Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор
Рассмотрена следующая механическая система: тяжелый симметричный гироскоп-носитель, в него помещен вращающийся ротор, который может совершать к тому же свободные относительные колебания в плоскости, перпендикулярной оси симметрии носителя. Условия устойчивости равномерных вращений такой системы вокр...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123749 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор / В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 135-139. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123749 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237492017-09-10T03:03:56Z Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор Пузырев, В.Е. Рассмотрена следующая механическая система: тяжелый симметричный гироскоп-носитель, в него помещен вращающийся ротор, который может совершать к тому же свободные относительные колебания в плоскости, перпендикулярной оси симметрии носителя. Условия устойчивости равномерных вращений такой системы вокруг главной оси, совпадающей с вертикалью, были получены ранее |1, 2]. В настоящей работе предполагается, что на ротор, наряду с упругой силой, действует сила вязкого трения и изучается вопрос о влиянии этой силы на устойчивость движения всей системы. Получены условия асимптотической устойчивости на основе анализа характеристического уравнения линеаризованной системы, а также другим способом с использованием авторской методики исследования устойчивости систем с частичной диссипацией энергии. 2004 Article Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор / В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 135-139. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123749 531.38, 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена следующая механическая система: тяжелый симметричный гироскоп-носитель, в него помещен вращающийся ротор, который может совершать к тому же свободные относительные колебания в плоскости, перпендикулярной оси симметрии носителя. Условия устойчивости равномерных вращений такой системы вокруг главной оси, совпадающей с вертикалью, были получены ранее |1, 2]. В настоящей работе предполагается, что на ротор, наряду с упругой силой, действует сила вязкого трения и изучается вопрос о влиянии этой силы на устойчивость движения всей системы. Получены условия асимптотической устойчивости на основе анализа характеристического уравнения линеаризованной системы, а также другим способом с использованием авторской методики исследования устойчивости систем с частичной диссипацией энергии. |
| format |
Article |
| author |
Пузырев, В.Е. |
| spellingShingle |
Пузырев, В.Е. Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор Механика твердого тела |
| author_facet |
Пузырев, В.Е. |
| author_sort |
Пузырев, В.Е. |
| title |
Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор |
| title_short |
Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор |
| title_full |
Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор |
| title_fullStr |
Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор |
| title_full_unstemmed |
Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор |
| title_sort |
асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123749 |
| citation_txt |
Асимптотическая устойчивость равномерных вращений симметричного гироскопа, несущего упруго закрепленный ротор / В.Е. Пузырев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 135-139. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT puzyrevve asimptotičeskaâustojčivostʹravnomernyhvraŝenijsimmetričnogogiroskopanesuŝegouprugozakreplennyjrotor |
| first_indexed |
2025-07-09T00:11:50Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:11:50Z |
| _version_ |
1837126040095293440 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38, 531.36
c©2004. Â.Å. Ïóçûðåâ
ÀÑÈÌÏÒÎÒÈ×ÅÑÊÀß ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÜ ÐÀÂÍÎÌÅÐÍÛÕ
ÂÐÀÙÅÍÈÉ ÑÈÌÌÅÒÐÈ×ÍÎÃÎ ÃÈÐÎÑÊÎÏÀ,
ÍÅÑÓÙÅÃÎ ÓÏÐÓÃÎ ÇÀÊÐÅÏËÅÍÍÛÉ ÐÎÒÎÐ
Ðàññìîòðåíà ñëåäóþùàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà: òÿæåëûé ñèììåòðè÷íûé ãèðîñêîï-íîñèòåëü, â íåãî
ïîìåùåí âðàùàþùèéñÿ ðîòîð, êîòîðûé ìîæåò ñîâåðøàòü ê òîìó æå ñâîáîäíûå îòíîñèòåëüíûå êîëå-
áàíèÿ â ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñè ñèììåòðèè íîñèòåëÿ. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ðàâíîìåðíûõ
âðàùåíèé òàêîé ñèñòåìû âîêðóã ãëàâíîé îñè, ñîâïàäàþùåé ñ âåðòèêàëüþ, áûëè ïîëó÷åíû ðàíåå [1, 2].
 íàñòîÿùåé ðàáîòå ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî íà ðîòîð, íàðÿäó ñ óïðóãîé ñèëîé, äåéñòâóåò ñèëà âÿçêîãî
òðåíèÿ è èçó÷àåòñÿ âîïðîñ î âëèÿíèè ýòîé ñèëû íà óñòîé÷èâîñòü äâèæåíèÿ âñåé ñèñòåìû. Ïîëó÷åíû
óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íà îñíîâå àíàëèçà õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ëèíåàðè-
çîâàííîé ñèñòåìû, à òàêæå äðóãèì ñïîñîáîì � ñ èñïîëüçîâàíèåì àâòîðñêîé ìåòîäèêè èññëåäîâàíèÿ
óñòîé÷èâîñòè ñèñòåì ñ ÷àñòè÷íîé äèññèïàöèåé ýíåðãèè.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è.  ðàáîòàõ [1,
Ãèðîñêîï ñ óïðóãî çàêðåïëåííûì ðîòîðîì.
2] ðàññìàòðèâàëàñü çàäà÷à îá óñòîé÷èâî-
ñòè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû ãèðîñêîï-ìàõîâèê, ïðè÷åì ìàõî-
âèê ìîæåò ñîâåðøàòü ïëîñêî-ïàðàëëåëüíîå
äâèæåíèå îòíîñèòåëüíî íîñèòåëÿ (ñì. ðè-
ñóíîê). Áûëè ïîëó÷åíû è ïðîàíàëèçèðî-
âàíû äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè �
óñëîâèÿ çíàêîîïðåäåëåííîñòè ôóíêöèè Ðà-
óñà, à òàêæå íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ óñòîé-
÷èâîñòè � îòñóòñòâèå ó óðàâíåíèé ïåðâîãî
ïðèáëèæåíèÿ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ñ ïî-
ëîæèòåëüíîé âåùåñòâåííîé ÷àñòüþ. Óñòîé-
÷èâîñòü ïðè ýòîì áûëà íåàñèìïòîòè÷åñêîé,
ïîñêîëüêó ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿëàñü
êîíñåðâàòèâíîé.
 íàñòîÿùåé ðàáîòå öåëüþ èññëåäîâà-
íèÿ ÿâëÿåòñÿ îöåíêà âëèÿíèÿ òðåíèÿ â øàð-
íèðå (øàðíèðàõ), ïîñðåäñòâîì êîòîðîãî
ðîòîð êðåïèòñÿ â òåëå-íîñèòåëå, íà óñòîé-
÷èâîñòü äâèæåíèÿ âñåé ñèñòåìû. Äîáàâëÿÿ
â óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòå-
ìû ñèëó âÿçêîãî òðåíèÿ è èñïîëüçóÿ îáî-
çíà÷åíèÿ ðàáîòû [1], óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ çàïèøåì â âèäå
bz′′ + w′′ − i(2b− a)z′ − 2iw′ + (a− b− µ1)z − (µ2 + 1)w = 0,
(1)
z′′ + w′′ − 2iz′ − 2iw′ − (µ2 + 1)z + (k − 1)w = −hw′.
Ïåðåìåííûå z, w ÿâëÿþòñÿ êîìïëåêñíûìè, âñå îñòàëüíûå âåëè÷èíû (çà èñêëþ÷åíèåì
ìíèìîé åäèíèöû) � âåùåñòâåííûìè, ïðè÷åì 0 < a < 2b, b > 1, h > 0. Íóëåâîìó ðåøå-
135
Â.Å. Ïóçûðåâ
íèþ ñèñòåìû (1) ñîîòâåòñòâóþò ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ñèñòåìû (êàê ãèðîñòàòà) âîêðóã
îñè Ox1, ñîâïàäàþùåé ñ âåðòèêàëüþ. Ýòî ðåøåíèå áóäåò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî
òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà âñå êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ
det
(
bλ2 − i(2b− a)λ + a− b− µ1 λ2 − 2iλ− µ2 − 1
λ2 − 2iλ− µ2 − 1 λ2 + (h− 2i)λ + k − 1
)
= 0
èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ óñëîâèé
âîñïîëüçóåìñÿ êðèòåðèåì Ãóðâèöà (äëÿ êîìïëåêñíûõ ìíîãî÷ëåíîâ) [3].
Êðèòåðèé Ãóðâèöà: Ïóñòü ïîëèíîì
f(iz) = a0z
n + a1z
n−1 + · · ·+ an + i (b0z
n + b1z
n−1 + · · ·+ bn).
×èñëî êîðíåé ïîëèíîìà f(z) ñ îòðèöàòåëüíûìè âåùåñòâåííûìè ÷àñòÿìè ðàâíî ÷èñëó
ïåðåìåí çíàêà â ðÿäó 1, |B2|, |B4|, · · · |B2n|, ãäå
B2s =
a0 a1 a2 a3 · · · an 0 · · · 0
b0 b1 b2 b3 · · · bn 0 · · · 0
0 a0 a1 a2 · · · an−1 an · · · 0
0 b0 b1 b2 · · · bn−1 bn · · · 0
· · · · · · · · · · · · 0
0 0 0 0 · · · a0 a1 · · · an
0 0 0 0 · · · b0 b1 · · · bn
. (3)
Çàìåòèì, ÷òî â ðÿäó n + 1 ÷èñëîâûõ âåëè÷èí n ïåðåìåí çíàêà âîçìîæíî òîëüêî ïðè
óñëîâèè ÷åðåäîâàíèÿ çíàêîâ, òî åñòü |B2| < 0, |B4| > 0 è òàê äàëåå.
2. Óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè è èõ àíàëèç. Ïîñêîëüêó â ðàñ-
ñìàòðèâàåìîé çàäà÷å õàðàêòåðèñòè÷åñêèé ìíîãî÷ëåí èìååò âèä
(b− 1)λ4 + [bh + i(a− 4b + 4)]λ3 + [bk − µ1 + 2µ2 + 3a− 6b + 6− i(2b− a)h]λ2+
+[(a−b−µ1)h− i((2b−a)k−2µ1 +4µ2 +3a−4b+4)]λ+(a−b−µ1)k−a+b+µ1−(µ2 +1)2,
òî äëÿ êîýôôèöèåíòîâ am, bm (m = 0, 4) ïîëó÷àåì
a0 = b− 1, a1 = a− 4b + 4, a2 = −bk + µ1 − 2µ2 − 3a + 6b− 6,
a3 = (2b− a)k − 2µ1 + 4µ2 + 3a− 4b + 4, a4 = (a− b− µ1)k − a + b + µ1 − (µ2 + 1)2,
b0 = 0, b1 = −bh, b2 = (2b− a)h, b3 = (a− b− µ1)h, b4 = 0.
Âû÷èñëÿÿ ñîîòâåòñòâóþùèå îïðåäåëèòåëè, íàõîäèì
|B2| = a0b1, |B4| = a0h
2δ1, |B6| = −a0h
3δ2, |B8| = a0a4h
4δ3,
ãäå
δ1 = b3k + a2 + ab− b3 + 2b2µ2 + b2 − bµ1,
δ2 = (a4 − a3b + 2a2b2µ2 − 3a2bµ1 − 2ab3µ2 + 2ab2µ1 + b4µ2
2−
−2b3µ1µ2 + b2µ2
1)k − a4 + a3b− 2a3µ2 − a3 − 2a2b2µ2 + 2a2b2+
+3a2bµ1 + a2bµ2
2 − 2a2µ1µ2 − a2µ1 + 2ab3µ2 − 2ab2µ1 − 3ab2µ2
2−
136
−2ab2µ2 + 4abµ1µ2 + 2abµ1 − aµ2
1 − b4µ2
2 + 2b3µ1µ2 + 2b3µ3
2 + b3µ2
2−
−b2µ2
1 − 5b2µ1µ
2
2 − 2b2µ1µ2 + 4bµ2
1µ2 + bµ2
1 − µ3
1,
δ3 = a4µ2
2 + 2a2b2µ3
2 − 4a2bµ1µ
2
2 + 2a2µ2
1µ2+
+b4µ4
2 − 4b3µ1µ
3
2 + 6b2µ2
1µ
2
2 − 4bµ3
1µ2 + µ4
1.
Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî δ3 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êâàäðàò âûðàæåíèÿ
σ = a2µ2 + b2µ2
2 − 2bµ1µ2 + µ2
1,
ïîýòîìó äëÿ ïîëîæèòåëüíîñòè |B8| íåîáõîäèìà ïîëîæèòåëüíîñòü a4, à òàêæå íåðà-
âåíñòâî íóëþ σ, òî åñòü âûïîëíåíèå óñëîâèÿ
a2 6= −(bµ2 − µ1)
2
µ2
. (4)
Î÷åâèäíî, (4) ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî ïðè óñëîâèè µ2 < 0, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò [1]
îòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèþ àáñöèññû òî÷êè C1 â ñèñòåìå Oxyz.
Åñëè ïðèìåíèòü êðèòåðèé Ãóðâèöà ïî îòíîøåíèþ ê ïîëèíîìó f(1/λ), òî íóìåðàöèÿ
êîýôôèöèåíòîâ èçìåíèòñÿ íà "îáðàòíóþ", ïðè ýòîì â ìàòðèöå (3) êàæäûé èíäåêñ l
ñëåäóåò çàìåíèòü íà n−l, äîáàâëÿÿ ïåðåä âåëè÷èíàìè a, b ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè çíàê
ìèíóñ. Òîãäà |B̃2| = −a4b3, çíà÷èò, íåîáõîäèìà ïîëîæèòåëüíîñòü b3. Òàêèì îáðàçîì
óñëîâèå (4), à òàêæå
a− b− µ1 > 0, (5)
(a− b− µ1)(k − 1)− (µ2 + 1)2 > 0 (6)
ÿâëÿþòñÿ íåîáõîäèìûìè äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû
(1). Ïîêàæåì, ÷òî ýòè æå óñëîâèÿ ÿâëÿþòñÿ è äîñòàòî÷íûìè, òî åñòü îáåñïå÷èâàþò
ïîëîæèòåëüíîñòü âûðàæåíèé δ1, δ2.
Îáîçíà÷èì
k = 1 +
(µ2 + 1)2
a− b− µ1
+ ∆k
è ïîäñòàâèì â âûðàæåíèå äëÿ δ1. Ñ òî÷íîñòüþ äî ïîëîæèòåëüíîãî ìíîæèòåëÿ
a− b− µ1 ïîëó÷èì
b3∆k + a3 − a2µ1 + 2ab2µ2 − 2abµ1 + b3µ2
2 − 2b2µ1µ2 + bµ2
1
èëè, âûïîëíÿÿ òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ,
b3∆k + b(a− µ1 + bµ2)
2 + a2(a− b− µ1).
Ïîñëåäíåå, î÷åâèäíî, ïîëîæèòåëüíî, ïîñêîëüêó ñîãëàñíî (6) ∆k > 0.
Äëÿ δ2 èìååì ñëåäóþùåå ïðåäñòàâëåíèå: δ2 = δ21∆k + δ20, ãäå
δ21 = a5 − 2a4b− a4µ1 + 2a3b2µ2 + a3b2 − 2a3bµ1 − 4a2b3µ2−
−2a2b2µ1µ2 + 5a2b2µ1 + 3a2bµ2
1 + ab4µ2
2 − 2ab3µ1 − ab2µ2
1−
−b5µ2
2 − b4µ1µ
2
2 + 2b4µ1µ2 + 2b3µ2
1µ2 − b3µ2
1 − b2µ3
1,
137
Â.Å. Ïóçûðåâ
δ20 = (a2µ2 + b2µ2
2 − 2bµ1µ2 + µ2
1)
2.
Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü ïîêàçàòü ïîëîæèòåëüíîñòü âûðàæåíèÿ δ21. Ðàññìàòðèâàÿ åãî
êàê ìíîãî÷ëåí îòíîñèòåëüíî µ2 è âûäåëÿÿ ïîëíûé êâàäðàò, ïîëó÷àåì
δ21 = (a− b− µ1)[(b
2µ2 + a2 − ab− bµ1)
2 + a2b(a− b− µ1)].
Ââèäó (5), ëåãêî âèäåòü, ÷òî δ21, à, ñëåäîâàòåëüíî, è δ2, ïîëîæèòåëüíî.
Ó÷èòûâàÿ âûøåñêàçàííîå, ïðèõîäèì ê çàêëþ÷åíèþ, ÷òî óñëîâèÿ (4) - (6) ÿâëÿþòñÿ
íåîáõîäèìûìè è äîñòàòî÷íûìè äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè íóëåâîãî ðåøåíèÿ
ñèñòåìû (2). Ïîñëåäíèé ôàêò îçíà÷àåò óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ â èñõîäíûõ [1]
âåùåñòâåííûõ ïåðåìåííûõ, à, ñîãëàñíî òåîðåìå Ëÿïóíîâà îá óñòîé÷èâîñòè ïî ïåðâî-
ìó ïðèáëèæåíèþ [4], àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ñèñòåìû
âîêðóã ïåðâîé ãëàâíîé îñè, ñîâïàäàþùåé ñ âåðòèêàëüþ.
Çàìåòèì, ÷òî óñëîâèÿ (5), (6) ñîâïàäàþò ñ äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè
ýòîãî äâèæåíèÿ ïðè îòñóòñòâèè äèññèïàöèè ýíåðãèè, ïîëó÷åííûìè â [1]. Óñëîâèå (4)
ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê çàïðåò ñâîåãî ðîäà ðåçîíàíñíîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó óãëî-
âûìè ñêîðîñòÿìè íîñèòåëÿ è ðîòîðà.
3. Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (2). Ðåäó-
öèðîâàííûé ïîäõîä.
Íàéäåì óñëîâèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè èçó÷àåìîãî äâèæåíèÿ, èñïîëüçóÿ
ðåçóëüòàòû ðàáîò [5, 6]. Äîïîëíèì (2) ñîïðÿæåííûìè óðàâíåíèÿìè è èçìåíèì â öåëÿõ
óäîáñòâà ïîðÿäîê ñëåäîâàíèÿ ïåðåìåííûõ (è óðàâíåíèé) íà w, w, z, z ( â óêàçàííûõ
ðàáîòàõ âíà÷àëå ñëåäóþò ïåðåìåííûå, ïî êîòîðûì ïðîèñõîäèò äèññèïàöèÿ ýíåðãèè ).
Çàïèøåì ìàòðèöû êîýôôèöèåíòîâ A, B, C:
A =
1 0 1 0
0 1 0 1
1 0 b 0
0 1 0 b
, B = i
−2 0 −2 0
0 2 0 2
−2 0 a− 2b 0
0 2 0 2b− a
,
C =
k − 1 0 −µ2 − 1 0
0 k − 1 0 −µ2 − 1
−µ2 − 1 0 a− b− µ1 0
0 −µ2 − 1 0 a− b− µ1
.
Ðàçáèâàÿ A, B, C íà ìàòðèöû-áëîêè âòîðîãî ïîðÿäêà, èìååì
A11 = A12 = A21 = E, A22 = bE, B11 = B12 = B21 = 2i diag(1,−1),
B22 = (b− a
2
)B11, C11 = (k − 1)E, C12 = C21 = −(µ2 + 1)E, C22 = (a− b− µ1)E,
ãäå E � åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà âòîðîãî ïîðÿäêà. Äëÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè
íóëåâîãî ðåøåíèÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû C äîëæíû áûòü ïîëîæèòåëüíû.
Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâàì (5), (6). Êðîìå
òîãî [5, 6], íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî òðåáîâàíèÿ:
D21(λ0)γ0 6= 0 (7)
íè äëÿ êàêîãî ñîáñòâåííîãî ÷èñëà λ0 ëèíåéíîãî äèôôåðåíöèàëüíîãî îïåðàòîðà d22 .
138
Çäåñü
d2j = A2j
d2
dt2
+ B2j
d
dt
+ C2j (j = 1; 2),
D2j � ñîîòâåòñòâóþùàÿ λ-ìàòðèöà, γ0 � ñîáñòâåííûé âåêòîð îïåðàòîðà d22, êîòîðûé
ñîîòâåòñâóåò çíà÷åíèþ λ0.
Ïîñêîëüêó D2j = diag(fj(λ), fj(λ)) (j = 1; 2), ãäå
f1(λ) = λ2 − 2iλ− µ2, f2(λ) = λ2 − (2b− a)iλ + a− b− µ1,
òî ñîáñòâåííûå ÷èñëà êàæäîé èç ýòèõ ìàòðèö ÿâëÿþòñÿ ïîïàðíî êîìïëåêñíî ñîïðÿæåí-
íûìè, ïðè ýòîì ñîáñòâåííûé âåêòîð γ(λ0) êîëëèíåàðåí âåêòîðó col(1, 0), à γ(λ0) �
âåêòîðó col(0, 1). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ðàâåíñòâî (7) âîçìîæíî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà
ìíîãî÷ëåíû f1 è f2 èìåþò îáùèé êîðåíü. Âû÷èñëÿÿ èõ ðåçóëüòàíò, èìååì
R(f1, f2) = a2(µ2 − 1) + b2(µ2 − 1)2 − 2bµ1(µ2 − 1) + µ2
1 = σ.
Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (7) ïðèâîäèò ê íåðàâåíñòâó (4) (è íàîáîðîò), à íàéäåííûå óñëî-
âèÿ óñòîé÷èâîñòè ñîâïàäàþò ñ ïîëó÷åííûìè â ï. 2. Îòìåòèì, ÷òî äàííûé ñïîñîá ïðåä-
ñòàâëÿåòñÿ áîëåå ïðîñòûì (êàê ìèíèìóì, ìåíåå ãðîìîçäêèì), õîòÿ, â îòëè÷èå îò "ïðÿ-
ìîé"ïðîöåäóðû, íå ïîçâîëÿåò îöåíèâàòü âåëè÷èíó õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëåé, òî
åñòü äåëàòü âûâîä î ñêîðîñòè çàòóõàíèÿ âîçìóùåííîãî ðåøåíèÿ.
1. Ïóçûðåâ Â.Å. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ îäíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ óïðóãîé ñâÿçüþ // Ìåõà-
íèêà òâåðäîãî òåëà. � 1996. � Âûï. 26(I). � Ñ. 49�54.
2. Ïóçûðåâ Â.Å.Àíàëèç íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ãèðîñêîïà Ëàãðàí-
æà ñ êîëåáëþùèìñÿ ðîòîðîì // Òàì æå. � 1995. � Âûï. 27. � Ñ. 83�87.
3. Í.Ã. ×åáîòàðåâ, Í.Í. Ìåéìàí Ïðîáëåìà Ðàóñà-Ãóðâèöà äëÿ ïîëèíîìîâ è öåëûõ ôóíêöèé // Òð.
Ìàò. èí-òà èì. Â.À. Ñòåêëîâà. � Ì.; Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1949. � XXVI. � 332 ñ.
4. Ìàëêèí È.Ã. Òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1966. � 530 ñ.
5. Puzyrev V.E. Stability of non-stationary motions of mechanical systems with partial energy dissipation
// 7-th Conf. on dynamical systems � theory and applications (Lodz, Poland. December 8 � 10, 2003):
Proc. � 2003. � V. 1. � P. 375 - 382.
6. Ïóçûð¼â Â.Å. Îá óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèÿ ëèíåéíîé àâòîíîìíîé ñèñòåìû, íàõîäÿùåéñÿ ïîä äåéñòâè-
åì ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ ñ íåïîëíîé äèññèïàöèåé ýíåðãèè // Òð. ÈÏÌÌ ÍÀÍÓ. � 2003. � Âûï. 8. �
Ñ. 111-115.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
techmech@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 10.06.04
139
|