Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем, приводящим ротор во вращение. Если наружная ось подвеса вертикальна, то уравнения движения этой системы допускают семейство решений, описывающих регулярные прецес...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2004
1. Verfasser:	Коносевич, Ю.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123751
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 150-160. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123751
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237512017-09-10T03:03:49Z Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Ю.Б. Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем, приводящим ротор во вращение. Если наружная ось подвеса вертикальна, то уравнения движения этой системы допускают семейство решений, описывающих регулярные прецесии ротора вокруг наружной оси подвеса или равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. Исследование устойчивости таких стационарных движений, основанное на линеаризованных уравнениях движения, в случае электродвигателя асинхронного типа приводит к одному неравенству, являющемуся достаточным условием устойчивости. Оно изучено Б.И. Коносевичем. В случае синхронного двигателя достаточными условиями устойчивости стационарных движений являются два неравенства. Одно из них совпадает с упомянутым выше, а второе характерно только для случая синхронного двигателя. В данной работе проанализировано это второе (дополнительное) условие устойчивости. 2004 Article Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 150-160. — Бібліогр.: 2 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123751 531.38, 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается гироскоп в кардановом подвесе, установленный на неподвижном основании в поле силы тяжести и снабженный электродвигателем, приводящим ротор во вращение. Если наружная ось подвеса вертикальна, то уравнения движения этой системы допускают семейство решений, описывающих регулярные прецесии ротора вокруг наружной оси подвеса или равномерные вращения ротора вокруг неподвижной оси. Исследование устойчивости таких стационарных движений, основанное на линеаризованных уравнениях движения, в случае электродвигателя асинхронного типа приводит к одному неравенству, являющемуся достаточным условием устойчивости. Оно изучено Б.И. Коносевичем. В случае синхронного двигателя достаточными условиями устойчивости стационарных движений являются два неравенства. Одно из них совпадает с упомянутым выше, а второе характерно только для случая синхронного двигателя. В данной работе проанализировано это второе (дополнительное) условие устойчивости.
format	Article
author	Коносевич, Ю.Б.
spellingShingle	Коносевич, Ю.Б. Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе Механика твердого тела
author_facet	Коносевич, Ю.Б.
author_sort	Коносевич, Ю.Б.
title	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_short	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_full	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_fullStr	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_full_unstemmed	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_sort	исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2004
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123751
citation_txt	Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 150-160. — Бібліогр.: 2 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT konosevičûb issledovaniedopolnitelʹnogousloviâustojčivostistacionarnyhdviženijsinhronnogogiroskopavkardanovompodvese
first_indexed	2025-07-09T00:12:03Z
last_indexed	2025-07-09T00:12:03Z
_version_	1837126050457321472
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34 ÓÄÊ 531.38, 531.36 c©2004.Þ.Á. Êîíîñåâè÷ ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÅÄÎÏÎËÍÈÒÅËÜÍÎÃÎ ÓÑËÎÂÈßÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÄÂÈÆÅÍÈÉ ÑÈÍÕÐÎÍÍÎÃÎ ÃÈÐÎÑÊÎÏÀ Â ÊÀÐÄÀÍÎÂÎÌ ÏÎÄÂÅÑÅ Ðàññìàòðèâàåòñÿ ãèðîñêîï â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, óñòàíîâëåííûé íà íåïîäâèæíîì îñíîâàíèè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè è ñíàáæåííûé ýëåêòðîäâèãàòåëåì, ïðèâîäÿùèì ðîòîð âî âðàùåíèå. Åñëè íàðóæíàÿ îñü ïîäâåñà âåðòèêàëüíà, òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ýòîé ñèñòåìû äîïóñêàþò ñåìåéñòâî ðåøåíèé, îïèñûâà- þùèõ ðåãóëÿðíûå ïðåöåñèè ðîòîðà âîêðóã íàðóæíîé îñè ïîäâåñà èëè ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ðîòîðà âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè. Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè òàêèõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, îñíîâàííîå íà ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâ- íåíèÿõ äâèæåíèÿ, â ñëó÷àå ýëåêòðîäâèãàòåëÿ àñèíõðîííîãî òèïà ïðèâîäèò ê îäíîìó íåðàâåíñòâó, ÿâëÿ- þùåìóñÿ äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè. Îíî èçó÷åíî Á.È. Êîíîñåâè÷åì. Â ñëó÷àå ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ÿâëÿþòñÿ äâà íåðàâåíñòâà. Îäíî èç íèõ ñîâïàäàåò ñ óïîìÿíóòûì âûøå, à âòîðîå õàðàêòåðíî òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ. Â äàííîé ðàáîòå ïðîàíàëèçèðîâàíî ýòî âòîðîå (äîïîëíèòåëüíîå) óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè. 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ïóñòü α, β, ϕ � óãëû ïîâîðîòà êàðäàíîâûõ "ðàìîê"è ðîòî- ðà; G(β), N(β), Q(β), H,R � êîýôôèöèåíòû â âûðàæåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòå- ìû; U(β) � åå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ. Â ñòàòüå [1] ïîêàçàíî, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ îáîáùåííîé ìîäåëè ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå äîïóñêàþò ðåøåíèÿ âèäà α̇ = Ω, β = β0, ϕ = ωt + γ0, (1) åñëè ïîñòîÿííûå Ω è β0 ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì −Ω[ Ω 2 G′(β0) + ωQ′(β0)] + U ′(β0) = 0, (2) è äëÿ óñòîé÷èâîñòè òàêîãî ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ äâóõ óñëîâèé Ω2 [ G ′2(β0)− 1 2 G(β0)G ′′(β0) ] + ωΩ [ 2G′(β0)Q ′(β0)−G(β0)Q ′′(β0) ] + +ω2Q ′2(β0) + G(β0)U ′′(β0) > 0, (3) \|G(β0)R−N(β0)Q(β0)\|+ \|Ω(G′(β0)Q(β0)−G(β0)Q ′(β0)) + ωQ′(β0)Q(β0)\| 6= 0. (4) Çäåñü øòðèõ îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî β. Óñëîâèå (3) äîñòàòî÷íî äëÿ óñòîé÷è- âîñòè ðåøåíèÿ (1) è â ñëó÷àå àñèíõðîííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Ðàññìîòðèì îáû÷íóþ ìîäåëü ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå. Â ýòîì ñëó÷àå (ñì.[2]) G(β) = C2 + B1 + C + (C1 + A−B1 − C) cos2 β, H = A1 + A, N(β) = 0, Q(β) = C sin β, R = 0, U(β) = mgs sin β. (5) Çäåñü C, A � îñåâîé è ýêâàòîðèàëüíûé ìîìåíòû èíåðöèè ðîòîðà îòíîñèòåëüíî öåíòðà ïîäâåñà; A1, B1, C1 � ìîìåíòû èíåðöèè âíóòðåííåé ðàìêè îòíîñèòåëüíî âíóòðåííåé îñè 150 Èññëåäîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ïîäâåñà, îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà è îòíîñèòåëüíî ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè âíóòðåí- íåé ðàìêè, ïðîâåäåííîãî ÷åðåç öåíòð ïîäâåñà; C2 � ìîìåíò èíåðöèè íàðóæíîé ðàìêè îòíîñèòåëüíî íàðóæíîé îñè ïîäâåñà; m � ìàññà ðîòîðà; s � ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ïîä- âåñà äî öåíòðà ìàññ ðîòîðà. Óãîë β åñòü óãîë ìåæäó îñüþ ðîòîðà è ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè íàðóæíîé ðàìêè â åå öåíòðå. Ïîëàãàÿ äëÿ êðàòêîñòè I0 = C2 + B1 + C, I = C1 + A−B1 − C, ðàññìîòðèì íåòðè- âèàëüíûé ñëó÷àé, êîãäà I 6= 0. Ñëåäóÿ [2], ââåäåì áåçðàçìåðíûå ïàðàìåòðû y = 2ΩI/ωC, ε = 4mgsI/ω2C2, λ = I0/I, õàðàêòåðèçóþùèå óãëîâóþ ñêîðîñòü ïðåöåññèè Ω, ñìåùåíèå s öåíòðà ìàññ ðîòîðà è ðàñïðåäåëåíèå ìàññ â ñèñòåìå. Ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ε, λ îïðåäåëåíî ñîîò- íîøåíèÿìè λ > 0 (ε ≥ 0), λ < −1 (ε ≤ 0). (6) Òîãäà óñëîâèå (2) ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (1) ïðèíèìàåò âèä cos β0(y 2 sin β0 − 2y + ε) = 0, (7) à óñëîâèÿ (3), (4) óñòîé÷èâîñòè ýòîãî ðåøåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì y2[−2 cos4 β0 + (3 + 2λ) cos2 β0 − λ]+ +2y sin β0(λ− 3 cos2 β0) + 4 cos2 β0 − ε(λ + cos2 β0) sin β0 > 0, (8) cos β0[(1 + λ + sin2 β0)y − 2 sin β0] 6= 0. (9) Èç (7) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ôèêñèðîâàííîì ε ìíîæåñòâî ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé èçîáðà- æàåòñÿ íà ïëîñêîñòè (β0, y) âåðòèêàëüíûìè ïðÿìûìè β0 = ±π/2 ( mod 2π) è äâóìÿ êðèâûìè y = y1(β0, ε), y = y2(β0, ε), ãäå y1(β0, ε) = 1 + √ 1− ε sin β0 sin β0 , y2(β0, ε) = 1− √ 1− ε sin β0 sin β0 . (10) Òàê êàê âñå ôóíêöèè â ñîîòíîøåíèÿõ (7)-(9) 2π-ïåðèîäè÷åñêèå ïî β0, òî äîñòàòî÷- íî èçó÷èòü ýòè ñîîòíîøåíèÿ äëÿ çíà÷åíèé β0, ïðèíàäëåæàùèõ êàêîìó-ëèáî îòðåçêó äëèíû 2π. Ïðè ε > 0 â êà÷åñòâå òàêîãî îñíîâíîãî îòðåçêà ïðèìåì [−3π/2; π/2], à ïðè ε ≤ 0 âîçüìåì [−π/2; 3π/2]. ×åðåç [a(ε); b(ε)] îáîçíà÷èì òó ÷àñòü îñíîâíîãî îòðåçêà, íà êîòîðîé 1− ε sin β0 ≥ 0, òî åñòü îïðåäåëåíû êðèâûå (10). Òîãäà ïðè ε > 0 èìååì b(ε) = { π/2 arcsin 1/ε , a(ε) = { −3π/2, ε ∈ (0; 1] −π − b(ε), ε > 1 , (11) à ïðè ε ≤ 0 áóäåò a(ε) = { −π/2 arcsin 1/ε , b(ε) = { 3π/2, ε ∈ [−1; 0] π − a(ε), ε < −1 . (12) Ïîñòðîåíèå ìíîæåñòâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé íà ïëîñêîñòè (β0, y) ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ε äàíî â ñòàòüå [2]. Äâà ñåìåéñòâà ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðÿìûì β0 = ±π/2 è êðèâûì (10), ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ áèôóðêàöèè X1 = (−π/2,−1− √ 1 + ε), X2 = (−π/2,−1 + √ 1 + ε), ε ≥ −1; X3 = (π/2, 1− √ 1− ε), X4 = (π/2, 1 + √ 1− ε), ε ≤ 1. 151 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ Ãëàâíîé çàäà÷åé â [2] ÿâëÿëîñü èññëåäîâàíèå îñíîâíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè (8). Ïîêàçàíî, ÷òî íà ïðÿìûõ β0 = ±π/2 ïðè ε ≥ 0 (λ > 0) ýòî óñëîâèå âûïîëíåíî íà îòêðûòûõ èíòåðâàëàõ ìåæäó òî÷êàìè áèôóðêàöèè, à ïðè ε ≤ 0 (λ < −1) îíî âûïîëíåíî íà ëó÷àõ, ëåæàùèõ âíå îòðåçêîâ ñ êîíöàìè â òî÷êàõ áèôóðêàöèè. Äàëåå, íà êðèâûõ y = yj(β0, ε), j = 1, 2, óñëîâèå (8) âûïîëíåíî ïðè ε ≥ 0 (λ > 0) âî âñåõ òî÷êàõ ñ àáñöèññàìè β0 6= ±π/2. Â ñëó÷àå ε ≤ 0 (λ < −1) íàéäåíû îáëàñòè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ε, λ, ïðè êîòîðûõ íà ýòèõ êðèâûõ èìåþòñÿ èíòåðâàëû óñòîé÷èâîñòè ( β (j) 1 (ε, λ); π/2 ) ,( π/2; β (j) 2 (ε, λ) ) , j = 1, 2, òî åñòü èíòåðâàëû, ãäå âûïîëíåíî óñëîâèå (8). Â íàñòîÿùåé ðàáîòå èçó÷àåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (9) äëÿ îáû÷- íîé ìîäåëè ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ â òåõ òî÷êàõ ìíîæåñòâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé, ãäå èìååò ìåñòî îäíî èç ðàâåíñòâ cos β0 = 0, (1 + λ + sin2 β0)y − 2 sin β0 = 0. (13) Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèå (9) çàâåäîìî íå âûïîëíÿåòñÿ íà âåðòèêàëüíûõ ïðÿìûõ β0 = = ±π/2 (mod 2π), öåëèêîì ïðèíàäëåæàùèõ ìíîæåñòâó ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Ñëåäî- âàòåëüíî, îñòàëüíûå òî÷êè ìíîæåñòâà ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé, ãäå íå âûïîëíåíî óñëî- âèå (9) � ýòî òî÷êè (β0, y) êðèâûõ y = yj(β0, ε), j = 1, 2, èìåþùèå àáñöèññû β0 6= 6= ±π/2 (mod 2π) è óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâó (13). Öåëü äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû îïðåäåëèòü äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ε, λ, ïðè êîòîðûõ íà êðèâûõ (10) ñóùåñòâóþò òàêèå êðèòè÷åñêèå òî÷êè, óêàçàòü èõ ÷èñëî è ðàñïîëîæåíèå. 2. Êðèòåðèè ñóùåñòâîâàíèÿ êðèòè÷åñêèõ òî÷åê íà êðèâûõ y1, y2(β0, ε). Ôîðìóëà (10) äëÿ y1(β0, ε) ïðè ε 6= 0 ýêâèâàëåíòíà âûðàæåíèþ y1(β0, ε) = ε/(1− − √ 1− ε sin β0), à äëÿ y2(β0, ε) ïðè âñåõ ε èìååì ýêâèâàëåíòíîå âûðàæåíèå y2(β0, ε) = = ε/(1 + √ 1− ε sin β0). Ïîäñòàâèâ ýòè âûðàæåíèÿ â (13), ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ ϕ1(β0, ε) = (1 + λ)ε (ε 6= 0), ϕ2(β0, ε) = (1 + λ)ε, (14) êîòîðûå ïðè äàííûõ ε, λ îïðåäåëÿþò àáñöèññû β0 òåõ òî÷åê êðèâûõ yj(β0, ε), j = 1, 2, ãäå íàðóøàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè (9). Çäåñü ϕ1(β0, ε) = (1− √ 1− ε sin β0) 2 sin β0, ϕ2(β0, ε) = (1 + √ 1− ε sin β0) 2 sin β0. (15) Ïðè äàííîì j = 1, 2 è äàííûõ ε, λ ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî óðàâíåíèÿ (14) îïðå- äåëÿþòñÿ íà ïëîñêîñòè (β0, y) êàê àáñöèññû îáùèõ òî÷åê ãðàôèêà ôóíêöèè y = ϕj(β0, ε) è ïðÿìîé y = c(ε, λ) = const, ãäå c(ε, λ) = (1 + λ)ε. Äîïóñòèìûìè çäåñü ÿâëÿþòñÿ òîëü- êî çíà÷åíèÿ c(ε, λ), ñîîòâåòñòâóþùèå äîïóñòèìûì çíà÷åíèÿì ε, λ. Èç îïðåäåëåíèÿ (6) ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ε, λ âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå. Óòâåðæäåíèå 1. Ïðè çàäàííîì ε äëÿ ïîñòîÿííîé c(ε, λ) = (1 + λ)ε äîïóñòèìû òîëüêî ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ: à) c > ε (ε > 0), á) c > 0 (ε < 0), â) c = 0 (ε = 0). Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè äàííûõ j, ε äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14) ñóùåñòâóþò òîëüêî ïðè òåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ c(ε, λ), êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè çíà÷åíèé ϕj(β0, ε) êàê ôóíêöèè β0. Òàê êàê ôóíêöèÿ ϕj(β0, ε) íà îòðåçêå [a(ε); b(ε)] íåïðåðûâ- íà ïî β0, òî îáëàñòüþ åå çíà÷åíèé ÿâëÿåòñÿ îòðåçîê [ϕj Min(ε); ϕj Max(ε)], ãäå ϕj Min(ε), ϕj Max(ε) � àáñîëþòíûå ìèíèìóì è ìàêñèìóì ýòîé ôóíêöèè íà [a(ε); b(ε)]. Ñëåäîâà- òåëüíî, ïðè äàííûõ j, ε óðàâíåíèå (14) èìååò ðåøåíèå äëÿ âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííîé c(ε, λ), ïðèíàäëåæàùèõ îòðåçêó [ϕj Min(ε); ϕj Max(ε)]. Òî åñòü ìíîæåñòâî çíà- ÷åíèé âåëè÷èíû c(ε, λ), êîòîðûì ñîîòâåòñòâóþò äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (14), � ýòî ïåðåñå÷åíèå îòðåçêà [ϕj Min(ε); ϕj Max(ε)] è ìíîæåñòâà äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé c(ε, λ). 152 Èññëåäîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè Ïðè ε > 0 ïîñëåäíåå ìíîæåñòâî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóîñü (ε; +∞) (óòâåðæäå- íèå 1, à). Êàê âèäíî èç ôîðìóë (15), îïðåäåëÿþùèõ ôóíêöèè ϕj(β0, ε), ïðè ε 6= 0 ýòè ôóíêöèè ïðèíèìàþò íà îòðåçêå [a(ε); b(ε)] çíà÷åíèÿ îáîèõ çíàêîâ. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕj Min(ε) < 0, ϕj Max(ε) > 0 (j = 1, 2; ε 6= 0). (16) Ïîýòîìó ïðè ε > 0 ïåðåñå÷åíèå ïîëóîñè (ε; +∞) ñ îòðåçêîì [ϕj Min(ε); ϕj Max(ε)] íåïóñòî ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà ϕj Max(ε) > ε. Òàêèì îáðàçîì, âåðíî Óòâåðæäåíèå 2. Ïðè ε > 0 äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ êàæäîãî èç óðàâíåíèé (14) ñó- ùåñòâóþò òîëüêî ïðè óñëîâèè ϕj Max(ε) > ε. Ýòè ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì ïîñòîÿííîé c(ε, λ) èç ïðîìåæóòêà (ε; ϕj Max(ε)], òî åñòü çíà÷åíèÿì λ èç ïðîìåæóòêà (0; λ(j)(ε)], ãäå λ(j)(ε) = −1 + ϕj Max(ε)/ε (j = 1, 2). (17) Ïðè ε < 0 ìíîæåñòâî äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïîñòîÿííîé c(ε, λ) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîëóîñü (0; +∞) (óòâåðæäåíèå 1, á). Ñ ó÷åòîì (16), ïðîìåæóòîê (0; ϕj Max(ε)], ÿâëÿþ- ùèéñÿ ïåðåñå÷åíèåì (0; +∞) è [ϕj Min(ε); ϕj Max(ε)], íåïóñò. Ñëåäîâàòåëüíî, âåðíî Óòâåðæäåíèå 3. Ïðè ε < 0 óðàâíåíèÿ (14) âñåãäà èìåþò äîïóñòèìûå ðåøåíèÿ. Âñå ýòè ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿì ïîñòîÿííîé c(ε, λ) èç ïðîìåæóòêà (0; ϕj Max(ε)], òî åñòü çíà÷åíèÿì λ èç ïðîìåæóòêà [λ(j)(ε);−1). ×èñëî è ðàñïîëîæåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèé (17) íà îòðåçêå [a(ε); b(ε)] çàâèñèò îò ñâîéñòâ ôóíêöèé ϕj(β0, ε). 3. Äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íà êðèâîé y1(β0, ε). Ïðè âñåõ äî- ïóñòèìûõ ε, λ íàéäåì íà êðèâîé y1(β0, ε) òî÷êè, â êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ óñëîâèå (9). 3.1. Ôóíêöèÿ ϕ1(β0, ε). Ðàññìîòðèì ϕ1(β0, ε) êàê ôóíêöèþ β0 íà [a(ε); b(ε)]. Ââå- äåì îáîçíà÷åíèå ξ(β0, ε) = √ 1− ε sin β0. (18) Â ñëó÷àå ε 6= 0 áóäåò ξ(β0, ε) = 1 òîëüêî ïðè sin β0 = 0. Òîãäà, ñîãëàñíî (15), ϕ1(β0, ε) = 0 òîëüêî ïðè sin β0 = 0, à ïðè sin β0 6= 0 çíàê ϕ1(β0, ε) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì sin β0. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ϕ1(β0, ε) ïî β0 ðàâíà ϕ′1(β0, ε) = cos β0(1− √ 1− ε sin β0) 2(2 √ 1− ε sin β0 + 1)√ 1− ε sin β0 . (19) Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ε > 0. Îòðåçîê [a(ε); b(ε)] â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëåí â (11). Èç (19) ñëåäóåò, ÷òî çíàê ϕ′1(β0, ε) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì cos β0 íà âñåì îòðåçêå [a(ε); b(ε)] çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê β0 = −π, 0, ãäå sin β0 = 0. Íî ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòè òî÷êè çíàê ϕ′1(β0, ε) íå ìåíÿåòñÿ. Ïîýòîìó íà îòðåçêå [a(ε);−π/2], ãäå cos β0 ≤ 0, ôóíêöèÿ ϕ1(β0, ε) ñòðîãî ìîíîòîííî óáûâàåò, à íà îòðåçêå [−π/2; b(ε)], ãäå cos β0 ≥ 0 � ñòðîãî ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî â òî÷êå β0 = −π/2 îíà èìååò ìèíèìóì, à â êðàéíèõ òî÷êàõ β0 = a(ε), b(ε) � îäèíàêîâûå ìàêñèìóìû. Ïîýòîìó ϕ1Min(ε) = ϕ1(−π/2, ε) = −(1− √ 1 + ε)2, ε > 0; ϕ1Max(ε) = ϕ1(b(ε), ε) = { ϕ1(π/2, ε) = (1− √ 1− ε)2, ε ∈ (0; 1]; ϕ1(arcsin 1/ε, ε) = 1/ε, ε ≥ 1. (20) Ïðè ε ∈ (0; 1) â êðàéíèõ òî÷êàõ β0 = −3π/2, π/2 îòðåçêà [a(ε); b(ε)] èìååì cos β0 = 0, ξ(β0, ε) 6= 0, è ñëåäîâàòåëüíî, ϕ′1(β0, ε) = 0. 153 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ Ïðè ε = 1 â êðàéíèõ òî÷êàõ β0 = −3π/2, π/2 îäíîâðåìåííî cos β0 = 0, ξ(β0, 1) = 0, òî åñòü èìååì â (19) íåîïðåäåëåííîñòü âèäà 0/0. Íî, ïîñêîëüêó √ cos2 β0 = { − cos β0 â ïðàâîé ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êè β0 = −3π/2 cos β0 â ëåâîé ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êè β0 = π/2 , òî lim β0→−3π/2+0 cos β0/ √ 1− ε sin β0 = lim β0→−3π/2+0 cos β0 √ 1 + ε sin β0/ √ cos2 β0 = − √ 2, lim β0→π/2−0 cos β0/ √ 1− ε sin β0 = √ 2, è ñëåäîâàòåëüíî, ϕ′1(β0, ε) èìååò â êðàéíèõ òî÷êàõ êîíå÷íûå íåíóëåâûå ïðåäåëû. Ïðè ε > 1 â ñîîòâåòñòâèè ñ (11) èìååì b(ε) ∈ (0; π/2), a(ε) ∈ (−3π/2, π/2). Ïîýòîìó â òî÷êàõ β0 = a(ε), β0 = b(ε) áóäåò cos β0 6= 0, ξ(β0, ε) = 0, è ñëåäîâàòåëüíî, ϕ′1(β0, ε) îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü. Òàêèì æå îáðàçîì àíàëèçèðóåòñÿ çàâèñèìîñòü ϕ1(β0, ε) îò β0 ïðè ε < 0. Â ýòîì ñëó÷àå ϕ1Min(ε) = ϕ1(a(ε), ε) = { ϕ1(−π/2, ε) = −(1− √ 1 + ε)2, ε ∈ [−1; 0); ϕ1(arcsin 1/ε, ε) = 1/ε, ε ≤ −1, ϕ1Max(ε) = ϕ1(π/2, ε) = (1− √ 1− ε)2, ε < 0. (21) Ïðîâåäåííûé àíàëèç ïîçâîëÿåò ïîñòðîèòü ãðàôè- Ðèñ. 1. Ïîëîæèòåëüíûå ÷àñòè ãðàôè- êîâ çàâèñèìîñòåé ϕj(β0, ε), j = 1, 2, îò β0 ïðè ε < 0. êè ϕ1(β0, ε) êàê ôóíêöèè β0 ïðè ðàçëè÷íûõ ε. Òàê êàê c(ε, λ) = (1 + λ)ε > 0 ïðè ε 6= 0, òî äîïóñòèìûå ðåøå- íèÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (14) îòíîñèòåëüíî β0 ïðèíàä- ëåæàò òîé ÷àñòè îòðåçêà [a(ε); b(ε)], ãäå ϕ1(β0, ε) > 0, à ïîâåäåíèå ϕ1(β0, ε) ïðè âñåõ îñòàëüíûõ çíà÷åíèÿõ β0 íåñóùåñòâåííî. Ïðè ε < 0 òàêîé ÷àñòüþ ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (0; π), íà íåì ãðàôèê çàâèñèìîñòè ϕ1(β0, ε) îò β0 èìååò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 1. 3.2. Ñëó÷àé ε > 0. Ïðè ε ∈ (0; 1) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî 1 − √ 1− ε < 1 + √ 1− ε. Óìíîæèâ îáå åãî ÷àñòè íà 1 − √ 1− ε, ïîëó÷èì (1 − √ 1− ε)2 < ε, òî åñòü, ñîãëàñíî (20), ϕ1Max(ε) < ε. Ïðè ε ≥ 1, â ñî- îòâåòñòâèè ñ (20), èìååì ϕ1Max(ε) = 1/ε ≤ ε. Òàêèì îáðàçîì, ϕ1Max(ε) ≤ ε ïðè âñåõ ε > 0. Ïîýòîìó, ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2, ïðè ε > 0 ïåðâîå óðàâíåíèå (14) íå èìååò äîïóñòèìûõ ðåøåíèé. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ε > 0 äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè âûïîëíÿåòñÿ íà âñåé êðèâîé y1(β0, ε) çà èñêëþ- ÷åíèåì òî÷åê áèôóðêàöèè ñ àáñöèññàìè β0 = ±π/2. 3.3. Ñëó÷àé ε = 0. Ïðè ε = 0 íåëüçÿ ïîëüçîâàòüñÿ ïåðâûì óðàâíåíèåì (14). Â ýòîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî (10), èìååì âûðàæåíèå y1(β0, 0) = 2/ sin β0, ïîäñòàâèâ êîòîðîå â (13), ïîëó÷àåì óðàâíåíèå, ïðèâîäÿùåå ê íåäîïóñòèìîìó ðàâåíñòâó 1 + λ = 0 (ñì.(6)). Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ε = 0 äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè òàêæå âûïîëíÿåòñÿ âî âñåõ òî÷êàõ êðèâîé y1(β0, ε) çà èñêëþ÷åíèåì òî÷åê áèôóðêàöèè. 154 Èññëåäîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè 3.4. Ñëó÷àé ε < 0. Ïðè ε < 0 â ñîîòâåòñòâèè ñ (17),(21), èìååì λ(1)(ε) = −2 √ 1− ε 1 + √ 1− ε . (22) Åñëè λ ∈ (λ(1)(ε);−1), òî åñòü c(ε, λ) ∈ (0; ϕ1Max(ε)), òî (ñì. ðèñ. 1) ïåðâîå óðàâíåíèå (14) èìååò äâà äîïóñòèìûõ ðåøåíèÿ β (1) 1 (ε, λ) ∈ (0; π/2), β (1) 2 (ε, λ) = π − β (1) 1 (ε, λ) ∈ (π/2; π). (23) Ïðè λ = λ(1)(ε) îíè ñëèâàþòñÿ â îäíî, ñîîòâåòñòâóþùåå áèôóðêàöèîííîé òî÷êå ñ àáñ- öèññîé π/2. Òàêèì îáðàçîì, ïðè ε < 0, λ ∈ (λ(1)(ε);−1) äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ â äâóõ òî÷êàõ êðèâîé y1(β0, ε), èìåþùèõ àáñöèññû (23), à òàêæå â òî÷êàõ áèôóðêàöèè. Ïðè λ ≤ λ(1)(ε) ýòî óñëîâèå íå âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî â áèôóðêàöèîííûõ òî÷êàõ íà y1(β0, ε). 3.5. Ãðàôè÷åñêîå ïðåäñòàâëåíèå ðåçóëüòàòîâ äëÿ y1(β0, ε) ïðè ε < 0. Íà ðèñ. 2, à èçîáðàæåí ãðàôèê ôóíêöèè λ(1)(ε), îïðåäåëåííîé ôîðìóëîé (22). Êà÷åñòâåí- íûé õàðàêòåð çàâèñèìîñòåé β (1) i (ε, λ), i = 1, 2, îò λ ñëåäóåò èç ðèñ 1. Ãðàíè÷íûì çíà÷å- íèÿì λ = λ(1)(ε) è λ = −1 ñîîòâåòñòâóþò çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c(ε, λ) = (1 + λ)ε, ðàâíûå ϕ1Max(ε) è 0. Ïîýòîìó ïðè âîçðàñòàíèè λ îò λ(1)(ε) äî −1 ïðÿìàÿ y = c(ε, λ) íà ðèñ. 1 îò óðîâíÿ y = ϕ1Max(ε) îïóñêàåòñÿ äî óðîâíÿ y = 0. Ïðè ýòîì β (1) 1 (ε, λ) ìîíîòîííî óáûâàåò îò π/2 äî 0, à β (1) 2 (ε, λ) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò π/2 äî π. ×òîáû ñòðîãî äîêàçàòü ìîíîòîííîñòü ýòèõ ôóíêöèé, äîñòàòî÷íî èç ïåðâîãî óðàâ- íåíèÿ (14) îïðåäåëèòü ∂β (1) i (ε, λ)/∂λ, i = 1, 2, êàê ïðîèçâîäíûå íåÿâíûõ ôóíêöèé. Â òî÷êàõ λ = λ(1)(ε) è λ = −1 ýòè ïðîèçâîäíûå áåñêîíå÷íû. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé β (1) i (ε, λ), i = 1, 2, îò λ èìåþò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 2, á. Ðèñ. 2. à) çàâèñèìîñòü λ(1)(ε) îò ε; á) çàâèñèìîñòè β (1) i (ε, λ), i = 1, 2, îò λ; â) ïîâåðõíîñòè β0 = β (1) i (ε, λ), i = 1, 2. 155 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ Ïîëüçóÿñü ðèñ. 2, à, á, íåòðóäíî ïîñòðîèòü â ïðîñòðàíñòâå (ε, λ, β0) ïîâåðõíîñòè β0 = β (1) i (ε, λ), i = 1, 2, íà êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè äëÿ êðèâîé y1(β0, ε) (ñì. ðèñ. 2, â). Ýòî óñëîâèå íàðóøàåòñÿ è íà ïëîñêîñòÿõ β0 = ±π/2. 4. Äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íà êðèâîé y2(β0, ε). Ðàññìîòðèì çàâèñèìîñòü ξ(β0, ε) îò β0, îïðåäåëåííóþ ôîðìóëîé (18). Èìååì ξ′(β0, ε) = − ε cos β0 2 √ 1− ε sin β0 . (24) Ïðè ε > 0 îòðåçîê [a(ε); b(ε)] ⊆ [−3π/2; π/2] îïðåäåëåí â (11). Èç (24) ñëåäóåò, ÷òî íà ëåâîé åãî ïîëîâèíå [a(ε);−π/2] ôóíêöèÿ ξ(β0, ε) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, à íà ïðàâîé åãî ïîëîâèíå [−π/2; b(ε)] � ìîíîòîííî óáûâàåò. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòà ôóíêöèÿ èìååò ìàêèñèìóì â ñåðåäèíå äàííîãî îòðåçêà ïðè β0 = −π/2, à ñâîåãî ìèíèìóìà îíà äîñòèãàåò íà åãî êîíöàõ: ξMax(ε) = ξ(−π/2, ε) = √ 1 + ε, ε > 0; ξMin(ε) = { ξ(π/2, ε) = √ 1− ε, ε ∈ (0; 1); 0, ε ≥ 1. (25) Ïðè ε < 0 îòðåçîê [a(ε); b(ε)] ⊆ [−π/2; 3π/2] îïðåäåëåí â (12). Èç (24) âèäíî, ÷òî íà [a(ε); π/2] ôóíêöèÿ ξ(β0, ε) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, à íà [π/2; b(ε)] � ìîíîòîííî óáûâàåò. Ïîýòîìó ξMax(ε) = ξ(π/2, ε) = √ 1− ε, ε < 0; ξMin(ε) = { ξ(−π/2, ε) = √ 1 + ε, ε ∈ (−1; 0); 0, ε ≤ −1. (26) 4.1. Ôóíêöèÿ ϕ2(β0, ε). Èçó÷èì çàâèñèìîñòü ϕ2(β0, ε) îò β0 ïðè ôèêñèðîâàííîì ε. Â ñîîòâåòñòâèè ñ (15), ïðè sin β0 6= 0 çíàê ôóíêöèè ϕ2(β0, ε) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì sin β0. Ïðîèçâîäíàÿ ýòîé ôóíêöèè ïî β0 ðàâíà ϕ′2(β0, ε) = cos β0( √ 1− ε sin β0 + 1)2(2 √ 1− ε sin β0 − 1)√ 1− ε sin β0 . (27) Òàêèì îáðàçîì, ïîâåäåíèå äàííîé ôóíêöèè ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò òîãî, îáðàùà- åòñÿ ëè âûðàæåíèå 2ξ(β0, ε)− 1 â íîëü íà [a(ε); b(ε)]. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé ε > 0. Èç (25) ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ξMin(ε) = 1/2 ìîæåò èìåòü ðåøåíèå òîëüêî ïðè ε ∈ (0; 1). Ýòî ðåøåíèå ε = 3/4. Ñëåäîâàòåëüíî, ξMin(ε) ≥ 1/2 ïðè ε ∈ (0; 3/4] è 0 ≤ ξMin(ε) < 1/2 ïðè ε > 3/4. Ïóñòü ε ∈ (0; 3/4]. Òîãäà 2ξ(β0, ε) − 1 ≥ 0 ïðè β0 ∈ [a(ε); b(ε)] = [−3π/2; π/2] è, ñî- ãëàñíî(27), çíàê ϕ′2(β0, ε) ñîâïàäàåò ñî çíàêîì cos β0. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ϕ2(β0, ε) ìîíîòîííî óáûâàåò íà [−3π/2;−π/2] è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà [−π/2; π/2]. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ϕ2(β0, ε) îò β0 ïðè ε ∈ (0; 3/4] èçîáðàæåí íà ðèñ. 3, à. Ïóñòü ε > 3/4. Òîãäà 2ξ(β0, ε)− 1 = 0 â äâóõ òî÷êàõ β0 = β̄ (2) 2 (ε) = arcsin 3/4ε, β0 = β̄ (2) 1 (ε) = −π − β̄ (2) 2 (ε) (ε > 3/4) (28) 156 Èññëåäîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè Ðèñ. 3. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ϕ2(β0, ε) îò β0 ïðè ε > 0. îòðåçêà [a(ε); b(ε)]. Èç (27) ñëåäóåò, ÷òî â ýòîì ñëó÷àå ôóíêöèÿ ϕ2(β0, ε) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà îòðåçêàõ [a(ε); β̄ (2) 1 (ε)], [−π/2; β̄ (2) 2 (ε)] è ìîíîòîííî óáûâàåò íà îòðåçêàõ [β̄ (2) 2 (ε);−π/2], [β̄ (2) 2 (ε); b(ε)]. Òàê æå, êàê è äëÿ ϕ1(β0, ε), óñòàíàâëèâàåì, ÷òî â êðàéíèõ òî÷êàõ β0 = a(ε) è β0 = b(ε) ïðîèçâîäíàÿ ϕ′2(β0, ε) îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè ε ∈ (3/4; 1), êî- íå÷íà ïðè ε = 1 è áåñêîíå÷íà ïðè ε > 1. Ñëåäîâàòåëüíî, ãðàôèêè çàâèñèìîñòè ϕ2(β0, ε) îò β0 ïðè ε > 3/4 èìåþò âèä, èçîáðàæåííûé íà ðèñ. 3, á, â. Ïðè ýòîì, â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì âûøå, ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ϕ2(β0, ε) ïðè ε > 0 ðàâíû ϕ2Max(ε) = { ϕ2(π/2, ε) = (1 + √ 1− ε)2, ε ∈ (0; 3/4]; ϕ2(β̄ (2) 1 (ε), ε) = 27/16ε, ε ≥ 3/4; ϕ2Min(ε) = ϕ2(−π/2, ε) = −(1− √ 1 + ε)2, ε > 0; ϕ2min(ε) = ϕ2(b(ε), ε) = { ϕ2(π/2, ε) = (1 + √ 1− ε)2, ε ∈ (3/4; 1); ϕ2(arcsin 1/ε, ε) = 1/ε, ε ≥ 1. (29) Îáîçíà÷åíèÿ min, max èñïîëüçóþòñÿ äëÿ ëîêàëü- Ðèñ. 4. Ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé y = = ϕ2 max(ε), y = ϕ∗ 2 min(ε), y = c(ε, 0) ïðè ε > 0. íûõ, à Min, Max � äëÿ àáñîëþòíûõ ýêñòðåìóìîâ íà [a(ε); b(ε)]. Ðàññìîòðåâ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì ñëó÷àé ε < 0, çàêëþ÷àåì, ÷òî â òàêîì ñëó÷àå ϕ2(β0, ε) > 0 íà èíòåð- âàëå (0; π), è ãðàôèê çàâèñèìîñòè ϕ2(β0, ε) îò β0 èìååò íà ýòîì èíòåðâàëå òàêîé æå âèä, ÷òî è äëÿ ϕ1(β0, ε) (ðèñ. 1). 4.2. Ñëó÷àé ε > 0. Ñîãëàñíî óòâåðæäåíèþ 2, ïðè ε > 0 âòîðîå óðàâíåíèå (14) èìååò ðåøåíèå òîëü- êî òîãäà, êîãäà ϕ2Max(ε) > ε. (31) ×òîáû ïðîàíàëèçèðîâàòü âîçìîæíûå çäåñü ñëó- ÷àè, ñ ïîìîùüþ ôîðìóë (29) ïîñòðîèì íà ðèñ. 4 ãðàôèêè ôóíêöèé y = ϕ2Max(ε), y = ϕ2min(ε), y = c(ε, 0) = ε. Îòìåòèì, ÷òî ïðè çíà÷åíèè ε = 3/4, ãäå ìåíÿåòñÿ ôîð- ìóëà äëÿ ôóíêöèè ϕ2Max(ε), ýòà ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà âìåñòå ñ ïðîèçâîäíîé, à ϕ2min(ε) 157 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ èìååò ñ íåé îáùóþ êàñàòåëüíóþ. Ïðÿìàÿ y = c(ε, 0) = ε ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = ϕ2Max(ε) ïðè ε = 3 √ 3/4, à ïðè ε ∈ (0; 3 √ 3/4) èìååì ϕ2Max(ε) > c(ε, 0). Çíà÷èò, óñëîâèå ðàçðåøèìîñòè (31) âûïîëíÿåòñÿ òîëüêî äëÿ ε ∈ (0; 3 √ 3/4). Äàëåå, ïðÿìàÿ y = c(ε, 0) = ε íà ðèñ. 4 ïåðåñåêàåò ãðàôèê ôóíêöèè y = ϕ2min(ε) ïðè ε = 1, òàê ÷òî c(ε, 0) < ϕ2min(ε) äëÿ ε ∈ (0; 1) è c(ε, 0) > ϕ2min(ε) äëÿ ε ∈ (1; 3 √ 3/4). Òàêèì îáðàçîì, íà ðèñ. 3, à ïðÿìàÿ y = c(ε, 0) âñåãäà ïðîõîäèò íèæå óðîâíÿ ϕ2Max(ε), íà ðèñ. 3, á îíà ïðîõîäèò íèæå óðîâíÿ ϕ2min(ε), à íà ðèñ. 3, â � âûøå èëè íà óðîâíå ϕ2min(ε). Àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé y = c(ε, 0) ñ êðèâîé y = ϕ2(β0, ε) îïðåäåëÿþòñÿ óðàâíåíèåì ϕ2(β0, ε) = ε, èëè ñ ó÷åòîì (15) (1 + √ 1− ε sin β0) 2 sin β0 = ε. (32) Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àÿõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 3, à, á, ýòî óðàâíåíèå èìååò äâà ðå- øåíèÿ: a2(ε) ∈ (−3π/2;−π), b1(ε) ∈ (0; π/2), ε ∈ (0; 3/4]; a2(ε) ∈ (β̄ (2) 1 (ε);−π), b1(ε) ∈ (0; β̄ (2) 2 (ε)), ε ∈ (3/4; 1), (33) à â ñëó÷àå, èçîáðàæåííîì íà ðèñ. 3, â � ÷åòûðå ðåøåíèÿ: a1(ε) ∈ (a(ε); β̄ (2) 1 (ε)), a2(ε) ∈ (β̄ (2) 1 (ε);−π), b1(ε) ∈ (0; β̄ (2) 2 (ε)), b2(ε) ∈ (β̄ (2) 1 (ε); b(ε)), ε ∈ [1; 3 √ 3/4). (34) Ðåøåíèÿìè âòîðîãî óðàâíåíèÿ (14) ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ β0, ïðè êîòîðûõ â ñîîòâåò- ñòâóþùèõ òî÷êàõ êðèâîé y = y2(β0, ε) íàðóøàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâî- ñòè. Ýòè çíà÷åíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ êàê àáñöèññû îáùèõ òî÷åê ïðÿìîé y = c(ε, λ) è êðèâîé y = ϕ2(β0, ε). Òàêèå òî÷êè ñóùåñòâóþò ïðè óñëîâèè (31) äëÿ çíà÷åíèé c(ε, λ) èç ïðî- ìåæóòêà (ε; ϕ2Max(ε)], òî åñòü çíà÷åíèé λ èç ïðîìåæóòêà (0; λ(2)(ε)], ãäå λ(2)(ε) � ýòî çíà÷åíèå λ, ïðè êîòîðîì c(ε, λ) = ϕ2Max(ε). Îáîçíà÷èì ÷åðåç λ̄(2)(ε) çíà÷åíèå λ, ïðè êîòîðîì c(ε, λ) = ϕ2min(ε). Òîãäà èç (29) íàõîäèì λ(2)(ε) = { 2 √ 1− ε/(1− √ 1− ε), ε ∈ (0; 3/4]; −1 + 27/16ε2, ε ≥ 3/4; λ̄(2)(ε) = 2 √ 1− ε/(1− √ 1− ε), ε ∈ (3/4; 1]. (35) Ïðè ε > 1 ïîëó÷àåì λ̄(2)(ε) = −1 + 1/ε2 < 0, ÷òî íåäîïóñòèìî äëÿ λ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ λ̄(2)(ε) îïðåäåëåíà òîëüêî ïðè ε ∈ (3/4; 1]. Ïîëüçóÿñü ðèñ. 3, à, á, â, íåòðóäíî óñòàíîâèòü ÷èñëî è ðàñïîëîæåíèå ðåøåíèé âòî- ðîãî óðàâíåíèÿ (14) ïðè ðàçëè÷íûõ ε, λ â ñëó÷àå ε > 0. Ñîîòâåòñòâóþùèå ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëåíû â òàáëèöå. Ðåøåíèÿ, ïðèíàäëåæàùèå îòðåçêó [−3π/2;−π], îáîçíà÷åíû ÷å- ðåç β (2) 1k (ε, λ), k = 1, 2, à ëåæàùèå â [0; π/2] � ÷åðåç β (2) 2k (ε, λ). Áîëåå òî÷íî ïðîìåæóòêè, êîòîðûì ïðèíàäëåæàò ýòè ðåøåíèÿ, óêàçàíû â ïîñëåäíåì ñòîëáöå òàáëèöû. ×òîáû ïðåäñòàâèòü ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû â íàãëÿäíîé ôîðìå, èçîáðàçèì â ïðî- ñòðàíñòâå (ε, λ, β0) ïîâåðõíîñòè β (2) ik (ε, λ), i, k = 1, 2, íà êîòîðûõ íå âûïîëíåíî äî- ïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè äëÿ y = y2(β0, ε) ïðè ε > 0. Äëÿ ýòîãî óäîáíî ñíà÷àëà ïîñòðîèòü ãðàôèêè çàâèñèìîñòåé β (2) ik (ε, λ) îò λ ∈ (0; λ(2)(ε)] ïðè ôèêñèðî- âàííûõ ε > 0. Îíè èçîáðàæàþò ñå÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ïîâåðõíîñòåé ïëîñêîñòÿìè 158 Èññëåäîâàíèå äîïîëíèòåëüíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè Çíà÷åíèÿ β0, ïðè êîòîðûõ íàðóøàåòñÿ äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íà êðèâîé y = y2(β0, ε) (ñëó÷àé ε > 0) . ε λ β0 Ïðîìåæóòîê 0 < ε ≤ 3/4 0 < λ ≤ λ(2)(ε) β (2) 12 (ε, λ) [−3π/2; a2(ε)) β (2) 21 (ε, λ) (b1(ε);π/2] 3/4 < ε < 1 0 < λ < λ̄(2)(ε) β (2) 12 (ε, λ) (β̄(2) 1 (ε); a2(ε)) β (2) 21 (ε, λ) (b1(ε); β̄ (2) 2 (ε)) λ̄(2)(ε) ≤ λ < λ(2)(ε) β (2) 11 (ε, λ) (−3π/2; β̄(2) 1 (ε)) β (2) 12 (ε, λ) (β̄(2) 1 (ε); a2(ε)) β (2) 21 (ε, λ) (b1(ε); β̄ (2) 2 (ε)) β (2) 22 (ε, λ) (β̄(2) 2 (ε);π/2) λ = λ(2)(ε) β̄ (2) 1 (ε) (−3π/2; a2(ε)) β̄ (2) 2 (ε) (b1(ε);π/2) 1 ≤ ε < 3 √ 3/4 0 < λ < λ(2)(ε) β (2) 11 (ε, λ) (a1(ε); β̄ (2) 1 (ε)) β (2) 12 (ε, λ) (β̄(2) 1 (ε); a2(ε)) β (2) 21 (ε, λ) (b1(ε); β̄ (2) 2 (ε)) β (2) 22 (ε, λ) (β̄(2) 2 (ε); b2(ε)) λ = λ(2)(ε) β̄ (2) 1 (ε, λ) (a1(ε); a2(ε)) β̄ (2) 2 (ε, λ) (b1(ε); b2(ε)) ε = const. Êà÷åñòâåííûé õàðàêòåð òàêèõ ãðàôèêîâ ñëåäóåò èç ðèñ. 3, à, á, â, à äëÿ áî- ëåå äåòàëüíîãî àíàëèçà íåîáõîäèìî îïðåäåëèòü èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ (14) ïðîèçâîäíûå ∂β (1) ik (ε, λ)/∂λ, êàê ïðîèçâîäíûå íåÿâíûõ ôóíêöèé. Çàòåì ñëåäóåò ïîñòðîèòü ãðàôèêè ôóíêöèé (35): λ = λ(2)(ε) è λ = λ̄(2)(ε). Íàêîíåö, ïîëüçóÿñü óðàâíåíèåì (32), îïðåäå- ëÿþùèì ai(ε), bi(ε), i = 1, 2, íåîáõîäèìî ïîñòðîèòü èõ ãðàôèêè. Îíè äàäóò ñå÷åíèÿ ðàññìàòðèâàåìûõ ïîâåðõíîñòåé ïëîñêîñòüþ λ = 0. Íå ïðèâîäÿ âñåõ ýòèõ ïîñòðîåíèé, èçîáðàçèì íà ðèñ. 5, à îêîí÷àòåëüíûé ðåçóëü- òàò. ×òîáû ÿñíåé ïîêàçàòü ñòðóêòóðó ïîëó÷åííûõ ïîâåðõíîñòåé, íà ðèñ. 5, à íèæíÿÿ ïîâåðõíîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ ôóíêöèÿìè β (2) 1k (ε, λ), k = 1, 2, èçîáðàæåíà òàêæå â ïîëîæå- íèè, ñäâèíóòîì âäîëü îñè β0 ââåðõ íà 2π. Òîãäà âìåñòå ñ ïîâåðõíîñòüþ, îïðåäåëÿåìîé ôóíêöèÿìè β (2) 2k (ε, λ), k = 1, 2, îíà îáðàçóåò îäíîñâÿçíóþ ïîâåðõíîñòü. Â ñîîòâåòñòâèè ñ îòìå÷åííûì âûøå, â ïðîñòðàíñòâå (ε, λ, β0) äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè äëÿ y = y2(β0, ε) íå âûïîëíÿåòñÿ è íà ïëîñêîñòÿõ β0 = ±π/2. 4.3. Ñëó÷àé ε = 0. Ïðè ε = 0 âòîðîå óðàâíåíèå (14) ñ ó÷åòîì (15) ïðèíèìàåò âèä sin β0 = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ε = 0 âòîðîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ íà ïðÿìîé y = y2(β0, 0) ≡ 0 â äâóõ òî÷êàõ β0 = 0, π îñíîâíîãî îòðåçêà [−π/2; 3π/2]. 4.4. Ñëó÷àé ε < 0. Â ñîîòâåòñòâèè ñ óòâåðæäåíèåì 3, â ñëó÷àå ε < 0 âòîðîå óðàâíåíèå (14) èìååò ðåøåíèå ïðè c(ε, λ) ∈ (0; ϕ2Max(ε)], òî åñòü ïðè λ ∈ [λ(2)(ε);−1). Òàê êàê ϕ2Max(ε) = ϕ(π/2, ε) = (1 + √ 1− ε)2 ïðè ε < 0 (ñì. ðèñ. 1), òî ïî ôîð- ìóëå (17) èìååì λ(2)(ε) = 2 √ 1− ε/(1 − √ 1− ε), ε < 0. Êàê âèäíî èç ðèñ. 1, ïðè λ ∈ (λ(2)(ε);−1), òî åñòü ïðè c(ε, λ) ∈ (0; ϕ2Max(ε)), íà îòðåçêå [−π/2; 3π/2] ñóùåñòâó- þò äâà ðåøåíèÿ β (2) 1 (ε, λ) ∈ (0; π/2), β (2) 2 (ε, λ) ∈ (π/2; π) âòîðîãî óðàâíåíèÿ (14). Ïðè λ = λ(2)(ε) îíè ñëèâàþòñÿ â îäíî: β (2) 1 (ε, λ(2)(ε) = β (2) 2 (ε, λ(2)(ε)) = π/2. Ïîâåðõíîñòè â ïðîñòðàíñòâå (ε, λ, β0), îïðåäåëÿåìûå ôóíêöèÿìè β (2) i (ε, λ), i = 1, 2, èçîáðàæåíû íà ðèñ. 5, á. 159 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ Ðèñ. 5. à) Ïîâåðõíîñòè β0 = β (2) ik (ε, λ), i, k = 1, 2 (ε > 0). á) Ïîâåðõíîñòè β (2) i (ε, λ), i = 1, 2 (ε < 0). Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè íå âûïîëíÿåòñÿ òîëü- êî äëÿ òåõ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò îñíîâíîìó óñëîâèþ. Ïîýòî- ìó äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå ñóùåñòâåííî ïðè èññëåäîâàíèè óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå. 1. Êîíîñåâè÷ Þ.Á. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ðåæèìîâ äâèæåíèÿ ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 90-96. 2. Êîíîñåâè÷ Á.È. Èññëåäîâàíèå îñíîâíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, ñíàáæåííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëåì // Òàì æå. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 80-89. Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê konos@iamm.ac.donetsk.ua Ïîëó÷åíî 21.06.04 160

Исследование дополнительного условия устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Institution

Ähnliche Einträge