Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы

В работе излагается решение задачи об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова. Решается задача об оптимальной стабилизации неустойчивого верхнего положения маятника....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Андреев, А.С., Ким, Е.Б.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123747
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы / А.С. Андреев, Е.Б. Ким // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 119-126. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123747
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237472017-09-10T03:03:56Z Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы Андреев, А.С. Ким, Е.Б. В работе излагается решение задачи об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова. Решается задача об оптимальной стабилизации неустойчивого верхнего положения маятника. 2004 Article Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы / А.С. Андреев, Е.Б. Ким // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 119-126. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123747 531.36 : 62-50 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе излагается решение задачи об оптимальной стабилизации невозмущенного движения автономной управляемой системы на основе знакопостоянной функции Ляпунова. Решается задача об оптимальной стабилизации неустойчивого верхнего положения маятника.
format	Article
author	Андреев, А.С. Ким, Е.Б.
spellingShingle	Андреев, А.С. Ким, Е.Б. Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы Механика твердого тела
author_facet	Андреев, А.С. Ким, Е.Б.
author_sort	Андреев, А.С.
title	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы
title_short	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы
title_full	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы
title_fullStr	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы
title_full_unstemmed	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы
title_sort	об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2004
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123747
citation_txt	Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы / А.С. Андреев, Е.Б. Ким // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 119-126. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT andreevas oboptimalʹnojstabilizaciiustanovivšegosâdviženiâupravlâemojsistemy AT kimeb oboptimalʹnojstabilizaciiustanovivšegosâdviženiâupravlâemojsistemy
first_indexed	2025-07-09T00:11:31Z
last_indexed	2025-07-09T00:11:31Z
_version_	1837126018174812160
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34 ÓÄÊ 531.36 : 62-50 c©2004. À.Ñ. Àíäðååâ, Å.Á. Êèì ÎÁ ÎÏÒÈÌÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ ÓÑÒÀÍÎÂÈÂØÅÃÎÑß ÄÂÈÆÅÍÈß ÓÏÐÀÂËßÅÌÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Â ðàáîòå èçëàãàåòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ àâòî- íîìíîé óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû íà îñíîâå çíàêîïîñòîÿííîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà. Ðåøàåòñÿ çàäà÷à îá îï- òèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âåðõíåãî ïîëîæåíèÿ ìàÿòíèêà. Ñ êîíöà 50-õ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà áîëüøîå ðàçâèòèå ïîëó÷èëà òåîðèÿ îïòèìàëüíûõ ïðîöåññîâ. Ñðåäè ïðîáëåì îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ âàæíîå ìåñòî çà- íèìàþò çàäà÷è îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè çàäàííîãî äâèæåíèÿ. Êàê óêàçàíî â [1], òàêèìè çàäà÷àìè íàçûâàþòñÿ çàäà÷è î ïîñòðîåíèè ðåãóëèðóþùèõ âîçäåéñòâèé, êîòî- ðûå îáåñïå÷èâàþò óñòîé÷èâîå îñóùåñòâëåíèå æåëàåìîãî äâèæåíèÿ ïðè íàèëó÷øåì âîç- ìîæíîì êà÷åñòâå ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Ìåòîäû èññëåäîâàíèÿ ïðîáëåì îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè òåñíî ïåðåïëåòàþòñÿ ñ êëàññè÷åñêèìè ìåòîäàìè òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. Â ÷àñòíîñòè, ìåòîä äèíàìè÷åñêîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ Ð.Áåëëìàíà [2], îäèí èç îñíîâíûõ â çàäà÷àõ îïòèìàëüíîãî óïðàâëåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ ïî ñóùåñòâó îáúåäèíåíèåì ìåòîäîâ âà- ðèàöèîííîãî èñ÷èñëåíèÿ ñ ìåòîäîì ôóíêöèé Ëÿïóíîâà [1]. Ãëóáîêîå ðàçâèòèå ïðÿìîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà â èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè [3, 4] ïîçâîëèëî íàéòè ýôôåêòèâíûå îáùèå ñïîñîáû ðåøåíèÿ çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. 1. Ïîñòàíîâêà è àíàëèç çàäà÷è. Ðàññìîòðèì ïîñòàíîâêó çàäà÷è îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè â ñîîòâåòñòâèè ñ [1] è ïîêàæåì, ÷òî â ðÿäå ñëó÷àåâ åå ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ÷åðåç çíàêîïîñòîÿííóþ îïòèìàëüíóþ ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà. Ïóñòü äâèæåíèå óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ẋ = X(x,u), X(0,0) = 0, (1) ãäå x � âåêòîð n-ìåðíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Rn ñ íîðìîé ‖x‖ = (x2 1 + ...+ +x2 n)1/2, âûðàæàþùèé ñîáîé êîíòðîëèðóåìûå ïàðàìåòðû ñèñòåìû; u � âåêòîðm-ìåðíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ïðîñòðàíñòâà Rm ñ íîðìîé ‖u‖ = (u2 1 + ... + u2 m)1/2, ïðåäñòàâëÿþ- ùèé óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå; X � âåêòîð-ôóíêöèÿ, îïðåäåëåííàÿ è íåïðåðûâíàÿ ïî (x,u) ∈ G × Rm, G = {x ∈ Rn : ‖x‖ < H, 0 < H ≤ +∞}, è òàêàÿ, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî êëàññà U íåïðåðûâíûõ óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé u = u(x), u(0) = 0 ðåøåíèÿ ñèñòåìû (1) îïðåäåëåíû è åäèíñòâåííû äëÿ êàæäîãî x0 ∈ G. Ñîãëàñíî [1] çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óïðàâëÿþùåãî âîçäåé- ñòâèÿ u ∈ U, ïðè êîòîðîì íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 ñèñòåìû (1) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Ðåøåíèå çàäà÷è î ñòàáèëèçàöèè ìîæåò äîñòèãàòüñÿ íà íåêîòîðîì ìíîæåñòâå U ′ ⊂ U óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé. Òîãäà öåëåñîîáðàçíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó î âûáîðå óïðàâëåíèÿ u = u0(x) ñ òî÷êè çðåíèÿ íàèëó÷øåãî êà÷åñòâà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ñîñòîÿùåãî â äîñòèæåíèè ìèíèìóìà ôóíêöèîíàëà I(u) = ∫ ∞ 0 W (x,u)dt, W (0,0) = 0, 119 À.Ñ. Àíäðååâ, Å.Á. Êèì ãäå W (x,u) åñòü íåêîòîðàÿ íåïðåðûâíàÿ íåîòðèöàòåëüíàÿ ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ïåðå- ìåííûõ (x,u) ∈ G×Rm, õàðàêòåðèçóþùàÿ êà÷åñòâî ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà. Èçëîæèì ïîñòàíîâêó çàäà÷è îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè â ñîîòâåòñòâèè ñ [1] è ïðîâåäåì àíàëèç íåêîòîðûõ åå ðåøåíèé, èñïîëüçóÿ ïðèíÿòûå â [1] îáîçíà÷åíèÿ: x = = x[t] = x(t,x0) åñòü äâèæåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíîìó óñëîâèþ x[0] = x(0,x0) = = x0 è ïîðîæäàåìîå óïðàâëÿþùèì âîçäåéñòâèåì u[t] = u(x[t]), dx[t] dt ≡ X (x[t],u[t]) . Îïðåäåëåíèå 1. Çàäà÷à îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ñîñòîèò â íàõîæäåíèè óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ u = u0(x), îáåñïå÷èâàþùåãî àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷è- âîñòü íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ x = 0, è òàêîãî, ÷òî ïî ñðàâíåíèþ ñ ëþáûìè äðóãèìè óïðàâëÿþùèìè âîçäåéñòâèÿìè u = u(x), ðåøàþùèìè çàäà÷ó î ñòàáèëèçàöèè x = 0, äëÿ âñåõ x0 ∈ Ḡ0, Ḡ0 = {x ∈ Rn : ‖x‖ ≤ H0 < H}, âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî∫ ∞ 0 W (x0 [t] ,u0[t])dt ≤ ∫ ∞ 0 W (x[t],u[t])dt ïðè óñëîâèÿõ x0[0] = x[0] = x0. Ïóñòü V : G → R+ åñòü ñêàëÿðíàÿ, íåïðåðûâíî äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ Ëÿ- ïóíîâà ñî çíà÷åíèåì V (0) = 0. Ñëåäóÿ [1], ââåäåì âûðàæåíèå B[V,x,u] = ( ∂V ∂x ·X(x,u) ) + W (x,u), ãäå (a · b) = ∑n i=1 aibi. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà [1, 5]. Òåîðåìà 1. Åñëè äëÿ ñèñòåìû (1) ñóùåñòâóþò ôóíêöèÿ V 0(x) è óïðàâëåíèå u0(x), óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì: 1) äëÿ âñåõ x ∈ G âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ V 0(x) > 0, B[V 0,x,u0(x)] ≡ 0, ïðè ýòîì V 0(x) = 0 òîëüêî ïðè x = 0; 2) ìíîæåñòâî {W 0[x] = W (x,u0(x)) = 0} íå ñîäåðæèò äâèæåíèé ñèñòåìû (1) ñ óïðàâëÿþùèì âîçäåéñòâèåì u = u0(x), êðîìå x = 0; 3) äëÿ âñåõ (x,u) ∈ G×Rm âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî B[V 0,x,u] > 0. Òîãäà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u = u0(x) ðåøàåò çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ñòàáè- ëèçàöèè. Ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî∫ ∞ 0 W (x0[t],u0[t])dt = min ∫ ∞ 0 W (x[t],u[t])dt = V (x0). Çàìå÷àíèå 1. Ôóíêöèÿ V 0(x) â òåîðåìå 1 îïðåäåëÿåò äëÿ íà÷àëüíîé òî÷êè x0 îïòèìàëüíîå çíà÷åíèå ôóíêöèîíàëà V (x0). Ïîýòîìó åå íàçûâàþò îïòèìàëüíîé ôóíê- öèåé Ëÿïóíîâà [1], è èç ýòîãî ïðåäñòàâëåíèÿ V 0(x) ñëåäóåò, ÷òî â ðåøåíèè çàäà÷è îá 120 Îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ åñëè íå îïðåäåëåííî-ïîëîæèòåëüíîé, òî îáÿçàòåëüíî íåîòðèöàòåëüíîé. Ðàññìîòðèì óïðàâëÿåìóþ ëèíåéíóþ ñèñòåìó, îïèñûâàåìóþ óðàâíåíèÿìè ẋ = Ax + Bu, (2) (çäåñü x ∈ Rn, u ∈ Rm, A ∈ Rn×n � ìàòðèöà ðàçìåðíîñòè n × n, B ∈ Rn×m � ìàò- ðèöà ðàçìåðíîñòè n × m), â çàäà÷å îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè åå íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ x = 0 ñ ìèíèìèçèðóåìûì ôóíêöèîíàëîì â âèäå I(u) = 1 2 ∫ ∞ 0 (x ′ Px + u ′ Qu)dt, (3) ãäå P ∈ Rn×n, Q ∈ Rm×m åñòü, ñîîòâåòñòâåííî, íåîòðèöàòåëüíàÿ è ïîëîæèòåëüíî îïðå- äåëåííàÿ ìàòðèöû, x ′ Px > 0 è u ′ Qu > 0 (u ′ Qu = 0 ⇔ u = 0) äëÿ âñåõ x ∈ Rn è u ∈ Rm. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðåøåíèå ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñóùåñòâóåò, ôóíêöèÿ Ëÿïó- íîâà V 0(x) ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé V 0(x) = 1 2 x ′ Cx, à îïòèìàëüíîå óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì: u0(x) = Sx, òîãäà ñîîò- íîøåíèå B[V 0,x,u0(x)] ≡ 0 ñâîäèòñÿ ê ìàòðè÷íîìó óðàâíåíèþ CA+A′C+CBS+ S′B′C+P+ S′QS = 0. Èìååò ìåñòî ñëåäóþùàÿ òåîðåìà îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè x = 0 ñèñòåìû (2) ñ îïòèìèçèðóåìûì ôóíêöèîíàëîì (3). Òåîðåìà 2 [7]. Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ: 1) ñèñòåìà (2) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ óïðàâëÿåìîé, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàíã ìàòðèöû (B, AB, . . . , An−1B) ðàâåí n, rank(B, AB, . . . , An−1B) = n; (4) 2) ìàòðèöà P â âûðàæåíèè (3) ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå çàêëþ÷åíèÿ: 1) Çàäà÷à îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ñèñòåìû (2) ñ ìèíèìóìîì ôóíêöèîíàëà (3) èìååò ðåøåíèå, ïðè ýòîì îïòèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà V 0(x) ÿâëÿåòñÿ ïîëîæè- òåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé V 0(x) = 1 2 x ′ Cx; 2) óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u0(x) = Sx ≡ −Q−1B ′ Cx ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì çàäà÷è îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ñèñòåìû (2) ñ ôóíêöèîíàëîì (3). 121 À.Ñ. Àíäðååâ, Å.Á. Êèì Ïðîàíàëèçèðóåì êðàòêî çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè x = 0 ñèñòåìû (2) ñ ôóíêöèîíàëîì (3) ïðè íåâûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû 2. Åñëè íå âûïîëíåíî óñëîâèå 1) òåîðåìû 2, òî åñòü åñëè ñèñòåìà (2) ÿâëÿåòñÿ íåïîë- íîñòüþ óïðàâëÿåìîé, òî îíà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó [6,7]{ ẋ1 = A11x 1 + A12x 2 + Bu, ẋ2 = A22x 2, (5) ãäå x1 è x2 åñòü ñîñòàâëÿþùèå íîâîãî âåêòîðà ïåðåìåííûõ x, x1 ∈ Rk, x2 ∈ Rn−k, à A11, A12, A22 è B åñòü ïðåîáðàçîâàííûå ìàòðèöû ñîîòâåòñòâóþùèõ ðàçìåðíîñòåé. Ïðè ýòîì ïåðâàÿ ïîäñèñòåìà èç (5) ÿâëÿåòñÿ ïîëíîñòüþ óïðàâëÿåìîé â ñâîåì ïðîñòðàíñòâå, à âòîðàÿ � íåóïðàâëÿåìîé. Åñëè âòîðàÿ ïîäñèñòåìà ñèñòåìû (5) ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé, òî ïåð- âàÿ ïîäñèñòåìà, à ñ íåé è âñÿ ñèñòåìà (2) ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëèçèðóåìîé. Åñëè æå âòîðàÿ ïîäñèñòåìà íå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé, òî ñòàáèëèçàöèÿ (à, çíà÷èò, è îï- òèìàëüíàÿ ñòàáèëèçàöèÿ) íåâîçìîæíà. Åñëè íå âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå 2) òåîðåìû 2, òî íåîáÿçàòåëüíî îïòèìàëüíàÿ ôóíê- öèÿ Ëÿïóíîâà V (x) äîëæíà ÿâëÿòüñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ïî x ôîðìîé. Äåéñòâèòåëüíî, ðàññìîòðèì ÷àñòíûé ñëó÷àé, ïðè êîòîðîì ñèñòåìà (2) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó { ẋ1 = A11x 1 + Bu, ẋ2 = A22x 2 (6) ñ àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîé ìàòðèöåé A22 è ñ ìèíèìèçèðóåìûì ôóíêöèîíàëîì, ïðè- âîäèìûì ê âèäó I(u) = 1 2 ∫ ∞ 0 ((x1) ′ P11x 1 + u ′ Qu)dt, (7) ãäå P11 è Q � ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûå ìàòðèöû. Èñïîëüçóÿ òåîðåìó 2, íàõîäèì, ÷òî îïòèìàëüíîå óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå â çàäà÷å (6)�(7) ñóùåñòâóåò â âèäå u = u(x1) è ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì, íî ìèíèìèçèðóåìûé ôóíêöèîíàë I ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé ïî ÷àñòè ïåðåìåííûõ, òîëüêî ïî x1. Ïðèìåð 1. Ðàññìîòðèì â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè çàäà÷ó î ñòàáèëèçàöèè ìàòåìà- òè÷åñêîãî ìàÿòíèêà â âåðõíåì, íåóñòîé÷èâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ìîìåíòîì, ïðè- ëîæåííûì ê íåìó íà îñè ïîäâåñà. Ïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå ìàñøòàáîâ âðåìåíè, êîîðäèíàò è óñèëèé, óðàâíåíèÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ çàïèøóòñÿ â âèäå [1] dx1 dt = x2, dx2 dt = x1 + u, (8) ãäå x1 = ϕ � óãîë îòêëîíåíèÿ ìàÿòíèêà îò âåðòèêàëè, x2 = ϕ̇, u � óïðàâëÿþùèé ìîìåíò, ïðèëîæåííûé ê ìàÿòíèêó. Ïîëîæèì, ÷òî êðèòåðèåì êà÷åñòâà âûáîðà óïðàâëåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèîíàë I(u) = ∫ ∞ 0 u2dt, (9) âûðàæàþùèé ìèíèìèçàöèþ çàòðàò ðåñóðñîâ íà óïðàâëåíèå. 122 Îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè Ïðè u = 0 äëÿ ñèñòåìû (8) ñóùåñòâóåò èíâàðèàíòíîå ìíîæåñòâî x1+x2 = 0, îòíîñè- òåëüíî êîòîðîãî ïîëîæåíèå x1 = x2 = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Ïîýòîìó î÷åâèäíî, ÷òî íà ìíîæåñòâå {x1 +x2 = 0} îïòèìàëüíàÿ ôóíêöèÿ Ëÿïóíîâà â ñèëó âèäà îïòèìèçè- ðóåìîãî ôóíêöèîíàëà (9) îáðàùàåòñÿ â íóëü, V 0(x1, x2) = 0 äëÿ (x1, x2) ∈ {x1 +x2 = 0}. Ñîñòàâèì äëÿ çàäà÷è (8), (9) âûðàæåíèå B[V,x, u] = ∂V ∂x1 x2 + ∂V ∂x2 (x1 + u) + 1 2 u2. (10) Ïîëàãàÿ V 0(x1, x2) = (x1 + x2) 2, íàõîäèì çíà÷åíèå u0(x1, x2) = −2(x1 + x2), ïðè êî- òîðîì âûðàæåíèå (10) èìååò äëÿ V = V 0(x1, x2) ñòðîãèé ìèíèìóì, ðàâíûé íóëþ. Íåïîñðåäñòâåííî íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ïðè u = −2(x1 + x2), ïîëîæåíèå ðàâíîâå- ñèÿ x1 = x2 = 0 ñèñòåìû (8) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî. Òåì ñàìûì óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u0 = −2(x1 + x2) ðåøàåò çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè (8), (9). Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî ðåøåíèå ðÿäà çàäà÷ îá îïòèìàëüíîé ñòà- áèëèçàöèè ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ îïòèìàëüíîé ôóíêöèè Ëÿïóíîâà, íå ÿâëÿþùåéñÿ ïî- ëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèåé. 2. Çíàêîïîñòîÿííûå ôóíêöèè â çàäà÷å îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. Ââå- äåì ñîãëàñíî [8] ñëåäóþùèå îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå 2. Íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæå- ñòâà M , åñëè äëÿ ëþáîãî ÷èñëà ε > 0 ñóùåñòâóåò ÷èñëî δ = δ(ε) > 0, òàêîå, ÷òî äëÿ êàæ- äîãî x0 ∈ {‖x‖ < δ} ⋂ M äâèæåíèå x = x(t,x0) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ ‖x(t,x0)‖ < ε ïðè âñåõ t > 0. Îïðåäåëåíèå 3. Íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îò- íîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M , åñëè îíî óñòîé÷èâî è ñóùåñòâóåò ÷èñëî H2 6 H1, òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîãî x0 ∈ {‖x‖ < H2} ⋂ M äâèæåíèå x = x(t,x0) íåîãðàíè÷åííî ïðèáëèæàåòñÿ ê x = 0 ïðè t → +∞, òî åñòü åñëè x0 ∈ {‖x‖ < H2} ⋂ M, òîãäà lim t→+∞ x(t,x0) = 0. Òåîðåìà 3. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ôóíêöèÿ V 0(x) è óïðàâëÿþùåå âîç- äåéñòâèå u = u0(x), u ∈ U òàêèå ÷òî: 1) äëÿ âñåõ x ∈ G1 = {‖x‖ < H1 > 0} âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ V 0(x) > 0, B[V 0,x,u0(x)] ≡ 0; 2) äëÿ ëþáîãî u = u(x) (u ∈ U), â îáëàñòè G0 ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî B[V 0,x,u(x)] > 0; 3) ìíîæåñòâî {V 0(x) > 0} ⋂ {W 0(x) = 0} (W 0(x) = W (x,u0(x))) íå ñîäåðæèò äâè- æåíèé ñèñòåìû ïðè u = u0(x); 4) íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 ñèñòåìû (1) ïðè u = u0(x) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {V 0(x) = 0}. Òîãäà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u0(x) ðåøàåò çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ x = 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç óñëîâèé 3) è 4) òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî íåâîçìóùåííîå äâè- æåíèå x = 0 ñèñòåìû (1) ïðè u = u0(x) àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî [8] ñ íåêîòîðîé îáëàñòüþ ïðèòÿæåíèÿ Γ0. 123 À.Ñ. Àíäðååâ, Å.Á. Êèì Ïðè ýòîì èç óñëîâèÿ 1) òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ x = x0(t,x0) ïðè u = u0(x) ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé x0 ∈ Γ0 èìååò ìåñòî ñîîòíîøåíèå I(u0) = ∞∫ 0 W (x0[t],u0[t])dt = − ∞∫ 0 dV 0[t] dt ∣∣∣∣ u=u0[t] dt = −( lim t→+∞ V 0[t]− V (x0)) = V (x0). Äëÿ ëþáîãî äðóãîãî óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ u = u1(x), u1 ∈ U, îáåñïå÷èâàþùåãî ñòàáèëèçàöèþ x = 0, èç óñëîâèÿ 2) òåîðåìû áóäåì èìåòü I(u1) = ∞∫ 0 W (x1[t],u1[t])dt ≥ − ∞∫ 0 dV 0[t] dt ∣∣∣∣ u=u1[t] dt ≥ V (x0). Òåì ñàìûì òåîðåìà äîêàçàíà. Ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íåñëîæíî ðàñïðîñòðàíèòü è äëÿ çàäà÷è ñ îáëàñòüþ ïðèòÿ- æåíèÿ Rn. Òåîðåìà 4. Â äîïîëíåíèå ê óñëîâèÿì òåîðåìû 3, ñïðàâåäëèâûõ äëÿ âñåõ x ∈ Rn, äîïóñòèì òàêæå, ÷òî âûïîëíåíî óñëîâèå 5) êàæäîå äâèæåíèå ñèñòåìû (1) ïðè u = u0(x) îãðàíè÷åíî, ‖x0(t,x0)‖ 6 L = = L(4) = const äëÿ âñåõ t > 0 è x0 ∈ {‖x‖ ≤ 4}. Òîãäà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u0(x) ðåøàåò çàäà÷ó î ãëîáàëüíîé îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. Ïðèìåð 2. Âíîâü, êàê â ïðèìåðå 1, ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñòàáèëèçàöèè ìàòåìàòè÷å- ñêîãî ìàÿòíèêà â âåðõíåì, íåóñòîé÷èâîì ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ ìîìåíòîì, ïðèëîæåí- íûì ê íåìó íà îñè ïîäâåñà. Íî, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî (ïðèìåðà 1), áóäåì, ñëåäóÿ [1], ïîëàãàòü, ÷òî óïðàâëÿþùèé ìîìåíò âûðàáàòûâàåòñÿ èñïîëíèòåëüíûì ìåõàíèçìîì, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ èíòåãðèðóþùèì çâåíîì ñ óïðàâëÿþùèì âîçäåéñòâèåì u. Ñîãëàñíî [1], óðàâíåíèÿ ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ èìåþò âèä dx1 dt = x2, dx2 dt = x1 + x3, dx3 dt = u. (11) Â îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííîãî â [1] ôóíêöèîíàëà I(u) = ∫ ∞ 0 (x2 1 + x2 2 + x2 3 + u2)dt, ðàññìîòðèì çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ñèñòåìû (11) x1 = x2 = x3 = 0 ñ ìèíèìèçèðóåìûì ôóíêöèîíàëîì â âèäå I(u) = 1 2 ∫ ∞ 0 (x2 3 + u2)dt. (12) Äëÿ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è ñîñòàâëÿåì âûðàæåíèå (10) B[V,x, u] = ∂V ∂x1 x2 + ∂V ∂x2 (x1 + x3) + ∂V ∂x3 u + 1 2 (x2 3 + u2). Èç óñëîâèÿ ìèíèìóìà ýòîãî âûðàæåíèÿ ïî u íàõîäèì âîçìîæíîå îïòèìàëüíîå óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u0 = − ∂V ∂x3 . 124 Îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè Èç óðàâíåíèÿ B[V 0,x, u0] = ∂V 0 ∂x1 x2 + ∂V 0 ∂x2 (x1 + x3) + 1 2 x2 3 − 1 2 ( ∂V 0 ∂x3 )2 = 0 íàõîäèì âîçìîæíóþ îïòèìàëüíóþ ôóíêöèþ Ëÿïóíîâà è ñîîòâåòñòâóþùåå âûðàæåíèå u0(x) V 0(x1, x2) = 4(x1 + x2) 2 + 4(x1 + x2)x3 + 3 2 x2 3, u0(x) = −4(x1 + x2)− 3x3. (13) Èç ýòîãî ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò âûïîëíåíèå óñëîâèé 1) è 2) òåîðåìû 3. Äëÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè V 0(x) ïðè u = u0(x) èìååì V̇ 0(x) = −1 2 (4(x1 + x2) + 3x3) 2 − 1 2 x2 3. Íåïîñðåäñòâåííî íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 àñèìï- òîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {V 0(x) = 0} = {x3 = 0, x1 + x2 = 0}. Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 3 íàõîäèì, ÷òî óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå (13) ÿâëÿåòñÿ îïòèìàëü- íûì â çàäà÷å (11), (12). Òàê êàê ñèñòåìà (11) è u0(x) ÿâëÿþòñÿ ëèíåéíûìè, u0(x) ÿâëÿ- åòñÿ ðåøåíèåì îá îïòèìàëüíîé ãëîáàëüíîé ñòàáèëèçàöèè. 3. Îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ëèíåéíûõ ñèñòåì. Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå òåîðåì 3 è 4 ê çàäà÷å îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè ëèíåéíîé ñèñòåìû (2) ñ êðèòåðèåì êà÷åñòâà â âèäå ôóíêöèîíàëà (3), ãäå P � íåîòðèöàòåëüíàÿ, à Q � ïîëîæèòåëüíî îïðå- äåëåííàÿ ìàòðèöà. Àíàëîãè÷íî [1] íàõîäèì, ÷òî ðåøåíèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê ìàòðè÷íîìó óïðàâëåíèþ îòíîñèòåëüíî C CA + A ′ C−CBQ−1B ′ C + P = 0. (14) Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëîêàëüíàÿ àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ëèíåéíûõ ñèñòåì âëå÷åò çà ñîáîé ãëîáàëüíóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü, èìååì ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà 5. Ïóñòü óðàâíåíèå (14) èìååò ðåøåíèå â âèäå íåîòðèöàòåëüíîé ìàòðèöû C = C0, ïðè÷åì íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x = 0 íåóïðàâëÿåìîé ñèñòåìû (2), òî åñòü ñèñòåìû ẋ = Ax, àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {x′ C0x = 0}. Òîãäà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u0(x) = −Q−1B ′ Cx ðåøàåò çàäà÷ó îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè íåâîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ x = 0 ñèñòåìû (2) ñ êðèòåðèåì êà÷åñòâà (3). Çàìå÷àíèå 2. Òåîðåìà 5 îïðåäåëÿåò äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îïòèìàëüíîé ñòàáè- ëèçàöèè ëèíåéíîé ñèñòåìû (2) ñ êðèòåðèåì êà÷åñòâà (3), êîãäà ìàòðèöà P íå ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé. Ïîêàæåì íà ïðèìåðå, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå ðåøåíèÿ óðàâ- íåíèÿ (14) ñîâìåñòíî ñ óñëîâèåì óïðàâëÿåìîñòè ïàðû ìàòðèö (A,B) íåäîñòàòî÷íî äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è (2), (3). Âíîâü ðàññìîòðèì ïðèìåð 2 è ïðèìåì êðèòåðèåì êà÷åñòâà ôóíêöèîíàë I1(u) = 1 2 ∞∫ 0 u2dt, (15) 125 À.Ñ. Àíäðååâ, Å.Á. Êèì òî åñòü ñ÷èòàåì, ÷òî â îáùåé ôîðìå ôóíêöèîíàëà (3) ìàòðèöà P = 0. Ñîãëàñíî [1], óñëîâèÿ óïðàâëÿåìîñòè (4) â ïðèìåðå âûïîëíåíû. Ïðîâîäÿ âû÷èñëåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ñëó÷àþ ôóíêöèîíàëà (12), íàõîäèì âîçìîæíóþ îïòèìàëüíóþ ôóíêöèþ V 0(x) è âîçìîæíîå îïòèìàëüíîå óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå: V 0 ∗ = (x1 + x2 + x3) 2, u0 ∗ = −2(x1 + x2 + x3). Íåïîñðåäñòâåííûìè âû÷èñëåíèÿìè ìîæíî íàéòè, ÷òî äëÿ ëþáîé íà÷àëüíîé òî÷- êè (x10, x20, x30) çíà÷åíèå V 0 ∗ (x10, x20, x30) áóäåò ÿâëÿòüñÿ çíà÷åíèåì ôóíêöèîíàëà (15) íà äâèæåíèÿ (x0 1(t), x 0 2(t), x 0 3(t)) ñèñòåìû (11) ïðè u = u0 ∗(x1, x2, x3) ìèíèìàëüíûì ïî ñðàâíåíèþ ñî çíà÷åíèÿìè íà äâèæåíèÿõ ïðè ëþáûõ äðóãèõ u = u1(x1, x2, x3), òàêèõ, ÷òî V ( x1 1(t), x 1 2(t), x 1 3(t) ) → 0 ïðè t → +∞. Îäíàêî, íåâîçìóùåííîå äâèæåíèå x1 = x2 = x3 = 0 ïðè u = u0 ∗(x1, x2, x3) áóäåò ÿâëÿòüñÿ ëèøü óñòîé÷èâûì, äëÿ ëþáîãî âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ áóäåò âûïîëíÿòüñÿ ñâîéñòâî lim t→+∞ x0 k(t) = x0 k = const (k = 1, 3), x0 1 + x0 3 = 0, x0 2 = 0. Òàêèì îáðàçîì, åñëè îáðàòèòüñÿ ê òåîðåìå 2, óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííî- ñòè ìàòðèöû P â ýòîé òåîðåìå ÿâëÿåòñÿ î÷åíü ñóùåñòâåííûì. Çàêëþ÷åíèå. Â ðàáîòå ïîëó÷åíû ðåçóëüòàòû, äîïîëíÿþùèå êëàññè÷åñêèå ðåçóëü- òàòû îá îïòèìàëüíîé ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèé ñòàöèîíàðíûõ ñèñòåì [1]. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò � 02-01-00877), ïðî- ãðàììû "Óíèâåðñèòåòû Ðîññèè"(ïðîåêò ÓÐ-04.01.053) è â ðàìêàõ ïðîãðàììû "Ãîñóäàð- ñòâåííàÿ ïîääåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë"(ÍØ-2000.2003.1). 1. Êðàñîâñêèé Í.Í. Ïðîáëåìû ñòàáèëèçàöèè óïðàâëÿåìûõ äâèæåíèé. � Â êí.: Ìàëêèí È.Ã. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Äîïîëíåíèå 4. � Ì.: Íàóêà, 1966. � Ñ.475-515. 2. Áåëëìàí Ð., Ãëèêñáåðã È., Ãðîññ Î. Íåêîòîðûå âîïðîñû ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè ïðîöåññîâ óïðàâ- ëåíèÿ. � Ì.: Èçä-âî èíîñòð. ëèò., 1962. � 336 ñ. 3. Ìàëêèí È.Ã. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1966. � 530 ñ. 4. Ðóø Í., Àáåòñ Ï., Ëàëóà Ì. Ïðÿìîé ìåòîä Ëÿïóíîâà â òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. � Ì.: Ìèð, 1980. � 301 ñ. 5. Êðàñîâñêèé Í.Í. Îáîáùåíèå òåîðåì âòîðîãî ìåòîäà Ëÿïóíîâà � Â êí.: Ìàëêèí È.Ã. Òåîðèÿ óñòîé- ÷èâîñòè äâèæåíèÿ. Äîï. 3. � Ì.: Íàóêà, 1966. � Ñ.463-474. 6. Âîðîíîâ À.À. Óñòîé÷èâîñòü, óïðàâëÿåìîñòü, íàáëþäàåìîñòü. � Ì.: Íàóêà, 1979. � 335 ñ. 7. Àôàíàñüåâ Â.È., Êîëìàíîâñêèé Â.Á., Íîñîâ Â.Ð. Ìàòåìàòè÷åñêàÿ òåîðèÿ êîíñòðóèðîâàíèÿ ñèñòåì óïðàâëåíèÿ. � Ì.: Âûñøàÿ øêîëà, 1989. � 448 ñ. 8. Áóëãàêîâ Í.Ã. Çíàêîïîñòîÿííûå ôóíêöèè â òåîðèè óñòîé÷èâîñòè. � Ìèíñê, 1984. � 80 ñ. Óëüÿíîâñêèé ãîñ. óí-ò, Ðîññèÿ AndreevAS@ulsu.ru Ïîëó÷åíî 01.10.04 126

Об оптимальной стабилизации установившегося движения управляемой системы

Репозитарії

Схожі ресурси