Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения
Метод исследования систем, с использованием квазимонотонного оператора, адекватного исследуемой системе, представляет широкие возможности дня получения условий устойчивости невозмущенного режима. Показано, что во многих случаях этот метод приводит к необходимым и достаточным условиям устойчивости и...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123771 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения / А.Ю. Оболенский // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 128-135. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123771 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237712017-09-10T03:04:50Z Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения Оболенский, А.Ю. Метод исследования систем, с использованием квазимонотонного оператора, адекватного исследуемой системе, представляет широкие возможности дня получения условий устойчивости невозмущенного режима. Показано, что во многих случаях этот метод приводит к необходимым и достаточным условиям устойчивости и может быть использован для изучения широкого класса свойств системы. 2005 Article Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения / А.Ю. Оболенский // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 128-135. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123771 517.9:517.983.27 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Метод исследования систем, с использованием квазимонотонного оператора, адекватного исследуемой системе, представляет широкие возможности дня получения условий устойчивости невозмущенного режима. Показано, что во многих случаях этот метод приводит к необходимым и достаточным условиям устойчивости и может быть использован для изучения широкого класса свойств системы. |
| format |
Article |
| author |
Оболенский, А.Ю. |
| spellingShingle |
Оболенский, А.Ю. Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения Механика твердого тела |
| author_facet |
Оболенский, А.Ю. |
| author_sort |
Оболенский, А.Ю. |
| title |
Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения |
| title_short |
Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения |
| title_full |
Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения |
| title_fullStr |
Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения |
| title_full_unstemmed |
Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения |
| title_sort |
метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123771 |
| citation_txt |
Метод монотонных динамических систем в исследовании устойчивости невозмущенного движения / А.Ю. Оболенский // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 128-135. — Бібліогр.: 24 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT obolenskijaû metodmonotonnyhdinamičeskihsistemvissledovaniiustojčivostinevozmuŝennogodviženiâ |
| first_indexed |
2025-07-09T00:15:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:15:40Z |
| _version_ |
1837126284225806336 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 517.9:517.983.27
c©2005. À.Þ. Îáîëåíñêèé
ÌÅÒÎÄ ÌÎÍÎÒÎÍÍÛÕ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÑÈÑÒÅÌ
 ÈÑÑËÅÄÎÂÀÍÈÈ ÓÑÒÎÉ×ÈÂÎÑÒÈ
ÍÅÂÎÇÌÓÙÅÍÍÎÃÎ ÄÂÈÆÅÍÈß
Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì, ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàçèìîíîòîííîãî îïåðàòîðà, àäåêâàòíîãî èññëåäóåìîé
ñèñòåìå, ïðåäñòàâëÿåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî ðå-
æèìà. Ïîêàçàíî, ÷òî âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýòîò ìåòîä ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì
óñòîé÷èâîñòè è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ èçó÷åíèÿ øèðîêîãî êëàññà ñâîéñòâ ñèñòåìû.
Ââåäåíèå.Ìåòîä âåêòîðíûõ ôóíêöèé Ëÿïóíîâà, êàê ðàçâèòèå ïðÿìîãî ìåòîäà èñ-
ñëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ [1], â îáúåäèíåíèè ñ ìåòîäîì äèôôåðåíöèàëüíûõ
íåðàâåíñòâ [2, 3] ïîëó÷èë äîñòàòî÷íî øèðîêîå ïðèìåíåíèå ïðè ðàçëè÷íûõ ïðåäïîëî-
æåíèÿõ îòíîñèòåëüíî ñòðóêòóðû ñèñòåì [4�7]. Âàæíûì àñïåêòîì ìåòîäà ÿâëÿåòñÿ èñ-
ñëåäîâàíèå ñèñòåì, êîòîðûå ñîõðàíÿþò ââåäåííóþ â ïðîñòðàíñòâå ñòðóêòóðó ïîðÿäêà.
Ñâîéñòâà ëèíåéíûõ îòîáðàæåíèé, êîòîðûå ñîõðàíÿþò ïîðÿäêîâóþ ñòðóêòóðó â áàíàõî-
âûõ ïðîñòðàíñòâàõ, áûëè ðàññìîòðåíû â ðàáîòàõ [6�8].
Ìîíîòîííûå (ñîõðàíÿþùèå ñòðóêòóðó ïîðÿäêà) äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû íå òîëüêî
óäà÷íî èëëþñòðèðóþò ìåòîäû äèôôåðåíöèàëüíîé äèíàìèêè [9�11], â ÷àñòíîñòè, ìå-
òîä èíòåãðàëüíûõ ìíîãîîáðàçèé [12], íî øèðîêî èñïîëüçóþòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ýêî-
íîìè÷åñêèõ, áèîëîãè÷åñêèõ è èíîé ïðèðîäû ñèñòåì [13, 14]. Äëÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ
óðàâíåíèé ñ ïîëèíîìèàëüíûìè ïðàâûìè ÷àñòÿìè è ìîíîòîííûõ îòíîñèòåëüíî êîíóñà,
çàäàííîãî ïîëóàëãåáðàè÷åñêèìè ñîîòíîøåíèÿìè, ïðîáëåìà óñòîé÷èâîñòè àëãåáðàè÷å-
ñêè ðàçðåøèìà.  îáùåì ñëó÷àå ýòà ïðîáëåìà èìååò îòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå [15].
Ýòîò äîêëàä ïîñâÿùåí èññëåäîâàíèþ ìîíîòîííûõ ñèñòåì îòíîñèòåëüíî ïðîèçâîëü-
íîãî êîíóñà.
1. Îáùèå ñâîéñòâà êâàçèìîíîòîííûõ ñèñòåì. Ïóñòü B � êîìïàêòíîå ìåòðè÷å-
ñêîå ïðîñòðàíñòâî, E � óïîðÿäî÷åííîå çàìêíóòûì êîíóñîì K áàíàõîâî ïðîñòðàíñòâî.
Äåêàðòîâî ïðîèçâåäåíèå B × E ñ ïðîåêöèåé p : B × E → B � ôàçîâîå ïðîñòðàíñòâî
ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì. Êîíóñ K � âîñïðîèçâîäÿùèé ñ íåïóñòîé âíóòðåííîñòüþ K0,
òî åñòü äëÿ ëþáîãî x ∈ E âûïîëíåíî x = x+−x−, ãäå x+ ∈ K0, x− ∈ K0. Áóäåì ñ÷èòàòü,
Îáîëåíñêèé Àíàòîëèé Þðüåâè÷, 23.12.1946�05.09.2005, âûïóñêíèê ìàòåìàòè÷åñêîãî ô-òà ÍÃÓ
(1970), êàíäèäàò ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê (1980), ñòàðøèé íàó÷íûé ñîòðóäíèê Èíñòèòóòà ìåõà-
íèêè èì. Ñ.Ï. Òèìîøåíêî ÍÀÍ Óêðàèíû, ìíîãèå ãîäû ïðåïîäàâàë â ÂÓÇàõ Íîâîñèáèðñêà è Êèåâà,
àâòîð äâóõ êíèã: "Ëåêöèè ïî àíàëèòè÷åñêîé ãåîìåòðèè"(Ìîñêâà�Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èñ-
ñëåäîâàíèé, 2004. � 216 ñ.) è "Ëåêöèè ïî êà÷åñòâåííîé òåîðèè äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé"(Ìîñêâà�
Èæåâñê: Èíñòèòóò êîìïüþòåðíûõ èññëåäîâàíèé, 2005. � 300 ñ.). Ïëàíèðóåìàÿ òðåòüÿ êíèãà àíîíñèðî-
âàíà â âèäå íàñòîÿùåé ðàáîòû, êîòîðóþ À.Þ. Îáîëåíñêèé ïðåäñòàâèë â êà÷åñòâå äîêëàäà íà Äåâÿ-
òóþ ìåæäóíàðîäíóþ êîíôåðåíöèþ "Óñòîé÷èâîñòü, óïðàâëåíèå è äèíàìèêà òâåðäîãî òåëà", Äîíåöê
(Óêðàèíà), 01�06 ñåíòÿáðÿ 2005 ã. Ýòà êíèãà äîëæíà áûëà ñòàòü ðàçâèòèåì îäíîé èç ïåðâûõ ðàáîò
À.Þ. Îáîëåíñêîãî "Èññëåäîâàíèå óñòîé÷èâîñòè àâòîíîìíûõ ñèñòåì ñðàâíåíèÿ / Ïðåïðèíò 78.28"(Êè-
åâ: Èíñòèòóò ìàòåìàòèêè ÀÍ ÓÑÑÐ, 1978. � 24 ñ.) â ñîàâòîðñòâå ñ À.À. Ìàðòûíþêîì.
Ñ öåëüþ ñîõðàíåíèÿ çàìûñëà àâòîðà â òåêñò áûëè âíåñåíû òîëüêî ñàìûå íåçíà÷èòåëüíûå ïðàâêè.
Ñïèñîê ëèòåðàòóðû ñâåðåí ñ ïåðâîèñòî÷íèêàìè è ïðèâåäåí â àâòîðñêîé ðåäàêöèè: íàìåðåíèÿ àâòîðà
ïî óêàçàíèþ ññûëîê íà èñòî÷íèêè [16�21] è [23, 24] îñòàëèñü íåîñóùåñòâëåííûìè. (Ðåä.)
128
Ìåòîä ìîíîòîííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
÷òî x1 ≥ x2, åñëè x1 − x2 ∈ K; x1 � x2, åñëè x1 − x2 ∈ K0, è ñóùåñòâóþò îêðåñòíîñòè
òî÷åê x1, x2 òàêèå, ÷òî äëÿ âñåõ x ∈ U(x1), y ∈ U(x2) âûïîëíåíî x ≥ y. Îáîçíà÷èì
÷åðåç 〈x1, x2〉 = {x ∈ K : x1 ≤ x ≤ x2} � êîíóñíûé îòðåçîê. Ïðèâåäåííûå óñëîâèÿ
ãàðàíòèðóþò íîðìàëüíîñòü êîíóñà K è ýêâèâàëåíòíîñòü ïîðÿäêîâîé òîïîëîãèè, òîïî-
ëîãèè, ïîðîæäåííîé íîðìîé. Ñèñòåìà êîíóñíûõ èíòåðâàëîâ 〈x1, x2〉0 îáðàçóåò ôèëüòð
îêðåñòíîñòåé íóëÿ, K∗ � ñîïðÿæåííûé êîíóñ. Ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî óïîðÿäî÷åííîå ïðî-
ñòðàíñòâî E îáëàäàåò ïîðÿäêîâîé åäèíèöåé e.
Ðàññìàòðèâàåì äèíàìè÷åñêèå ñèñòåìû Ht : B × E → B × E òèïà ðàñøèðåíèé, òî
åñòü pHt(u) = Ht(pu) = F t(ϕ) äëÿ êàæäîãî u = (ϕ, x) ∈ B × E. Ðàñøèðåíèå ìîíîòîííî
(ðàâíîìåðíî ñòðîãî ìîíîòîííî), åñëè äëÿ ëþáûõ u1 6= u2 ∈ B × E òàêèõ, ÷òî p(u1) =
= p(u2), èç íåðàâåíñòâà x1 ≥ x2 ñëåäóåò, ÷òî Ht(u1) ≥ Ht(u2), (Ht(u1) � Ht(u2)) äëÿ
âñåõ t ∈ R, t > 0.
Îáùèå ìîíîòîííûå ðàñøèðåíèÿ ïîðîæäåíû ñèñòåìîé:
F t : B → B, ϕ ∈ B,
ẋ = g
(
F t(ϕ), x
)
, x ∈ E,
(1)
ãäå F t � äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà â B, îïðåäåëÿþùàÿ òàêæå êîýôôèöèåíòû ñèñòåìû ẋ =
= g (F t(ϕ), x), x ∈ E, g(ϕ, 0) = 0. Ñèñòåìà (1) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, ïîðîæäàþ-
ùåå ïîëóãðóïïó ïðåîáðàçîâàíèé ïðîñòðàíñòâà B × E.
Ïðèâåäåì ïðèìåðû ðàññìàòðèâàåìûõ ñèñòåì:
1) Ôóíêöèÿ âèäà g(ϕ, x) = A(ϕ)x, ãäå A(ϕ) ïðèíàäëåæèò àëãåáðå Ëè ãðóïïû ïðå-
îáðàçîâàíèé îäíîðîäíîãî êîíóñà â êîíå÷íîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå.  ÷àñòíîñòè, ñèñòåìà
óðàâíåíèé, ñîïðÿæåííàÿ óðàâíåíèþ Ëÿïóíîâà:
F t : B → B, ϕ ∈ B,
Ḋ = DA∗
(
F t(ϕ)
)
+ A
(
F t(ϕ)
)
D,
ãäå D � ïðîñòðàíñòâî ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö ðàçìåðíîñòè n(n+ 1)/2 , ïîðîæäàåò ìî-
íîòîííóþ ïîëóãðóïïó îòíîñèòåëüíî îäíîðîäíîãî êîíóñà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ
ìàòðèö.
Ñèñòåìà âèäà:
F t : B → B, ϕ ∈ B,
Ḋ = DA∗
(
F t(ϕ)
)
+ A
(
F t(ϕ)
)
D + µ tr (ED)E,
ãäå E � åäèíè÷íàÿ ìàòðèöà, ïîðîæäàåò ñòðîãî ìîíîòîííóþ ïîëóãðóïïó.
2) Ñèñòåìà óðàâíåíèé ñ çàïàçäûâàíèåì âèäà:
F t : B → B, ϕ ∈ B, (2)
ẋ = A
(
F t(ϕ)
)
x+
∫ t
t−h
B (F s(ϕ))x (F s(ϕ)) dµ1(s)+
+f
(
F t(ϕ), x
)
+
∫ t
t−h
g (F s(ϕ), x (F s(ϕ))) dµ2(s), (3)
çäåñü A(ϕ), f(ϕ, x) � êâàçèìîíîòîííûå îòíîñèòåëüíî êîíóñà K â Rn îïåðàòîðû, B(ϕ),
g(ϕ, x) � ïîëîæèòåëüíûå îïåðàòîðû.  ÷àñòíîñòè, B(ϕ)x ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ëèíåé-
íîé êîìáèíàöèè îïåðàòîðîâ âèäà (x, e∗(ϕ)) e(ϕ), ãäå e∗(ϕ) ∈ K∗, e(ϕ) ∈ K, à g(ϕ, x) �
129
À.Þ. Îáîëåíñêèé
ëèíåéíîé êîìáèíàöèåé ôóíêöèé âèäà h (ϕ, (x, e∗(ϕ))) e(ϕ), ãäå h(ϕ, s) ñòðîãî ìîíîòîííî
âîçðàñòàþùàÿ ôóíêöèÿ h : B × R → R, h(ϕ, 0) = 0. Åñëè e(ϕ) ∈ K0 è e∗(ϕ) ∈ K0∗ ,
òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (2), (3) ïîðîæäàåò ñòðîãî ìîíîòîííîå ðàñøèðåíèå â ïðîñòðàí-
ñòâå E = B × C ([−h, 0], Rn), ãäå C ([−h, 0], Rn) óïîðÿäî÷åíî êîíóñîì K = {x(s) ∈
∈ C ([−h, 0], Rn) : ∀s ∈ [−h, 0] → x(s) ∈ K ⊂ Rn}.
3) Ðàññìîòðèì ãèáðèäíóþ ñèñòåìó:
F t : B → B, ϕ ∈ B,
ẋ = A
(
F t(ϕ)
)
x+ b (F s(ϕ))
∫
Ω
u
(
F t(ϕ), y
)
dµy , (4)
Du = 0,
∂u
∂t
= cij
(
F t(ϕ), y
) ∂2u
∂yi∂yj
+ d
(
F t(ϕ), y
)
u
(
F t(ϕ), y
)
+
(
x, e∗
(
F t(ϕ), y
))
, (5)
è åå êâàçèëèíåéíûå âîçìóùåíèÿ. Îòíîñèòåëüíî ñèñòåìû (4), (5) ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî:
A. Ω � îòêðûòàÿ îäíîñâÿçíàÿ îáëàñòü â Rm ñ ãðàíèöåé êëàññà C3+α (Ω), çàäàííîé
ôóíêöèåé H(y), ∇H(y) 6= 0 äëÿ y ∈ ∂Ω;
B. D � ãðàíè÷íûé îïåðàòîð ñëåäóþùåãî âèäà:
D : C2+α (Ω) → C0
(
∂Ω
)
,
Du(y) = γ(y)u(y)
∣∣
∂Ω
+ β(y)
∂u
∂n
∣∣∣
∂Ω
,
ãäå γ(y) ∈ C2+α (∂Ω), γ(y) ≥ 0, β(y) ∈ C2+α (∂Ω), β(y) > 0, n � âåêòîð åäèíè÷íîé
íîðìàëè ê ∂Ω.
C. Ìàòðèöà A(ϕ) ∈ Lip(B), ϕ ∈ B è òàêîâà, ÷òî ñèñòåìà ẋ = A (F t(ϕ))x êâàçè-
ìîíîòîííà îòíîñèòåëüíî êîíóñà K1, b(ϕ) ∈ Lip(B), b(ϕ) ∈ K0
1 , dµy � íåîòðèöàòåëüíàÿ
ìåðà ñ íîñèòåëåì íà Ω.
D. Êîýôôèöèåíòû cij(ϕ, y) óäîâëåòâîðÿþò ðàâíîìåðíîìó óñëîâèþ ýëëèïòè÷íîñòè
λ1
∑
i ξ
2
i ≤
∑
ij cij(ϕ, y)ξiξj ≤ λ2
∑
i ξ
2
i , λ1, λ2 > 0, ôóíêöèè cij(ϕ, y), d(ϕ, y), e
∗(ϕ, y) ∈
∈ Lip(B)× C2+α (Ω), e∗(ϕ, y) ∈ K0∗.
Ïðè íàëîæåííûõ óñëîâèÿõ ñèñòåìà (4), (5) ïîðîæäàåò ñòðîãî ìîíîòîííóþ ïîëó-
ãðóïïó â ïðîñòðàíñòâå B × E, ãäå E = Rn × C1
D (Ω). Ñòðóêòóðà ïîðÿäêà â ïðîñòðàí-
ñòâå Rn çàäàíà êîíóñîì K1, â ïðîñòðàíñòâå C1
D (Ω) � êîíóñîì K2, ñ âíóòðåííîñòüþ
K0
2 = {u(y) ∈ C1
D (Ω: u(y) � 0)}, ãäå u(y) � 0, ïîíèìàåòñÿ â òîì ñìûñëå, ÷òî u(y) > 0,
∂u/∂n < 0, n � âåêòîð åäèíè÷íîé íîðìàëè ê ∂Ω̄.  ïðîñòðàíñòâå E ïîðÿäîê çàäàåòñÿ
êîíóñîì K = K1 ×K2.
Êâàçèìîíîòîííûå ñèñòåìû åñòåñòâåííûì îáðàçîì âîçíèêàþò ïðè èññëåäîâàíèè ñè-
ñòåì, ñîäåðæàùèõ óðàâíåíèÿ íåéòðàëüíîãî òèïà, äèñêðåòíûõ ñèñòåì è ñèñòåì ñ èì-
ïóëüñíûì âîçäåéñòâèåì, ñîñðåäîòî÷åííûì íà ïîâåðõíîñòÿõ, òðàíñâåðñàëüíûõ òðàåêòî-
ðèÿì äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû â F t : B → B, ϕ ∈ B.
Îïðåäåëåíèå 1. Óñòîé÷èâîñòü (àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü) ìåòðè÷åñêîãî ïðî-
ñòðàíñòâà B ïîíèìàåòñÿ â ñìûñëå ïîðÿäêîâîé òîïîëîãèè, ââåäåííîé â E.
2. Óñòîé÷èâîñòü è àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå ñèñòåì. Îñíîâíîé èíñòðó-
ìåíò èññëåäîâàíèÿ êâàçèìîíîòîííûõ ëèíåéíûõ ðàñøèðåíèé � ýòî ãèëüáåðòîâà ìåòðè-
êà, ââåäåííàÿ íà ïðîåêòèâèçàöèè ïðîñòðàíñòâà E. Ðàññìàòðèâàÿ ïîâåäåíèå ñèñòåìû íà
130
Ìåòîä ìîíîòîííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
ïðîåêòèâíûõ ïðÿìûõ, ïåðåñåêàþùèõ êîíóñ, óáåæäàåìñÿ â òîì, ÷òî óñëîâèå ðàâíîìåð-
íîé ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè ýêâèâàëåíòíî ñæèìàåìîñòè ïðîåêòèâíîãî ïðåîáðàçîâàíèÿ
â ìåòðèêå îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû, ïîðîæäåííîé ìåòðèêîé Ãèëüáåðòà. Ðàâíîìåðíàÿ
ñòðîãàÿ ìîíîòîííîñòü ëèíåéíîé ñèñòåìû ïðèâîäèò ê òåîðåìå.
Òåîðåìà 1. Äëÿ ñòðîãî êâàçèìîíîòîííîãî ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ ñóùåñòâóåò ïàðà
èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ L1(ϕ) è L2(ϕ) â B×E òàêèõ, ÷òî dim (L1(ϕ)
⋂
p−1(ϕ)) =
= 1, ãäå p−1(ϕ) ïðîîáðàç p(ϕ), L1(ϕ) ⊂ (K0
⋃
−K0)
⋂
p−1(ϕ), L2(ϕ)
⋂
(K \ 0)
⋂
p−1(ϕ) =
= ∅, è ñóùåñòâóþò ïîñòîÿííûå c > 0 è 0 < σ < 1 òàêèå, ÷òî:
‖H t
ϕ(x2)‖
‖x2‖
/‖H t
ϕ(x1)‖
‖x1‖
≤ cσt
ïðè êàæäîì t > 0, ãäå xi ∈ Li(ϕ), i = 1, 2.
 ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, êîìïàêòíîñòè è ìîíîòîííîñòè ïðåîáðà-
çîâàíèÿ ñäâèãà, ñóùåñòâîâàíèå èíâàðèàíòíîãî ìíîãîîáðàçèÿ L1(ϕ) ñëåäóåò èç òåîðåìû
Êàðòàíà [22, c. 90]. Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ñ ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèìè êîýô-
ôèöèåíòàìè äëÿ êîíóñà ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííûõ ñèììåòðè÷åñêèõ ìàòðèö äîêàçàíî
îáðàùåíèå òåîðåì Ëÿïóíîâà î ñóùåñòâîâàíèè ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåííîé ôóíêöèè,
ãàðàíòèðóþùåé óñòîé÷èâîñòü ñèñòåìû.
Ïðè îòñóòñòâèè êîìïàêòíîñòè ñåìåéñòâà ïðåîáðàçîâàíèé â êîíå÷íîìåðíîì ïðî-
ñòðàíñòâå íàéäåòñÿ ñèñòåìà èíâàðèàíòíûõ ïîäïðîñòðàíñòâ Li(ϕ), i = 1, . . . , l òàêèõ,
÷òî dim (Li(ϕ)
⋂
p−1(ϕ)) = 1, Li(ϕ) ⊂ ∂K, è ñèñòåìà ïðèâîäèòñÿ ê âåðõíåìó òðåóãîëü-
íîìó âèäó.  ýòîì ñëó÷àå èññëåäîâàíèå ñèñòåìû ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ l ñêàëÿðíûõ
óðàâíåíèé íà èíâàðèàíòíûõ ìíîãîîáðàçèÿõ Li(ϕ), i = 1, . . . , l.
Äëÿ êâàçèëèíåéíûõ ñòðîãî ìîíîòîííûõ ðàñøèðåíèé âèäà:
F t : B → B, ϕ ∈ B, (6)
ẋ = A
(
F t(ϕ)
)
x+ µg
(
F t(ϕ), x
)
, x ∈ E, (7)
ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ ðàâíîìåðíîé ñòðîãîé ìîíîòîííîñòè íà ëèíåéíóþ ÷àñòü è óñëî-
âèé Ëèïøèöà äëÿ ôóíêöèè g(ϕ, x) ñèñòåìû (6), (7), ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.
Òåîðåìà 2. Äëÿ ñòðîãî êâàçèìîíîòîííîãî êâàçèëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ íàéäåòñÿ
òàêîå µ0, ÷òî ïðè âñåõ 0 ≤ µ ≤ µ0, µ ∈ R ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííî èíâàðèàíòíîå
ïîäìíîãîîáðàçèå Γ1(ϕ) â B × E òàêîå, ÷òî
dim
(
Γ1(ϕ)
⋂
p−1(ϕ)
)
= 1 è Γ1(ϕ) ⊂ p−1(ϕ)
⋂ (
K0
⋃
−K0
)
, ∀ϕ ∈ B.
Äîêàçàòåëüñòâî. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû îñíîâàíî íà ðÿäå ñâîéñòâ ëèïøèöåâûõ
îòîáðàæåíèé è òåîðåìå î íåïîäâèæíîé òî÷êå.  ÷àñòíîñòè, ëèïøèöåâà áëèçîñòü ëèíåé-
íîãî è êâàçèëèíåéíîãî îòîáðàæåíèÿ ñäâèãà Lip (H t
0 −Ht) ≤ ε ïðè 0 ≤ µ ≤ µ0, µ ∈ R
ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà Ãðîíóîëëà � Áåëëìàíà. Îòìåòèì, ÷òî äëÿ ïîäïðîñòðàíñòâ L1(ϕ)
è L2(ϕ) â B ×E, ëþáàÿ ñòðîãî ìîíîòîííàÿ ïîâåðõíîñòü Γ(ϕ, s) èíäóöèðóåò ëèïøèöåâî
îòîáðàæåíèå Q : L1 → L2, è ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ c1 òàêàÿ, ÷òî Lip (I +Q) ≤ c1.
Ìîíîòîííîå ðàñøèðåíèå Ht : B × E → B × E è ïðîèçâîëüíîå ëèïøèöåâî îòîáðà-
æåíèå Q : L1 → L2 îïðåäåëÿþò îòîáðàæåíèÿ V t
Q : L1 → L2 è W t
Q : L1 → L1 ïî ôîðìóëàì
131
À.Þ. Îáîëåíñêèé
V t
Q
(
p1H
t
ϕ (I +Q)x
)
= p2H
t
ϕ (I +Q)x, x ∈ L1, è W t
Q = p1H
t
ϕ (I +Q)x, x ∈ L1, çäåñü pi �
ïðîåêöèè íà ïîäïðîñòðàíñòâà Li ïàðàëëåëüíî Lj, i 6= j.
Ïóñòü Γ = {grQ : Q ∈ M} áóäåò ìíîæåñòâîì ãðàôèêîâ ëèïøèöåâûõ îòîáðàæåíèé
Q : L1 → L2 òàêèõ, ÷òî I+Q ìîíîòîííî. Ìîíîòîííîå ðàñøèðåíèå îïðåäåëÿåò îòîáðàæå-
íèå Ĥt : Γ → Γ è îïðåäåëÿåò îòîáðàæåíèå H̃t : M →M ïî ôîðìóëàì Ĥt (grQ) =: grV t
Q,
Ĥt (Q) = V t
Q, t > 0. Òðåáóåìàÿ ïîâåðõíîñòü ìîæåò áûòü ïîñòðîåíà, êàê ãðàôèê íåïî-
äâèæíîé òî÷êè îòîáðàæåíèÿ H̃T : M → M ïðè íåêîòîðîì T > 0. Äåéñòâèòåëüíî, ñó-
ùåñòâóþò òàêèå µ0 > 0 è T > 0, ÷òî ïðè 0 ≤ µ ≤ µ0 îòîáðàæåíèå H̃T : M → M �
ñæèìàþùåå â ëèïøèöåâîé ìåòðèêå
rM (Q1, Q2) = sup
z∈L1
‖Q1(z)−Q2(z)‖
‖z‖
,
ãäå z = (ϕ, x) ∈ L1, x 6= 0.
Ïîñêîëüêó M � ïîëíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ
íåïîäâèæíàÿ òî÷êà Q ∈ M îòîáðàæåíèÿ H̃T : M → M è Q åäèíñòâåííàÿ íåïîäâèæíàÿ
òî÷êà îòîáðàæåíèÿ Ĥt : Γ → Γ è Ĥt (grQ) = grQ.
Äëÿ ïðîèçâîëüíîãî t ≥ 0: HT (Ht (gr(Q))) = Ht
(
HT (gr(Q))
)
= Ht (gr(Q)), è, íà
îñíîâàíèè åäèíñòâåííîñòè íåïîäâèæíîé òî÷êè, Ht (gr(Q)) = gr(Q) ïðè âñåõ t ≥ 0. Ñâîé-
ñòâî ãðóïïû ãàðàíòèðóåò, ÷òî äëÿ âñåõ t ∈ R, Ht (gr(Q)) = gr(Q). Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå
Γ(ϕ, s) ãðàôèê îòîáðàæåíèÿ Q, ïîëó÷àåì äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû. �
Íàëè÷èå èíâàðèàíòíûõ îäíîìåðíûõ ïîäìíîãîîáðàçèé ïîçâîëÿåò ñâîäèòü èññëåäî-
âàíèå óñòîé÷èâîñòè ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà B â ïîðÿäêîâîé òîïîëîãèè ê èññëåäî-
âàíèþ óñòîé÷èâîñòè íà îäíîìåðíîì ìíîãîîáðàçèè.  ÷àñòíîñòè, äëÿ ëèíåéíûõ ðàñøè-
ðåíèé ñïðàâåäëèâà òåîðåìà.
Òåîðåìà 3. Ïóñòü äëÿ êâàçèìîíîòîííîé ëèíåéíîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò èíâàðè-
àíòíîå ïîäïðîñòðàíñòâî L1(ϕ) òàêîå, ÷òî dim (L1(ϕ)
⋂
p−1(ϕ)
⋂
K0) = 1 è òðàåêòîðèè
p (H t(x)) ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâû äëÿ p(x) ∈ X+, ãäå X+ � ìèíèìàëüíûé öåíòð
ïðèòÿæåíèÿ (öåíòð Õèëüìè) äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû F t(ϕ), òîãäà B ýêñïîíåíöèàëüíî
óñòîé÷èâî â B × E â ïîðÿäêîâîé òîïîëîãèè.
Äîêàçàòåëüñòâî. Â ñâÿçè ñ íåïðåðûâíîñòüþ L1 è äèôôåðåíöèðóåìîñòüþ âäîëü
òðàåêòîðèé ëèíåéíîé ñèñòåìû íà L1, èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé:
F t : B → B,
ṡ = g
(
F t(ϕ)
)
s, ϕ ∈ B, s ∈ R,
ñ íåïðåðûâíîé ôóíêöèåé g : B → R.
Òàê êàê B êîìïàêò, è ñèñòåìà ëèíåéíà, äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò ïî-
ñòîÿííàÿ β < 0 òàêàÿ, ÷òî: lim
t→∞
1
t
t∫
0
g (F s(ϕ)) ds ≤ β äëÿ âñåõ ϕ ∈ B.
Çàäàäèì ïðîèçâîëüíî ϕ ∈ B è íàéäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Tl → ∞ ïðè l → ∞
òàêóþ, ÷òî:
1
Tl
Tl∫
0
g (F s(ϕ)) ds→ lim
t→∞
1
t
t∫
0
g (F s(ϕ)) ds.
132
Ìåòîä ìîíîòîííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
Ïóñòü mϕ � íîðìèðîâàííàÿ èíâàðèàíòíàÿ ìåðà, ñîñðåäîòî÷åííàÿ â òî÷êå ϕ ∈ B.
Äëÿ ëþáîé ôóíêöèè f : B → R îïðåäåëèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð ðàâåíñòâîì:∫
B
f(ψ)mϕ,Tl
(dψ) =
1
Tl
Tl∫
0
ds
∫
B
f (F s(ϕ)) dmϕ .
Ïî îïðåäåëåíèþ mϕ èìååì
∫
B
f(ψ)mϕ,Tl
(dψ) = 1
Tl
Tl∫
0
f (F (ϕ)) ds.
Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìåðmϕ,Tl
âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð, êîòîðàÿ ñëà-
áî ñõîäèòñÿ ê íåêîòîðîé ïðåäåëüíîé ìåðå µϕ. Äëÿ ïðåäåëüíîé ìåðû µϕ ñóùåñòâóåò ïî-
ñëåäîâàòåëüíîñòü ìåð {µφi
}, µφi
∈ Σµ, ïðèíàäëåæàùèõ ôóíäàìåíòàëüíîé ñèñòåìå ìåð,
è ÷èñëà λi > 0,
k∑
i=1
λi = 1 òàêèå, ÷òî ìåðû
k∑
i=1
λiµψi
ñëàáî ñõîäÿòñÿ ê ìåðå µϕ ïðè k →∞,
è èìåþò ìåñòî ðàâåíñòâà:∫
B
g(ψ)µϕ (dψ) = lim
t→∞
1
t
t∫
0
g (F s(ϕ)) ds = lim
k→∞
k∑
i=1
λi
∫
B
g(ψ)µψi
(dψ).
Ñóùåñòâóåò ïîñòîÿííàÿ β < 0 òàêàÿ, ÷òî äëÿ ëþáîé ìåðû µψi
∈ Σµ, âûïîëíå-
íî
∫
B
g(ψ)µψi
(dψ) ≤ β. Äåéñòâèòåëüíî, ïðåäïîëîæèâ ïðîòèâíîå, íàéäåì ïîñëåäîâà-
òåëüíîñòü èíâàðèàíòíûõ, òðàíçèòèâíûõ, íîðìèðîâàííûõ ìåð µj, µj ∈ Σµ òàêèõ, ÷òî
lim
j→∞
∫
B
g(ψ)µj ds ≥ 0.
Ñëàáûé ïðåäåë ìåð µj ìåðà µ0 íîðìèðîâàíà, òðàíçèòèâíà è èíâàðèàíòíà äëÿ äè-
íàìè÷åñêîé ñèñòåìû F t. Âûáðàâ ðåãóëÿðíóþ äëÿ ìåðû µ0 òî÷êó ψ0 ∈ X+, óáåæäàåìñÿ
â òîì, ÷òî: ∫
B
g(ψ)µ0 (dψ) = lim
t→∞
1
t
t∫
0
g (F s(ψ0)) ds ≥ 0.
Ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî ïðîòèâîðå÷èò ýêñïîíåíöèàëüíîé óñòîé÷èâîñòè X+. Ó÷è-
òûâàÿ ìîíîòîííîñòü ðàñøèðåíèÿ, òåîðåìà äîêàçàíà. �
Äëÿ íåëèíåéíûõ êâàçèìîíîòîííûõ ñèñòåì äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè äîñòà-
òî÷íî îãðàíè÷èòüñÿ ìíîæåñòâîì íåáëóæäàþùèõ òî÷åê äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû F t : B →
B. Âñå ïðèâåäåííûå ðåçóëüòàòû áåç òðóäà ïåðåíîñÿòñÿ íà äèñêðåòíûå ñèñòåìû â ñîîò-
âåòñòâóþùèõ áàíàõîâûõ ïðîñòðàíñòâàõ.
Ìåòîä ñðàâíåíèÿ ñ êâàçèìîíîòîííûì îïåðàòîðîì ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí íå òîëü-
êî äëÿ èññëåäîâàíèÿ óñòîé÷èâîñòè ïðîöåññîâ, íî è ïðè ðàññìîòðåíèè âîïðîñîâ, ñâÿçàí-
íûõ ñî ñëàáîé ðåãóëÿðíîñòüþ äèíàìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ, òî åñòü ñ âîïðîñàìè, ñâÿçàí-
íûìè ñ ñóùåñòâîâàíèåì è åäèíñòâåííîñòüþ îãðàíè÷åííîãî èíâàðèàíòíîãî âëîæåíèÿ
ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà B â B × E.
3. Ñèíòåç óïðàâëåíèé â ëèíåéíûõ íåàâòîíîìíûõ ñèñòåìàõ òèïà ðàñøè-
ðåíèé. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé òèïà óïðàâëåíèÿ âèäà:
ẋ = Ax+ b̄u,
u =
n∑
i=1
cixi.
(8)
133
À.Þ. Îáîëåíñêèé
Îïðåäåëåíèå 2. Ñèñòåìà (8) íàçûâàåòñÿ ñòàáèëèçèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé
çàêîí óïðàâëåíèÿ îáúåêòîì, ïðè êîòîðîì ïðîãðàììíîå äâèæåíèå ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷è-
âûì (àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì).
Òåîðåìà 4. Àâòîíîìíàÿ ñòðîãî êâàçèìîíîòîííàÿ îòíîñèòåëüíî êîíóñà K ñèñòåìà
ẋ = Ax ñòàáèëèçèðóåìàÿ, åñëè b̄ ∈ K0, Ab̄ 6= λb̄.
Ðàññìîòðèì êâàçèìîíîòîííóþ ñèñòåìó âèäà:
F t : B → B, ϕ ∈ B,
ẋ = A
(
F t(ϕ)
)
x+ b̄u,
u =
n∑
i=1
ci(ϕ)xi,
(9)
ãäå B � êîìïàêòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, F t(ϕ), ϕ ∈ B � äèíàìè÷åñêàÿ ñèñòåìà
â B, ẋ = A (F t(ϕ))x ïîðîæäàåò ðàâíîìåðíî ñòðîãî ìîíîòîííóþ ñèñòåìó îòíîñèòåëüíî
êîíóñà K.
Îïðåäåëåíèå 3. Ñèñòåìà (9) íàçûâàåòñÿ ñòàáèëèçèðóåìîé, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé
çàêîí óïðàâëåíèÿ îáúåêòîì, ïðè êîòîðîì èíâàðèàíòíîå ìåòðè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî B
ñòàíîâèòñÿ óñòîé÷èâûì (àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâûì).
Òåîðåìà 5. Ñèñòåìà (9) ñòàáèëèçèðóåìàÿ, åñëè b̄ ∈ K0, b̄(ϕ) 6∈ Γ(ϕ) äëÿ ϕ ∈ X+
� ìèíèìàëüíîìó öåíòðó ïðèòÿæåíèÿ (öåíòðó Õèëüìè) ñèñòåìû F t(ϕ), Γ(ϕ) ∈ K0 �
èíâàðèàíòíîå îäíîìåðíîå ìíîãîîáðàçèå ñèñòåìû F t : B → B, ϕ ∈ B, ẋ = A (F t(ϕ))x.
Ïðèìåð. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó:
ϕ̇1 =
(
sin2 (πϕ1) + sin2 (πϕ2)
) (
cos2 (πϕ1) + cos2 (πϕ2)
)
,
ϕ̇2 =
√
2
(
sin2 (πϕ1) + sin2 (πϕ2)
) (
cos2 (πϕ1) + cos2 (πϕ2)
)
,
(10)
ẋ1 = a11 (ϕ1, ϕ2) x1 + |a12 (ϕ1, ϕ2)|x2 + b1 (ϕ1, ϕ2)u,
ẋ2 = |a21 (ϕ1, ϕ2)|x1 + a22 (ϕ1, ϕ2) x2 + b2 (ϕ1, ϕ2)u,
u = c1 (ϕ1, ϕ2)x1 + c2 (ϕ1, ϕ2)x2,
(11)
ãäå aij (ϕ1, ϕ2), bi (ϕ1, ϕ2) (i, j = 1, 2) � 1�ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå
óñëîâèÿì: a12 (0, 0) a21 (0, 0) 6= 0, a12 (1/2, 1/2) a21 (1/2, 1/2) 6= 0, b1 (0, 0) > 0, b1 (1/2, 1/2) >
0, b2 (0, 0) > 0, b2 (1/2, 1/2) > 0.
Ìèíèìàëüíûé öåíòð ïðèòÿæåíèÿ (öåíòð Õèëüìè) ñèñòåìû (10) ñîñòîèò èõ äâóõ òî-
÷åê (0, 0) è (1/2, 1/2). Äëÿ óïðàâëÿåìîñòè ñèñòåìû (10), (11) äîñòàòî÷íî, ÷òîáû âåêòî-
ðû {b1 (0, 0), b2 (0, 0)} è {b1 (1/2, 1/2), b2 (1/2, 1/2)} íå ÿâëÿëèñü ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè
ìàòðèö:
A1 =
(
a11 (0, 0) |a12 (0, 0)|
|a21 (0, 0)| a22 (0, 0)
)
è A2 =
(
a11 (1/2, 1/2) |a12 (1/2, 1/2)|
|a21 (1/2, 1/2)| a22 (1/2, 1/2)
)
,
è áûëî âûïîëíåíî: A1 � A2. Õàðàêòåðèñòè÷åñêèå ïîêàçàòåëè ñèñòåìû (10), (11) áåç
óïðàâëåíèÿ ïðèíàäëåæàò îòðåçêó [λmax(A1), λmax(A2)], ïðè÷åì ∀β ∈ [λmax(A1), λmax(A2)]
íàéäåòñÿ âñþäó ïëîòíî ëåæàùàÿ â B òðàåêòîðèÿ F t(ϕ) òàêàÿ, ÷òî õàðàêòåðèñòè÷åñêèé
ïîêàçàòåëü òðàåêòîðèè {x1 (F t (ϕ1, ϕ2) , x̄0) , x2 (F t (ϕ1, ϕ2) , x̄0)} ðàâåí β.
134
Ìåòîä ìîíîòîííûõ äèíàìè÷åñêèõ ñèñòåì
4. Çàêëþ÷åíèå. Ìåòîä èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì, ñ èñïîëüçîâàíèåì êâàçèìîíîòîííîãî
îïåðàòîðà, àäåêâàòíîãî èññëåäóåìîé ñèñòåìå, ïðåäñòàâëÿåò øèðîêèå âîçìîæíîñòè äëÿ
ïîëó÷åíèÿ óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè íåâîçìóùåííîãî ðåæèìà. Âî ìíîãèõ ñëó÷àÿõ ýòîò ìå-
òîä ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìûì è äîñòàòî÷íûì óñëîâèÿì óñòîé÷èâîñòè è ìîæåò áûòü
èñïîëüçîâàí äëÿ èçó÷åíèÿ øèðîêîãî êëàññà ñâîéñòâ ñèñòåìû.
1. Ëÿïóíîâ À.Ì. Îáùàÿ çàäà÷à îá óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèÿ // Ñîáð. ñî÷.:  5-òè ò. � Ì.; Ë.: Èçä-âî
ÀÍ ÑÑÑÐ, 1956. � Ò. 2. � Ñ. 7�263.
2. ×àïëûãèí Ñ.À. Íîâûé ìåòîä ïðèáëèæåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé //
Èçáð. òð. Ìåõàíèêà æèäêîñòè è ãàçà. Ìàòåìàòèêà. Îáùàÿ ìåõàíèêà. � Ì.: Íàóêà, 1976. � Ñ. 307�
360.
3. Wa
zewski T. Syst�emes des �equations et des in�egalit�es di��erentielles ordinaires aux deuxi�emes membres
monotones et leurs applications // Rocznik Polskiego Towarzystwa Matematycznego = Annal. Soc.
Polon. Math. � 1950. � 23. � P. 112�166.
4. Ìàòðîñîâ Â.Ì., Àíàïîëüñêèé Ë.Þ., Âàñèëüåâ Ñ.Í. Ìåòîä ñðàâíåíèÿ â ìàòåìàòè÷åñêîé òåîðèè
ñèñòåì. � Íîâîñèáèðñê: Íàóêà, 1980. � 481 ñ.
5. Bellman R. Vector Lyapunov functions // J. Soc. industr. and appl. math. Ser. A. On control. � 1962.
� 1, No. 1. � P. 32�34.
6. Ãðóéè÷ Ë.Ò., Ìàðòûíþê À.À., Ðèááåíñ-Ïàâåëëà Ì. Óñòîé÷èâîñòü êðóïíîìàñøòàáíûõ ñèñòåì ïðè
ñòðóêòóðíûõ âîçìóùåíèÿõ. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1984. � 307 ñ.
7. �Siljak D. D. Large-scale dynamic systems: stability and structure. � New York: North-Holland, 1978. �
xvi + 416 p.
8. Êðåéí Ì.Ã., Ðóòìàí Ì.À. Ëèíåéíûå îïåðàòîðû, îñòàâëÿþùèå èíâàðèàíòíûì êîíóñ â ïðîñòðàí-
ñòâå Áàíàõà // Óñïåõè ìàò. íàóê. � 1948. � 3, âûï. 1(23). � C. 3�95.
9. Hirsch M.W. Stability and convergence in strongly monotone dynamical systems // J. reine und angew.
Math. � 1988. � 383. � S. 1�53.
10. Íèòåöêè Ç. Ââåäåíèå â äèôôåðåíöèàëüíóþ äèíàìèêó. � Ì.: Ìèð, 1975. � 304 ñ.
11. Áðîíøòåéí È.Ó., ×åðíèé Â.Ô. Ëèíåéíûå ðàñøèðåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ Ïåððîíà. I //
Äèô. óðàâíåíèÿ. � 1978. � 14, N 10. � C. 1739�1751.
12. Ìèòðîïîëüñêèé Þ. À., Ëûêîâà Î.Á. Èíòåãðàëüíûå ìíîãîîáðàçèÿ â íåëèíåéíîé ìåõàíèêå. � Ì.:
Íàóêà, 1973. � 512 ñ.
13. Îïîéöåâ Â.È. Îáîáùåíèå òåîðèè ìîíîòîííûõ è âîãíóòûõ îïåðàòîðîâ // Òð. Ìîñê. ìàò. îá-âà. �
1978. � 36. � C. 237�273.
14. Ñàáàåâ Å.Ô. Ñèñòåìû ñðàâíåíèÿ äëÿ íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé è èõ ïðèëîæåíèÿ
â äèíàìèêå ðåàêòîðîâ. � Ì.: Àòîìèçäàò, 1980. � 192 ñ.
15. Àðíîëüä Â.È. Äîïîëíèòåëüíûå ãëàâû òåîðèè îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. � Ì.:
Íàóêà, 1978. � 304 ñ.
16. Áèðêãîô Ã. Òåîðèÿ ðåøåòîê. � Ì.: Íàóêà, 1984. � 566 ñ.
17. Ðîêàôåëëàð Ð. Âûïóêëûé àíàëèç. � Ì.: Ìèð, 1973. � 469 ñ.
18. Âèíáåðã Ý. Á. Òåîðèÿ îäíîðîäíûõ âûïóêëûõ êîíóñîâ // Òð. Ìîñê. ìàò. îá-âà. � 1963. � 12. � C.
303�358.
19. Õàðòìàí Ô. Îáûêíîâåííûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ. � Ì.: Ìèð, 1970. � 720 ñ.
20. Áîðèñåíêî Ñ.Ä., Êîñîëàïîâ Â.È., Îáîëåíñêèé À.Þ. Óñòîé÷èâîñòü ïðîöåññîâ ïðè íåïðåðûâíûõ è
äèñêðåòíûõ âîçìóùåíèÿõ. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1988. � 198 ñ.
21. Êðàñíîñåëüñêèé Ì.À., Áóðä Â.Ø., Êîëåñîâ Þ.Ñ. Íåëèíåéíûå ïî÷òè ïåðèîäè÷åñêèå êîëåáàíèÿ. �
Ì.: Íàóêà, 1970. � 351 ñ.
22. Õåëãàñîí Ñ. Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ è ñèììåòðè÷åñêèå ïðîñòðàíñòâà. � Ì: Ìèð, 1964. �
533 ñ.
23. Ãîðèí Å.À. Îá àñèìïòîòè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ ìíîãî÷ëåíîâ è àëãåáðàè÷åñêèõ ôóíêöèé îò íåñêîëüêèõ
ïåðåìåííûõ // Óñïåõè ìàò. íàóê. � 1961. � 16, âûï. 1(97). � Ñ. 91�118.
24. Ãàíòìàõåð Ô.Ð. Òåîðèÿ ìàòðèö. � Ì.: Íàóêà, 1967. � 575 ñ.
Èí-ò ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Êèåâ Ïîëó÷åíî 23.10.2005
135
|