Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами
Исследуется динамика манипулятора с произвольным числом гибких звеньев на основе модели балки Эйлера-Бернулли. Первое звено системы совершает вращения вокруг неподвижной точки под действием управляющего момента. Соседние звенья связаны шарнирами, которые реализуют упругие восстанавливающие моменты,...
Gespeichert in:
| Datum: | 2004 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2004
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123754 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 180-188. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123754 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237542017-09-10T03:04:27Z Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами Зуев, А.Л. Исследуется динамика манипулятора с произвольным числом гибких звеньев на основе модели балки Эйлера-Бернулли. Первое звено системы совершает вращения вокруг неподвижной точки под действием управляющего момента. Соседние звенья связаны шарнирами, которые реализуют упругие восстанавливающие моменты, направленные на совмещение центральных линий звеньев. К последнему звену системы приложена нагрузка. Получена математическая модель такого манипулятора в виде граничной задачи с частными производными и проведено исследование ее собственных функций. Для рассмотренной граничной задачи построена приближенная система по Галеркину. Предложено управление с обратной связью, решающее задачу стабилизации положения равновесия приближенной системы. Исследована наблюдаемость в линейной постановке и проведено численное моделирование управляемого движения нелинейной конечномерной системы. 2004 Article Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 180-188. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123754 531.38, 531.08, 517.977.1 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Исследуется динамика манипулятора с произвольным числом гибких звеньев на основе модели балки Эйлера-Бернулли. Первое звено системы совершает вращения вокруг неподвижной точки под действием управляющего момента. Соседние звенья связаны шарнирами, которые реализуют упругие восстанавливающие моменты, направленные на совмещение центральных линий звеньев. К последнему звену системы приложена нагрузка. Получена математическая модель такого манипулятора в виде граничной задачи с частными производными и проведено исследование ее собственных функций. Для рассмотренной граничной задачи построена приближенная система по Галеркину. Предложено управление с обратной связью, решающее задачу стабилизации положения равновесия приближенной системы. Исследована наблюдаемость в линейной постановке и проведено численное моделирование управляемого движения нелинейной конечномерной системы. |
| format |
Article |
| author |
Зуев, А.Л. |
| spellingShingle |
Зуев, А.Л. Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами Механика твердого тела |
| author_facet |
Зуев, А.Л. |
| author_sort |
Зуев, А.Л. |
| title |
Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами |
| title_short |
Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами |
| title_full |
Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами |
| title_fullStr |
Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами |
| title_full_unstemmed |
Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами |
| title_sort |
стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2004 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123754 |
| citation_txt |
Стабилизация модели гибкого многозвенника с пассивными шарнирами / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2004. — Вип. 34. — С. 180-188. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT zueval stabilizaciâmodeligibkogomnogozvennikaspassivnymišarnirami |
| first_indexed |
2025-07-09T00:12:29Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:12:29Z |
| _version_ |
1837126079951667200 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2004. Âûï. 34
ÓÄÊ 531.38, 531.08, 517.977.1
c©2004. À.Ë. Çóåâ
ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈß ÃÈÁÊÎÃÎ ÌÍÎÃÎÇÂÅÍÍÈÊÀ
Ñ ÏÀÑÑÈÂÍÛÌÈ ØÀÐÍÈÐÀÌÈ
Èññëåäóåòñÿ äèíàìèêà ìàíèïóëÿòîðà ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ãèáêèõ çâåíüåâ íà îñíîâå ìîäåëè áàëêè
Ýéëåðà-Áåðíóëëè. Ïåðâîå çâåíî ñèñòåìû ñîâåðøàåò âðàùåíèÿ âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè ïîä äåé-
ñòâèåì óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà. Ñîñåäíèå çâåíüÿ ñâÿçàíû øàðíèðàìè, êîòîðûå ðåàëèçóþò óïðóãèå
âîññòàíàâëèâàþùèå ìîìåíòû, íàïðàâëåííûå íà ñîâìåùåíèå öåíòðàëüíûõ ëèíèé çâåíüåâ. Ê ïîñëåä-
íåìó çâåíó ñèñòåìû ïðèëîæåíà íàãðóçêà. Ïîëó÷åíà ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü òàêîãî ìàíèïóëÿòîðà â
âèäå ãðàíè÷íîé çàäà÷è ñ ÷àñòíûìè ïðîèçâîäíûìè è ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå åå ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé.
Äëÿ ðàññìîòðåííîé ãðàíè÷íîé çàäà÷è ïîñòðîåíà ïðèáëèæåííàÿ ñèñòåìà ïî Ãàëåðêèíó. Ïðåäëîæåíî
óïðàâëåíèå ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ, ðåøàþùåå çàäà÷ó ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðèáëèæåííîé
ñèñòåìû. Èññëåäîâàíà íàáëþäàåìîñòü â ëèíåéíîé ïîñòàíîâêå è ïðîâåäåíî ÷èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå
óïðàâëÿåìîãî äâèæåíèÿ íåëèíåéíîé êîíå÷íîìåðíîé ñèñòåìû.
1. Ââåäåíèå. Çàäà÷è ìîäåëèðîâàíèÿ è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ ãèáêèõ ìàíèïóëÿ-
òîðîâ ðàññìàòðèâàëèñü àâòîðàìè ðàáîò [1]-[6] â ðàìêàõ òåîðèè ñèñòåì ñ ðàñïðåäåëåííûìè
ïàðàìåòðàìè. Îäíàêî äëÿ çàäà÷ ïëàíèðîâàíèÿ äâèæåíèÿ ÷àùå èñïîëüçóþòñÿ àëãîðèò-
ìû óïðàâëåíèÿ íà îñíîâå ïðèáëèæåííûõ ìîäåëåé ñ êîíå÷íûì ÷èñëîì ñòåïåíåé ñâî-
áîäû [8, 9], ïîñêîëüêó îíè äîïóñêàþò áîëåå ïðîñòóþ òåõíè÷åñêóþ ðåàëèçàöèþ. Îäèí
èç òàêèõ ïîäõîäîâ áûë èñïîëüçîâàí â ñòàòüå [10] äëÿ ñòàáèëèçàöèè ïðîãðàììíîé òðà-
åêòîðèè ïîâîðîòíîé ïîæàðíîé ëåñòíèöû IVECO Magirus íà îñíîâå ìîäåëè ñèñòåìû
ñâÿçàííûõ òâåðäûõ òåë. Ýòà ìîäåëü îáåñïå÷èâàåò ïðèåìëåìîå ãàøåíèå íèçêî÷àñòîòíûõ
êîëåáàíèé, íî â òî æå âðåìÿ èìåþòñÿ íåæåëàòåëüíûå ïåðèîäè÷åñêèå ñìåùåíèÿ êîíöå-
âîé ÷àñòè ëåñòíèöû (ãðóçà) íà áîëåå âûñîêèõ ÷àñòîòàõ. Äëÿ ãàøåíèÿ òàêèõ âûñîêî÷à-
ñòîòíûõ êîëåáàíèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàíèå áîëåå òî÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ìîäåëåé,
êîòîðûå ó÷èòûâàëè áû ìîäû áîëåå âûñîêîãî ïîðÿäêà.
Öåëüþ äàííîé ñòàòüè ÿâëÿåòñÿ ñèíòåç
Ðèñ. 1. Ìíîãîçâåííûé ãèáêèé ìàíèïóëÿòîð.
ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ äëÿ óòî÷-
íåííîé ìîäåëè ãèáêîãî ìàíèïóëÿòîðà, ïðî-
îáðàçîì êîòîðîãî ñëóæèò ïîâîðîòíàÿ ëåñò-
íèöà.
Äëÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ïîëó÷åííûõ
ñ ïîìîøüþ ïðèíöèïà Ãàìèëüòîíà - Îñòðî-
ãðàäñêîãî, áóäåò ïîñòðîåíà ïðèáëèæåííàÿ
ñèñòåìà ïî Ãàëåðêèíó, êîòîðàÿ ïîçâîëèò
ó÷èòûâàòü ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî ìîä óïðó-
ãèõ êîëåáàíèé â çàêîíå óïðàâëåíèÿ.
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Íà ðèñ. 1
èçîáðàæåí ãèáêèé ìàíèïóëÿòîð, ñîâåðøà-
þùèé äâèæåíèå â ïëîñêîñòè ïîä äåéñòâèåì
óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà M . Ðàññìàòðèâà-
åìàÿ ñèñòåìà ñîñòîèò èç n ãèáêèõ çâåíüåâ,
ñîåäèíåííûõ ìåæäó ñîáîé óïðóãèìè øàðíèðàìè â òî÷êàõ O1, ..., On−1.  ðåàëüíîé êîí-
This work is supported by the Alexander von Humboldt Foundation.
180
Ñòàáèëèçàöèÿ ãèáêîãî ìíîãîçâåííèêà
ñòðóêöèè çâåíüÿ ìîãóò òåëåñêîïè÷åñêè ðàçäâèãàòüñÿ. Îäíàêî ïðè áûñòðûõ ìàíåâðàõ
òåëåñêîïè÷åñêèé ñäâèã íå èñïîëüçóåòñÿ, à íåæåñòêóþ çàäåëêó ñîñåäíèõ çâåíüåâ ìîæ-
íî ïðèáëèæåííî ìîäåëèðîâàòü óïðóãèìè öèëèíäðè÷åñêèìè øàðíèðàìè ïðè ïëîñêîì
äâèæåíèè. Âðàùåíèå ñèñòåìû ïðîèñõîäèò âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè O, ê ïîäâèæíî-
ìó êîíöó ìàíèïóëÿòîðà ïðèêðåïëåíà íàãðóçêà ìàññû m. Ñäåëàåì ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî
äëèíà ìàíèïóëÿòîðà l çíà÷èòåëüíî ïðåâîñõîäèò äèàìåòð ñå÷åíèÿ êàæäîãî çâåíà, òàê
÷òî ïðèìåíèìà ìîäåëü áàëêè Ýéëåðà-Áåðíóëëè.
Áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç ϕ(t) óãîë ïîâîðîòà ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxy
îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé Oξη. Îáîçíà÷èì äàëåå ÷åðåç u(x, t) îòêëîíåíèå öåíòðàëüíîé
ëèíèè áàëêè îò îñè Ox â òî÷êå x ∈ [0, l].
Äëÿ çàäàííîãî ðàçáèåíèÿ 0 = l0 < l1 < ... < ln = l îòðåçêà [0, l] ñìåùåíèå u(·, t)
ïðèíàäëåæèò êëàññó C0[0, l] ∩ C4 ((0, l) \ {l1, ..., ln−1}) äëÿ âñåõ t ≥ 0. Ôóíêöèÿ u(x, t)
óäîâëåòâîðÿåò ãåîìåòðè÷åñêèì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì â òî÷êå O: u|x=0 =
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0.
Ïðåíåáðåãàÿ ýôôåêòàìè ñäâèãîâîé äåôîðìàöèè è âðàùàòåëüíîé äèíàìèêîé ñå÷å-
íèé çâåíüåâ, çàïèøåì êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû:
2T =
∫ l
0
(
(uϕ̇)2 +
(
xϕ̇ +
∂u
∂t
)2
)
ρ(x) dx+
+
{
m
(
(uϕ̇)2 +
(
lϕ̇ +
∂u
∂t
)2
)
+ J
(
ϕ̇ +
(
∂2u
∂t∂x
))2
}
x=l
,
ãäå ρ(x) � ìàññà íà åäèíè÷íóþ äëèíó çâåíà â òî÷êå ñ àáñöèññîé x, J � ìîìåíò èíåðöèè
íàãðóçêè îòíîñèòåëüíî åå òî÷êè çàêðåïëåíèÿ.
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U ðàññìàòðèâàåìîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû èìååò âèä
2U =
∫ l
0
(
∂2u
∂x2
)2
c2(x)ρ(x) dx +
n−1∑
j=1
κ2
j
(
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=lj+0
− ∂u
∂x
∣∣∣∣
x=lj−0
)2
,
ãäå c2(x) = E(x)I(x)/ρ(x), E(x) � ìîäóëü Þíãà, I(x) � ìîìåíò èíåðöèè ñå÷åíèÿ çâåíà,
κ2
j � êîýôôèöèåíò æåñòêîñòè òîðñèîííîé ïðóæèíû â òî÷êå Oj.  äàëüíåéøåì áóäåì
ïðåäïîëàãàòü ρ(x) è c(x) êóñî÷íî-ïîñòîÿííûìè ôóíêöèÿìè, òî åñòü ρ(x) = ρj, c(x) = cj
ïðè x ∈ [lj−1, lj), j = 1, 2, ..., n.
Ïóñòü ϕ(t), u(x, t) îïðåäåëÿþò äâèæåíèå ñèñòåìû íà çàäàííîì îòðåçêå âðåìåíè
t ∈ [t1, t2] ïîä äåéñòâèåì óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà M(t). Èñïîëüçóÿ ïðèíöèï Ãàìèëüòîíà-
Îñòðîãðàäñêîãî, ïîëó÷àåì
δ
(∫ t2
t1
Ldt
)
+
∫ t2
t1
M(t)δϕ(t)dt = 0 (1)
äëÿ âñåõ âàðèàöèé δϕ(t), δu(x, t), óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì
δϕ ∈ C2[t1, t2], δϕ(t1) = δϕ(t2) = 0,
δu ∈ C2 (((0, l) \ {l1, ..., ln−1})× [t1, t2]) , δu(x, t1) = δu(x, t2) = 0, ∀x ∈ [0, l],
181
À.Ë. Çóåâ
δu|x=0 =
∂δu
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0, δu(·, t) ∈ C0[0, l], ∀t ∈ [t1, t2], (2)
ãäå L = T − U � ëàãðàíæèàí ñèñòåìû.
Âàðèàöèÿ èíòåãðàëà
∫ t2
t1
Ldt â (1) âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíòåãðèðîâàíèÿ ïî ÷à-
ñòÿì:
−δ
(∫ t2
t1
Ldt
)
−
∫ t2
t1
Mδϕ dt =
∫ t2
t1
[
d
dt
(
m(u2 + l2)ϕ̇ + ml
∂u
∂t
+ Jϕ̇ + J
∂2u
∂t∂x
)
x=l
+
+
d
dt
∫ l
0
(
(u2 + x2)ϕ̇ + x
∂u
∂t
)
ρ dx−M
]
δϕ dt +
∫ t2
t1
µ
(
∂2u
∂t2
, u, δu, ϕ̈, ϕ̇
)
dt = 0, (3)
ãäå
µ =
∫ l
0
(
∂2u
∂t2
+ c2∂4u
∂x4
+ xϕ̈− ϕ̇2u
)
δuρ dx + m
[(
∂2u
∂t2
− c2ρ
m
∂3u
∂x3
+ lϕ̈− ϕ̇2u
)
δu
]
x=l
+
+J
[(
∂3u
∂t2∂x
+
c2ρ
J
∂2u
∂x2
+ ϕ̈
)
∂δu
∂x
]
x=l
+
n−1∑
j=1
{[(
c2ρ
∂3u
∂x3
)
x=lj+0
−
(
c2ρ
∂3u
∂x3
)
x=lj−0
]
δu|x=lj
+
+
[(
c2ρ
κ2
j
∂2u
∂x2
+
∂u
∂x
)
x=lj−0
− ∂u
∂x
∣∣∣∣
x=lj+0
]
κ2
j
∂δu
∂x
∣∣∣∣
x=lj−0
+
+
[(
∂u
∂x
− c2ρ
κ2
j
∂2u
∂x2
)
x=lj+0
− ∂u
∂x
∣∣∣∣
x=lj−0
]
κ2
j
∂δu
∂x
∣∣∣∣
x=lj+0
}
.
Äëÿ óïðîùåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ (3), ââåäåì íîâîå óïðàâëåíèå v ïîñðåäñòâîì
ïðåîáðàçîâàíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ:
v =
(
m (u|x=l)
2 +
∫ l
0
(2x2 + u2)ρ dx
)−1
×
×
(
M +
(
c2ρ
∂2u
∂x2
)
x=0
−mϕ̇
(
2u
∂u
∂t
+ lϕ̇u
)
x=l
+ ϕ̇
∫ l
0
(
ϕ̇x− 2
∂u
∂t
)
uρ dx
)
. (4)
Ïîñêîëüêó âàðèàöèîííàÿ ôîðìà (3) äîëæíà îáíóëÿòüñÿ ïðè âñåõ (δϕ, δu), óäîâëåòâîðÿ-
þùèõ (2), òî ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó:
ϕ̈ = v, v ∈ R,
∂2u
∂t2
+ c2∂4u
∂x4
= ϕ̇2u− xv, x ∈ (0, l) \ {l1, ..., ln−1}, (5)
(
∂2u
∂t2
− ϕ̇2u + lv − cn
2ρn
m
∂3u
∂x3
)∣∣∣∣
x=l
= 0,
(
∂3u
∂t2∂x
+ v +
cn
2ρn
J
∂2u
∂x2
)∣∣∣∣
x=l
= 0,
u|x=0 =
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=0
= 0, u|x=lj−0 = u|x=lj+0 , j = 1, n− 1,
c2
jρj
∂ku
∂xk
∣∣∣∣
x=lj−0
= c2
j+1ρj+1
∂ku
∂xk
∣∣∣∣
x=lj+0
,
∂u
∂x
∣∣∣∣
x=lj+0
=
(
∂u
∂x
+
c2
jρj
κ2
j
∂2u
∂x2
)∣∣∣∣
x=lj−0
, k = 2, 3.
182
Ñòàáèëèçàöèÿ ãèáêîãî ìíîãîçâåííèêà
Äëÿ ñëó÷àÿ ìîäåëè ìàíèïóëÿòîðà áåç íàãðóçêè, àíàëîãè÷íàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé äèíà-
ìèêè ïîñëåäîâàòåëüíî ñâÿçàííûõ áàëîê ðàññìàòðèâàëàñü â ðàáîòå [2].
Íàøåé öåëüþ ÿâëÿåòñÿ ïîñòðîåíèå óïðàâëåíèÿ ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ v = γ
(
ϕ, ϕ̇, u,
∂u
∂t
)
,
êîòîðîå îáåñïå÷èâàëî áû àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ϕ = 0,
ϕ̇ = 0, u =
∂u
∂t
= 0. Ýòà çàäà÷à áóäåò ðåøåíà äëÿ êîíå÷íîìåðíîé àïïðîêñèìàöèè ãðà-
íè÷íîé çàäà÷è (5).
3. Ñîáñòâåííûå ôóíêöèè îäíîðîäíîé çàäà÷è. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïðèáëèæåííûõ
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ, ïðîâåäåì ðàçëåäåíèå ïåðåìåííûõ, òî åñòü ïîäñòàâèì ôóíêöèè
u(x, t) = ψ(x)q(t), ϕ(t) = const, v(t) = 0 (6)
â ãðàíè÷íóþ çàäà÷ó (5).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì
q(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt),
ψ(x) = Cj1 sin(ηjx) + Cj2 cos(ηjx) + Cj3 sinh(ηjx) + Cj4 cosh(ηjx), x ∈ [lj−1, lj),
η2
j cj = ω, j = 1, n, (7)
ãäå êîíñòàíòû Cji ñóòü ðåøåíèÿ ñëåäóþùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ îäíîðîäíûõ óðâàíåíèé:
M(ω, P ) (C11, ..., C14, ...., Cn1, ..., Cn4)
T = 0. (8)
Çäåñü M(ω, P ) � ìàòðèöà ðàçìåðà 4n×4n ñ êîýôôèöèåíòàìè, çàâèñÿùèìè îò ïàðàìåòðîâ
ω è P = (m, J, n, lj, ρj, cj,κj).
Äëÿ ôèêñèðîâàííîãî P ñèñòåìà (8) äîïóñêàåò íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå òîëüêî â òîì
ñëó÷àå, åñëè ω óäîâëåòâîðÿåò õàðàêòåðèñòè÷åñêîìó óðàâíåíèþ det M(ω, P ) = 0. Âûðà-
æåíèå äëÿ det M(ω, P ) ïîëó÷åíî ñ ïîìîùüþ ïðîãðàììû Maple. Äåòàëè ïðîöåäóðû âû-
÷èñëåíèé íå ïðèâîäÿòñÿ â ñèëó ãðîìîçäêîñòè. Áóäåì íàçûâàòü ôóíêöèþ ψ(x) ôîðìîé,
ñîîòâåòñòâóþùåé ω, åñëè åå êîýôôèöèåíòû (Cji) 6= 0 óäîâëåòâîðÿþò (8).
Ëåììà 1. Ïóñòü ψ1 è ψ2 � ôîðìû, ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿì ω1 6= ω2. Òîãäà ψ1
è ψ2 îðòîãîíàëüíû ïî îòíîøåíèþ ê ñëåäóþùåé áèëèíåéíîé ôîðìå
〈ψ1, ψ2〉X =
∫ l
0
ψ1ψ2ρ dx + mψ1(l)ψ2(l) + Jψ′1(l)ψ
′
2(l).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ñïðàâåäëèâîñòü ëåììû ïðîâåðÿåòñÿ èíòåãðèðîâàíèåì ïî ÷àñòÿì
âûðàæåíèÿ
∫ l
0
ψ1ψ2ρ dx ñ ó÷åòîì ãðàíè÷íûõ óñëîâèé â òî÷êàõ x = lj. ¤
×òîáû ïðîèëëþñòðèðîâàòü ÷àñòíûå ðåøåíèÿ âèäà (6) ãðàíè÷íîé çàäà÷è (5), íàé-
äåì íåñêîëüêî ðåøåíèé ωk õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ïðè ñëåäóþùåì çíà÷åíèè
âåêòîðà ïàðàìåòðîâ P :
n = 2, l1 =
l2
2
= c1 = c2 = ρ1 = ρ2 =
κ2
1
2
= m = J = 1. (9)
Èìååì: ω1 = 0.3875771806; ω2 = 1.455554174; ω3 = 5.629214811; ω4 = 16.22789077.
Ñîîòâåòñòâóþùèå ôîðìû ψ ïîêàçàíû íà ðèñ. 2. Ôîðìû íîðìàëèçîâàíû òàê, ÷òîáû
〈ψi, ψk〉X = δik ïðè âñåõ 1 ≤ i ≤ j ≤ 4.
Çàìå÷àíèå. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðîèçâîäíûå ψ′k(x) òåïðÿò ðàçðûâ â òî÷êå x = l1.
Òàêèì îáðàçîì, ôîðìû ψk(·) íå ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàìè ïðîñòðàíñòâà Ñîáîëåâà H2(0, l),
â îòëè÷èå îò ñëó÷àÿ îäèíî÷íîé áàëêè Ýéëåðà-Áåðíóëëè ñ íåïðåðûâíîé ïëîòíîñòüþ.
183
À.Ë. Çóåâ
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.5 1 1.5 2
ψ1(x)
x
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.5 1 1.5 2
ψ2(x)
x
–0.5
0
0.5
1
1.5
0.5 1 1.5 2
ψ3(x)
x
–1
–0.5
0
0.5
1
1.5
0.5 1 1.5 2
ψ4(x)
x
Ðèñ. 2. Ôîðìû ψk(x) ïðè k ≤ 4.
4. Ïðèáëèæåííàÿ ìîäåëü. Ïóñòü (ψ1(·), ..., ψN(·)) � ôîðìû, ñîîòâåòñòâóþùèå
÷àñòîòàì ω1 < ω2 < ... < ωN . Äëÿ âûâîäà ïðèáëèæåíèÿ ïî Ãàëåðêèíó ãðàíè÷íîé çàäà-
÷è (5), çàìåíèì ôóíêöèè u(·, t) è δu(·, t) ýëåìåíòàìè êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà
SN = span{ψ1(·), ..., ψN(·)}.
â âàðèàöèîííîé ôîðìå (3). Ñëåäóÿ ñõåìå Ãàëåðêèíà (ñì. íàïð. [11]), íóæíî îïðåäåëèòü
ϕ(t) è uN(·, t) ∈ SN , êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò (3) ïðè âñåõ δϕ(t) è δuN(·, t) ∈ SN . Ïóñòü
(q1(t), ..., qN(t)) � êîîðäèíàòû uN(·, t) â áàçèñå (ψ1(·), ..., ψN(·)):
uN(x, t) =
N∑
k=1
ψk(x)qk(t). (10)
Çàìåòèì, ÷òî ôóíêöèè (ψ1(·), ..., ψN(·)) îáðàçóþò áàçèñ â SN âñëåäñòâèå Ëåììû 1 è
ïðåäïîëîæåíèÿ ωi 6= ωk ïðè i 6= k. Ïîäñòàâëÿÿ uN â (3) è èñïîëüçóÿ Ëåììó 1, ïîëó÷èì
ñëåäóþùóþ ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé:
ϕ̈ = v, v ∈ R,
q̈k = −ωk
2qk +
(
qk −
N∑
p=1
akpqp
)
ϕ̇2 − bkv, (11)
k = 1, 2, ..., N,
ãäå (ϕ, ϕ̇, q1, q̇1, ..., qN , q̇N) � ôàçîâûé âåêòîð, v � óïðàâëåíèå,
akp =
Jψ′k(l)ψ
′
p(l)
‖ψk‖2
X
, bk =
〈x, ψk〉X
‖ψk‖2
X
, ‖ψk‖2
X = 〈ψk, ψk〉X .
184
Ñòàáèëèçàöèÿ ãèáêîãî ìíîãîçâåííèêà
Åñëè äëÿ ñèñòåìû ïðèáëèæåíèÿ ïî Ãàëåðêèíó (11) ïîñòðîåí çàêîí óïðàâëåíèÿ v(t),
òî èñõîäíûé óïðàâëÿþùèé ìîìåíò M(t) ìîæåò áûòü ïðèáëèæåííî âû÷èñëåí ñ ïîìîùüþ
ïîäñòàíîâêè u = uN(x, t) â ïðåîáðàçîâàíèå (4). Âîïðîñ î òî÷íîñòè è ñõîäèìîñòè ðåøåíèé
ïðèáëèæåííîé ñèñòåìû (11) íå èññëåäóåòñÿ â äàííîé ñòàòüå.
5. Ñòàáèëèçàöèÿ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì ðàáîòû ÿâ-
ëÿåòñÿ
Òåîðåìà 1.Ïóñòü (ψ1, ..., ψN) � ôîðìû, ñîîòâåòñòâóþùèå ÷àñòîòàì ω1 < ω2 < ... < ωN ,
è ïóñòü, êðîìå òîãî, ω1 > 0. Òîãäà ñóùåñòâóåò ãëàäêîå óïðàâëåíèå ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ
âèäà v = γ(ϕ, ϕ̇, q1, q̇1, ..., qN , q̇N), êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò ãëîáàëüíóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ
óñòîé÷èâîñòü ïîëîæåíàÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (11).
Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ òèïà Ëÿïóíîâà äëÿ (11):
2VN(ϕ, ϕ̇, ..., qN , q̇N) = k1ϕ
2 + k2ϕ̇
2 +
N∑
j=1
ω2
j‖ψj‖2
Xq2
j +
N∑
j=1
‖ψj‖2
X q̇2
j + 2ϕ̇
N∑
j=1
〈x, ψj〉X q̇j+
+
‖x‖2
X +
N∑
j=1
‖ψj‖2
Xq2
j − J
(
N∑
j=1
ψ′j(l)qj
)2
ϕ̇2, (k1 > 0, k2 > 0).
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè VN , çàïèøåì åå êâàäðàòè÷íóþ ÷àñòü
QN ñëåäóþùèì îáðàçîì:
2QN = k1ϕ
2 + k2ϕ̇
2 + ‖∂uN
∂t
+ ϕ̇x‖2
X +
N∑
j=1
ω2
j‖ψj‖2
Xq2
j ,
ãäå uN çàäàåòñÿ âûðàæåíèåì (10). Èìååì
VN = QN +
ϕ̇2
2
[
∫ l
0
(
N∑
j=1
ψj(x)qj)
2ρdx + m(
N∑
j=1
ψj(l)qj)
2]. (12)
Ëåãêî âèäåòü, ÷òî QN ≥ 0, ïðè ýòîì QN îáðàùàåòñÿ â íóëü òîëüêî ïðè âûïîëíåíèè
óñëîâèé
ϕ = ϕ̇ = q1 = ... = qN = 0, ‖
N∑
j=1
ψj q̇j‖X = 0.
Èç ïðèâåäåííûõ óñëîâèé ñëåäóåò q̇1 = ... = q̇N = 0, èáî ôóíêöèè (ψ1, ..., ψN) ëèíåéíî-
íåçàâèñèìû íà [0, l]. Ñëåäîâàòåëüíî, êâàäðàòè÷íàÿ ôîðìà QN îïðåäåëåíà ïîëîæèòåëü-
íî. Îòñþäà ñ ó÷åòîì (12) ñëåäóåò ïîëîæèòåëüíàÿ îïðåäåëåííîñòü VN è êîìïàêòíîñòü
ìíîæåñòâ
Lc = {(ϕ, ϕ̇, q1, q̇1, ..., qN , q̇N) ∈ R2N+2 |VN ≤ c}
ïðè âñåõ êîíñòàíòàõ c > 0. Ïðîèçâîäíàÿ VN â ñèëó (11) èìååò âèä
V̇N = (αN + βNv)ϕ̇,
ãäå
αN = k1ϕ +
N∑
j=1
(
2‖ψj‖2
Xϕ̇q̇j + 〈x, ψj〉X (ϕ̇2 − ω2
j )
)
qj−
185
À.Ë. Çóåâ
−Jϕ̇
(
N∑
j=1
ψ′j(l)qj
)(
N∑
j=1
ψ′j(l)
(
2q̇j +
〈x, ψj〉X
‖ψj‖2
X
ϕ̇
))
,
βN = k2 + ‖x‖2
X − J
(
N∑
j=1
ψ′j(l)qj
)2
+
N∑
j=1
(
‖ψj‖2
Xq2
j −
〈x, ψj〉2X
‖ψj‖2
X
)
> 0.
Îïðåäåëèì óïðàâëåíèå ñ îáðàòíîé ñâÿçüþ v = γ(ϕ, ϕ̇, ..., qN , q̇N) ïîñðåäñòâîì âûðàæåíèÿ
γ(ϕ, ϕ̇, q1, q̇1, ..., qN , q̇N) = −αN + hϕ̇
βN
, (13)
ãäå h > 0 � êîíñòàíòà. Îòñþäà ñëåäóåò V̇N = −hϕ̇2 ≤ 0 â ñèëó çàìêíóòîé ñèñòåìû (11),
(13).
Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî âñÿêàÿ öåëàÿ ïîëóòðàåêòîðèÿ çàìêíóòîé ñèñòåìû íà ìíîæå-
ñòâå
Z0 = {(ϕ, ϕ̇, q1, q̇1, ..., qN , q̇N) ∈ R2N+2 | V̇N = 0}
óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì ñîîòíîøåíèÿì:
ϕ(t) = ϕ0 = const,
qk(t) = Ak cos(ωkt) + Bk sin(ωkt), k = 1, 2, ..., N,
k1ϕ0 =
N∑
j=1
〈x, ψj〉ω2
j qj(t), ∀ t ≥ 0.
Èç ïðèâåäåííûõ âûøå ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò ϕ0 = A1 = B1 = ... = BN = 0 â ñèëó
ëèíåéíîé íåçàâèñèìîñòè ôóíêöèé (cos(ω1t), ..., sin(ωN t)) íà R+, à òàêæå 〈x, ψj〉X ωj 6= 0
ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ. Ñëåäîâàòåëüíî, åäèíñòâåííîé ïîëóòðàåêòîðèåé çàì-
êíóòîé ñèñòåìû íà ìíîæåñòâå Z0 ÿâëÿåòñÿ íà÷àëî êîîðäèíàò. Ïîýòîìó çàìêíóòàÿ ñèñ-
òåìà (11), (13) ãëîáàëüíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà íà îñíîâàíèè òåîðåìû Áàðáàøèíà-
Êðàñîâñêîãî. ¤
6. Çàäà÷à íàáëþäàåìîñòè. Äëÿ ðåàëèçàöèè îáðàòíîé ñâÿçè (13) íà ïðàêòèêå,
íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó íàáëþäåíèÿ ïîëíîãî âåêòîðà ñîñòîÿíèÿ ñèñòåìû (11) ïî
íåïîëíîé èíôîðìàöèè èçìåðåíèé.
Çàäà÷à íàáëþäàåìîñòè äëÿ òâåðäîãî òåëà ñ äâóìÿ óïðóãèìè ñòåðæíÿìè, èìåþùè-
ìè ñâîáîäíûå êîíöû, èññëåäîâàíà â ðàáîòå [12]. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ñîñòîÿíèå êîíå÷-
íîìåðíîé ñèñòåìû íàáëþäàåìî ïî èçìåðåíèÿì óãëà îðèåíòàöèè òåëà è îòíîñèòåëüíûõ
ñìåùåíèé íåêîòîðûõ òî÷åê íà ñòåðæíÿõ. Îäíàêî äëÿ ãèáêèõ ìàíèïóëÿòîðîâ çíà÷åíèÿ
u(x, t) íàïðÿìóþ íåäîñòóïíû. Âìåñòî ýòîãî âîçìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîêàçàíèÿ äàò÷èêà,
ðàñïîëîæåííîãî â îïðåäåëåííîé òî÷êå x = ∆, 0 ≤ ∆ ≤ l1, êîòîðûé èçìåðÿåò çíà÷åíèÿ
∂2u
∂x2
∣∣∣∣
x=∆
. Òàêîé äàò÷èê èíæåíåðíî ðåàëèçóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïüåçîýëåêòðè÷åñêîé ïëåíêè,
ïðèñîåäèíåííîé ê áàëêå âáëèçè x = ∆. Ïðè ýòîì çàðÿä, âîçíèêàþùèé â ïüåçîýëåìåí-
òå âñëåäñòâèå äåôîðìàöèè áàëêè, ïðèáëèæåííî ïðîïîðöèîíàëåí ∂2u
∂x2
∣∣∣
x=∆
. Ïîýòîìó â
äàëüíåéøåì áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî èçìåðÿåòñÿ ñëåäóþùèé âûõîä ñèñòåìû (11):
y1(t) =
∂2uN(x, t)
∂x2
∣∣∣∣
x=∆
=
N∑
k=1
ψ′′k(∆)qk(t), y2(t) = ϕ(t). (14)
186
Ñòàáèëèçàöèÿ ãèáêîãî ìíîãîçâåííèêà
Äëÿ ñëó÷àÿ ∆ = 0 ñòàáèëèçèðóåìîñòü îäíîðîäíîé áàëêè áåç íàãðóçêè ïî îòíîøå-
íèþ ê âûõîäó (14) äîêàçàíà â ðàáîòå [7]. Íèæå áóäóò äîêàçàíû óñëîâèÿ íàáëþäàåìîñòè
ñèñòåìû ñ íàãðóçêîé (11) îòíîñèòåëüíî âûõîäà (14) áåç ïðåäïîëîæåíèÿ ∆ = 0.
Ëåììà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ψ′′k(∆) 6= 0 ïðè âñåõ k = 1, N , ω1 < ω2 < ... < ωN . Òîãäà
ñèñòåìà ëèíåéíîãî ïðèáëèæåíèÿ, ïîñòðîåííàÿ äëÿ (11) â îêðåñòíîñòè íóëÿ, íàáëþäàåìà
ïî îòíîøåíèþ ê âûõîäó (14).
Äîêàçàòåëüñòâî. Çàïèñàâ ëèíåàðèçîâàííóþ ñèñòåìó (11) â ìàòðè÷íîì âèäå, íåòðóä-
íî ñîñòàâèòü äëÿ íåå ìàòðèöó íàáëþäàåìîñòè ñ âûõîäîì (14). Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
ψ′′1(∆) 6= 0, ..., ψ′′N(∆) 6= 0 è ïðè ðàçëè÷íûõ ωk ìàòðèöà íàáëþäàåìîñòè èìååò ïîëíûé
ðàíã, îòêóäà ñëåäóåò óòâåðæäåíèå ëåììû íà îñíîâàíèè ðàíãîâîãî óñëîâèÿ íàáëþäàåì-
îñòè Êàëìàíà [13]. ¤
Çàìå÷àíèå. Ëåììà 2 îáîñíîâûâàåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíåíèÿ óïðàâëåíèÿ ñ îáðàò-
íîé ñâÿçüþ (13) äëÿ ñòàáèëèçàöèè â ëèíåéíîì ñëó÷àå. Äåéñòâèòåëüíî, ïðè âûïîëíåíèè
ïðåäïîëîæåíèé Òåîðåìû 1 è Ëåììû 2 ñóùåñòâóåò ñèñòåìà-íàáëþäàòåëü äëÿ ëèíåéíî-
ãî ïðèáëèæåíèÿ óðàâíåíèé (11). Ïîäñòàíîâêà ôàçîâîãî âåêòîðà ýòîãî íàáëþäàòåëÿ â
êà÷åñòâå îöåíêè èñêîìîãî ôàçîâîãî âåêòîðà â ëèíåàðèçîâàííûå ôîðìóëû (13), (4) äà-
åò îöåíêó óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà M , ïðè ýòîì ñèñòåìà ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé
ñ íàáëþäàòåëåì èìååò àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâîå òðèâèàëüíîå ðåøåíèå íà îñíîâà-
íèè ðåçóëüòàòà èç [13].  íåëèíåéíîì ñëó÷àå íåîáõîäèìî äîïîëíèòåëüíîå èññëåäîâàíèå
óñòîé÷èâîñòè ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ íàáëþäàòåëåì â öåïè îáðàòíîé
ñâÿçè.
7. ×èñëåííîå ìîäåëèðîâàíèå.  äàííîì ïóíêòå ïðèâåäåíû ðåçóëüòàòû ÷èñëåí-
íîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ñèñòåìû (11) ñ çàêîíîì óïðàâëåíèÿ (13) â ñëó÷àå N = 2.
–0.5
0
0.5
1
1.5
2
20 40 60 80 100
ϕ(t)
–0.2
–0.1
0
0.1
0.2
20 40 60 80 100
ϕ̇(t)
–1
–0.8
–0.6
–0.4
–0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
20 40 60 80 100
q1(t)
q2(t)
–0.5
–0.4
–0.3
–0.2
–0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
20 40 60 80 100
q̇1(t)
q̇2(t)
Ðèñ. 3. Ðåøåíèå ñèñòåìû (11), (13).
187
À.Ë. Çóåâ
Ðèñ. 3 èëëþñòðèðóåò ðåøåíèå çàäà÷è Êîøè ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
ϕ(0) =
π
2
, ϕ̇(0) = q1(0) = q2(0) = q̇1(0) = q̇2(0) = 0.
Ïðè ýòîì ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû çàäàíû ñîîòíîøåíèÿìè (9), à êîíñòàíòû óïðàâëåíèÿ
âûáðàíû òàêèìè: h = 10, k1 = k2 = 1.
Èç ðèñ. 3 âèäíî, ÷òî ïðåäëîæåííûé çàêîí óïðàâëåíèÿ (13) îáåñïå÷èâàåò ñõîäèìîñòü
ê íóëþ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (11).
1. Ãóëÿåâ Â.È., Çàâðàæèíà Ò.Â. Äèíàìèêà ðîáîòà-ìàíèïóëÿòîðà ñ óïðóãèìè çâåíüÿìè // Ïðèêë. ìå-
õàíèêà. � 2001. � 37, 11. � Ñ. 130-140.
2. Chen G., Delfour M.C., Krall A.M., Payre G. Modeling, stabilization and control of serially connected
beams. SIAM J. Control Optim., 25:526�546, 1987.
3. Bloch A.M., Titi E.S. On the dynamics of rotating elastic beams. In New Trends in Systems Theory,
Proc. Jt. Conf., Genoa/Italy 1990, volume 7, pages 128�135. 1991.
4. Xu C.Z., Baillieul J. Stabilizability and stabilization of a rotating body-beam system with torque control.
IEEE Trans. on Autom. Control, 38:1754�1765, 1993.
5. Coron J.-M., d'Andrea Novel B. Stabilization of a rotating body beam without damping. IEEE Trans.
on Autom. Control, 44:608�618, 1998.
6. Luo Z.-H., Guo B.-Z., Morgul O. Stability and Stabilization of In�nite Dimensional Systems. Springer-
Verlag, London, 1999, 403 p.
7. Luo Z.-H., Guo B.-Z. Shear force feedback control of a single-link �exible robot with a revolute joint.
IEEE Trans. on Autom. Control, 42:53�65, 1997.
8. ×åðíîóñüêî Ô.Ë., Áîëîòíèê Í.Í., Ãðàäåöêèé Â.Ã. Ìàíèïóëÿöèîííûå ðîáîòû. � Ì.: Íàóêà, 1989. �
368 ñ.
9. Talebi H.A., Patel R.V., Khorasani K. Control of Flexible-link Manipulators Using Neural Networks.
Springer-Verlag, London, 2001, 142 p.
10. Sawodny O., Aschemann H., Bulach A. Mechatronical designed control of �re-rescue turntable ladders
as �exible link robots. Proc. 15th IFAC World Congress, Barcelona, Spain, 2002.
11. Donea J., Huerta A. Finite Element Methods for Flow Problems. Wiley, Chichester, 2003, 350 p.
12. Êîâàëåâ À.Ì., Çóåâ À.Ë., Ùåðáàê Â.Ô. Ñèíòåç ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ òâåðäûì òåëîì ñ
ïðèñîåäèíåííûìè óïðóãèìè ýëåìåíòàìè // Ïðîáë. óïðàâëåíèÿ è èíôîðìàòèêè. � 2002. � 6. � Ñ. 5-
16.
13. Óîíýì Ì. Ëèíåéíûå ìíîãîìåðíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1980. � 376 ñ.
Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê
Technical University of Ilmenau, Inst. of Automation and Systems Engineering,
P.O.B. 100565, 98684 Ilmenau, Germany
al zv@mail.ru
Ïîëó÷åíî 30.06.2004
188
|