Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота

Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 34, 2004), в которой получены обобщения классов Аппельрота движений волчка Ковалевской для случая двойного силового поля. Рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота. Траектории этого семейства заполняют поверхность, четы...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автор:	Харламов, М.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123761
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 38-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123761
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237612017-09-10T03:04:46Z Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота Харламов, М.П. Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 34, 2004), в которой получены обобщения классов Аппельрота движений волчка Ковалевской для случая двойного силового поля. Рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота. Траектории этого семейства заполняют поверхность, четырехмерную в окрестности своих точек общего положения. Указаны два частных интеграла, образующих полную систему. Найдена их бифуркационная диаграмма и область значений соответствующих постоянных. 2005 Article Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 38-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123761 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Статья является продолжением публикации автора (Механика твердого тела, вып. 34, 2004), в которой получены обобщения классов Аппельрота движений волчка Ковалевской для случая двойного силового поля. Рассматривается аналог 4-го класса Аппельрота. Траектории этого семейства заполняют поверхность, четырехмерную в окрестности своих точек общего положения. Указаны два частных интеграла, образующих полную систему. Найдена их бифуркационная диаграмма и область значений соответствующих постоянных.
format	Article
author	Харламов, М.П.
spellingShingle	Харламов, М.П. Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота Механика твердого тела
author_facet	Харламов, М.П.
author_sort	Харламов, М.П.
title	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота
title_short	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота
title_full	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота
title_fullStr	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота
title_full_unstemmed	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота
title_sort	бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса аппельрота
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123761
citation_txt	Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота / М.П. Харламов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 38-48. — Бібліогр.: 9 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT harlamovmp bifurkacionnaâdiagrammaobobŝeniâ4goklassaappelʹrota
first_indexed	2025-07-09T00:13:55Z
last_indexed	2025-07-09T00:13:55Z
_version_	1837126178571288576
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35 ÓÄÊ 531.38 c©2005. Ì.Ï. Õàðëàìîâ ÁÈÔÓÐÊÀÖÈÎÍÍÀß ÄÈÀÃÐÀÌÌÀ ÎÁÎÁÙÅÍÈß 4-ÃÎ ÊËÀÑÑÀ ÀÏÏÅËÜÐÎÒÀ Ñòàòüÿ ÿâëÿåòñÿ ïðîäîëæåíèåì ïóáëèêàöèè àâòîðà (Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà, âûï. 34, 2004), â êîòîðîé ïîëó÷åíû îáîáùåíèÿ êëàññîâ Àïïåëüðîòà äâèæåíèé âîë÷êà Êîâàëåâñêîé äëÿ ñëó÷àÿ äâîéíîãî ñèëî- âîãî ïîëÿ. Ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîã 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà. Òðàåêòîðèè ýòîãî ñåìåéñòâà çàïîëíÿþò ïîâåðõíîñòü, ÷åòûðåõìåðíóþ â îêðåñòíîñòè ñâîèõ òî÷åê îáùåãî ïîëîæåíèÿ. Óêàçàíû äâà ÷àñòíûõ èí- òåãðàëà, îáðàçóþùèõ ïîëíóþ ñèñòåìó. Íàéäåíà èõ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà è îáëàñòü çíà÷åíèé ñîîòâåòñòâóþùèõ ïîñòîÿííûõ. Ââåäåíèå. Ðàññìîòðèì òâåðäîå òåëî, çàêðåïëåííîå â íåïîäâèæíîé òî÷êå O. Ïóñòü ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè â O óäîâëåòâîðÿþò îòíîøåíèþ 2 : 2 : 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìîìåíò âíåøíèõ ñèë îòíîñèòåëüíî òî÷êè O èìååò âèä e1 ×α + e2 × β, ãäå âåêòîðû e1, e2 ôèêñèðîâàíû â òåëå è ïàðàëëåëüíû ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè ýë- ëèïñîèäà èíåðöèè, à âåêòîðû α,β íåèçìåííû â èíåðöèàëüíîì ïðîñòðàíñòâå. Êàê ïîêàçàíî â ðàáîòå [5], áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî e1, e2 îá- ðàçóþò îðòîíîðìèðîâàííóþ ïàðó (â ÷àñòíîñòè, ÿâëÿþòñÿ ãëàâíûìè îðòàìè èíåðöèè), à α,β âçàèìíî îðòîãîíàëüíû. Ïîëîæèì e3 = e1 × e2 è âûáåðåì Oe1e2e3 â êà÷åñòâå ïîäâèæíîãî òðèýäðà. Âåêòîð ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè îáîçíà÷èì ÷åðåç ω. Â áåç- ðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ âðàùåíèå òåëà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà � Ïóàññîíà 2ω· 1 = ω2ω3 + β3, 2ω· 2 = −ω1ω3 − α3, ω· 3 = α2 − β1, α· 1 = α2ω3 − α3ω2, β· 1 = β2ω3 − β3ω2 (123) . (1) Ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî P 6 ñèñòåìû (1) îïðåäåëåíî â R9(ω,α,β) ãåîìåòðè÷åñêèìè èíòåãðàëàìè α2 1 + α2 2 + α2 3 = a2, β2 1 + β2 2 + β2 3 = b2, α1β1 + α2β2 + α3β3 = 0. (2) Ïîëàãàåì a > b > 0. (3) Òîãäà ñèñòåìà (1), (2) íå îáëàäàåò öèêëè÷åñêèì èíòåãðàëîì è íå ñâîäèòñÿ îáû÷íîé ïðîöåäóðîé ê ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìå ñ äâóìÿ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Îäíàêî îíà âïîëíå èíòåãðèðóåìà, ÷òî îáåñïå÷èâàþò ïåðâûå èíòåãðàëû â èíâîëþöèè H = ω2 1 + ω2 2 + 1 2 ω2 3 − (α1 + β2), K = (ω2 1 − ω2 2 + α1 − β2) 2 + (2ω1ω2 + α2 + β1) 2, G = (α1ω1 + α2ω2 + 1 2 α3ω3) 2 + (β1ω1 + β2ω2 + 1 2 β3ω3) 2+ + ω3(γ1ω1 + γ2ω2 + 1 2 γ3ω3)− α1b 2 − β2a 2 (4) 38 Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà (÷åðåç γi îáîçíà÷åíû êîìïîíåíòû â ïîäâèæíûõ îñÿõ ïîñòîÿííîãî âåêòîðà α× β). Èíòåãðàë K âïåðâûå óêàçàí Î.È. Áîãîÿâëåíñêèì [2], à èíòåãðàë G (â áîëåå îáùåé ôîðìå äëÿ çàäà÷è î äâèæåíèè ãèðîñòàòà) � À.Ã. Ðåéìàíîì è Ì.À. Ñåìåíîâûì-Òÿí- Øàíñêèì [4]. Â ðàáîòå [5] íàéäåíî ìíîæåñòâî êðèòè÷åñêèõ òî÷åê èíòåãðàëüíîãî îòîáðàæåíèÿ H ×K ×G : P 6 → R3. (5) Ïîêàçàíî, ÷òî îíî ïðåäñòàâèìî â âèäå îáúåäèíåíèÿ òðåõ ìíîæåñòâ M,N,O, êàæäîå èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ ïî÷òè âñþäó ãëàäêèì ÷åòûðåõìåðíûì ïîäìíîãîîáðàçèåì â P 6 è â îêðåñòíîñòè òî÷åê ãëàäêîñòè îïðåäåëÿåòñÿ ñèñòåìîé äâóõ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé. Ïåðâîå êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî M óêàçàíî â ðàáîòå [2]. Îíî ñîâïàäàåò ñ íóëåâûì óðîâíåì èíòåãðàëàK è îáîáùàåò 1-é êëàññ Àïïåëüðîòà (êëàññ Äåëîíå) êëàññè÷åñêîé çà- äà÷è Êîâàëåâñêîé [1]. Ôàçîâàÿ òîïîëîãèÿ èíäóöèðîâàííîé íà M äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû èññëåäîâàíà Ä.Á. Çîòüåâûì [9]. Äâèæåíèÿ íà êðèòè÷åñêîì ìíîæåñòâå N, íàéäåííîì â ðàáîòå [6], èññëåäîâàíû â [7, 8]. Ïîêàçàíî, ÷òî ýòî ñåìåéñòâî äâèæåíèé ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ñåìåéñòâà òàê íà- çûâàåìûõ îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé 2-ãî è 3-ãî êëàññîâ Àïïåëüðîòà. Íàéäåíà áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà äâóõ ïî÷òè âñþäó íåçàâèñèìûõ íà N ïåðâûõ èíòåãðàëîâ [8], óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ íà N ðàçäåëåíû, èçó÷åíû áèôóðêàöèè äâóìåðíûõ òîðîâ Ëè- óâèëëÿ [7]. Äàííàÿ ðàáîòà ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ íåêîòîðûõ ñâîéñòâ îãðàíè÷åíèÿ ñèñòåìû (1) íà èíâàðèàíòíîå ïîäìíîæåñòâî O, çàäàííîå â P 6 ñèñòåìîé èíâàðèàíòíûõ ñîîòíî- øåíèé [5] R1 = 0, R2 = 0, (6) ãäå R1 = (α3ω2 − β3ω1)ω3 − 2β1ω 2 1 + 2(α1 − β2)ω1ω2 + 2α2ω 2 2, R2 = (α3ω1 + β3ω2)ω 2 3 + [α2 3 + β2 3 + 2α1ω 2 1 + 2(α2 + β1)ω1ω2 + 2β2ω 2 2]ω3+ + 2α3[(α1 − β2)ω1 + (α2 + β1)ω2] + 2β3[(α2 + β1)ω1 − (α1 − β2)ω2]. 1. ×àñòíûå èíòåãðàëû. Îòìåòèì, ÷òî â òî÷êàõ âèäà ω1 = ω2 = 0, α3 = β3 = 0 (7) óðàâíåíèÿ (6) çàâèñèìû íà O. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ðàâåíñòâà (7) âûïîëíåíû íà íåêîòîðîì èíòåðâàëå âðåìåíè (à òîãäà è òîæäåñòâåííî ïî t âäîëü âñåé òðàåêòîðèè), ïðèäåì ê ñåìåéñòâó ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé âèäà α = a(e1 cos θ − e2 sin θ), β = ±b(e1 sin θ + e2 cos θ), α× β ≡ ±abe3, ω = θ·e3, θ·· = −(a± b) sin θ, (8) îòìå÷åííîìó â ðàáîòå [5]. Ïîñòîÿííûå èíòåãðàëîâ (4) íà òàêèõ òðàåêòîðèÿõ óäîâëåòâî- ðÿþò îäíîìó èç äâóõ óñëîâèé g = abh, k = (a− b)2, h > −(a+ b) (9) èëè g = −abh, k = (a+ b)2, h > −(a− b). (10) 39 Ì.Ï. Õàðëàìîâ Ñîâîêóïíîñòü òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ òðàåêòîðèÿì (8), îáîçíà÷èì ÷åðåç Ω. Ïóñòü O∗ = O\Ω. Íàïîìíèì, ÷òî â êëàññè÷åñêîé çàäà÷å Êîâàëåâñêîé (β = 0) èìååò ìåñòî èíòåãðàë ïëîùàäåé, â êà÷åñòâå êîòîðîãî òðàäèöèîííî îò ðàáîò Êîâàëåâñêîé âûáèðàþò ôóíêöèþ L = 1 2 Iω·α. (11) Ïðè ýòîì èíòåãðàë G ñòàíîâèòñÿ ðàâíûì L2. Ïóñòü ` � ïîñòîÿííàÿ èíòåãðàëà (11). Â êëàññèôèêàöèè Ã.Ã. Àïïåëüðîòà 4-é êëàññ îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè: 1) âòîðîé ìíîãî÷ëåí Êîâàëåâñêîé èìååò êðàòíûé êîðåíü, îäíà èç ïåðåìåííûõ Êî- âàëåâñêîé ïîñòîÿííà è ðàâíà êðàòíîìó êîðíþ s ñîîòâåòñòâóþùåé ðåçîëüâåíòû Ýéëåðà ϕ(s) = s(s− h)2 + (a2 − k)s− 2`2: ϕ(s) = 0, ϕ′(s) = 0; (12) 2) ïåðâûå äâå êîìïîíåíòû óãëîâîé ñêîðîñòè ïîñòîÿííû, ïðè÷åì ω1 = − ` s , ω2 = 0. (13) Ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå óñòàíàâëèâàåò àíàëîãèþ óñëîâèé (13) äëÿ îáîáùåííîãî âîë÷êà. Òåîðåìà 1. Íà ëþáîé òðàåêòîðèè, ïðèíàäëåæàùåé ìíîæåñòâó O∗, îòíîøåíèÿ Iω·α Iω·e1 , Iω·β Iω·e2 ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ïîñòîÿííû. Äîêàçàòåëüñòâî. Îáîçíà÷èì M = Iω, M1 = Iω·e1 = 2ω1, M2 = Iω·e2 = 2ω2, Mα = Iω·α = 2α1ω1 + 2α2ω2 + α3ω3, Mβ = Iω·β = 2β1ω1 + 2β2ω2 + β3ω3. Â ïðåäïîëîæåíèÿõ òåîðåìû ïåðâîå óðàâíåíèå (6) çàïèøåì â âèäå Mα M1 − Mβ M2 = 0. (14) Ââåäåì ôóíêöèþ S = −MαM1 +MβM2 M2 1 +M2 2 . Âû÷èñëèì åå ïðîèçâîäíóþ â ñèëó óðàâíåíèé (1): dS dt = 1 4(M2 1 +M2 2 )2 [(M2 1 +M2 2 )ω3 + 4α3M1 + 4β3M2](MβM1 −MαM2). 40 Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà Òîãäà â ñèëó (14) âûðàæåíèå â ïðàâîé ÷àñòè åñòü òîæäåñòâåííûé íîëü. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ S ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì èíòåãðàëîì íà O∗. Îáîçíà÷èì ïîñòîÿííóþ ýòîãî èíòå- ãðàëà ÷åðåç s: MαM1 +MβM2 M2 1 +M2 2 = −s. (15) Èç (14), (15) ïîëó÷àåìMα = −sM1,Mβ = −sM2 ñ ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé s. Òåîðåìà äîêàçàíà. � Çàìå÷àíèå 1. Â ñèëó óñëîâèÿ (14) ôóíêöèþ S ìîæíî òàêæå çàïèñàòü â âèäå S = −1 2 ( Mα M1 + Mβ M2 ). (16) Çàìå÷àíèå 2. Îòìåòèì èíòåðåñíîå ãåîìåòðè÷åñêîå ñâîéñòâî èçìåíåíèÿ âåêòîðà êèíåòè÷åñêîãî ìîìåíòà íà ðàññìàòðèâàåìûõ äâèæåíèÿõ. Ââåäåì â ïëîñêîñòèOαβ íåïî- äâèæíûé îðòîíîðìèðîâàííûé áàçèñ ν1 = α a , ν2 = β b . Ïóñòü m1 = M·ν1, m2 = M·ν2. Òîãäà Mα = am1, Mβ = bm2, è óñëîâèå (14) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå M2 M1 = b a m2 m1 , èëè tg ϑ = b a tg ϑ0, ãäå ϑ, ϑ0 � ïîëÿðíûå óãëû ïðîåêöèé âåêòîðà M ñîîòâåòñòâåííî íà ýêâàòîðèàëüíóþ ïëîñêîñòü òåëà è íà íåïîäâèæíóþ ïëîñêîñòü íàïðàâëÿþùèõ âåêòîðîâ ñèëîâûõ ïîëåé. Òåîðåìà 2. Íà ìíîæåñòâå O ñèñòåìà (1) èìååò ÷àñòíûé èíòåãðàë T = (α3ω1 + β3ω2)ω3 + 2α1ω 2 1 + 2(α2 + β1)ω1ω2 + 2β2ω 2 2− − 2(α1β2 − α2β1) + a2 + b2. (17) Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè (17) â ñèëó ñèñòåìû (1) ðàâíà dT dt = 1 4 ω3R1, òî åñòü îáðàùàåòñÿ â íóëü òîæäåñòâåííî íà O. � Ïîñòîÿííóþ èíòåãðàëà T îáîçíà÷èì ÷åðåç τ . Â ðàáîòå [5] óðàâíåíèÿ (6) ïîëó÷åíû èç óñëîâèÿ íàëè÷èÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êè ó ôóíêöèè 2G+ (τ − p2)H + sK ñ íåîïðåäåëåííûìè ìíîæèòåëÿìè Ëàãðàíæà s, τ . Ñîïîñòàâëÿÿ (16), (17) ñ âûðàæåíèÿìè äëÿ s, τ , èìåþùèìèñÿ â [5], óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòè ìíîæèòåëè ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè ïðèâåäåííûõ çäåñü èíòåãðàëîâ S,T. Ñ ó÷åòîì (3) ââåäåì ïîëîæèòåëüíûå ïàðàìåòðû p, r, ïîëàãàÿ p2 = a2 + b2, r2 = a2 − b2. 41 Ì.Ï. Õàðëàìîâ Ïóñòü h, k, g � ïîñòîÿííûå îáùèõ èíòåãðàëîâ (4). Òîãäà èç óðàâíåíèé (50) ðàáîòû [5] ïîëó÷èì, ÷òî íà ìíîæåñòâå O∗ èìååò ìåñòî ñâÿçü h = s+ p2 − τ 2s , k = τ + τ 2 − 2p2τ + r4 4s2 , g = 1 2 (p2 − τ)s+ p4 − r4 4s . (18) Ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ëèñòà áè- ôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (5). Èñêëþ÷åíèå τ ïðèâîäèò ê óðàâíåíèÿì ψ(s) = 0, ψ′(s) = 0, (19) ãäå ψ(s) = s2(s− h)2 + (p2 − k)s2 − 2gs+ p4 − r4 4 . Ïðè óñëîâèè β = 0 (p2 = r2 = a2) èìååì ψ(s) = sϕ(s). Òàêèì îáðàçîì, ñîîòíîøåíèÿ (19) àíàëîãè÷íû óñëîâèÿì (12). Ñëåäîâàòåëüíî, ñîâîêóïíîñòü òðàåêòîðèé íà ìíîæåñòâå O ÿâëÿåòñÿ îáîáùåíèåì ñåìåéñòâà îñîáî çàìå÷àòåëüíûõ äâèæåíèé 4-ãî êëàññà Àïïåëü- ðîòà. 2. Óðàâíåíèÿ èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Â ñèëó ñîîòíîøåíèé (18) ôóíê- öèè S,T îáðàçóþò ïîëíóþ ñèñòåìó ïåðâûõ èíòåãðàëîâ íà O∗. Â ÷àñòíîñòè, ñèñòåìà óðàâíåíèé èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ {ζ ∈ P 6 : H(ζ) = h,K(ζ) = k,G(ζ) = g} çàìå- íÿåòñÿ èíâàðèàíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè (6) è óðàâíåíèÿìè S = s, T = τ. (20) Ââåäåì êîìïëåêñíóþ çàìåíó ïåðåìåííûõ [6], îáîáùàþùóþ çàìåíó, ïðåäëîæåííóþ Ñ.Â. Êîâàëåâñêîé äëÿ âîë÷êà â ïîëå ñèëû òÿæåñòè [3]: x1 = (α1 − β2) + i(α2 + β1), x2 = (α1 − β2)− i(α2 + β1), y1 = (α1 + β2) + i(α2 − β1), y2 = (α1 + β2)− i(α2 − β1), z1 = α3 + iβ3, z2 = α3 − iβ3, w1 = ω1 + iω2, w2 = ω1 − iω2, w3 = ω3 . ˘ (21) Ïåðåõîäÿ ê ïåðåìåííûì (21), ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó (6), (20) ê âèäó (y2 + 2s)w1 + x1w2 + z1w3 = 0, x2w1 + (y1 + 2s)w2 + z2w3 = 0, x2z1w1 + x1z2w2 + (τ − x1x2)w3 = 0, 2sw1w2 − (x1x2 + z1z2) + τ = 0. (22) Ê ýòèì óðàâíåíèÿì íåîáõîäèìî äîáàâèòü ãåîìåòðè÷åñêèå èíòåãðàëû (2), êîòîðûå â ïå- ðåìåííûõ (21) ïðèìóò âèä z2 1 + x1y2 = r2, z2 2 + x2y1 = r2, x1x2 + y1y2 + 2z1z2 = 2p2. (23) Ïðîñòðàíñòâî ïåðåìåííûõ (21) äåâÿòèìåðíî ñ ó÷åòîì êîìïëåêñíîé ñîïðÿæåííîñòè ïàð ïåðåìåííûõ x2 = x1, y2 = y1, z2 = z1 è âåùåñòâåííîñòè w3. Ñåìü ñîîòíîøåíèé (22), (23) îïðåäåëÿþò â íåì èíòåãðàëüíîå ìíîãîîáðàçèå, êîòîðîå, â ñëó÷àå îòñóòñòâèÿ íà íåì òî÷åê çàâèñèìîñòè èíòåãðàëîâ S,T, áóäåò ñîñòîÿòü èç äâóìåðíûõ òîðîâ ñ óñëîâíî- ïåðèîäè÷åñêèìè òðàåêòîðèÿìè. 42 Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà 3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà. Ââåäåì èíòåãðàëüíîå îòîáðàæåíèå J èíäóöè- ðîâàííîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû íà çàìûêàíèè ìíîæåñòâà O∗, ïîëàãàÿ J(ζ) = (S(ζ),T(ζ)) ∈ R2, ζ ∈ Cl(O∗). Ââèäó î÷åâèäíîé êîìïàêòíîñòè ïðîîáðàçîâ òî÷åê R2, áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà Σ îòîáðàæåíèÿ J ñîâïàäàåò ñ ìíîæåñòâîì åãî êðèòè÷åñêèõ çíà÷åíèé. Òåîðåìà 3. Áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà îòîáðàæåíèÿ J = S × T : Cl(O∗) → R2 (24) ñîñòîèò èç ñëåäóþùèõ ïîäìíîæåñòâ ïëîñêîñòè (s, τ): 1◦) τ = (a+ b)2, s ∈ [−a, 0) ∪ [b,+∞); 2◦) τ = (a− b)2, s ∈ [−a,−b] ∪ (0,+∞); 3◦) s = −a, τ > (a− b)2; 4◦) s = −b, τ > (a− b)2; 5◦) s = b, τ 6 (a+ b)2; 6◦) s = a, τ 6 (a+ b)2; 7◦) τ = 0, s ∈ (0,+∞); 8◦) τ = a2 + b2 − 2s2 + 2 √ (a2 − s2)(b2 − s2), s ∈ [−b, 0); 9◦) τ = a2 + b2 − 2s2 − 2 √ (a2 − s2)(b2 − s2), s ∈ (0, b]; 10◦) τ = a2 + b2 − 2s2 + 2 √ (s2 − a2)(s2 − b2), s ∈ [a,+∞). Äîêàçàòåëüñòâî. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êè çàâèñèìîñòè óðàâíåíèé ñèñòåìû (6) ïî îïðå- äåëåíèþ ñ÷èòàþòñÿ êðèòè÷åñêèìè äëÿ îòîáðàæåíèÿ (24). Ïîýòîìó â áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó íåîáõîäèìî âêëþ÷èòü çíà÷åíèÿ, îòâå÷àþùèå òåì èç òðàåêòîðèé (8), êîòîðûå ïðèíàäëåæàò çàìûêàíèþ ìíîæåñòâà O∗, òî åñòü çíà÷åíèÿ (s, τ), ïðè êîòîðûõ ðàâåíñòâà (18) äàþò çíà÷åíèÿ âèäà (9), (10). Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî ëó÷ (10) öåëèêîì ñîäåðæèòñÿ â ïîâåðõíîñòè (18). Åìó ñîîò- âåòñòâóåò ìíîæåñòâî òî÷åê ñëó÷àÿ 1◦. Â òî æå âðåìÿ ïîâåðõíîñòè (18) ïðèíàäëåæàò ëèøü òî÷êè ëó÷à (9), óäîâëåòâîðÿþ- ùèå íåðàâåíñòâó h2 > 4ab. Èì ñîîòâåòñòâóåò ìíîæåñòâî òî÷åê ñëó÷àÿ 2◦. Ñåãìåíò ëó÷à (9) â ïðåäåëàõ −2 √ ab < h < 2 √ ab ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîìåðíóþ ÷àñòü áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììû îòîáðàæåíèÿ (5). Äëÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ òðàåêòîðèé (8) çíà÷åíèå s íå îïðåäåëåíî. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òà- êèå òðàåêòîðèè íå èìåþò ñêîëü óãîäíî áëèçêèõ òðàåêòîðèé èç ìíîæåñòâà O∗. Íàëè÷èå ÿâëåíèÿ, ïîðîæäàþùåãî èçîëèðîâàííóþ òî÷êó â áèôóðêàöèîííûõ äèàãðàììàõ ïðèâå- äåííûõ ñèñòåì èëè ñèñòåì íà èçîýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíÿõ, íàáëþäàëîñü ðàíåå ëèøü â ñëó÷àå Êëåáøà. Äëÿ äâèæåíèé èç O∗ ïðåîáðàçóåì ñèñòåìó (22), (23). Ââåäåì ïåðåìåííûå x, z, ïîëàãàÿ x2 = x1x2, z2 = z1z2. (25) Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ (23) âûðàçèì y1y2 = 2p2 − x2 − 2z2, (26) 43 Ì.Ï. Õàðëàìîâ à ïåðâûå äâà ïðåäñòàâèì â âèäå (z1 + z2) 2 = 2r2 − (x1y2 + x2y1) + 2z2, (z1 − z2) 2 = 2r2 − (x1y2 + x2y1)− 2z2. (27) Çàïèøåì óñëîâèå ñîâìåñòíîñòè (23) ïî z1, z2: (r2 − x1y2)(r 2 − x2y1) = z4. Îòñþäà ñ ó÷åòîì (26) íàéäåì r2(x1y2 + x2y1) = r4 + 2p2x2 − (x2 + z2)2. (28) Îáîçíà÷èì Φ±(x, z) = (x2 + z2 ± r2)2 − 2(p2 ± r2)x2. Èç (27), (28) èìååì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: r2(z1 + z2) 2 = Φ+(x, z), r2(z1 − z2) 2 = Φ−(x, z). Ïîýòîìó îáëàñòü èçìåíåíèÿ x, z îïðåäåëÿåòñÿ íåðàâåíñòâàìè Φ+(x, z) > 0, Φ−(x, z) 6 0. (29) Çàìåòèì, ÷òî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (1) âêëþ÷åíû â ñåìåéñòâî òðàåêòîðèé Ω, íà îñòàëüíûõ æå äâèæåíèÿõ îïðåäåëèòåëü òðåõ ïåðâûõ óðàâíåíèé (22) ïî wi (i = = 1, 2, 3) òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ. Èñêëþ÷àÿ èç ýòîãî óñëîâèÿ z2 1 , z 2 2 è ïðîèçâåäåíèå y1y2 ñ ïîìîùüþ (23), (26), ïîëó÷èì 2s[(r2x1 − τy1) + (r2x2 − τy2)] = −r2(x1y2 + x2y1)+ +2[2s2(τ − x2) + p2(τ + x2)− τ(x2 + z2)]. (30) Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íåïîñðåäñòâåííîå âû÷èñëåíèå ñ ó÷åòîì (25), (26) äàåò (r2x1 − τy1)(r 2x2 − τy2) = r4x2 + τ(2p2 − x2 − 2z2)− r2τ(x1y2 + x2y1). (31) Îáîçíà÷èì σ = τ 2 − 2p2τ + r4, χ = √ k > 0. Èç âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ (18) ñëåäóåò òîæäåñòâî 4s2χ2 = σ + 4s2τ. (32) Ââåäåì êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûå ïåðåìåííûå µ1 = r2x1 − τy1, µ2 = r2x2 − τy2. Èñêëþ÷àÿ èç (30), (31) âûðàæåíèå x1y2 + x2y1 ñ ïîìîùüþ (28), ïîëó÷èì ñèñòåìó 2s(µ1 + µ2) = (x2 + z2 − τ)2 − 4s2x2 − 4s2χ2, µ1µ2 = τ(x2 + z2 − τ)2 + σx2 − τσ. (33) 44 Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà Ïóñòü λ1 = √ 2sµ1 + σ, λ2 = √ 2sµ2 + σ âûáðàíû êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûìè. Òîãäà ñèñòåìà (33) çàïèøåòñÿ â âèäå (λ1 + λ2) 2 = Ψ+(x, z), (λ1 − λ2) 2 = Ψ−(x, z), ãäå Ψ±(x, z) = (x2 + z2 − τ ± 2sχ)2 − 4s2x2. Óñëîâèÿ åå ðàçðåøèìîñòè Ψ+(x, z) > 0, Ψ−(x, z) 6 0. (34) Ñèñòåìà íåðàâåíñòâ (29), (34) çàäàåò íà ïëîñêîñòè (x, z) îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâè- æåíèÿ (ÎÂÄ) � ïðîåêöèþ èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ. Ïðè çàäàííûõ s, τ èñõîäíûå ïåðåìåííûå àëãåáðàè÷åñêè âûðàæàþòñÿ ÷åðåç x, z. Áèôóðêàöèîííîé äèàãðàììå îòâå- ÷àþò ñëó÷àè ïåðåñòðîéêè ÎÂÄ ïðè èçìåíåíèè s, τ êàê ïàðàìåòðîâ. Ââåäåì íà ïëîñêîñòè (x, z) êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû s1, s2, ïîëàãàÿ s1 = x2 + z2 + r2 2x , s2 = x2 + z2 − r2 2x . Íåðàâåíñòâà (29) ìãíîâåííî ðàçðåøàþòñÿ s2 1 > a2, s2 2 6 b2. (35) Ñîîòâåòñòâóþùàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè (x, z) ïîêàçàíà íà ðèñ. 1 äëÿ ïåðâîãî êâàäðàíòà. Óêàçàíà òàêæå è êîîðäèíàòíàÿ ñåòü (s1, s2). Ðèñ. 1. Äîïóñòèìàÿ îáëàñòü íà ïëîñêîñòè (x, z). Ïóñòü Π1 � ïðÿìîóãîëüíèê íà ïëîñêîñòè (s1, s2) ñ âåðøèíàìè s1 = ±a, s2 = ±b. Äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû (34) âûðàçèì x2 + z2 − τ = [s1 + s2 − τ r2 (s1 − s2)]x, Ψ+(x, z) = x2Λ+Λ−, Ψ−(x, z) = x2M+M−, (36) ãäå Λ±(s1, s2) = s1 + s2 − τ − 2sχ r2 (s1 − s2)± 2s, M±(s1, s2) = s1 + s2 − τ + 2sχ r2 (s1 − s2)± 2s. 45 Ì.Ï. Õàðëàìîâ Èç (34), (36) èìååì Λ+(s1, s2)Λ−(s1, s2) > 0, M+(s1, s2)M−(s1, s2) 6 0. (37) Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì Π2, îáðàçîâàííûé ïðÿìûìè Λ± = 0, M± = 0. Ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (37) çàïîëíÿþò äâå ïîëóïîëîñû, ïðèìûêàþùèå ê ñòîðîíàì Π2, ëåæàùèì íà ïðÿìûõ Λ± = 0. Íà ðèñ. 2 ïðèâåäåí ïðèìåð îáëàñòè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ â ïëîñêîñòè (s1, s2) � ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ (35), (37). Ðèñ. 2. Ïðèìåð îáëàñòè âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ (a = 1, b = 0.4, τ = 1.2, s = −0.6). Äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî òåõíè÷åñêèì. Áèôóðêàöèè ÎÂÄ ïðîèñ- õîäÿò â îäíîì èç ñëåäóþùèõ ñëó÷àåâ: ïîïàäàíèå âåðøèíû îäíîãî èç ïàðàëëåëîãðàììîâ Π1,Π2 íà ãðàíèöó äðóãîãî, ñîîòâåòñòâåííàÿ ïàðàëëåëüíîñòü ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììîâ Π1,Π2 (óõîä âåðøèí ÎÂÄ íà áåñêîíå÷íîñòü), âûðîæäåíèå ïîëóïîëîñ â ëó÷. Ïåðå÷èñëèâ âñå òàêèå ñëó÷àè, ïðèäåì ê óðàâíåíèÿì, ôèãóðèðóþùèì â òåîðåìå. Ïóñòü ∆ � îïðåäåëÿ- åìîå ýòèìè óðàâíåíèÿìè ìíîæåñòâî â ïëîñêîñòè R2(s, τ). Ïåðåáèðàÿ ñâÿçíûå êîìïîíåí- òû ìíîæåñòâà R2(s, τ)\∆, îòáðîñèì òå èç íèõ, äëÿ êîòîðûõ îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâè- æåíèÿ ïóñòà. Îñòàâøèåñÿ êîìïîíåíòû (îáëàñòü âîçìîæíîñòè äâèæåíèÿ â ïðîñòðàíñòâå êîíñòàíò èíòåãðàëîâ) çàòåíåíû íà ðèñ. 3. Â áèôóðêàöèîííóþ äèàãðàììó âêëþ÷àþòñÿ òå ó÷àñòêè ∆, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ ãðàíè÷íûìè äëÿ îñòàâøèõñÿ êîìïîíåíò, çà èñêëþ÷å- íèåì îòðåçêîâ êîîðäèíàòíîé îñè s = 0, òàê êàê íóëåâîå çíà÷åíèå s íåäîïóñòèìî â ñèëó (18). Îòñþäà ïîëó÷àåì íåîáõîäèìûå íåðàâåíñòâà. Òåîðåìà äîêàçàíà.� 4. Î âîçìîæíîñòè ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Îáîçíà÷èì ξ = x2 + z2 − τ è ðàññìîòðèì â ïðîñòðàíñòâå (x, ξ, µ) ïîâåðõíîñòü âòîðîãî ïîðÿäêà µ2 = τξ2 + σx2 − τσ. (38) Â ñèëó âòîðîãî óðàâíåíèÿ (33), ëþáàÿ òðàåêòîðèÿ èçîáðàæàåòñÿ êðèâîé íà ýòîé ïîâåðõíîñòè. Î÷åâèäíî, ïîñòîÿííûå τ, σ íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî îòðèöàòåëüíûìè. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòü (38) èìååò äâà ñåìåéñòâà ïðÿìîëèíåéíûõ îáðàçóþùèõ. 46 Îáîáùåíèå 4-ãî êëàññà Àïïåëüðîòà Ðèñ. 3. Îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ äâèæåíèé â ïëîñêîñòè (s, τ). Îòìåòèì äâà òîæäåñòâà, êîòîðûì óäîâëåòâîðÿþò ââåäåííûå êîíñòàíòû σ + 2τ(p2 ± r2) = (τ ± r2)2. (39) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â ñèëó (32), (39) óðàâíåíèÿ Φ± = 0, Ψ± = 0 íà ïëîñêîñòè (x, ξ) îïðåäåëÿþò ñèñòåìó ïðÿìûõ, êàæäàÿ èç êîòîðûõ êàñàåòñÿ ñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè (38) ïëîñêîñòüþ µ = 0 è ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé êàêîé-ëèáî èç îáðàçóþùèõ ïîâåðõíîñòè (38). Ïîñêîëüêó ÷åðåç êàæäóþ òî÷êó ïîâåðõíîñòè (38) ïðîõîäèò ðîâíî äâå îáðàçóþùèõ, òî èõ ïàðàìåòðû ìîãóò áûòü âçÿòû â êà÷åñòâå ëîêàëüíûõ êîîðäèíàò â òîé îáëàñòè íà ïëîñêîñòè (x, ξ), êîòîðàÿ íàêðûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòüþ (38). Íå óòî÷íÿÿ âîïðîñû âåùåñòâåííîñòè ïåðåìåííûõ, ïîëîæèì ôîðìàëüíî ξ = √ σ uv + 1 u+ v , x = √ τ u− v u+ v . Ïîñëå íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷èì Φ+ = 1 (u+ v)2 ϕ1(u)ϕ1(v), Φ− = 1 (u+ v)2 ϕ2(u)ϕ2(v), Ψ+ = 1 (u+ v)2 ψ1(u)ψ1(v), Ψ− = 1 (u+ v)2 ψ2(u)ψ2(v), ãäå ϕ1(w) = √ σ(1 + w2) + 2(τ + r2)w, ϕ2(w) = √ σ(1 + w2) + 2(τ − r2)w, ψ1(w) = √ σ(1 + w2) + 4sχw, ψ2(w) = √ σ(1 + w2)− 4sχw. Â ïëîñêîñòè ïåðåìåííûõ (u, v) íåðàâåíñòâà (29), (34) îïðåäåëÿò ñîâîêóïíîñòü ïðÿ- ìîóãîëüíèêîâ ñî ñòîðîíàìè, ïàðàëëåëüíûìè îñÿì êîîðäèíàò. Òîò ôàêò, ÷òî êàæäàÿ ñâÿçíàÿ êîìïîíåíòà ëþáîãî èíòåãðàëüíîãî ìíîãîîáðàçèÿ èçîáðàæàåòñÿ òàêèì ïðÿìî- óãîëüíèêîì (à ïðè áèôóðêàöèÿõ � îòðåçêîì èëè ïàðîé ïðÿìîóãîëüíèêîâ ñ îáùåé ñòîðî- íîé), ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî â ýòèõ ïåðåìåííûõ óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ðàçäåëÿþòñÿ. 47 Ì.Ï. Õàðëàìîâ Ñîîòâåòñòâóþùèå âûêëàäêè ñëèøêîì ãðîìîçäêè è âûõîäÿò çà ðàìêè äàííîé ðàáîòû. Óêàæåì ëèøü ñâÿçü ñ óñòàíîâëåííûì âûøå ðåçóëüòàòîì. Ðàññìîòðèì ìíîãî÷ëåí Q(w) = ϕ1(w)ϕ2(w)ψ1(w)ψ2(w) (40) è óñòàíîâèì âñå ñëó÷àè íàëè÷èÿ ó íåãî êðàòíîãî êîðíÿ. Ðåçóëüòàíò Q(w) è Q′(w) ïî w ñ òî÷íîñòüþ äî ïîñòîÿííîãî ìíîæèòåëÿ ðàâåí s4τ 12(τ 2 − 2p2τ + r4)14[2s2 − (p2 − r2)]4[2s2 − (p2 + r2)]4[τ 2 − 2(p2 − 2s2)τ + r4]2. (41) Êàê îòìå÷àëîñü, â ñèëó ñîîòíîøåíèé (18), íà ðàññìàòðèâàåìîì êëàññå äâèæåíèé s 6= 0. Îñòàëüíûå ñëó÷àè îáðàùåíèÿ â íóëü âûðàæåíèÿ (41) ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèÿì, ïåðå÷èñëåííûì â òåîðåìå 3. Ïîýòîìó íàéäåííàÿ áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà ñîäåðæèò- ñÿ â äèñêðèìèíàíòíîì ìíîæåñòâå ìíîãî÷ëåíà (40). Òàêîå ÿâëåíèå òèïè÷íî èìåííî äëÿ ñèñòåì ñ ðàçäåëÿþùèìèñÿ ïåðåìåííûìè. 1. Àïïåëüðîò Ã.Ã. Íå âïîëíå ñèììåòðè÷íûå òÿæåëûå ãèðîñêîïû // Äâèæåíèå òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè. � 1940. � Ì.-Ë.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ. � Ñ. 61�156. 2. Áîãîÿâëåíñêèé Î.È. Äâà èíòåãðèðóåìûõ ñëó÷àÿ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà â ñèëîâîì ïîëå // Äîêë. ÀÍ ÑÑÑÐ. � 1984. � 275, � 6. � Ñ. 1359�1363. 3. Êîâàëåâñêàÿ Ñ.Â. Çàäà÷à î âðàùåíèè òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè // Íàó÷í. ðàáîòû. � Ì.: Èçä-âî ÀÍ ÑÑÑÐ, 1948. � Ñ. 153�220. 4. Ðåéìàí À.Ã., Ñåìåíîâ-Òÿí-Øàíñêèé Ì.À. Ëàêñîâî ïðåäñòàâëåíèå ñî ñïåêòðàëüíûì ïàðàìåòðîì äëÿ âîë÷êà Êîâàëåâñêîé è åãî îáîáùåíèé // Ôóíêö. àíàëèç è åãî ïðèëîæåíèÿ. � 1988. � 22, � 2. � Ñ. 87�88. 5. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Êðèòè÷åñêîå ìíîæåñòâî è áèôóðêàöèîííàÿ äèàãðàììà çàäà÷è î äâèæåíèè âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîëå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � Âûï. 34. � Ñ. 47�58. 6. Õàðëàìîâ Ì.Ï. Îäèí êëàññ ðåøåíèé ñ äâóìÿ èíâàðèàíòíûìè ñîîòíîøåíèÿìè çàäà÷è î äâèæåíèè âîë÷êà Êîâàëåâñêîé â äâîéíîì ïîñòîÿííîì ïîëå // Òàì æå. � 2002. � Âûï. 32. � Ñ. 32�38. 7. Õàðëàìîâ Ì.Ï., Ñàâóøêèí À.Þ. Ðàçäåëåíèå ïåðåìåííûõ è èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â îäíîé ÷àñòíîé çàäà÷å î äâèæåíèè îáîáùåííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé // Óêð. ìàòåìàò. âåñòíèê. � 2004. � 1, âûï. 4. � Ñ. 548�565. 8. Õàðëàìîâ Ì.Ï., Ñàâóøêèí À.Þ, Øâåäîâ Å.Ã. Áèôóðêàöèîííîå ìíîæåñòâî â îäíîé çàäà÷å î äâè- æåíèè îáîáùåííîãî âîë÷êà Êîâàëåâñêîé // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 10�19. 9. Zotev D.B. Fomenko-Zieschang invariant in the Bogoyavlenskyi case // Ðåãóëÿðíàÿ è õàîòè÷åñêàÿ äè- íàìèêà. � 2000. � 5, � 4. � Ñ. 437�458. Âîëãîãðàäñêàÿ àêàäåìèÿ ãîñ. ñëóæáû, Ðîññèÿ mharlamov@vags.ru Ïîëó÷åíî 01.10.05 48

Бифуркационная диаграмма обобщения 4-го класса Аппельрота

Репозитарії

Схожі ресурси