О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями
Рассмотрена задача о движении по инерции вокруг центра масс механической системы, состоящей из двух подобных соосных эллипсоидов, жестко связанных друг с другом. Пространство между эллипсоидами целиком заполнено несжимаемой вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта. Предполагается, что на эту среду налож...
Збережено в:
| Дата: | 2004 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123753 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 170-179. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123753 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237532017-09-10T03:03:35Z О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями Судаков, С.Н. Рассмотрена задача о движении по инерции вокруг центра масс механической системы, состоящей из двух подобных соосных эллипсоидов, жестко связанных друг с другом. Пространство между эллипсоидами целиком заполнено несжимаемой вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта. Предполагается, что на эту среду наложены кинематические связи, допускающие только однородные деформации. Внутренний эллипсоид целиком заполнен несжимаемой ньютоновской жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Движение системы описывается девятью обыкновенными дифференциальными уравнениями. Найдены стационарные решения этих уравнений, описывающие равномерные вращения системы вокруг наименьшей оси эллипсоидов. В линейной постановке исследовано поведение решений уравнений движения в малой окрестности стационарных решений. Установлено, что если геометрические размеры и массовые характеристики эллипсоидов и их заполнений выбрать такими же, какие имеет Земля, то можно указать значение модуля Юнга вязко-упругой среды, при котором период времени обхода вектором угловой скорости наименьшей оси эллипсоидов будет равен периоду Чендлера. 2004 Article О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 170-179. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123753 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача о движении по инерции вокруг центра масс механической системы, состоящей из двух подобных соосных эллипсоидов, жестко связанных друг с другом. Пространство между эллипсоидами целиком заполнено несжимаемой вязко-упругой средой Кельвина-Фойгта. Предполагается, что на эту среду наложены кинематические связи, допускающие только однородные деформации. Внутренний эллипсоид целиком заполнен несжимаемой ньютоновской жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Движение системы описывается девятью обыкновенными дифференциальными уравнениями. Найдены стационарные решения этих уравнений, описывающие равномерные вращения системы вокруг наименьшей оси эллипсоидов. В линейной постановке исследовано поведение решений уравнений движения в малой окрестности стационарных решений. Установлено, что если геометрические размеры и массовые характеристики эллипсоидов и их заполнений выбрать такими же, какие имеет Земля, то можно указать значение модуля Юнга вязко-упругой среды, при котором период времени обхода вектором угловой скорости наименьшей оси эллипсоидов будет равен периоду Чендлера. |
| format |
Article |
| author |
Судаков, С.Н. |
| spellingShingle |
Судаков, С.Н. О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями Механика твердого тела |
| author_facet |
Судаков, С.Н. |
| author_sort |
Судаков, С.Н. |
| title |
О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями |
| title_short |
О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями |
| title_full |
О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями |
| title_fullStr |
О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями |
| title_full_unstemmed |
О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями |
| title_sort |
о движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123753 |
| citation_txt |
О движении по инерции вокруг центра масс абсолютно твердой эллипсоидальной оболочки с вязко-упругим и жидким заполнениями / С.Н. Судаков // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 170-179. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT sudakovsn odviženiipoinerciivokrugcentramassabsolûtnotverdojéllipsoidalʹnojoboločkisvâzkouprugimižidkimzapolneniâmi |
| first_indexed |
2025-07-09T00:12:18Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:12:18Z |
| _version_ |
1837126071264215040 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38
c©2004. Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Î ÄÂÈÆÅÍÈÈ ÏÎ ÈÍÅÐÖÈÈ ÂÎÊÐÓÃ ÖÅÍÒÐÀ ÌÀÑÑ
ÀÁÑÎËÞÒÍÎ ÒÂÅÐÄÎÉ ÝËËÈÏÑÎÈÄÀËÜÍÎÉ ÎÁÎËÎ×ÊÈ
Ñ ÂßÇÊÎ-ÓÏÐÓÃÈÌ È ÆÈÄÊÈÌ ÇÀÏÎËÍÅÍÈßÌÈ
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à î äâèæåíèè ïî èíåðöèè âîêðóã öåíòðà ìàññ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç
äâóõ ïîäîáíûõ ñîîñíûõ ýëëèïñîèäîâ, æåñòêî ñâÿçàííûõ äðóã ñ äðóãîì. Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ýëëèïñî-
èäàìè öåëèêîì çàïîëíåíî íåñæèìàåìîé âÿçêî-óïðóãîé ñðåäîé Êåëüâèíà-Ôîéãòà. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî
íà ýòó ñðåäó íàëîæåíû êèíåìàòè÷åñêèå ñâÿçè, äîïóñêàþùèå òîëüêî îäíîðîäíûå äåôîðìàöèè. Âíóòðåí-
íèé ýëëèïñîèä öåëèêîì çàïîëíåí íåñæèìàåìîé íüþòîíîâñêîé æèäêîñòüþ, ñîâåðøàþùåé îäíîðîäíîå
âèõðåâîå äâèæåíèå. Äâèæåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ äåâÿòüþ îáûêíîâåííûìè äèôôåðåíöèàëüíûìè
óðàâíåíèÿìè. Íàéäåíû ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùèå ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ
ñèñòåìû âîêðóã íàèìåíüøåé îñè ýëëèïñîèäîâ. Â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå èññëåäîâàíî ïîâåäåíèå ðåøåíèé
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â ìàëîé îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Óñòàíîâëåíî, ÷òî åñëè ãåîìåòðè-
÷åñêèå ðàçìåðû è ìàññîâûå õàðàêòåðèñòèêè ýëëèïñîèäîâ è èõ çàïîëíåíèé âûáðàòü òàêèìè æå, êàêèå
èìååò Çåìëÿ, òî ìîæíî óêàçàòü çíà÷åíèå ìîäóëÿ Þíãà âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû, ïðè êîòîðîì ïåðèîä âðå-
ìåíè îáõîäà âåêòîðîì óãëîâîé ñêîðîñòè íàèìåíüøåé îñè ýëëèïñîèäîâ áóäåò ðàâåí ïåðèîäó ×åíäëåðà.
Ñîãëàñíî ðàáîòå [1], âÿçêîñòü æèäêîãî ÿäðà Çåìëè íà ãðàíèöå ñ ìàíòèåé ðàâíà
100Ïà · ñ è âîçðàñòàåò ê öåíòðó Çåìëè, äîñòèãàÿ íà ãðàíèöå ìåæäó íàðóæíûì è âíóò-
ðåííèì ÿäðàìè âåëè÷èíû 1011 Ïà · ñ. Ñòîëü ñèëüíîå èçìåíåíèå âÿçêîñòè íåîáõîäèìî
ó÷èòûâàòü ïðè ïîñòðîåíèè ìîäåëåé âðàùåíèÿ Çåìëè. Ñ ýòîé öåëüþ â ðàáîòàõ [2, 3]
ðàññìîòðåíà çàäà÷à î äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà ñ ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòüþ, öåëèêîì
çàïîëíåííîé íåñæèìàåìîé íüþòîíîâñêîé æèäêîñòüþ, âÿçêîñòü êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ çà-
äàííîé ôóíêöèåé êîîðèíàò. Îäíàêî òàêàÿ ïîñòàíîâêà çàäà÷è åùå íåäîñòàòî÷íà äëÿ
óñïåøíîãî îïèñàíèÿ ïðîöåññà âðàùåíèÿ Çåìëè, ïîñêîëüêó îáîëî÷êà, ñîäåðæàùàÿ æèä-
êîñòü, ïðèíÿòà â íåé àáñîëþòíî òâåðäîé, à ñîãëàñíî ðàáîòàì [4, 5], èìåííî åå óïðóãîñòü
ïîçâîëÿåò òåîðåòè÷åñêè ïîëó÷àòü ïåðèîä ×åíäëåðà.
Öåëüþ íàñòîÿùåé ðàáîòû ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå ïðîñòîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëè
ïëàíåòû ñ ó÷åòîì âÿçêî-óïðóãîñòè îáîëî÷êè è ïåðåìåííîé âÿçêîñòè æèäêîãî ÿäðà. Äëÿ
ó÷åòà âÿçêî-óïðóãîñòè îáîëî÷êè èñïîëüçóåòñÿ ïîäõîä, èçëîæåííûé â ðàáîòå [6]. À äëÿ
îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ æèäêîñòè ÿäðà èñïîëüçóþòñÿ ðåçóëüòàòû ðàáîò [2, 3].
Îáîçíà÷èì ÷åðåçOξ1ξ2ξ3 íåïîäâèæíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò. ×åðåçOx1x2x3
îáîçíà÷èì ïîäâèæíóþ äåêàðòîâó ñèñòåìó êîîðäèíàò, íà÷àëî O êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ äëÿ
íåå íåïîâèæíîé òî÷êîé. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñ ïîäâèæíîé ñèñòåìîé êîîðäèíàò ñâÿçàíû
äâà ïîäîáíûõ ñîîñíûõ ýëèïñîèäà, êîòîðûå çàäàíû óðàâíåíèÿìè
3∑
i=1
x2
i /C
2
i = 1 ,
3∑
i=1
x2
i /c
2
i = 1, (1)
ãäå C1, C2, C3 � äëèíû ïîëóîñåé íàðóæíîãî ýëëèïñîèäà, à c1, c2, c3 � âíóòðåííåãî. Â
ñèëó ïîäîáèÿ ýëëèïñîèäîâ äîëæíû âûïîëíÿòüñÿ ñîîòíîøåíèÿ c1/C1 = c2/C2 = c3/C3.
Ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ýëëèïñîèäàìè çàïîëíåíî âÿçêî-óïðóãîé ñðåäîé Êåëüâèíà-Ôîéãòà
[7]. Ýòó ñðåäó óäîáíî ïðåäñòàâëÿòü íåñæèìàåìîé íüþòîíîâñêîé æèäêîñòüþ, â êîòîðîé,
êðîìå äàâëåíèÿ è ñèë âÿçêîãî òðåíèÿ, äåéñòâóþò ñèëû óïðóãîñòè, îïðåäåëÿåìûå ñìå-
170
Î äâèæåíèè ýëëèïñîèäà ñ âÿçêî-óïðóãèì è æèäêèì çàïîëíåíèÿìè
ùåíèÿìè òî÷åê ñðåäû îò íåéòðàëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Äîïîëíèòåëüíî áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
íà âÿçêî-óïðóãóþ ñðåäó íàëîæåíû êèíåìàòè÷åñêèå ñâÿçè, äîïóñêàþùèå òîëüêî îäíî-
ðîäíûå äåôîðìàöèè åå ìåæäó ýëëèïñîèäàìè.
Ïðîñòðàíñòâî, îãðàíè÷åííîå âíóòðåííèì ýëëèïñîèäîì, áóäåì ñ÷èòàòü öåëèêîì çà-
ïîëíåííûì íåñæèìàåìîé íüþòîíîâñêîé æèäêîñòüþ. Âÿçêî-óïðóãàÿ ñðåäà è æèäêîñòü
âî âíóòðåííåì ýëëèïñîèäå èìåþò îäíó è òó æå ïîñòîÿííóþ ïëîòíîñòü ρ, à èõ äèíàìè-
÷åñêèå âÿçêîñòè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàò:
µv = µ0(1−
3∑
i=1
x2
i /C
2
i ), µc = µ∗(1−
3∑
i=1
x2
i /c
2
i ). (2)
Çäåñü µ0 � ïàðàìåòð, îïðåäåëÿþùèé âÿçêîñòü âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû; µ∗ � äèíàìè÷åñêàÿ
âÿçêîñòü æèäêîñòè ÿäðà â öåíòðå ýëëèïñîèäà. Èç ôîðìóë (1), (2) ñëåäóåò, ÷òî âÿçêîñòü
âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû µv îáðàùàåòñÿ â íóëü íà âíåøíåì ýëëèïñîèäå, à âÿçêîñòü æèäêîñòè
ÿäðà µc � íà âíóòðåííåì.
Îïèñàíèå äåôîðìàöèé âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû.Îäíîðîäíûå äåôîðìàöèè âÿçêî-
óïðóãîé ñðåäû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó äâóìÿ ïîäîáíûìè ñîîñíûìè ýëëèïñîèäàìè (1),
ìîæíî ïîñòðîèòü ñ ïîìîùüþ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé:
1) äåôîðìàöèÿ ñðåäû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ýëëèïñîèäàìè, â øàðîâîé ñëîé
x′i = xi0R/Ci, i = 1, 2, 3,
ãäå R = 3
√
c1c2c3; x10, x20, x30 � êîîðäèíàòû ÷àñòèö ñðåäû äî äåôîðìàöèè; x′1, x
′
2, x
′
3 �
êîîðäèíàòû ÷àñòèö ñðåäû ïîñëå äåôîðìàöèè;
2) ïîâîðîò øàðîâîãî ñëîÿ âîêðóã öåíòðà
x′′i =
3∑
j=1
aijx
′
j, i = 1, 2, 3,
ãäå aij � êîìïîíåíòû ìàòðèöû ïîâîðîòà;
3) äåôîðìàöèÿ øàðîâîãî ñëîÿ â ñëîé, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ýëëèïñîèäàìè (1),
xi = x′′iCi/R, i = 1, 2, 3.
 ðåçóëüòàòå ìû ïîëó÷èì îòîáðàæåíèå
xi = Ci
3∑
j=1
aijxj0/Cj, i = 1, 2, 3. (3)
Ïîâîðîò øàðîâîãî ñëîÿ âîêðóã åãî öåíòðà áóäåì çàäàâàòü óãëàìè Êðûëîâà α, β, γ. Òî-
ãäà êîìïîíåíòû aij ìàòðèöû ïîâîðîòà A âûðàæàþòñÿ ÷åðåç óãëû Êðûëîâà ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
A =
cos β cos γ − cos β sin γ sin β
cosα sin γ + sinα sin β cos γ cosα cos γ − sinα sin β sin γ − sinα cos β
sinα sin γ − cosα sin β cos γ sinα cos γ + cosα sin β sin γ cosα cos β
.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìóëû (3) âûðàæàþò êîîðäèíàòû x1, x2, x3 òî÷åê âÿçêî-óïðóãîé ñðå-
äû ïîñëå äåôîðìàöèè ÷åðåç óãëû Êðûëîâà α, β, γ è èõ êîîðäèíàòû x10, x20, x30 äî äå-
ôîðìàöèè.
171
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. Ïîëîæåíèå ïîäâèæíûõ îñåé Ox1x2x3
îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíûõ Oξ1ξ2ξ3 áóäåì îïðåäåëÿòü óãëàìè Ýéëåðà ϕ, ψ, θ, ãäå óãîë
íóòàöèè θ ÿâëÿåòñÿ óãëîì ìåæäó îñÿìè Ox3 è Oξ3; óãîë ïðåöåññèè ψ � ýòî óãîë ìåæäó
îñüþ Oξ1 è ëèíèåé óçëîâ.
Îòîáðàæåíèå (3) îïèñûâàåò äâèæåíèå âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû ìåæäó ýëëèïñîèäàìè.
Ñîãëàñíî ðàáîòàì [6, 8], äâèæåíèå, çàäàâàåìîå îòîáðàæåíèåì (3), ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì
âèõðåâûì è åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì
Tv =
kv
2
∑
(123)
[(ζ2
2 + ζ2
3 )ωo1
2 + (ζ2
2 + ζ2
3 )ω1
2 + 4ζ2ζ3ω
o
1ω1], (4)
ãäå ñèìâîë (123) îçíà÷àåò, ÷òî îñòàëüíûå ÷ëåíû ñóììû ïîëó÷àþòñÿ öèêëè÷åñêîé ïåðå-
ñòàíîâêîé èíäåêñîâ;
kv =
mR2 −mcr
2
c
5
, rc = 3
√
c1c2c3 , m = ρQ, Q =
4
3
πC1C2C3,
mc = ρQc, Qc =
4
3
πc1c2c3, ζi = Ci/R, i = 1, 2, 3;
ω1, ω2, ω3 � ïðîåêöèè àáñîëþòíîé óãëîâîé ñêîðîñòè ïîäâèæíûõ îñåé íà ñåáÿ, êîòîðûå
èìåþò âèä
ω1 = ψ̇ sin θ sinϕ+ θ̇ cosϕ,
ω2 = ψ̇ sin θ cosϕ− θ̇ sinϕ, (5)
ω3 = ψ̇ cos θ + ϕ̇;
ωo1, ω
o
2, ω
o
3 � ïðîåêöèè íà ïîäâèæíûå îñè Ox1x2x3 îòíîñèòåëüíîé óãëîâîé ñêîðîñòè âñïî-
ìîãàòåëüíîãî òâåðäîãî òåëà (øàðîâîé ñëîé, â êîòîðûé ïåðåõîäèò âÿçêî-óïðóãàÿ ñðå-
äà â ðåçóëüòàòå ëèíåéíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ 1), ïîëîæåíèå êîòîðîãî îòíîñèòåëüíî îñåé
Ox1x2x3 îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè Êðûëîâà α, β, γ:
ωo1 = α̇+ γ̇ sin β,
ωo2 = −γ̇ cos β sinα+ β̇ cosα, (6)
ωo3 = γ̇ cos β cosα+ β̇ sinα.
Òî÷êè íàä ñèìâîëàìè îçíà÷àþò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè t.
Äâèæåíèå æèäêîñòè âíóòðè âòîðîãî ýëëèïñîèäà (1) òîæå áóäåò îäíîðîäíûì âèõ-
ðåâûì è åãî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíèåì [8]
Tc =
kc
2
∑
(123)
[(ζ2
2 + ζ2
3 )ω∗
1
2 + (ζ2
2 + ζ2
3 )ω2
1 + 4ζ2ζ3ω
∗
1ω1], (7)
ãäå kc = mcr
2
c/5; ω∗
1, ω
∗
2, ω
∗
3 � ïðîåêöèè íà ïîäâèæíûå îñè Ox1x2x3 îòíîñèòåëüíîé
óãëîâîé ñêîðîñòè âñïîìîãàòåëüíîãî òâåðäîãî òåëà, ïîëîæåíèå êîòîðîãî îòíîñèòåëüíî
îñåé Ox1x2x3 îïðåäåëÿåòñÿ óãëàìè Êðûëîâà α∗, β∗, γ∗:
ω∗
1 = α̇∗ + γ̇∗ sin β∗,
172
Î äâèæåíèè ýëëèïñîèäà ñ âÿçêî-óïðóãèì è æèäêèì çàïîëíåíèÿìè
ω∗
2 = −γ̇∗ cos β∗ sinα∗ + β̇∗ cosα∗, (8)
ω∗
3 = γ̇ cos β∗ cosα∗ + β̇∗ sinα∗;
Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëëèïñîèäîâ (1) ðàâíà
To =
kv
2
3∑
i=1
Aiω
2
i , (9)
ãäå Ai = Aoi/kv, Aoi � ñóììàðíûå ãëàâíûå öåíòðàëüíûå ìîìåíòû èíåðöèè ýëëèïñîèäîâ
(1).
Êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé âñåé ñèñòåìû áóäåò T = Tc + Tv + To , ãäå Tv, Tc, To îïðå-
äåëåíû âûðàæåíèÿìè (4) � (9).
Âûðàæåíèå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè óïðóãèõ äåôîðìàöèé. Ïîòåíöè-
àëüíàÿ ýíåðãèÿ îáðàçóåòñÿ ïðè äåôîðìàöèÿõ âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó
ýëëèïñîèäàìè. Ïðîåêöèè âåêòîðà ïåðåìåùåíèé òî÷åê âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû îòíîñèòåëü-
íî îñåé Ox1x2x3 íà ýòè æå îñè îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè ui = xi − xi0, i = 1, 2, 3,
ãäå xi äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè (3), x0
i � êîîðäèíàòû òî÷åê âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû â íåäå-
ôîðìèðîâàííîì ñîñòîÿíèè. Èñïîëüçóÿ äëÿ êîìïîíåíò òåíçîðà äåôîðìàöèé íåëèíåéíûå
ôîðìóëû [9, ñ. 20, 127] è ó÷èòûâàÿ ïðåäïîëîæåíèå î íåñæèìàåìîñòè ñðåäû, çàäàäèì
ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ óïðóãèõ äåôîðìàöèé âûðàæåíèåì [6]
Π = GQv[ε
2
11 + ε2
22 + ε2
33 +
1
2
(ε2
12 + ε2
23 + ε2
31)],
ãäå Qv = Q − Qc � îáúåì, çàêëþ÷åííûé ìåæäó ýëëèïñîèäàìè (1); G = E
2(1+η)
; E �
ìîäóëü Þíãà âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû; η � êîýôôèöèåíò Ïóàññîíà;
ε11 =
1
2
(
−1 + a2
11 +
ζ2
2
ζ2
1
a2
21 +
ζ2
3
ζ2
1
a2
31
)
, ε12 =
ζ1
ζ2
a11a12 +
ζ2
ζ1
a21a22 +
ζ2
3
ζ1ζ2
a31a32 (123).
Äèññèïàòèâíàÿ ôóíêöèÿ Ðýëåÿ.Äèññèïàöèÿ ýíåðãèè ïðè äâèæåíèè ïðîèñõîäèò
çà ñ÷åò âÿçêîãî òðåíèÿ âíóòðè âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû, çàêëþ÷åííîé ìåæäó ýëëèïñîèäàìè
(1), è âíóòðè æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âíóòðåííèé ýëëèïñîèä. Èñïîëüçóÿ ðåçóëüòàòû
ðàáîòû [3], çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ äèññèïàòèâíîé ôóíêöèè Ðýëåÿ â âèäå
F =
1
5
µ∗Qc
∑
(123)
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ω∗
1
2 +
1
5
µ0Qv
∑
(123)
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ωo1
2.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ Ëàãðàíæà 2-ðîäà. Ââîäÿ ôóíêöèþ Ëàãðàíæà L = T−Π,
çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â âèäå
d
dt
∂L
∂α̇∗
− ∂L
∂α∗
+
∂F
∂α̇∗
= Qα∗ (α∗β∗γ∗αβγϕψθ),
ãäå ñèìâîë (α∗β∗γ∗αβγϕψθ) îçíà÷àåò, ÷òî îñòàëüíûå óðàâíåíèÿ ïîëó÷àþòñÿ öèêëè÷å-
ñêîé ïåðåñòàíîâêîé âçÿòûõ â ñêîáêè ñèìâîëîâ; Qα∗ = Qβ∗ = Qγ∗ = Qα = Qβ = Qγ = 0,
îáîáùåííûå ñèëû Qϕ,Qψ,Qθ â îáùåì ñëó÷àå ìîãóò áûòü îòëè÷íû îò íóëÿ, îäíàêî â
íàñòîÿùåé ðàáîòå ìû áóäåì ñ÷èòàòü èõ ðàâíûìè íóëþ.
173
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ â ðàçâåðíóòîì âèäå
ζ2ζ3Ω̇1 + ζ3ζ1Ω2ω
∗
3 − ζ1ζ2Ω3ω
∗
2 +
µ∗Qc
5kc
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ω∗
1 = 0,
ζ3ζ1Ω̇2 cosα∗ + ζ1ζ2Ω̇3 sinα∗ − (ζ3ζ1Ω2 sinα∗ − ζ1ζ2Ω3 cosα∗)α̇∗−
−(ζ2ζ3Ω1 cos β∗ + ζ3ζ1Ω2 sin β∗ sinα∗ − ζ1ζ2Ω3 sin β∗ cosα∗)γ̇∗+
+
µ∗Qc
5kc
[(ζ2
1 − ζ2
3
ζ1ζ3
)2
ω∗
2 cosα∗ +
(ζ2
2 − ζ2
1
ζ2ζ1
)2
ω∗
3 sinα∗
]
= 0,
ζ2ζ3Ω̇1 sin β∗ − ζ3ζ1Ω̇2 cos β∗ sinα∗ + ζ1ζ2Ω̇3 cos β∗ cosα∗−
−(ζ3ζ1Ω2 cos β∗ cosα∗ + ζ1ζ2Ω3 cos β∗ sinα∗)α̇∗+
(ζ2ζ3Ω1 cos β∗ + ζ3ζ1Ω2 sin β∗ sinα∗ − ζ1ζ2Ω3 sin β∗ cosα∗)β̇∗+
+
µ∗Qc
5kc
[(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ω∗
1 sin β∗ −
(ζ2
1 − ζ2
3
ζ1ζ3
)2
ω∗
2 cos β∗ sinα∗+
+
(ζ2
2 − ζ2
1
ζ2ζ1
)2
ω∗
3 cos β∗ cosα∗
]
= 0,
ζ2ζ3Ω̇
′
1 + ζ3ζ1Ω
′
2ω
o
3 − ζ1ζ2Ω
′
3ω
o
2 +
1
2kv
∂Π
∂αo
+
µ0Qv
5kv
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ωo1 = 0,
ζ3ζ1Ω̇
′
2 cosα+ ζ1ζ2Ω̇
′
3 sinα− (ζ3ζ1Ω
′
2 sinα− ζ1ζ2Ω
′
3 cosα)α̇−
−(ζ2ζ3Ω
′
1 cos β + ζ3ζ1Ω
′
2 sin β sinα− ζ1ζ2Ω
′
3 sin β cosα)γ̇+
+
µ0Qv
5kv
[(ζ2
1 − ζ2
3
ζ1ζ3
)2
ωo2 cosα+
(ζ2
2 − ζ2
1
ζ2ζ1
)2
ωo3 sinα
]
+
1
2kv
∂Π
∂β
= 0, (10)
ζ2ζ3Ω̇
′
1 sin β − ζ3ζ1Ω̇
′
2 cos β sinα+ ζ1ζ2Ω̇
′
3 cos β cosα−
−(ζ3ζ1Ω
′
2 cos β cosα+ ζ1ζ2Ω
′
3 cos β sinα)α̇+
(ζ2ζ3Ω
′
1 cos β + ζ3ζ1Ω
′
2 sin β sinα− ζ1ζ2Ω3 sin β cosα)β̇+
+
µ0Qv
5kv
[(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ωo1 sin β −
(ζ2
1 − ζ2
3
ζ1ζ3
)2
ωo2 cos β sinα+
+
(ζ2
2 − ζ2
1
ζ2ζ1
)2
ωo3 cos β cosα
]
+
1
2kv
∂Π
∂γ
= 0,
kvẊ
o
3 + kcẊ
∗
3 − (kvX
o
1 + kcX
∗
1 )ω2 + (kvX
o
2 + kcX
∗
2 )ω1 = Qϕ,
(kvẊ
o
1 + kcẊ
∗
1 ) sin θ sinϕ+ (kvẊ
o
2 + kcẊ
∗
2 ) sin θ cosϕ+ (kvẊ
o
3 + kcẊ
∗
3 ) cos θ+
+(kvX
o
1 + kcX
∗
1 )(θ̇ cos θ sinϕ+ ϕ̇ sin θ cosϕ)+
+(kvX
o
2 + kcX
∗
2 )(θ̇ cos θ cosϕ+ ϕ̇ sin θ sinϕ)− (kvX
o
3 + kcX
∗
3 )θ̇ sin θ = Qψ,
(kvẊ
o
1 + kcẊ
∗
1 ) cosϕ− (kvẊ
o
2 + kcẊ
∗
2 ) sinϕ−
−(kvX
o
1 + kcX
∗
1 )ω3 sinϕ− (kvX
o
2 + kcX
∗
2 )ω3 cosϕ+ (kvX
o
3 + kcX
∗
3 )ψ̇ sin θ = Qθ,
174
Î äâèæåíèè ýëëèïñîèäà ñ âÿçêî-óïðóãèì è æèäêèì çàïîëíåíèÿìè
ãäå
Ω1 =
ζ2
3 + ζ2
2
2ζ3ζ2
ω∗
1 + ω1, Ω′
1 =
ζ2
3 + ζ2
2
2ζ3ζ2
ωo1 + ω1 ,
Xo
1 = (ζ2
2 + ζ2
3 + A1)ω1 + 2ζ2ζ3ω
o
1, X∗
1 = (ζ2
2 + ζ2
3 )ω1 + 2ζ2ζ3ω
∗
1 (123), (11)
à ωi, ωoi , ω
∗
i , i = 1, 2, 3 âûðàæåíû ÷åðåç ϕ, ψ, θ, α, β, γ, α∗, β∗, γ∗ è èõ ïðîèçâîäíûå ïî
ôîðìóëàì (5), (6), (8).
Çäåñü 2Ω1, 2Ω2, 2Ω3 � ïðîåêöèè íà îñè Ox1x2x3 âåêòîðà âèõðÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñòè
æèäêîñòè, çàïîëíÿþùåé âíóòðåííèé ýëëèïñîèä, à 2Ω′
1, 2Ω′
2, 2Ω′
3 � ïðîåêöèè íà ýòè æå
îñè âèõðÿ àáñîëþòíîé ñêîðîñòè âÿçêî-óïðóãîé ñðåäû, íàõîäÿùåéñÿ ìåæäó íàðóæíûì
è âíóòðåííèì ýëëèïñîèäàìè.
Ïåðåõîä ê óðàâíåíèÿì â íåãîëîíîìíûõ ïåðåìåííûõ. Îáîçíà÷àÿ ëåâûå ÷àñòè
óðàâíåíèé (10) â ïîðÿäêå èõ ñëåäîâàíèÿ ÷åðåç fα∗ , fβ∗ , fγ∗ , fα, fβ, fγ, fϕ, fψ, fθ è ñîñòàâëÿÿ
èç íèõ ñëåäóþùèå ëèíåéíûå êîìáèíàöèè:
fα∗ = 0, fα∗ sinα∗ sin β∗ + fβ∗ cos β∗ cosα∗ − fγ∗ sinα∗ = 0,
−fα∗ sin β∗ cosα∗ + fβ∗ cos β∗ sinα∗ + fγ∗ cosα∗ = 0,
fα = 0, fα sinα sin β + fβ cos β cosα− fγ sinα = 0,
−fα sin β cosα+ fβ cos β sinα+ fγ cosα = 0,
−fϕ sinϕctgθ + fψ sinϕ sin−1 θ + fθ cosϕ = L1,
−fϕ cosϕctgθ + fψ cosϕ sin−1 θ − fθ sinϕ = L2, fϕ = L3,
ãäå
L1 = −Qϕ sinϕctgθ +Qψ sinϕ sin−1 θ +Qθ cosϕ,
L2 = −Qϕ cosϕctgθ +Qψ cosϕ sin−1 θ −Qθ sinϕ, L3 = Qϕ, (12)
ïðèâîäèì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (10) ê âèäó
ζ2ζ3Ω̇1 + ζ3ζ1Ω2ω
∗
3 − ζ1ζ2Ω3ω
∗
2 +
µ∗Qc
5kc
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ω∗
1 = 0,
ζ2ζ3Ω̇
′
1 + ζ3ζ1Ω
′
2ω
o
3 − ζ1ζ2Ω
′
3ω
o
2 +
µ0Qv
5kv
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
ωo1 − ζ2ζ3Π1 = 0, (13)
kvẊ
o
1 + kcẊ
∗
1 − (kvX
o
2 + kcX
∗
2 )ω3 + (kvX
o
3 + kcX
∗
3 )ω2 = L1,
(123),
ãäå
Π1 = − 1
2kvζ2ζ3
∂Π
∂α
,
Π2 = − 1
2kvζ3ζ1
(∂Π
∂α
sinα tgβ +
∂Π
∂β
cosα− ∂Π
∂γ
sinα
cos β
)
, (14)
Π3 = − 1
2kvζ1ζ2
(
−∂Π
∂α
cosα tgβ +
∂Π
∂β
sinα+
∂Π
∂γ
cosα
cos β
)
.
175
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (11), çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (13) â âèäå
Ω̇1 = (1− ε3)ω3Ω2 − (1 + ε2)ω2Ω3 + (ε2 + ε3)Ω2Ω3 − σ∗1(Ω1 − ω1) (123), (15)
Ω̇′
1 = (1− ε3)ω3Ω
′
2 − (1 + ε2)ω2Ω
′
3 + (ε2 + ε3)Ω
′
2Ω
′
3 − σo1(Ω
′
1 − ω1) + Π1 (123), (16)
A∗
1ω̇1 + 4
ζ2
3ζ
2
2
ζ2
3 + ζ2
2
(kcΩ̇1 + kvΩ̇
′
1) = (A∗
2 − A∗
3)ω2ω3+
+
4ζ2
1ζ
2
3
ζ2
1 + ζ2
3
ω3(kcΩ2 + kvΩ
′
2)− 4
ζ2
1ζ
2
2
ζ2
1 + ζ2
2
ω2(kcΩ3 + kvΩ
′
3) + L1 (123), (17)
ãäå
ε1 =
ζ2
3 − ζ2
2
ζ2
3 + ζ2
2
, A∗
1 = Ao1 +
mR2
5
(ζ2
3 − ζ2
2 )2
ζ2
3 + ζ2
2
,
σ∗1 =
2µ∗Qcε
2
1
5kc
ζ2
3 + ζ2
2
ζ2
3ζ
2
2
, σo1 =
2µ0Qvε
2
1
5kv
ζ2
3 + ζ2
2
ζ2
3ζ
2
2
(123).
Áóäåì ñ÷èòàòü âåëè÷èíû α, β, γ ìàëûìè. Òîãäà äëÿ ∂Π
∂α
, ∂Π
∂β
, ∂Π
∂γ
ìîæíî èñïîëüçîâàòü
èõ ëèíåàðèçîâàííûå âûðàæåíèÿ
∂Π
∂α
= GQv
(ζ2
3 − ζ2
2
ζ3ζ2
)2
α,
∂Π
∂β
= GQv
(ζ2
1 − ζ2
3
ζ1ζ3
)2
β,
∂Π
∂γ
= GQv
(ζ2
2 − ζ2
1
ζ2ζ1
)2
γ. (18)
Èñïîëüçóÿ óðàâíåíèÿ (15) è (16), ïðèâîäèì óðàâíåíèÿ (17) ê âèäó
ω̇1 = a1ω2ω3 + p1(kcω2Ω3 + kvω2Ω
′
3)− q1(kcω3Ω2 + kvω3Ω
′
2)+
+b1(kcΩ2Ω3 + kvΩ
′
2Ω
′
3) + σ̃∗1(Ω1 − ω1) + σ̃o1(Ω
′
1 − ω1)− r1Π1 + L1/A
∗
1 (123), (19)
ãäå Πi, i = 1, 2, 3 îïðåäåëåíû ñîîòíîøåíèÿìè (14), (18);
a1 =
A∗
2 − A∗
3
A∗
1
, p1 =
4ζ2
1ζ
2
2ε1ε2
(ζ2
1 + ζ2
2 )A∗
1
, q1 =
4ζ2
1ζ
2
3ε1ε3
(ζ2
1 + ζ2
3 )A∗
1
, r1 =
4ζ2
3ζ
2
2kv
(ζ2
3 + ζ2
2 )A∗
1
,
b1 =
8ε1
(ζ2
1 + ζ2
2 )(ζ2
1 + ζ2
3 )A∗
1
, σ̃∗1 =
8µ∗Qcε
2
1
5A∗
1
, σ̃o1 =
8µ0Qvε
2
1
5A∗
1
(123).
Ðàçðåøàÿ óðàâíåíèÿ (6) îòíîñèòåëüíî α̇, β̇, γ̇ è èñïîëüçóÿ âòîðóþ ãðóïïó ñîîòíî-
øåíèé (11), áóäåì èìåòü
α̇ =
2ζ2ζ3
ζ2
2 + ζ2
3
(Ω′
1 − ω1) +
2ζ3ζ1
ζ2
3 + ζ2
1
(Ω′
2 − ω2) sinα tgβ − 2ζ1ζ2
ζ2
1 + ζ2
2
(Ω′
3 − ω3) cosα tgβ,
β̇ =
2ζ3ζ1
ζ2
3 + ζ2
1
(Ω′
2 − ω2) cosα+
2ζ1ζ2
ζ2
1 + ζ2
2
(Ω′
3 − ω3) sinα, (20)
γ̇ = − 2ζ3ζ1
ζ2
3 + ζ2
1
sinα
cos β
(Ω′
2 − ω2) +
2ζ1ζ2
ζ2
1 + ζ2
2
cosα
cos β
(Ω′
3 − ω3).
Óðàâíåíèÿ (5),(15),(16),(19),(20) ïîëíîñòüþ îïèñûâàþò äâèæåíèå ðàññìàòðèâàåìîé
ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
176
Î äâèæåíèè ýëëèïñîèäà ñ âÿçêî-óïðóãèì è æèäêèì çàïîëíåíèÿìè
Ðàññìîòðèì ñëó÷àé íóëåâûõ ìîìåíòîâ âíåøíèõ ñèë (12): L1 = L2 = L3 = 0. Óðàâíå-
íèÿ (15),(16),(19),(20) ðåøàþòñÿ íåçàâèñèìî îò óðàâíåíèé (5)è èìåþò ÷àñòíîå ðåøåíèå
Ω3 = Ω′
3 = ω3 = ω0, Ω1 = Ω2 = Ω′
1 = Ω′
2 = ω1 = ω2 = α = β = γ = 0, (21)
îïèñûâàþùåå ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ âñåé ñèñòåìû âîêðóã îñè Ox3 ñ óãëîâîé ñêîðî-
ñòüþ ω0. Èññëåäóåì â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå äâèæåíèå ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû â ìàëîé îêðåñòíîñòè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé, îïèñûâàåìûõ ñòàöèîíàðíûì ðå-
øåíèåì (21). Äëÿ ýòîãî Ω3, Ω′
3 è ω3 ïðåäñòàâèì â âèäå
Ω3 = ω0 + δ1, Ω′
3 = ω0 + δ2, ω3 = ω0 + δ3, (22)
ãäå δ1, δ2, δ3 � íîâûå ïåðåìåííûå. Ïîäñòàâèì âûðàæåíèÿ (22) â ñèñòåìó (15), (16), (19),
(20) è, ñ÷èòàÿ ïåðåìåííûå Ω1,Ω2, δ1,Ω
′
1,Ω
′
2, δ2, ω1, ω2, δ3, α, β, γ ìàëûìè, âûïîëíèì ïî
íèì ëèíåàðèçàöèþ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñèñòåìó ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâ-
íåíèé
ẏ = Dy, (23)
δ̇1 = −σ∗3(δ1 − δ3),
δ̇2 = −σo3(δ2 − δ3)−
GQv(ζ
2
2 − ζ2
1 )2
2kvζ3
2ζ
3
1
γ,
δ̇3 = σ̃∗3(δ1 − δ3) + σ̃o3(δ2 − δ3) +
2GQv(ζ
2
2 + ζ2
1 )
A∗
3
γ, (24)
γ̇ =
2ζ1ζ2
ζ2
1 + ζ2
2
(δ2 − δ3),
ãäå y = (Ω1,Ω2,Ω
′
1,Ω
′
2, ω1, ω2, α, β); D � êâàäðàòíàÿ ìàòðèöà ñ ïîñòîÿííûìè êîýôôè-
öèåíòàìè dij, êîòîðûå èìåþò âèä
d11 = −σ∗1 , d12 = ω0(1 + ε2) , d13 = d14 = 0, d15 = −d11 , d16 = −d12 ,
d17 = d18 = 0 ,
d21 = −ω0(1− ε1) , d22 = −σ∗2 , d23 = d24 = 0 , d25 = −d21 , d26 = −d22 ,
d27 = d28 = 0 ,
d31 = d32 = 0 , d33 = −σo1 , d34 = ω0(1 + ε2) , d35 = −d33 , d36 = −d34 ,
d37 = −GQv(ζ
2
3 − ζ2
2 )2
2kvζ3
3ζ
3
2
, d38 = 0,
d41 = d42 = 0 , d43 = −ω0(1− ε1) , d44 = −σo2 , d45 = −d43 , d46 = −d44 ,
d47 = 0 , d48 = −GQv(ζ
2
1 − ζ2
3 )2
2kvζ3
1ζ
3
3
,
d51 = σ̃∗1 , d52 = ω0kc(b1 − q1) , d53 = σ̃o1 , d54 = ω0kv(b1 − q1) ,
d55 = −(σ̃∗1 + σ̃o1) , d56 = ω0[a1 + p1(kc + kv)] , d57 =
2GQvζ1ε
2
1(ζ
2
3 + ζ2
2 )
A∗
1
, d58 = 0 ,
d61 = ω0[a2 − q2(kc + kv)] , d62 = σ̃∗2 , d63 = ω0kv(b2 + p2) , d64 = σ̃o2 ,
177
Ñ.Í. Ñóäàêîâ
d65 = ω0[a2 − q2(kc + kv)] , d66 = −(σ̃∗2 + σ̃o2) , d67 = 0 , d68 =
2GQvζ2ε
2
2(ζ
2
1 + ζ2
3 )
A∗
2
,
d71 = d72 = 0 , d73 =
2ζ2ζ3
ζ2
2 + ζ2
3
, d74 = 0 , d75 = −d73 , d76 = d77 = d78 = 0 ,
d81 = d82 = d83 = 0 , d84 =
2ζ3ζ1
ζ2
3 + ζ2
1
, d85 = 0 , d86 = −d84, d87 = d88 = 0.
Ñèñòåìû ëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (23) è (24) ðåøàþòñÿ íåçàâèñèìî
äðóã îò äðóãà. Ââåäåì áåçðàçìåðíîå âðåìÿ τ = t/T è çàïèøåì ñèñòåìó (23) â âèäå
dy′
dτ
= D′y′, (25)
ãäå y′ = (y′1, y
′
2, ..., y
′
8); y′i = ΩiT, y′2+i = Ω′
iT, y′4+i = ωiT , i = 1, 2, y′7 = α, y′8 = β.
Ýëåìåíòû ìàòðèöû D′ ïîëó÷àþòñÿ èç ýëåìåíòîâ ìàòðèöû D ïî ôîðìóëàì
d′ij = dijT, i, j = 1, 6; d′ij = dijT
2, i = 1, 6, j = 7, 8; d′ij = dij, i = 7, 8, j = 1, 8.
Îáùåå ðåøåíèå ñèñòåìû (25) èìååò âèä
y′ =
8∑
j=1
hjlje
λjτ , (26)
ãäå λj � ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû D′; lj � ñîáñòâåííûå âåêòîðû ìàòðèöû D′,
ñîîòâåòñòâóþùèå ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì λj; hj � ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå.
Èñïîëüçóÿ ÷èñëåííûå ìåòîäû, âû÷èñëèì ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ λj, j = 1, 8 äëÿ
T = 24 · 602 ñ , ω0 = 2π/T, ρ = 5518 êã/ì3, η = 0, 5 , E = 2, 498 · 1011 í/ì2,
Co
1 = Co
2 = 6378160ì, Co
3 = 6356777ì, δC = 500ì, rc = 3500000ì, (27)
C1 = Co
1 + δC; C2 = Co
2 − δC, C3 =
Co
1C
o
2C
o
3
C1C2
,
µ∗ = 1011 ì5/(êã · ñ), µ0 = 1011 ì5/(êã · ñ), Aoi = 0, i = 1, 2, 3.
Âûáðàííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (27) ñîîòâåòñòâóþò óãëîâîé ñêîðîñòè, ðàçìåðàì è ìàñ-
ñîâûì õàðàêòåðèñòèêàì ïëàíåòû Çåìëÿ. Âåëè÷èíà âÿçêîñòè µ∗ èìååò ïîðÿäîê, óêàçàí-
íûé â ðàáîòå [1].
Äëÿ óêàçàííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ ñ ïîìîùüþ ïàêåòà MATLAB áûëè íàéäåíû
ñëåäóþùèå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû D′:
λ1,2 = −0, 078508011432± 190, 285662501380 i,
λ3,4 = −0, 075968052681± 183, 817412981613 i, (28)
λ5,6 = −0, 000005884611± 6, 305019999887 i,
λ7,8 = −0, 000000000715± 0, 014711935041 i.
178
Î äâèæåíèè ýëëèïñîèäà ñ âÿçêî-óïðóãèì è æèäêèì çàïîëíåíèÿìè
Èç ðàâåíñòâ (28) ñëåäóåò, ÷òî ïåðâûå äâå ïàðû ñëàãàåìûõ â ðåøåíèè (26) îïèñûâàþò
áûñòðî çàòóõàþùèå âûñîêî÷àñòîòíûå êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäàìè
T1 = 2π/Imλ1 = 0, 0330 ñóòîê, T2 = 2π/Imλ3 = 0, 03418 ñóòîê.
Ïÿòîå è øåñòîå ñëàãàåìûå â ðåøåíèè (26) îïèñûâàþò êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì
T3 = 2π/Imλ5 = 0, 9965 ñóòîê,
êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ îêîëîñóòî÷íûìè êîëåáàíèÿìè.  òåîðèè äâèæåíèÿ ïîëþñîâ Çåìëè
îêîëîñóòî÷íûå êîëåáàíèÿ, îáóñëîâëåííûå íàëè÷èåì æèäêîãî ÿäðà, âïåðâûå áûëè ïðåä-
ñêàçàíû â ðàáîòå Ô.À.Ñëóäñêîãî [10, ñ. 302].
Äâà ïîñëåäíèõ ñëàãàåìûõ â ðåøåíèè (26) îïèñûâàþò êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì
T4 = 2π/Imλ7 = 427, 3877 ñóòîê,
êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ ïåðèîäîì ×åíäëåðà.
Òàêèì îáðàçîì, äîáàâëåíèå â ìîäåëü [6] ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòè ñ íåñæèìàåìîé íüþ-
òîíîâñêîé æèäêîñòüþ ïðèâåëî ê âîçíèêíîâåíèþ äîïîëíèòåëüíîãî êîëåáàíèÿ â äâèæå-
íèè ñèñòåìû, à èìåííî � îêîëîñóòî÷íîãî êîëåáàíèÿ. Îñòàëüíûå êîëåáàíèÿ (äâà âûñî-
êî÷àñòîòíûõ è îäíî ñ ïåðèîäîì ×åíäëåðà) èìåþò òàêîé æå õàðàêòåð, êàê è êîëåáàíèÿ
ó ìîäåëè èç ðàáîòû [6].
Ïîëó÷åííàÿ óòî÷íåííàÿ ìîäåëü ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíà ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ
âîïðîñîâ, ñâÿçàííûõ ñ âðàùåíèåì Çåìëè è ïëàíåò.
1. Áðàæêèí Â.Â. Óíèâåðñàëüíûé ðîñò âÿçêîñòè ìåòàëëè÷åñêèõ ðàñïëàâîâ â ìåãàáàðíîì äèàïàçîíå
äàâëåíèé:ñòåêëîîáðàçíîå ñîñòîÿíèå âíóòðåííåãî ÿäðà Çåìëè // Óñïåõè ôèç. íàóê. � 2000.� 170,
� 5. � Ñ. 535�551.
2. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Äâèæåíèå òåëà ñ æèäêîñòüþ ïåðåìåííîé âÿçêîñòè â ïîëå íåïîâèæíîãî ïðèòÿãèâàþ-
ùåãî öåíòðà // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2001. � Âûï. 31. � Ñ. 111�118.
3. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Îá óðàâíåíèÿõ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ ýëëèïñîèäàëüíîé ïîëîñòüþ, öåëèêîì çàïîë-
íåííîé æèäêîñòüþ ïåðåìåííîé âÿçêîñòè // Òð. ÈÏÌÌ ÍÀÍ Óêðàèíû. � 2000. � 5.- - Ñ. 141�144.
4. Klein F., Sommerfeld A. Über die Theorie des Kreisels. � New York: Johnson Reprint Corporation, 1965.
� 966 ñ.
5. Æóêîâñêèé Í.Å. Ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ òåîðèè äâèæåíèÿ ïîëþñîâ âðàùåíèÿ Çåìëè ïî åå
ïîâåðõíîñòè // Ñîáð. ñî÷.� Ì. � Ë.: Ãîñòåõèçäàò, 1948. � Ò.1. � Ñ. 419�440.
6. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Ìîäåëüíàÿ çàäà÷à î äâèæåíèè âîêðóã öåíòðà ìàññ àáñîëþòíî òâåðäîé ýëëèïñîèäàëü-
íîé îáîëî÷êè ñ âÿçêî-óïðóãèì çàïîëíåíèåì // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33.� Ñ.
119�126.
7. Ôðåéäåíòàëü À., Ãåéðèíãåð Õ.Ìàòåìàòè÷åñêèå òåîðèè íåóïðóãîé ñïëîøíîé ñðåäû.�Ì.: Ôèçìàòãèç,
1962.� 432 ñ.
8. Ñóäàêîâ Ñ.Í. Êàíîíè÷åñêèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà ñ âèõðåâûì çàïîëíåíèåì // Ìåõà-
íèêà òâåðäîãî òåëà. � 1979. � Âûï. 11.� Ñ. 67 � 71.
9. Íîâîæèëîâ Â.Â. Òåîðèÿ óïðóãîñòè.� Ì.: Ñóäïðîìãèç, 1958.� 372ñ.
10. Êóëèêîâ Ê.À. Èçìåíÿåìîñòü øèðîò è äîëãîò.� Ì.: Ôèçìàòãèç, 1962.� 400 ñ.
Èí-ò ïðèêëàäíîé ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
techmech@iamm.ac.donetsk.ua
Ïîëó÷åíî 01.11.03
179
|