Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения
Изучена задача интегрирования дифференциальных уравнений Кирхгофа |1| в предположении, что они допускают линейное инвариантное соотношение относительно компонент момента количества движения и компонент единичного вектора оси симметрии силового ноля. С привлечением первых интегралов уравнений осущест...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123743 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения / Е.К. Узбек, Е.А. Данилейко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 87-94. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123743 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237432017-09-10T03:04:10Z Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения Узбек, Е.К. Данилейко, Е.А. Изучена задача интегрирования дифференциальных уравнений Кирхгофа |1| в предположении, что они допускают линейное инвариантное соотношение относительно компонент момента количества движения и компонент единичного вектора оси симметрии силового ноля. С привлечением первых интегралов уравнений осуществлена редукция исходной системы к системе второго порядка. При двух условиях на параметры задачи, характеризующих геометрию масс гиростата, потенциальные н гироскопические силы, указан интегрирующий множитель приведенных уравнений. Полученное в работе решение уравнений Кирхгофа содержит четыре произвольных постоянных и совпадает с решением II.В. Харламова |4, с. 23-26|, найденным в основных переменных |1|. 2004 Article Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения / Е.К. Узбек, Е.А. Данилейко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 87-94. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123743 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучена задача интегрирования дифференциальных уравнений Кирхгофа |1| в предположении, что они допускают линейное инвариантное соотношение относительно компонент момента количества движения и компонент единичного вектора оси симметрии силового ноля. С привлечением первых интегралов уравнений осуществлена редукция исходной системы к системе второго порядка. При двух условиях на параметры задачи, характеризующих геометрию масс гиростата, потенциальные н гироскопические силы, указан интегрирующий множитель приведенных уравнений. Полученное в работе решение уравнений Кирхгофа содержит четыре произвольных постоянных и совпадает с решением II.В. Харламова |4, с. 23-26|, найденным в основных переменных |1|. |
| format |
Article |
| author |
Узбек, Е.К. Данилейко, Е.А. |
| spellingShingle |
Узбек, Е.К. Данилейко, Е.А. Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения Механика твердого тела |
| author_facet |
Узбек, Е.К. Данилейко, Е.А. |
| author_sort |
Узбек, Е.К. |
| title |
Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_short |
Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_full |
Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_fullStr |
Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_full_unstemmed |
Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения |
| title_sort |
об интегрировании уравнений кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123743 |
| citation_txt |
Об интегрировании уравнений Кирхгофа в случае линейного инвариантного соотношения / Е.К. Узбек, Е.А. Данилейко // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 87-94. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT uzbekek obintegrirovaniiuravnenijkirhgofavslučaelinejnogoinvariantnogosootnošeniâ AT danilejkoea obintegrirovaniiuravnenijkirhgofavslučaelinejnogoinvariantnogosootnošeniâ |
| first_indexed |
2025-07-09T00:10:45Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:10:45Z |
| _version_ |
1837125962395811840 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. Å.Ê. Óçáåê, Å.À. Äàíèëåéêî
ÎÁ ÈÍÒÅÃÐÈÐÎÂÀÍÈÈ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÊÈÐÕÃÎÔÀ
 ÑËÓ×ÀÅ ËÈÍÅÉÍÎÃÎ ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÃÎ ÑÎÎÒÍÎØÅÍÈß
Èçó÷åíà çàäà÷à èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé Êèðõãîôà [1] â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî
îíè äîïóñêàþò ëèíåéíîå èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå îòíîñèòåëüíî êîìïîíåíò ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâè-
æåíèÿ è êîìïîíåíò åäèíè÷íîãî âåêòîðà îñè ñèììåòðèè ñèëîâîãî ïîëÿ. Ñ ïðèâëå÷åíèåì ïåðâûõ èí-
òåãðàëîâ óðàâíåíèé îñóùåñòâëåíà ðåäóêöèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû ê ñèñòåìå âòîðîãî ïîðÿäêà. Ïðè äâóõ
óñëîâèÿõ íà ïàðàìåòðû çàäà÷è, õàðàêòåðèçóþùèõ ãåîìåòðèþ ìàññ ãèðîñòàòà, ïîòåíöèàëüíûå è ãèðî-
ñêîïè÷åñêèå ñèëû, óêàçàí èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé. Ïîëó÷åííîå â ðàáîòå
ðåøåíèå óðàâíåíèé Êèðõãîôà ñîäåðæèò ÷åòûðå ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ è ñîâïàäàåò ñ ðåøåíèåì
Ï.Â. Õàðëàìîâà [4, ñ. 23-26], íàéäåííûì â îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ [1].
Ââåäåíèå.  äèíàìèêå òâåðäîãî òåëà áîëüøîå ÷èñëî ðàáîò ïîñâÿùåíî íå òîëüêî
êëàññè÷åñêîé çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà (ñì. [3�6]), íî è ðàçëè÷íûì
åå îáîáùåíèÿì � çàäà÷å î äâèæåíèè ãèðîñòàòà ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëüíûõ è ãèðî-
ñêîïè÷åñêèõ ñèë [7] è çàäà÷å î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà â èäåàëüíîé íåñæè-
ìàåìîé æèäêîñòè [1�4, 8, 9]. Äàííîå îáñòîÿòåëüñòâî îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî ïîñëåäíèå
äâå çàäà÷è ìàòåìàòè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, ïîñêîëüêó îïèñûâàþòñÿ äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè êëàññà Êèðõãîôà [1, 7]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñëó÷àè èíòåãðèðóåìîñòè óðàâ-
íåíèé äâèæåíèÿ òåëà â æèäêîñòè, óñòàíîâëåííûå Êëåáøåì, Êèðõãîôîì, Ñòåêëîâûì,
Ëÿïóíîâûì, ×àïëûãèíûì, Õàðëàìîâûì (ñì. [3�6]) ìîãóò áûòü èíòåðïðåòèðîâàíû, êàê
ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà ïîä äåéñòâèåì ïîòåíöèàëüíûõ è ãèðîñêîïè-
÷åñêèõ ñèë [7]. Î÷åâèäíî, ñïðàâåäëèâî è îáðàòíîå óòâåðæäåíèå: ëþáîå íîâîå ðåøåíèå
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà ÿâëÿåòñÿ íîâûì ðåøåíèåì è óðàâíåíèé Êèðõãîôà.
Èçâåñòíî [10], ÷òî â îáùåì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ Ýéëåðà-Ïóàññîíà íåèíòåãðèðóåìû â
êâàäðàòóðàõ. Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò èìååò ìåñòî è äëÿ óðàâíåíèé Êèðõãîôà-Ïóàññîíà
[8]. Ïîýòîìó äëÿ ýòèõ óðàâíåíèé àêòóàëüíà çàäà÷à ïîñòðîåíèÿ íîâûõ ÷àñòíûõ ðåøå-
íèé, â ÷àñòíîñòè ðåøåíèé, ñîäåðæàùèõ ìàêñèìàëüíîå ÷èñëî ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ
[6]. Ê òàêèì ðåøåíèÿì ìîæíî îòíåñòè ðåøåíèÿ Â. Ãåññà [11], Ë.Í. Ñðåòåíñêîãî [12],
Ñ.À. ×àïëûãèíà [2] è Ï.Â. Õàðëàìîâà [3, 4].  äàííîé ðàáîòå ïðîäîëæåíî èçó÷åíèå èí-
òåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé Êèðõãîôà, íà÷àòîå â ðàáîòàõ [2�4]. Íàéäåí èíòåãðèðóþùèé
ìíîæèòåëü ïðèâåäåííûõ óðàâíåíèé â ñëó÷àå, êîãäà óðàâíåíèÿ Êèðõãîôà-Ïóàññîíà äî-
ïóñêàþò îäíî ëèíåéíîå èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå. Ïîëó÷åííîå ðåøåíèå çàâèñèò îò
÷åòûðåõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ðàññìîòðèì äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ çà-
ðÿæåííîãî è íàìàãíè÷åííîãî ãèðîñòàòà â ñèëîâîì ïîëå, ÿâëÿþùåìñÿ ñóïåðïîçèöèåé
ìàãíèòíîãî, ýëåêòðè÷åñêîãî è öåíòðàëüíîãî íüþòîíîâñêîãî ïîëÿ â ïîñòàíîâêå [7]
ẋ = (x+ λ)× ax+ ax×Bν + s× ν + ν × Cν, (1)
ν̇ = ν × ax, (2)
ãäå x = (x1, x2, x3) � ìîìåíò êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà; ν = (ν1, ν2, ν3) � åäèíè÷-
íûé âåêòîð îñè ñèììåòðèè ñèëîâûõ ïîëåé; λ = (λ1, λ2, λ3) � ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò,
87
Å.Ê. Óçáåê, Å.À. Äàíèëåéêî
õàðàêòåðèçóþùèé äâèæåíèå íîñèìûõ òåë; s = (s1, s2, s3) � âåêòîð, ñîíàïðàâëåííûé ñ
âåêòîðîì îáîáùåííîãî öåíòðà ìàññ ãèðîñòàòà; a = (aij) � ãèðàöèîííûé òåíçîð, ïîñòðî-
åííûé â íåïîäâèæíîé òî÷êå; B = (Bij) � ïîñòîÿííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ ìàòðèöà òðåòüåãî
ïîðÿäêà, îïðåäåëÿþùàÿ ãèðîñêîïè÷åñêèå ñèëû; C = (Cij) � ïîñòîÿííàÿ ñèììåòðè÷íàÿ
ìàòðèöà òðåòüåãî ïîðÿäêà, õàðàêòåðèçóþùàÿ ïîòåíöèàëüíûå ñèëû. Òî÷êà íàä ïåðåìåí-
íûìè îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè t.
Óðàâíåíèÿ (1), (2) èìåþò ïåðâûå èíòåãðàëû:
x · ax− 2(s · ν) + (Cν · ν) = 2E, ν · ν = 1, (3)
(x+ λ) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k.
Çäåñü E è k � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Ñëåäóÿ ðàáîòàì [2�4], ïîñòàâèì çàäà÷ó îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé (1), (2) ïðè
óñëîâèè ñóùåñòâîâàíèÿ ó ýòèõ óðàâíåíèé îäíîãî ëèíåéíîãî èíâàðèàíòíîãî ñîîòíîøå-
íèÿ:
x1 − (g0 + g1ν1 + g2ν2 + g3ν3) = 0, (4)
ãäå gi (i = 0, 3) � ïîñòîÿííûå, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ. Äëÿ çàäà÷è î äâèæåíèè òåëà â
æèäêîñòè [4] â ïîëíîé ìåðå ðåøåíà òîëüêî ïåðâàÿ ÷àñòü çàäà÷è èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâ-
íåíèé (1), (2), à èìåííî, îïðåäåëåíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñîîòíîøåíèÿ (4). Ðåøåíèå
âòîðîé ÷àñòè äàííîé çàäà÷è óêàçàíî òîëüêî â íåêîòîðûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àÿõ [2, 3], ïðè÷åì
â ðàáîòå [2] èññëåäîâàí âàðèàíò λ = 0, s = 0, à â ðàáîòå [3] � λ = 0. Äëÿ êëàññè÷åñêîé
çàäà÷è î äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà, óðàâíåíèÿ êîòîðîé ïîëó÷èì èç (1), (2) ïðè
λ = 0, B = 0, C = 0, àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ (4) (x1 = 0) èçó÷åí Â. Ãåññîì [11]. Ãåîìåòðè-
÷åñêîå èñòîëêîâàíèå ðåøåíèÿ Â. Ãåññà äàíî À.Ì. Êîâàëåâûì [13]. Ë.Í. Ñðåòåíñêèé [12]
îáîáùèë äàííîå ðåøåíèå íà ñëó÷àé λ 6= 0, B = 0, C = 0.
Ïðîäèôôåðåíöèðóåì ñîîòíîøåíèå (4) â ñèëó ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé, âûòåêàþùèõ
èç âåêòîðíûõ óðàâíåíèé (1), (2) è ïîòðåáóåì, ÷òîáû ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî ïîñëå ïîäñòà-
íîâêè â íåãî çíà÷åíèÿ äëÿ x1 èç (4) áûëî òîæäåñòâîì ïðè ëþáûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ
x2, x3, ν1, ν2, ν3 è íàéäåì ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû çàäà÷è è ïàðàìåòðû gi:
a12 = a23 = 0, a22 = a33, λ2 = 0, a13g0 − a22λ3 = 0, g2 = B12,
a13g1 − a22g3 + a22B13 = 0, a13g2 + a22B23 = 0,
a13g3 + a22g1 + a22B33 = 0, a22g1 − a13g3 + a22B22 = 0,
s2 = g0(a11g2 + a13B23), s3 = g0(a11g3 − a13g1 − a13B22), (5)
C12 + g1(a13B23 + a11g2) = 0, C13 + g1(a11g3 − a13g1 − a13B22) = 0,
C23 + g2(a11g3 − a13g1 − a13B22) = 0, C23 + g3(a11g2 + a13B23) = 0,
C22 − C33 = a11(g
2
3 − g2
2)− a13(g1g3 + g2B23 + g3B22).
Ïðè óñëîâèÿõ a12 = a23 = 0, a33 = a22, óðàâíåíèå ãèðàöèîííîãî ýëëèïñîèäà ïðèìåò
âèä a11x
2+a22(y
2+z2)+2a13xz = const. Ïîýòîìó êîîðäèíàòíàÿ îñü, îòíîñèòåëüíî êîòîðîé
çàäàíî èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå (4), îðòîãîíàëüíà êðóãîâîìó ñå÷åíèþ ãèðàöèîííîãî
ýëëèïñîèäà. Î÷åâèäíî, äëÿ ñëó÷àÿ Ãåññà íà ýòîé îñè ëåæèò öåíòð ìàññ ãèðîñòàòà. Íî
äëÿ îáîáùåííîé çàäà÷è (1), (2) äàííîå óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ.
88
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé a13 6= 0. Òîãäà èç ñèñòåìû (5) ïîëó÷èì
a12 = a23 = 0, a22 = a33, λ2 = 0, g0 =
a22λ3
a13
,
g1 = −1
2
(B22 + B33), g2 = B12, g3 =
a22
2a13
(B22 −B33),
B13 =
1
2a13a22
[
(a2
13 + a2
22)B22 + (a2
13 − a2
22)B33
]
, B23 = −a13
a22
B12,
s2 =
λ3B12
a13
(a11a22 − a2
13), s3 =
λ3a22
2a2
13
(a11a22 − a2
13)(B22 −B33), (6)
C12 =
B12
2a22
(a11a22 − a2
13)(B22 + B33), C13 =
1
4a13
(a11a22 − a2
13)(B
2
22 −B2
33),
C23 = − B12
2a13
(a11a22 − a2
13)(B22 −B33),
C22 − C33 =
a11a22 − a2
13
4a2
13a22
[
(a2
22(B22 −B33)
2 − 4a2
13B
2
12
]
.
Íà îñíîâàíèè óñëîâèé (6) èíâàðèàíòíîå ñîîòíîøåíèå (4) çàïèøåòñÿ â âèäå
x1 =
a22
a13
λ3 −
1
2
(B22 + B33)ν1 + B12ν2 +
a22
2a13
(B22 −B33)ν3. (7)
2. Ïðåîáðàçîâàíèå ñèñòåìû (1), (2). Íåïîñðåäñòâåííûå âû÷èñëåíèÿ ïîêàçû-
âàþò, ÷òî èíòåãðàëû ýíåðãèè è ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ èç (3) íåçàâèñèìû íà
ñîîòíîøåíèè (4). Ïîýòîìó âìåñòî âòîðîãî è òðåòüåãî óðàâíåíèé, âûòåêàþùèõ èç (1),
ðàññìîòðèì äàííûå èíòåãðàëû. Ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ (4), (5) ïîëó÷èì
x2 =
1
a22(1− ν2
1)
[
a22ν2ϕ(ν1) + ν3
√
∆(ν1)
]
,
x3 =
1
a22(1− ν2
1)
[
a22ν3ϕ(ν1)− a13(1− ν2
1)(g0 + g1ν1 + g2ν2 + g3ν3)− ν2
√
∆(ν1)
]
,
(8)
ãäå
ϕ(ν1) = k +
1
2
B22 − (λ1 + g0)ν1 +
1
2
(B11 + B23)ν
2
1 , (9)
∆(ν1) = d0 + d1ν1 + d2ν
2
1 + d3ν
3
1 + d4ν
4
1 .
Çäåñü d0 = g2
0(a
2
13 − a11a22) + 1
4
g2
3(a
2
13 − 2a11a22) + a22
(
2E − 1
2
(C22 + C33)
)
−
−a13a22g3
(
k − g1
2
)
− a2
22
(
k − g1
2
)2
+
1
2
g2
2(a
2
13 − a11a22),
d1 = 2g0g1(a
2
13 − a11a22) + 2a22s1 + a22(λ1 + g0)[a13g3 − a22(g1 − 2k)],
d2 = g2
0(a11a22 − a2
13)− 2a22E + a22(C22 + C33 − C11) + g2
2(a11a22 − a2
13)+
+g2
3
(
a11a22 −
1
2
a2
13
)
+ g2
1
(
a2
13 −
1
2
a2
22 − a11a22
)
− 1
2
a13a22g3B11 +
1
2
a2
22g1B11− (10)
89
Å.Ê. Óçáåê, Å.À. Äàíèëåéêî
−a2
22(λ1 + g0)
2 + a22k(a13g3 − a22B11 + a22g1),
d3 = a2
22(λ1 + g0)(B11 − g1)− 2a22(s1 − a11g0g1)− 2a2
13g0g1 − a13a22g3(λ1 + g0),
d4 =
1
4
g2
3(a
2
13 − 2a11a22) +
1
2
g2
2(a
2
13 − a11a22) +
1
4
g2
1(4a11a22 − 4a2
13 − a2
22)−
−1
2
a22(C22 + C33 − 2C11) +
1
2
a13a22g3(B11 − g1)−
1
4
a2
22B11(B11 − 2g1).
Ñîîòíîøåíèÿ (8), (9) ïîçâîëÿþò ïðåîáðàçîâàòü óðàâíåíèÿ, âûòåêàþùèå èç (2), ê
âèäó
ν̇1 = −
√
∆(ν1), (11)
ν̇2 =
1
a22(1− ν2
1)
[
ν2(a22ν1 − a13ν3)
√
∆(ν1) + ν3F (ν1, ν2, ν3)
]
, (12)
ν̇3 =
1
a22(1− ν2
1)
[
(a13ν
2
2 + a22ν1ν3)
√
∆(ν1)− ν2F (ν1, ν2, ν3)
]
, (13)
Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå
F (ν1, ν2, ν3) = ε0ν2(1− ν2
1) + ν3(β0 + β1ν1 + β2ν
2
1) + γ0 + γ1ν1 + γ2ν
2
1 + γ3ν
3
1 , (14)
ãäå
ε0 = (a11a22 − a2
13)B12, β0 = a13a22k +
a22
2a13
[a11a22B22 − (a11a22 − a2
13)B33],
β1 = −a22(a13λ1 + a22λ3), β2 =
a22
2a13
[a2
13B11 − (a11a22 − a2
13)B22 + a11a22B33],
γ0 =
a22λ3
a13
(a11a22 − a2
13), (15)
γ1 = −1
2
[
2a2
22k + (a11a22 + a2
22 − a2
13)B22 + (a11a22 − a2
13)B33
]
,
γ2 =
a2
22
a13
(a13λ1 + a22λ3)−
a22λ3
a13
(a11a22 − a2
13),
γ3 =
1
2
[
(a11a22 − a2
13)B22 + (a11a22 − a2
13 − a2
22)B33 − a2
22B11
]
.
Òàêèì îáðàçîì, èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (1), (2) íà èíâàðèàíòíîì ñîîòíîøåíèè (4)
ñâåäåíî ê èíòåãðèðîâàíèþ ñèñòåìû òðåòüåãî ïîðÿäêà (11)-�(13), êîòîðàÿ èìååò ïåðâûé
èíòåãðàë ñ ôèêñèðîâàííîé ïîñòîÿííîé: ν2
1 + ν2
2 + ν2
3 = 1.
3. Èíòåãðèðîâàíèå ñèñòåìû (11)�(13). Â ðàáîòàõ [2, 3] íàõîæäåíèå èíòåãðèðó-
þùåãî ìíîæèòåëÿ àíàëîãîâ óðàâíåíèé (11)�(13) îñóùåñòâëåíî â ïåðåìåííûõ ν1, ν2, ν3.
Îäíàêî, âû÷èñëåíèÿ çíà÷èòåëüíî óïðîùàþòñÿ, åñëè ñèñòåìó (11)�(13) ïðåîáðàçîâàòü
ê íîâûì ïåðåìåííûì:
ν1 = cos θ, ν2 = sin θ cos ϕ, ν3 = sin θ sin ϕ. (16)
Òîãäà ñèñòåìà (11)�(13) ïðèâîäèòñÿ ê äâóì óðàâíåíèÿì
dθ
dt
=
√
∆(cos θ)
sin θ
, (17)
90
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà
a22
√
∆(cos θ) sin θdϕ + [ε0 sin3 θ cos ϕ + (β0 + β1 cos θ + β2 cos2 θ) sin θ sin ϕ+
(18)
+γ0 + γ1 cos θ + γ2 cos2 θ + γ3 cos3 θ − a13
√
∆(cos θ) sin θ cos ϕ]dθ = 0.
Èç óðàâíåíèÿ (17) óñòàíàâëèâàåì çàâèñèìîñòü θ = θ(t).  îáùåì ñëó÷àå íà îñíîâàíèè
óðàâíåíèÿ (11) ìîæíî ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ôóíêöèÿ ν1 = cos θ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïòè-
÷åñêîé ôóíêöèåé âðåìåíè.
Äëÿ èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (18) âîñïîëüçóåìñÿ òåîðèåé èíòåãðèðóþùåãî ìíî-
æèòåëÿ [14]. Áóäåì èñêàòü åãî â âèäå
M(ϕ, θ) =
1√
∆(cos θ)(f1(θ) sin ϕ + f2(θ) cos ϕ + f3(θ))
, (19)
ãäå fi(θ) (i = 1, 3) � ôóíêöèè, ïîäëåæàùèå îïðåäåëåíèþ. Åñëè èíòåãðèðóþùèé ìíîæè-
òåëü áóäåò íàéäåí, òî óðàâíåíèå (18) ïðèìåò âèä
∂V (ϕ, θ)
∂ϕ
dϕ +
∂V (ϕ, θ)
∂θ
dθ = 0, (20)
ãäå
∂V (ϕ, θ)
∂ϕ
= a22 sin θ(f1(θ) sin ϕ + f2(θ) cos ϕ + f3(θ))
−1, (21)
∂V (ϕ, θ)
∂θ
= [ε0 sin3 θ cos ϕ + (β0 + β1 cos θ + β2 cos2 θ) sin θ sin ϕ+
+γ0 + γ1 cos θ + γ2 cos2 θ + γ3 cos3 θ − a13
√
∆(cos θ) sin θ cos ϕ]× (22)
×(f1(θ) sin ϕ + f2(θ) cos ϕ + f3(θ))
−1(∆(cos θ))−
1
2 .
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå âûðàæåíèÿ (21), (22), ðàñïèøåì ðàâåíñòâî
∂2V (ϕ, θ)
∂θ∂ϕ
=
∂2V (ϕ, θ)
∂ϕ ∂θ
:
a22(f1(θ) cos θ − f ′
1(θ) sin θ)
√
∆(cos θ) = a13
√
∆(cos θ)f3(θ) sin θ+
+f2(θ)(γ0 + γ1 cos θ + γ2 cos2 θ + γ3 cos3 θ)− ε0f3(θ) sin3 θ, (23)
a22(f2(θ) cos θ − f ′
2(θ) sin θ)
√
∆(cos θ) = f3(θ)(β0 + β1 cos θ + β2 cos2 θ) sin θ−
−f1(θ)(γ0 + γ1 cos θ + γ2 cos2 θ + γ3 cos3 θ), (24)
a22(f3(θ) cos θ − f ′
3(θ) sin θ)
√
∆(cos θ) = f2(θ)(β0 + β1 cos θ + β2 cos2 θ) sin θ−
−ε0f1(θ) sin3 θ + a13f1(θ)
√
∆(cos θ) sin θ. (25)
Ïîêàæåì, ÷òî ñèñòåìà (23)�(25) èìååò ðåøåíèå ïðè óñëîâèè B12 = 0, òî åñòü ïðè ε0 = 0.
 ýòîì ñëó÷àå èç ñèñòåìû (6) ñëåäóåò ðÿä îãðàíè÷åíèé: B23 = 0, s2 = 0, C12 = 0, C23 = 0.
Ñîîòíîøåíèå (7) ïðèìåò âèä
x1 =
a22λ3
a13
− 1
2
(B22 + B33)ν1 +
a22
2a13
(B22 −B33)ν3. (26)
Íåïîñðåäñòâåííîé ïîäñòàíîâêîé ìîæíî óáåäèòñÿ â òîì, ÷òî óðàâíåíèÿ (23), (25) èìåþò
ðåøåíèå
f1(θ) = P0 + P1 cos θ + P2 cos2 θ,
91
Å.Ê. Óçáåê, Å.À. Äàíèëåéêî
(27)
f2(θ) =
√
∆(cos θ), f3(θ) = (Q0 + Q1 cos θ) sin θ,
ãäå Pi (i = 1, 2), Q0, Q1 â ñèëó (15) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå
P0 =
a22
2(a2
13 + a2
22)
[
2(a11a22 − a2
13 − a2
22)B33 − (a2
13 + a2
22)(2k + B22)− 2a2
22B11
]
, (28)
P1 =
a22
a13
(a13λ1 + a22λ3),
(29)
P2 =
a22
2(a2
13 + a2
22)
[
(a2
22 − a2
13)B11 + (a2
22 + a2
13 − 2a11a22)B33
]
,
Q0 =
a22
a2
13
[
a13a22λ1 + (a2
22 − a11a22 + a2
13)λ3
]
,
Q1 =
1
2a13(a2
13 + a2
22)
[
−2a2
13a
2
22B11 + (a2
13 + a2
22)(a11a22 − a2
13)B22+
+(a11a
2
13a22 − a11a
3
22 − a4
13 − a2
13a
2
22)B33
]
. (30)
Âíåñåì âûðàæåíèÿ (27) â óðàâíåíèå (24) è ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíî áûëî òîæäåñòâîì ïî
θ:
a22d1 = 2(β0Q0 − γ0P0), a22(d0 + d2) = β0Q1 + β1Q0 − γ0P1 − γ1P0,
(31)
1
2
a22(d1 + 3d3) = β2Q0 + β1Q1 − β0Q0 − γ2P0 − γ1P1 − γ0P2,
1
2
a22d3 = β2Q0 + β1Q1 + γ3P1 + γ2P2,
2a22d4 = β2Q1 − β1Q0 − β0Q1 − γ3P0 − γ2P1 − γ1P2,
a22d4 = β2Q1 + γ3P2.
Ñèñòåìà (31) ñîâìåñòíà ïðè íàëè÷èè ñîîòíîøåíèé (10), (28)�(30), åñëè âûïîëíÿþòñÿ
óñëîâèÿ íà ïàðàìåòðû:
C22 − C11 =
a11a22 − a2
13
4a2
13(a
2
13 + a2
22)
[a11a
2
13(B22 + B33)
2 + a11a
2
22(B22 −B33)
2 − 4a2
13a22B11B22
]
,
s1 =
a22(a11a22 − a2
13)
2a3
13(a
2
13 + a2
22)
(
a13λ1(a
2
13 + a2
22)(B22 −B33) + λ3[2a
2
13a22B11+ (32)
+(a22 − a11)× (a2
13 + a2
22)B22 − (a2
13(a11 + a22) + a2
22(a22 − a11))B33]
)
.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè íàðÿäó ñ ñîîòíîøåíèÿìè (6), ãäå B12 = 0, âûïîëíÿþòñÿ åùå è
óñëîâèÿ (32), òî óðàâíåíèÿ (1), (2) íà èíâàðèàíòíîì ñîîòíîøåíèè (4) ïðèâîäÿòñÿ ê
ñèñòåìå (17), (18), êîòîðàÿ äîïóñêàåò èíòåãðèðóþùèé ìíîæèòåëü (19) ñî çíà÷åíèÿìè
ôóíêöèé fi(θ) èç (27). Ïðè ýòîì ïîñòîÿííûå E è k îñòàþòñÿ ïðîèçâîëüíûìè.
Îáðàòèìñÿ ê óðàâíåíèÿì (21), (22). Èç óðàâíåíèÿ (21) èìååì
V (ϕ, θ) =
a22√
µ0
ln
∣∣∣∣∣h(θ) +
√
µ0tg
ϕ−α(θ)
2
h(θ)−√µ0tg
ϕ−α(θ)
2
∣∣∣∣∣ + F (θ), (33)
92
Îá èíòåãðèðîâàíèè óðàâíåíèé Êèðõãîôà
ãäå
µ0 = d0 + P 2
0 −Q2
0,
(34)
h(θ) = Q0 + Q1 cos θ +
√
µ0 + (Q0 + Q1 cos θ)2,
α(θ) = arcsin
P0 + P1 cos θ + P2 cos2 θ√
µ0 + (Q0 + Q1 cos θ)2 sin θ
. (35)
Ôóíêöèþ F (θ) íàéäåì, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå (33) â óðàâíåíèå (22),
F (θ) = f(cos θ) =
∫
(K0 + K1 cos θ + K2 cos2 θ)d(cos θ)√
∆(cos θ)
(
µ0 + (Q0 + Q1 cos θ)2
) , (36)
ãäå
K0 = a13d0 − β0P0, K1 = (γ2 − γ0)Q1, K2 = γ3Q1.
Ñëåäîâàòåëüíî, èç óðàâíåíèÿ (20) âûòåêàåò ïåðâûé èíòåãðàë V (ϕ, θ) = C, ãäå C �
ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Â ñèëó ôîðìóë (33)�(36) çàïèøåì åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì:
a22√
µ0
ln
∣∣∣∣∣h(θ) +
√
µ0tg
ϕ−α(θ)
2
h(θ)−√µ0tg
ϕ−α(θ)
2
∣∣∣∣∣ + f(cos θ) = C. (37)
Êàê óæå áûëî îòìå÷åíî, çàâèñèìîñòü θ(t) îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ (17). Èç èí-
òåãðàëà (37) íàõîäèòñÿ ôóíêöèÿ ϕ = ϕ(θ), à èç ñîîòíîøåíèé (16) � ôóíêöèè νi = νi(t).
Êîìïîíåíòû âåêòîðà ìîìåíòà êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà çàäàþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ-
ìè (8), (26).
Ïîêàæåì äåéñòâèòåëüíîñòü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ. Ïî óñëîâèþ ñóùåñòâîâàíèÿ ìíî-
æèòåëÿ è èíòåãðàëà (37) äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå µ0 = d0 + P 2
0 − Q2
0. Òàê êàê èç
ôîðìóë (28), (30) ñëåäóåò, ÷òî P0 è Q0 íå çàâèñÿò îò ïîñòîÿííîé E, à â âûðàæåíèå äëÿ
d0 èç (10) îíà âõîäèò ëèíåéíî, òî ìîæíî âûáîðîì ýòîé ïîñòîÿííîé äîáèòüñÿ óñëîâèé
µ0 > 0 è d0 > 0. Âòîðîå óñëîâèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ∆(cos θ) > 0 è ñóùåñòâóåò íåâûðîæ-
äåííûé ïðîìåæóòîê ïî ν1 (ν
(1)
1 ≤ ν1 ≤ ν
(2)
1 , ãäå |ν(i)
1 | < 1), â êîòîðîì ôóíêöèÿ ∆(cos θ)
íåîòðèöàòåëüíà. Òî åñòü, ôóíêöèÿ θ(t), îïðåäåëÿåìàÿ èç ôîðìóëû (17), äåéñòâèòåëüíà.
Ïîëó÷åííîå â äàííîé ðàáîòå ðåøåíèå çàâèñèò îò ÷åòûðåõ ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ
E, k, C è θ0.
Åñëè â äàííîì ðåøåíèè ïåðåéòè ê ðàññìîòðåíèþ êëàññè÷åñêîãî àíàëîãà, òî â ôîð-
ìóëàõ (6), (32) íåîáõîäèìî ïîëîæèòü Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 2, 3). Òîãäà ïîëó÷èì
s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0, òî åñòü öåíòð ìàññ ãèðîñòàòà íåïîäâèæåí. Ýòè óñëîâèÿ õàðàê-
òåðèçóþò èçâåñòíîå ðåøåíèå Í.Å. Æóêîâñêîãî [15]. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííûå çäåñü
ðåçóëüòàòû íå ïåðåíîñÿòñÿ íà îáîáùåíèå Ë.Í. Ñðåòåíñêîãî [12] äëÿ ðåøåíèÿ Â. Ãåññà
[11].
4. Çàêëþ÷åíèå. Óêàçàííûé âûøå ïðèìåð èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (17), (18) â
êâàäðàòóðàõ íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì. Â ðàáîòå [16] ïîêàçàíî, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèé
λ1 = λ2 = λ3 = 0, s2 = s3 = 0, B11 =
B33
a2
22 − a2
13
(2a11a22 − a2
13 − a2
22),
B22 =
B33
a2
22 − a2
13
(a2
13 + a2
22), B13 =
2a13a22B33
a2
22 − a2
13
, C12 = C23 = 0,
93
Å.Ê. Óçáåê, Å.À. Äàíèëåéêî
C13 =
1
4a2
13
(a11a22 − a2
13)(B
2
22 −B2
33), C22 − C33 =
a22
4a2
13
(a11a22 − a2
13)(B22 −B33)
2,
k =
B33
2(a2
13 − a2
22)
(2a11a22 − a2
13 + a2
22).
Óðàâíåíèå (18) ïðèíèìàåò âèä
dϕ
dθ
=
a13
a22
cos ϕ
è, ñëåäîâàòåëüíî, èíòåãðèðóåòñÿ â ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèÿõ. Â ðåøåíèè [16] ñîõðàíåíî
òðè ïðîèçâîëüíûõ ïîñòîÿííûõ.
1. Õàðëàìîâ Ï.Â., Ìîçàëåâñêàÿ Ã.Â., Ëåñèíà Ì.Å.Î ðàçëè÷íûõ ïðåäñòàâëåíèÿõ óðàâíåíèé Êèðõãîôà
// Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001. � Âûï. 31. � Ñ. 3�17.
2. ×àïëûãèí Ñ.À. Î íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè. Ñòàòüÿ âòîðàÿ // Ñîáð.
ñî÷. Ò. 1. � Ì.�Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1948. � Ñ. 304�311.
3. Õàðëàìîâ Ï.Â. Î ëèíåéíîì èíòåãðàëå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà â æèäêîñòè
// Òð. Äîíåöêîãî èíäóñòðèàëüíîãî èí-òà. � 1957. � 20, âûï. 1 � Ñ. 51�67.
4. Õàðëàìîâ Ï.Â. Î äâèæåíèè â æèäêîñòè òåëà, îãðàíè÷åííîãî ìíîãîñâÿçíîé ïîâåðõíîñòüþ // Æóð-
íàë ïðèêë. ìåõàíèêè è òåõí. ôèçèêè. � 1963. � � 4. � Ñ. 17�29.
5. Áîðèñîâ À.Â., Ìàìàåâ È.Ñ. Äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà. � Èæåâñê: ÍÈÖ Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ
äèíàìèêà, 2001. � 384 ñ.
6. Ãîðð Ã.Â., Êóäðÿøîâà Ë.Â., Ñòåïàíîâà Ë.À. Êëàññè÷åñêèå çàäà÷è äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà. Ðàç-
âèòèå è ñîâðåìåííîå ñîñòîÿíèå // Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1978. � 296 ñ.
7. Yehia H.M. On the motion of a rigid body acted upon by potential and gyroscopic forces. I. The equation
of motion and their transformation. � I. thear. and appl. mech. � 1985. � 5, � 5. � Ð. 747�762.
8. Êîçëîâ Â.Â., Îíèùåíêî Ä.À. Íåèíòåãðèðóåìîñòü óðàâíåíèé Êèðõãîôà // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1982.
� 266, � 6. � Ñ. 1298�1300.
9. Kirchho� G.R. �Uber die Bewegung eines Rotation K�orpers in eines Fl�ussigkeit // J. Fur die Reine und
angew. Math. � 1870. � B.3. � S.237�262.
10. Çèãëèí Ñ.Ë. Âåòâëåíèå ðåøåíèé è íåñóùåñòâîâàíèå ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â ãàìèëüòîíîâûõ ñèñòåìàõ
// Ôóíêöèîíàëüíûé àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. � 1983. � 17, � 1. � Ñ. 8�23.
11. Hess W. �Uber die Eulerschen Bewegungsgleichungen und �uber eine neue partikul�are L�osung des Problems
der Bewegung eines starren schweren K�orpers um einen festen Punkt // Math. Ann. � 1890. � B.37,
H.2. � S. 153�181.
12. Ñðåòåíñêèé Ë.Í. Î íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ ãèðîñêîïîì // Âåñò.
Ìîñêîâñêîãî óí-òà. Ìàòåìàòèêà, ìåõàíèêà. � 1963. � � 3. � Ñ. 60 � 71.
13. Êîâàëåâ À.Ì. Î äâèæåíèè òåëà â ñëó÷àå Ãåññà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1969. � Âûï. 1. �
Ñ. 12�27.
14. Ãîëóáåâ Â.Â. Ëåêöèè ïî èíòåãðèðîâàíèþ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïî-
äâèæíîé òî÷êè. � Ì.: Ãîñòåõèçäàò, 1953. � 287 ñ.
15. Æóêîâñêèé Í.Å. Î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà, èìåþùåãî ïîëîñòè, íàïîëíåííûå îäíîðîäíîé êàïåëü-
íîé æèäêîñòüþ // Æóðíàë Ðóññê. ôèç.-õèì. î-âà. ×àñòü ôèç. 1885. � Ò. 17. � Îòä. 1. � Âûï. 6.
� Ñ. 81�113.
16. Óçáåê Å.Ê. Íîâîå ðåøåíèå óðàâíåíèé Êèðõãîôà çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà ïîä äåéñòâèåì ïî-
òåíöèàëüíûõ è ãèðîñêîïè÷åñêèõ ñèë // Äîï. ÍÀÍÓ. � 2003. � � 9. � Ñ. 45�50.
Äîíåöêèé ãîñ. óí-ò ýêîíîìèêè è òîðãîâëè èì. Ì.Òóãàí-Áàðàíîâñêîãî Ïîëó÷åíî 30.01.2004
94
|