Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом

В рамках необходимых условий устойчивости покачана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2004
Автори:	Кононов, Ю.Н., Хомяк, Т.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2004
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123752
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом / Ю.Н. Кононов, Т.В. Хомяк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 161-169. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123752
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237522017-09-10T03:03:50Z Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В. В рамках необходимых условий устойчивости покачана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации. 2004 Article Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом / Ю.Н. Кононов, Т.В. Хомяк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 161-169. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123752 531.36:531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В рамках необходимых условий устойчивости покачана возможность стабилизации неустойчивого вращения несвободного и свободного твердого тела с жидкостью вторым вращающимся твердым телом. Проведены численные исследования влияния основных параметров второго твердого тела на эффект стабилизации.
format	Article
author	Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В.
spellingShingle	Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В. Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом Механика твердого тела
author_facet	Кононов, Ю.Н. Хомяк, Т.В.
author_sort	Кононов, Ю.Н.
title	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_short	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_full	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_fullStr	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_full_unstemmed	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
title_sort	об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2004
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123752
citation_txt	Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом / Ю.Н. Кононов, Т.В. Хомяк // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 161-169. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT kononovûn obéffektestabilizaciineustojčivogovraŝeniâtverdogotelasžidkostʹûvraŝaûŝimsâtverdymtelom AT homâktv obéffektestabilizaciineustojčivogovraŝeniâtverdogotelasžidkostʹûvraŝaûŝimsâtverdymtelom
first_indexed	2025-07-09T00:12:12Z
last_indexed	2025-07-09T00:12:12Z
_version_	1837126065577787392
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34 ÓÄÊ 531.36:531.38 c©2004. Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê ÎÁ ÝÔÔÅÊÒÅ ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ ÍÅÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÃÎ ÂÐÀÙÅÍÈß ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ Ñ ÆÈÄÊÎÑÒÜÞ ÂÐÀÙÀÞÙÈÌÑß ÒÂÅÐÄÛÌ ÒÅËÎÌ Â ðàìêàõ íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðà- ùåíèÿ íåñâîáîäíîãî è ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. Ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå èññëåäîâàíèÿ âëèÿíèÿ îñíîâíûõ ïàðàìåòðîâ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà íà ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè. Â èçâåñòíîé ðàáîòå Ñ.Ë. Ñîáîëåâà [1] óñòàíîâëåíî, ÷òî âîë÷îê Ëàãðàíæà ñ ïîëî- ñòüþ, ñîäåðæàùåé èäåàëüíóþ æèäêîñòü âåäåò ñåáÿ äîâîëüíî íåóñòîé÷èâî. Òàê, íàïðè- ìåð, âîë÷îê ñ ýëëèïòè÷åñêîé ïîëîñòüþ ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ ñâîåé óãëîâîé ñêîðîñòè ëèáî ñðàçó îêîí÷àòåëüíî âûéäåò èç óñòîé÷èâîãî ñîñòîÿíèÿ, ëèáî òîëüêî îäèí ðàç ïå- ðåä ýòèì ïðîéäåò ñîñòîÿíèå íåóñòîé÷èâîñòè, âåðíóâøèñü âñëåä çà ýòèì ê ñïîêîéíîìó äâèæåíèþ. Âîë÷îê æå ñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòüþ áóäåò âåñòè ñåáÿ áåñïîêîéíî. Ïî ìå- ðå óìåíüøåíèÿ óãëîâîé ñêîðîñòè îí íå îäèí ðàç áóäåò òåðÿòü óñòîé÷èâîñòü è âíîâü åå âîññòàíàâëèâàòü. Â ðàáîòàõ [2, 3] ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ âîë÷- êà Ëàãðàíæà ñ öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòüþ ïðè ïîìîùè ïîïåðå÷íûõ è öèëèíäðè÷åñêèõ ïåðåãîðîäîê. Îäíàêî íà ïðàêòèêå ýòî íå âñåãäà êîíñòðóêòèâíî ìîæåò áûòü âûïîëíåíî. Äðóãàÿ âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òåëà ñ æèäêîñòüþ ñîñòîèò âî ââåäåíèè âòîðîãî âðàùàþùåãîñÿ òâåðäîãî òåëà, ñâÿçàííîãî ñ ïåðâûì îáùåé òî÷êîé è óïðóãèì âîññòàíàâëèâàþùèì ìîìåíòîì. Ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè íåóðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà âòîðûì âðàùàþùèìñÿ áûë îáíàðóæåí À. ß. Ñàâ÷åíêî [4]. Â ðàáîòå À. Ì. Êîâàëåâà [5] ïîêàçàíà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóðàâíîâåøåííî- ãî ãèðîñêîïà ñ ïîìîùüþ âðàùàþùåãîñÿ ìàõîâèêà. Â äàëüíåéøåì ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè áûë ïîäðîáíî èññëåäîâàí â ðàáîòàõ ó÷åíèêîâ À.ß. Ñàâ÷åíêî [6�9]. 1. Ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ íåñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà, ñîäåðæàùåãî æèäêîñòü. Ðèñ. 1. Ðàññìîòðèì âðàùåíèå âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè O1 âîë÷êà Ëàãðàíæà, èìåþùåãî ïîëîñòü, öåëèêîì çàïîëíåííóþ èäåàëüíîé îä- íîðîäíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòüþ. Ïóñòü ðàññìàòðèâàåìûé âîë÷îê (òåëî S1) èìååò îáùóþ òî÷êó O2 ñî âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì S0 2 . Òåëî S1 ñîñòîèò èç òâåðäîãî òåëà S0 1 è èäåàëüíîé æèäêî- ñòè, öåëèêîì çàïîëíÿþùåé îñåñèììåòðè÷íóþ ïîëîñòü âíóòðè ýòîãî òâåðäîãî òåëà (ðèñ.1). Òâåðäûå òåëà S0 1 è S0 2 ñâÿçàíû â òî÷êå O2 ñôåðè÷åñêèì øàð- íèðîì ñ óïðóãèì âîññòàíàâëèâàþùèì ìîìåíòîì ñ êîýôôèöèåíòîì óïðóãîñòè k (k > 0). Ïîñòàâèì çàäà÷ó î âîçìîæíîñòè ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òåëà S1 ñ ïîìîùüþ âðàùåíèÿ òåëà S0 2 . Ïóñòü â íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè ïåðâîå òâåðäîå òåëî S0 1 è æèäêîñòü âðàùàþòñÿ êàê îäíî öåëîå ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω01 âîêðóã îñè ãåîìåòðè÷åñêîé 161 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê è äèíàìè÷åñêîé ñèììåòðèè O1O2, à âòîðîå òâåðäîå òåëî S0 2 � ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω02 âîêðóã îñè O2C2. Â íåâîçìóùåííîì äâèæåíèè îáùàÿ òî÷êà O2 ëåæèò íà ïðÿìîé O1C2, ãäå C1 è C2 � ñîîòâåòñòâåííî öåíòðû ìàññ òåë S1 è S0 2 . Ðàññìàòðèâàåìàÿ íàìè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ñ ïîëîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè æèäêîñòü, èññëåäîâàííîé â ðàáîòàõ [10, 11]. Ñëåäîâàòåëüíî, õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ èìååò âèä ∣∣∣∣ F1 µ + k/λ2 µ + k/λ2 F2 ∣∣∣∣ = 0. (1) Çäåñü F1 = A′ 1 + C ′ 1 λ + a∗1g − k λ2 − (λ + ω01) ∞∑ n=1 En λ + λ′n , F2 = A2 + C ′ 2 λ + a∗2g − k λ2 , A′ 1 = A1 + m2s 2 1, µ = s1a ∗ 2, λ′n = λ̃nω0i, λ̃n = 1− λn/ω01, a∗1 = m1c1 + s1m2, a∗2 = m2c2, s1 = O1O2, ci = OiCi, C ′ i = Ciω0i i = (1, 2); m1 è m2 � ñîîòâåòñòâåííî ìàññà òåëà S1 è òâåðäîãî òåëà S0 2 ; Ai è Ci � ñîîòâåòñòâåííî ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû èíåðöèè òåë S1 è S0 2 îòíîñèòåëüíî òî÷êè Oi (i = 1, 2). Êîýôôèöèåíò èíåðöèîííîé ñâÿçè En è ñîáñòâåííûå ÷èñëà λn íàõîäÿòñÿ èç ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé êðàåâîé çàäà÷è è îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî ãåîìåòðèåé ïîëîñòè. Çíà÷åíèå ýòèõ âåëè÷èí äëÿ ýëëèïñîèäàëüíîé è öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòåé ïðèâåäåíû â [12]. Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñòàáèëèçàöèè ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (1). Óðàâíåíèå (1) â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè (En ≡ 0, "çàìåðçøàÿ"æèäêîñòü) ñîâïàäàåò ñ óðàâíåíèåì, ïîëó÷åííûì è èññëåäîâàííûì â ðàáî- òàõ [7�9]. Ïðè k =∞ (öèëèíäðè÷åñêèé øàðíèð) óðàâíåíèå (1) ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ F̃1 + F̃2 + 2µ = 0, (2) ãäå F̃1 = A′ 1 + C ′ 1 λ + a∗1g λ2 − (λ + ω01) ∞∑ n=1 En λ + λ′n , F̃2 = A2 + C ′ 2 λ + a∗2g λ2 . Åñëè îòñóòñòâóåò óïðóãèé âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò (k = 0) è öåíòð ìàññ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà S0 2 ñîâïàäàåò ñ îáùåé òî÷êîé O2 (c2 = 0, µ = 0), òî õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå (1) ðàñïàäàåòñÿ íà äâà íåçàâèñèìûõ óðàâíåíèÿ, è â ýòîì ñëó÷àå îòñóòñòâóåò âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. Êàê èçâåñòíî [12], â áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêè âàæíûõ ñëó÷àåâ â óðàâíåíèè (1) äîñòàòî÷íî ó÷èòûâàòü òîëüêî îñíîâíîé òîí êîëåáàíèÿ æèäêîñòè (n = 1). Ýòî âñåãäà ñïðàâåäëèâî äëÿ ýëëèïñîèäàëüíîé è ñîôîêóñíî ýëëèïñîèäàëüíûõ ïîëîñòåé, òàê êàê èç áåñêîíå÷íîãî ñïåêòðà ñîáñòâåííûõ ÷àñòîò λn âîçáóæäàåòñÿ ãàðìîíèêà, ñîîòâåòñòâóþ- ùàÿ åäèíñòâåííîìó çíà÷åíèþ λ1 [12]. Åñëè ó÷èòûâàòü â óðàâíåíèè (1) òîëüêî ïåðâóþ ãàðìîíèêó (n = 1), òî ýòî óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà ïÿòîé ñòåïåíè a0λ 5 + a1λ 4 + a2λ 3 + a3λ 2 + a4λ + a5 = 0, (3) 162 ãäå a0 = A∗ 1A2 − µ2 > 0, a1 = (A′ 1A2 − µ2)λ′1 + A2C ∗ 1 + A∗ 1ω0, a2 = A2C ′ 1λ ′ 1 + g(A∗ 1a ∗ 2 + A2a ∗ 1)− (A∗ 1 + A2 + 2µ)k + (A′ 1λ ′ 1 + C∗ 1)ω0, a3 = [g(A′ 1a ∗ 2 + A2a ∗ 1)− (A′ 1 + A2 + 2µ)k]λ′1 − C∗ 1k + g(a∗2C ∗ 1 + a∗1ω0)+ + (C ′ 1λ ′ 1 − k)ω0, a4 = (a∗2g − k)C ′ 1λ ′ 1 + [a∗1a ∗ 2g − k(a∗1 + a∗2)]g + (a∗1g − k)λ′1ω0, a5 = g[a∗1a ∗ 2g − k(a∗1 + a∗2)]λ ′ 1, A∗ 1 = A′ 1 − E1, C∗ 1 = C ′ 1 − E ′ 1, C ′ 1 = C1ω01, E ′ 1 = E1ω01, ω0 = C2ω02. (4) Óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ ïÿòîé ñòåïåíè èìåþò âèä [13] d1 = M2 2 −M1M3 > 0, d2 = 4d1d10 − 9d2 11 > 0, d3 = d2h2 − 2h2 1 > 0, d4 = d3(4h1h3 − h2h4)− 2(2d2h3 − h1h4) 2 > 0. (5) Çäåñü M1 = a0 > 0, 5M2 = a1, 10M3 = a2, 10M4 = a3, 5M5 = a4, M6 = a5; d10 = 6M2 3 − 5M2M4 −M1M5, d11 = M2M3 −M1M4, h1 = d1(16h̃1 − 15h25)− 6h23h24, h2 = 8d1h35 + 48h23h̃2 − 8h24d10, h3 = 6h35h23 − h25d10, h4 = 8d1h35 − 3h23h25, h̃1 = M3M4 −M1M6, h̃2 = M3M4 −M2M5, h23 = M2M3 −M1M4, h24 = M2M4 −M1M5, h25 = M2M5 −M1M6, h35 = M3M5 −M2M6. Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (5) ýê- âèâàëåíòíà íåðàâåíñòâàì d̃i > 0, (6) ãäå d̃1 = d1, d̃2 = d2, d̃3 = d3/(2d1), d̃4 = d4/(2d 2 1d2), d̃3 è d̃4 � îäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû ñîîòâåòñòâåííî 6 è 8 ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ai (i = 0, 5). Ñòàáèëèçèðîâàòü âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ ìîæíî ñëåäóþùèìè ïàðà- ìåòðàìè: ω0, k, A2, m2, c2. Èññëåäóåì âëèÿíèå îñíîâíîãî ïàðàìåòðà ω0 íà âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì a1 = 5(ã1ω0 + b1), a2 = 10(ã2ω0 + b2), a3 = 10(ã3ω0 + b3), a4 = 5(ã4ω0 + b4). (7) Ïîäñòàâèâ ñîîòíîøåíèÿ (7) â íåðàâåíñòâà (6), ïîëó÷èì d12ω 2 0 + d11ω0 + d10 > 0, d24ω 4 0 + d23ω 3 0 + · · ·+ d21ω0 + d20 > 0, d36ω 6 0 + d35ω 5 0 + · · ·+ d31ω0 + d30 > 0, d48ω 8 0 + d47ω 7 0 + · · ·+ d41ω0 + d40 > 0, (8) 163 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê ãäå d12 = ã2 1 > 0, d24 = 5ã2 1(3ã 2 2 − 4ã1ã3), d36 = 28ã1ã2ã3ã4 − 9ã2 1ã 2 4 − 16ã1ã 3 3 − 12ã3 2ã4 + 8ã2 3ã 2 2, d48 = 72ã1ã2ã3ã4 − 27ã2 1ã4 − 32ã1ã 3 3 − 32ã3 2ã4 + 16ã2 3ã 2 2, ã1 = A∗ 1 > 0, 10ã2 = A′ 1λ ′ 1 + C∗ 1 > 0, 10ã3 = a∗1g − k, 5ã4 = (a∗1g − k)λ′1. Ïðè k > ga∗1 áóäåì èìåòü ã3 < 0, ã4 < 0 è d24 > 0. Êîýôôèöèåíòû d36 è d48 ÿâëÿþòñÿ êóáè÷åñêèìè ìíîãî÷ëåíàìè îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà k ñ ïîëîæèòåëüíûìè êîýôôèöè- åíòàìè ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì óïðóãîì âîñ- ñòàíàâëèâàþùåì ìîìåíòå d24 > 0, d36 > 0 è d48 > 0 è ñóùåñòâóåò òàêîå çíà÷åíèå ω0, ïðè êîòîðîì íåðàâåíñòâà (8) áóäóò âûïîëíåíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîñòàòî÷ío áîëüøèõ ω0 è k âîçìîæíà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Ðàññìîòðèì òåïåðü âëèÿíèå óïðóãîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà íà âîçìîæ- íîñòü ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Äëÿ ýòîãî ïðåäñòàâèì a2 = 10(ã2k + b2), a3 = 10(ã3k + b3), a4 = 5(ã4k + b4), a5 = ã5k + b5. (9) Ïîäñòàâèâ (9) â íåðàâåíñòâà (6), ïîëó÷èì d11k + d10 > 0, d23k 3 + d22k 2 + d21k + d20 > 0, d35k 5 + d34k 4 + · · ·+ d31k + d30 > 0, d47k 7 + d46k 6 · · ·+ d41k + d40 > 0. (10) Çäåñü d11 = −a0ã2, d23 = −24a0ã 3 2, d35 = 160a0ã 3 2(3ã2ã4 − 2ã2 3), d47 = 128a0ã 3 2(40ã3 3ã5 − 25ã2 3ã 2 4 + 27ã2 2ã 2 5 + 50ã2ã 3 4 − 90ã2ã3ã4ã5), 10ã2 = −(A∗ 1 + A2 + 2µ) < 0, 10ã3 = −[(A′ 1 + A2 + 2µ)λ′1 + C∗ 1 + ω0] < 0, 5ã4 = −[(C ′ 1 + ω0)λ ′ 1 + (a∗1 + a∗2)g] < 0, ã5 = −(a∗1 + a∗2)gλ′1 < 0. (11) Èç ñîîòíîøåíèé (11) ñëåäóåò, ÷òî d11 > 0, d23 > 0, à êîýôôèöèåíòû d35 è d47 ÿâëÿþòñÿ ïîëèíîìàìè ñîîòâåòñòâåííî 2-îé è 4-îé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî ω0 ñ ïîëîæè- òåëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè ïðè ñòàðøèõ ñòåïåíÿõ. Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ω0 è k íåðàâåíñòâà (10) áóäóò âûïîëíåíû è, êàê ðàíåå îòìå÷àëîñü, áóäåò âîçìîæíà ñòàáèëè- çàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Â ñëó÷àå öèëèíäðè÷åñêîãî øàðíèðà (k =∞) ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (10) ýêâèâàëåíòíà íåðàâåíñòâó d4ω 4 0 + d3ω 3 0 + d2ω 2 0 + d1ω0 + d0 > 0, (12) ãäå d4 = 3ã2 2 > 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì óïðóãîì âîññòàíàâëèâàþùåì ìîìåíòå è áîëüøîé óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà âîçìîæíà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ íåñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. 164 2. Ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà, ñî- äåðæàùåãî æèäêîñòü. Ðàññìîòðèì ñâîáîäíîå äâèæåíèå (äâèæåíèå ïî èíåðöèè) âðà- ùàþùåãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà ñ èäåàëüíîé æèäêîñòüþ. Ïóñòü òî÷êà O1 áóäåò íå çàêðåï- ëåííàÿ, ò. å. ñâîáîäíàÿ. Âíîâü ïîñòàâèì çàäà÷ó î âîçìîæíîñòè ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé- ÷èâîãî âðàùåíèÿ ñâîáîäíîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà ñ æèäêîñòüþ âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ áóäåò èìåòü âèä (1), ãäå F1 = A′ 1 + C ′ 1 λ − k λ2 − (λ + ω01) ∞∑ n=1 En λ + λ′n , F2 = A′ 2 + C ′ 2 λ − k λ2 , A′ i = Ai + νc2 i , ν = m1m2 m1 + m2 , µ = νc1c2, c1 = C1O2, c2 = C2O2, i = (1, 2), (13) Ai è Ci � ñîîòâåòñòâåííî ãëàâíûé ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè òåë S1 è S0 2 îòíîñèòåëüíî èõ öåíòðà ìàññ. Åñëè îòñóòñòâóåò óïðóãèé âîññòàíàâëèâàþùèé ìîìåíò (k = 0) è öåíòð ìàññ âòîðîãî òåëà S0 2 ñîâïàäàåò ñ îáùåé òî÷êîé O2 (c2 = 0, µ = 0), òî îòñóòñòâóåò âîçìîæíîñòü ñòàáèëèçàöèè. Ïðè n = 1 (ó÷åò îñíîâíîãî òîíà êîëåáàíèÿ æèäêîñòè) óðàâíåíèå (1) ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïîëèíîìà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè a0λ 4 + a1λ 3 + a2λ 2 + a3λ + a4 = 0, (14) êîýôôèöèåíòû êîòîðîãî îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (4), â êîòîðûõ ñëåäóåò ïîëîæèòü a∗1 = a∗2 = 0 è âû÷èñëÿòü A′ i ñîãëàñíî (13). Óñëîâèÿ äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè èìåþò âèä [7] d1 = N2 2 −N1N3 > 0, d2 = 12d2 1 −N2 1 (N1N5 − 4N2N4 + 3N2 3 ) > 0, d3 = (N1N5 − 4N2N4 + 3N2 3 )3 − 27(N1N3N5 + 2N2N3N4 −N1N 2 4− −N2 2 N5 −N3 3 )2 > 0. (15) Çäåñü N1 = a0, 4N2 = a1 = 4(ã1ω0 + b1), 6N3 = a2 = 6(ã2ω0 + b2), 4N4 = a3 = 4(ã3ω0 + b3), N5 = a4 = ã4ω0 + b4. (16) Ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (16) íåðàâåíñòâà (15) çàïèøóòñÿ â âèäå d12ω 2 0 + d11ω0 + d10 > 0, d24ω 4 0 + d23ω 3 0 + · · ·+ d21ω0 + d20 > 0, d36ω 6 0 + d35ω 5 0 + · · ·+ d31ω0 + d30 > 0. (17) ãäå d12 = ã2 1 > 0, d24 = 12ã4 1 > 0, d36 = d̃3 21 − 27d̃2 30 = ã2 1[54(2ã1ã3 − ã2 2)ã2ã4 + 4ã2 3(9ã 2 2 − 16ã1ã3)− 27ã2 1ã 2 4], d̃21 = 3ã2 2 − 4ã1ã3, d̃30 = 2ã1ã2ã3 − ã2 1ã4 − ã3 2, ã1 = A∗ 1/4 > 0, ã2 = (A′ 1λ ′ 1 + C̃∗ 1)/6 > 0, ã3 = −(k − C ′ 1λ ′ 1)/4, ã4 = −kλ′1. 165 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê Òàê êàê d12 > 0, d24 > 0, à êîýôôèöèåíò d36 ÿâëÿåòñÿ êóáè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì îò- íîñèòåëüíî ïàðàìåòðà k ñ ïîëîæèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì ïðè ñòàðøåé ñòåïåíè è ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì k áóäåò ïîëîæèòåëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ k è ω0 âîçìîæíà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà, ñî- äåðæàùåãî æèäêîñòü. Ðàññìîòðèì òåïåðü âëèÿíèå óïðóãîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà íà ñòàáèëèçà- öèþ íåóñòîé÷èâîãî ñâîáîäíîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ. Äëÿ ýòîãî ïîëî- æèì a2 = 6N3 = 6(ã2k + b2), a3 = 4N4 = 4(ã3k + b3), a4 = N5 = ã4k + b4. (18) Ïîäñòàâèâ ñîîòíîøåíèÿ (18) â íåðàâåíñòâà (15), ïîëó÷èì d1 = d11k + d10 > 0, d2 = d22k 2 + d21k + d20 > 0, d3 = d35k 5 + d34k 4 + · · ·+ d31k + d30 > 0. (19) ãäå d11 = −a0ã2 > 0, d22 = 9a2 0ã 2 2 > 0, 6ã2 = −(A∗ 1 + A′ 2 + 2µ) < 0, d35 = 27a0ã 3 2(3ã2ã4 − 2ã2 3) = d∗32ω 2 0 + d∗31ω0 + d∗30, d∗32 = −3a0ã 3 2/2 > 0, 4ã3 = −[(A′ 1 + A′ 2 + 2µ)λ′1 + C̃∗ 1 + ω0] < 0, ã4 = −(C ′ 1 + ω0)λ ′ 1 < 0. Òàê êàê d11 > 0, d22 > 0 è d∗32 > 0, òî ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ ω0 è k íåðàâåíñòâà (19) áóäóò âûïîëíåíû. Ïðè k =∞ (öèëèíäðè÷åñêèé øàðíèð) èç ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (19) ñëåäóåò óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé d35 > 0 èëè [(A′ 1 + A′ 2 + 2µ)λ′1 + C̃∗ 1 + ω0] 2 > 4(A∗ 1 + A′ 2 + 2µ)(C ′ 1 + ω0)λ ′ 1. (20) Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷åííîå èç (19) ñîâïàäàåò ñ óñëî- âèåì óñòîé÷èâîñòè, ïîëó÷åííûì èç óðàâíåíèÿ (2) äëÿ ñâîáîäíîé ñèñòåìû (a∗1 = a∗2 = 0) ïðè n = 1. Â çàêëþ÷åíèå ðàññìîòðèì âòîðîé ïðåäåëüíûé ñëó÷àé � îòñóòñòâèÿ óïðóãîãî âîñ- ñòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà (k = 0). Â îòëè÷èè îò íåñâîáîäíîé ñèñòåìû õàðàêòåðèñòè- ÷åñêîå óðàâíåíèå (14) ñóùåñòâåííî óïðîùàåòñÿ è âûðîæëàåòñÿ â êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå (a4 = 0). Óñëîâèå äåéñòâèòåëüíîñòè êîðíåé êîòîðîãî èìåþò âèä d4ω 4 0 + d3ω 3 0 + d2ω 2 0 + d1ω0 + d0 > 0. (21) Çäåñü d4 = 4d̃40ã 2 1 − ã2 1ã 2 2 = ã2 1(3ã 2 2 − 4ã1ã3), d̃40 = ã2 2 − ã1ã3, a1 = 3(ã1ω0 + b1), a2 = 3(ã2ω0 + b2), a3 = ã3ω0, 3ã1 = A∗ 1, 3ã2 = A′ 1λ ′ 1 + C̃∗ 1 , ã3 = C ′ 1λ ′ 1. Òàêèì îáðàçîì, ïðè îòñóòñòâèè óïðóãîãî ìîìåíòà ñòàáèëèçàöèÿ íåóñòîé÷èâîãî âðà- ùåíèÿ ñâîáîäíîãî òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ óñëîâèåì (21), à âîçìîæ- íîñòü ñòàáèëèçàöèè óñëîâèåì 3ã2 − 4ã1ã3 > 0 166 èëè (C∗ 1 + A′ 1λ1) 2 > 4A∗ 1C1λ1. (22) Èçâåñòíî, ÷òî â ñëó÷àå ïðåíåáðåæèìî ìàëîé ìàññû ýëëèñîèäàëüíîé îáîëî÷êè ñâî- áîäíîå ðàâíîìåðíîå âðàùåíèå ýòîé îáîëî÷êè, ñîäåðæàùåé èäåàëüíóþ æèäêîñòü, íåóñòîé- ÷èâî ïðè 1 < β < 3 (β = c/a, a è c � ïîëóîñè ýëëèïñîèäàëüíîé îáîëî÷êè, ïðè÷åì c � âåëè÷èíà ïîëóîñè, íàïðàâëåííîé âäîëü îñè âðàùåíèÿ) [12]. Âîçìîæíî ëè óìåíüøèòü ýòîò èíòåðâàë íåóñòîé÷èâîñòè âðàùàþùèìñÿ âòîðûì òâåð- äûì òåëîì? Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ íåðàâåíñòâà (22). Ïðîâåäÿ íåîáõîäèìûå âû÷èñëåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî ïðè m̃2 = 0, 1 <β < 3, m̃2 = 0.01, 1 <β < 2.981, m̃2 = 0.1, 1 <β < 2.830, m̃2 = 0.5, 1 <β < 2.400, (23) ãäå m̃2 = 3m2/(4πρa3). Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàíî óìåíüøåíèå èíòåðâàëà íåóñòîé÷èâîñòè, ÷òî ãîâîðèò î ñòà- áèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âðàùàþùèìñÿ âòîðûì òâåðäûì òåëîì. Èç ñîîòíîøåíèé (23) ñëåäóåò, ÷òî ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè âîçðàñòàåò ïðè óâåëè÷åíèè ìàññû âòîðîãî òåëà. Äëÿ ïîäòâåðæäåíèÿ ðåçóëüòàòîâ àíàëèòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé ïî ôîðìóëàì (8), (10), (17) è (19) áûëè ïðîâåäåíû ÷èñëåííûå ðàñ÷åòû äëÿ ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòè ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ: ω02 = 0, 10, 102, 103; k = 0, 1, 10, 102, 103; ω01 = 1÷100; β = 0, 02 ÷ 4 (β = c/a); m01 = 0; A01 = C01 = 0; c2 = −0, 2 ÷ 0, 2. Âòîðîå âðàùàþùååñÿ òâåðäîå òåëî ïîëàãàëîñü ñëåãêà âîãíóòûì, âûïóêëûì èëè ïëîñêèì òîíêèì êðóãîâûì äèñêîì (ðèñ. 2, êðèâûå 1, 2 è 3 ñîîòâåòñòâåííî) ñ ìîìåíòàìè èíåðöèè A2 è C2. Ðèñ. 2. Çäåñü A2 = [1− cos4 θ0 2 − 1 2 f(θ0)]m2R 2, C2 = f(θ0)m2R 2, f(θ0) = 1 3 cos3 θ0 − cos θ0 + 2 3 1− cos θ0 , c2 = O2C2 = R sin2 θ0 2 (âûïóêëûé äèñê), c2 = −O2C2 = −R sin2 θ0 2 (âîãíóòûé äèñê), Rθ0 = r − ðàäèóñ êðóãîâîãî äèñêà ìàññû m2. Ïðè θ0 � 1 A2 = m2r2 4 , C2 = m2r 2 2 , c2 = r 4 θ0, òî åñòü â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû èíåðöèè ñîâïàäàþò ñ ïëîñêèì äèñêîì (R =∞). Â ñëó÷àå ïëîñêîãî êðóãîâîãî äèñêà åãî öåíòð ìàññ ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé O2, à äëÿ ñëåãêà âûïóêëîãî èëè âûãíóòîãî îí íåçíà÷èòåëüíî èçìåíÿåòñÿ. 167 Þ.Í. Êîíîíîâ, Ò.Â. Õîìÿê Ðåçóëüòàòû ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ äëÿ íåñâîáîäíîé ñèñòåìû ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3- 6, à äëÿ ñâîáîäíîé � íà ðèñ. 7�10 (c2 = 0, m1 = const, E1 6= 0). Îáëàñòè óñòîé÷èâîñòè çàøòðèõîâàíû. k = 1, ω02 = 0 Ðèñ.3. k = 100, ω02 = 0 Ðèñ.4. k = 100, ω02 = 1000 Ðèñ.5. k = 1000, ω02 = 1000 Ðèñ.6. k = 1, ω02 = 0 Ðèñ.7. k = 1, ω02 = 1000 Ðèñ.8. k = 100, ω02 = 1000 Ðèñ.9. k = 1000, ω02 = 1000 Ðèñ.10. Íà îñíîâàíèè ïðîâåäåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ è ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé ìîæíî ñäå- ëàòü ñëåäóþùèå âûâîäû: 1. Íåóñòîé÷èâîå âðàùåíèå òâåðäîãî òåëà ñ æèäêîñòüþ âîçìîæíî ñòàáèëèçèðîâàòü âòîðûì âðàùàþùèìñÿ òâåðäûì òåëîì. 2. Ñòàáèëèçàöèÿ ñòàíîâèòñÿ íåâîçìîæíîé, åñëè îòñóòñòâóåò óïðóãèé âîññòàíàâëèâà- þùèé ìîìåíò è öåíòð ìàññ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà ñîâïàäàåò ñ îáùåé òî÷êîé äâóõ òâåðäûõ òåë. 3. Ñ óâåëè÷åíèåì óïðóãîãî âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà îáëàñòü íåóñòîé÷èâîñòè óìåíüøàåòñÿ ñ îáðàçîâàíèåì íåáîëüøîé äîïîëíèòåëüíîé îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè, êîòîðàÿ èñ÷åçàåò ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè óãëîâîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà. 4. Ïðè áîëüøèõ óãëîâûõ ñêîðîñòÿõ âðàùåíèÿ âòîðîãî òâåðäîãî òåëà (ω02 > 100 ) è áîëüøîì óïðóãîì âîññòàíàâëèâàþùåì ìîìåíòå (k > 100) íàáëþäàåòñÿ ýôôåêò, àíàëîãè÷íûé äåéñòâèþ âîññòàíàâëèâàþùåãî ìîìåíòà íà ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòå- ìó ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ñ æèäêîñòüþ. 5. Äëÿ óðàâíîâåøåííîãî âòîðîãî òâåðäîãî òåëà (c2 < 0) ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè âîç- ðàñòàåò ïî ñðàâíåíèþ ñ íåóðàâíîâåøåííûì âòîðûì òâåðäûì òåëîì (c2 > 0). 1. Ñîáîëåâ Ñ. Ë. Î äâèæåíèè ñèììåòðè÷íîãî âîë÷êà ñ ïîëîñòüþ, íàïîëíåííîé æèäêîñòüþ // Æóðí. ïðèêë. ìåõàíèêè è òåõí. ôèçèêè. � 1960. � � 3. � Ñ 20�25. 168 2. Êîíîíîâ Þ. Í. Î âëèÿíèè ïåðåãîðîäîê â öèëèíäðè÷åñêîé ïîëîñòè íà óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíîãî âðàùåíèÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà // Ìàò. ôèçèêà è íåëèí. ìåõàíèêà. � 1992. � Âûï. 7 (51). � Ñ. 33�37. 3. Êîíîíîâ Þ. Í., Äðûíü Ñ. Â. Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèÿ âîë÷êà Ëàãðàíæà ñ ìíîãîñëîéíîé æèäêî- ñòüþ, ðàçäåëåííîé öèëèíäðè÷åñêèìè ïåðåãîðîäêàìè // Âiñí. Äîíåöüêîãî óí-òà. Ñåð. À: Ïðèðîäíè÷i íàóêè. � 2001. � � 1 . � Ñ. 34�39. 4. Ñàâ÷åíêî À. ß. Óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1977. � 159 ñ. 5. Êîâàëåâ À. Ì. Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé òÿæåëîãî ãèðîñòàòà âîêðóã ãëàâíîé îñè // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1980. � 44, âûï. 6. � Ñ. 994-998. 6. Ëåñèíà Ì.Å.Î ñòàáèëèçàöèè ïîêîÿùåãîñÿ óðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà // Ìåõàíèêà òâåð- äîãî òåëà. � 1979. � Âûï. 11. � Ñ. 88�92. 7. Âàðõàëåâ Þ.Í., Ñàâ÷åíêî À.ß., Ñâåòëè÷íàÿ Í.Â. Ê âîïðîñó ñòàáèëèçàöèè ïîêîÿùåãîñÿ íåóðàâíî- âåøåííîãî ãèðîñêîïà Ëàãðàíæà // Òàì æå. � 1982. � Âûï. 14. � Ñ. 105�109. 8. Ñâåòëè÷íàÿ Í.Â. Îá ýôôåêòå ñòàáèëèçàöèè ïîêîÿùåãîñÿ íåóðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà âòîðûì âðàùàþùèìñÿ // Òàì æå. � 1989. � Âûï. 21. � Ñ. 74�76. 9. Êîâàëåíêî Í.Â., Øåïåëåíêî Î.Â. Ýôôåêò ñòàáèëèçàöèè â ñèñòåìå ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà // Òð. Ìåæäóíàð. êîíô. "Ìàòåìàòèêà â èíäóñòðèè". � Òàãàíðîã: Òàãàíðîã. ãîñ. ïåä. èí-ò, 1998. � Ñ. 84�86. 10. Êîíîíîâ Þ. Í. Î äâèæåíèè ñèñòåìû äâóõ òâåðäûõ òåë ñ ïîëîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè æèäêîñòü // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1997. � Âûï. 29. � Ñ. 76�85. 11. Êîíîíîâ Þ. Í. Î äâèæåíèè ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë ñ ïîëîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè æèäêîñòü // Òàì æå. � 2000. � Âûï. 30. � Ñ. 207�216. 12. Äîêó÷àåâ Ë. Â., Ðâàëîâ Ð. Â. Îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ ïîëîñòüþ, ñîäåðæàùåé æèäêîñòü // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1973. � � 2. � Ñ. 6�14. 13. Ðó÷êèí Ê. À. Óñòîé÷èâîñòü ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé è ñòàáèëèçàöèÿ äâèæåíèé ñèñòåìû äâóõ òâåð- äûõ òåë. � Àâòîðåô. äèñ. ... êàíä. ôèç.-ìàò. íàóê. � Äîíåöê, 1999. � 14 ñ. 14. Kononov Yu. N., Khomyak T. V. Stabilization by rotating rigid bodies for unstable rotation of a rigid body with cavities containing a �uid // ICTAM04: Abstr. and CD-ROM Proc. � Warszawa, Poland: IPPT PAN, 2004. � P. 320. Äîíåöêèé íàöèîíàëüíûé óí-ò Ïîëó÷åíî 11.06.04 169

Об эффекте стабилизации неустойчивого вращения твердого тела с жидкостью вращающимся твердым телом

Репозитарії

Схожі ресурси