Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Рассматривается задача о движении гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющего вертикальную наружную ось подвеса. Моменты сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса предполагаются отсутствующими. Относительно оси ро...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Коносевич, Ю.Б.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123770
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 115-123. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123770
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237702017-09-10T03:04:51Z Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе Коносевич, Ю.Б. Рассматривается задача о движении гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющего вертикальную наружную ось подвеса. Моменты сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса предполагаются отсутствующими. Относительно оси ротора действует момент, равный алгебраической сумме момента сил трения и вращающего момента электродвигателя. В случае асинхронного двигателя наличие изолированного минимума приведенной потенциальной энергии является достаточным и. как правило, необходимым условием устойчивости соответствующего стационарного движения. В настоящей работе показано, что этот результат справедлив и в случае синхронного электродвигателя. 2005 Article Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 115-123. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123770 531.38, 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматривается задача о движении гироскопа в кардановом подвесе, установленного на неподвижном основании в поле силы тяжести и имеющего вертикальную наружную ось подвеса. Моменты сил трения и какие-либо управляющие моменты относительно осей подвеса предполагаются отсутствующими. Относительно оси ротора действует момент, равный алгебраической сумме момента сил трения и вращающего момента электродвигателя. В случае асинхронного двигателя наличие изолированного минимума приведенной потенциальной энергии является достаточным и. как правило, необходимым условием устойчивости соответствующего стационарного движения. В настоящей работе показано, что этот результат справедлив и в случае синхронного электродвигателя.
format	Article
author	Коносевич, Ю.Б.
spellingShingle	Коносевич, Ю.Б. Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе Механика твердого тела
author_facet	Коносевич, Ю.Б.
author_sort	Коносевич, Ю.Б.
title	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_short	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_full	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_fullStr	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_full_unstemmed	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
title_sort	критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123770
citation_txt	Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе / Ю.Б. Коносевич // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 115-123. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT konosevičûb kriterijustojčivostistacionarnyhdviženijsinhronnogogiroskopavkardanovompodvese
first_indexed	2025-07-09T00:15:33Z
last_indexed	2025-07-09T00:15:33Z
_version_	1837126277355536384
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35 ÓÄÊ 531.38, 531.36 c©2005.Þ.Á. Êîíîñåâè÷ ÊÐÈÒÅÐÈÉ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÄÂÈÆÅÍÈÉ ÑÈÍÕÐÎÍÍÎÃÎ ÃÈÐÎÑÊÎÏÀ Â ÊÀÐÄÀÍÎÂÎÌ ÏÎÄÂÅÑÅ Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î äâèæåíèè ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, óñòàíîâëåííîãî íà íåïîäâèæ- íîì îñíîâàíèè â ïîëå ñèëû òÿæåñòè è èìåþùåãî âåðòèêàëüíóþ íàðóæíóþ îñü ïîäâåñà. Ìîìåíòû ñèë òðåíèÿ è êàêèå-ëèáî óïðàâëÿþùèå ìîìåíòû îòíîñèòåëüíî îñåé ïîäâåñà ïðåäïîëàãàþòñÿ îòñóòñòâóþ- ùèìè. Îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà äåéñòâóåò ìîìåíò, ðàâíûé àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå ìîìåíòà ñèë òðåíèÿ è âðàùàþùåãî ìîìåíòà ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Â ñëó÷àå àñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ íàëè÷èå èçîëèðîâàííîãî ìèíèìóìà ïðèâåäåííîé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì è, êàê ïðàâèëî, íåîáõîäèìûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ïîêàçàíî, ÷òî ýòîò ðåçóëüòàò ñïðàâåäëèâ è â ñëó÷àå ñèíõðîííîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Ââåäåíèå. Äëÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, óñòàíîâëåííîãî íà íåïîäâèæíîì îñíîâàíèè, â êà÷åñòâå îáîáùåííûõ ëàãðàíæåâûõ êîîðäèíàò ïðèíèìàþòñÿ óãëû α, β, ϕ, ãäå α � óãîë ïîâîðîòà íàðóæíîé ðàìêè ïîäâåñà îòíîñèòåëüíî îñíîâàíèÿ, β � óãîë ïîâîðîòà âíóòðåííåé ðàìêè îòíîñèòåëüíî íàðóæíîé, ϕ � óãîë ïîâîðîòà ðîòîðà îòíî- ñèòåëüíî âíóòðåííåé ðàìêè. Êîãäà íàðóæíàÿ îñü ïîäâåñà âåðòèêàëüíà ëèáî ãèðîñêîï ÿâëÿåòñÿ óðàâíîâåøåííûì, óðàâíåíèÿ åãî äâèæåíèÿ äîïóñêàþò ñåìåéñòâî ðåøåíèé α̇ = Ω0, β = β0, ϕ = ωt + γ0, (1) ãäå ïîñòîÿííûå Ω0, β0 îïðåäåëåííûì îáðàçîì ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé. Ðåøåíèÿ âèäà (1) îïèñûâàþò ñòàöèîíàðíûå äâèæåíèÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, à èìåííî ðàâíî- ìåðíûå âðàùåíèÿ ðîòîðà ñ óãëîâîé ñêîðîñòüþ ω âîêðóã íåïîäâèæíîé îñè (ïðè Ω0 = 0) è ðåãóëÿðíûå ïðåöåññèè ðîòîðà âîêðóã íàðóæíîé îñè ïîäâåñà (ïðè Ω0 6= 0). Óãîë α ÿâëÿ- åòñÿ öèêëè÷åñêîé êîîðäèíàòîé. Ïîñòîÿííàÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî öèêëè÷åñêîãî èíòåãðàëà îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç p, à çíà÷åíèå ýòîé ïîñòîÿííîé íà ðåøåíèè (1) � ÷åðåç p0. Â ïåðâûõ ðàáîòàõ ïî òåîðèè ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî ìîìåíòû ñèë òðåíèÿ íå äåéñòâóþò êàê îòíîñèòåëüíî îñåé ïîäâåñà, òàê è îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé òàêîãî èäåàëü- íîãî ãèðîñêîïà ïî îòíîøåíèþ ê α̇, β̇, ϕ̇, β ïîëó÷åíû â ðàáîòàõ [1�3] è äðóãèõ. Äëÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, ñíàáæåííîãî àñèíõðîííûì ýëåêòðîïðèâîäîì ðîòîðà, äîñòàòî÷íîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé íàéäåíî â [4]. Ïóñòü f(p, β)� ïðèâåäåííàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà. Òîãäà óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ (1) ÿâëÿåòñÿ ðàâåíñòâî f ′(p0, β0) = 0, ãäå øòðèõ îçíà÷àåò äèô- ôåðåíöèðîâàíèå ïî β. Â [5] ïðèíÿòà áîëåå îáùàÿ, ÷åì â [1-4], ìåõàíè÷åñêàÿ ìîäåëü ãèðî- ñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå è ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ãèðîñêîïîâ áîëüøèíñòâà êîíñòðóêöèé, â òîì ÷èñëå è äëÿ ðàññìîòðåííîé â [4] îáû÷íîé êîíñòðóêöèè, íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷- íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå èçîëèðîâàííîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f(p0, β) ïðè β = β0. Â ñòàòüå [6] ðàññìîòðåí ñëó÷àé, êîãäà ðîòîð ïðèâîäèòñÿ âî âðàùåíèå ñèíõðîííûì ýëåêòðîäâèãàòåëåì, è ñ ïîìîùüþ ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî äâèæåíèÿ äîñòàòî÷íî âûïîëíåíèÿ äâóõ íåðàâåíñòâ. Îäíî èç íèõ ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f ′′(p0, β0) > 0, è ñëåäîâàòåëüíî, îíî ÿâëÿåòñÿ 115 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ ÷àñòíûì ñëó÷àåì òîãî æå óñëîâèÿ ìèíèìóìà, êîòîðîå îïðåäåëÿåò óñòîé÷èâîñòü ñòàöè- îíàðíûõ äâèæåíèé â ñëó÷àå àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà, à âòîðîå õàðàêòåðíî òîëüêî äëÿ ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà. Â íàñòîÿùåé ðàáîòå ðåçóëüòàò, óñòàíîâëåííûé â [5] äëÿ àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà, ïåðåíåñåí íà ñëó÷àé ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå. À èìåííî, ïîêàçàíî, ÷òî äëÿ ñèíõðîííûõ ãèðîñêîïîâ áîëüøèíñòâà êîíñòðóêöèé ( â òîì ÷èñëå è äëÿ îáû÷íîé ìîäåëè ) íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (1) ïî ïåðåìåííûì α̇, β̇, ϕ̇, β, ϕ ÿâëÿåòñÿ íàëè÷èå èçîëèðîâàííîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f(p0, β) ïðè β = β0. 1. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ è ñòàöèîíàðíûå ðåæèìû. Òàê æå, êàê è â [5, 6], ðàññìîòðèì îáîáùåííóþ ìåõàíè÷åñêóþ ìîäåëü ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, êîãäà äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé ðîòîð çàêëþ÷åí â êàðäàíîâ ïîäâåñ, ñîñòàâëåííûé èç äâóõ òåë ("ðàìîê") ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, ïðè÷åì âíóòðåííÿÿ îñü ïîäâåñà íåêîëëèíåàðíà íàðóæíîé îñè ïîäâåñà è îñè ðîòîðà. Íàðóæíàÿ îñü ïîäâåñà çàêðåïëåíà â íåïîäâèæíîì îñíîâàíèè è íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî. Òðåíèå è êàêèå-ëèáî óïðàâëÿþùèå ìîìåíòû íà îñÿõ ïîäâåñà îòñóòñòâóþò. Îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà äåéñòâóþò ìîìåíòû ñèë òðåíèÿ, è äëÿ ïîääåðæàíèÿ âðàùåíèÿ ðîòîðà ãèðîñêîï ñíàáæåí ýëåêòðîäâèãàòåëåì. Ïóñòü óãëû α, β, ϕ îïðåäåëåíû, êàê óêàçàíî âûøå. Ïðè ñäåëàííûõ ïðåäïîëîæå- íèÿõ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ çåìíîãî òÿãîòåíèÿ U è âåëè÷èíû G, N, Q â âûðàæåíèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû T = 1 2 ( Gα̇2 + Hβ̇2 + Cϕ̇2 + 2Nα̇β̇ + 2Qα̇ϕ̇ + 2Rβ̇ϕ̇ ) (2) çàâèñÿò òîëüêî îò óãëà β è ìåõàíè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, êîýôôèöèåíòû H, R çàâèñÿò òîëüêî îò ìåõàíè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, C � îñåâîé ìîìåíò èíåðöèè ðîòîðà. Çàâèñèìîñòè U,G,N,Q îò β èìåþò âèä U(β) = u0 + u1 sin β + u2 cos β, G(β) = g0 + g1 sin β + g2 cos β + g3 sin 2β + g4 cos 2β, N(β) = n0 + n1 sin β + n2 cos β, Q(β) = q0 + q1 sin β, (3) ãäå u0 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ, à âñå îñòàëüíûå êîýôôèöèåíòû ïî èçâåñòíûì ôîð- ìóëàì âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ìåõàíè÷åñêèå ïàðàìåòðû [7]. Ïðè ýòîì èç ïðåäïîëîæåíèÿ î íåêîëëèíåàðíîñòè îñåé ïîäâåñà è ðîòîðà ñëåäóåò, ÷òî q1 6= 0. Òàê êàê êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ñêîðîñòåé α̇, β̇, ϕ̇, òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè β âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà Ñèëüâå- ñòðà: J(β) = ∣∣∣∣∣∣∣ G(β) N(β) Q(β) N(β) H R Q(β) R C ∣∣∣∣∣∣∣ > 0, J1(β) = G(β)H −N2(β) > 0, J2(β) = G(β)C −Q2(β) > 0, G(β) > 0. (4) Ìîìåíò L, äåéñòâóþùèé îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà, ðàâåí àëãåáðàè÷åñêîé ñóììå âðàùàþùåãî ìîìåíòà äâèãàòåëÿ è ìîìåíòà ñèë òðåíèÿ. Â ñëó÷àå ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ äëÿ ìîìåíòà L îáû÷íî ïðèíèìàþò âûðàæåíèå L = L(ϕ− ωt, ϕ̇) = −λ1(ϕ− ωt− γ0)− λ2(ϕ̇− ω), 116 ãäå λ1, λ2 > 0, ω 6= 0, γ0 � íåêîòîðûå ïîñòîÿííûå (ñì. [8]). Ïîëàãàÿ γ = ϕ − ωt − γ0, ïîëó÷èì ôîðìóëó L = L(γ, γ̇) = −λ1γ − λ2γ̇ . (5) Îíà ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíûì ïðèáëèæåíèåì áîëåå îáùåãî âûðàæåíèÿ L = L(γ, γ̇) = L1(γ) + L2(γ̇), (6) ãäå L1(γ) � âðàùàþùèé ìîìåíò ñèíõðîííîãî äâèãàòåëÿ, L2(γ̇) � äèññèïàòèâíûé ìîìåíò. Ôóíêöèè L1(γ), L2(γ̇) ïðåäïîëàãàþòñÿ íåïðåðûâíûìè, à ñ ó÷åòîì (5) îíè îáëàäàþò ñëå- äóþùèìè ñâîéñòâàìè: γL1(γ) < 0 (γ 6= 0), L1(0) = 0; (7) γ̇L2(γ̇) < 0 (γ̇ 6= 0), L2(0) = 0. (8) Ìîìåíò L1(γ) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå L1(γ) = − d dγ U1(γ), (9) U1(γ) = − γ∫ 0 L1(σ) dσ, (10) σ � ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ. Òàê êàê, ñîãëàñíî (7), çíàê L1(γ) ïðîòèâîïîëîæåí çíàêó γ, òî U1(γ) > 0 (γ 6= 0), U1(0) = 0. Òàêèì îáðàçîì, U1(γ) � îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ γ. Ýòà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé ýëåêòðîìàãíèòíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ðîòîðà è ñòàòîðà ñèíõðîí- íîãî ýëåêòðîäâèãàòåëÿ. Â ñîîòâåòñòâèè ñ âûðàæåíèåì (2) êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè è ñäåëàííûìè ïðåäïîëîæå- íèÿìè î äåéñòâóþùèõ ñèëàõ, ëàãðàíæåâû óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå èìåþò âèä d dt [ G(β)α̇ + N(β)β̇ + Q(β)ϕ̇ ] = 0, d dt [ N(β)α̇ + Hβ̇ + Rϕ̇ ] − α̇ [ G′(β) 2 α̇ + N ′(β)β̇ + Q′(β)ϕ̇ ] = −U ′(β), d dt [ Q(β)α̇ + Rβ̇ + Cϕ̇ ] = L(ϕ, ϕ̇), (11) ãäå øòðèõîì îáîçíà÷åíî äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî β. Èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (11) ñëåäóåò èíòåãðàë G(β)α̇ + N(β)β̇ + Q(β)ϕ̇ = p (p = const). (12) Ïåðåìåííàÿ α âõîäèò â ýòè óðàâíåíèÿ òîëüêî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè ïî âðåìåíè α̇, α̈. Ïî- ýòîìó îíè ýêâèâàëåíòíû íîðìàëüíîé ñèñòåìå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ ôàçîâûì âåêòîðîì (α̇, β̇, ϕ̇, β, ϕ). Óðàâíåíèÿ (11) äîïóñêàþò ðåøåíèÿ âèäà (1), åñëè ïîñòîÿííûå Ω0, β0 ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì −Ω0 [ Ω0 2 G′(β0) + ωQ′(β0) ] + U ′(β0) = 0. (13) 117 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ Ââåäåì âìåñòî α̇ ïåðåìåííóþ p ïî ôîðìóëå (12), à âìåñòî ϕ ââåäåì óãîë γ = ϕ− −ωt− γ0. Ïðåîáðàçîâàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé d dt (p− ωQ)N + β̇(GH −N2) + γ̇(GR−QN) G + ∂ ∂β [ (p− ωQ− β̇N − γ̇Q)2 2G + U ] = 0, d dt (p− ωQ)Q + β̇(GR−QN) + γ̇(GC −Q2) G = L, dp dt = 0 (14) îïðåäåëÿåò (p, β̇, γ̇, β, γ). Àðãóìåíòû (γ̇, γ) ó ôóíêöèè L è àðãóìåíò β ó ôóíêöèé G, N, Q,U çäåñü äëÿ êðàòêîñòè îïóùåíû. Ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè p ñèñòåìà ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé (14) îáðàçóåò ïðèâåäåííóþ ñèñòåìó, ñîîòâåòñòâóþùóþ äàííîìó p. Îáî- çíà÷èì åå ÷åðåç S(p). Òàê êàê ñîãëàñíî (4) G(β) > 0 ïðè ëþáîì β, çàìåíà ïåðåìåííûõ (α̇, β̇, γ̇, β, γ) ïå- ðåìåííûìè (p, β̇, γ̇, β, γ) âçàèìíî îäíîçíà÷íà è íåïðåðûâíà â îáå ñòîðîíû. Ïîýòîìó óñòîé÷èâîñòü ëþáîãî ðåøåíèÿ ëàãðàíæåâîé ñèñòåìû (11) ýêâèâàëåíòíà óñòîé÷èâîñòè ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèÿ ïðåîáðàçîâàííîé ñèñòåìû (14). Ðåøåíèþ (1) ñèñòåìû (11) ñîîòâåòñòâóåò ðåøåíèå p = p0, β = β0, γ = 0 (15) ñèñòåìû (14). Îíî ñóùåñòâóåò, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå −p0 − ωQ(β0) G(β0) [ G′(β0) 2G(β0) (p− ωQ(β0)) + ωQ′(β0) ] + U ′(β0) = 0. (16) Â ñîîòâåòñòâèè ñ (12), ïîñòîÿííûå p0, Ω0 â ðåøåíèÿõ (1), (15) ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì p0 = Ω0G(β0) + ωQ(β0). Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óñëîâèÿ (13), (16) ýêâèâàëåíòíû. Ââåäåì, êàê è â [5], îáîçíà÷åíèå f(p, β) = [p− ωQ(β)]2 2G(β) + U(β). (17) Îïðåäåëèâ ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè f(p, β) ïî β, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî óñëîâèå (16) ñóùå- ñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ (15) ó ñèñòåìû (14) ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå f ′(p0, β0) = 0. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ f(p0, β) ïåðåìåííîé β àíàëèòè÷åñêàÿ, òî îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñó- ùåñòâóþò òîëüêî ÷åòûðå âîçìîæíîñòè: ïðè β = β0 ôóíêöèÿ f(p0, β) èìååò A) èçîëèðî- âàííûé ìèíèìóì, B) èçîëèðîâàííûé ìàêñèìóì, C) ïåðåãèá, D) f(p0, β) = const. 2. Ýíåðãåòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàð- íûõ äâèæåíèé ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ôóíêöèé Ëÿïóíîâà. Òàêèå ôóíêöèè áóäåì ñòðîèòü íà îñíîâàíèè òåîðåìû îá èçìåíåíèè ýíåðãèè. Â çàâèñèìîñòè îò âûáîðà îñíîâíûõ ïåðåìåííûõ ýòó òåîðåìó ìîæíî ôîðìó- ëèðîâàòü ïî-ðàçíîìó. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî âàðèàíòîâ òåîðåìû îá èçìåíåíèè ýíåðãèè ïðèìåíèòåëüíî ê ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå, íå ññûëàÿñü íà åå îáùèå ôîðìóëèðîâêè. Âàðèàíò 1. Ïóñòü â êà÷åñòâå îñíîâíûõ ïåðåìåíûõ âûáðàíû α̇, β, ϕ è äâèæåíèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ ëàãðàíæåâûìè óðàâíåíèÿìè (11). Ïðîäèôôåðåíöèðóåì â íèõ ïî 118 âðåìåíè âûðàæåíèÿ â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ïî âðåìåíè â ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé îò ôóíêöèè E1(α̇, β̇, ϕ̇, β) = T (α̇, β̇, ϕ̇, β) + U(β), (18) ãäå T � êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëåííàÿ ôîðìóëîé (2), U(β) � ïîòåíöè- àëüíàÿ ýíåðãèÿ çåìíîãî òÿãîòåíèÿ. Îíà ðàâíà Ė1(α̇, β̇, ϕ̇, β) = ϕ̇L(ϕ, ϕ̇). (19) Âàðèàíò 2. Âìåñòî óãëà ϕ ââåäåì â óðàâíåíèÿ (11) óãîë γ = ϕ − ωt − γ0. Ìîìåíò L ïðåäñòàâèì â âèäå (6), ãäå L1 âûðàçèì ïî ôîðìóëå (9) ÷åðåç U1(γ). Ïðîèçâîäíàÿ ïî âðåìåíè â ñèëó ïîëó÷åííûõ òàêèì îáðàçîì óðàâíåíèé îò ôóíêöèè E2(α̇, β̇, γ̇, β, γ) = 1 2 [G(β)α̇2+Hβ̇2+Cγ̇2+2N(β)α̇β̇+2Q(β)α̇γ̇+2Rβ̇γ̇]+U(β)+U1(γ) (20) ðàâíà Ė2(α̇, β̇, γ̇, β, γ) = γ̇L2(γ̇). (21) Âàðèàíò 3. Çàìåíèì â ôîðìóëå (20) äëÿ E2 âåëè÷èíó α̇ åå âûðàæåíèåì α̇ = p− ωQ(β)−N(β)β̇ −Q(β)γ̇ G(β) , âûòåêàþùèì èç èíòåãðàëà (12). Òîãäà âìåñòî E2 èìååì ôóíêöèþ E3(p, β̇, γ̇, β, γ) = β̇2[G(β)H −N2(β)] + 2β̇γ̇[G(β)R−Q(β)N(β)] + γ̇2[G(β)C −Q2(β)] 2G(β) + + [p− ωQ(β)]2 2G(β) + U(β) + U1(γ), èëè E3(p, β̇, γ̇, β, γ) = T∗(β̇, γ̇, β) + f(p, β) + U1(γ), (22) ãäå T∗(β̇, γ̇, β) = β̇2[G(β)H −N2(β)] + 2β̇γ̇[G(β)R−Q(β)N(β)] + γ̇2[G(β)C −Q2(β)] 2G(β) , (23) f(p, β) îïðåäåëåíà â (17), à U1(γ) � â (10). Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ôóíêöèè E3 îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé ôîðìóëà (21), òî åñòü Ė3(p, β̇, γ̇, β, γ) = γ̇L2(γ̇). (24) Èç íåðàâåíñòâ (4) ñëåäóåò, ÷òî ïðè ëþáîì β ôóíêöèÿ T∗ ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî ïîëî- æèòåëüíîé ôîðìîé îòíîñèòåëüíî β̇, γ̇. Âû÷òåì èç E3 ïîñòîÿííóþ âåëè÷èíó f(p0, β0). Ïîëó÷èì ôóíêöèþ v(p, β̇, γ̇, β, γ, p0, β0) = T∗(β̇, γ̇, β) + f(p, β)− f(p0, β0) + U1(γ), (25) 119 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ êîòîðàÿ îáðàùàåòñÿ â íóëü íà ðåøåíèè (15) óðàâíåíèé (14). Åå ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó ýòèõ óðàâíåíèé v̇(p, β̇, γ̇, β, γ, p0, β0) = γ̇L2(γ̇) (26) ÿâëÿåòñÿ, â ñîîòâåòñòâèè ñ (8), ôóíêöèåé çíàêîïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé. 3. Òåîðåìû îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé÷èâîñòè. Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ñèíõðîí- íîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå ñïðàâåäëèâû ðåçóëüòàòû, ïîëó÷åííûå â [5] äëÿ àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà. Ñ ýòîé öåëüþ ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíî ñëó÷àè A, B, C, D, óêàçàííûå â êîíöå ï.1. Â ñëó÷àå A ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 1. Åñëè ôóíêöèÿ f(p0, β) èìååò ïðè β = β0 èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì, òî ðåøåíèå (15) óðàâíåíèé (14) óñòîé÷èâî (ïî îòíîøåíèþ ê ïåðåìåííûì, îáðàçóþùèì ôà- çîâûé âåêòîð (p, β̇, γ̇, β, γ) ýòèõ óðàâíåíèé ïðè çàïèñè èõ â âèäå íîðìàëüíîé ñèñòåìû). Äîêàçàòåëüñòâî. Ôóíêöèè (p − p0)2 è v ìîæíî ïðèíÿòü â êà÷åñòâå ôóíêöèé V è W â òåîðåìå Ë.Ñàëüâàäîðè, îáîáùàþùåé òåîðåìó Ðàóññà-Ëÿïóíîâà (ñì. òåîðåìó 2.3.1 â [9]). Äåéñòâèòåëüíî, óñëîâèå ìèíèìóìà f(p0, β) îçíà÷àåò, ÷òî ïðè (p−p0)2 = 0, òî åñòü ïðè p = p0, ðàçíîñòü f(p, β)− f(p0, β) ÿâëÿåòñÿ îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíîé ôóíêöèåé âîçìóùåíèÿ β− β0. Äàëåå, U1 � îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ γ, à T∗ � îïðåäå- ëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ β̇, γ̇ ïðè ëþáîì β. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ v, çàäàííàÿ ôîðìóëîé (25), ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé íà ìíîæåñòâå (p − p0)2 = 0 òî- ÷åê ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ïðîèçâîäíàÿ (26) ôóíêöèè v â ñèëó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ÿâëÿåòñÿ çíàêîïîñòîÿííîé îòðèöàòåëüíîé. Òàêèì îáðàçîì, âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 2.3.1 èç [9] âûïîëíåíû, è ïîýòîìó ðåøåíèå (15) óñòîé÷èâî (ïðè âñåâîçìîæíûõ âîçìóùåíè- ÿõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé, â òîì ÷èñëå è ïðè íà÷àëüíûõ âîçìóùåíèÿõ, íå ñîõðàíÿþùèõ çíà÷åíèå p0 ïîñòîÿííîé p ). � Òàê êàê f(p0, β) � àíàëèòè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ β, òî èçîëèðîâàííûé ìèíèìóì ïðè β = β0 îíà èìååò òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ïåðâàÿ èç åå ïðîèçâîäíûõ ïî β, îòëè÷íûõ îò íóëÿ â òî÷êå β = β0, èìååò ÷åòíûé ïîðÿäîê n è ïîëîæèòåëüíà, òî åñòü èìåþò ìåñòî ñîîòíîøåíèÿ f ′(p0, β0) = 0, f ′′(p0, β0) = 0, ..., f (n−1)(p0, β0) = 0, f (n)(p0, β0) > 0, ãäå n > 0 � ÷åòíîå. Ñ ó÷åòîì (17) è ñòðóêòóðû çàâèñèìîñòåé (3) â [5] ïîêàçàíî, ÷òî çäåñü n ≤ 6, òàê ÷òî n ïðèíèìàåò îäíî èç çíà÷åíèé 2, 4 èëè 6. Äëÿ óðàâíîâåøåííîãî ãèðîñêîïà n ≤ 4. Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè â ñëó÷àÿõ B, C îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùóþ ëåììó. Ëåììà. Åñëè óðàâíåíèÿ (14) èìåþò ðåøåíèå, íà êîòîðîì v̇ = 0 ïðè âñåõ t ≥ t0, òî äëÿ òàêîãî ðåøåíèÿ γ̇ = 0, γ = 0 ïðè âñåõ t ≥ t0. Äîêàçàòåëüñòâî. Èç (8), (26) ñëåäóåò, ÷òî åñëè ñóùåñòâóåò ðåøåíèå, íà êîòîðîì v̇ ≡ 0, òî íà òàêîì ðåøåíèè γ̇ ≡ 0, è ñëåäîâàòåëüíî, óãîë γ îñòàåòñÿ ðàâíûì ñâîåìó íà÷àëüíîìó çíà÷åíèþ: γ(t) ≡ γ0 (t ≥ t0). Ïîêàæåì, ÷òî γ0 = 0. Äîïóñòèì, ÷òî γ0 6= 0. Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ (6)-(8) èìååì L(γ, γ̇) = L1(γ0). Â òàêîì ñëó÷àå, ñîãëàñíî (19), Ė1 = ωL1(γ0) = const 6= 0, è ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ E1 íà ðàññìàòðèâàåìîì ðåøåíèè íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò. Òàê êàê â ôîðìóëå (18), îïðåäåëÿþùåé E1, âñå ôóíêöèè óãëà β îãðàíè÷åíû, òî ýòî âîçìîæíî, ëèøü êîãäà õîòÿ áû îäíà èç ñêîðîñòåé α̇, β̇ íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò ïðè t→∞. À ïîñêîëüêó â äàííîì 120 ñëó÷àå ϕ̇ = ω, òî èç èíòåãðàëà (12) ñëåäóåò, ÷òî îáå ñêîðîñòè α̇, β̇ ñòðåìÿòñÿ ê ∞ ïðè t→∞. Â ÷àñòíîñòè, β̇ →∞ (t→∞). Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ñîîòíîøåíèé (25), (26) ñëåäóåò, ÷òî ïðè γ̇ ≡ 0 áóäåò β̇2[G(β)H −N2(β)] 2G(β) + f(p, β)− f(p0, β0) + U1(γ0) = const, àðãóìåíò t ó ôóíêöèé β(t), β̇(t) îïóùåí. ×òîáû ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî ðàâåíñòâà îñòàâà- ëàñü îãðàíè÷åííîé ïðè β̇ → ∞, íåîáõîäèìî, ÷òîáû G(β(t))H −N2(β(t)) G(β(t)) → 0 ïðè t → ∞. Íî ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê âûðàæåíèå G(β)H −N2(β) G(β) , áóäó÷è íåïðåðûâíîé 2π-ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèåé β, ïîëîæèòåëüíîé ïðè âñåõ β ñîãëàñíî (4), èìååò ïîëîæè- òåëüíûé ìèíèìóì ïðè β ∈ [0; 2π]. Ïîëó÷åííîå ïðîòèâîðå÷èå ïîêàçûâàåò, ÷òî äîïóùåíèå γ0 6= 0 íåâåðíî. Ëåììà äîêàçàíà. � Îñíîâíûì ðåçóëüòàòîì äëÿ ñëó÷àåâ B, C ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 2. Åñëè ôóíêöèÿ f(p0, β) èìååò ïðè β = β0 èçîëèðîâàííûé ìàêñèìóì èëè ïåðåãèá, òî ðåøåíèå (15) óðàâíåíèé (14) íåóñòîé÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî. ×òîáû äîêàçàòü ýòó òåîðåìó, î÷åâèäíî, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü íå- óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ (β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, β0, 0) ïðèâåäåííîé ñèñòåìû S(p0). Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Í.Í. Êðàñîâñêîãî î íåóñòîé÷èâîñòè (ñì. òåîðåìó 6.3 â [10]), ïðèíÿâ â íåé â êà÷åñòâå ôóíêöèè v ôóíêöèþ (25) ïðè p = p0. Â ñëó÷àÿõ B, C ðàçíîñòü f(p0, β)−f(p0, β0) ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè çíà÷åíèÿõ β, ñêîëü óãîäíî áëèçêèõ ê β0. Ïîýòîìó ôóíêöèÿ v ïðèíèìàåò îòðèöàòåëü- íûå çíà÷åíèÿ â ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè (0, 0, β0, 0) ñèñòåìû S(p0). Äàëåå, ñîãëàñíî ëåììå 1, â ôàçîâîì ïðîñòðàíñòâå (β̇, γ̇, β, γ) ñèñòåìû S(p0) ìíî- æåñòâî M òðàåêòîðèé, íà êîòîðûõ v̇ ≡ 0, ñîäåðæèòñÿ âî ìíîæåñòâå γ̇ = 0, γ = 0, òî åñòü ëåæèò â ïëîñêîñòè (β, β̇) ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè ñèñòåìà S(p0) èìååò îïðåäåëåííîå ïðè âñåõ t ≥ t0 ðåøåíèå, íà êîòîðîì v̇ ≡ 0, òî ñîîòâåòñòâóþùàÿ òðàåêòîðèÿ ëåæèò â ïëîñêîñòè (β, β̇) è îïèñûâàåòñÿ êîíå÷íûì óðàâíåíèåì β̇2 [G(β)H −N2(β)] 2G(β) + f(p0, β)− f(p0, β0) = e (e = const), (27) âûòåêàþùèì èç (25), (26) ïðè γ̇ = 0, γ = 0. Îñòàâøàÿñÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2 ïîâòîðÿåò ñîîòâåòñòâóþùóþ ÷àñòü äî- êàçàòåëüñòâà òåîðåìû 2 èç [5] è ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïîñòðîèâ îáû÷íûì ïðèåìîì ôà- çîâûå òðàåêòîðèè, îïðåäåëåííûå íà ïëîñêîñòè (β, β̇) óðàâíåíèåì (27) â ñëó÷àÿõ B, C, óñòàíàâëèâàåì, ÷òî â îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè (β̇, γ̇, β, γ) = (0, 0, β0, 0) ñóùå- ñòâóþò òîëüêî äâà òèïà ðåøåíèé ñèñòåìû S(p0), îïðåäåëåííûõ íà ïîëóîñè t ≥ t0 è óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ v̇ ≡ 0: ýòî ñàìà ñòàöèîíàðíàÿ òî÷êà, à òàêæå ðåøåíèÿ, ñòðå- ìÿùèåñÿ ê íåé ïðè t → ∞. Ñëåäîâàòåëüíî, âíå ñêîëü óãîäíî ìàëîãî øàðà ñ öåíòðîì â ðàññìàòðèâàåìîé ñòàöèîíàðíîé òî÷êå ñèñòåìà S(p0) íå èìååò ðåøåíèé, äëÿ êîòîðûõ v̇ ≡ 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, èç ïðèâåäåííîãî â [10] äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 6.3 ñëåäóåò, ÷òî îíà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé è â òîì ñëó÷àå, êîãäà ïðåäïîëîæåíèå îá îòñóòñòâèè öåëûõ 121 Þ.Á. Êîíîñåâè÷ ïîëóòðàåêòîðèé (êðîìå ñòàöèîíàðíîé òî÷êè), äëÿ êîòîðûõ v̇ ≡ 0, çàìåíåíî áîëåå ñëà- áûì ïðåäïîëîæåíèåì îá îòñóòñòâèè òàêèõ ïîëóòðàåêòîðèé â ëþáîé ñêîëü óãîäíî ìàëîé îêðåñòíîñòè ñòàöèîíàðíîé òî÷êè. Ñëåäîâàòåëüíî, ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (0, 0, β0, 0) ñè- ñòåìû S(p0) íåóñòîé÷èâî, è òåîðåìà 2 äîêàçàíà. � Ðàññìîòðèì òåïåðü ñëó÷àé D. Êàê ïîêàçàíî â [5] (ëåììà 2), ïîñòîÿííàÿ p∗ òàêàÿ, ÷òî f(p∗, β) ≡ const, ñóùåñòâóåò òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ïàðàìåòðû ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå óäîâëåòâîðÿþò îäíîé èç äâóõ ãðóïï óñëîâèé (ñì. (3)): D1) g2 = g3 = 0, u1 = u2 = 0, g2 1 + 8g4(g0 + g4) = 0 (g1, g4 6= 0); D2) g2 = g3 = g4 = 0, u2 = 0, 2u1g1 + ω1 2q2 1 = 0 (g1, u1 6= 0). Òàêèì îáðàçîì, ñëó÷àé D èìååò ìåñòî òîëüêî äëÿ äâóõ ñïåöèàëüíûõ êîíñòðóêöèé ãè- ðîñêîïà ïðè p0 = p∗. Ïîñòîÿííàÿ p∗ ïðè óñëîâèÿõ D1, D2 îïðåäåëåíà îäíîçíà÷íî. Ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà 3. Åñëè ïàðàìåòðû ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå óäîâëåòâîðÿþò óñëî- âèÿì D1, òî ïðè p0 = p∗ è ëþáîì β0 ðåøåíèå (15) óðàâíåíèé (14) íåóñòîé÷èâî. Äîêàçàòåëüñòâî. Êàê ïîêàçàíî â [5] â íà÷àëå äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3, ïðè óñëî- âèÿõ D1 ìîæíî âûáðàòü çíà÷åíèÿ p, ñêîëü óãîäíî áëèçêèå ê p∗, òàêèì îáðàçîì, ÷òî ôóíêöèÿ f(p, β) áóäåò èìåòü ìèíèìóì ïðè β∗ 6= β0, ïðè÷åì òî÷êà β∗ ÿâëÿåòñÿ ñåðåäè- íîé îòðåçêà [β∗−π; β∗+π] ñ êîíöàìè â òî÷êàõ åå ìàêñèìóìà. Íà êàæäîì èç ïðîìåæóòêîâ [β∗ − π; β∗], [β∗ + π; β∗] ôóíêöèÿ f(p, β) ñòðîãî ìîíîòîííà. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ V (β̇, γ̇, β, γ) = T∗(β̇, γ̇, β) + f(p, β)− f(p, β∗) + U1(γ), êîòîðàÿ îòëè÷àåòñÿ îò àíàëîãè÷íîé ôóíêöèè â [5] ñëàãàåìûì U1(γ). Òàê êàê U1(γ) � îïðåäåëåííî ïîëîæèòåëüíàÿ ôóíêöèÿ γ, òî ðàâåíñòâî V (β̇, γ̇, β, γ) = e0, ãäå e0 = = V (0, 0, β∗ ± π, 0), îïðåäåëÿåò â ñëîå β∗ − π < β < β∗ + π ôàçîâîãî ïðîñòðàíñòâà (β̇, γ̇, β, γ) ñèñòåìû S(p) çàìêíóòóþ îãðàíè÷åííóþ ïîâåðõíîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, íåðà- âåíñòâî V (β̇, γ̇, β, γ) < e0 îïðåäåëÿåò â ýòîì ñëîå îãðàíè÷åííóþ âûïóêëóþ îáëàñòü D, ñîäåðæàùóþ åäèíñòâåííóþ ñòàöèîíàðíóþ òî÷êó (0, 0, β∗, 0) ñèñòåìû S(p). Ñ ó÷åòîì ýòî- ãî îñòàâøóþñÿ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà ìîæíî ïðîâåñòè ïî òîé æå ñõåìå, ÷òî è ñîîòâåò- ñòâóþùóþ ÷àñòü äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû 3 â [5]. � Åñëè â ñëó÷àå D2 ïðè p0 = p∗ â êà÷åñòâå β0 âçÿòà òî÷êà ìèíèìóìà U(β), òî çà ñ÷åò âûáîðà p óæå íå óäàåòñÿ ñäåëàòü òî÷êó β∗ ìèíèìóìà f(p, β) îòëè÷íîé îò β0. Ïîýòîìó, êàê è â [5], ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåìó ðåçóëüòàòó. Òåîðåìà 4. Åñëè ïàðàìåòðû ãèðîñêîïà óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì D2, òî ïðè p0 = p∗ è ëþáîì β0, îòëè÷íîì îò òî÷êè ìèíèìóìà U(β), ðåøåíèå (15) óðàâíåíèé (14) íåóñòîé- ÷èâî. Èç òåîðåì 1 � 4 ñëåäóåò, ÷òî íàëè÷èå èçîëèðîâàííîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè f(p0, β) ïðè β = β0 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ëþáîãî ñòà- öèîíàðíîãî ðåæèìà äâèæåíèÿ ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå, èñêëþ- ÷àÿ, áûòü ìîæåò, îäíî ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå ãèðîñêîïà ñïåöèàëüíîé êîíñòðóêöèè (à èìåííî, ñòàöèîíàðíîå äâèæåíèå ïðè ìèíèìóìå U(β) äëÿ ãèðîñêîïà, óäîâëåòâîðÿþùåãî óñëîâèÿì D2). Ïîñêîëüêó óðàâíîâåøåííûé ãèðîñêîï (U(β) ≡ const) è ãèðîñêîï îáû÷- íîé êîíñòðóêöèè (G(β) = g0 + g4 cos 2β) íå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì D2 (à èìåííî, íåðàâåíñòâó u1 6= 0 è íåðàâåíñòâó g1 6= 0), òî äëÿ íèõ íàëè÷èå èçîëèðîâàííîãî ìè- íèìóìà ôóíêöèè f(p0, β) ïðè β = β0 ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì óñòîé÷èâîñòè ëþáîãî ñòàöèîíàðíîãî ðåæèìà (1). 122 1. Ìàãíóñ Ê. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ òÿæåëîãî ñèììåòðè÷íîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Ïðèêë. ìàòåìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1958. � 22, âûï. 2. � Ñ. 173-178. 2. Ðóìÿíöåâ Â.Â. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Òàì æå. � 22, âûï. 3. � Ñ. 374-378. 3. Ëóíö ß.Ë. Ââåäåíèå â òåîðèþ ãèðîñêîïîâ � Ì.: Íàóêà, 1972. � 296 ñ. 4. Êðåìåíòóëî Â.Â. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå ïðè íàëè÷èè ìî- ìåíòà îòíîñèòåëüíî îñè ðîòîðà // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà. � 1965. � � 3. � Ñ. 156-159. 5. Êîíîñåâè÷ Á.È. Îá óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé àñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1977. � Âûï. 9. � Ñ. 61-73. 6. Êîíîñåâè÷ Þ.Á. Óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ ðåæèìîâ äâèæåíèÿ ñèíõðîííîãî ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Òàì æå. � 2003. � Âûï. 33. � Ñ. 90-96. 7. Êîíîñåâè÷ Á.È. Ñêîðîñòü óõîäà îñè ðîòîðà â îáîáùåííîé çàäà÷å î ãèðîñêîïå â êàðäàíîâîì ïîäâåñå // Òàì æå. � 1972. � Âûï. 4. � Ñ. 82-92. 8. Êëèìîâ Ä.Ì., Õàðëàìîâ Ñ.À. Äèíàìèêà ãèðîñêîïà â êàðäàíîâîì ïîäâåñå. � Ì.: Íàóêà, 1978. � 208 ñ. 9. Ñàëüâàäîðè Ë. Îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ // Ìåõàíèêà: Ïåðèîä. ñá. ïåðåâîäîâ èíîñòð. ñòàòåé. � 1970. � 6*124. � Ñ. 3-19. 10. Áàðáàøèí Å.À. Ââåäåíèå â òåîðèþ óñòîé÷èâîñòè � Ì.: Íàóêà, 1967. � 224 ñ. Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê konos@iamm.ac.donetsk.ua Ïîëó÷åíî 15.07.05 123

Критерий устойчивости стационарных движений синхронного гироскопа в кардановом подвесе

Institution

Ähnliche Einträge