷êè èç ðåãóëÿðíûõ îáëàñòåé 1 è 2 ÿâëÿåòñÿîäèí òîð Ëèóâèëëÿ. Åñëè h > −2d2, òî ïðîîáðàçîì òî÷êè p+(h) ÿâëÿåòñÿ ìàêñèìàëüíàÿ,à ïðîîáðàçîì òî÷êè p−(h) � ìèíèìàëüíàÿ îêðóæíîñòè èíòåãðàëà F , îãðàíè÷åííîãî íàèçîýíåðãåòè÷å
êóþ ïîâåðõíîñòü Q3
h = H−1(h) ⊂ M4. Åñëè h = −2d2, òî ïîâåðõíîñòü
H−1(h) âûðîæäàåòñÿ â òî÷êó.Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ îáëàñòè 1 åäèíñòâåííûé òîð Ëèóâèëëÿ íàä ïðîèçâîëüíîé ååòî÷êîé ÿâíî óêàçàí â äîêàçàòåëüñòâå ïðåäëîæåíèÿ 5. Ñëó÷àé îáëàñòè 2 àíàëîãè÷åí.Òî÷êàì êðèâîé A−AA+, âîîáùå ãîâîðÿ, ìîãëè áû ñîîòâåòñòâîâàòü áóòûëêè Êëåéíà K2.Îäíàêî ýòîãî íåò, ïîñêîëüêó ïðîîáðàçîì òî÷êè íà ïëîñêîñòè R
2(y, ρ), â êîòîðóþ ñòÿ-ãèâàåòñÿ ïðîåêöèÿ (20) òîðà Ëèóâèëëÿ, ÿâëÿåòñÿ îäíîìåðíîå ïîäìíîãîîáðàçèå. ¤Çàìåòèì, ÷òî â äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà èíâàðèàíòíûå ïîäìíîãîîáðàçèÿ â �îðìåáóòûëîê Êëåéíà íå íàáëþäàëèñü.70
Òîïîëîãèÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â ñèììåòðè÷íîì äâîéíîì ïîëå3. Îñîáûå äâèæåíèÿ.Ïðåäëîæåíèå 7. Ôàçîâûì òðàåêòîðèÿì, ëåæàùèì íà èíâàðèàíòíîì öèëèíäðå C2,îòâå÷àþò ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ âîêðóã îñè äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè, ñîõðàíÿþùåé âïðîñòðàíñòâå ïîëîæåíèå, ïàðàëëåëüíîå âåêòîðó [γ, δ]. Ïðè ýòîì:1) åñëè h = −2d2 (òî÷êà A), òî òåëî íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ;2) åñëè −2d2 < h < 2d2, òî òåëî ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ ïîñòîÿííûì ïåðèîäîì;3) åñëè h = 2d2 (òî÷êà B), òî òåëî íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿèëè ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ ñ áåñêîíå÷íûì ïîëóïåðèîäîì;4) åñëè h > 2d2, òî òåëî âðàùàåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì ïåðèîäîì.Äîêàçàòåëüñòâî. Ñîãëàñíî (11), ξ3 = η3 = 0. Ïîýòîìó îñü äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèèâ äâèæåíèÿõ ýòîãî êëàññà ñîõðàíÿåò íàïðàâëåíèå, îðòîãîíàëüíîå âåêòîðàì ξ,η.Öèëèíäð C2 ðàññëàèâàåòñÿ íà èíâàðèàíòíûå ïîäìíîæåñòâà, âûäåëÿåìûå óðàâíåíè-åì (18). Ñðåäè íèõ îäíà òî÷êà (h = −2d2) è îäíà âîñüìåðêà (h = 2d2), à âñå îñòàëüíûåÿâëÿþòñÿ îêðóæíîñòÿìè (â òîïîëîãè÷åñêîì ñìûñëå). Äëÿ çàâåðøåíèÿ äîêàçàòåëüñòâàäîñòàòî÷íî íàðèñîâàòü ñëîåíèå öèëèíäðà. ¤Çàìåòèì, ÷òî â ñëó÷àå Î.È. Áîãîÿâëåíñêîãî (8) òåëî íå èìååò ïîëîæåíèé ðàâíîâå-ñèÿ, åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé (γ, δ) = 0 è r1 = d2 [3℄.  ðàññìîò-ðåííîì îñîáîì ñëó÷àå (9) íà M4 ïîïàäàþò òîëüêî äâà ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ âîë÷êà.Óñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå îòâå÷àåò êîí�èãóðàöèè, â êîòîðîé âåêòîð r ñîíàïðàâëåí γ, àâåêòîð d ñîíàïðàâëåí δ. Íåóñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå èìååò ìåñòî, êîãäà âåêòîð r ïðîòè-âîíàïðàâëåí γ, à âåêòîð d ïðîòèâîíàïðàâëåí δ.Àâòîð áëàãîäàðåí Ì.Ï. Õàðëàìîâó çà ñîâåòû è êðèòè÷åñêèå çàìå÷àíèÿ.1. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Èíòåãðèðóåìûå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà íà àëãåáðàõ Ëè, âîçíèêàþùèå â çàäà÷àõìàòåìàòè÷åñêîé �èçèêè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑ�. Ñåð. ìàò. � 1984. � 48, âûï. 5.� Ñ. 883 � 938.2. Äåëîíå Í.Á. Àëãåáðàè÷åñêèå èíòåãðàëû äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè. � ÑÏá.,1892. � 78 ñ.3. Zotev D.B. Fomenko-Zies
hang invariant in the Bogoyavlenskyi integrable
ase // Regular &
haoti
dynami
s. � 2000. � 5, N 4. � P. 437 � 458.4. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îäèí êëàññ ðåøåíèé ñ äâóìÿ èíâàðèàíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè çàäà÷è î äâèæåíèèâîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîñòîÿííîì ïîëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà.� 2002. � Âûï. 32. �Ñ. 32 � 38.5. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî è áè�óðêàöèîííàÿ äèàãðàììà çàäà÷è î äâèæåíèè âîë÷êàÊîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå � Ñì. íàñò. ñá. � Ñ. - .6. ßõüÿ Õ.Ì. Íîâûå èíòåãðèðóåìûå ñëó÷àè çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà // Âåñòíèê Ì�Ó. Ñåð. ìàò.ìåõ. � 1987. � Âûï. 4. � Ñ. 88 � 90.Âîëãîãðàäñêèé ãîñ. òåõí. óí-ò, �îññèÿ.zotev�inbox.ru Ïîëó÷åíî 24.09.04
71
|