О динамике снейкборда

В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения с...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автор: Кулешов, А.С.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Назва видання:Механика твердого тела
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123764
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:О динамике снейкборда / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 63-72. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-123764
record_format dspace
spelling irk-123456789-1237642017-09-10T03:04:46Z О динамике снейкборда Кулешов, А.С. В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения снейкборда (движение вперед, поворот, движение "галсами"). Все полученные аналитические результаты подтверждены серией компьютерных экспериментов. 2005 Article О динамике снейкборда / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 63-72. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123764 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description В работе проведено исследование простейшей модели одной из модификаций скейтборда, известной как снейкборд. Уравнения движения модели представлены в форме уравнений Аппеля, что позволило провести не только численное, но и аналитическое исследование данных уравнений. Изучены различные типы движения снейкборда (движение вперед, поворот, движение "галсами"). Все полученные аналитические результаты подтверждены серией компьютерных экспериментов.
format Article
author Кулешов, А.С.
spellingShingle Кулешов, А.С.
О динамике снейкборда
Механика твердого тела
author_facet Кулешов, А.С.
author_sort Кулешов, А.С.
title О динамике снейкборда
title_short О динамике снейкборда
title_full О динамике снейкборда
title_fullStr О динамике снейкборда
title_full_unstemmed О динамике снейкборда
title_sort о динамике снейкборда
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2005
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123764
citation_txt О динамике снейкборда / А.С. Кулешов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 63-72. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series Механика твердого тела
work_keys_str_mv AT kulešovas odinamikesnejkborda
first_indexed 2025-07-09T00:14:13Z
last_indexed 2025-07-09T00:14:13Z
_version_ 1837126196582678528
fulltext ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35 ÓÄÊ 531.36 c©2005. À.Ñ. Êóëåøîâ Î ÄÈÍÀÌÈÊÅ ÑÍÅÉÊÁÎÐÄÀ  ðàáîòå ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå ïðîñòåéøåé ìîäåëè îäíîé èç ìîäèôèêàöèé ñêåéòáîðäà, èçâåñòíîé êàê ñíåéêáîðä. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîäåëè ïðåäñòàâëåíû â ôîðìå óðàâíåíèé Àïïåëÿ, ÷òî ïîçâîëèëî ïðîâåñòè íå òîëüêî ÷èñëåííîå, íî è àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå äàííûõ óðàâíåíèé. Èçó÷åíû ðàçëè÷- íûå òèïû äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà (äâèæåíèå âïåðåä, ïîâîðîò, äâèæåíèå "ãàëñàìè"). Âñå ïîëó÷åííûå àíàëèòè÷åñêèå ðåçóëüòàòû ïîäòâåðæäåíû ñåðèåé êîìïüþòåðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ. 1. Îïèñàíèå óñòðîéñòâà è ìîäåëè. Ñíåéêáîðä ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíó èç ìî- äèôèêàöèé õîðîøî èçâåñòíîãî ñêåéòáîðäà è ïîçâîëÿåò ÷åëîâåêó ïðîäâèãàòüñÿ âïåðåä áåç äîïîëíèòåëüíîãî ñîïðèêîñíîâåíèÿ íîã ñ çåìëåé. Ïåðâûé ñíåéêáîðä ïîÿâèëñÿ â 1989 ãîäó è ñ ýòîãî ìîìåíòà è äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè ïðèîáðåë ìíîæåñòâî ïîêëîííèêîâ ñðåäè ëþáèòåëåé ýêñòðåìàëüíîãî êàòàíèÿ. Âñêîðå ïîñëå èçîáðåòåíèÿ ñíåéêáîðäà ïî- ÿâèëèñü è ïåðâûå ñòàòüè, â êîòîðûõ äåëàëèñü ïîïûòêè äàòü ìàòåìàòè÷åñêîå îïèñàíèå îñíîâíûõ ïðèíöèïîâ äâèæåíèÿ ÷åëîâåêà íà ñíåéêáîðäå. Ïåðâàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ ìîäåëü ñíåéêáîðäà áûëà ïðåäëîæåíà â ðàáîòå [1], â êîòîðîé òàêæå áûëè âûâåäåíû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ìîäåëè â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà ñ ìíîæèòåëÿìè, è áûë ïðîâåäåí ÷èñ- ëåííûé àíàëèç ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé. Èññëåäîâàíèÿ, íà÷àòûå â [1], áûëè ïðîäîëæåíû â ðàáîòàõ [2�7]. Îäíàêî âñå ýòè èññëåäîâàíèÿ ñâîäèëèñü, â îñíîâíîì, ê ÷èñëåííîìó èçó- ÷åíèþ ðàçëè÷íûõ ôîðì óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà.  äàííîé ðàáîòå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ïðåäëîæåííîé â [1] ìîäåëè ñíåéêáîðäà ïðåäñòàâëåíû â ôîðìå óðàâíåíèé Àï- ïåëÿ, ÷òî ïîçâîëèëî ïðîâåñòè íå òîëüêî ÷èñëåííîå, íî è àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå äàííûõ óðàâíåíèé. Ñíåéêáîðä (ðèñ. 1, 2) ñîñòîèò Ðèñ. 1. Îáùèé âèä ñíåéêáîðäà. èç äâóõ ïëàòôîðì íà êîëåñàõ, íà êàæäóþ èç êîòîðûõ ðàéäåð � ÷å- ëîâåê, êàòàþùèéñÿ íà ñíåéêáîð- äå, óñòàíàâëèâàåò îäíó èç ñâîèõ íîã. Ïëàòôîðìû ñâÿçàíû ìåæ- äó ñîáîé æåñòêèì ñòåðæíåì � êðîññáàðîì. Íà êîíöàõ êðîññáàðà èìåþòñÿ øàðíèðû, ïîçâîëÿþùèå êàæäîé èç ïëàòôîðì âðàùàòüñÿ âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè.  èñ- õîäíîì ïîëîæåíèè ðàéäåð ñòîèò íà ñíåéêáîðäå òàê, ÷òî ñòîïû åãî íîã íàïðàâëåíû âíóòðü (ðèñ. 3). Çàòåì ðàéäåð ïîâî- ðà÷èâàåò ñâîå òóëîâèùå íà íåêîòîðûé óãîë è íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ïî äóãå îêðóæíîñòè, îïðåäåëåííîé óãëîì ïîâîðîòà êîëåñíûõ îñåé. Ïîñëå ýòîãî ðàéäåð ðàçâîðà÷èâàåò ñòîïû íîã íàðóæó è äåëàåò ïîâîðîò òóëîâèùåì â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Ïðîäîëæàÿ ýòîò ïðîöåññ, ðàéäåð ïðîäâèãàåòñÿ âïåðåä. 63 À.Ñ. Êóëåøîâ Ðèñ. 2. Ñõåìà ñíåéêáîðäà. Ðèñ. 3. Èíñòðóêöèÿ ïî êàòàíèþ íà ñíåéêáîðäå. Ýëåìåíòàðíàÿ ìîäåëü ñíåéêáîðäà, ïðåäëîæåííàÿ â ðàáîòå [1], ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 4. Ïóñòü Oxy � íåïîäâèæíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò ñ íà÷àëîì â íåêîòîðîé òî÷êå O ïëîñêîñòè, ïî êîòîðîé äâèæåòñÿ ñíåéêáîðä. Ïóñòü x è y � êîîðäèíàòû öåíòðà ìàññ ñèñòåìû, θ � óãîë ìåæäó ïðîäîëüíîé îñüþ ñíåéêáîðäà è îñüþ Ox. Äâèæåíèå êîðïóñà ðàéäåðà ìîäåëèðóåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðîòîðà, êîòîðûé ñõåìàòè÷íî â âèäå ãàíòåëè èçîáðà- æåí íà ðèñ. 4, è óãîë ïîâîðîòà êîòîðîãî îáîçíà÷åí ψ. Îáû÷íî ïðè êàòàíèè ðàéäåð òàê äâèãàåò ñòîïàìè íîã, ÷òîáû ïëàòôîðìû ïîâîðà÷èâàëèñü íà îäèí è òîò æå óãîë, íî â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ïðîäîëüíîé îñè ñíåéêáîðäà (ðèñ. 3, 4). Ýòîò óãîë îáîçíà÷åí ϕ. Ïóñòü m � ìàññà ñèñòåìû, l � ðàññòîÿíèå îò öåíòðà ìàññ ñèñòå- ìû äî òî÷åê A è B êðåïëåíèÿ îñåé êîëåñ (ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ïåðåäíÿÿ è çàäíÿÿ ïàðû êîëåñ ðàñïîëîæåíû íà îäèíàêîâîì ðàññòîÿíèè îò öåíòðà ìàññ), J � ìîìåíò èíåðöèè êðîññáàðà, Jr � ìîìåíò èíåðöèè ðîòîðà, Jp � ìîìåíòû èíåðöèè ïëàòôîðì (ïðåäïîëàãà- åòñÿ, ÷òî îíè ðàâíû ìåæäó ñîáîé). Âñå ìîìåíòû èíåðöèè âû÷èñëÿþòñÿ îòíîñèòåëüíî îñè Oz, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëîñêîñòè äâèæåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñíåéêáîðä äâèæåò- Ðèñ. 4. Ìîäåëü ñíåéêáîðäà. ñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òî îòñóòñòâóåò áîêîâîå ñêîëüæåíèå ïåðåäíåé è çàäíåé ïëàòôîðì, ò. å. ïðîåêöèè ñêîðîñòåé òî÷åê A è B íà îñè ñîîòâåòñòâóþùèõ êîëåñíûõ ïàð ðàâíû íó- ëþ. Ýòî òðåáîâàíèå ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íà ñèñòåìó íàêëàäûâàþòñÿ äâå íåãîëîíîì- íûå ñâÿçè, ïîäîáíûå òåì, ÷òî èìåþò ìåñòî ïðè äâèæåíèè ñàíåé ×àïëûãèíà [8�10]: ẋ sin (ϕ + θ)− ẏ cos (ϕ + θ)− lθ̇ cos ϕ = 0, ẋ sin (θ − ϕ)− ẏ cos (θ − ϕ) + lθ̇ cos ϕ = 0. (1) Åñëè ââåñòè ñêîðîñòü V öåíòðà ìàññ ñíåéêáîðäà, òî óðàâíåíèÿ ñâÿçåé (1) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ẋ = V cos θ, ẏ = V sin θ, θ̇ = V l sin ϕ cos ϕ . (2) Óïðàâëåíèå ñíåéêáîðäîì îñóùåñòâëÿåòñÿ ïîñðåäñòâîì çàäàíèÿ ïîäõîäÿùåãî çàêîíà èçìåíåíèÿ óãëà ïîâîðîòà ðîòîðà ψ è óãëà ïîâîðîòà ïëàòôîðì ϕ. Áóäåì ñ÷èòàòü ýòè ïåðåìåííûå èçâåñòíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè, ò.å. ψ = ψ (t), ϕ = ϕ (t). 64 Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà 2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà çàïèøåì â ôîðìå óðàâíåíèé Àïïåëÿ [9, 10]. Äëÿ ýòîãî âûïèøåì ñíà÷àëà ôóíêöèþ Àïïåëÿ (ýíåðãèþ óñêî- ðåíèé) äàííîé ñèñòåìû. Èç ñîîòíîøåíèé (2) íàõîäèì ẍ = V̇ cos θ − V 2 l sin ϕ cos ϕ sin θ, ÿ = V̇ sin θ + V 2 l sin ϕ cos ϕ cos θ, θ̈ = V̇ l sin ϕ cos ϕ + V l ϕ̇ cos2 ϕ . Ïîäñòàâëÿÿ ýòè ñîîòíîøåíèÿ â ôóíêöèþ S = m 2 ( ẍ2 + ÿ2 ) + J 2 θ̈2 + Jr 2 ( θ̈ + ψ̈ )2 + Jp 2 (( θ̈ + ϕ̈ )2 + ( θ̈ − ϕ̈ )2 ) , îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì S = ml2 cos2 ϕ + (J + Jr + 2Jp) sin2 ϕ 2l2 cos2 ϕ V̇ 2 + (J + Jr + 2Jp) ϕ̇ sin ϕ l2 cos3 ϕ V V̇ + Jr l ψ̈ sin ϕ cos ϕ V̇ .  âûðàæåíèè äëÿ ôóíêöèè S ïðèâåäåíû òîëüêî ñëàãàåìûå, çàâèñÿùèå îò V̇ . Ñîîò- âåòñòâóþùåå óðàâíåíèå Àïïåëÿ, îïðåäåëÿþùåå çàêîí èçìåíåíèÿ ñêîðîñòè V , èìååò âèä ∂S/∂V̇ = 0. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîëó÷àåì ïîëíóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíåéê- áîðäà ẋ = V cos θ, ẏ = V sin θ, θ̇ = V l sin ϕ cos ϕ , V̇ + P (t) V = Q (t) , (3) P (t) = (J + Jr + 2Jp) ϕ̇ (t) sin ϕ (t)( ml2 cos2 ϕ (t) + (J + Jr + 2Jp) sin2 ϕ (t) ) cos ϕ (t) , Q (t) = − Jrlψ̈ (t) sin ϕ (t) cos ϕ (t) ml2 cos2 ϕ (t) + (J + Jr + 2Jp) sin2 ϕ (t) . Ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ñèñòåìû (3) îïðåäåëÿåò çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè V îò óïðàâëÿ- åìûõ ïåðåìåííûõ ψ = ψ (t), ϕ = ϕ (t). Ðåøåíèå åãî ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì V (0) = V0 îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîé [10, 11] V (t) = exp  − t∫ 0 P (t1) dt1     t∫ 0  Q (t1) exp   t1∫ 0 P (t2) dt2     dt1 + V0   . Ïîäñòàâèâ â äàííóþ ôîðìóëó âûðàæåíèÿ äëÿ P (t) è Q (t) è ïðîèíòåãðèðîâàâ, ïî- ëó÷èì V (t) = cos ϕ (t)√ cos2 ϕ (t) + k2 sin2 ϕ (t)  V0 − Jr ml t∫ 0 ψ̈ (t1) sin ϕ (t1) dt1√ cos2 ϕ (t1) + k2 sin2 ϕ (t1)   . (4) Çäåñü ÷åðåç k2 îáîçíà÷åíî âûðàæåíèå k2 = J + Jr + 2Jp ml2 . 65 À.Ñ. Êóëåøîâ Ïîñëå òîãî, êàê íàéäåíî âûðàæåíèå äëÿ V (t), èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (3) ïîëó÷àåì θ (t) = θ (0) + t∫ 0 V (t1) l sin ϕ (t1) cos ϕ (t1) dt1. (5) Äàëåå, íàéäÿ âûðàæåíèå äëÿ θ (t), ìû ìîæåì ïîëó÷èòü èç ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé ñèñòåìû (3) x (t) = x (0) + t∫ 0 V (t1) cos θ (t1) dt1, y (t) = y (0) + t∫ 0 V (t1) sin θ (t1) dt1. (6) Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à î äâèæåíèè ñíåéêáîðäà ïðè ïðîèçâîëüíîì çàêîíå èçìåíå- íèÿ óïðàâëÿåìûõ ïåðåìåííûõ ñâåäåíà ê êâàäðàòóðàì (4) � (6). Îäíàêî èññëåäîâàíèå ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ïðè çàäàííîì çàêîíå èçìåíåíèÿ ψ = ψ (t), ϕ = ϕ (t) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äîâîëüíî ñëîæíóþ çàäà÷ó. Íèæå òàêîå èññëåäîâàíèå ïðîâåäåíî â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî óïðàâëÿåìûå ïåðåìåííûå èçìåíÿþòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó. 3. Îñíîâíûå ïðåäïîëîæåíèÿ äëÿ äàëüíåéøåãî èññëåäîâàíèÿ. Èç íàáëþäå- íèé çà äâèæåíèåì ðàéäåðîâ áûëî ñäåëàíî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ïåðåìåííûå ψ (t) è ϕ (t) èçìåíÿþòñÿ ïî çàêîíó ψ = ar sin (ωrt) , ϕ = ap sin (ωpt) . Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå [1] ïðè ÷èñëåííîì èññëåäîâàíèè óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ñíåéê- áîðäà äëÿ ïåðåìåííûõ ψ è ϕ áûë âûáðàí àíàëîãè÷íûé çàêîí èçìåíåíèÿ. Ïðåäïîëîæèì òàêæå, ÷òî àìïëèòóäà ap â âûðàæåíèè äëÿ ϕ óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó ap ≤ 0.5 ðàä. Ïðè ýòîì, ïîñêîëüêó −1≤sin (ωpt)≤1, òî −0.5≤ϕ≤0.5.  ýòîì ïðîìåæóòêå èçìåíåíèÿ óãëà ϕ, îñíîâûâàÿñü íà ñâîéñòâàõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ìû áóäåì ïðèáëèæåí- íî ñ÷èòàòü, ÷òî sin ϕ ≈ ϕ− ϕ3/6, cos ϕ ≈ 1− ϕ2/2, ò.å. áóäåì ïðåíåáðåãàòü âåëè÷èíàìè, èìåþùèìè ïî ïàðàìåòðó ap ïîðÿäîê ìàëîñòè, âû- øå òðåòüåãî. Ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî àìïëèòóäà ap ìåíÿåòñÿ â óêàçàííûõ ïðåäåëàõ, âïîëíå îïðàâäàíî êîíñòðóêòèâíûìè îñîáåííîñòÿìè ñíåéêáîðäà. Êðîìå òîãî ïîëàãàåì, ÷òî íà- ÷àëüíûå çíà÷åíèÿ âñåõ îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ � íóëåâûå, ò.å. x (0) = y (0) = 0, θ (0) = 0, V (0) = 0. Ñ ó÷åòîì âñåõ ýòèõ ïðåäïîëîæåíèé ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ óïðîùåííóþ ôîðìóëó äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû V (t): V (t) ≈ Jrarapω 2 r ml   ( 1− a2 pk 2 2 sin2 (ωpt) ) t∫ 0 sin (ωrt1) sin (ωpt1) dt1+ + a2 p ( 1 3 − k2 2 ) t∫ 0 sin (ωrt1) sin3 (ωpt1) dt1   . (7) Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî õàðàêòåð äâèæåíèÿ ðàéäåðà íà ñíåéê- áîðäå çàâèñèò îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ÷àñòîòàìè ωr è ωp. 66 Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà 4. Íåðåçîíàíñíûé ñëó÷àé.  ñëó÷àå, êîãäà ωr 6= ωp, âûðàæåíèÿ äëÿ îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ çàäà÷è ïîëó÷àþòñÿ äîâîëüíî ãðîìîçäêèìè. Äëÿ óïðîùåíèÿ ñîîòâåòñòâó- þùèõ ôîðìóë ââåäåì äîïîëíèòåëüíîå îáîçíà÷åíèå: Ωαβ i = αωr + (−1)i βωp. Ïðîèçâîäÿ èíòåãðèðîâàíèå â ôîðìóëå (7), ïîëó÷èì äëÿ V (t) ñëåäóþùåå âûðàæåíèå: V (t) = Jrarapω 2 r 2ml 2∑ i=1 [ ci sin (Ω13 i t) Ω13 i + di+1 sin (Ω11 i t) Ω11 i ] , ci = (−1)i a2 p 4 ( 1 3 − k2Ω12 i Ω11 i ) , di = (−1)i ( 1 + a2 p 4 ( 1− k2Ω32 i Ω11 i )) . Ïîäñòàâëÿÿ ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå â èíòåãðàë (5) è ñîõðàíÿÿ ëèøü ÷ëåíû, ñîäåð- æàùèå ap â ñòåïåíÿõ ìåíüøèõ òðåòüåé, ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ íàéäåì θ (t) = Jrara 2 pω 2 r 4ml2 [ 2∑ i=1 sin (Ω12 i t) Ω11 i Ω12 i − 2 sin (ωrt) Ω11 1 Ω11 2 ] . Òàêèì îáðàçîì, ïàðàìåòð ap âõîäèò â âûðàæåíèå äëÿ θ (t) âî âòîðîé ñòåïåíè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè Ω11 i 6= 0 è Ω12 i 6= 0 (i = 1, 2), òî ôóíêöèÿ 2∑ i=1 sin (Ω12 i t) Ω11 i Ω12 i − 2 sin (ωrt) Ω11 1 Ω11 2 ïðè ëþáîì çíà÷åíèè t îãðàíè÷åíà. Ñëåäîâàòåëüíî, â îáùåì ñëó÷àå ôóíêöèÿ θ (t) èìååò âòîðîé ïîðÿäîê ìàëîñòè ïî ap è ïðèáëèæåííî ìîæíî ñ÷èòàòü ẋ = V cos θ ≈ V, ẏ = V sin θ ≈ V θ. Èíòåãðèðóÿ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ôîðìóëû äëÿ x (t) è y (t): x (t) = Jrarapω 2 r ml 2∑ i=1 [ ci sin2 (Ω13 i t/2) (Ω13 i ) 2 + di+1 sin2 (Ω11 i t/2) (Ω11 i ) 2 ] , y (t) = J2 r a2 ra 3 pω 4 r 16m2l3 [ 2∑ i=1 (−1)i Ω11 i Ω12 i ( sin (Ω23 i t) Ω11 i Ω23 i − Ω35 i sin (Ω21 i t) Ω11 1 Ω11 2 Ω21 i ) + + 16 sin (ωpt) Ω12 1 Ω12 2 Ω11 1 Ω11 2 ( 3ω2 p 2Ω11 1 Ω11 2 + sin2 (ωpt) 3 )] . Âèäíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ñîîòíîøåíèÿõ íà ÷àñòîòû ωr è ωp çíàìåíàòåëè äðîáåé, âõîäÿùèõ â ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ äëÿ V (t), θ (t), x (t) è y (t), ìîãóò îáðàùàòüñÿ â íóëü. Ïåðå÷èñëèì çäåñü âñå èìåþùèåñÿ ñëó÷àè: 1. Ω11 i = 0 (i = 1, 2), ò. å. ωr = ±ωp, 2. Ω12 i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. ωr = ±2ωp, 3. Ω21 i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. 2ωr = ±ωp, 4. Ω23 i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. 2ωr = ±3ωp, 5. Ω13 i = 0 (i = 1, 2) , ò. å. ωr = ±3ωp . 67 À.Ñ. Êóëåøîâ Åñëè ïðè äâèæåíèè ðàéäåðà íà ñíåéêáîðäå îäíî èç ïåðå÷èñëåííûõ ñîîòíîøåíèé îêàæåòñÿ âûïîëíåííûì, òî â ñèñòåìå âîçíèêàåò îïðåäåëåííûé ðåçîíàíñ, êîòîðîìó ñîîò- âåòñòâóåò îïðåäåëåííûé òèï äâèæåíèÿ ñíåéêáîðäà. Îñíîâíîé ïðèíöèï äâèæåíèÿ ðàé- äåðà íà ñíåéêáîðäå çàêëþ÷àåòñÿ â óìåëîì äîñòèæåíèè òîãî èëè èíîãî ðåçîíàíñíîãî ñîîòíîøåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùåãî æåëàåìîìó òèïó ìàíåâðà. Äâèæåíèå ñíåéêáîðäà â ðå- çîíàíñíûõ ñëó÷àÿõ áóäåò èññëåäîâàíî íèæå. Ñèñòåìà óðàâíåíèé (3) èññëåäîâàëàñü ÷èñ- ëåííî ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ: m = 6 êã, J = 0.016 êã · ì2, Jr = 0.072 êã · ì2, Jp = 0.0013 êã · ì2, l = 0.2ì. (8) Ýòè çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ñîîò- Ðèñ. 5. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ â íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå. âåòñòâóþò ìîäåëè, îïèñàííîé â ðà- áîòå [1]. Ïàðàìåòðû, âõîäÿùèå â çà- êîí èçìåíåíèÿ ïåðåìåííûõ ψ è ϕ, âû- áåðåì ñîîòâåòñòâóþùèìè íåðåçîíàíñ- íîìó ñëó÷àþ ar = 0.7 ðàä, ap = 0.3 ðàä, ωr = 1/ √ 2 ðàä/c, ωp = 1/ √ 3 ðàä/c. ×èñëåííûé àíàëèç ñèñòåìû (3) â íåðåçîíàíñíîì ñëó÷àå ïîêàçàë, ÷òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè t òî÷íîå è ïðè- áëèæåííîå ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî áëèç- êè äðóã ê äðóãó. Íà ðèñ. 5 ïðåäñòàâëåíà òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè x(t), y(t). Ïîäîáíàÿ òðàåêòîðèÿ õàðàêòåðíà äëÿ íà÷èíàþùèõ ðàéäåðîâ, äåëàþùèõ ïåð- âûå øàãè â îñâîåíèè ñíåéêáîðäà. 5. Ðåçîíàíñ 1:1(äâèæåíèå âïåðåä). Èññëåäîâàíèå ðåçîíàíñíûõ ñëó÷àåâ íà÷íåì ñî ñëó÷àÿ ωr =ωp =ω (ñëó÷àé ωr =−ωp èññëåäóåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ââåäåì áåçðàçìåðíîå âðåìÿ τ ïî ôîðìóëå τ =ωt. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), íàéäåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû: V (τ)= Jrarapω 2ml [( τ− sin (2τ) 2 )( 1+ a2 p 4 ( 1− 5k2 2 +k2 cos (2τ) )) − a2 p 4 ( 2 3 −k2 ) sin3 τ cos τ ] . Òàêèì îáðàçîì, ïðè ñîâïàäåíèè ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì ñêîðîñòü öåíòðà ìàññ ñèñòåìû ëèíåéíî ðàñòåò ñî âðåìåíåì. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ðàéäåð ïðè äâèæåíèè íà ñíåéêáîðäå äîáüåòñÿ, ÷òîáû ÷àñòîòû âðàùåíèÿ òóëîâèùåì è ñòîïàìè íîã ñîâïàäàëè, òî îí ñìîæåò ïðîäâèãàòüñÿ âïåðåä.  ýòîì ñîñòîèò îäèí èç îñíîâíûõ ïðèí- öèïîâ äèíàìèêè ñíåéêáîðäà. Ïðèáëèæåííîå âûðàæåíèå äëÿ θ (τ) èìååò âèä: θ (τ) = Jrara 2 p 2ml2 ( sin τ − τ cos τ − sin3 τ 3 ) . Âèäíî, ÷òî θ (τ) òàê æå, êàê è V (τ), îêàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, ëèíåéíî ðàñòóùåé ñî âðåìåíåì. Ïîýòîìó ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ ìàëûì ëèøü äî íåêîòîðîãî ìîìåíòà 68 Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà âðåìåíè. Åñëè ñ÷èòàòü θ, êàê è ϕ, ìàëûì ïðè θ ≤ 0.5 ðàä., òî ìîæíî äàòü ñëåäóþùóþ îöåíêó äëÿ ýòîãî ìîìåíòà Jrara 2 p 2ml2 τ ≤ 1 2 ò. å. τ ≤ ml2 Jrara2 p . Ïîäñòàâèì â äàííóþ ôîðìóëó çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ, âõî- äÿùèõ â çàêîí èçìåíåíèÿ óïðàâëÿåìûõ ïåðåìåííûõ, ïðèìåì ðàâíûìè ar = 0.7 ðàä, ap = 0.3 ðàä, ω = 1 ðàä/ñ. Ïðè ýòîì äëÿ ïðîìåæóòêà âðåìåíè, íà êîòîðîì ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ ìàëûì, ïî- ëó÷àåòñÿ ñëåäóþùàÿ îöåíêà: τ ≤ 52.91. Ïðè ìàëîì θ äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àåì òàêèå âûðàæåíèÿ: x (τ)= Jrarap 4ml [( τ 2−sin2 τ )( 1+ a2 p (1−2k2) 4 ) − a2 p 8 ( 2 sin4 τ 3 +k2 ( τ− 3 sin (2τ) 2 )( τ− sin (2τ) 2 ))] , y (τ) = J2 r a2 ra 3 p 4m2l3 [( 28 9 − τ 2 ) sin τ − 4 3 ( 2 + cos2 τ 3 ) τ cos τ + ( sin2 τ 5 − 13 9 ) sin3 τ 3 ] . Ïðîâåäåííûé ÷èñëåííûé àíàëèç Ðèñ. 6. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 1:1 . ñèñòåìû ïîêàçàë, ÷òî íà ïðîìåæóòêå âðåìåíè, íà êîòîðîì óãîë θ (τ) ìîæ- íî ñ÷èòàòü ìàëûì, òî÷íîå è ïðèáëè- æåííîå ðåøåíèÿ äîñòàòî÷íî áëèçêè äðóã ê äðóãó. Íà ðèñ. 6 ïðåäñòàâëå- íà òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàí- ñå 1:1. 6. Ðåçîíàíñ 2:1 (ðàçâîðîò). Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé, êîãäà ÷à- ñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì ωr = 2ωp = 2ω (ñëó÷àé ωr = −2ωp èññëåäóåòñÿ àíà- ëîãè÷íî). Êàê è â ïðåäûäóùåì ïóíêòå, áóäåì èñïîëüçîâàòü áåçðàçìåðíîå âðåìÿ τ . Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû V (τ) ïðè ðåçîíàíñå 2:1 V (τ) = 8Jrarapω 3ml ( 1 + a2 p 5 ( 1− 4k2 ) sin2 τ ) sin3 τ. Âûðàæåíèå, ïîëó÷àåìîå äëÿ ôóíêöèè θ (τ), èìååò âèä θ (τ) = Jrara 2 p ml2 ( τ − 2 3 sin (2τ) + sin (4τ) 12 ) . Òàêèì îáðàçîì, êàê è â ñëó÷àå ðåçîíàíñà 1:1, óãîë θ (τ) îêàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé, ëèíåéíî ðàñòóùåé ñî âðåìåíåì. Ñ÷èòàòü ýòîò óãîë ìàëûì ìîæíî íà ïðîìåæóòêå τ ≤ ml2 2Jrara2 p . 69 À.Ñ. Êóëåøîâ Ïîäñòàâëÿÿ â äàííóþ ôîðìóëó çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8), à òàêæå çíà÷åíèÿ ar = 1 ðàä, ap = 0.5 ðàä, ω = 1 ðàä/ñ , (9) ïîëó÷àåì, ÷òî τ ≤ 6.67. Íà äàííîì ïðîìåæóòêå âðåìåíè ïðè ìàëîì θ (τ) äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àþòñÿ ñëå- äóþùèå âûðàæåíèÿ: x (τ)= 8Jrarap 9ml (1−cos τ)2 [ (2+cos τ) ( 1+ 4a2 p (1−4k2) 25 ) − 3a2 p (1−4k2) 25 (1+cos τ)2 cos τ ] , y (τ) = 8J2 r a2 ra 3 p 9m2l3 [( 2 + sin2 τ ) ( sin τ − τ cos τ − sin3 τ 3 ) − ( 4 15 + 2 sin2 τ 7 ) sin5 τ ] . Íà ðèñ. 7 ïðåäñòàâëåí âèä òðàåê- Ðèñ. 7. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 2:1 . òîðèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñ- êîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàíñå 2:1. 7. Ðåçîíàíñ 1:2 (äâèæåíèå "ãàëñàìè"). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó- ÷àé, êîãäà ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòî- ðà è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíè- åì 2ωr = ωp = 2ω (ñëó÷àé 2ωr = −ωp ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ñ ïî- ìîùüþ ôîðìóëû (7) ïîëó÷àåì ñëåäó- þùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåí- òðà ìàññ ñèñòåìû V (τ) ïðè ðåçîíàíñå 1:2 : V (τ) = 2Jrarapω 3ml [ 1 + 4a2 p sin2 τ 7 (( 1− 4k2 ) ( 7 5 − sin2 τ ) + k2 sin2 τ )] sin3 τ. Äëÿ ôóíêöèè θ (τ) ïîëó÷àåì ñî- Ðèñ. 8. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 1:2 . îòâåòñòâåííî: θ (τ) = 4Jrara 2 p 15ml2 sin5 τ. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàêñèìóì ýòîãî âûðàæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå τ = = π/2 è ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðà- ìåòðîâ (8), (9), óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàê- ñèìóì ôóíêöèè θ (τ) ðàâåí 1/50 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì τ ìû ìî- æåì ñ÷èòàòü óãîë θ (τ) ìàëûì. Ïðè ýòîì äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àåì: x (τ) = Jrarap 6ml [ (1−cos τ)3 ( 8 3 +3 cos τ +cos2 τ )( 1+ 16a2 p (19−46k2) 1225 ) + + ( 1+ 16a2 p (1−5k2) sin2 τ 49 ) sin4 τ cos τ ] , 70 Î äèíàìèêå ñíåéêáîðäà y (τ) = J2 r a2 ra 3 p 12m2l3 [ 7τ 12 − 7 15 sin (2τ) + 7 60 sin (4τ)− sin (6τ) 45 + sin (8τ) 480 ] . Âèä òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàíñå 1:2 ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 8. 8. Ðåçîíàíñ 3:2 (äâèæåíèå "ãàëñàìè"). Òåïåðü ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷à- ñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì 2ωr = 3ωp èëè ωr = 3ω, ωp = 2ω. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷àåì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû V (τ) ïðè ðåçîíàíñå 3:2 V (τ)= 18Jrarapω ml [ 1− 4 5 ( 1−a2 p ( 1−4k2 )) sin2 τ + 4a2 p 3 ( 1− 21k2 5 )( 4 9 sin2 τ−1 ) sin4 τ ] sin3 τ. Äàëåå, äëÿ ôóíêöèè θ (τ) ïîëó÷à- Ðèñ. 9. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 3:2 . åì: θ (τ) = 36Jrara 2 p 5ml2 ( 1− 4 7 sin2 τ ) sin5 τ. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ìàêñèìóì äàí- íîãî âûðàæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå τ = π/2. Ïîäñòàâëÿÿ â ýòî âûðàæåíèå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8), (9), óáåæ- äàåìñÿ, ÷òî ìàêñèìóì ôóíêöèè θ(τ) ïðèáëèæåííî ðàâåí 0.23143 è, ñëåäî- âàòåëüíî, ïðè ëþáîì τ ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ(τ) ìàëûì. Ïðè ýòîì äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àþòñÿ òàêèå âûðàæåíèÿ: x(τ) = 72Jrarap 25ml [ (1− cos τ)2 (3 2 + cos τ )( 1 + cos τ 2 + cos2 τ ) + 5a2 p 81 ( (1− cos τ)2 (8 3 + + 3 cos τ + cos2 τ )(11 5 −6k2 ) + ( 5− 21k2 ) ( 1+ 4 3 cos2 τ ) sin6 τ cos τ )] , y (τ)= 81J2 r a2 ra 3 p 16m2l3 [ τ− 116 175 sin (2τ)+ sin (4τ) 20 + 4 105 sin (6τ)− 19 1400 sin (8τ)+ sin (12τ) 2100 ] . Âèä òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðåçîíàíñå 3:2 ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 9. 9. Ðåçîíàíñ 3:1. Ïîñëåäíèì ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà è ïëàòôîðì ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì ωr = 3ωp = 3ω (ñëó÷àé ωr = −3ωp ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî). Ïðè ðåçîíàíñå 3:1, èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (7), ïîëó÷èì ñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ ñêîðîñòè öåíòðà ìàññ ñèñòåìû: V (τ)= 9Jrarapω ml [( 1− a2 p 3 sin2 τ ) sin3 τ cos τ + a2 p 48 ( 1 3 − k2 2 )(( 3+2 sin2 τ +40 sin4 τ ) sin (2τ)−6τ )] . Äëÿ ôóíêöèè θ (τ) ïîëó÷àåì θ (τ) = 9Jrara 2 p 5ml2 sin5 τ. 71 À.Ñ. Êóëåøîâ Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìàêñèìóì äàííîãî âûðàæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ â òî÷êå τ = π/2 è ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ (8), (9), óáåæäàåìñÿ, ÷òî ìàêñèìóì ôóíêöèè θ (τ) ðàâåí 0.135 è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðè ëþáîì τ ìû ìîæåì ñ÷èòàòü óãîë θ (τ) ìàëûì. Ïðè ýòîì äëÿ x (τ) è y (τ) ïîëó÷àåì: x(τ) = 9Jrarap 4ml [( 1− 2a2 p 9 sin2 τ ) sin4 τ + a2 p 36 ( 1 3 − k2 2 ) ( 9 sin2 τ + 3 sin4 τ + 40 sin6 τ − 9τ 2 )] , y (τ) = 9J2 r a2 ra 3 p 5m2l3 sin9 τ. Âèä òðàåêòîðèè öåíòðà ìàññ ñè- Ðèñ. 10. Òðàåêòîðèÿ öåíòðà ìàññ ïðè ðåçîíàíñå 3:1 . ñòåìû íà ïëîñêîñòè x (τ), y (τ) ïðè ðå- çîíàíñå 3:1 ïðåäñòàâëåí íà ðèñ. 10. Òàêèì îáðàçîì, èññëåäîâàíû îñ- íîâíûå òèïû äâèæåíèÿ ðàéäåðà íà ñíåéêáîðäå. Ïîêàçàíî, ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ âîçìîæíî äâèæåíèå âïåðåä, ïðè êàêèõ îñóùåñòâëÿåòñÿ ðàçâîðîò è ò.ï. Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû âî ìíî- ãîì ñîãëàñóþòñÿ ñ òåì, ÷òî áûëî çà- ìå÷åíî ïðè íàáëþäåíèè çà äâèæåíè- åì ðàéäåðîâ è â îïûòàõ ñ ðåàëüíûì ñíåéêáîðäîì. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (04-01-00398), ãðàíòà "Íàó÷- íûå øêîëû"(ÍØ-2000.2003.1) 1. Lewis A.D, Ostrowski J.P, Murray R.M. and Burdick J.W. Nonholonomic mechanics and locomotion: the Snakeboard example // Proc. of the IEEE ICRA � 1994. � P. 2391-2400. 2. Ostrowski J.P., Burdick J.W., Lewis A.D. and Murray R.M. The Mechanics of Undulatory Locomotion: The Mixed Kinematic and Dynamic Case // Ibid. � 1995. � P. 1945-1951. 3. Ostrowski J.P. The Mechanics and Control of Undulatory Robotic Locomotion // Ph.D. thesis, California Institute of Technology, Pasadena, California � 1995. 4. Ostrowski J.P., Desai J.P. and Kumar V. Optimal gait selection for nonholonomic locomotion systems // Internat. Journ. Robotics Res. � 2000. � 19, � 5 � P. 225-237. 5. Bloch A.M, Krishnaprasad P.S., Marsden J.E. and Murray R.M. Nonholonomic Mechanical Systems with Symmetry // Archive for Rational Mechanics and Analysis. � 1996. � 136, � 1. � P. 21-99. 6. Koon W.S. and Marsden J.E. Optimal control for holonomic and nonholonomic mechanical systems with symmetry and Lagrangian reduction // SIAM J. Control Optim. � 1997. � 35, � 3. � P. 901-929. 7. Bullo F., Lewis A.D. Kinematic controllability and motion planning for the snakeboard // IEEE Transactions on Robotics and Automation � 2003. � 19, � 3. � P. 494-498. 8. Íåéìàðê Þ.È., Ôóôàåâ Í.À. Äèíàìèêà íåãîëîíîìíûõ ñèñòåì. � Ì.: Íàóêà, 1967. � 519 ñ. 9. Ëóðüå À.È. Àíàëèòè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. � Ì.: Ãîñ. èçä-âî ôèç.-ìàò. ëèò-ðû, 1961. � 824 ñ. 10. Ispolov Yu. G., Smolnikov B.A. Skateboard Dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. � 1996. � 131. � P. 327-333. 11. Çàéöåâ Â.Ô., Ïîëÿíèí À.Ä. Ñïðàâî÷íèê ïî îáûêíîâåííûì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì. � Ì.: Íàóêà, 1995. � 560 ñ. ÌÃÓ èì. Ì.Â. Ëîìîíîñîâà, Ìîñêâà kuleshov@mech.math.msu.su akule@pisem.net Ïîëó÷åíî 12.10.05 72