Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами
Рассмотрена задача заклинивания ("wedging") механической системы с сухим трением в контактах в традиционной постановке, когда равновесие системы описывается уравнениями статики, а сухое трение - законом Кулона. Доказана теорема о необходимых условиях и теорема о достаточных условиях, при к...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123773 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами / М.В. Скатенок // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 145-153. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123773 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237732017-09-10T03:04:52Z Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами Скатенок, М.В. Рассмотрена задача заклинивания ("wedging") механической системы с сухим трением в контактах в традиционной постановке, когда равновесие системы описывается уравнениями статики, а сухое трение - законом Кулона. Доказана теорема о необходимых условиях и теорема о достаточных условиях, при которых системы с произвольным числом фрикционных контактов допускают заклинивание в равновесии. 2005 Article Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами / М.В. Скатенок // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 145-153. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123773 531.44 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена задача заклинивания ("wedging") механической системы с сухим трением в контактах в традиционной постановке, когда равновесие системы описывается уравнениями статики, а сухое трение - законом Кулона. Доказана теорема о необходимых условиях и теорема о достаточных условиях, при которых системы с произвольным числом фрикционных контактов допускают заклинивание в равновесии. |
| format |
Article |
| author |
Скатенок, М.В. |
| spellingShingle |
Скатенок, М.В. Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами Механика твердого тела |
| author_facet |
Скатенок, М.В. |
| author_sort |
Скатенок, М.В. |
| title |
Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами |
| title_short |
Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами |
| title_full |
Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами |
| title_fullStr |
Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами |
| title_full_unstemmed |
Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами |
| title_sort |
аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123773 |
| citation_txt |
Аналитические условия заклинивания в системах с фрикционными контактами / М.В. Скатенок // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 145-153. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT skatenokmv analitičeskieusloviâzaklinivaniâvsistemahsfrikcionnymikontaktami |
| first_indexed |
2025-07-09T00:15:58Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:15:58Z |
| _version_ |
1837126307683500032 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.44
c©2005. Ì.Â. Ñêàòåíîê
ÀÍÀËÈÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÑËÎÂÈß ÇÀÊËÈÍÈÂÀÍÈß
 ÑÈÑÒÅÌÀÕ Ñ ÔÐÈÊÖÈÎÍÍÛÌÈ ÊÎÍÒÀÊÒÀÌÈ
Ðàññìîòðåíà çàäà÷à çàêëèíèâàíèÿ ("wedging") ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ñóõèì òðåíèåì â êîíòàêòàõ â
òðàäèöèîííîé ïîñòàíîâêå, êîãäà ðàâíîâåñèå ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ñòàòèêè, à ñóõîå òðåíèå
� çàêîíîì Êóëîíà. Äîêàçàíà òåîðåìà î íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ è òåîðåìà î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ,
ïðè êîòîðûõ ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ôðèêöèîííûõ êîíòàêòîâ äîïóñêàþò çàêëèíèâàíèå â
ðàâíîâåñèè.
Ââåäåíèå. Ñîãëàñíî ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì [1, 2] ñóùåñòâóþò îñîáûå ðàâíî-
âåñíûå ñîñòîÿíèÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ ñóõèì òðåíèåì, â êîòîðûõ âîçíèêàåò ñòàòè-
÷åñêîå ÿâëåíèå, ïîëó÷èâøåå íàçâàíèå çàêëèíèâàíèÿ. Îñîáåííîñòü òàêèõ ðàâíîâåñíûõ
ñîñòîÿíèé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âûâåñòè èç íèõ ñèñòåìó íåâîçìîæíî íèêàêèìè àê-
òèâíûìè ñèëàìè, êàêîâî áû íè áûëî èõ çíà÷åíèå è íàïðàâëåíèå.
Çíà÷åíèÿ ðåàêòèâíûõ ñèë, âîçíèêàþùèõ â êîíòàêòàõ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ïðè
çàêëèíèâàíèè, ìîãóò áûòü äîñòàòî÷íî áîëüøèìè. Òàêèå ðåàêòèâíûå ñèëû ìîãóò ïðè-
âåñòè ê ïîâûøåííîìó èçíîñó òðóùèõñÿ ïîâåðõíîñòåé è äàæå ê ðàçðóøåíèþ îòäåëüíûõ
ýëåìåíòîâ ñèñòåìû [2]. Ïîýòîìó âîçìîæíîñòü çàêëèíèâàíèÿ íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü è,
åñëè óäàñòñÿ, óñòðàíÿòü óæå íà ýòàïå ïðîåêòèðîâàíèÿ ñèñòåìû ñ ñóõèì òðåíèåì. Îäíàêî
ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî èíîãäà çàêëèíèâàíèå ìîæåò èãðàòü è ïîëîæèòåëüíóþ ðîëü.
Ïðèêëàäíàÿ íàïðàâëåííîñòü áîëüøèíñòâà ïóáëèêàöèé, ïîñâÿùåííûõ çàêëèíèâà-
íèþ (íàïðèìåð, [1�5]), ïîçâîëÿåò ñäåëàòü âûâîä î òîì, ÷òî ðàáîòû ïî èçó÷åíèþ çàêëè-
íèâàíèÿ èìåþò áîëüøîå çíà÷åíèå äëÿ àâòîìàòèçàöèè òåõíè÷åñêèõ ïðîöåññîâ. Îäíàêî
õîòÿ â íàñòîÿùåå âðåìÿ íàêîïëåí îáøèðíûé ýêñïåðèìåíòàëüíûé ìàòåðèàë ïî çàêëèíè-
âàíèþ, òåîðåòè÷åñêàÿ îñíîâà äëÿ ýòèõ äàííûõ ïîêà òîëüêî ðàçâèâàåòñÿ. Áîëüøèíñòâî
ïîïûòîê òåîðåòè÷åñêè îáîñíîâàòü òå èëè èíûå ñâîéñòâà è óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ èìåþò
ñåðüåçíûå íåäîñòàòêè, à ñàìè ïðåäëàãàåìûå ïîäõîäû íîñÿò èíäèâèäóàëüíûé îòïå÷àòîê
íåêîòîðîé ÷àñòíîé çàäà÷è, ïîýòîìó íå ìîãóò áûòü øèðîêî èñïîëüçîâàíû. Àíàëèç ðà-
áîò [1�5] ïîêàçûâàåò, ÷òî èõ àâòîðû îïèðàþòñÿ òîëüêî íà íåêîòîðûå îòäåëüíûå (èíîãäà
ðàçëè÷íûå) ñâîéñòâà èëè óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ, ïðè÷åì âñòðå÷àþòñÿ ðàçíûå òðàêòîâ-
êè îäíîãî è òîãî æå óñëîâèÿ, èç-çà ÷åãî âîçíèêàþò ïðîòèâîðå÷èÿ. Íàïðèìåð, îäíè è òå
æå óñëîâèÿ â [4] ïðèâåäåíû â êà÷åñòâå äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé çàêëèíèâàíèÿ, à â [5] �
â êà÷åñòâå íåîáõîäèìûõ. Âñå ýòî ïðåïÿòñòâóåò ðàññìîòðåíèþ ñóùåñòâóþùèõ ðàáîò ïî
çàêëèíèâàíèþ êàê âçàèìîñâÿçàííûõ ÷àñòåé åäèíîé òåîðèè.
 ðàáîòå [6] áûëî ïîêàçàíî, ÷òî îñíîâíîé ïðè÷èíîé ýòîãî ïîñëóæèëî îòñóòñòâèå
ôîðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ çàêëèíèâàíèÿ, ò.å. êàêîãî-ëèáî öåíòðàëüíîãî ïîíÿòèÿ, êî-
òîðîå êîððåêòíî îïèñûâàëî áû ýòî ýêñïåðèìåíòàëüíî îáíàðóæåííîå ÿâëåíèå è ìàêñè-
ìàëüíî ïîëíî îòðàæàëî áû åãî ñâîéñòâà. Áåç òàêîãî ïîíÿòèÿ íåëüçÿ äàòü ôîðìàëüíóþ
ïîñòàíîâêó çàäà÷è çàêëèíèâàíèÿ, ò.å. çàäà÷è îòûñêàíèÿ íåîáõîäèìûõ è/èëè äîñòàòî÷-
íûõ óñëîâèé çàêëèíèâàíèÿ. Îäíàêî ââåäåíèå òàêîãî ïîíÿòèÿ ñâÿçàíî, â ÷àñòíîñòè, ñ
òðóäíîñòÿìè, îáóñëîâëåííûìè òðàäèöèîííûì ïîäõîäîì ê çàäà÷å çàêëèíèâàíèÿ, êîòî-
ðûé ïðèìåíÿåòñÿ â òîì ÷èñëå è â [1�5]. Ïðè òðàäèöèîííîì ïîäõîäå ðàâíîâåñèå ìåõà-
145
Ì.Â. Ñêàòåíîê
íè÷åñêîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèÿìè ñòàòèêè, à ñóõîå òðåíèå â êîíòàêòàõ ýòîé
ñèñòåìû � çàêîíîì Êóëîíà.  ðàìêàõ ýòîãî ïîäõîäà çàäà÷à çàêëèíèâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñòà-
òè÷åñêè íåîïðåäåëåííîé, ò.å. ÷èñëî óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ, êîòîðûå ìîæíî ñîñòàâèòü,
ìåíüøå ÷èñëà âõîäÿùèõ â ýòè óðàâíåíèÿ íåèçâåñòíûõ. Äðóãèìè ñëîâàìè, ðåøåíèå äàí-
íîé çàäà÷è íååäèíñòâåííî è çàâèñèò êàê ìèíèìóì îò îäíîé ñâîáîäíîé ïåðåìåííîé. Â
ðàáîòå [6] ïîêàçàíî, ÷òî ïî ýòîé ïðè÷èíå â ðàìêàõ òðàäèöèîííîãî ïîäõîäà íåëüçÿ óêà-
çàòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ, ò.å. òå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ â
ñèñòåìå ãàðàíòèðîâàííî âîçíèêàåò çàêëèíèâàíèå, è ÷òî ôîðìàëüíîå îïðåäåëåíèå çà-
êëèíèâàíèÿ ìîæåò îòðàæàòü òîëüêî íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ. Â ñâÿçè ñ
ýòèì â [6] áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, äîïóñêàþùåé çàêëèíèâàíèå.
Îïðåäåëåíèå [6].Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå, åñëè íåëüçÿ óêà-
çàòü àêòèâíûå ñèëû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ýòó ñèñòåìó ãàðàíòèðîâàííî ìîæíî âûâåñòè
èç ðàâíîâåñèÿ.
Èñïîëüçîâàíèå ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ïîçâîëÿåò ïîëó÷èòü êëàññè÷åñêóþ òåîðåòè÷å-
ñêóþ ñõåìó, êîòîðàÿ âêëþ÷àåò ñàìó ìàòåìàòè÷åñêóþ ìîäåëü çàêëèíèâàíèÿ, ðÿä ñî-
îòâåòñòâóþùèõ íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé è ëîãè÷åñêèå ñâÿçè ìåæäó íèìè.
 [6] ñ ïîìîùüþ ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñôîðìóëèðîâàíà è äîêàçàíà òåîðåìà î íåîáõîäè-
ìîì è äîñòàòî÷íîì óñëîâèè òîãî, ÷òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ äâóìÿ ôðèêöèîííûìè
êîíòàêòàìè äîïóñêàëà çàêëèíèâàíèå; òàì æå ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ïåðåôîðìóëè-
ðîâàíû òåîðåìû èç [7] îá óñëîâèÿõ çàêëèíèâàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ òðåìÿ ôðèêöèîííûìè
êîíòàêòàìè.
Ïðåäëîæåííîå â [6] îïðåäåëåíèå ìîæåò ïîñëóæèòü ôîðìàëüíîé îñíîâîé äëÿ ðàç-
âèòèÿ òåîðèè çàêëèíèâàíèÿ è êðèòè÷åñêîãî àíàëèçà ñóùåñòâóþùèõ òåîðåòè÷åñêèõ è
ýêñïåðèìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ.
Îäíîé èç íàèáîëåå èíòåðåñíûõ ñ ïðèêëàäíîé òî÷êè çðåíèÿ ðàáîò, ïîñâÿùåííûõ çà-
êëèíèâàíèþ, ÿâëÿåòñÿ ðàáîòà P.E. Dupont è S.P. Yamajako [8]. Â ýòîé ðàáîòå ïðåäëîæåí
ôîðìàëüíûé ìàòåìàòè÷åñêèé ïîäõîä ê ðåøåíèþ çàäà÷è çàêëèíèâàíèÿ, îñíîâàííûé íà
àíàëèçå óðàâíåíèé äâèæåíèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ êóëîíîâûì òðåíèåì, çàïèñàííûõ
â ôîðìå óðàâíåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà. P.E. Dupont è S.P. Yamajako ñôîðìóëè-
ðîâàëè òåîðåìó (òåîðåìà 2, [8]) îá óñëîâèè çàêëèíèâàíèÿ â ñèñòåìå ñ ïðîèçâîëüíûì
÷èñëîì êîíòàêòîâ. Îäíàêî è ôîðìóëèðîâêà, è äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 â [8] èìåþò
ñåðüåçíûå íåäîñòàòêè, íå ïîçâîëÿþùèå ðàññìàòðèâàòü äàííóþ òåîðåìó êàê òàêîâóþ.
Òàê, ïðèâåäåííîå â [8] äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 2 âñåãî ëèøü äåìîíñòðèðóåò îòäåëü-
íûå ñâîéñòâà çàêëèíèâàíèÿ, íå îáîñíîâûâàÿ íà ñàìîì äåëå óòâåðæäåíèÿ ýòîé òåîðåìû.
Áîëåå òîãî, ôîðìóëèðóÿ óòâåðæäåíèå óêàçàííîé òåîðåìû êàê óñëîâèå çàêëèíèâàíèÿ,
àâòîðû íå ââîäÿò ÷åòêîãî ôîðìàëüíîãî îïðåäåëåíèÿ ýòîãî ÿâëåíèÿ, ÷òî óæå ñàìî ïî
ñåáå äåëàåò íåâîçìîæíûì ñòðîãîå îáîñíîâàíèå äàííîãî óòâåðæäåíèÿ.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Âìåñòå ñ òåì åñòü îñíîâàíèÿ ñ÷èòàòü, ÷òî íà ïðàêòèêå
èìååò ìåñòî óñëîâèå çàêëèíèâàíèÿ, ïîäîáíîå òîìó, êîòîðîå ïðåäëîæåíî â [8]. Ïîëó÷èâ
êîððåêòíóþ ôîðìóëèðîâêó è ñòðîãîå îáîñíîâàíèå, òàêîå óñëîâèå ìîæåò ñëóæèòü ýô-
ôåêòèâíûì èíñòðóìåíòîì èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ñ êóëîíîâûì òðåíèåì. Ïîýòîìó òåîðå-
ìà 2 èç [8] ïðåäñòàâëÿåò íåìàëûé èíòåðåñ, õîòÿ è íóæäàåòñÿ â òùàòåëüíîé ïåðåðàáîòêå.
Ïîñêîëüêó P.E. Dupont è S.P. Yamajako â ðàáîòå [8] èñïîëüçóþò òðàäèöèîííûé ïîä-
õîä ê çàäà÷å çàêëèíèâàíèÿ, òî ôîðìóëèðîâêà òàêîé òåîðåìû ìîæåò áûòü êîððåêòíîé
òîëüêî â òîì ñëó÷àå (ñì. âûøå), åñëè ãîâîðèòü íå î ñàìîì çàêëèíèâàíèè, à î ìåõà-
íè÷åñêîé ñèñòåìå, äîïóñêàþùåé çàêëèíèâàíèå. Òðåáóåìàÿ òåîðåìà äîëæíà ðåãëàìåí-
146
Àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè
òèðîâàòü íåîáõîäèìûå è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ìåõàíè÷åñêàÿ
ñèñòåìà ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì êîíòàêòîâ äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå â ðàâíîâåñèè è/èëè
â äâèæåíèè.
 äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåíî òîëüêî çàêëèíèâàíèå â ðàâíîâåñèè. Äîêàçàí ðÿä äî-
ñòàòî÷íûõ óñëîâèé, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ ïðîèçâîëüíûì
÷èñëîì êîíòàêòîâ íå äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå (ëåììû 1�3). Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ, ïðè
âûïîëíåíèè êîòîðûõ ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì êîíòàêòîâ äîïóñ-
êàåò çàêëèíèâàíèå, ñôîðìóëèðîâàíû â âèäå ëåììû 4. Äëÿ ñèñòåì, óäîâëåòâîðÿþùèõ
ýòèì óñëîâèÿì, äîêàçàíû äâå òåîðåìû: òåîðåìà î íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ è òåîðåìà î
äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ äàííûå ñèñòåìû äîïóñêàþò çàêëèíè-
âàíèå.
2. Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñ-
ëîì ôðèêöèîííûõ êîíòàêòîâ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ ìåõàíè÷åñêóþ ñèñòåìó
òâåðäûõ òåë ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè, íà êîòîðóþ ìîãóò äåéñòâîâàòü ëþáûå
àêòèâíûå ñèëû. Êàæäûé èç ôðèêöèîííûõ êîíòàêòîâ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíîñòîðîí-
íþþ íåèäåàëüíóþ (ñ êóëîíîâûì òðåíèåì) ñâÿçü. Ïîñëå îñâîáîæäåíèÿ îò ýòèõ ñâÿçåé
äâèæåíèå äàííîé ñèñòåìû ìîæíî îïèñàòü óðàâíåíèÿìè Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà ñ ìíî-
æèòåëÿìè è óðàâíåíèÿìè ñâÿçåé â ðàçîðâàííûõ ôðèêöèîííûõ êîíòàêòàõ. Ïîñêîëüêó â
äàííîé ðàáîòå ýòè óðàâíåíèÿ ñâÿçåé íå áóäóò èñïîëüçîâàòüñÿ, çàïèøåì òîëüêî óðàâíå-
íèÿ Ëàãðàíæà:
I(q)q̈ + h(q, q̇) = τ + [Φ(q, t)
... Φ̃(q, t)]
(
λ
f
)
, (1)
ãäå q = {q1, q2, . . . , qk} � âåêòîð íåçàâèñèìûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò, îïèñûâàþùèõ ïî-
ëîæåíèå ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, îñâîáîæäåííîé îò ñâÿçåé â ôðèêöèîííûõ êîíòàêòàõ;
t � âðåìÿ; I(q) � ìàòðèöà êâàäðàòè÷íîé ôîðìû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ñèñòåìû; h(q, q̇) �
âåêòîð, êîìïîíåíòû êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòè÷íûìè ôîðìàìè ïî q̇; âåêòîð τ âêëþ-
÷àåò ÷ëåíû, ñîäåðæàùèå àêòèâíûå ñèëû è ìîìåíòû â âûðàæåíèÿõ îáîáùåííûõ ñèë,
è ñîãëàñíî ñêàçàííîìó âûøå ìîæåò áûòü çàäàí ïðîèçâîëüíî; λ è f � ñîîòâåòñòâåííî
âåêòîð-ñòîëáåö íîðìàëüíûõ ðåàêöèé è âåêòîð-ñòîëáåö ñèë êóëîíîâà òðåíèÿ â ôðèêöè-
îííûõ êîíòàêòàõ; [Φ(q, t)
... Φ̃(q, t)] � áëî÷íàÿ ìàòðèöà, ãäå Φ(q, t) è Φ̃(q, t) � ñîîòâåò-
ñòâåííî ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ ïðè íîðìàëüíûõ ðåàêöèÿõ è ìàòðèöà êîýôôèöèåíòîâ
ïðè ñèëàõ êóëîíîâà òðåíèÿ â âûðàæåíèÿõ îáîáùåííûõ ñèë.
Ïðè ðàâíîâåñèè ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèé (1) ðàâíà íóëþ, ò.å.
îíè èìåþò âèä
τ + [Φ
... Φ̃]
(
λ
f
)
= 0. (2)
 äàëüíåéøåì áóäåì èñïîëüçîâàòü åùå îäíó ôîðìó çàïèñè óðàâíåíèé ðàâíîâåñèÿ.
×òîáû ïîëó÷èòü åå, ââåäåì â óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (2) ñîîòíîøåíèÿ çàêîíà Êóëîíà
fi = µiλi, −µi ≤ µi ≤ µi, i = 1, n, ãäå µi � çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà êóëîíîâà òðå-
íèÿ, à µi � çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ ñêîëüæåíèÿ â i-îì êîíòàêòå. Îáîçíà÷èì
M = diag{µi}, i = 1, n. Òîãäà óðàâíåíèÿ (2) ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â ñëåäóþùåì
âèäå:
[Φ + Φ̃M ]λ + τ = 0. (3)
Òàêèì îáðàçîì, â óðàâíåíèÿõ (2) íåèçâåñòíûìè ÿâëÿþòñÿ λ è f , à â óðàâíåíèÿõ (3)
� ýòî λ è M . Äàëåå áóäåì èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû
147
Ì.Â. Ñêàòåíîê
êàê â çàïèñè (2), òàê è â çàïèñè (3).
3. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ îòñóòñòâèÿ çàêëèíèâàíèÿ.
Ëåììà 1. ×òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè íå äîïóñ-
êàëà çàêëèíèâàíèå, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
k > 2n. (4)
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ïîêàæåì, ÷òî ìîæíî âûáðàòü âåêòîð τ òàê, ÷òîáû óðàâ-
íåíèÿ (2) íå óäîâëåòâîðÿëèñü. Ýòèì ñàìûì áóäåò ïîêàçàíî, ÷òî â ñëó÷àå (4) ìîæíî
óêàçàòü òàêèå àêòèâíûå ñèëû, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåìóþ ñèñòåìó ãàðàíòè-
ðîâàííî ìîæíî âûâåñòè èç ðàâíîâåñèÿ, ò.å. ÷òî â ñëó÷àå (4) äàííàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò
çàêëèíèâàíèå.
Íåðàâåíñòâî (4) îçíà÷àåò, ÷òî ñðåäè ñòðîê ìàòðèöû [Φ
... Φ̃] åñòü ëèíåéíî çàâèñè-
ìûå.  ýòîì ñëó÷àå âñåãäà íàéäåòñÿ òàêîé íåíóëåâîé âåêòîð-ñòîëáåö a = a(q, t), ÷òî
ïðîèçâåäåíèå aT [Φ
... Φ̃] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íóëåâîé âåêòîð.
Çàäàäèì â óðàâíåíèÿõ (2) òàêîé âåêòîð τ , ÷òîáû aT τ 6= 0. Çàòåì óìíîæèì (2) íà
âåêòîð aT ñëåâà:
aT τ + aT [Φ
... Φ̃]
(
λ
f
)
= 0. (5)
Ïîñêîëüêó âåêòîð a âûáðàí òàê, ÷òî ïðîèçâåäåíèå aT [Φ
... Φ̃] ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
íóëåâîé âåêòîð, èç (5) ñëåäóåò aT τ = 0. Íî âåêòîð τ â (5) âûáðàí òàê, ÷òî aT τ 6= 0.
Òàêèì îáðàçîì, äëÿ âûáðàííîãî âåêòîðà τ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íå óäîâëåòâîðÿþòñÿ.
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àå (4) ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå. �
Óòâåðæäåíèå ëåììû 1 íå íàêëàäûâàåò íèêàêèõ óñëîâèé íà ðàíã ìàòðèöû [Φ
... Φ̃].
Îäíàêî åñëè [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà, òî ÷òîáû èññëåäóåìàÿ ìåõàíè÷åñêàÿ
ñèñòåìà íå äîïóñêàëà çàêëèíèâàíèå, íåîáõîäèìî âûïîëíåíèå ìåíåå æåñòêîãî óñëîâèÿ,
÷åì (4).
Ëåììà 2. Åñëè [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà, òî ÷òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ
n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè íå äîïóñêàëà çàêëèíèâàíèå, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû
k ≥ 2n. (6)
Êàê âèäíî, óñëîâèå (6) âêëþ÷àåò ñëó÷àé k = 2n, êîòîðûé íå âõîäèò â (4), ò.å.
óñëîâèå (6) ÿâëÿåòñÿ ìåíåå æåñòêèì, ÷åì (4).
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ïðè k = 2n ìàòðèöà [Φ
... Φ̃] � êâàäðàòíàÿ. Êðîìå òîãî,
ïî óñëîâèþ ëåììû [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà, ñëåäîâàòåëüíî, ïîñêîëüêó äàííàÿ
ìàòðèöà êâàäðàòíàÿ, ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îíà íåâûðîæäåííàÿ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñó-
ùåñòâóåò îáðàòíàÿ ìàòðèöà [Φ
... Φ̃]−1. Òîãäà íåèçâåñòíûå λ è f îïðåäåëÿþòñÿ èç (2)
åäèíñòâåííûì îáðàçîì, ò.å. êàæäîìó âåêòîðó τ ñîîòâåòñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïàðà âåê-
òîðîâ λ è f : (
λ
f
)
= −[Φ
... Φ̃]−1τ .
Äëÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû, äîïóñêàþùåé çàêëèíèâàíèå, óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (2)
ìîãóò óäîâëåòâîðÿòüñÿ ïðè ëþáûõ τ . Âûáåðåì òàêîé âåêòîð τ , êîòîðûé ñîâïàäàåò ñ
148
Àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè
ïåðâûì ñòîëáöîì ìàòðèöû Φ̃. Íåñëîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî óðàâíåíèÿì (2) ïðè âûáðàííîì
τ óäîâëåòâîðÿþò λT = (0; 0; . . . ; 0) è fT = (−1; 0; . . . ; 0). Ñîãëàñíî ñêàçàííîìó âûøå,
äàííûå λ è f åäèíñòâåííûå. Îäíàêî ýòè λ è f íå óäîâëåòâîðÿþò çàêîíó Êóëîíà: î÷å-
âèäíî, ÷òî ñîîòíîøåíèå f1 = µ1λ1, −µ1 ≤ µ1 ≤ µ1 , íå âûïîëíÿåòñÿ íè ïðè êàêîì µ1.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà, òî ïðè k = 2n ìîæíî çàäàòü
òàêîé âåêòîð τ , äëÿ êîòîðîãî íå ñóùåñòâóåò λ è f , îäíîâðåìåííî óäîâëåòâîðÿþùèõ
è óðàâíåíèÿì ðàâíîâåñèÿ äàííîé ñèñòåìû, è çàêîíó Êóëîíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ñëó-
÷àå k = 2n ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè
â óðàâíåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ (2) ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè
[Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà ïîëíîãî ðàíãà, òî äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì, ïðè êîòîðîì ýòà ñèñòåìà
íå äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå, ÿâëÿåòñÿ óñëîâèå (6). �
Ëåììà 3. ×òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè íå äîïóñêà-
ëà çàêëèíèâàíèå, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû ìàòðèöà [Φ
... Φ̃] â óðàâíåíèÿõ ðàâíîâåñèÿ (2) áûëà
ìàòðèöåé íåïîëíîãî ðàíãà.
Äîêàçàòåëüñòâî ëåììû. Ñîãëàñíî ëåììå 1 â ñëó÷àå k > 2n ñèñòåìà íå äîïóñ-
êàåò çàêëèíèâàíèå íåçàâèñèìî îò ðàíãà ìàòðèöû [Φ
... Φ̃]. Ñëåäîâàòåëüíî, äîñòàòî÷íî
ðàññìîòðåòü ñëó÷àé k ≤ 2n. Äîêàçàòü, ÷òî ïðè k ≤ 2n ñèñòåìà, äëÿ êîòîðîé [Φ
... Φ̃]
� ìàòðèöà íåïîëíîãî ðàíãà, íå äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå, ìîæíî ïî àíàëîãèè ñ äîêàçà-
òåëüñòâîì ëåììû 1. Íî ìîæíî äîêàçàòü ýòî è èíà÷å.
Óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (2) � ýòî ñèñòåìà k ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ 2n íåèçâåñòíûìè.
Òàêàÿ ñèñòåìà, êàê õîðîøî èçâåñòíî (ñì., íàïðèìåð, [9, ñ. 46]), èìååò ðåøåíèå â òîì è
òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ìàòðèöû [Φ
... Φ̃] è [Φ
... Φ̃
... − τ ] èìåþò îäèí è òîò æå ðàíã. Â
ïðîòèâíîì ñëó÷àå ñèñòåìà óðàâíåíèé (2) íåñîâìåñòíà.
 äàííîì ñëó÷àå [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà íåïîëíîãî ðàíãà, èíà÷å ãîâîðÿ, åå ðàíã ìåíüøå
k. ×òî êàñàåòñÿ ìàòðèöû [Φ
... Φ̃
... −τ ], òî âåêòîð τ âñåãäà ìîæíî âûáðàòü òàê, ÷òîáû ðàíã
äàííîé ìàòðèöû áûë ïî êðàéíåé ìåðå íà åäèíèöó áîëüøå ðàíãà ìàòðèöû [Φ
... Φ̃]. Òàêèì
îáðàçîì, â ñëó÷àå, êîãäà [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà íåïîëíîãî ðàíãà, âñåãäà ìîæíî âûáðàòü
òàêîé âåêòîð τ , ïðè êîòîðîì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (2) íå ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû.
Ò.å. åñëè [Φ
... Φ̃] � ìàòðèöà íåïîëíîãî ðàíãà, òî ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà íå äîïóñêàåò
çàêëèíèâàíèå. �
4. Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ è äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ. ×èñëî
íåçàâèñèìûõ îáîáùåííûõ êîîðäèíàò qj, j = 1, k, â óðàâíåíèÿõ (1), à ñëåäîâàòåëüíî,
è â (2) îãðàíè÷åíî ñíèçó ÷èñëîì ôðèêöèîííûõ êîíòàêòîâ ñèñòåìû: k > n. Äåéñòâè-
òåëüíî, ïðè îñâîáîæäåíèè ñèñòåìû îò êàæäîãî èç n ôðèêöèîííûõ êîíòàêòîâ ìîæíî
çàïèñàòü, ïî êðàéíåé ìåðå, îäíî ñêàëÿðíîå óðàâíåíèå ñâÿçè (ò.å. ââåñòè, ïî êðàéíåé
ìåðå, îäíó äîïîëíèòåëüíóþ îáîáùåííóþ êîîðäèíàòó). Ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî ñòåïåíåé
ñâîáîäû ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû íå ïðåâûøàåò k − n. Ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ìîæåò
ñîâåðøàòü äâèæåíèå òîëüêî â òîì ñëó÷àå, êîãäà îíà èìååò õîòÿ áû îäíó ñòåïåíü ñâî-
áîäû, ò.å. êîãäà k − n > 0. Î÷åâèäíî, ÷òî äàííûé âûâîä íå çàâèñèò îò ôîðìû çàïèñè
óðàâíåíèé äâèæåíèÿ/ðàâíîâåñèÿ ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû.
Èç äàííûõ ðàññóæäåíèé, à òàêæå èç ëåìì 1�3 âûòåêàåò ñëåäóþùàÿ ëåììà.
Ëåììà 4. ×òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè äîïóñêà-
149
Ì.Â. Ñêàòåíîê
ëà çàêëèíèâàíèå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ìàòðèöà [Φ
... Φ̃] áûëà ìàòðèöåé ïîëíîãî ðàíãà è
âûïîëíÿëîñü óñëîâèå
n < k < 2n. (7)
(Îòìåòèì, ÷òî â ðàáîòå P.E. Dupont è S.P. Yamajako [8] óñëîâèÿ, ïîäîáíûå óñëîâèÿì
ëåììû 4, îòñóòñòâóþò è òåîðåìà 2 [8] ñôîðìóëèðîâàíà äëÿ âñåõ ñèñòåì ñ êóëîíîâûì
òðåíèåì.)
Äëÿ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèÿì ëåììû 4, ñôîðìóëèðóåì
è äîêàæåì äâå òåîðåìû: òåîðåìó î íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ è òåîðåìó î äîñòàòî÷íûõ
óñëîâèÿõ, ïðè êîòîðûõ òàêèå ñèñòåìû äîïóñêàþò çàêëèíèâàíèå.
Òåîðåìà 1. ×òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè äîïóñ-
êàëà çàêëèíèâàíèå íåîáõîäèìî, ÷òîáû ñóùåñòâîâàëè òàêèå êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ µ0
i ,
−µi ≤ µ0
i ≤ µi, i = 1, n, ïðè êîòîðûõ [Φ + Φ̃M ] ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé íåïîëíîãî ðàíãà.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå, ò.å. ïóñòü
åå óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (3) ìîãóò óäîâëåòâîðÿòüñÿ ïðè ëþáûõ τ . Çàäàäèì òàêîé âåê-
òîð τ , ÷òîáû õîòÿ áû îäèí èç åãî êîìïîíåíòîâ áûë íåíóëåâîé. Òîãäà äëÿ âûáðàííîãî
τ óðàâíåíèÿ (3) óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïðè íåêîòîðîì, î÷åâèäíî, íåíóëåâîì âåêòîðå íîð-
ìàëüíûõ ðåàêöèé λ = λ+ è íåêîòîðîé ìàòðèöå M = M+ = diag{µ+
i }, −µi ≤ µ+
i ≤ µi,
i = 1, n:
[Φ + Φ̃M+]λ+ + τ = 0. (8)
Ñîîòâåòñòâåííî äëÿ âåêòîðà −τ óðàâíåíèÿ (3) óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïðè íåêîòîðîì
íåíóëåâîì âåêòîðå λ = λ− è ìàòðèöå M = M− = diag{µ−i }, −µi ≤ µ−i ≤ µi, i = 1, n:
[Φ + Φ̃M−]λ− − τ = 0. (9)
Ñëîæèì ñîîòâåòñòâåííî ëåâûå è ïðàâûå ÷àñòè ñîîòíîøåíèé (8) è (9):
Φ(λ+ + λ−) + Φ̃(M+λ+ + M−λ−) = 0. (10)
Ïîñêîëüêó â óðàâíåíèÿõ (10) âåêòîðû λ+ è λ− íåíóëåâûå, à èõ êîìïîíåíòû íåîò-
ðèöàòåëüíûå (λ±i ≥ 0, i = 1, n) â ñèëó òîãî, ÷òî ñâÿçè âî ôðèêöèîííûõ êîíòàêòàõ
îäíîñòîðîííèå, òî âåêòîð (λ+ + λ−) íåíóëåâîé è åãî êîìïîíåíòû òàêæå íåîòðèöàòåëü-
íûå. Ðàññìîòðèì âåêòîð (M+λ+ + M−λ−). Ââåäåì îáîçíà÷åíèå
µ0
i =
µ+
i λ+
i + µ−i λ−i
λ+
i + λ−i
, i = 1, n,
ñ ïîìîùüþ êîòîðîãî ïðåäñòàâèì êîìïîíåíòû âåêòîðà (M+λ+ + M−λ−) â âèäå
µ+
i λ+
i + µ−i λ−i = µ0
i (λ
+
i + λ−i ), i = 1, n. (11)
Ïîñêîëüêó âåêòîð (λ+ + λ−) íåíóëåâîé è çíà÷åíèÿ íîðìàëüíûõ ðåàêöèé λ±i íåîò-
ðèöàòåëüíûå, òî äëÿ âñåõ i = 1, n ìîæíî çàïèñàòü
|µ0
i | =
∣∣∣∣µ+
i λ+
i + µ−i λ−i
λ+
i + λ−i
∣∣∣∣ =
|µ+
i λ+
i + µ−i λ−i |
λ+
i + λ−i
≤ |µ+
i |λ+
i + |µ−i |λ−i
λ+
i + λ−i
≤
≤ max{|µ+
i | , |µ−i |}(λ+
i + λ−i )
λ+
i + λ−i
= max{|µ+
i | , |µ−i |} ≤ µi ,
150
Àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè
ò.å.
−µi ≤ µ0
i ≤ µi, i = 1, n.
Èñïîëüçóÿ âûðàæåíèÿ (11), çàïèøåì ñîîòíîøåíèÿ (10) â âèäå
[Φ + Φ̃M0](λ+ + λ−) = 0, (12)
ãäå M0 = diag{µ0
i }, −µi ≤ µ0
i ≤ µi , i = 1, n. Ìàòðèöà [Φ + Φ̃M0] ñîäåðæèò k ñòðîê è
n ñòîëáöîâ, ïðè÷åì ñîãëàñíî ëåììå 4 íåîáõîäèìî, ÷òîáû k > n. Òîãäà, ïîñêîëüêó âåêòîð
(λ+ + λ−) íåíóëåâîé, èç (12) ñëåäóåò, ÷òî [Φ + Φ̃M0] � ìàòðèöà íåïîëíîãî ðàíãà.
Òàêèì îáðàçîì, åñëè ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà äîïóñêàåò çàêëèíèâàíèå, òî ñóùåñòâóþò
êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ µ0
i , −µi ≤ µ0
i ≤ µi , i = 1, n, ïðè êîòîðûõ ìàòðèöà
[Φ + Φ̃M ] = [Φ + Φ̃M0] ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé íåïîëíîãî ðàíãà. �
Òåîðåìà 2. ×òîáû ìåõàíè÷åñêàÿ ñèñòåìà ñ n ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè äîïóñêà-
ëà çàêëèíèâàíèå äîñòàòî÷íî, ÷òîáû:
1. Ñóùåñòâîâàëè êîýôôèöèåíòû òðåíèÿ µ0
i , i = 1, n, ïðè êîòîðûõ ìàòðèöà
[Φ + Φ̃M ] = [Φ + Φ̃M0] ÿâëÿåòñÿ ìàòðèöåé íåïîëíîãî ðàíãà (ò.å. åå ðàíã ìåíüøå n),
ïðè÷åì −µi < µ0
i < µi äëÿ âñåõ i = 1, n.
Îòìåòèì, ÷òî ïðè âûïîëíåíèè ýòîãî óñëîâèÿ ñóùåñòâóåò íåíóëåâîé âåêòîð λ0, òàêîé, ÷òî
[Φ + Φ̃M0]λ0 = 0. (13)
Åñëè rank[Φ + Φ̃M0] = n − 1, òî ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííûé íàáîð òàêèõ âåêòîðîâ, êî-
òîðûå ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé òîëüêî ïðîèçâîëüíûì ïîñòîÿííûì ìíîæèòåëåì. Åñëè æå
rank[Φ + Φ̃M0] = n− 2, òî ñóùåñòâóåò äâà òàêèõ íàáîðà âåêòîðîâ, ïðè÷åì ëþáûå äâà âåêòîðà,
ïðèíàäëåæàùèå ðàçíûì íàáîðàì, ëèíåéíî íåçàâèñèìû, è òàê äàëåå.
2. Âñå êîìïîíåíòû õîòÿ áû îäíîãî èç ñóùåñòâóþùèõ ëèíåéíî íåçàâèñèìûõ âåêòî-
ðîâ λ0 áûëè ñòðîãî ïîëîæèòåëüíûìè, ò.å. λ0
i > 0 äëÿ âñåõ i = 1, n.
Ïðèìå÷àíèå. Óñëîâèÿ òåîðåìû 2, î÷åâèäíî, îòëè÷àþòñÿ îò óñëîâèé òåîðåìû 1.
Åñëè òåîðåìà 1 òðåáóåò −µi ≤ µ0
i ≤ µi, i = 1, n, òî òåîðåìà 2 íàêëàäûâàåò áîëåå
æåñòêîå óñëîâèå −µi < µ0
i < µi, i = 1, n, è äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå λ0
i > 0, i = 1, n.
Äîêàçàòåëüñòâî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî îáà óñëîâèÿ òåîðåìû âûïîëíÿþòñÿ. Ïîêàæåì,
÷òî â ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äàííîé ñèñòåìû ìîãóò áûòü óäîâëåòâîðåíû äëÿ
ëþáîãî τ .
Ïåðåïèøåì ðàâåíñòâî (13) èíà÷å, ââåäÿ îáîçíà÷åíèå f 0 = M0λ0:
Φλ0 + Φ̃f 0 = 0. (14)
Ñîîòâåòñòâåííî îáîçíà÷èì f = Mλ è çàïèøåì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ äàííîé ìå-
õàíè÷åñêîé ñèñòåìû â âèäå
Φλ + Φ̃f + τ = 0. (15)
Ïðåäñòàâèì âåêòîð íîðìàëüíûõ ðåàêöèé λ è âåêòîð ñèë òðåíèÿ f â âèäå
λ = aλ0 + ∆λ, f = af 0 + ∆f , (16)
ãäå a � ïðîèçâîëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, ∆λ è ∆f � ïðîèçâîëüíûå âåêòîðû. Ïîä-
ñòàâèâ âûðàæåíèÿ (16) â óðàâíåíèÿ (15), ïîëó÷èì
a(Φλ0 + Φ̃f 0) + Φ∆λ + Φ̃∆f + τ = 0.
151
Ì.Â. Ñêàòåíîê
 ñèëó (14) ïîñëåäíåå ñîîòíîøåíèå ïðèíèìàåò âèä
Φ∆λ + Φ̃∆f + τ = 0,
èëè, ïåðåéäÿ ê çàïèñè, àíàëîãè÷íîé (2),
[Φ
... Φ̃]
(
∆λ
∆f
)
+ τ = 0. (17)
 ñèëó ëåììû 4 íåîáõîäèìî, ÷òîáû â ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèÿõ (17) ìàòðèöà [Φ
... Φ̃]
áûëà ìàòðèöåé ïîëíîãî ðàíãà è âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî k < 2n. Òîãäà ÷èñëî íåèç-
âåñòíûõ (êîìïîíåíòîâ âåêòîðîâ ∆λ è ∆f) áîëüøå ÷èñëà ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé (17) è
ïðè ëþáîì τ ýòè óðàâíåíèÿ ðàçðåøèìû îòíîñèòåëüíî ∆λ è ∆f . (Çàìåòèì, ÷òî â ñèëó
k < 2n äëÿ êàæäîãî τ ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî íàáîðîâ ∆λ è ∆f , óäîâëå-
òâîðÿþùèõ óðàâíåíèÿì (17)).
Îñòàëîñü ïîêàçàòü, ÷òî óñëîâèÿ îäíîñòîðîííîñòè ñâÿçåé λi ≥ 0, i = 1, n, è ñîîòíî-
øåíèÿ çàêîíà Êóëîíà fi = µiλi, |µi| ≤ µi, i = 1, n, óäîâëåòâîðÿþòñÿ ïðè ëþáûõ ∆λ è
∆f , åñëè âûïîëíÿþòñÿ îáà óñëîâèÿ äàííîé òåîðåìû.
Òàê êàê ïî óñëîâèþ 2 λ0
i > 0 äëÿ âñåõ i = 1, n, à ÷èñëî a â (16) ìîæåò áûòü âûáðàíî
ñêîëü óãîäíî áîëüøèì, òî åãî âñåãäà, äàæå ïðè îòðèöàòåëüíûõ ∆λi, ìîæíî âûáðàòü òàê,
÷òîáû λi ≥ 0, i = 1, n. Ò.å. ïðè ëþáûõ ∆λ óñëîâèå îäíîñòîðîííîñòè ñâÿçåé ìîæåò áûòü
óäîâëåòâîðåíî.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âûáðàòü ÷èñëî a è òàêèì, ÷òîáû λi > 0, i = 1, n.
Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî |µi| ≤ µi, i = 1, n. Ñîãëàñíî ñîîòíîøåíèÿì çàêîíà Êóëîíà
|µi| = fi/λi. Ïîäñòàâèâ ñþäà âûðàæåíèÿ (16), ïîëó÷èì |µi| = (af 0
i + ∆fi)/(aλ0
i + ∆λi).
Ñ÷èòàÿ, ÷òî ÷èñëî a âûáðàíî òàê, ÷òîáû λi = aλ0
i + ∆λi > 0, i = 1, n (âûøå ïîêàçàíî,
÷òî ýòî âñåãäà ìîæíî ñäåëàòü), ïîëó÷èì
lim
a→+∞
|µi| = lim
a→+∞
∣∣∣∣af 0
i + ∆fi
aλ0
i + ∆λi
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣f 0
i
λ0
i
∣∣∣∣ = |µ0
i | .
Ïî óñëîâèþ 1 äàííîé òåîðåìû |µ0
i | < µi, ïîýòîìó, î÷åâèäíî, |µi| ≤ µi, i = 1, n. Ò.å.
ñîîòíîøåíèÿ çàêîíà Êóëîíà òàêæå óäîâëåòâîðÿþòñÿ.
Òàêèì îáðàçîì, ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé äàííîé òåîðåìû îäíîâðåìåííî óäîâëåòâî-
ðÿþòñÿ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èññëåäóåìîé ñèñòåìû, âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ îäíîñòîðîí-
íîñòè ñâÿçåé è ñîîòíîøåíèÿ çàêîíà Êóëîíà, ò.å. äàííàÿ ñèñòåìà äîïóñêàåò çàêëèíèâà-
íèå. �
Çàêëþ÷åíèå. Ðàíåå â ðàáîòàõ, ïîñâÿùåííûõ çàêëèíèâàíèþ â ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòå-
ìàõ òâåðäûõ òåë ñ êóëîíîâûì òðåíèåì, áûëè èññëåäîâàíû òîëüêî ãåîìåòðè÷åñêèå óñëî-
âèÿ çàêëèíèâàíèÿ äëÿ ñèñòåì ñ äâóìÿ (ñì., íàïðèìåð, [1�6]) è òðåìÿ (ñì., íàïðèìåð,
[7]) ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè.  äàííîé ðàáîòå ðàññìîòðåíû àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ
çàêëèíèâàíèÿ â ðàâíîâåñèè äëÿ ïðîèçâîëüíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì ñ n ôðèêöèîííûìè
êîíòàêòàìè. Ïîëó÷åí ðÿä äîñòàòî÷íûõ óñëîâèé îòñóòñòâèÿ çàêëèíèâàíèÿ â òàêèõ ñèñòå-
ìàõ, ñôîðìóëèðîâàíû íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ, ïðè êîòîðûõ äàííûå ñèñòåìû äîïóñêàþò
çàêëèíèâàíèå. Äëÿ ñèñòåì, óäîâëåòâîðÿþùèõ ýòèì íåîáõîäèìûì óñëîâèÿì, äîêàçàíû
äâå òåîðåìû: 1) î íåîáõîäèìûõ óñëîâèÿõ è 2) î äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ, ïðè êîòîðûõ
òàêèå ñèñòåìû äîïóñêàþò çàêëèíèâàíèå.
152
Àíàëèòè÷åñêèå óñëîâèÿ çàêëèíèâàíèÿ â ñèñòåìàõ ñ ôðèêöèîííûìè êîíòàêòàìè
1. S. Simunovic. Force information in assembly processes // Proc. 5th International Symposium of Industrial
Robots. � 1975. � P. 415 � 431.
2. D.E. Whitney. Quasi-static assembly of compliantly supported rigid parts // J. of Dynamic Systems,
Measurement and Control. � 1982. � � 104. � P. 65 � 77.
3. M.T. Mason. 23. Assembly. Mechanics of Manipulation / Carnegie Mellon. � www.cs.rpi.edu/∼trink/
Courses/RobotManipulation/lectures/lecture23.pdf.
4. J.P. Baartman. Automation of assembly operations on parts. � www.wbmt.tudelft.nl/pto/research/
publications/Dissertation_Baartman/geom.frm.html.
5. M. Callegari, A. Suardi. On the force-controlled assembly operations of a new parallel kinematics mani-
pulator / Department of Mechanics, Universita Politecnica delle Marche, Ancona, Italy. � www.dipmec.
univpm.it/meccanica/www.sta�/articoli/2003%20MED%20Rhodes.pdf.
6. Æå÷åâ Ì.Ì., Ñêàòåíîê Ì.Â. Ìåõàíè÷åñêèå ñèñòåìû ñ êóëîíîâûì òðåíèåì, äîïóñêàþùèå çàêëèíè-
âàíèå // Òåõíè÷åñêàÿ ìåõàíèêà. � � 1. � 2005. � Ñ. 22 � 35.
7. Æå÷åâ Ì.Ì., Ñêàòåíîê Ì.Â. ßâëåíèå "wedging" â ñèñòåìàõ ñ ñóõèì òðåíèåì // Ìåõàíèêà òâåðäîãî
òåëà. � Âûï. 34. � 2005. � Ñ. 194 � 198.
8. P.E. Dupont and S.P. Yamajako. Jamming and Wedging in Constrained Rigid-body Dynamics // Proc.
IEEE Int. conf. on Robotics and Automation. � 1994. � P. 2349 � 2354.
9. Êîðí Ã., Êîðí Ò. Ñïðàâî÷íèê ïî ìàòåìàòèêå äëÿ íàó÷íûõ ðàáîòíèêîâ è èíæåíåðîâ. � Ì.: Íàóêà,
1978. � 832 ñ.
Èí-ò òåõí. ìåõàíèêè ÍÀÍÓ è ÍÊÀÓ, Äíåïðîïåòðîâñê
skatenok@yahoo.co.uk
Ïîëó÷åíî 25.10.05
153
|