Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой
Тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой с центром тяжести, расположенным в главной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки (y0 = 0), допускает маятниковые движения Млодзеевского |1]. Задача об устойчивости маятниковых движений рассматривалась в работах [2 |б|. Проведено исследован...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123768 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой / А.Л. Швыгин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 103-108. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123768 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237682017-09-10T03:04:49Z Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой Швыгин, А.Л. Тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой с центром тяжести, расположенным в главной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки (y0 = 0), допускает маятниковые движения Млодзеевского |1]. Задача об устойчивости маятниковых движений рассматривалась в работах [2 |б|. Проведено исследование устойчивости колебаний малой амплитуды [2]. Дня тела, когда его центр тяжести находится на одной из главных осей инерции (у о = %о = 0), задача для быстрых вращений и вращений, близких к постоянным, решена в [3], результаты для произвольных вращений изложены в [4|. Доказано [5, б], что маятниковые движения обязательно содержат четыре нулевых характеристических показателя (XII), из которых два простые, а остальные образуют жорданову клетку плюс пару XII противоположного знака. В статье излагаются результаты по вычислению XII маятниковых колебаний Млодзеевского. Используется метод [7], впервые примененный для прецессий Гриоли. В пространстве параметров задачи строятся области, где выполняются необходимые условия устойчивости. и области неустойчивости. Маятниковые колебания являются наиболее общими симметричными периодическими движениями тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой [б, 8]. Наличие их тесно связано с проблемой неинтегрируемости задачи, решение которой требует знания ХП |6|. 2005 Article Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой / А.Л. Швыгин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 103-108. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123768 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Тяжелое твердое тело с одной неподвижной точкой с центром тяжести, расположенным в главной плоскости эллипсоида инерции для неподвижной точки (y0 = 0), допускает маятниковые движения Млодзеевского |1]. Задача об устойчивости маятниковых движений рассматривалась в работах [2 |б|. Проведено исследование устойчивости колебаний малой амплитуды [2]. Дня тела, когда его центр тяжести находится на одной из главных осей инерции (у о = %о = 0), задача для быстрых вращений и вращений, близких к постоянным, решена в [3], результаты для произвольных вращений изложены в [4|. Доказано [5, б], что маятниковые движения обязательно содержат четыре нулевых характеристических показателя (XII), из которых два простые, а остальные образуют жорданову клетку плюс пару XII противоположного знака. В статье излагаются результаты по вычислению XII маятниковых колебаний Млодзеевского. Используется метод [7], впервые примененный для прецессий Гриоли. В пространстве параметров задачи строятся области, где выполняются необходимые условия устойчивости. и области неустойчивости. Маятниковые колебания являются наиболее общими симметричными периодическими движениями тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой [б, 8]. Наличие их тесно связано с проблемой неинтегрируемости задачи, решение которой требует знания ХП |6|. |
| format |
Article |
| author |
Швыгин, А.Л. |
| spellingShingle |
Швыгин, А.Л. Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой Механика твердого тела |
| author_facet |
Швыгин, А.Л. |
| author_sort |
Швыгин, А.Л. |
| title |
Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой |
| title_short |
Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой |
| title_full |
Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой |
| title_fullStr |
Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой |
| title_full_unstemmed |
Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой |
| title_sort |
об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123768 |
| citation_txt |
Об устойчивости колебаний тяжелого твердого тела с одной неподвижной точкой / А.Л. Швыгин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 103-108. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT švyginal obustojčivostikolebanijtâželogotverdogotelasodnojnepodvižnojtočkoj |
| first_indexed |
2025-07-09T00:15:12Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:15:12Z |
| _version_ |
1837126245818564608 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. À.Ë. Øâûãèí
ÎÁ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÊÎËÅÁÀÍÈÉ ÒßÆÅËÎÃÎ ÒÂÅÐÄÎÃÎ ÒÅËÀ
Ñ ÎÄÍÎÉ ÍÅÏÎÄÂÈÆÍÎÉ ÒÎ×ÊÎÉ
Òÿæåëîå òâåðäîå òåëî ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé ñ öåíòðîì òÿæåñòè, ðàñïîëîæåííûì â ãëàâíîé
ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè (y0 = 0), äîïóñêàåò ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ
Ìëîäçååâñêîãî [1]. Çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé ðàññìàòðèâàëàñü â ðàáîòàõ [2 �
6]. Ïðîâåäåíî èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé ìàëîé àìïëèòóäû [2]. Äëÿ òåëà, êîãäà åãî öåíòð
òÿæåñòè íàõîäèòñÿ íà îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé èíåðöèè (y0 = z0 = 0), çàäà÷à äëÿ áûñòðûõ âðàùåíèé
è âðàùåíèé, áëèçêèõ ê ïîñòîÿííûì, ðåøåíà â [3], ðåçóëüòàòû äëÿ ïðîèçâîëüíûõ âðàùåíèé èçëîæåíû
â [4]. Äîêàçàíî [5, 6], ÷òî ìàÿòíèêîâûå äâèæåíèÿ îáÿçàòåëüíî ñîäåðæàò ÷åòûðå íóëåâûõ õàðàêòåðèñ-
òè÷åñêèõ ïîêàçàòåëÿ (ÕÏ), èç êîòîðûõ äâà � ïðîñòûå, à îñòàëüíûå îáðàçóþò æîðäàíîâó êëåòêó ïëþñ
ïàðó ÕÏ ïðîòèâîïîëîæíîãî çíàêà.  ñòàòüå èçëàãàþòñÿ ðåçóëüòàòû ïî âû÷èñëåíèþ ÕÏ ìàÿòíèêîâûõ
êîëåáàíèé Ìëîäçååâñêîãî. Èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä [7], âïåðâûå ïðèìåíåííûé äëÿ ïðåöåññèé Ãðèîëè. Â
ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ çàäà÷è ñòðîÿòñÿ îáëàñòè, ãäå âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ óñòîé÷è-
âîñòè, è îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè. Ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå îáùèìè ñèììåòðè÷íûìè
ïåðèîäè÷åñêèìè äâèæåíèÿìè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé [6, 8]. Íàëè÷èå èõ
òåñíî ñâÿçàíî ñ ïðîáëåìîé íåèíòåãðèðóåìîñòè çàäà÷è, ðåøåíèå êîòîðîé òðåáóåò çíàíèÿ ÕÏ [6].
Ââåäåíèå. Äâèæåíèå òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé O îïè-
ñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà-Ïóàññîíà
Aṗ− (B − C)qr = P (z0γ2 − y0γ3),
Bq̇ − (C − A)pr = P (x0γ3 − z0γ1),
Cṙ − (A−B)qp = P (y0γ1 − x0γ2),
(1)
γ̇1 = γ2r − γ3q, γ̇2 = γ3p− γ1r, γ̇3 = γ1q − γ2p ,
ãäå A, B, C � ãëàâíûå ìîìåíòû èíåðöèè îòíîñèòåëüíî íåïîäâèæíîé òî÷êè; p, q, r � ïðî-
åêöèè ìãíîâåííîé óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà íà îñè ïîäâèæíîé ñèñòåìû êîîðäèíàò Oxyz, ñ
îñÿìè, íàïðàâëåííûìè ïî ãëàâíûì îñÿì èíåðöèè òåëà äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè; γ1, γ2, γ3
� íàïðàâëÿþùèå êîñèíóñû âîñõîäÿùåé âåðòèêàëè γ â òî÷êå O â ñèñòåìå êîîðäèíàò
Oxyz; P = mg � âåñ òåëà; x0, y0, z0 � êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè â ïîäâèæíîé ñèñòåìå
êîîðäèíàò.
Ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò òðè êëàññè÷åñêèõ èíòåãðàëà: ýíåðãèè, êèíåòè÷åñêîãî ìîìåí-
òà è ãåîìåòðè÷åñêèé
Ap2 + Bq2 + Cr2 + 2P (x0γ1 + y0γ2 + z0γ3) = 2h = const,
Apγ1 + Bqγ2 + Crγ3 = σ = const, γ2
1 + γ2
2 + γ2
3 = 1.
Õàðàêòåðíîé îñîáåííîñòüþ ñèñòåìû (1) ÿâëÿåòñÿ åå èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî
çàìåíû G : (p, q, r, γ1, γ2, γ3, t) → (−p,−q,−r, γ1, γ2, γ3,−t). Çíà÷èò, ñèñòåìà (1) ïðèíàä-
ëåæèò [9] ê êëàññó îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ íåïîäâèæíûì ìíîæåñòâîì
M = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : p = 0, q = 0, r = 0}.
103
À.Ë. Øâûãèí
 ñëó÷àå ðàñïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè â ãëàâíîé ïëîñêîñòè ýëëèïñîèäà èíåðöèè
(y0 = 0) ñèñòåìà (1) èíâàðèàíòíà òàêæå îòíîñèòåëüíî çàìåíû
Gy : (p, q, r, γ1, γ2, γ3, t) → (p,−q, r, γ1,−γ2, γ3,−t),
ò.å. äîïóñêàåò âòîðîå íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî My = {p, q, r, γ1, γ2, γ3 : q = 0, γ2 = 0}. Â
ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò ñåìåéñòâî ðåøåíèé [1], îïèñûâàåìîå ñèñòåìîé
p = r = 0, γ2 = 0, (2)
Bq̇ = P (x0γ3 − z0γ1), γ̇1 = −γ3q, γ̇3 = γ1q. (3)
Óêàçàííîå ñåìåéñòâî ñîñòîèò èç ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé îáðàòè-
ìîé ñèñòåìû (1). Ïðèìå÷àòåëüíî, ÷òî ìàÿòíèêîâûå êîëåáàíèÿ îäíîâðåìåííî ñèììåò-
ðè÷íû îòíîñèòåëüíî äâóõ íåïîäâèæíûõ ìíîæåñòâ: M è My, â òî âðåìÿ êàê âðàùåíèÿ
� òîëüêî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà My.
Åñòåñòâåííûå ïîäñòàíîâêè q = −ϕ̇, γ1 = sin ϕ, γ3 = cos ϕ ïðèâîäÿò óðàâíåíèÿ (3)
ê óðàâíåíèþ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà
ϕ′′ + sin(ϕ + ϕ0) = 0,
(
n2 = Pl
B , l =
√
x2
0 + z2
0 , tg ϕ0 = −x0
z0
)
(4)
("øòðèõ"îçíà÷àåò ïðîèçâîäíóþ ïî íîâîìó âðåìåíè τ = nt).
Öåëü ðàáîòû � âû÷èñëèòü ÕÏ äëÿ ìàÿòíèêîâûõ êîëåáàíèé è ïîñòðîèòü â ïðîñòðàí-
ñòâå ïàðàìåòðîâ çàäà÷è (4) îáëàñòè, ãäå âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâî-
ñòè, è îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè.
1. Óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ. Ãåîìåòðè÷åñêèé èíòåãðàë ó÷òåì çàìåíîé
γ1 = sin ϕ cos θ, γ2 = sin θ, γ3 = cos ϕ cos θ
(ϕ, θ � óãëû Ýéëåðà). Äàëåå ââåäåì íîâûå áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå
p1 =
p
n
, q1 =
q
n
, r1 =
r
n
,
òîãäà ñèñòåìà (1) â ñëó÷àå y0 = 0 ïðèâîäèòñÿ ê ñëåäóþùåé ñèñòåìå 5-ãî ïîðÿäêà [4]:
p′1 =
1− β
α
q1r1 −
1
α
cos ϕ0 sin θ,
q′1 = (β − α)r1p1 + sin(ϕ + ϕ0) cos θ,
r′1 = α− 1
β
p1q1 − 1
β
sin ϕ0 sin θ,
ϕ′ = (p1 sin ϕ + r1 cos ϕ) tg θ − q1,
θ′ = p1 cos ϕ− r1 sin ϕ,
(5)
ãäå α = A/B, β = C/B. Îòìåòèì, ñèñòåìà (5) èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçî-
âàíèÿ (−τ, ϕ, p1,−q1, r1,−θ) 7−→ (τ, ϕ, p1, q1, r1, θ) è ïðèíàäëåæèò ê êëàññó îáðàòèìûõ
ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì [9].
104
Îá óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà
Îáîçíà÷èì âàðèàöèè ïåðåìåííûõ äëÿ âîçìóùåííîãî äâèæåíèÿ ÷åðåç δp1, δq1, δr1,
δϕ, δθ. Òîãäà ñèñòåìà óðàâíåíèé â âàðèàöèÿõ Ïóàíêàðå äëÿ èññëåäóåìûõ ìàÿòíèêîâûõ
äâèæåíèé èìååò âèä
δq′1 = cos(ϕ + ϕ0)δϕ,
δϕ′ = −δq1,
(6)
δp′1 = −a0q
∗
1δr1 − 1
α cos ϕ0δθ,
δr′1 = b0q
∗
1δp1 − 1
β
sin ϕ0δθ,
δθ′ = cos ϕ∗δp1 − sin ϕ∗δr1,
(7)
ãäå a0 = (β − 1)/α, b0 = (α − 1)/β, è ðàçáèâàåòñÿ íà äâå çàìêíóòûå ñèñòåìû [2] ñ
ïåðèîäè÷åñêèìè êîýôôèöèåíòàìè: ñèñòåìó (6) âòîðîãî ïîðÿäêà è ñèñòåìó (7) òðåòüåãî
ïîðÿäêà. Î÷åâèäíî, ñèñòåìà (6) èìååò ïàðó íóëåâûõ ÕÏ. ×òî êàñàåòñÿ ñèñòåìû (7), îíà
ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé, ïåðèîäè÷åñêîé îáðàòèìîé ñèñòåìîé. Ýòî âèäíî èç åå èíâàðèàíòíîñ-
òè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ (−τ, δp1, δr1,−δθ) 7−→ (τ, δp1, δr1, δθ). Òàê è äîëæíî
áûòü, òàê êàê óðàâíåíèÿ â âàðèàöèÿõ ñîñòàâëåíû äëÿ ñèììåòðè÷íîãî ïåðèîäè÷åñêîãî
äâèæåíèÿ (2), (3) îáðàòèìîé ñèñòåìû (1). Îòìåòèì, ÷òî ñèñòåìà (7) ñîäåðæèò ÷åòûðå
ñóùåñòâåííûõ ïàðàìåòðà: α, β, ϕ0, h∗
1 = h∗l/(Bn2) = h∗/(Pl).
2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè. Îáðàòèìàÿ ëèíåéíàÿ ñèñòåìà (7) èìååò
òðåòèé ïîðÿäîê. Ïîýòîìó (7) îáÿçàòåëüíî ñîäåðæèò îäèí íóëåâîé ÕÏ. Äâà îñòàëüíûõ
ÕÏ èìåþò ïðîòèâîïîëîæíûå çíàêè è âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå
λ = ± 1
T
arcch δθ(T ), ãäå T = 2
π/2∫
−π/2
dϕ√
1− sin(arccos(−h∗
1)/2)2∗ sin2(ϕ)
� ïåðèîä êîëåáàíèé ïî τ . Çäåñü δθ(T ) � çíà÷åíèå δθ â ìîìåíò âðåìåíè τ = T ïðè
íà÷àëüíîì çíà÷åíèè âåêòîðà (δp(0), δr(0), δθ(0))T = (0, 0, 1)T .
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû (7) íåîáõîäèìî çíàòü ôóíêöèè, îò-
ìå÷åííûå çâåçäî÷êîé, ò.å. â ÿâíîì âèäå ðåøåíèå ñèñòåìû (2), (3) � äâèæåíèÿ Ìëîä-
çååâñêîãî. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà (4) âûïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ
ýëëèïòè÷åñêèõ ôóíêöèé. Çäåñü íåîáõîäèìûå ôóíêöèè ñòðîÿòñÿ ðåøåíèåì çàäà÷è Êî-
øè ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì q∗1(0) = 0. Òàêèì îáðàçîì, íàõîäèòñÿ òîëüêî îäíî ðåøåíèå
ñèñòåìû (6), (7) ñ èçâåñòíûì íà÷àëüíûì âåêòîðîì. Ñòðîÿòñÿ ðåçîíàíñíûå êðèâûå è îá-
ëàñòè íåîáõîäèìûõ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè.  ýòèõ îáëàñòÿõ èìååì |δθ(T )| < 1, arcch τ
ïðåâðàùàåòñÿ â îáû÷íûé arccos τ , à ïîêàçàòåëè λ � ÷èñòî ìíèìûå. Ïîýòîìó êðèâûå
çàäàþòñÿ ôîðìóëàìè
κ =
1
2π
arccos δθ(T ), kκ = s (k = 2, 3, 4; s ∈ Z). (8)
Èç äèíàìè÷åñêèõ ñâîéñòâ ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè èìååì
A + B > C, A + C > B, B + C > A.
Ñëåäîâàòåëüíî, α, β ïîä÷èíåíû óñëîâèÿì
1 + α > β, α + β > 1, 1 + β > α,
105
À.Ë. Øâûãèí
à a0, b0 � óñëîâèÿì |a0| < 1, |b0| < 1, êîòîðûå îãðàíè÷èâàþò äîïóñòèìóþ îáëàñòü â
ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ α è β èëè â ïðîñòðàíñòâå a0 è b0. Êðîìå òîãî, ÕÏ ñèñòåìû
(7) íå ìåíÿþòñÿ ïðè ñäâèãå ϕ0 íà π, ïðè èçìåíåíèè çíàêà (ϕ0 − π/2), à òàêæå ïðè
çàìåíå (a0, b0, (ϕ0 − π/4)) íà (b0, a0,−(ϕ0 − π/4)), ò. å. äîñòàòî÷íî âû÷èñëèòü ÕÏ äëÿ
0 ≤ ϕ0 < π/4.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 1 � 24 äëÿ ðàçíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
h, ϕ0. Íà ýòèõ ðèñóíêàõ â ïðîñòðàíñòâå ïàðàìåòðîâ a0, b0 (a0 � ïî îñè àáñöèññ, b0 �
ïî îñè îðäèíàò) òåìíûì îáîçíà÷åíû îáëàñòè, ãäå âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ
óñòîé÷èâîñòè, áåëûì � îáëàñòè íåóñòîé÷èâîñòè è ëèíèè ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà.
Ðèñ. 1. h = −1, ϕ0 = 0. Ðèñ. 2. h = −1, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 3. h = −1, ϕ0 = π/4.
Ðèñ. 4. h = −0.99, ϕ0 = 0. Ðèñ. 5. h = −0.99, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 6. h = −0.99, ϕ0 = π/4.
Ðèñ. 7. h = −0.8, ϕ0 = 0. Ðèñ. 8. h = −0.8, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 9. h = −0.8, ϕ0 = π/4.
Ðèñ. 10. h = −0.3, ϕ0 = 0. Ðèñ. 11. h = −0.3, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 12. h = −0.3, ϕ0 = π/4.
106
Îá óñòîé÷èâîñòè êîëåáàíèé òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà
Ðèñ. 13. h = 0, ϕ0 = 0. Ðèñ. 14. h = 0, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 15. h = 0, ϕ0 = π/4.
Ðèñ. 16. h = 0.1, ϕ0 = 0. Ðèñ. 17. h = 0.1, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 18. h = 0.1, ϕ0 = π/4.
Ðèñ. 19. h = 0.3, ϕ0 = 0. Ðèñ. 20. h = 0.3, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 21. h = 0.3, ϕ0 = π/4.
Ðèñ. 22. h = 0.5, ϕ0 = 0. Ðèñ. 23. h = 0.5, ϕ0 = π/8. Ðèñ. 24. h = 0.5, ϕ0 = π/4.
Ðèñóíêè ïîäòâåðæäàþò âñå ðàíåå ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ïî èññëåäîâàíèþ óñòîé-
÷èâîñòè ìàÿòíèêîâûõ êîëåáàíèé è ÿâëÿþòñÿ áîëåå îáùèì ðåçóëüòàòîì ïî ñðàâíåíèþ
107
À.Ë. Øâûãèí
ñ [4], òàê êàê ïðè ïîäñ÷åòå ÕÏ è ïîñòðîåíèè îáëàñòåé, ãäå âûïîëíÿþòñÿ íåîáõîäèìûå
óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè, îáëàñòåé íåóñòîé÷èâîñòè è ëèíèé ïàðàìåòðè÷åñêîãî ðåçîíàíñà,
äîáàâëÿåòñÿ åùå îäèí ñóùåñòâåííûé ïàðàìåòð ϕ0.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ(03-01-00052) è ïðîãðàììû
ÍØ-2000.2003.01.
1. Ìëîäçååâñêèé Á.Ê. Î ïåðìàíåíòíûõ îñÿõ â äâèæåíèè òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà îêîëî íåïîäâèæíîé
òî÷êè // Òð. îòä. ôèç. íàóê î-âà ëþáèò. åñòåñòâ., àíòðîïîë. è ýòíîãð. � Ì., 1894. � 7, âûï. 1. �
Ñ. 46 � 48.
2. Àðõàíãåëüñêèé Þ.À. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷-
êè â îäíîì ÷àñòíîì ñëó÷àå // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1960. � 24, âûï. 2. � Ñ. 294�302.
3. Ìàðêååâ À.Ï. Î ïëîñêèõ è áëèçêèõ ê ïëîñêèì âðàùåíèÿõ òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîä-
âèæíîé òî÷êè // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1988. � � 4. � Ñ. 29�36.
4. Òõàé Â.Í., Øâûãèí À.Ë. Îá óñòîé÷èâîñòè âðàùåíèé âîêðóã ãîðèçîíòàëüíîé îñè òÿæåëîãî òâåðäîãî
òåëà ñ îäíîé íåïîäâèæíîé òî÷êîé // Çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ.
� Ì.: ÂÖ ÐÀÍ, 2000. � ×. 2. � Ñ. 149�157.
5. Áðþì À.Ç., Ãîðð Ã.Â. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ìàÿòíèêîâûõ äâèæåíèé
òÿæåëîãî òâåðäîãî òåëà ñ íåïîäâèæíîé òî÷êîé // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1986. � 50, âûï.
4. � Ñ. 681�684.
6. Òõàé Â.Í. Î õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïîêàçàòåëÿõ ñèììåòðè÷íîãî ïåðèîäè÷åñêîãî äâèæåíèÿ òÿæåëîãî
òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � Âûï. 34. � Ñ. 3�8.
7. Òõàé Â.Í. Îá óñòîé÷èâîñòè ðåãóëÿðíûõ ïðåöåññèé Ãðèîëè // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 64,
âûï. 5. � 2000. � Ñ. 848�857.
8. Òõàé Â.Í. Ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé â çàäà÷å Ýéëåðà // Äîêë. ÐÀÍ. �
2005. � 401, � 4. � C. 483-485.
9. Òõàé Â.Í. Îáðàòèìîñòü ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà � 1991. � 55, âûï.4.
� Ñ. 578�586.
Ìîñêîâñêàÿ ãîñ. àêàäåìèÿ ïðèáîðîñòðîåíèÿ è èíôîðìàòèêè, Ðîññèÿ
shvyghin@mtu-net.ru
Ïîëó÷åíî 09.10.05
108
|