Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса
Изучены движения сферического маятника в случае, когда точка подвеса совершает гармонические колебания малой амплитуды вдоль вертикали. Найдены все 2πk/m-периодические (k, m є N) симметричные движения. Используется теория колебаний обратимых механических систем....
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123769 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса / Ю.Д. Глухих // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 109-114. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123769 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237692017-09-10T03:04:36Z Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса Глухих, Ю.Д. Изучены движения сферического маятника в случае, когда точка подвеса совершает гармонические колебания малой амплитуды вдоль вертикали. Найдены все 2πk/m-периодические (k, m є N) симметричные движения. Используется теория колебаний обратимых механических систем. 2005 Article Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса / Ю.Д. Глухих // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 109-114. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123769 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Изучены движения сферического маятника в случае, когда точка подвеса совершает гармонические колебания малой амплитуды вдоль вертикали. Найдены все 2πk/m-периодические (k, m є N) симметричные движения. Используется теория колебаний обратимых механических систем. |
| format |
Article |
| author |
Глухих, Ю.Д. |
| spellingShingle |
Глухих, Ю.Д. Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса Механика твердого тела |
| author_facet |
Глухих, Ю.Д. |
| author_sort |
Глухих, Ю.Д. |
| title |
Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса |
| title_short |
Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса |
| title_full |
Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса |
| title_fullStr |
Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса |
| title_full_unstemmed |
Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса |
| title_sort |
колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123769 |
| citation_txt |
Колебания сферического маятника с вибрирующей точкой подвеса / Ю.Д. Глухих // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 109-114. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT gluhihûd kolebaniâsferičeskogomaâtnikasvibriruûŝejtočkojpodvesa |
| first_indexed |
2025-07-09T00:15:21Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:15:21Z |
| _version_ |
1837126260371750912 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. Þ.Ä. Ãëóõèõ
ÊÎËÅÁÀÍÈß ÑÔÅÐÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÌÀßÒÍÈÊÀ
Ñ ÂÈÁÐÈÐÓÞÙÅÉ ÒÎ×ÊÎÉ ÏÎÄÂÅÑÀ
Èçó÷åíû äâèæåíèÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà â ñëó÷àå, êîãäà òî÷êà ïîäâåñà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå
êîëåáàíèÿ ìàëîé àìïëèòóäû âäîëü âåðòèêàëè. Íàéäåíû âñå 2πk/m-ïåðèîäè÷åñêèå (k, m ∈ N) ñèììåò-
ðè÷íûå äâèæåíèÿ. Èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ êîëåáàíèé îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé àáñîëþòíî
òâåðäûé íåâåñîìûé ñòåðæåíü äëèíû l, ñîâåðøàþùèé ïðîñòðàíñòâåííîå äâèæåíèå âî-
êðóã îäíîãî ñâîåãî êîíöà è íåñóùèé íà äðóãîì êîíöå òî÷å÷íóþ ìàññó m.
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òî÷êà O ìàÿòíèêà ñîâåðøàåò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ âäîëü
âåðòèêàëè ñ àìïëèòóäîé A è ÷àñòîòîé Ω : ξ0 = A cos Ωt, ãäå ξ0 � ñìåùåíèå òî÷êè ïîäâåñà
îò íåêîòîðîãî ôèêñèðîâàííîãî ïîëîæåíèÿ O∗ (ñì. ðèñ. 1).
Òîãäà êèíåòè÷åñêàÿ è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåð-
Ðèñ. 1.
ãèÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îïðåäåëÿåòñÿ âûðà-
æåíèÿìè
T =
1
2
mξ̇2
0 −mlξ̇0θ̇ sin θ +
1
2
ml2(θ̇2 + sin2 θϕ̇2),
Π = mgξ0(t) +mgl cos θ,
à óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ âûâîäÿòñÿ èç óðàâíåíèé
Ëàãðàíæà. Êîîðäèíàòà ϕ � öèêëè÷åñêàÿ. Ñîîò-
âåòñòâóþùèé åé èíòåãðàë çàïèøåì â âèäå
b = sin2 θ
dϕ
dτ
, τ = Ωt
(τ � áåçðàçìåðíîå âðåìÿ). Ñ ó÷åòîì äàííîãî èí-
òåãðàëà è ïîñëå ââåäåíèÿ áåçðàçìåðíûõ ïàðà-
ìåòðîâ ε è κ ≥ 0 (
ε =
√
A/l, a =
√
g/(Ω2l), κ = b2/a2 ≥ 0
)
ïîëó÷èì óðàâíåíèå ïðèâåäåííîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû
θ̈ + a2(sin θ − κ cos θ
sin3 θ
) = ε2 cos τ sin θ, (1)
ãäå äèôôåðåíöèðîâàíèå òåïåðü ïðîâîäèòñÿ ïî âðåìåíè τ .
Îòëè÷èòåëüíûì ñâîéñòâîì óðàâíåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü åãî îòíîñèòåëü-
íî ïðåîáðàçîâàíèé: (θ, τ) → (±θ,−τ). Èíà÷å, èìååì îáðàòèìóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòå-
ìó [1] ñ äâóìÿ íåïîäâèæíûìè ìíîæåñòâàìè: M1 = {θ, θ̇, τ : sin θ = 0, sin τ = 0},
M2 = {θ, θ̇, τ : θ̇ = 0, sin τ = 0}.
Öåëü íàñòîÿùåãî ðàññìîòðåíèÿ � èññëåäîâàòü ñèììåòðè÷íûå ïåðèîäè÷åñêèå äâè-
æåíèÿ çàäà÷è ïåðèîäà 2πk/m (k,m ∈ N) â âèäå êîëåáàíèé è âðàùåíèé. Ïðè ýòîì
109
Þ.Ä. Ãëóõèõ
èñïîëüçóåòñÿ ðàçâèòàÿ â ïîñëåäíèå ãîäû òåîðèÿ êîëåáàíèé îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ
ñèñòåì [2].
Âðàùàòåëüíûå äâèæåíèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M1.  ñîîòâåò-
ñòâèè ñ öèêëè÷åñêèì èíòåãðàëîì ïîäîáíûå ðåøåíèÿ â óðàâíåíèè (1) âîçìîæíû òîëüêî
ïðè κ = 0, ò. å. äëÿ ñëó÷àÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà.
Ðàíåå ðàññìàòðèâàëèñü [3] êîëåáàíèÿ âáëèçè êîíè÷åñêèõ äâèæåíèé, ïðè êîòîðûõ
ìàÿòíèê ñîñòàâëÿåò ïîñòîÿííûé óãîë ñ âåðòèêàëüþ è âðàùàåòñÿ âîêðóã íåå ñ ïîñòîÿííîé
óãëîâîé ñêîðîñòüþ. Ïðè ýòîì ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî: à) àìïëèòóäà A òî÷êè ïîäâåñà ìàëà
ïî ñðàâíåíèþ ñ äëèíîé l ìàÿòíèêà (0 < ε� 1); á ) ÷àñòîòà Ω êîëåáàíèé òî÷êè ïîäâåñà
âåëèêà ïî ñðàâíåíèþ ñ ÷àñòîòîé
√
g/l ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà
(g/(Ω2l) < ε4); â)óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ìàÿòíèêà âîêðóã âåðòèêàëè ìàëà ïî
ñðàâíåíèþ ñ Ω.
2. Ñëó÷àé ìàëûõ âèáðàöèé òî÷êè ïîäâåñà ε � 1. Çäåñü ïîëó÷àåì çàäà÷ó î
ñèììåòðè÷íûõ ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèÿõ îáðàòèìîé ñèñòåìû, áëèçêîé ê êîíñåðâàòèâ-
íîé ñèñòåìå ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû [4, 5]
z̈ + f(z) = µF (µ, z, ż, t), (2)
ãäå ôóíêöèÿ F (µ, z, ż, t) ÿâëÿåòñÿ 2π-ïåðèîäè÷åñêîé ïî t; µ � ìàëûé ïàðàìåòð. Âîçìîæ-
íû äâà ñëó÷àÿ.  ïåðâîì èç íèõ èìååì
f(−z) = −f(z), F (µ,−z, ż,−t) = −F (µ, z, ż, t), (3)
âî âòîðîì
F (µ, z,−ż,−t) = F (µ, z, ż, t). (4)
 ñëó÷àå ïåðèîäè÷åñêîé ïî z ñèñòåìû (2) ñëó÷àþ (3) îòâå÷àåò íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî
M1. Íåïîäâèæíîå ìíîæåñòâî M2 îòâå÷àåò ñèñòåìå (2), (4).
Ïåðèîäè÷åñêàÿ ïî z ñèñòåìà (2), (4) ïðè µ = 0 äîïóñêàåò ñåìåéñòâî (îò ïîñòîÿííîé
ýíåðãèè h) âðàùàòåëüíûõ äâèæåíèé, êîòîðûå çàìêíóòû íà ôàçîâîì öèëèíäðå (z, ż).
Ïåðèîä âðàùàòåëüíûõ äâèæåíèé îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
T (h) =
2π∫
0
dz
g(h, z)
, g(h, z) =
√
h− V (z), V (z) = 2
∫
f(z)dz
(2π-ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ V (z) íå ñîäåðæèò ïîñòîÿííîãî ñëàãàåìîãî), à ñàìî ñèììåò-
ðè÷íîå 2πk-ïåðèîäè÷åñêîå äâèæåíèå çàäàåòñÿ ôîðìóëîé
z = ψ(h, t), ψ(h, t+ 2πk) = ψ(h, t) + 2πm; k ∈ N,m ∈ Z. (5)
Ñïðàâåäëèâî ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå.
Òåîðåìà 1. [4] Äëÿ îáðàòèìîãî óðàâíåíèÿ (2), (4) âñå 2πk-ïåðèîäè÷åñêèå âðàùà-
òåëüíûå äâèæåíèÿ (5), äëÿ êîòîðûõ
T (h∗) = 2πk/|m|,
ïðîäîëæàþòñÿ ïî ïàðàìåòðó µ.
110
Êîëåáàíèÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ âèáðèðóþùåé òî÷êîé ïîäâåñà
Ïðèìåíèì ýòó òåîðåìó ê ñôåðè÷åñêîìó ìàÿòíèêó. Çäåñü âðàùàòåëüíûå äâèæåíèÿ
âîçìîæíû òîëüêî ïðè κ = 0 (ñëó÷àé ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà). Çíà÷èò, ïðè ìàëûõ
âèáðàöèÿõ òî÷êè ïîäâåñà ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà èç ñåìåéñòâà åãî ïëîñêèõ âðàùàòåëü-
íûõ äâèæåíèé ðîæäàåòñÿ ñ÷åòíîå (ïî ÷èñëóm îáîðîòîâ ìàÿòíèêà) ÷èñëî ñèììåòðè÷íûõ
2πk-ïåðèîäè÷åñêèõ âðàùàòåëüíûõ äâèæåíèé (5).
Ïðè àíàëèçå êîëåáàíèé ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ïðè ìàëûõ ε áóäåì îïèðàòüñÿ íà
óòâåðæäåíèå [4, 5], êîòîðîå èìååò îäíó è òó æå ôîðìóëèðîâêó äëÿ ñëó÷àåâ (3), (4).
Òåîðåìà 2. [4, 5] Ñèììåòðè÷íîå, 2πk-ïåðèîäè÷åñêîå (k ∈ N) êîëåáàíèå êîíñåðâà-
òèâíîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, äëÿ êîòîðîãî
T (h∗) = 2πk/m, m ∈ N, dT (h∗) 6= 0,
ïðîäîëæàåòñÿ ïî ïàðàìåòðó µ â ñëó÷àÿõ (3) è (4).
Îáðàòèìñÿ ê ôàçîâîìó ïîðòðåòó ïîðîæäàþùåé ñèñòåìû.  ñëó÷àå (3) ýòîò ïîðòðåò
ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îáåèõ îñåé (ñì. ðèñ. 2), â òî âðåìÿ êàê â ñëó÷àå (4) ïîðòðåò
ñèììåòðè÷åí òîëüêî îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ (ñì. ðèñ. 3).
Ðèñ. 2. Ðèñ. 3.
Óðàâíåíèå (1) èìååò äâà íåïîäâèæíûõ ìíîæåñòâà M1,M2 ïðè ïðîèçâîëüíîì çíà-
÷åíèè κ. Îäíàêî òîëüêî ïðè κ = 0 ôàçîâûé ïîðòðåò èìååò âèä, ïðèâåäåííûé íà ðèñ. 2.
Ïîýòîìó ïðèìåíåíèå òåîðåìû 2 ê óðàâíåíèþ (1) ïðèâîäèò ê ñëåäóþùåìó âûâîäó.
Òåîðåìà 3. Ïðè ìàëûõ âèáðàöèÿõ òî÷êè ïîäâåñà ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà èç ñåìåé-
ñòâà åãî ïëîñêèõ êîëåáàíèé ðîæäàþòñÿ äâà ñåìåéñòâà ïëîñêèõ êîëåáàíèé, êàæäîå èç
êîòîðûõ ñîñòîèò èç ñ÷åòíîãî ÷èñëà äâèæåíèé; ñåìåéñòâà ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî
ìíîæåñòâ M1 è M2 ñîîòâåòñòâåííî.
Óêàæåì, ÷òî óñëîâèå dT (h∗) 6= 0 äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà âûïîëíåíî.
3. Ïðîñòðàíñòâåííûå êîëåáàíèÿ â ñëó÷àå ìàëûõ âèáðàöèé òî÷êè ïîäâåñà
(ε � 1, κ > 0). Ïðîàíàëèçèðóåì ñíà÷àëà ïîðîæäàþùóþ êîíñåðâàòèâíóþ ñèñòåìó.
Òî÷êè ðàâíîâåñèÿ θ∗ ýòîé ñèñòåìû íàõîäèì èç óðàâíåíèÿ sin4 θ = κ cos θ, sin θ 6= 0.
Ïðîèçâîäíàÿ dκ/dθ∗ > 0, çíà÷èò, ïðè äàííîì çíà÷åíèè κ èìåþòñÿ òîëüêî äâà ðàâ-
íîâåñèÿ ±θ∗ (ñì. ðèñ. 4).
Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïîðîæäàþùåé ñèñòåìû
Π∗ = a2Π∗, Π∗ = − cos θ +
κ
2 sin2 θ
è ñîîòâåòñòâóþùèé ôàçîâûé ïîðòðåò ïðèâåäåíû íà ðèñ. 5.
Çäåñü ôàçîâàÿ ïëîñêîñòü ñîñòîèò èç äâóõ ñèììåòðè÷íûõ äðóã äðóãó îòíîñèòåëüíî
îñè îðäèíàò ïëîñêîñòåé. Â êàæäîé òàêîé ïîëóïëîñêîñòè ñåìåéñòâî çàìêíóòûõ êðèâûõ �
111
Þ.Ä. Ãëóõèõ
Ðèñ.4. Ðèñ.5.
ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé � îêðóæàåò öåíòð â òî÷êå θ∗. Òî÷êè ±θ∗ îòâå÷àþò êîíè÷åñêèì
äâèæåíèÿì.
Îòìåòèì, ÷òî ñåìåéñòâî ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè
àáñöèññ. Èç èíòåãðàëà ýíåðãèè
θ̇2
2
+ a2Pi∗ = a2h(const)
âû÷èñëèì ïåðèîä êîëåáàíèé
aT (κ, h) = 2
θ2(κ,h)∫
θ1(κ,h)
dθ√
2(h− Π∗)
(6)
(θ1, θ2 � ñîîòâåòñòâåííî ìèíèìàëüíûé è ìàêñèìàëüíûé óãëû íà ïåðèîäè÷åñêîì äâèæå-
íèè).  òî÷êàõ θ1,2 èìååì Π(θ1,2) = h. Ïîýòîìó θ1,2 íàõîäÿòñÿ êàê êîðíè êóáè÷åñêîãî
óðàâíåíèÿ
z3 + hz2 − z + κ/2− h = 0, z = cos θ > 0. (7)
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëà (6) âûïîëíèì çàìåíó θ = θ∗ + ∆θ. Äàëåå ðàçîáúåì åãî
íà äâà îäíîòèïíûõ èíòåãðàëà ñ ïðåäåëàìè ñîîòâåòñòâåííî îò ∆θ1 äî 0 è îò 0 äî ∆θ2:
∆θj = θj − θ∗ (j = 1, 2) Ïîñëåäóþùàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêàÿ çàìåíà
tg
∆θ1
2
= −s1 (tg
∆θ2
2
= s2), tg
∆θ
2
= sju,
sin ∆θ =
2sju
1 + s2
ju
2
, cos ∆θ =
1− s2
ju
2
1 + s2
ju
2
, d(∆θ) =
2sjdu
1 + s2
ju
2
; j = 1, 2
ïðèâîäèò ê íåñîáñòâåííûì èíòåãðàëàì íà îòðåçêàõ [−1, 0] è [0, 1]. Íàêîíåö, ïåðåõîä ê
ïåðåìåííîé èíòåãðèðîâàíèÿ x =
√
1− u ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ïåðèîä T â âèäå ñóììû
äâóõ îïðåäåëåííûõ èíòåãðàëîâ
aT = I1 + I2,
112
Êîëåáàíèÿ ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ âèáðèðóþùåé òî÷êîé ïîäâåñà
Ij =
∫ 1
0
PjQj
√
1 + s2
ju
2du
[P 2
j Q
2
jRj + SjUj(1 + s2
ju
2)(1 + s2
j)κ]
√
1− u
.
Çäåñü
Pj = (1− s2
ju) sin θ∗ − 2sju cos θ,
Qj = (1− s2
j) sin θ∗ − 2sj cos θ∗,
Rj = sj(1 + u) cos θ + (−1)j(1− s2
ju) sin θ∗,
Sj = (1 + s2
ju)(sj(1 + u) sin θ∗ + (1− s2
ju) cos θ∗),
Uj = ((1− s2
ju) sin θ∗ − (−1)jsj(1 + u) cos θ).
Äëÿ âû÷èñëåíèÿ èíòåãðàëîâ Ij íåîáõîäèìî äëÿ êàæäîãî ïàðàìåòðà κ íàéòè òî÷êó
ðàâíîâåñèÿ θ∗(κ), äàëåå îïðåäåëèòü θ1,2(κ, h) èç (7), ÷èñëà s1 è s2 è ïðîâåñòè èíòåãðè-
ðîâàíèå.
Ãðàôèêè çàâèñèìîñòè T (κ, h) îò h ïðè ôèêñèðîâàííûõ κ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 6.
Âèäíî, ÷òî âñåãäà dT (κ, h)/dh < 0.
Òàêèì îáðàçîì, èìååò ìåñòî óòâåðæäå-
Ðèñ. 6.
íèå.
Òåîðåìà 4. Ïðè ìàëûõ âèáðàöèÿõ òî÷-
êè ïîäâåñà ñôåðè÷åñêèé ìàÿòíèê äîïóñêàåò
òîëüêî îäíî ñåìåéñòâî ñèììåòðè÷íûõ ïðîñò-
ðàíñòâåííûõ êîëåáàíèé. Îíî ñîñòîèò èç ñ÷åò-
íîãî ÷èñëà äâèæåíèé è ðîæäàåòñÿ èç íåïðå-
ðûâíîãî ïî h ñåìåéñòâà êîëåáàíèé, ñèììåò-
ðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà M2.
Ñóùåñòâîâàíèå êîëåáàíèé âáëèçè êîíè-
÷åñêèõ äâèæåíèé ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé à) � â) (èç ï. 1) èçâåñòíî [3]. Ïðè ýòîì
òðåáóåòñÿ, ÷òîáû a ' ε2 (óñëîâèå á)), b ' ε2 (óñëîâèå â)). Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé
à) � â) óðàâíåíèå (1) çàïèøåì â âèäå (2) ñ ôóíêöèåé f(z) ≡ 0. Òîãäà óêàçàííûå äâèæå-
íèÿ ðîæäàþòñÿ èç ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèé îáðàòèìîé ñèñòåìû [6, 7]. Íà ñàìîì äåëå [6,
7], ìàëîñòè a è ε äîñòàòî÷íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ âûâîäà î ñóùåñòâîâàíèè ïñåâäîêîíè÷åñêèõ
äâèæåíèé. ×òî êàñàåòñÿ ïñåâäîêîíè÷åñêèõ äâèæåíèé ïðè êîíå÷íûõ a, òî ñóùåñòâîâàíèå
èõ äîñòàâëÿåò òåîðåìà 4.
Óêàæåì, ÷òî ïñåâäîêîíè÷åñêèå äâèæåíèÿ ñîñòàâëÿþò òîëüêî îäèí ÷àñòíûé êëàññ
ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé. Òåîðåìà 4 ïîçâîëÿåò íàéòè âñå ñèììåòðè÷íûå 2πk-ïåðèîäè-
÷åñêèå êîëåáàíèÿ.
Âû÷èñëèì ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé â îêðåñòíîñòè êîíè÷åñêèõ âðàùåíèé (θ = θ∗)
aT∗ = 2π(3 cos θ∗ +
1
cos θ∗
) ≥ 4
√
3π.
Ïðè a = 1 ïåðèîä ýòèõ êîëåáàíèé áîëüøå 6π. Ñ óìåíüøåíèåì ÷àñòîòû Ω óâåëè-
÷èâàåòñÿ ïàðàìåòð a ∼ 1/Ω è, òîëüêî íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî a∗ = 2
√
3, ïîÿâëÿþòñÿ
2π-ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. Êîëåáàíèÿ ïåðèîäà 2π âîçíèêàþò òîãäà, êîãäà ÷àñòîòà Ω
âèáðàöèé òî÷êè ïîäâåñà íå áîëüøå òðåõ ω =
√
g/l � ÷àñòîò ìàëûõ êîëåáàíèé ìàòåìà-
òè÷åñêîãî ìàÿòíèêà. Ñ óìåíüøåíèåì îòíîøåíèÿ Ω/ω óâåëè÷èâàåòñÿ, íà÷èíàÿ ñ îäíîãî,
÷èñëî 2π-ïåðèîäè÷åñêèõ êîëåáàíèé.
113
Þ.Ä. Ãëóõèõ
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (03-01-00052) è ïðîãðàììû
"Ãîñóäàðñòâåííàÿ ïîääåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë"(ÍØ- 2000.2003.01).
1. Òõàé Â.Í. Îáðàòèìûå ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû // Íåëèíåéíàÿ ìåõàíèêà. � Ì.: Ôèçìàòëèò, 2001. �
Ñ. 131-146.
2. Òõàé Â.Í.Êîëåáàíèÿ îáðàòèìûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì // 8-é Âñåðîññèéñêèé ñúåçä ïî òåîðåòè÷åñêîé
è ïðèêëàäíîé ìåõàíèêå (Ïåðìü, 23-29 àâãóñòà 2001): Àííîò. äîêë. � Åêàòåðèíáóðã: ÓðÎÐÀÍ, 2001.
� Ñ. 568.
3. Ìàðêååâ À.Ï. Î äèíàìèêå ñôåðè÷åñêîãî ìàÿòíèêà ñ âèáðèðóþùèì ïîäâåñîì // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà
è ìåõàíèêà. � 1999. � 63, âûï.2. � Ñ. 213-219.
4. Òõàé Â.Í. Âðàùàòåëüíûå äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì // Òàì æå. � Ñ. 179-195.
5. Òõàé Â.Í. Ïåðèîäè÷åñêèå äâèæåíèÿ ñèñòåìû, áëèçêîé ê àâòîíîìíîé îáðàòèìîé ñèñòåìå // Òàì æå.
� 2001. � 65, âûï.4. � Ñ. 661-680.
6. Òõàé Â.Í. Î ìåòîäå Ëÿïóíîâà�Ïóàíêàðå â òåîðèè ïåðèîäè÷åñêèõ äâèæåíèé // Òàì æå. � 1998. �
62, âûï.3. � Ñ. 355-371.
7. Òõàé Â.Í. Êîëåáàíèÿ è óñòîé÷èâîñòü â êâàçèëèíåéíîé ñèñòåìå âòîðîãî ïîðÿäêà â ñëó÷àå ïàðû
íåïðîñòûõ íóëåâûõ êîðíåé // Çàäà÷è èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ. � Ì.:
ÂÖ ÐÀÍ, 2005. � Ñ. 48-56.
Ìîñêîâñêàÿ ãîñ. àêàäåìèÿ ïðèáîðîñòðîåíèÿ è èíôîðìàòèêè
yucha@mail.ru
Ïîëó÷åíî 08.10.05
114
|