Об описании торможения тела в потоке среды
На основе подхода к моделированию внутренней динамики потока среды с помощью введения дополнительной обобщенной координаты [1-3] обсуждается задача о последействии, возникающем при остановке тела типа тонкой пластины. Исследуется вопрос об управляемости и наблюдаемости системы и о возможности влияни...
Gespeichert in:
| Datum: | 2005 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Schriftenreihe: | Механика твердого тела |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123774 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Об описании торможения тела в потоке среды / В.А. Самсонов, Ю.Д. Селюцкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 154-159. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123774 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237742017-09-10T03:04:55Z Об описании торможения тела в потоке среды Самсонов, В.А. Селюцкий, Ю.Д. На основе подхода к моделированию внутренней динамики потока среды с помощью введения дополнительной обобщенной координаты [1-3] обсуждается задача о последействии, возникающем при остановке тела типа тонкой пластины. Исследуется вопрос об управляемости и наблюдаемости системы и о возможности влияния на последействие. 2005 Article Об описании торможения тела в потоке среды / В.А. Самсонов, Ю.Д. Селюцкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 154-159. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123774 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
На основе подхода к моделированию внутренней динамики потока среды с помощью введения дополнительной обобщенной координаты [1-3] обсуждается задача о последействии, возникающем при остановке тела типа тонкой пластины. Исследуется вопрос об управляемости и наблюдаемости системы и о возможности влияния на последействие. |
| format |
Article |
| author |
Самсонов, В.А. Селюцкий, Ю.Д. |
| spellingShingle |
Самсонов, В.А. Селюцкий, Ю.Д. Об описании торможения тела в потоке среды Механика твердого тела |
| author_facet |
Самсонов, В.А. Селюцкий, Ю.Д. |
| author_sort |
Самсонов, В.А. |
| title |
Об описании торможения тела в потоке среды |
| title_short |
Об описании торможения тела в потоке среды |
| title_full |
Об описании торможения тела в потоке среды |
| title_fullStr |
Об описании торможения тела в потоке среды |
| title_full_unstemmed |
Об описании торможения тела в потоке среды |
| title_sort |
об описании торможения тела в потоке среды |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123774 |
| citation_txt |
Об описании торможения тела в потоке среды / В.А. Самсонов, Ю.Д. Селюцкий // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 154-159. — Бібліогр.: 6 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT samsonovva obopisaniitormoženiâtelavpotokesredy AT selûckijûd obopisaniitormoženiâtelavpotokesredy |
| first_indexed |
2025-07-09T00:16:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:16:04Z |
| _version_ |
1837126318215397376 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 531.38
c©2005. Â.À. Ñàìñîíîâ, Þ.Ä. Ñåëþöêèé
ÎÁ ÎÏÈÑÀÍÈÈ ÒÎÐÌÎÆÅÍÈß ÒÅËÀ Â ÏÎÒÎÊÅ ÑÐÅÄÛ
Íà îñíîâå ïîäõîäà ê ìîäåëèðîâàíèþ âíóòðåííåé äèíàìèêè ïîòîêà ñðåäû ñ ïîìîùüþ ââåäåíèÿ äîïîë-
íèòåëüíîé îáîáùåííîé êîîðäèíàòû [1-3] îáñóæäàåòñÿ çàäà÷à î ïîñëåäåéñòâèè, âîçíèêàþùåì ïðè îñòà-
íîâêå òåëà òèïà òîíêîé ïëàñòèíû. Èññëåäóåòñÿ âîïðîñ îá óïðàâëÿåìîñòè è íàáëþäàåìîñòè ñèñòåìû è
î âîçìîæíîñòè âëèÿíèÿ íà ïîñëåäåéñòâèå.
1. Îïèñàíèå ìîäåëè. Ðàññìîòðèì òåëî-êðûëî, èìåþùåå ôîðìó, áëèçêóþ ê ïëîñ-
êîé ïðÿìîóãîëüíîé ïëàñòèíå è îáëàäàþùåå äâóìÿ âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïëîñ-
êîñòÿìè ñèììåòðèè. Ïóñòü òåëî ïîìåùåíî â íåîãðàíè÷åííûé îáúåì ñîïðîòèâëÿþùåéñÿ
ñðåäû, ïîêîÿùåéñÿ íà áåñêîíå÷íîñòè. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî äâèæåòñÿ ïîñòóïàòåëüíî
ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ V â íàïðàâëåíèè, ïàðàëëåëüíîì ïðÿìîé, îáðàçîâàííîé ïåðåñå-
÷åíèåì ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè òåëà.
Ââåäåì íåïîäâèæíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò Oxy, îñü àáñöèññ êîòîðîé íàïðàâèì âäîëü
âåêòîðà V , îñü îðäèíàò � ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ïëàñòèíû. Áóäåì õàðàêòåðèçî-
âàòü ïîëîæåíèå òåëà êîîðäèíàòàìè x = V t, y åãî öåíòðà ìàññ.
Ïóñòü, ïîìèìî óêàçàííîãî ¾îñíîâíîãî¿ äâèæåíèÿ, òåëî äâèãàåòñÿ ñ íåêîòîðîé, âî-
îáùå ãîâîðÿ, ïåðåìåííîé ñêîðîñòüþ ẏ â íàïðàâëåíèè, ïåðïåíäèêóëÿðíîì V . Áóäåì
ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ýòî äîïîëíèòåëüíîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ ìåäëåííûì (ẏ ¿ V ). Ýòî
ïðåäïîëîæåíèå ïîçâîëÿåò îãðàíè÷èòüñÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ëèíåéíûì ïîäõîäîì.
Îãðàíè÷èìñÿ ðàññìîòðåíèåì òîëüêî ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïëàñòèíå ñîñòàâëÿþùåé àýðî-
äèíàìè÷åñêîé ñèëû (òàê íàçûâàåìîé íîðìàëüíîé ñèëû).
Êàê èçâåñòíî, ïðè ïðîèçâîëüíîì äâèæåíèè òâåðäîãî òåëà â èäåàëüíîé æèäêîñòè,
ñîâåðøàþùåé áåçâèõðåâîå áåçîòðûâíîå ïîòåíöèàëüíîå òå÷åíèå, êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
Tf , ñîîáùåííàÿ æèäêîñòè òåëîì, âûðàæàåòñÿ ÷åðåç êîìïîíåíòû ñêîðîñòè è óãëîâîé
ñêîðîñòè òåëà ñ ïîìîùüþ òåíçîðà Λ ïðèñîåäèíåííûõ ìàññ:
Tf = VT ΛV, (1)
ãäå âåêòîð-ñòðîêà VT =
(
Vx Vy Vz Ωx Ωy Ωz
)
ñîñòàâëåí èç êîìïîíåíòîâ Vx,y,z ñêî-
ðîñòè íåêîòîðîé òî÷êè òåëà è êîìïîíåíòîâ Ωx,y,z óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà.
Çíà÷åíèÿ êîìïîíåíòîâ òåíçîðà ïðèñîåäèíåííûõ ìàññ ñóùåñòâåííî çàâèñÿò îò âû-
áîðà ñèñòåìû êîîðäèíàò, ñâÿçàííîé ñ òåëîì. Âûáåðåì òàê íàçûâàåìóþ ãëàâíóþ ñèñòåìó
êîîðäèíàò (ïðè ïîñòóïàòåëüíîì ïåðåìåùåíèè âäîëü åå îñåé âåêòîðû êîëè÷åñòâà äâèæå-
íèÿ òåëà è ñðåäû ïàðàëëåëüíû).  äàííîì ñëó÷àå îäíà èç ãëàâíûõ îñåé ξ íàïðàâëåíà ïî
ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé ñèììåòðèè, à îñü η ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ïëàñòè-
íû. Íà÷àëî ñèñòåìû êîîðäèíàò ïîìåñòèì â òî÷êó C, ñîâïàäàþùóþ ñ öåíòðîì äàâëåíèÿ
ñîîòâåòñòâóþùåãî ñå÷åíèÿ êðûëà.
Ïðè òàêîì âûáîðå êîîðäèíàòíûõ îñåé ñ ó÷åòîì òîãî, ÷òî òåëî îáëàäàåò äâóìÿ ïëîñ-
êîñòÿìè ñèììåòðèè è ñîâåðøàåò ïëîñêîïàðàëëåëüíîå äâèæåíèå, èç 36 êîìïîíåíòîâ òåí-
çîðà ïðèñîåäèíåííûõ ìàññ îòëè÷íûìè îò íóëÿ îêàçûâàþòñÿ òîëüêî 4. Ïîñêîëüêó äâè-
æåíèå òåëà ÿâëÿåòñÿ ïîñòóïàòåëüíûì, âûðàæåíèå äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïðèíèìàåò
154
Îá îïèñàíèè òîðìîæåíèÿ òåëà â ïîòîêå ñðåäû
âèä:
Tf = m11V
2 + m22ẏ
2.
Îäíàêî äëÿ ðåàëüíîé ñðåäû ñîîòíîøåíèå (1) íå èìååò ìåñòà. Ýòî ñâÿçàíî ñ òåì
îáñòîÿòåëüñòâîì, ÷òî ïîëÿ ñêîðîñòåé, èíäóöèðîâàííûå îäíèì è òåì æå äâèæåíèåì òåëà
â ðåàëüíîé è â èäåàëüíîé æèäêîñòè, îòëè÷àþòñÿ. ×òîáû èíòåãðàëüíûì îáðàçîì îïèñàòü
ýòî îòëè÷èå, ââåäåì äîïîëíèòåëüíóþ îáîáùåííóþ ñêîðîñòü η̇:
Tf = m11V
2 + m22(ẏ + η̇)2.
Çíà÷åíèå êîîðäèíàòû η îïðåäåëÿåòñÿ ïóòåì èíòåãðèðîâàíèÿ.
Îïèøåì îáîáùåííûå ñèëû, ñîîòâåòñòâóþùèå îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì ñèñòåìû.
Çàìåòèì, ÷òî ïðè ìîäåëèðîâàíèè áåñêîíå÷íîìåðíîé ñèñòåìû ñ ïîìîùüþ êîíå÷íîìåðíîé
ìîäåëè ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ çàìåíÿþòñÿ ñâÿçÿìè è, ñîîòâåòñòâåííî, íåîáõîäèìî ââîäèòü
ðåàêöèè ñâÿçåé.  äàííîì ñëó÷àå èõ äâå: Q1 � ðåàêöèÿ íà ãðàíèöå òåëà ñ æèäêîñòüþ
è Q2 � ðåàêöèÿ íà áåñêîíå÷íî óäàëåííîé ãðàíèöå æèäêîñòè. Êàæåòñÿ åñòåñòâåííûì
ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ïåðâàÿ èç íèõ çàâèñèò îò îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ òåëà è æèäêîñòè
(ò.å. îò η, η̇), à âòîðàÿ � îò ñêîðîñòè ïðèñîåäèíåííîãî îáúåêòà îòíîñèòåëüíî áåñêîíå÷íî
óäàëåííîé ãðàíèöû (ò.å. îò ẏ + η̇). Èíûìè ñëîâàìè,
Q1 = −kη − hη̇, Q2 = C(ẏ + η̇).
Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû ¾òåëî+æèäêîñòü¿ (îãðàíè÷èìñÿ òîëü-
êî óðàâíåíèÿìè, îòâå÷àþùèìè îáîáùåííûì êîîðäèíàòàì y è η):
m22(η̈ + ÿ) = −kη − hη̇ − C(ẏ + η̇),
Mÿ = kη + hη̇ + Fy.
Çäåñü M � ìàññà òåëà, Fy � âíåøíÿÿ ñèëà íåàýðîäèíàìè÷åñêîé ïðèðîäû (íàïðèìåð,
âûíóæäàþùàÿ èëè óïðàâëÿþùàÿ). Äàëåå äëÿ ïðîñòîòû áóäåì îáîçíà÷àòü m22 ÷åðåç m.
Âûáåðåì åäèíèöû èçìåðåíèÿ òàê, ÷òîáû V = 1, b = 1, ρS/2 = 1, ãäå b � äëèíà
õîðäû êðûëà (äëèíà êîðîòêîé ñòîðîíû ïëàñòèíû), ρ � ïëîòíîñòü ñðåäû, S � ïëîùàäü
ïëàñòèíû.
 ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå (ẏ ≡ u0 = const, η̇ = 0) èìååì
0 = −kη − Cu0,
0 = kη + Fy.
Âûíóæäàþùàÿ ñèëà â äàííîì ñëó÷àå ðàâíà èçìåðÿåìîé "ñòàòè÷åñêîé"àýðîäèíàìè÷åñêîé
ñèëå, ò.å. Fy = −Cα
n α, ãäå Cα
n− ïðîèçâîäíàÿ ñòàòè÷åñêîãî êîýôôèöèåíòà íîðìàëüíîé
ñèëû ïî óãëó àòàêè. Ïðè ðàññìàòðèâàåìîì äâèæåíèè α ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óãîë ìåæäó
àáñîëþòíîé ñêîðîñòüþ êðûëà è õîðäîé, ò.å. α = −ẏ.
Òàêèì îáðàçîì, èìååì îêîí÷àòåëüíî
m(η̈ + ÿ) = −kη − hη̇ − Cα
n (ẏ + η̇),
Mÿ = kη + hη̇ + Fy.
(2)
155
Â.À. Ñàìñîíîâ, Þ.Ä. Ñåëþöêèé
Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ m è Cα
n èçâåñòíû (ìîãóò áûòü ýêñïåðèìåíòàëüíî îïðåäåëåíû
èëè ðàññ÷èòàíû) äëÿ òåëà êîíêðåòíîé ôîðìû. Çíà÷åíèÿ îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ðàçðà-
áîòàííîé ìîäåëè (k è h) áûëè îïðåäåëåíû íà îñíîâå àíàëèçà äàííûõ ðàçëè÷íûõ ýêñ-
ïåðèìåíòîâ, ïðîâåäåííûõ â ÖÀÃÈ [4-5] è äðóãèõ îðãàíèçàöèÿõ. Â ýòèõ ýêñïåðèìåíòàõ
èññëåäîâàëèñü ïîñòóïàòåëüíûå ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (y(t) = a cos Ωt). Èçìåðåííàÿ
íîðìàëüíàÿ ñèëà ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ îïèñûâàëàñü îäíîé ãàðìîíèêîé (÷òî ñâè-
äåòåëüñòâóåò î ïðàâîìåðíîñòè èñïîëüçîâàíèÿ ïðè ìîäåëèðîâàíèè ëèíåéíîé ñèñòåìû):
Cn(t) = An sin Ωt + Bn cos Ωt. ßñíî, ÷òî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ k è h äëÿ êàæäîãî îò-
äåëüíîãî ýêñïåðèìåíòà ìîæíî ïîäîáðàòü òàê, ÷òîáû îáåñïå÷èòü íóæíûå âåëè÷èíû An
è Bn. Îêàçàëîñü, îäíàêî, ÷òî ìîæíî ïðåäëîæèòü íåêèé íàáîð çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ
(k ∼ 2, h ∼ 12) ñðàçó äëÿ ñåðèè ýêñïåðèìåíòîâ. Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïðèâåäåíû íà ðèñ.
1, 2 (çäåñü êðåñòèêàìè è ðîìáèêàìè èçîáðàæåíû ýêñïåðèìåíòàëüíûå çíà÷åíèÿ, ïóíê-
òèðîì � êâàçèñòàòè÷åñêàÿ çàâèñèìîñòü, ñïëîøíîé ëèíèåé � ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòà ïî
ïðåäëîæåííîé ìîäåëè). Âèäíî, ÷òî îáñóæäàåìàÿ ìîäåëü ïðè òàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåò-
ðîâ îáåñïå÷èâàåò óäîâëåòâîðèòåëüíîå ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè äàæå
ïðè Ω ∼ 1.5.  òî æå âðåìÿ, ïîñêîëüêó â ðàìêàõ êâàçèñòàòè÷åñêîé ìîäåëè Bn ≡ 0, åå
êà÷åñòâî ñòàíîâèòñÿ íåóäîâëåòâîðèòåëüíûì óæå ïðè Ω > 0.4.
Ðèñ. 1
1) Cα
n = 2.8, a = 0.2, ýêñï. çíà÷. èçîáð.
ðîìáèêàìè;
2) Cα
n = 3.5, a = 0.286, ýêñï. çíà÷. èçîáð.
êðåñòèêàìè.
Ðèñ. 2
1) Cα
n = 3.8, a = 0.21, ýêñï. çíà÷. èçîáð.
ðîìáèêàìè;
2) Cα
n = 4.3, a = 0.15, ýêñï. çíà÷. èçîáð.
êðåñòèêàìè.
2. Î "ïîñëåäåéñòâèè". Ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû ñïðàâåäëèâû è äëÿ îáðàùåííîé
çàäà÷è, êîãäà ñðåäà èìååò ïîñòîÿííóþ ñêîðîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè (ò.å. êîãäà èìååòñÿ
ïîòîê ñðåäû), à òåëî ñîâåðøàåò ïîñòóïàòåëüíîå äâèæåíèå ïîïåðåê ïîòîêà.
156
Îá îïèñàíèè òîðìîæåíèÿ òåëà â ïîòîêå ñðåäû
 ñèëó èíåðöèîííîñòè ïîòîê ñðåäû ðåàãèðóåò íà èçìåíåíèÿ äâèæåíèÿ òåëà ñ íåêî-
òîðûì çàïàçäûâàíèåì.  ÷àñòíîñòè, ïðè ïåðåõîäå òåëà ñ îäíîãî óñòàíîâèâøåãîñÿ ðå-
æèìà äâèæåíèÿ íà äðóãîé (íàïðèìåð, ïðè ìãíîâåííîé îñòàíîâêå) âîçäåéñòâèå ïîòîêà
âûõîäèò íà óñòàíîâèâøååñÿ çíà÷åíèå íå ìãíîâåííî. Ýòîò ýôôåêò íàçûâàåòñÿ ïîñëåäåé-
ñòâèåì.
Îïèøåì ïîñëåäåéñòâèå, âîçíèêàþùåå ïîñëå ìãíîâåííîé îñòàíîâêè ïëàñòèíû, êîòî-
ðàÿ äî òîãî ñîâåðøàëà óñòàíîâèâøååñÿ äâèæåíèå ïîïåðåê ïîòîêà ñ ïîñòîÿííîé ñêîðî-
ñòüþ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òåëî-ïëàñòèíà ñîâåðøàåò äâèæåíèå ïî çàêîíó
ẏ(t) =
{
u0, t < 0,
0, 0 6 t.
(3)
Ïîñëå îñòàíîâêè òåëà ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (2) ïðèíèìàåò âèä:
mη̈ + (h + Cα
n )η̇ + kη = 0. (4)
Îòìåòèì, ÷òî ýòî óðàâíåíèå îïèñûâàåò äâèæåíèå, òàê ñêàçàòü, ïðèñîåäèíåííîãî îñöèë-
ëÿòîðà (ñ äåìïôèðîâàíèåì).
Íåòðóäíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ íîðìàëüíîé ñèëû, äåéñòâóþùåé íà ïëàñòèíó ïîñëå
îñòàíîâêè, èìååì:
Cn(t) =
2∑
i=1
(−1)i+1mλi + Cα
n
mλi
k + hλi
λ1 − λ2
eλit.
Çäåñü λ1,2 � êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî ïîëèíîìà äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (4).
Ïðè óêàçàííûõ âûøå çíà÷åíèÿõ k è h è ïðè Cα
n = 4, m = 1.57 èìååì λ1 ∼ −0.1,
λ2 ∼ −10. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïî÷òè äëÿ ëþáîãî t > 1 ñèëà ïîñëåäåéñòâèÿ íà èíòåðâàëå
(t, t + 10) óìåíüøàåòñÿ ïðèìåðíî â 3 ðàçà.
Ñîîòâåòñòâåííî, ìîæíî ïîñòàâèòü çàäà÷ó î ïîèñêå òàêîãî óïðàâëåíèÿ äâèæåíèåì
òåëà, êîòîðîå áû îáåñïå÷èëî â íåêîòîðûé êîíå÷íûé ìîìåíò îñòàíîâêó òåëà è îäíîâðå-
ìåííî "îñòàíîâêó"ñðåäû, òî÷íåå, îòñóòñòâèå ïîñëåäåéñòâèÿ ïîòîêà ñðåäû íà îñòàíîâèâ-
øååñÿ òåëî.
3. Óïðàâëÿåìîñòü è íàáëþäàåìîñòü ñèñòåìû. Çàäà÷à óïðàâëåíèÿ äâèæåíè-
åì òåëà â ïîòîêå îñëîæíÿåòñÿ äâóìÿ îáñòîÿòåëüñòâàìè. Âî-ïåðâûõ, íåïîñðåäñòâåííîå
óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå ìîæíî ïðèëîæèòü òîëüêî ê òåëó, à íå ê ñàìîìó ïðèñîåäè-
íåííîìó îñöèëëÿòîðó, èìèòèðóþùåìó âíóòðåííþþ äèíàìèêó ïîòîêà. Âî-âòîðûõ, èí-
ôîðìàöèÿ î ñîñòîÿíèè îñöèëëÿòîðà íåäîñòóïíà äëÿ íåïîñðåäñòâåííîãî èçìåðåíèÿ. Îíà
äîëæíà âîññòàíàâëèâàòüñÿ ñ ïðèâëå÷åíèåì çàìêíóòîé äèíàìè÷åñêîé ñèñòåìû.
Èññëåäóåì óïðàâëÿåìîñòü è íàáëþäàåìîñòü ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû â ïðåäïîëî-
æåíèè îá îòñóòñòâèè âíåøíèõ ñèë íåàýðîäèíàìè÷åñêîé ïðèðîäû.
Çàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â âèäå:
Ẏ = AY + Bu,
Z = HY,
(5)
ãäå
Y =
η
η̇
y
ẏ
, Z =
(
z1
z2
)
,
157
Â.À. Ñàìñîíîâ, Þ.Ä. Ñåëþöêèé
A =
0 1 0 0
− k
m
− k
M
−h + Cα
n
m
− h
M
0 −Cα
n
m
0 0 0 1
k
M
h
M
0 0
, B =
0
0
0
b
, H =
(
0 0 H13 H14
0 0 H23 H24
)
.
Àíàëèç [6] ìàòðèöû óïðàâëÿåìîñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî íåîáõîäèìîå è äîñòàòî÷íîå
óñëîâèå óïðàâëÿåìîñòè âûïîëíÿåòñÿ âñåãäà, åñëè b 6= 0 (ò.å., åñëè óïðàâëåíèå ïðèñóò-
ñòâóåò).
Äëÿ íàáëþäàåìîñòè ñèñòåìû íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû áûëà âûïîëíåíà îäíà
èç ñëåäóþùèõ ãðóïï óñëîâèé:
H13H24 −H23H14 6= 0, hCα
n −mk 6= 0, (6)
H23 = H24 = 0, H13 6= 0, H14/H13 6= −λ1,2, hCα
n −mk 6= 0. (7)
Òàêèì îáðàçîì, ïðè íàëè÷èè äâóõ êàíàëîâ íàáëþäåíèÿ (ìàòðèöà H íåâûðîæäåíà,
ãðóïïà óñëîâèé (6)) ðàññìàòðèâàåìàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ íàáëþäàåìîé, åñëè hCα
n −mk 6=
6= 0. Îäíàêî ýòî óñëîâèå âñåãäà âûïîëíåíî äëÿ òåë òèïà ïëîñêèõ ïëàñòèí, êîòîðûå èìå-
þò äîñòàòî÷íî âûñîêèé êîýôôèöèåíò íîðìàëüíîé ñèëû Cα
n è äëÿ êîòîðûõ ñîáñòâåííûå
âðåìåíà çàòóõàíèÿ ïðèñîåäèíåííîé ñèñòåìû ðàçíåñåíû (ýòî îçíà÷àåò, ÷òî h äîñòàòî÷íî
âåëèêî).
Ïðè íàëè÷èè ëèøü îäíîãî êàíàëà íàáëþäåíèÿ (ãðóïïà óñëîâèé (7)) íåîáõîäèìî,
÷òîáû íàáëþäàëîñü ïîëîæåíèå òåëà. Ëþáîïûòíî, ÷òî èíôîðìàöèÿ î ñêîðîñòè òåëà íå
ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîé, è, áîëåå òîãî, åå îäíîé íåäîñòàòî÷íî äëÿ íàáëþäàåìîñòè.
Òàêèì îáðàçîì, ïî÷òè âñåãäà èìååòñÿ âîçìîæíîñòü óïðàâëåíèÿ êàê äâèæåíèåì òå-
ëà, òàê è, â íåêîòîðîì ñìûñëå, ñîñòîÿíèåì ïîòîêà ñðåäû.
4. Óïðàâëåíèå ïîñëåäåéñòâèåì. Ïóñòü òåëî-êðûëî äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé
ñêîðîñòüþ V0 ïîïåðåê ïîòîêà. Äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøèìñÿ. Íàéäåì óïðàâëå-
Ðèñ. 3 Ðèñ. 4
íèå, îáåñïå÷èâàþùåå îòñóòñòâèå ïîñëåäåéñòâèÿ ïîñëå îñòàíîâêè êðûëà. Ïîëüçóÿñü òåì,
÷òî â ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å íà÷àëüíûå óñëîâèÿ è äëÿ êðûëà, è äëÿ ïðèñîåäèíåííî-
ãî îñöèëëÿòîðà èçâåñòíû, áóäåì ñòðîèòü ïðîãðàììíîå óïðàâëåíèå. Îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ
158
Îá îïèñàíèè òîðìîæåíèÿ òåëà â ïîòîêå ñðåäû
âàðèàíòàìè óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ.  ïåðâîì âàðèàíòå, òàê ñêàçàòü, êèíåìàòè÷å-
ñêîì, â êà÷åñòâå òàêîâîãî âûáåðåì ñêîðîñòü êðûëà, êîòîðóþ áóäåì ñ÷èòàòü êóñî÷íî-
ïîñòîÿííîé è ðàâíîé ïî ìîäóëþ V0. Âî âòîðîì � â êà÷åñòâå óïðàâëÿþùåãî âîçäåéñòâèÿ
âûáåðåì âûíóæäàþùóþ ñèëó, ïðèëîæåííóþ ê êðûëó, êîòîðóþ òàêæå áóäåì ïîëàãàòü
êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé è ïî ìîäóëþ ðàâíîé ñèëå, íåîáõîäèìîé äëÿ ïîääåðæàíèÿ èñõîäíîãî
äâèæåíèÿ êðûëà.
Ðàñ÷åò ïðîâîäèëñÿ ïðè ñëåäóþùèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ: m = 1.57, k = 2.0, h =
= 12.0, Cα
n = 4.0, V0 = 1, M = 5.  îáîèõ ñëó÷àÿõ ïîñòðîåíèå òðåáóåìîãî óïðàâëåíèÿ
îêàçûâàåòñÿ âîçìîæíûì.
Ðåçóëüòàòû äëÿ ïåðâîãî ñëó÷àÿ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñ. 3 (ãäå êðèâàÿ 1 � íîðìàëü-
íàÿ ñèëà ïðè âûáðàííîì óïðàâëåíèè ñêîðîñòüþ, à êðèâàÿ 2 � íîðìàëüíàÿ ñèëà ïîñëå
ìãíîâåííîé îñòàíîâêè). Âèäíî, ÷òî îñòàíîâêà è òåëà, è ïðèñîåäèíåííîãî îñöèëëÿòîðà
äîñòèãàåòñÿ óæå ïðè t ≈ 5.7.
Ðåçóëüòàòû äëÿ âòîðîãî âàðèàíòà óïðàâëåíèÿ èçîáðàæåíû íà ðèñ. 4. Êðèâàÿ 1 èçîá-
ðàæàåò óïðàâëÿþùóþ ñèëó, à êðèâàÿ 2 � íîðìàëüíóþ àýðîäèíàìè÷åñêóþ ñèëó, ñîïðî-
âîæäàþùóþ äàííîå óïðàâëåíèå.
Êðîìå òîãî, áûë ðàññìîòðåí ñëó÷àé ìàëîé ìàññû êðûëà. Ëþáîïûòíî, ÷òî ïðè ýòîì
óïðàâëåíèå ñ ïîìîùüþ ïîñòîÿííîé ñèëû ÿâëÿåòñÿ áîëåå ¾ýôôåêòèâíûì¿ â òîì ñìûñëå,
÷òî íà ïðèâåäåíèå êðûëà â ñîñòîÿíèå ïîêîÿ ïðè òàêîì óïðàâëåíèè òðåáóåòñÿ ìåíüøå
âðåìåíè (t ≈ 4.9), ÷åì ïðè óïðàâëåíèè ñ ïîìîùüþ êóñî÷íî-ïîñòîÿííîé ñêîðîñòè. Ýòî
ñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî íà áîëüøåé ÷àñòè èíòåðâàëà êèíåìàòè÷åñêîãî óïðàâëåíèÿ ïðèõîäèò-
ñÿ ïðèêëàäûâàòü ìåíüøóþ ïî âåëè÷èíå âûíóæäàþùóþ ñèëó (F ∼ 1.5).
 äàííîé ïîñòàíîâêå çàäà÷ó óïðàâëåíèÿ óäàëîñü äîñòàòî÷íî ïðîñòî ðàçðåøèòü áëà-
ãîäàðÿ àïðèîðíîé èíôîðìàöèè î íà÷àëüíûõ óñëîâèÿõ ïðèñîåäèíåííîé äèíàìè÷åñêîé
ñèñòåìû.  áîëåå îáùåì ñëó÷àå äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íåîáõîäèìî ñòðîèòü ñõåìó îïðåäå-
ëåíèÿ ýòèõ íà÷àëüíûõ óñëîâèé ïî íàáëþäàåìûì êîîðäèíàòå è ñêîðîñòè òåëà [6].
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ãðàíòû � 03-01-00190, � 05-08-01378) è
ïðîãðàììû "Óíèâåðñèòåòû Ðîññèè".
1. Ñàìñîíîâ Â.À., Ñåëþöêèé Þ.Ä. Î âîçìîæíîñòè ó÷åòà èíåðöèîííûõ ñâîéñòâ ïîòîêà ñðåäû, âîçäåé-
ñòâóþùåé íà òåëî. � Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 2000. � 40 ñ.
2. Ñàìñîíîâ Â.À., Ñåëþöêèé Þ.Ä. Î êîëåáàíèÿõ ïëàñòèíû â ïîòîêå ñîïðîòèâëÿþùåéñÿ ñðåäû // Èçâ.
ÐÀÍ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 2004. � � 4. � Ñ. 25-32.
3. Ñàìñîíîâ Â.À., Ñåëþöêèé Þ.Ä. Ôåíîìåíîëîãè÷åñêàÿ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ òåëà ñ ïîòîêîì ñðåäû
// Îò÷åò Èí-òà ìåõàíèêè ÌÃÓ. � 2005. � � 4737. � 38 ñ.
4. Ãðåáåøîâ Ý.Ï., Øàêàðâåíå Å.Ï. Íåñòàöèîíàðíûå õàðàêòåðèñòèêè òðåõ ïðÿìîóãîëüíûõ êðûëüåâ
ðàçëè÷íîãî óäëèíåíèÿ // Òð. ÖÀÃÈ. � 1989. � Âûï. 2485. � Ñ. 3-31.
5. Ìàõîðòûõ Ã.Â., Ùåãëîâà Ì.Ã. Ýêñïåðèìåíòàëüíîå èññëåäîâàíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðîèçâîäíûõ íîð-
ìàëüíîé ñèëû ïðÿìîóãîëüíûõ êðûëüåâ ïðè ïîñòóïàòåëüíûõ êîëåáàíèÿõ // Ó÷. çàïèñêè ÖÀÃÈ. �
1990. � XXI. � 1. � Ñ. 11-40.
6. Àëåêñàíäðîâ Â.Â., Çëî÷åâñêèé Ñ.È., Ëåìàê Ñ.Ñ., Ïàðóñíèêîâ Í.À. Ââåäåíèå â äèíàìèêó óïðàâëÿ-
åìûõ ñèñòåì. � Ì.: Èçä-âî ÌÃÓ, 1993. � 181 ñ.
Èí-ò ìåõàíèêè ÌÃÓ, Ìîñêâà
samson@imec.msu.ru, seliutski@imec.msu.ru
Ïîëó÷åíî 14.11.05
159
|