Конечномерная модель замкнутого упругого стержня

Рассмотрена система n твердых тел, образующих замкнутую цепь |1|. Тела связаны упругими сферическими шарнирами. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и крутильные деформации моделируемого упругого объекта. Полагалось, что моделируемая упругая система физически линейна, но геометрически не...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2005
Автори:	Болграбская, И.А., Щепин, Н.Н.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Назва видання:	Механика твердого тела
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123776
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 167-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123776
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237762017-09-10T03:04:53Z Конечномерная модель замкнутого упругого стержня Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. Рассмотрена система n твердых тел, образующих замкнутую цепь \|1\|. Тела связаны упругими сферическими шарнирами. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и крутильные деформации моделируемого упругого объекта. Полагалось, что моделируемая упругая система физически линейна, но геометрически нелинейна. Такой подход позволяет изучать системы с учетом больших прогибов. Получены нелинейные уравнения движения введенной системы связанных тел в предположении отсутствия внешних сил и моментов. Найдены положения равновесия изучаемой системы. Детально изучен случай, когда ось моделируемого упругого стержня является замкнутой плоской кривой. Для этого случая в явном виде найдено частное решение, в котором ось симметрии замкнутой цепи твердых тел при n → ∞ совпадает с осью упругого стержня, моделирующего кольцевую молекулу. 2005 Article Конечномерная модель замкнутого упругого стержня / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 167-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123776 531.38 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена система n твердых тел, образующих замкнутую цепь \|1\|. Тела связаны упругими сферическими шарнирами. Такие шарниры позволяют учесть как изгибные, так и крутильные деформации моделируемого упругого объекта. Полагалось, что моделируемая упругая система физически линейна, но геометрически нелинейна. Такой подход позволяет изучать системы с учетом больших прогибов. Получены нелинейные уравнения движения введенной системы связанных тел в предположении отсутствия внешних сил и моментов. Найдены положения равновесия изучаемой системы. Детально изучен случай, когда ось моделируемого упругого стержня является замкнутой плоской кривой. Для этого случая в явном виде найдено частное решение, в котором ось симметрии замкнутой цепи твердых тел при n → ∞ совпадает с осью упругого стержня, моделирующего кольцевую молекулу.
format	Article
author	Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н.
spellingShingle	Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н. Конечномерная модель замкнутого упругого стержня Механика твердого тела
author_facet	Болграбская, И.А. Щепин, Н.Н.
author_sort	Болграбская, И.А.
title	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
title_short	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
title_full	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
title_fullStr	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
title_full_unstemmed	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня
title_sort	конечномерная модель замкнутого упругого стержня
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123776
citation_txt	Конечномерная модель замкнутого упругого стержня / И.А. Болграбская, Н.Н. Щепин // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 167-173. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT bolgrabskaâia konečnomernaâmodelʹzamknutogouprugogosteržnâ AT ŝepinnn konečnomernaâmodelʹzamknutogouprugogosteržnâ
first_indexed	2025-07-09T00:16:20Z
last_indexed	2025-07-09T00:16:20Z
_version_	1837126331006976000
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35 ÓÄÊ 531.38 c©2005. È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí ÊÎÍÅ×ÍÎÌÅÐÍÀß ÌÎÄÅËÜ ÇÀÌÊÍÓÒÎÃÎ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÑÒÅÐÆÍß Ðàññìîòðåíà ñèñòåìà n òâåðäûõ òåë, îáðàçóþùèõ çàìêíóòóþ öåïü [1]. Òåëà ñâÿçàíû óïðóãèìè ñôåðè- ÷åñêèìè øàðíèðàìè. Òàêèå øàðíèðû ïîçâîëÿþò ó÷åñòü êàê èçãèáíûå, òàê è êðóòèëüíûå äåôîðìàöèè ìîäåëèðóåìîãî óïðóãîãî îáúåêòà. Ïîëàãàëîñü, ÷òî ìîäåëèðóåìàÿ óïðóãàÿ ñèñòåìà ôèçè÷åñêè ëèíåéíà, íî ãåîìåòðè÷åñêè íåëèíåéíà. Òàêîé ïîäõîä ïîçâîëÿåò èçó÷àòü ñèñòåìû ñ ó÷åòîì áîëüøèõ ïðîãèáîâ. Ïîëó÷åíû íåëèíåéíûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ââåäåííîé ñèñòåìû ñâÿçàííûõ òåë â ïðåäïîëîæåíèè îòñóò- ñòâèÿ âíåøíèõ ñèë è ìîìåíòîâ. Íàéäåíû ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû. Äåòàëüíî èçó÷åí ñëó÷àé, êîãäà îñü ìîäåëèðóåìîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ çàìêíóòîé ïëîñêîé êðèâîé. Äëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ â ÿâíîì âèäå íàéäåíî ÷àñòíîå ðåøåíèå, â êîòîðîì îñü ñèììåòðèè çàìêíóòîé öåïè òâåðäûõ òåë ïðè n→∞ ñîâïàäàåò ñ îñüþ óïðóãîãî ñòåðæíÿ, ìîäåëèðóþùåãî êîëüöåâóþ ìîëåêóëó. Ââåäåíèå. Èñïîëüçîâàíèå ñèñòåì òâåðäûõ òåë, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè óíèâåðñàëü- íûìè øàðíèðàìè, äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ êîëåáàíèé óïðóãèõ áàëî÷íûõ ñèñòåì ïîçâîëèëî â ðÿäå çàäà÷ ïîëó÷èòü îáîçðèìûå àíàëèòè÷åñêèå îöåíêè [2 � 4]. Îñîáî ñëåäóåò îòìåòèòü êîíñòðóêòèâíûé àëãîðèòì, ïðåäëîæåííûé â [5], êîòîðûé ïîçâîëÿåò íàõîäèòü ðåçîíàíñ- íûå ñêîðîñòè âðàùåíèÿ, ïðè÷åì â ñëó÷àå n = 1, 2, 3 íèçøèå ðåçîíàíñíûå ñêîðîñòè ìîãóò áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå êàê ôóíêöèè ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû. Îñíîâíîé îñîáåííîñòüþ áàëî÷íîé òåîðèè è, êàê ñëåäñòâèå, åå êîíå÷íîìåðíîãî àíàëîãà ÿâëÿåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå î ìàëîñòè îòíîñèòåëüíûõ ïðîãèáîâ, ÷òî â ñëó÷àå êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè îçíà÷àåò ìà- ëîñòü îòíîñèòåëüíûõ óãëîâ ïîâîðîòà. Îäíàêî â ðÿäå çàäà÷, ãäå ïðîãèáû äîñòèãàþò çíà÷èòåëüíîé âåëè÷èíû, áàëî÷íàÿ òåîðèÿ íå ðàáîòàåò, à èñïîëüçóåòñÿ òåîðèÿ óïðóãèõ ñòåðæíåé, ó÷èòûâàþùàÿ èõ ãåîìåò- ðè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü. Îäíèì èç èíòåðåñíûõ ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé, ïîëó÷èâøèõ ðàçâèòèå â ïîñëåäíèå ãîäû, ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå óïðóãèõ ñòåðæíåé ïðè ìîäåëèðîâà- íèè òðåòè÷íîé ñòðóêòóðû ìîëåêóëû ÄÍÊ. Óñòàíîâëåíî [6 � 8], ÷òî ýòè ìîëåêóëû ìîãóò èìåòü êàê íåçàìêíóòóþ, òàê è çàìêíóòóþ ôîðìû. Êàê îòìå÷åíî â [7], íàèáîëåå óäîá- íûìè äëÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûõ èññëåäîâàíèé ÿâëÿþòñÿ êîëüöåâûå ìîëåêóëû. Èññëåäî- âàíèþ ãåîìåòðèè êîëüöåâûõ ìîëåêóë ñ èñïîëüçîâàíèåì ñòåðæíåâîé ìîäåëè ïîñâÿùåíû ðàáîòû [6 � 8]. Îòìå÷åííîå âûøå óñïåøíîå ïðèìåíåíèå êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè ïðè èçó÷åíèè äè- íàìèêè áàëî÷íûõ êîíñòðóêöèé äàåò âîçìîæíîñòü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî îíà äàñò ðÿä ïðå- èìóùåñòâ è ïðè èçó÷åíèè äèíàìèêè íåëèíåéíûõ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì. Íàñòîÿùàÿ ðàáî- òà ïîñâÿùåíà èçó÷åíèþ êîíå÷íîìåðíîé ìîäåëè çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ ñ ó÷åòîì íåëèíåéíîñòè óïðóãèõ ïðîãèáîâ. 1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Êèíåìàòè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ. Ðàññìîòðèì ñèñòåìó n îäèíàêîâûõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà, ñâÿçàííûõ óïðóãèìè ñôåðè÷åñêèìè øàðíèðàìè, ðàñïîëîæåííûìè â òî÷êàõ Ok ïåðåñå÷åíèÿ îñåé ñèììåòðèè ãèðîñêîïîâ (ñì. ðèñ. 1). Òàêèå øàðíèðû ïîçâîëÿþò ó÷èòûâàòü â ñî÷ëåíåíèÿõ óïðóãîñòü êàê èçãèáà, òàê è êðó- ÷åíèÿ. Ïîëàãàåì, ÷òî âíåøíèå ñèëû è ìîìåíòû îòñóòñòâóþò, è, êàê ñëåäñòâèå ýòîãî, îáùèé öåíòð ìàññ ñèñòåìû òåë C íåïîäâèæåí. Ñâÿæåì ñ êàæäûì òåëîì Sk ñèñòåìó êîîðäèíàò CkXkYkZk (îðòû ei k; k = 1, n; i = 1, 2, 3), ãäå Ck � öåíòð ìàññ òåëà Sk, à îñü CkZk íàïðàâëåíà âäîëü îñè ñèììåòðèè òåëà. 167 È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî öåíòð ìàññ Ck ðàñïîëîæåí â öåíòðå îñè ñèììåòðèè òåëà è OkOk+1 = 2OkCk = 2c. (1) Äëÿ çàìêíóòûõ ñèñòåì äîëæíî âû- Ðèñ. 1. Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà òåë. ïîëíÿòüñÿ óñëîâèå O1 = On+1, êîòîðîå ñ ó÷åòîì (1) ïðèâîäèò ê ðàâåíñòâó n∑ k=1 OkOk+1 = 2c n∑ k=1 e3 k = 0. (2) Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå ñèñòåìû êîîðäè- íàò CkXkYkZk ïî îòíîøåíèþ ê èíåðöè- àëüíîé CXY Z óãëàìè Êðûëîâà ψk, θk, ϕk. Òîãäà èç (2) ñëåäóþò òðè ñêàëÿðíûõ ñî- îòíîøåíèÿ: f1 = n∑ k=1 sinψk cos θk = 0, f2 = n∑ k=1 sin θk = 0, f3 = n∑ k=1 cosψk cos θk = 0. (3) Îáîçíà÷èì ÷åðåç rkc ðàññòîÿíèå îò Ck äî íåïîäâèæíîãî öåíòðà C. Ïî îïðåäåëåíèþ öåíòðà ìàññ ñèñòåìû n îäèíàêîâûõ òåë èìååì n∑ k=1 rkc = 0. (4) Èç âåêòîðíîãî ìíîãîóãîëüíèêà (ðèñ. 1) ñ ó÷åòîì (1) ñëåäóåò r2c = r1c + c(e3 1 + e3 2), rkc = r1c + c(e3 1 + e3 k) + 2c k−1∑ i=2 e3 i (k ≥ 3). (5) Èç (4) è (5) îïðåäåëÿåì rkc = c { −e3 k + 1 n k∑ i=1 (2i− 1)e3 i − 1 n n∑ i=k+1 [2(n− i) + 1] e3 i } , (k = 1, n− 1), (6) rnc = c [ −e3 n + 1 n n∑ i=1 (2i− 1)e3 i ] . Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû èìååò âèä T = 1 2 n∑ k=1 [ mṙ2 kc + A(p2 k + q2 k) +Br2 k ] , (7) 168 Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ ãäå m � ìàññà òåëà Sk, A,B � ñîîòâåòñòâåííî åãî ýêâàòîðèàëüíûé è îñåâîé ìîìåíòû èíåðöèè, pk, qk, rk � êîìïîíåíòû àáñîëþòíîé óãëîâîé ñêîðîñòè òåëà Sk, êîòîðûå âûðà- æàþòñÿ ÷åðåç óãëû ψk, θk, ϕk: pk = ψ̇k cos θk sinϕk + θ̇k cosϕk, qk = ψ̇k cos θk cosϕk − θ̇k sinϕk, rk = ϕ̇k − ψ̇k sin θk. (8) Ïîñëå äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (6) ñ ó÷åòîì (8) âûðàæåíèå (7) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó T = 1 2 n∑ j=1 [ A ′ (ψ̇2 j cos2 θj + θ̇2 j ) +B(ϕ̇j − ψ̇j sin θj) 2 +mc2 ( j∑ i=1 bijAij + n∑ i=j+1 cijAij )] . (9) Çäåñü A ′ = A+mc2; Aij = θ̇iθ̇j cos θi cos θj + (θ̇iθ̇j sin θi sin θj + ψ̇iψ̇j cos θi cos θj) cos(ψj − ψi)+ +(θ̇iψ̇j sin θi cos θj − θ̇jψ̇i cos θi sin θj) sin(ψj − ψi); bij = 4(i− 1) + 1 n [2j − 1− 2i(2i− 1)] + 1 n2 (2j − 1)(2i− 1)(i− j); cij = 4j + 1 n (4j2 + 2j + 2i− 8ij − 1) + 1 n2 (i− j)(2i− 1)(2j − 1). Ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ñèñòåìû ïðåäñòàâèì â âèäå Π = 1 2 n∑ k=1 [ k1(κ2 1k + κ2 2k) + k2κ2 3k ] , (10) ãäå k1, k2 � ñîîòâåòñòâåííî æåñòêîñòè èçãèáà è êðó÷åíèÿ, à κ1k = (ψk − ψk−1) cos θk sinϕk + (θk − θk−1) cosϕk, κ2k = (ψk − ψk−1) cos θk cosϕk − (θk − θk−1) sinϕk, (11) κ3k = ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk. Òàêîé âûáîð ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïîçâîëÿåò ó÷åñòü ãåîìåòðè÷åñêóþ íåëèíåéíîñòü îáúåêòà â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî óãëû ψk, θk, ϕk ìîãóò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíûå çíà÷å- íèÿ, à èõ ðàçíîñòè ìàëû. Èç (11) ïðè n → ∞ (h → 0) ïîëó÷àåì, ÷òî hκik(i = 1, 2, 3) ñîâïàäàþò ñ êîìïîíåíòàìè âåêòîðà Äàðáó, à ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ (10) � ñ ïîòåíöè- àëüíîé ýíåðãèåé óïðóãîãî ñòåðæíÿ [9]. Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (11) â (10) èìååì Π = 1 2 n∑ k=1 {k1[(ψk−ψk−1) 2 cos2 θk +(θk−θk−1) 2]+k2[ϕk−ϕk−1− (ψk−ψk−1) sin θk] 2}. (12) Â (12) âõîäÿò çíà÷åíèÿ óãëîâ ψ0, θ0, ϕ0, êîòîðûå â ñëó÷àå çàìêíóòûõ ñèñòåì (ïðè ýòîì ïîëàãàåì On+1 = O1) òàêîâû: ψ0 = ψn − 2π; θ0 = θn − 2π; ϕ0 = ϕn − 2π (13) 169 È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí 2. Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû â ôîðìå óðàâ- íåíèé Ëàãðàíæà âòîðîãî ðîäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îáîáùåííûå êîîðäèíàòû qi(ψi, θi, ϕi) óäî- âëåòâîðÿþò äîïîëíèòåëüíûì óñëîâèÿì (3). Òîãäà ýòè óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì [10]: d dt ∂T ∂q̇i − ∂T ∂qi + ∂Π ∂qi − 3∑ k=1 λk ∂fk ∂qi = 0, (14) ãäå λk (k = 1, 2, 3) � ìíîæèòåëè Ëàãðàíæà. Ïîäñòàâëÿÿ â (14) âûðàæåíèÿ (3), (9), (12), ïîëó÷àåì ψ̈k(A ′ cos2 θk +B sin2 θk)−Bϕ̈k sin θk + ψ̇kθ̇k(B − A ′ ) sin 2θk −Bϕ̇kθ̇k cos θk+ +µ cos θk{(2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j + 1)Fkj + (2n− 2k + 1) k∑ j=1 (2j − 1)Fkj}+ +k1[(ψk − ψk−1) cos2 θk − (ψk+1 − ψk) cos2 θk+1]− k2{sin θk[ϕk − ϕk−1− −(ψk − ψk−1) sin θk]− sin θk+1[ϕk+1 − ϕk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+ +λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0 (k = 1, n); A′[θ̈k + ψ̇2 k cos θk sin θk] +Bψ̇k(ϕ̇k − ψ̇k sin θk) cos θk + µ{(2k − 1) n∑ j=k+1 (2n− 2j+ (15) +1)Gkj + (2n− 2k + 1) k∑ j=1 (2j − 1)Gkj} − k1[sin 2θk(ψk − ψk−1) 2/2+ +θk+1 − 2θk + θk−1]− k2 cos θk[ϕk − ϕk−1 − (ψk − ψk−1) sin θk]+ +λ1 sinψk sin θk + λ2 cos θk − λ3 cosψk sin θk = 0 (k = 1, n); B[ϕ̈k − ψ̈k sin θk − ψ̇kθ̇k cos θk]− k2[ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 + (ψk − ψk−1) sin θk− −(ψk+1 − ψk) sin θk+1] = 0 (k = 1, n). Çäåñü µ = mc2/n, ψn+1 = ψ1 + 2π, θn+1 = θ1 + 2π, ϕn+1 = ϕ1 + 2π; Fkj = ψ̈j cos θj cos(ψk − ψj) + θ̈j sin θj sin(ψk − ψj)− 2ψ̇j θ̇j sin θj cos(ψk − ψj)+ +(θ̇2 j + ψ̇2 j ) cos θj sin(ψk − ψj); Gkj = θ̈j[cos θj cos θk + sin θj sin θk cos(ψk − ψj)]− ψ̈j cos θj sin θk sin(ψk − ψj)+ +θ̇2 j [cos θj sin θk cos(ψk − ψj)− sin θj cos θk] + 2ψ̇j θ̇j sin θj sin θk sin(ψk − ψj)+ +ψ̇2 j cos θj sin θk cos(ψk − ψj) Ñèñòåìà (3), (15) ïðåäñòàâëÿåò çàìêíóòóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî íåèç- âåñòíûõ ψk, θk, ϕk (k = 1, n), λs (s = 1, 2, 3). 170 Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ 3. Ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû. Ïëîñêèé ñëó÷àé. Îïðåäåëèì ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ èçó÷àåìîé ñèñòåìû, ïîëîæèâ â óðàâíåíèÿõ (15) ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ îáîá- ùåííûõ êîîðäèíàò ψk, θk, ϕk (k = 1, n) ðàâíûìè íóëþ. Òîãäà ýòè êîîðäèíàòû äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå (3) è óðàâíåíèÿì k1[(ψk − ψk−1) cos2 θk − (ψk+1 − ψk) cos2 θk+1] + k2{− sin θk[ϕk − ϕk−1− −(ψk − ψk−1) sin θk] + sin θk+1[ϕk+1 − ϕk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1]}+ +λ1 cosψk cos θk − λ3 sinψk cos θk = 0; k1[sin 2θk(ψk − ψk−1) 2/2 + θk+1 − 2θk + θk−1] + k2 cos θk[ϕk − ϕk−1− (16) −(ψk − ψk−1) sin θk]− λ1 sinψk sin θk − λ2 cos θk + λ3 cosψk sin θk = 0; ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 + (ψk − ψk−1) sin θk − (ψk+1 − ψk) sin θk+1 = 0. Â ðàáîòàõ [6, 7] ðåøåíèå áûëî ïîëó÷åíî â ÿâíîì âèäå äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà óïðóãàÿ ëèíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïëîñêóþ ëèíèþ. Èçó÷èì ýòîò ÷àñòíûé ñëó÷àé è çäåñü, ïîëà- ãàÿ θk = 0, k = 1, n. (17) Ïîñëå ïîäñòàíîâêè (17) â (16) è (3) è çàìåíû ïåðåìåííûõ λ1 = λ cosψ, λ3 = λ sinψ, ψ̃k = ψk + ψ (18) ïîëó÷èì k1(ψ̃k+1 − 2ψ̃k + ψ̃k−1)− λ sin ψ̃k = 0, (19) n∑ k=1 sin ψ̃k = 0, n∑ k=1 cos ψ̃k = 0, (20) ϕk+1 − 2ϕk + ϕk−1 = 0. (21) Â äàëüíåéøåì çíàê ”˜” íàä ψk îïóñêàåì, à λ è ψ îïðåäåëÿåì èç (18) ÷åðåç èñõîäíûå ïàðàìåòðû ñëåäóþùèì îáðàçîì: λ = √ λ2 1 + λ2 3 > 0; ψ = arctg(λ3/λ1). Èç (19) � (21) çàêëþ÷àåì, ÷òî â ïëîñêîì ñëó÷àå óãëû ψk è ϕk íåçàâèñèìû. Ó÷èòûâàÿ ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàìêíóòîñòè ñèñòåìû (13) è ðàâåíñòâî ϕn+1 = ϕ1+2π, íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî ñèñòåìà (21) èìååò ðåøåíèå ϕk = 2πk/n+ α, (22) ãäå α � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ Ââîäÿ çàìåíó ïåðåìåííûõ xk = (ψk + ψn−k+1)/2, yk = (ψk − ψn−k+1)/2, k = 1, N (çäåñü ïîëàãàëîñü n = 2N � ÷åòíîå ÷èñëî, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò çàäà÷å ìîäåëèðîâàíèÿ ñèììåòðè÷íîé ìîëåêóëû ÄÍÊ) è ó÷èòûâàÿ (13), ïðèâîäèì ñèñòåìû (19), (20) ê âèäó Â1X − ω2B̂1 = 0, (23) Â2Y − ω2B̂2 = 2πE1, (24) 171 È.À. Áîëãðàáñêàÿ, Í.Í. Ùåïèí n∑ k=1 sin xk cos yk = 0, n∑ k=1 cosxk cos yk = 0. (25) Çäåñü X, Y− ñîîòâåòñòâåííî ìàòðèöû-ñòîëáöû n-ãî ïîðÿäêà ñ ýëåìåíòàìè xi, yi; à B̂1, B̂2 � ìàòðèöû-ñòîëáöû ñ ýëåìåíòàìè b1i , b 2 i , ðàâíûìè b1i = sinxi cos yi , b2i = cos xi sin yi; Â1 = {a1 ij}, Â2 = {a2 ij} � ÿêîáèåâû êâàäðàòíûå ìàòðèöû n-ãî ïîðÿäêà, â êîòîðûõ a1 11 = a1 NN = −1, a1 ii = −2, a1 ii+1 = 1, i = 2, N − 1, a2 11 = a2 NN = −3, a2 ii = −2, a2 ii+1 = 1; i = 2, N − 1, E1 � ìàòðèöà-ñòîëáåö, â êîòîðîé e1 = 1, à îñòàëüíûå ei = 0 , ω2 = λ/k1. Èç ïåðâûõ óðàâíåíèé ñèñòåì (23), (24) íàõîäèì x2, y2, êàê ôóíêöèè x1, y1, ω 2. Èìååì x2 = x1 + ω2b1(x1, y1) = f2(x1, y1, ω 2), y2 = 2π + y1 + ω2b11(x1, y1) = f 1 2 (x1, y1, ω 2). Ó÷èòûâàÿ ýòè âûðàæåíèÿ, èç âòîðûõ óðàâíåíèé íàõîäèì x3 = f3(x1, y1, ω 2), y3 = f 1 3 (x1, y1, ω 2). Ïîäñòàíîâêè íàéäåííûõ ïåðåìåííûõ â ïîñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ ïîç- âîëÿåò èç (k − 1)-ãî óðàâíåíèÿ îïðåäåëèòü xk = fk(x1, y1, ω 2), yk = f 1 k (x1, y1, ω 2). Òîãäà ïîñëåäíèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ïðèâåäåíû ê âèäó F (x1, y1, ω 2) = 0, F1(x1, y1, ω 2) = 0. (26) Óðàâíåíèÿ (25) äàþò åùå äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ: G(x1, y1) = 0, G1(x1, y1) = 0. (27) Âõîäÿùèå â (26), (27) ôóíêöèè F, F1, G,G1 ëåãêî ìîãóò áûòü âûïèñàíû â ÿâíîì âèäå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû (15), (17) íàõîäÿòñÿ ïðè îäíîâðå- ìåííîì óäîâëåòâîðåíèè óñëîâèé (26), (27). 4. Ðåøåíèå ïðè óñëîâèè λ = 0. Ïîëàãàÿ λ = 0, ïîëó÷àåì ω2 = 0 è ñèñòåìà (23) ñòàíîâèòñÿ ñèñòåìîé îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî xk, à ñèñòåìà (24) � ñèñòåìîé íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî yk. Íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, ÷òî det(A1) = 0, òàê êàê ∆1 N = ∆1 N−1 = ... = ∆1 2 = ∣∣∣∣ −1 1 1 −1 ∣∣∣∣ = 0. (28) Çäåñü ∆1 k− îïðåäåëèòåëü k-ìåðíîé ìàòðèöû Â1, (k = 2, N). Èç (28) çàêëþ÷àåì, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (23) ïðè óñëîâèè ω2 = 0 èìååò íåíóëåâîå ðåøåíèå è, êàê íåòðóäíî óáåäèòüñÿ, îíî ðàâíî xN = xN−1 = ... = x1 = x. (29) Çäåñü x− ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Îáîçíà÷èì îïðåäåëèòåëü ìàòðèöû Â2 ÷åðåç det(A2) = ∆2 N . Ýòîò îïðåäåëèòåëü ìî- æåò áûòü ïðåäñòàâëåí òàê ∆2 N = δN − 2δN−1 + δN−2, (30) ãäå δn− îïðåäåëèòåëü N -ãî ïîðÿäêà ÿêîáèåâîé ìàòðèöû B̂, â êîòîðîé bii = −2; bi i+1 = 1. 172 Êîíå÷íîìåðíàÿ ìîäåëü çàìêíóòîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ Ðàñêëàäûâàÿ δN ïî ïåðâîé ñòðîêå, ïîëó÷àåì δN = −2δN−1 − δN−2. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî δ1 = −2; δ3 = 3, íåòðóäíî óñòàíîâèòü, ÷òî δN = (−1)N(N + 1). Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âû- ðàæåíèå â (30), ïîëó÷àåì ∆2 N = (−4)NN 6= 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìà ëèíåéíûõ íåîäíîðîäíûõ óðàâíåíèé (24) èìååò åäèíñòâåííîå íåíóëåâîå ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ê ýòîé ñèñòåìå ìåòîä èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ, íàõîäèì yk = −π + 2k − 1 2N π (k = 1, N − 1), yN = − π 2N . (31) Ïðè ó÷åòå (29) èç (25) èìååì N∑ k=1 cos yk = 0. (32) Ïîñêîëüêó èç (31) ñëåäóåò cos yk = − cos yN−k+1, ïîëó÷àåì, ÷òî ðåøåíèå (31) óäî- âëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (32). Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì ψk, ïîëó÷àåì ψk = −π + x+ 2k − 1 2N π, ψN+k = π + x− 2k − 1 2N π, k = 1, N. Î÷åâèäíî, ÷òî çà ñ÷åò âûáîðà x, ýòî ðåøåíèå ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî, êàê è (22), â âèäå ψk = 2πk/n+ α1, k = 1, n. (33) Çäåñü α1 � ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ. Íàéäåííîå ðåøåíèå (22), (33) ïðè n → ∞ ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåííûì â [6 � 8] ðå- øåíèåì äëÿ ñòåðæíåâûõ ñèñòåì, â êîòîðûõ óïðóãàÿ ëèíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îêðóæ- íîñòü. 1. Âèòòåíáóðã É. Äèíàìèêà ñèñòåì òâåðäûõ òåë. � Ì.: Ìèð, 1980. � 292 ñ. 2. Áîëãðàáñêàÿ È.À., Ñàâ÷åíêî À.ß. Ñèñòåìû òâåðäûõ òåë, îáðàçóþùèõ ïîëóçàìêíóòóþ öåïü // Ìå- õàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1994. � Âûï. 26(I). � Ñ. 33 � 39. 3. Bolgrabskaya I.A. Resonance velocities with half-closed chain // Ïðîáë. íåëèíåéíîãî àíàëèçà â èíæå- íåðíûõ ñèñòåìàõ. Ìåæäóíàð. ñá. � Êàçàíü, 2001. � 7, âûï. 1(13). � Ñ. 22�28. 4. Áîëãðàáñêàÿ È.À. Âëèÿíèå ñäâèãîâûõ äåôîðìàöèé â ñèñòåìå äâóõ ãèðîñêîïîâ Ëàãðàíæà íà ðåçî- íàíñíûå ÷àñòîòû // Èçâ. ÀÍ ÑÑÑÐ. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1987. � � 2. � Ñ. 33�36. 5. Áîëãðàáñüêà I.Î. Äîñëiäæåííÿ äèíàìi÷íèõ âëàñòèâîñòåé ñèñòåì çâ'ÿçàíèõ òâåðäèõ òië i ��õ çàñòîñó- âàííÿ äî âèâ÷åííÿ âëàñòèâîñòåé ñòåðæíåâèõ êîíñòðóêöié. � Àâòîðåô. äèñ. ... äîêò. ôèç.-ìàò. íàóê. � Äîíåöê, 1999. � 33 ñ. 6. Wadati M., Tsuru H. Elastic model of looped DNA // Physiica. � 1986. � 21D. � P. 213-226. 7. Áåíõýì Äæ. Ìåõàíèêà è ðàâíîâåñíûå ñîñòîÿíèÿ ñâåðõñïèðàëèçîâàííîé ÄÍÊ // Â êí.: Ìàòåìàòè- ÷åñêèå ìåòîäû äëÿ àíàëèçà ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé ÄÍÊ. - Ì.: Ìèð, 1999. � Ñ. 308 � 338. 8. Starostin E.I. Three-dimensional shapes of looped DNA // Colloquium EVROMECH 325 (19-22 September, 1994, L`Aquila, Italy). � 1994. � 23 p. 9. Èëþõèí.À.À. Ñïåöèàëüíûå ïðîáëåìû íåëèíåéíîé òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé. � Ê.: Íàóê. äóìêà, 1979. � 120 ñ. 10. Ïàâëîâñüêèé Ì.À. Òåîðåòè÷íà ìåõàíiêà. � Ê.: Òåõíiêà, 2002 . � 510 ñ. Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê bolg@iamm.ac.donetsk.ua Ïîëó÷åíî 10.08.05 173

Конечномерная модель замкнутого упругого стержня

Репозитарії

Схожі ресурси