О динамике снейкборда
В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения с...
Збережено в:
Дата: | 2005 |
---|---|
Автор: | |
Формат: | Стаття |
Мова: | Russian |
Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
Назва видання: | Механика твердого тела |
Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123764 |
Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
Цитувати: | О динамике снейкборда / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 63-72. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraineid |
irk-123456789-123764 |
---|---|
record_format |
dspace |
spelling |
irk-123456789-1237642017-09-10T03:04:46Z О динамике снейкборда Кулешов, А.С. В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения снейкборда (движение вперед, поворот, движение "галсами"). Все полученные аналитические результаты подтверждены серией компьютерных экспериментов. 2005 Article О динамике снейкборда / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 63-72. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123764 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
collection |
DSpace DC |
language |
Russian |
description |
В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения снейкборда (движение вперед, поворот, движение "галсами"). Все полученные аналитические результаты подтверждены серией компьютерных экспериментов. |
format |
Article |
author |
Кулешов, А.С. |
spellingShingle |
Кулешов, А.С. О динамике снейкборда Механика твердого тела |
author_facet |
Кулешов, А.С. |
author_sort |
Кулешов, А.С. |
title |
О динамике снейкборда |
title_short |
О динамике снейкборда |
title_full |
О динамике снейкборда |
title_fullStr |
О динамике снейкборда |
title_full_unstemmed |
О динамике снейкборда |
title_sort |
о динамике снейкборда |
publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
publishDate |
2005 |
url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123764 |
citation_txt |
О динамике снейкборда / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 63-72. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. |
series |
Механика твердого тела |
work_keys_str_mv |
AT kulešovas odinamikesnejkborda |
first_indexed |
2025-07-09T00:14:13Z |
last_indexed |
2025-07-09T00:14:13Z |
_version_ |
1837126196582678528 |
fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.36
c©2005. À.Ñ. Êóëåøîâ
Î ÄÈÍÀÌÈÊÅ ÑÍÅÉÊÁÎÐÄÀ
 ðàáîòå ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå ïðîñòåéøåé ìîäåëè îäíîé èç ìîäèôèêàöèé ñêåéòáîðäà, èçâåñòíîé
êàê ñíåéêáîðä. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîäåëè ïðåäñòàâëåíû â ôîðìå óðàâíåíèé Àïïåëÿ, ÷òî ïîçâîëèëî
ïðîâåñòè íå òîëüêî ÷èñëåííîå, íî è àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå äàííûõ óðàâíåíèé. Èçó÷åíû ðàçëè÷-
íûå òèïû äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà (äâèæåíèå âïåðåä, ïîâîðîò, äâèæåíèå "ãàëñàìè"). Âñå ïîëó÷åííûå
àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäåíû ñåðèåé êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ.
1. Îïèñàíèå óñòðîéñòâà è ìîäåëè. Ñíåéêáîðä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó èç ìî-
äèôèêàöèé õîðîøî èçâåñòíîãî ñêåéòáîðäà è ïîçâîëÿåò ÷åëîâåêó ïðîäâèãàòüñÿ âïåðåä
áåç äîïîëíèòåëüíîãî ñîïðèêîñíîâåíèÿ íîã ñ çåìëåé. Ïåðâûé ñíåéêáîðä ïîÿâèëñÿ â 1989
ãîäó è ñ ýòîãî ìîìåíòà è äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ïðèîáðåë ìíîæåñòâî ïîêëîííèêîâ
ñðåäè ëþáèòåëåé ýêñòðåìàëüíîãî êàòàíèÿ. Âñêîðå ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ñíåéêáîðäà ïî-
ÿâèëèñü è ïåðâûå ñòàòüè, â êîòîðûõ äåëàëèñü ïîïûòêè äàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå
îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà íà ñíåéêáîðäå. Ïåðâàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü
ñíåéêáîðäà áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå [1], â êîòîðîé òàêæå áûëè âûâåäåíû óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ ìîäåëè â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ñ ìíîæèòåëÿìè, è áûë ïðîâåäåí ÷èñ-
ëåííûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé. Èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå â [1], áûëè ïðîäîëæåíû
â ðàáîòàõ [2�7]. Îäíàêî âñå ýòè èññëåäîâàíèÿ ñâîäèëèñü, â îñíîâíîì, ê ÷èñëåííîìó èçó-
÷åíèþ ðàçëè÷íûõ ôîðì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà.  äàííîé ðàáîòå óðàâíåíèÿ
äâèæåíèÿ ïðåäëîæåííîé â [1] ìîäåëè ñíåéêáîðäà ïðåäñòàâëåíû â ôîðìå óðàâíåíèé Àï-
ïåëÿ, ÷òî ïîçâîëèëî ïðîâåñòè íå òîëüêî ÷èñëåííîå, íî è àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå
äàííûõ óðàâíåíèé.
Ñíåéêáîðä (ðèñ. 1, 2) ñîñòîèò
Ðèñ. 1. Îáùèé âèä ñíåéêáîðäà.
èç äâóõ ïëàòôîðì íà êîëåñàõ, íà
êàæäóþ èç êîòîðûõ ðàéäåð � ÷å-
ëîâåê, êàòàþùèéñÿ íà ñíåéêáîð-
äå, óñòàíàâëèâàåò îäíó èç ñâîèõ
íîã. Ïëàòôîðìû ñâÿçàíû ìåæ-
äó ñîáîé æåñòêèì ñòåðæíåì �
êðîññáàðîì. Íà êîíöàõ êðîññáàðà
èìåþòñÿ øàðíèðû, ïîçâîëÿþùèå
êàæäîé èç ïëàòôîðì âðàùàòüñÿ
âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè. Â èñ-
õîäíîì ïîëîæåíèè ðàéäåð ñòîèò
íà ñíåéêáîðäå òàê, ÷òî ñòîïû åãî íîã íàïðàâëåíû âíóòðü (ðèñ. 3). Çàòåì ðàéäåð ïîâî-
ðà÷èâàåò ñâîå òóëîâèùå íà íåêîòîðûé óãîë è íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè,
îïðåäåëåííîé óãëîì ïîâîðîòà êîëåñíûõ îñåé. Ïîñëå ýòîãî ðàéäåð ðàçâîðà÷èâàåò ñòîïû
íîã íàðóæó è äåëàåò ïîâîðîò òóëîâèùåì â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Ïðîäîëæàÿ
ýòîò ïðîöåññ, ðàéäåð ïðîäâèãàåòñÿ âïåðåä.
63
À.Ñ. Êóëåøîâ
Ðèñ. 2. Ñõåìà ñíåéêáîðäà. Ðèñ. 3. Èíñòðóêöèÿ ïî êàòàíèþ íà ñíåéêáîðäå.
Ýëåìåíòàðíàÿ ìîäåëü ñíåéêáîðäà, ïðåäëîæåííàÿ â ðàáîòå [1], ïðåäñòàâëåíà íà
ðèñ. 4. Ïóñòü Oxy � íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â íåêîòîðîé òî÷êå
O ïëîñêîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ñíåéêáîðä. Ïóñòü x è y � êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ
ñèñòåìû, θ � óãîë ìåæäó ïðîäîëüíîé îñüþ ñíåéêáîðäà è îñüþ Ox. Äâèæåíèå êîðïóñà
ðàéäåðà ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðîòîðà, êîòîðûé ñõåìàòè÷íî â âèäå ãàíòåëè èçîáðà-
æåí íà ðèñ. 4, è óãîë ïîâîðîòà êîòîðîãî îáîçíà÷åí ψ. Îáû÷íî ïðè êàòàíèè ðàéäåð òàê
äâèãàåò ñòîïàìè íîã, ÷òîáû ïëàòôîðìû ïîâîðà÷èâàëèñü íà îäèí è òîò æå óãîë, íî â
ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè ñíåéêáîðäà (ðèñ. 3, 4).
Ýòîò óãîë îáîçíà÷åí ϕ. Ïóñòü m � ìàññà ñèñòåìû, l � ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ ñèñòå-
ìû äî òî÷åê A è B êðåïëåíèÿ îñåé êîëåñ (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðåäíÿÿ è çàäíÿÿ ïàðû
êîëåñ ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà ìàññ), J � ìîìåíò èíåðöèè
êðîññáàðà, Jr � ìîìåíò èíåðöèè ðîòîðà, Jp � ìîìåíòû èíåðöèè ïëàòôîðì (ïðåäïîëàãà-
åòñÿ, ÷òî îíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé). Âñå ìîìåíòû èíåðöèè âû÷èñëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî
îñè Oz, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñíåéêáîðä äâèæåò-
Ðèñ. 4. Ìîäåëü ñíåéêáîðäà.
ñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî îòñóòñòâóåò áîêîâîå
ñêîëüæåíèå ïåðåäíåé è çàäíåé ïëàòôîðì,
ò. å. ïðîåêöèè ñêîðîñòåé òî÷åê A è B íà îñè
ñîîòâåòñòâóþùèõ êîëåñíûõ ïàð ðàâíû íó-
ëþ. Ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî
íà ñèñòåìó íàêëàäûâàþòñÿ äâå íåãîëîíîì-
íûå ñâÿçè, ïîäîáíûå òåì, ÷òî èìåþò ìåñòî
ïðè äâèæåíèè ñàíåé ×àïëûãèíà [8�10]:
ẋ sin (ϕ + θ)− ẏ cos (ϕ + θ)− lθ̇ cos ϕ = 0,
ẋ sin (θ − ϕ)− ẏ cos (θ − ϕ) + lθ̇ cos ϕ = 0.
(1)
Åñëè ââåñòè ñêîðîñòü V öåíòðà ìàññ
ñíåéêáîðäà, òî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé (1) ìîæíî
çàïèñàòü â âèäå
ẋ = V cos θ, ẏ = V sin θ, θ̇ =
V
l
sin ϕ
cos ϕ
. (2)
Óïðàâëåíèå ñíåéêáîðäîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì çàäàíèÿ ïîäõîäÿùåãî çàêîíà
èçìåíåíèÿ óãëà ïîâîðîòà ðîòîðà ψ è óãëà ïîâîðîòà ïëàòôîðì ϕ. Áóäåì ñ÷èòàòü ýòè
ïåðåìåííûå èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè, ò.å. ψ = ψ (t), ϕ = ϕ (t).
64
Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà
2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà çàïèøåì â ôîðìå
óðàâíåíèé Àïïåëÿ [9, 10]. Äëÿ ýòîãî âûïèøåì ñíà÷àëà ôóíêöèþ Àïïåëÿ (ýíåðãèþ óñêî-
ðåíèé) äàííîé ñèñòåìû. Èç ñîîòíîøåíèé (2) íàõîäèì
ẍ = V̇ cos θ − V 2
l
sin ϕ
cos ϕ
sin θ, ÿ = V̇ sin θ +
V 2
l
sin ϕ
cos ϕ
cos θ, θ̈ =
V̇
l
sin ϕ
cos ϕ
+
V
l
ϕ̇
cos2 ϕ
.
Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â ôóíêöèþ
S =
m
2
(
ẍ2 + ÿ2
)
+
J
2
θ̈2 +
Jr
2
(
θ̈ + ψ̈
)2
+
Jp
2
((
θ̈ + ϕ̈
)2
+
(
θ̈ − ϕ̈
)2
)
,
îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
S =
ml2 cos2 ϕ + (J + Jr + 2Jp) sin2 ϕ
2l2 cos2 ϕ
V̇ 2 +
(J + Jr + 2Jp) ϕ̇ sin ϕ
l2 cos3 ϕ
V V̇ +
Jr
l
ψ̈ sin ϕ
cos ϕ
V̇ .
 âûðàæåíèè äëÿ ôóíêöèè S ïðèâåäåíû òîëüêî ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå îò V̇ . Ñîîò-
âåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Àïïåëÿ, îïðåäåëÿþùåå çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè V , èìååò âèä
∂S/∂V̇ = 0. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíåéê-
áîðäà
ẋ = V cos θ, ẏ = V sin θ, θ̇ =
V
l
sin ϕ
cos ϕ
, V̇ + P (t) V = Q (t) , (3)
P (t) =
(J + Jr + 2Jp) ϕ̇ (t) sin ϕ (t)(
ml2 cos2 ϕ (t) + (J + Jr + 2Jp) sin2 ϕ (t)
)
cos ϕ (t)
,
Q (t) = − Jrlψ̈ (t) sin ϕ (t) cos ϕ (t)
ml2 cos2 ϕ (t) + (J + Jr + 2Jp) sin2 ϕ (t)
.
Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3) îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè V îò óïðàâëÿ-
åìûõ ïåðåìåííûõ ψ = ψ (t), ϕ = ϕ (t). Ðåøåíèå åãî ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì V (0) = V0
îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé [10, 11]
V (t) = exp
−
t∫
0
P (t1) dt1
t∫
0
Q (t1) exp
t1∫
0
P (t2) dt2
dt1 + V0
.
Ïîäñòàâèâ â äàííóþ ôîðìóëó âûðàæåíèÿ äëÿ P (t) è Q (t) è ïðîèíòåãðèðîâàâ, ïî-
ëó÷èì
V (t) =
cos ϕ (t)√
cos2 ϕ (t) + k2 sin2 ϕ (t)
V0 − Jr
ml
t∫
0
ψ̈ (t1) sin ϕ (t1) dt1√
cos2 ϕ (t1) + k2 sin2 ϕ (t1)
. (4)
Çäåñü ÷åðåç k2 îáîçíà÷åíî âûðàæåíèå
k2 =
J + Jr + 2Jp
ml2
.
65
À.Ñ. Êóëåøîâ
Ïîñëå òîãî, êàê íàéäåíî âûðàæåíèå äëÿ V (t), èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3)
ïîëó÷àåì
θ (t) = θ (0) +
t∫
0
V (t1)
l
sin ϕ (t1)
cos ϕ (t1)
dt1. (5)
Äàëåå, íàéäÿ âûðàæåíèå äëÿ θ (t), ìû ìîæåì ïîëó÷èòü èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé
ñèñòåìû (3)
x (t) = x (0) +
t∫
0
V (t1) cos θ (t1) dt1, y (t) = y (0) +
t∫
0
V (t1) sin θ (t1) dt1. (6)
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à î äâèæåíèè ñíåéêáîðäà ïðè ïðîèçâîëüíîì çàêîíå èçìåíå-
íèÿ óïðàâëÿåìûõ ïåðåìåííûõ ñâåäåíà ê êâàäðàòóðàì (4) � (6). Îäíàêî èññëåäîâàíèå
ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ïðè çàäàííîì çàêîíå èçìåíåíèÿ ψ = ψ (t), ϕ = ϕ (t) ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé äîâîëüíî ñëîæíóþ çàäà÷ó. Íèæå òàêîå èññëåäîâàíèå ïðîâåäåíî â ïðåäïîëîæåíèè,
÷òî óïðàâëÿåìûå ïåðåìåííûå èçìåíÿþòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó.
3. Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. Èç íàáëþäå-
íèé çà äâèæåíèåì ðàéäåðîâ áûëî ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïåðåìåííûå ψ (t) è ϕ (t)
èçìåíÿþòñÿ ïî çàêîíó
ψ = ar sin (ωrt) , ϕ = ap sin (ωpt) .
Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [1] ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíåéê-
áîðäà äëÿ ïåðåìåííûõ ψ è ϕ áûë âûáðàí àíàëîãè÷íûé çàêîí èçìåíåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì
òàêæå, ÷òî àìïëèòóäà ap â âûðàæåíèè äëÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ap ≤ 0.5 ðàä.
Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó −1≤sin (ωpt)≤1, òî −0.5≤ϕ≤0.5. Â ýòîì ïðîìåæóòêå èçìåíåíèÿ
óãëà ϕ, îñíîâûâàÿñü íà ñâîéñòâàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ìû áóäåì ïðèáëèæåí-
íî ñ÷èòàòü, ÷òî
sin ϕ ≈ ϕ− ϕ3/6, cos ϕ ≈ 1− ϕ2/2,
ò.å. áóäåì ïðåíåáðåãàòü âåëè÷èíàìè, èìåþùèìè ïî ïàðàìåòðó ap ïîðÿäîê ìàëîñòè, âû-
øå òðåòüåãî. Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî àìïëèòóäà ap ìåíÿåòñÿ â óêàçàííûõ ïðåäåëàõ, âïîëíå
îïðàâäàíî êîíñòðóêòèâíûìè îñîáåííîñòÿìè ñíåéêáîðäà. Êðîìå òîãî ïîëàãàåì, ÷òî íà-
÷àëüíûå çíà÷åíèÿ âñåõ îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ � íóëåâûå, ò.å.
x (0) = y (0) = 0, θ (0) = 0, V (0) = 0.
Ñ ó÷åòîì âñåõ ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ óïðîùåííóþ ôîðìóëó
äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû V (t):
V (t) ≈ Jrarapω
2
r
ml
(
1− a2
pk
2
2
sin2 (ωpt)
) t∫
0
sin (ωrt1) sin (ωpt1) dt1+
+ a2
p
(
1
3
− k2
2
) t∫
0
sin (ωrt1) sin3 (ωpt1) dt1
.
(7)
Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî õàðàêòåð äâèæåíèÿ ðàéäåðà íà ñíåéê-
áîðäå çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷àñòîòàìè ωr è ωp.
66
Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà
4. Íåðåçîíàíñíûé ñëó÷àé.  ñëó÷àå, êîãäà ωr 6= ωp, âûðàæåíèÿ äëÿ îñíîâíûõ
ïåðåìåííûõ çàäà÷è ïîëó÷àþòñÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè. Äëÿ óïðîùåíèÿ ñîîòâåòñòâó-
þùèõ ôîðìóë ââåäåì äîïîëíèòåëüíîå îáîçíà÷åíèå: Ωαβ
i = αωr + (−1)i βωp. Ïðîèçâîäÿ
èíòåãðèðîâàíèå â ôîðìóëå (7), ïîëó÷èì äëÿ V (t) ñëåäóþùåå âûðàæåíèå:
V (t) =
Jrarapω
2
r
2ml
2∑
i=1
[
ci
sin (Ω13
i t)
Ω13
i
+ di+1
sin (Ω11
i t)
Ω11
i
]
,
ci = (−1)i a2
p
4
(
1
3
− k2Ω12
i
Ω11
i
)
, di = (−1)i
(
1 +
a2
p
4
(
1− k2Ω32
i
Ω11
i
))
.
Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â èíòåãðàë (5) è ñîõðàíÿÿ ëèøü ÷ëåíû, ñîäåð-
æàùèå ap â ñòåïåíÿõ ìåíüøèõ òðåòüåé, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ íàéäåì
θ (t) =
Jrara
2
pω
2
r
4ml2
[
2∑
i=1
sin (Ω12
i t)
Ω11
i Ω12
i
− 2 sin (ωrt)
Ω11
1 Ω11
2
]
.
Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð ap âõîäèò â âûðàæåíèå äëÿ θ (t) âî âòîðîé ñòåïåíè. Ñ
äðóãîé ñòîðîíû, åñëè Ω11
i 6= 0 è Ω12
i 6= 0 (i = 1, 2), òî ôóíêöèÿ
2∑
i=1
sin (Ω12
i t)
Ω11
i Ω12
i
− 2 sin (ωrt)
Ω11
1 Ω11
2
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè t îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ θ (t) èìååò
âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî ap è ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü
ẋ = V cos θ ≈ V, ẏ = V sin θ ≈ V θ.
Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ x (t) è y (t):
x (t) =
Jrarapω
2
r
ml
2∑
i=1
[
ci
sin2 (Ω13
i t/2)
(Ω13
i )
2 + di+1
sin2 (Ω11
i t/2)
(Ω11
i )
2
]
,
y (t) =
J2
r a2
ra
3
pω
4
r
16m2l3
[
2∑
i=1
(−1)i
Ω11
i Ω12
i
(
sin (Ω23
i t)
Ω11
i Ω23
i
− Ω35
i sin (Ω21
i t)
Ω11
1 Ω11
2 Ω21
i
)
+
+
16 sin (ωpt)
Ω12
1 Ω12
2 Ω11
1 Ω11
2
(
3ω2
p
2Ω11
1 Ω11
2
+
sin2 (ωpt)
3
)]
.
Âèäíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ íà ÷àñòîòû ωr è ωp çíàìåíàòåëè äðîáåé,
âõîäÿùèõ â ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ V (t), θ (t), x (t) è y (t), ìîãóò îáðàùàòüñÿ â
íóëü. Ïåðå÷èñëèì çäåñü âñå èìåþùèåñÿ ñëó÷àè:
1. Ω11
i = 0 (i = 1, 2), ò. å. ωr = ±ωp,
2. Ω12
i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. ωr = ±2ωp,
3. Ω21
i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. 2ωr = ±ωp,
4. Ω23
i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. 2ωr = ±3ωp,
5. Ω13
i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. ωr = ±3ωp .
67
À.Ñ. Êóëåøîâ
Åñëè ïðè äâèæåíèè ðàéäåðà íà ñíåéêáîðäå îäíî èç ïåðå÷èñëåííûõ ñîîòíîøåíèé
îêàæåòñÿ âûïîëíåííûì, òî â ñèñòåìå âîçíèêàåò îïðåäåëåííûé ðåçîíàíñ, êîòîðîìó ñîîò-
âåòñòâóåò îïðåäåëåííûé òèï äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà. Îñíîâíîé ïðèíöèï äâèæåíèÿ ðàé-
äåðà íà ñíåéêáîðäå çàêëþ÷àåòñÿ â óìåëîì äîñòèæåíèè òîãî èëè èíîãî ðåçîíàíñíîãî
ñîîòíîøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî æåëàåìîìó òèïó ìàíåâðà. Äâèæåíèå ñíåéêáîðäà â ðå-
çîíàíñíûõ ñëó÷àÿõ áóäåò èññëåäîâàíî íèæå. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) èññëåäîâàëàñü ÷èñ-
ëåííî ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ:
m = 6 êã, J = 0.016 êã · ì2, Jr = 0.072 êã · ì2, Jp = 0.0013 êã · ì2, l = 0.2ì. (8)
Ýòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñîîò-
Ðèñ. 5. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ â íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå.
âåòñòâóþò ìîäåëè, îïèñàííîé â ðà-
áîòå [1]. Ïàðàìåòðû, âõîäÿùèå â çà-
êîí èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ ψ è ϕ, âû-
áåðåì ñîîòâåòñòâóþùèìè íåðåçîíàíñ-
íîìó ñëó÷àþ
ar = 0.7 ðàä, ap = 0.3 ðàä,
ωr = 1/
√
2 ðàä/c, ωp = 1/
√
3 ðàä/c.
×èñëåííûé àíàëèç ñèñòåìû (3)
â íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå ïîêàçàë, ÷òî
ïðè ëþáîì çíà÷åíèè t òî÷íîå è ïðè-
áëèæåííîå ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî áëèç-
êè äðóã ê äðóãó. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíà òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè
x(t), y(t). Ïîäîáíàÿ òðàåêòîðèÿ õàðàêòåðíà äëÿ íà÷èíàþùèõ ðàéäåðîâ, äåëàþùèõ ïåð-
âûå øàãè â îñâîåíèè ñíåéêáîðäà.
5. Ðåçîíàíñ 1:1(äâèæåíèå âïåðåä). Èññëåäîâàíèå ðåçîíàíñíûõ ñëó÷àåâ íà÷íåì
ñî ñëó÷àÿ ωr =ωp =ω (ñëó÷àé ωr =−ωp èññëåäóåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ââåäåì áåçðàçìåðíîå
âðåìÿ τ ïî ôîðìóëå τ =ωt. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), íàéäåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ
ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû:
V (τ)=
Jrarapω
2ml
[(
τ− sin (2τ)
2
)(
1+
a2
p
4
(
1− 5k2
2
+k2 cos (2τ)
))
− a2
p
4
(
2
3
−k2
)
sin3 τ cos τ
]
.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì ñêîðîñòü
öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ðàéäåð ïðè
äâèæåíèè íà ñíåéêáîðäå äîáüåòñÿ, ÷òîáû ÷àñòîòû âðàùåíèÿ òóëîâèùåì è ñòîïàìè íîã
ñîâïàäàëè, òî îí ñìîæåò ïðîäâèãàòüñÿ âïåðåä. Â ýòîì ñîñòîèò îäèí èç îñíîâíûõ ïðèí-
öèïîâ äèíàìèêè ñíåéêáîðäà.
Ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ θ (τ) èìååò âèä:
θ (τ) =
Jrara
2
p
2ml2
(
sin τ − τ cos τ − sin3 τ
3
)
.
Âèäíî, ÷òî θ (τ) òàê æå, êàê è V (τ), îêàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, ëèíåéíî ðàñòóùåé
ñî âðåìåíåì. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ ìàëûì ëèøü äî íåêîòîðîãî ìîìåíòà
68
Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà
âðåìåíè. Åñëè ñ÷èòàòü θ, êàê è ϕ, ìàëûì ïðè θ ≤ 0.5 ðàä., òî ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ
îöåíêó äëÿ ýòîãî ìîìåíòà
Jrara
2
p
2ml2
τ ≤ 1
2
ò. å. τ ≤ ml2
Jrara2
p
.
Ïîäñòàâèì â äàííóþ ôîðìóëó çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, âõî-
äÿùèõ â çàêîí èçìåíåíèÿ óïðàâëÿåìûõ ïåðåìåííûõ, ïðèìåì ðàâíûìè
ar = 0.7 ðàä, ap = 0.3 ðàä, ω = 1 ðàä/ñ.
Ïðè ýòîì äëÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè, íà êîòîðîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ ìàëûì, ïî-
ëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ îöåíêà: τ ≤ 52.91.
Ïðè ìàëîì θ äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àåì òàêèå âûðàæåíèÿ:
x (τ)=
Jrarap
4ml
[(
τ 2−sin2 τ
)(
1+
a2
p (1−2k2)
4
)
− a2
p
8
(
2 sin4 τ
3
+k2
(
τ− 3 sin (2τ)
2
)(
τ− sin (2τ)
2
))]
,
y (τ) =
J2
r a2
ra
3
p
4m2l3
[(
28
9
− τ 2
)
sin τ − 4
3
(
2 +
cos2 τ
3
)
τ cos τ +
(
sin2 τ
5
− 13
9
)
sin3 τ
3
]
.
Ïðîâåäåííûé ÷èñëåííûé àíàëèç
Ðèñ. 6. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 1:1 .
ñèñòåìû ïîêàçàë, ÷òî íà ïðîìåæóòêå
âðåìåíè, íà êîòîðîì óãîë θ (τ) ìîæ-
íî ñ÷èòàòü ìàëûì, òî÷íîå è ïðèáëè-
æåííîå ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî áëèçêè
äðóã ê äðóãó. Íà ðèñ. 6 ïðåäñòàâëå-
íà òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû
íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàí-
ñå 1:1.
6. Ðåçîíàíñ 2:1 (ðàçâîðîò).
Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ÷à-
ñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì
ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì ωr = 2ωp = 2ω
(ñëó÷àé ωr = −2ωp èññëåäóåòñÿ àíà-
ëîãè÷íî). Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, áóäåì èñïîëüçîâàòü áåçðàçìåðíîå âðåìÿ τ .
Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ
ñèñòåìû V (τ) ïðè ðåçîíàíñå 2:1
V (τ) =
8Jrarapω
3ml
(
1 +
a2
p
5
(
1− 4k2
)
sin2 τ
)
sin3 τ.
Âûðàæåíèå, ïîëó÷àåìîå äëÿ ôóíêöèè θ (τ), èìååò âèä
θ (τ) =
Jrara
2
p
ml2
(
τ − 2
3
sin (2τ) +
sin (4τ)
12
)
.
Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ñëó÷àå ðåçîíàíñà 1:1, óãîë θ (τ) îêàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé,
ëèíåéíî ðàñòóùåé ñî âðåìåíåì. Ñ÷èòàòü ýòîò óãîë ìàëûì ìîæíî íà ïðîìåæóòêå
τ ≤ ml2
2Jrara2
p
.
69
À.Ñ. Êóëåøîâ
Ïîäñòàâëÿÿ â äàííóþ ôîðìóëó çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8), à òàêæå çíà÷åíèÿ
ar = 1 ðàä, ap = 0.5 ðàä, ω = 1 ðàä/ñ , (9)
ïîëó÷àåì, ÷òî τ ≤ 6.67.
Íà äàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè ïðè ìàëîì θ (τ) äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àþòñÿ ñëå-
äóþùèå âûðàæåíèÿ:
x (τ)=
8Jrarap
9ml
(1−cos τ)2
[
(2+cos τ)
(
1+
4a2
p (1−4k2)
25
)
− 3a2
p (1−4k2)
25
(1+cos τ)2 cos τ
]
,
y (τ) =
8J2
r a2
ra
3
p
9m2l3
[(
2 + sin2 τ
) (
sin τ − τ cos τ − sin3 τ
3
)
−
(
4
15
+
2 sin2 τ
7
)
sin5 τ
]
.
Íà ðèñ. 7 ïðåäñòàâëåí âèä òðàåê-
Ðèñ. 7. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 2:1 .
òîðèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñ-
êîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàíñå 2:1.
7. Ðåçîíàíñ 1:2 (äâèæåíèå
"ãàëñàìè"). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó-
÷àé, êîãäà ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòî-
ðà è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíè-
åì 2ωr = ωp = 2ω (ñëó÷àé 2ωr = −ωp
ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ñ ïî-
ìîùüþ ôîðìóëû (7) ïîëó÷àåì ñëåäó-
þùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåí-
òðà ìàññ ñèñòåìû V (τ) ïðè ðåçîíàíñå
1:2 :
V (τ) =
2Jrarapω
3ml
[
1 +
4a2
p sin2 τ
7
((
1− 4k2
) (
7
5
− sin2 τ
)
+ k2 sin2 τ
)]
sin3 τ.
Äëÿ ôóíêöèè θ (τ) ïîëó÷àåì ñî-
Ðèñ. 8. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 1:2 .
îòâåòñòâåííî:
θ (τ) =
4Jrara
2
p
15ml2
sin5 τ.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàêñèìóì ýòîãî
âûðàæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå τ =
= π/2 è ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðà-
ìåòðîâ (8), (9), óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàê-
ñèìóì ôóíêöèè θ (τ) ðàâåí 1/50 è,
ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì τ ìû ìî-
æåì ñ÷èòàòü óãîë θ (τ) ìàëûì. Ïðè
ýòîì äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àåì:
x (τ) =
Jrarap
6ml
[
(1−cos τ)3
(
8
3
+3 cos τ +cos2 τ
)(
1+
16a2
p (19−46k2)
1225
)
+
+
(
1+
16a2
p (1−5k2) sin2 τ
49
)
sin4 τ cos τ
]
,
70
Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà
y (τ) =
J2
r a2
ra
3
p
12m2l3
[
7τ
12
− 7
15
sin (2τ) +
7
60
sin (4τ)− sin (6τ)
45
+
sin (8τ)
480
]
.
Âèä òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàíñå 1:2
ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 8.
8. Ðåçîíàíñ 3:2 (äâèæåíèå "ãàëñàìè"). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷à-
ñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì 2ωr = 3ωp èëè ωr = 3ω,
ωp = 2ω. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà
ìàññ ñèñòåìû V (τ) ïðè ðåçîíàíñå 3:2
V (τ)=
18Jrarapω
ml
[
1− 4
5
(
1−a2
p
(
1−4k2
))
sin2 τ +
4a2
p
3
(
1− 21k2
5
)(
4
9
sin2 τ−1
)
sin4 τ
]
sin3 τ.
Äàëåå, äëÿ ôóíêöèè θ (τ) ïîëó÷à-
Ðèñ. 9. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 3:2 .
åì:
θ (τ) =
36Jrara
2
p
5ml2
(
1− 4
7
sin2 τ
)
sin5 τ.
Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî, êàê è â
ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ìàêñèìóì äàí-
íîãî âûðàæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå
τ = π/2. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8), (9), óáåæ-
äàåìñÿ, ÷òî ìàêñèìóì ôóíêöèè θ(τ)
ïðèáëèæåííî ðàâåí 0.23143 è, ñëåäî-
âàòåëüíî, ïðè ëþáîì τ ìû ìîæåì
ñ÷èòàòü óãîë θ(τ) ìàëûì. Ïðè ýòîì äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àþòñÿ òàêèå âûðàæåíèÿ:
x(τ) =
72Jrarap
25ml
[
(1− cos τ)2
(3
2
+ cos τ
)(
1 +
cos τ
2
+ cos2 τ
)
+
5a2
p
81
(
(1− cos τ)2
(8
3
+
+ 3 cos τ + cos2 τ
)(11
5
−6k2
)
+
(
5− 21k2
) (
1+
4
3
cos2 τ
)
sin6 τ cos τ
)]
,
y (τ)=
81J2
r a2
ra
3
p
16m2l3
[
τ− 116
175
sin (2τ)+
sin (4τ)
20
+
4
105
sin (6τ)− 19
1400
sin (8τ)+
sin (12τ)
2100
]
.
Âèä òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàíñå 3:2
ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 9.
9. Ðåçîíàíñ 3:1. Ïîñëåäíèì ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà
è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì ωr = 3ωp = 3ω (ñëó÷àé ωr = −3ωp ðàññìàòðèâàåòñÿ
àíàëîãè÷íî). Ïðè ðåçîíàíñå 3:1, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå
äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû:
V (τ)=
9Jrarapω
ml
[(
1− a2
p
3
sin2 τ
)
sin3 τ cos τ +
a2
p
48
(
1
3
− k2
2
)((
3+2 sin2 τ +40 sin4 τ
)
sin (2τ)−6τ
)]
.
Äëÿ ôóíêöèè θ (τ) ïîëó÷àåì
θ (τ) =
9Jrara
2
p
5ml2
sin5 τ.
71
À.Ñ. Êóëåøîâ
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàêñèìóì äàííîãî âûðàæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå τ = π/2 è ïîäñòàâëÿÿ
çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8), (9), óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàêñèìóì ôóíêöèè θ (τ) ðàâåí 0.135 è,
ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì τ ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ (τ) ìàëûì. Ïðè ýòîì äëÿ x (τ) è
y (τ) ïîëó÷àåì:
x(τ) =
9Jrarap
4ml
[(
1− 2a2
p
9
sin2 τ
)
sin4 τ +
a2
p
36
(
1
3
− k2
2
) (
9 sin2 τ + 3 sin4 τ + 40 sin6 τ − 9τ 2
)]
,
y (τ) =
9J2
r a2
ra
3
p
5m2l3
sin9 τ.
Âèä òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñè-
Ðèñ. 10. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 3:1 .
ñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðå-
çîíàíñå 3:1 ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 10.
Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíû îñ-
íîâíûå òèïû äâèæåíèÿ ðàéäåðà íà
ñíåéêáîðäå. Ïîêàçàíî, ïðè êàêèõ
óñëîâèÿõ âîçìîæíî äâèæåíèå âïåðåä,
ïðè êàêèõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàçâîðîò è
ò.ï. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû âî ìíî-
ãîì ñîãëàñóþòñÿ ñ òåì, ÷òî áûëî çà-
ìå÷åíî ïðè íàáëþäåíèè çà äâèæåíè-
åì ðàéäåðîâ è â îïûòàõ ñ ðåàëüíûì
ñíåéêáîðäîì.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (04-01-00398), ãðàíòà "Íàó÷-
íûå øêîëû"(ÍØ-2000.2003.1)
1. Lewis A.D, Ostrowski J.P, Murray R.M. and Burdick J.W. Nonholonomic mechanics and locomotion:
the Snakeboard example // Proc. of the IEEE ICRA � 1994. � P. 2391-2400.
2. Ostrowski J.P., Burdick J.W., Lewis A.D. and Murray R.M. The Mechanics of Undulatory Locomotion:
The Mixed Kinematic and Dynamic Case // Ibid. � 1995. � P. 1945-1951.
3. Ostrowski J.P. The Mechanics and Control of Undulatory Robotic Locomotion // Ph.D. thesis, California
Institute of Technology, Pasadena, California � 1995.
4. Ostrowski J.P., Desai J.P. and Kumar V. Optimal gait selection for nonholonomic locomotion systems
// Internat. Journ. Robotics Res. � 2000. � 19, � 5 � P. 225-237.
5. Bloch A.M, Krishnaprasad P.S., Marsden J.E. and Murray R.M. Nonholonomic Mechanical Systems
with Symmetry // Archive for Rational Mechanics and Analysis. � 1996. � 136, � 1. � P. 21-99.
6. Koon W.S. and Marsden J.E. Optimal control for holonomic and nonholonomic mechanical systems with
symmetry and Lagrangian reduction // SIAM J. Control Optim. � 1997. � 35, � 3. � P. 901-929.
7. Bullo F., Lewis A.D. Kinematic controllability and motion planning for the snakeboard // IEEE
Transactions on Robotics and Automation � 2003. � 19, � 3. � P. 494-498.
8. Íåéìàðê Þ.È., Ôóôàåâ Í.À. Äèíàìèêà íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì. � Ì.: Íàóêà, 1967. � 519 ñ.
9. Ëóðüå À.È. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. � Ì.: Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèò-ðû, 1961. � 824 ñ.
10. Ispolov Yu. G., Smolnikov B.A. Skateboard Dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and
Engineering. � 1996. � 131. � P. 327-333.
11. Çàéöåâ Â.Ô., Ïîëÿíèí À.Ä. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. � Ì.:
Íàóêà, 1995. � 560 ñ.
ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, Ìîñêâà
kuleshov@mech.math.msu.su
akule@pisem.net
Ïîëó÷åíî 12.10.05
72
|