О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости

Рассматривается задача о движении тяжелого твердого динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. В случае, когда поверхность тела и распределение масс в нем удовлетворяют некоторому условию, указан явный вид двух дополни...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автор:	Кулешов, А.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123741
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 72-79. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123741
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237412017-09-10T03:03:55Z О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости Кулешов, А.С. Рассматривается задача о движении тяжелого твердого динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. В случае, когда поверхность тела и распределение масс в нем удовлетворяют некоторому условию, указан явный вид двух дополнительных к интегралу энергии первых интегралов уравнений движения тела. 2004 Article О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 72-79. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123741 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается задача о движении тяжелого твердого динамически симметричного тела, ограниченного поверхностью вращения, по неподвижной горизонтальной плоскости без скольжения. В случае, когда поверхность тела и распределение масс в нем удовлетворяют некоторому условию, указан явный вид двух дополнительных к интегралу энергии первых интегралов уравнений движения тела.
format	Article
author	Кулешов, А.С.
spellingShingle	Кулешов, А.С. О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости Механика твердого тела
author_facet	Кулешов, А.С.
author_sort	Кулешов, А.С.
title	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости
title_short	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости
title_full	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости
title_fullStr	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости
title_full_unstemmed	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости
title_sort	о первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2004
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123741
citation_txt	О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 72-79. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT kulešovas opervyhintegralahuravnenijdviženiâtâželogotelavraŝeniânašerohovatojploskosti
first_indexed	2025-07-09T00:10:32Z
last_indexed	2025-07-09T00:10:32Z
_version_	1837125950257496064
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34 ÓÄÊ 531.36 c©2004. À.Ñ. Êóëåøîâ Î ÏÅÐÂÛÕ ÈÍÒÅÃÐÀËÀÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÄÂÈÆÅÍÈß ÒßÆÅËÎÃÎ ÒÅËÀ ÂÐÀÙÅÍÈß ÍÀ ØÅÐÎÕÎÂÀÒÎÉ ÏËÎÑÊÎÑÒÈ Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî òåëà, îãðàíè÷åí- íîãî ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ, ïî íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè áåç ñêîëüæåíèÿ. Â ñëó÷àå, êîãäà ïîâåðõíîñòü òåëà è ðàñïðåäåëåíèå ìàññ â íåì óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðîìó óñëîâèþ, óêàçàí ÿâíûé âèä äâóõ äîïîëíèòåëüíûõ ê èíòåãðàëó ýíåðãèè ïåðâûõ èíòåãðàëîâ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà. Ââåäåíèå. Â 1932 ãîäó Õ.Ì. Ìóøòàðè â ñâîåé ñòàòüå [1] çàìåòèë, ÷òî "... â òî âðåìÿ êàê èçó÷åíèå îáùèõ ïðîáëåì î íåãîëîíîìíûõ ñèñòåìàõ äàëî îáèëüíûå ðåçóëüòà- òû, êðóã ðàçðåøåííûõ ÷àñòíûõ çàäà÷ ìàëî ðàñøèðèëñÿ, ðåøåíèå æå ïðîáëåìû êàòàíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âðàùåíèÿ ïî íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñî âðå- ìåíè ðàáîò ×àïëûãèíà è Àïïåëÿ ñîâåðøåííî íå ïðîäâèíóëîñü âïåðåä..."Óäèâèòåëüíî, íî ýòî çàìå÷àíèå ñîõðàíÿåò àêòóàëüíîñòü ïî ñåé äåíü. Èíòåãðèðóåìîñòü çàäà÷è î êà÷å- íèè òåëà âðàùåíèÿ ïî íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè áûëà äîêàçàíà â ñòàòüå Ñ.À. ×àïëûãèíà [2]. ×àïëûãèí ïîêàçàë, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà äîïóñêàþò, ïî- ìèìî èíòåãðàëà ýíåðãèè, äâà ëèíåéíûõ îòíîñèòåëüíî îáîáùåííûõ ñêîðîñòåé, ïåðâûõ èíòåãðàëà. Îäíàêî ÿâíûé âèä ýòèõ èíòåãðàëîâ èçâåñòåí ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà äâèæó- ùååñÿ òåëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåîäíîðîäíûé äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé øàð [2]. Â ñëó÷àå, êîãäà òåëî ÿâëÿåòñÿ êðóãëûì äèñêîì èëè îáðó÷åì, ýòè ëèíåéíûå ïî ñêîðîñòÿì èíòåãðàëû ïðåäñòàâëÿþòñÿ â âèäå ñõîäÿùèõñÿ ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèõ ðÿäîâ [2, 3]. Â ðà- áîòå Õ.Ì. Ìóøòàðè [1] áûëî ïðîäîëæåíî èññëåäîâàíèå çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òåëà âðàùåíèÿ ïî íåïîäâèæíîé àáñîëþòíî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè. Ïðè äîïîëíèòåëü- íîì óñëîâèè, íàêëàäûâàþùåì îãðàíè÷åíèÿ íà ðàñïðåäåëåíèå ìàññ è ôîðìó ïîâåðõíî- ñòè òåëà, áûëè íàéäåíû äâà íîâûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿ, êîãäà â ÿâíîì âèäå ìîæíî óêàçàòü ëèíåéíûå ïî ñêîðîñòÿì èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà. Â ïåðâîì ñëó÷àå äâèæó- ùååñÿ òåëî îãðàíè÷åíî ïîâåðõíîñòüþ, îáðàçóåìîé ïðè âðàùåíèè äóãè ïàðàáîëû âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åå ôîêóñ, à âî âòîðîì ñëó÷àå äâèæóùååñÿ òåëî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ. Äëÿ äðóãèõ òåë, îãðàíè÷åííûõ ïîâåðõíîñòüþ âðàùåíèÿ è äâèæóùèõñÿ áåç ñêîëüæåíèÿ ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ÿâíûé âèä ëèíåéíûõ ïî ñêîðîñòÿì ïåðâûõ èíòåãðàëîâ íåèçâåñòåí. Òàêèì îáðàçîì, ïðåäñòàâëÿåò èíòåðåñ çàäà÷à î íàõîæäåíèè ÿâíîãî âèäà ýòèõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå äâèæåíèÿ ïî ïëîñêîñòè òåëà, ïî ôîðìå îòëè÷íîãî îò òåë, ðàññìàòðèâàâøèõñÿ â ðàáîòàõ [1-3]. Íàñòîÿùàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà äàëüíåéøåìó èçó÷åíèþ äàííîé çàäà÷è. Óêàçàí ÿâíûé âèä ëèíåéíûõ ïî ñêîðîñòÿì èíòåãðàëîâ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà, ðàñïðåäåëåíèå ìàññ è ôîðìà ïîâåðõíîñòè êîòîðîãî óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ Ìóøòàðè. Ðåçóëüòàòû ðàáîòû ñóùåñòâåííî äîïîëíÿþò è ðàçâèâàþò ðåçóëüòàòû èññëåäîâàíèÿ, ïðîâåäåííîãî Ìóøòàðè. 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è è óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Ïóñòü òâåðäîå òåëî, ñèììåò- ðè÷íîå ïî ôîðìå è ðàñïðåäåëåíèþ ìàññ îòíîñèòåëüíî îñè Gζ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð òÿæåñòè G òåëà, îïèðàåòñÿ â òî÷êå M íà íåïîäâèæíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ïëîñêîñòü Oxy. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (04-01-00398), ãðàíòà "Ìîëîäûå êàíäèäàòû"(ÌÊ-1393.2003.01) è ãðàíòà "Íàó÷íûå øêîëû"(ÍØ-2000.2003.1) 72 Î ïåðâûõ èíòåãðàëàõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà âðàùåíèÿ Îáîçíà÷èì: θ − óãîë ìåæäó îñüþ ñèììåòðèè òåëà è âåðòèêàëüþ, β � óãîë ìåæäó ìå- ðèäèàíîì Mζ òåëà è êàêîé-ëèáî ôèêñèðîâàííîé ìåðèäèàííîé ïëîñêîñòüþ, α � óãîë ìåæäó ãîðèçîíòàëüíîé êàñàòåëüíîé MQ ìåðèäèàíà Mζ è îñüþ Ox. Ïîëîæåíèå òåëà áóäåò âïîëíå îïðåäåëåíî óãëàìè α, β, θ è êîîðäèíàòàìè x è y òî÷êè M . Êðîìå òîãî, ââåäåì ñèñòåìó êîîðäèíàò Gξηζ, äâèæóùóþñÿ è â ïðîñòðàíñòâå è â òåëå òàê, ÷òî îñü Gξ âñå âðåìÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè âåðòèêàëüíîãî ìåðèäèàíà, à Gη ïåð- ïåíäèêóëÿðíà ýòîé ïëîñêîñòè (ñì. ðèñóíîê). Ïóñòü âåêòîðû ñêîðîñòè v öåíòðà ìàññ G, óãëîâîé ñêîðîñòè ωωω òåëà, óãëîâîé ñêîðîñòè Ω òðåõãðàííèêà Gξηζ è ðåàêöèè ïëîñêîñòè R çàäàþòñÿ â ñèñòåìå êîîðäèíàò Gξηζ êîìïîíåíòàìè vξ, vη, vζ ; p, q, r; Ωξ, Ωη, Ωζ è Rξ, Rη, Rζ ñîîòâåòñòâåííî. Ïóñòü m � ìàññà òåëà, A1 � åãî ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñåé Gξ è Gη, à A3 � ìîìåíò èíåðöèè îòíîñèòåëüíî îñè ñèììåòðèè. Çàìåòèì [1-2], ÷òî ðàññòîÿíèå GQ îò öåí- òðà òÿæåñòè äî ïëîñêîñòè Oxy áóäåò ôóíê- öèåé óãëà θ, òî åñòü GQ = f(θ). Êîîðäèíàòû ξ, η, ζ òî÷êè M êàñàíèÿ òåëà è ïëîñêîñòè â ñèñòåìå êîîðäèíàò Gξηζ òàêæå áóäóò ôóíê- öèÿìè òîëüêî óãëà θ, ïðè÷åì η = 0, à ξ = −f(θ) sin θ − f ′(θ) cos θ, ζ = −f(θ) cos θ + f ′(θ) sin θ. (1) Òàê êàê îñü Gζ íåïîäâèæíà â òåëå, òî Ωξ = p, Ωη = q. Ïëîñêîñòü Gξζ áóäåò âñå âðå- ìÿ âåðòèêàëüíîé, ïîýòîìó Ωζ − Ωξ ctg θ = 0. Ñêîðîñòü òî÷êè êàñàíèÿ M ðàâíà íóëþ, ñëå- äîâàòåëüíî vξ + qζ = 0, vη + rξ − pζ = 0, vζ − qξ = 0. Çàêîí èçìåíåíèÿ èìïóëüñà â ïðîåêöèè íà îñü Gη è çàêîí èçìåíåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà äëÿ îñåé Gξ è Gζ ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé äàþò: d (pζ − rξ) dt − pq (ζ ctg θ + ξ) = Rη m , A1 dp dt + (A3r − A1p ctg θ) q = −ζRη, A3 dr dt = ξRη. (2) Îòáðàñûâàÿ â äàëüíåéøåì ÷àñòíûé ñëó÷àé θ = const è èìåÿ â âèäó, ÷òî q = −dθ/dt, ïî èñêëþ÷åíèè Rη èç ñèñòåìû (2), ïîëó÷èì A1 dp dθ + A3 ζ ξ dr dθ = −A1p ctg θ + A3r, ζ dp dθ − (A3 + mξ2) mξ dr dθ = − (ζ ctg θ + ξ + ζ ′) p + ξ′r. (3) 73 À.Ñ. Êóëåøîâ Ýòè ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïîðÿäêà ïðèâîäÿò ê îäíîìó ëèíåéíîìó äèôôå- ðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ âòîðîãî ïîðÿäêà. Èíòåãðèðîâàíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èëè ñè- ñòåìû (3) äàåò çàâèñèìîñòü p è r îò θ ñ äâóìÿ ïðîèçâîëüíûìè ïîñòîÿííûìè; çàòåì èíòåãðèðîâàíèå çàäà÷è çàêàí÷èâàåòñÿ â êâàäðàòóðàõ. Òàêèì îáðàçîì, èç ñèñòåìû (3) îïðåäåëÿþòñÿ äâà ëèíåéíûõ îòíîñèòåëüíî p è r ïåðâûõ èíòåãðàëà. Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè ÿâíûé âèä ýòèõ èíòåãðàëîâ èçâåñòåí ëèøü â ñëó÷àå, êîãäà äâèæóùååñÿ òåëî ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íûì øàðîì. Äåéñòâèòåëüíî, â ñëó÷àå äâèæåíèÿ ïî ïëîñêîñòè äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íîãî øàðà ðàäèóñà R, öåíòð ìàññ êîòîðîãî íå ñîâïàäàåò ñ ãåîìåòðè÷åñêèì öåíòðîì, à îòñòîèò îò íåãî íà ðàññòîÿíèå d âäîëü îñè ñèììåòðèè øàðà, èìååì f(θ) = R− d cos θ, ξ = −R sin θ, ζ = d−R cos θ è èç ñèñòåìû (3) íàõîäÿòñÿ äâà ïåðâûõ èíòåãðàëà (ïîäðîáíîñòè ñì. â [2]): A1p sin θ + A3r ( cos θ − d R ) = c1 = const, (4) r √√√√A1A3 + mR2 ( A1 sin2 θ + A3 ( cos θ − d R )2 ) = c2 = const. (5) Èíòåãðàë (4) èçâåñòåí êàê èíòåãðàë Æåëëå [4, 5]. Îí âûðàæàåò óñëîâèå ñîõðàíå- íèÿ âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà øàðà è ðàäèóñà-âåêòîðà òî÷êè êàñàíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ. Èíòåãðàë (5) ïðèíÿòî íàçû- âàòü èíòåãðàëîì ×àïëûãèíà. Ïîïûòêà íàéòè ÿâíûé âèä ëèíåéíûõ ïî p è r ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ñëó÷àå äâèæåíèÿ ïî øåðîõîâàòîé ïëîñêîñòè òåë äðóãîé ôîðìû áûëà ïðåäïðèíÿòà â ðàáîòå Õ.Ì. Ìóøòàðè [1]. Íèæå ìû ïðèâîäèì íåêîòîðûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû [1], íà êîòîðûå áóäåì ññûëàòüñÿ â äàëüíåéøåì. 2. Îñíîâíûå ðåçóëüòàòû ðàáîòû Õ.Ì. Ìóøòàðè. Ðàçðåøèì ñèñòåìó ëèíåé- íûõ óðàâíåíèé (3) îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîäíûõ dp dθ = − ( cos θ sin θ + A3mζ (ξ + ζ ′) ∆ ) p + A3 (A3 + mξ2 + mξ′ζ) ∆ r, dr dθ = A1mξ (ξ + ζ ′) ∆ p + mξ (A3ζ − A1ξ ′) ∆ r. (6) Çäåñü è â äàëüíåéøåì ÷åðåç ∆ áóäåì îáîçíà÷àòü âûðàæåíèå ∆ = A1A3 + A1mξ2 + A3mζ2. Èç ñèñòåìû (6) ìîæíî ïîëó÷èòü äëÿ r ñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà d2r dθ2 +  cos θ sin θ + 3m (A1ξξ ′ + A3ζζ ′) ∆ − d dθ (ξ (ξ + ζ ′)) ξ (ξ + ζ ′)   dr dθ − − mξ (ξ + ζ ′) ∆ sin θ [ d dθ ( (A3ζ − A1ξ ′) sin θ ξ + ζ ′ ) + A3 sin θ ] r = 0. (7) 74 Î ïåðâûõ èíòåãðàëàõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà âðàùåíèÿ Â ðàáîòå [1] îñíîâíîå âíèìàíèå áûëî óäåëåíî òåëàì, èìåþùèì òàêóþ ôîðìó ìåðè- äèàííîãî ñå÷åíèÿ, ïðè êîòîðîé áûëè áû âîçìîæíû äâèæåíèÿ òåëà ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ âðàùåíèÿ âîêðóã îñè ñèììåòðèè. Òàêèì îáðàçîì, â [1] ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå (7) èìååò ÷àñòíîå ðåøåíèå r = r0 = const. (8) Äëÿ èññëåäîâàíèÿ ýòîãî ÷àñòíîãî ñëó÷àÿ â ðàáîòå [1] ïðåäëàãàëñÿ ñëåäóþùèé ïîä- õîä. Î÷åâèäíî (ñì. (7)), ÷òî äëÿ òîãî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü óñëîâèå (8) êîîðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ ξ è ζ äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèþ d dθ ( (A3ζ − A1ξ ′) sin θ ξ + ζ ′ ) + A3 sin θ = 0. (9) Ïîäñòàâëÿÿ â äàííîå ñîîòíîøåíèå âûðàæåíèÿ (1) äëÿ ξ, ζ è èõ ïðîèçâîäíûõ, ïîëó- ÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f(θ). Ðåøàÿ åãî, íàéäåì â ÿâíîì âèäå ôóíêöèþ f(θ) è îïðåäåëèì òåì ñàìûì, ïðè êàêîé ôîðìå ìåðèäèàííîãî ñå÷åíèÿ òåëà âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå (9) (ýòî èññëåäîâàíèå ïðîâåäåíî â ïóíêòå 4 äàííîé ðàáîòû). Çàòåì, çíàÿ ÿâíûé âèä ôóíêöèè f(θ), íàéäåì âûðàæåíèÿ äëÿ êîîðäèíàò òî÷êè êàñàíèÿ ξ è ζ, ïîäñòàâèì èõ â ñèñòåìó (6) è, ðåøèâ åå, íàéäåì âûðàæåíèÿ äëÿ p è r. Â ðàáîòå [1] áûëè óêàçàíû äâà ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (9). Îíè èìåþò âèä: A3 = 2 3 A1, f(θ) = λ sin θ , ξ = λ cos2 θ sin2 θ − λ, ζ = −2λ cos θ sin θ , (10) A3 = 2A1, f(θ) = λ cos θ , ξ = −2λ sin θ cos θ , ζ = λ sin2 θ cos2 θ − λ, (11) ãäå λ � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèÿìè (10), îáðàçóåò- ñÿ ïðè âðàùåíèè äóãè ïàðàáîëû âîêðóã îñè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç åå ôîêóñ, à ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ óñëîâèÿìè (11), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïàðàáîëîèä âðàùåíèÿ. Â îáîèõ óêà- çàííûõ ñëó÷àÿõ ïåðåìåííûå p è r âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ýëëèïòè÷åñêèå ôóíêöèè. Ìû ïðåäëàãàåì äðóãîé ñïîñîá èçó÷åíèÿ äàííîé çàäà÷è, ïîçâîëÿþùèé ïîëó÷èòü ÿâíûé âèä ëèíåéíûõ ïåðâûõ èíòåãðàëîâ ñèñòåìû, íå ðåøàÿ óðàâíåíèÿ (9). Ýòîò ñïîñîá èçëàãàåòñÿ â ñëåäóþùåì ïóíêòå. 3. Ïåðâûå èíòåãðàëû óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà â ñëó÷àå Ìóøòàðè. Çà- ìåòèì, ÷òî ñèñòåìó óðàâíåíèé (6) ìîæíî ïðèâåñòè ê òàêîìó âèäó: dτ dθ = h(θ)r, dr dθ = u(θ)τ. (12) Çäåñü ââåäåíû ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ: τ = m [ A1p + (A3ζ − A1ξ ′) (ξ + ζ ′) r ]√ ∆ sin θ, h(θ) = m √ ∆ [ A3 sin θ + d dθ ( (A3ζ − A1ξ ′) sin θ (ξ + ζ ′) )] , u(θ) = ξ (ξ + ζ ′) ∆ 3 2 sin θ . 75 À.Ñ. Êóëåøîâ Ïîêàæåì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ Ìóøòàðè (9), óðàâíåíèÿ (12) äîïóñêàþò ïåðâûé èíòåãðàë, âûðàæåííûé ÷åðåç ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âû- ïîëíåíèè óñëîâèÿ (9) ïîëó÷àåì h(θ) ≡ 0 è, êàê ñëåäóåò èç óðàâíåíèé (12), ñîõðàíÿåòñÿ âûðàæåíèå τ = m [ A1p + (A3ζ − A1ξ ′) (ξ + ζ ′) r ]√ ∆ sin θ = τ0 = const. (13) Èç óñëîâèÿ Ìóøòàðè (9) îäíîêðàòíûì èíòåãðèðîâàíèåì íàõîäèì (A3ζ − A1ξ ′) sin θ ξ + ζ ′ = A3 cos θ + A3`, (14) ãäå ` � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðàë (13) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå [A1p sin θ + A3r cos θ + `A3r] √ A1A3 + A1mξ2 + A3mζ2 = k1 = const. (15) Çàìåòèì, ÷òî ïî ñâîåé ñòðóêòóðå èíòåãðàë (15) íàïîìèíàåò óïîìÿíóòûé ðàíåå èí- òåãðàë ×àïëûãèíà (5). Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïåðåä çíàêîì êîðíÿ â èíòåãðàëå (5), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðîåêöèþ êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà îñü äèíàìè÷å- ñêîé ñèììåòðèè. Àíàëîãè÷íî, âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïåðåä çíàêîì êîðíÿ â èíòåãðàëå (15), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíóþ êîìáèíàöèþ ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðîåêöèé êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà âåðòèêàëü è îñü ñèììåòðèè ñîîòâåòñòâåííî. Ïîñëå íàõîæäåíèÿ èíòåãðàëà (15) ëåãêî íàéòè ÿâíûé âèä è äðóãîãî ïåðâîãî èí- òåãðàëà. Ïîñêîëüêó τ = τ0 = const (ñì. (13)), òî èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (12) ñëåäóåò, ÷òî r = τ0 ∫ u(θ)dθ + k2, îòêóäà r −mk1 ∫ ξ (ξ + ζ ′) ∆ 3 2 sin θ dθ = k2. (16) Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òåë, ìåðèäèàííîå ñå÷åíèå êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ Ìóøòàðè (9), ëèíåéíûå ïî ñêîðîñòÿì ïåðâûå èíòåãðàëû èìåþò âèä (15) è (16). Òåì ñàìûì, îáà èñêîìûõ ïåðâûõ èíòåãðàëà íàéäåíû. Ñëåäóþùèé ïóíêò äàííîé ðàáîòû ïîñâÿùåí âûÿñíåíèþ òîãî, êàêóþ ôîðìó äîëæíî èìåòü ìåðèäèàííîå ñå÷åíèå äâèæóùåãîñÿ òåëà, ÷òîáû äëÿ íåãî âûïîëíÿëîñü óñëîâèå Ìóøòàðè (9). 4. Îïðåäåëåíèå ôîðìû ïîâåðõíîñòè òåëà. Â ïðåäûäóùåì ïóíêòå óñëîâèå Ìóøòàðè (9) áûëî ïðèâåäåíî ê âèäó (14). Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà ñëó÷àé ` = 0. Òîãäà êîîðäèíàòû ξ è ζ òî÷êè êàñàíèÿ òåëà ñ ïëîñêîñòüþ óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèþ (A3ζ − A1ξ ′) sin θ = A3 (ξ + ζ ′) cos θ. (17) Ïîäñòàâëÿÿ â ñîîòíîøåíèå (17) âûðàæåíèÿ (1) äëÿ ξ, ζ è èõ ïðîèçâîäíûõ è ââîäÿ áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð k = A3/A1, ïîëó÷èì äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå, êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿåò ôóíêöèÿ f(θ): (k − 1) f ′′ sin θ cos θ − kf ′ + (k − 1) f sin θ cos θ = 0. (18) 76 Î ïåðâûõ èíòåãðàëàõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà âðàùåíèÿ Äëÿ íàõîæäåíèÿ îáùåãî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (18) ìû äîëæíû íàéòè ëþáîå íåòðè- âèàëüíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå f0 (θ) äàííîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå f (θ) = f0 (θ) ( λ + µ ∫ (tg ϕ) k k−1 f 2 0 (ϕ) dϕ ) , (19) Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (18), ïðåîáðàçóåì ýòî óðàâíåíèå. Ïîëîæèì f(θ) = s(θ) cos θ , òîãäà äëÿ ôóíêöèè s(θ) óðàâíåíèå (18) çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: s′′ + [ (k − 2) (k − 1) sin θ cos θ − 2 cos θ sin θ ] s′ + (k − 2) (k − 1) cos2 θ s = 0. (20) Äåëàÿ â óðàâíåíèè (20) çàìåíó íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé ïî ôîðìóëå w = 1 cos2 θ , ïðèâåäåì åãî ê âèäó w(1− w) d2s dw2 + [ 2− ( 3 2 + (k − 2) 2 (k − 1) ) w ] ds dw − (k − 2) 4 (k − 1) s = 0. (21) Óðàâíåíèå (21) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äèôôåðåíöèàëüíîå ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîå óðàâ- íåíèå Ãàóññà [6, 7]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ` = 0 ìåðèäèàííîå ñå÷åíèå òåëà, óäîâëåòâîðÿþ- ùåå óñëîâèþ Ìóøòàðè (9), îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè. Îäíèì èç ÷àñòíûõ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (21) áóäåò ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèé ðÿä s0 = F ( 1 2 , (k − 2) 2 (k − 1) , 2; w ) , ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíîå óðàâíåíèå (18) èìååò íåòðèâèàëüíîå ÷àñòíîå ðåøåíèå f0(θ) = F ( 1 2 , (k − 2) 2 (k − 1) , 2; 1 cos2 θ ) cos θ , à îáùåå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé (19). Ïîêàæåì, êàê ïîëó÷èòü èç îáùåãî ðåøåíèÿ (19) äâà ÷àñòíûõ ðåøåíèÿ (10) è (11), íàéäåííûå â ðàáîòå [1]. Äëÿ ýòîãî ñäåëàåì äâà äîïîëíèòåëüíûõ ïðåäïîëîæåíèÿ. Ïðåä- ïîëîæèì, ÷òî â ôîðìóëå (19) äëÿ ôóíêöèè f (θ) ïîñòîÿííàÿ µ = 0. Òîãäà ôóíêöèÿ f (θ) îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé f(θ) = λF ( 1 2 , (k − 2) 2 (k − 1) , 2; 1 cos2 θ ) cos θ . (22) 77 À.Ñ. Êóëåøîâ Òåïåðü ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèé ðÿä, ñòîÿùèé â ÷èñëèòåëå âûðà- æåíèÿ (22), ÿâëÿåòñÿ êîíå÷íîé ñóììîé. Ýòî ïðåäïîëîæåíèå íàêëàäûâàåò îãðàíè÷åíèÿ íà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà k. Äåéñòâèòåëüíî, ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèé ðÿä F (a, b, c; w) áóäåò êîíå÷íîé ñóììîé, åñëè îäèí èç åãî ïàðàìåòðîâ a èëè b ðàâåí îòðèöàòåëüíîìó öåëîìó ÷èñëó èëè íóëþ [6, 7]. Â íàøåì ñëó÷àå ñîîòâåòñòâóþùåå óñëîâèå èìååò âèä (k − 2) 2 (k − 1) = −N, ãäå N � íàòóðàëüíîå ÷èñëî èëè íóëü. Âûðàæàÿ îòñþäà k, íàõîäèì k = 2 (N + 1) 2N + 1 . (23) Ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé [6, 7] F (a, b, c; w) = (1− w)−a F ( a, c− b, c; w w − 1 ) ìîæíî òàêæå ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ãèïåðãåîìåòðè÷åñêèé ðÿä áóäåò êîíå÷íîé ñóììîé, åñëè âûðàæåíèå c − b ðàâíî îòðèöàòåëüíîìó öåëîìó ÷èñëó èëè íóëþ. Â íàøåì ñëó÷àå ýòî óñëîâèå äàåò 2− (k − 2) 2 (k − 1) = −N, îòêóäà k = 2 (N + 1) 2N + 3 . (24) Ïðè N = 0 â ñëó÷àå (23) ïîëó÷àåì k = 2, f(θ) = λ cos θ , à â ñëó÷àå (24) � k = 2 3 , f(θ) = λ sin θ , ÷òî ñîâïàäàåò ñ ÷àñòíûìè ðåøåíèÿìè Ìóøòàðè (11) è (10) ñîîòâåòñòâåííî. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé ` 6= 0. Â ýòîì ñëó÷àå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f(θ) áóäåò èìåòü âèä [(k − 1) cos θ + k`] f ′′ sin θ − k (1 + ` cos θ) f ′ + (k − 1) f sin θ cos θ = 0. (25) Â óðàâíåíèè (25) ñäåëàåì çàìåíó íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé. Ïîëîæèì, z = 1 + cos θ 2 . òîãäà óðàâíåíèå (25) ïðèìåò âèä z (z − 1) [ z − ((k − 1)− k`) 2 (k − 1) ] d2f dz2 + ( z2 − z − 1 4 (k − 1) ) df dz + ( 1 2 − z ) f = 0. (26) 78 Î ïåðâûõ èíòåãðàëàõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà âðàùåíèÿ Óðàâíåíèå (26) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèíåéíîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìîå óðàâíåíèåì Õåéíà [7, 8]. Åñëè ââåñòè ïàðàìåòðû a = ((k − 1)− k`) 2 (k − 1) , α = 1, β = −1, γ = 1 2 (k`− (k − 1)) , δ = − 1 2 ((k − 1) + k`) , ε = −1 2 , òî óðàâíåíèå (26) ìîæíî çàïèñàòü â òîì âèäå, â êîòîðîì â ëèòåðàòóðå îáû÷íî ïðèâî- äèòñÿ óðàâíåíèå Õåéíà [7, 8]: z (z − 1) (z − a) f ′′zz+ [ (α + β + 1) z2− [ α + β + 1 + a (γ + δ)− δ ] z + aγ ] f ′z+(αβz − ε) f =0. (27) Ïðè \|a\| ≥ 1 è γ 6= 0, −1, −2, −3, . . . ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (27) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ- ëåíî â âèäå ðÿäà F (a, ε, α, β, γ, δ; z) = ∞∑ n=0 cnz n, êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ðåêóððåíòíûìè ôîðìóëàìè: c0 = 1, aγc1 = ε, a (n + 1) (γ + n) cn+1 = [ a (γ + δ + n− 1) + α + β − δ + n + q n ] ncn− − [(n− 1) (n− 2) + (n− 1) (α + β + 1) + αβ] cn−1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ` = 0 ìåðèäèàííîå ñå÷åíèå òåëà âðàùåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ Ìóøòàðè (9), îïðåäåëÿåòñÿ ïðè ïîìîùè ãèïåðãåîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè, à ïðè ` 6= 0 � ïðè ïîìîùè ôóíêöèè Õåéíà. 1. Ìóøòàðè Õ.Ì. Î êàòàíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âðàùåíèÿ ïî íåïîäâèæíîé ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñ- êîñòè // Ìàò. ñáîðíèê. � 1932. � 39. � � 1-2. � Ñ. 105-126. 2. ×àïëûãèí Ñ.À. Î äâèæåíèè òÿæåëîãî òåëà âðàùåíèÿ íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè // ×àïëûãèí Ñ.À. Èññëåäîâàíèÿ ïî äèíàìèêå íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì. � Ì.-Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1949. � Ñ. 4�27. 3. Appell P. Sur l'int�egration des �equations du mouvement d'un corps pesant de revolution roulant par une ar�ete circulaire sur un plane horizontal; cas particulier du cerceau // Rend. circ. mat. di Palermo. � 1900. � 14. � P. 1-6. 4. Jellett J.H. A Treatise on the Theory of Friction. � Dublin; London: MacMillan, 1872. � 230 p. 5. Êàðàïåòÿí À.Â. Îá èíòåãðàëå Æåëëå // Ïðîáëåìû íåëèíåéíîãî àíàëèçà â èíæåíåðíûõ ñèñòåìàõ. � Êàçàíü, 1996. � Âûï. 1, � 3. 6. Ãðàäøòåéí È.Ñ., Ðûæèê È.Ì. Òàáëèöû èíòåãðàëîâ, ñóìì, ðÿäîâ è ïðîèçâåäåíèé.� Ì.: Íàóêà, 1971. � 1108 ñ. 7. Çàéöåâ Â.Ô., Ïîëÿíèí À.Ä. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. � Ì.: Íàóêà, 1995. � 560 ñ. 8. Óèòòåêåð Ý.Ò., Âàòñîí Äæ.Í. Êóðñ ñîâðåìåííîãî àíàëèçà. � Ò. 2. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963. � 516 ñ. ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, Ìîñêâà kuleshov@mech.math.msu.su akule@pisem.net Ïîëó÷åíî 08.08.04 79

О первых интегралах уравнений движения тяжелого тела вращения на шероховатой плоскости

Репозитарії

Схожі ресурси