Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии

Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии

Рассмотрено решение дифференциальных уравнений, одинаково описывающих поведение двух различных механических систем: движение тяжелою гиростата около неподвижной точки и нелинейный изгиб и кручение упругого стержня. Считается, что 15 механических системах присутствует симметрия 15 значениях физически...

Повний опис

Збережено в:
Бібліографічні деталі
Дата:2005
Автори: Илюхин, А.А., Колесников, С.А.
Формат: Стаття
Мова:Russian
Опубліковано: Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Назва видання:Механика твердого тела
Онлайн доступ:http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123777
Теги: Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии / А.А. Илюхин, С.А. Колесников // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 174-188. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
id irk-123456789-123777
record_format dspace
spelling irk-123456789-1237772017-09-10T03:05:07Z Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии Илюхин, А.А. Колесников, С.А. Рассмотрено решение дифференциальных уравнений, одинаково описывающих поведение двух различных механических систем: движение тяжелою гиростата около неподвижной точки и нелинейный изгиб и кручение упругого стержня. Считается, что 15 механических системах присутствует симметрия 15 значениях физических параметров (гиростат динамически симметричный, либо стержень имеет равные жесткости при изгибе). Для инвариант пых соотношений, полученных А.И. Докшевичем, найдены условия, когда от стационарных решений ответвляются нетривиальные решения. Для нелинейного граничного функционала, соответствующего решению А.И. Докшевича, показана также неединственность существования стационарных решений, что свидетельствует о неустойчивости равномерных вращений симметричного гиростата и поджатых положений равновесия винтовой пружины. 2005 Article Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии / А.А. Илюхин, С.А. Колесников // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 174-188. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123777 531.38, 531.39 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection DSpace DC
language Russian
description Рассмотрено решение дифференциальных уравнений, одинаково описывающих поведение двух различных механических систем: движение тяжелою гиростата около неподвижной точки и нелинейный изгиб и кручение упругого стержня. Считается, что 15 механических системах присутствует симметрия 15 значениях физических параметров (гиростат динамически симметричный, либо стержень имеет равные жесткости при изгибе). Для инвариант пых соотношений, полученных А.И. Докшевичем, найдены условия, когда от стационарных решений ответвляются нетривиальные решения. Для нелинейного граничного функционала, соответствующего решению А.И. Докшевича, показана также неединственность существования стационарных решений, что свидетельствует о неустойчивости равномерных вращений симметричного гиростата и поджатых положений равновесия винтовой пружины.
format Article
author Илюхин, А.А.
Колесников, С.А.
spellingShingle Илюхин, А.А.
Колесников, С.А.
Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии
Механика твердого тела
author_facet Илюхин, А.А.
Колесников, С.А.
author_sort Илюхин, А.А.
title Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии
title_short Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии
title_full Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии
title_fullStr Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии
title_full_unstemmed Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии
title_sort бифуркация стационарных решений системы уравнений эйлера–кирхгофа в случае симметрии
publisher Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate 2005
url http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123777
citation_txt Бифуркация стационарных решений системы уравнений Эйлера–Кирхгофа в случае симметрии / А.А. Илюхин, С.А. Колесников // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 174-188. — Бібліогр.: 14 назв. — рос.
series Механика твердого тела
work_keys_str_mv AT ilûhinaa bifurkaciâstacionarnyhrešenijsistemyuravnenijéjlerakirhgofavslučaesimmetrii
AT kolesnikovsa bifurkaciâstacionarnyhrešenijsistemyuravnenijéjlerakirhgofavslučaesimmetrii
first_indexed 2025-07-09T00:16:29Z
last_indexed 2025-07-09T00:16:29Z
_version_ 1837126336227835904
fulltext ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35 ÓÄÊ 531.38, 531.39 c©2005. À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ ÁÈÔÓÐÊÀÖÈß ÑÒÀÖÈÎÍÀÐÍÛÕ ÐÅØÅÍÈÉ ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÝÉËÅÐÀ-ÊÈÐÕÃÎÔÀ  ÑËÓ×ÀÅ ÑÈÌÌÅÒÐÈÈ Ðàññìîòðåíî ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îäèíàêîâî îïèñûâàþùèõ ïîâåäåíèå äâóõ ðàç- ëè÷íûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì: äâèæåíèå òÿæåëîãî ãèðîñòàòà îêîëî íåïîäâèæíîé òî÷êè è íåëèíåéíûé èçãèá è êðó÷åíèå óïðóãîãî ñòåðæíÿ. Ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî â ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ïðèñóòñòâóåò ñèììåòðèÿ â çíà÷åíèÿõ ôèçè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ (ãèðîñòàò äèíàìè÷åñêè ñèììåòðè÷íûé, ëèáî ñòåðæåíü èìååò ðàâ- íûå æåñòêîñòè ïðè èçãèáå). Äëÿ èíâàðèàíòíûõ ñîîòíîøåíèé, ïîëó÷åííûõ À.È. Äîêøåâè÷åì, íàéäåíû óñëîâèÿ, êîãäà îò ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé îòâåòâëÿþòñÿ íåòðèâèàëüíûå ðåøåíèÿ. Äëÿ íåëèíåéíîãî ãðà- íè÷íîãî ôóíêöèîíàëà, ñîîòâåòñòâóþùåãî ðåøåíèþ À.È. Äîêøåâè÷à, ïîêàçàíà òàêæå íååäèíñòâåííîñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé, ÷òî ñâèäåòåëüñâóåò î íåóñòîé÷èâîñòè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ñèììåòðè÷íîãî ãèðîñòàòà è ïîäæàòûõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ âèíòîâîé ïðóæèíû.  íàñòîÿùåé ñòàòüå â îñíîâó èññëåäîâàíèÿ ïîëîæåíû îñíîâíûå äèôôåðåíöèàëüíûå óðàâíåíèÿ è ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå â ñèëó àíàëîãèè Êèðõãîôà îïèñûâàþò ïîâåäåíèå äâóõ ðàçëè÷íûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì: äâèæåíèå òÿæåëîãî ãèðîñòàòà â ïîëå ñèë òÿæåñòè [1] è ðàâíîâåñèå òîíêîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ, äåôîðìèðîâàííîãî êîíöåâûìè íàãðóçêàìè [2 � 4]. Ìíîãèå òî÷íûå ðåøåíèÿ, íàéäåííûå â äèíàìèêå ãèðîñòàòà, èìåþò àíàëîãèþ â òåî- ðèè òîíêèõ óïðóãèõ ñòåðæíåé [1, 2]. Îäíèì èç òàêèõ ðåøåíèé, êàê ïîêàçàíî â ñòàòüå [5], ÿâëÿåòñÿ èññëåäóåìîå â äàííîé ðàáîòå ðåøåíèå À.È. Äîêøåâè÷à [6]. Ïðèìåíèòåëüíî ê çàäà÷å î äåôîðìàöèè êðèâîëèíåéíûõ ñòåðæíåé, ýòî ðåøåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü ðåøåíè- åì çàäà÷è îá èçãèáå è êðó÷åíèè âèíòîâîé ïðóæèíû ñ ðàâíûìè ãëàâíûìè æåñòêîñòÿìè ïðè èçãèáå. Ìàòåðèàë, èç êîòîðîãî îíà èçãîòîâëåíà, ìîæåò áûòü êàê èçîòðîïíûì, òàê è àíèçîòðîïíûì.  ðàáîòå Ï.Â. Õàðëàìîâà [7] ïî ïîñòðîåíèþ êîíóñà îñåé ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ãèðîñòàòà óêàçàíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé. Ýòèì óñëîâèÿì â ñòàòèêå ïðóæèí â íàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè ñîîòâåòñòâóåò âèíòîâàÿ ëèíèÿ. Èçó÷åíèþ óñòîé÷èâîñòè è áèôóðêàöèè ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ïîñâÿùåíû ðàáîòû [8, 9].  äàííîé ñòàòüå ïîëó÷åíû óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ [6] â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå â âèäå îãðàíè÷åíèé íà ôèçè÷åñêèå ïàðàìåòðû è íà÷àëüíûå óñëîâèÿ è ïîêàçàíî îòñóòñòâèå áèôóðêàöèè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ãèðîñòàòà.  ìåõàíèêå êðèâîëèíåéíûõ ñòåðæíåé íàéäåíà òî÷êà áèôóðêàöèè âèíòîâûõ ôîðì ðàâíîâåñèÿ. 1. Óðàâíåíèÿ Ýéëåðà�Êèðõãîôà. Çàïèøåì óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî ãè- ðîñòàòà â âåêòîðíîì âèäå (x+ λ)∗ = (x+ λ)× ω + P (e× γ), γ∗ = γ × ω. (1) Çäåñü ω(ω1, ω2, ω3) � óãëîâàÿ ñêîðîñòü òåëà-íîñèòåëÿ; x(x1, x2, x3) � êèíåòè÷åñêèé ìîìåíò ãèðîñòàòà; γ � åäèíè÷íûé âåêòîð ñèëû òÿæåñòè; e � åäèíè÷íûé âåêòîð, èäóùèé èç íåïîäâèæíîé òî÷êè O â öåíòð òÿæåñòè ãèðîñòàòà; λ(λ1, λ2, λ3) � ãèðîñòàòè÷åñêèé ìîìåíò; P � ïðîèçâåäåíèå âåñà ãèðîñòàòà è ðàññòîÿíèÿ îò íåïîäâèæíîé òî÷êè äî åãî öåíòðà òÿæåñòè. Çâåçäî÷êà îçíà÷àåò äèôôåðåíöèðîâàíèå ïî âðåìåíè â îñÿõ, ñâÿçàí- íûõ ñ òåëîì-íîñèòåëåì ãèðîñòàòà. Âåëè÷èíû xi ëèíåéíî çàâèñÿò îò êîìïîíåíò âåêòîðà 174 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà óãëîâîé ñêîðîñòè: xi = Ai1ω1 + Ai2ω2 + Ai3ω3, (2) ãäå A � òåíçîð èíåðöèè ãèðîñòàòà â íåïîäâèæíîé òî÷êå. Ã. Êèðõãîôîì [4] áûëî óñòàíîâëåíî, ÷òî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òÿæåëîãî ãèðîñòàòà â ñëó÷àå, êîãäà öåíòð ìàññ ëåæèò íà îäíîé èç ãëàâíûõ îñåé ýëëèïñîèäà èíåðöèè äëÿ íåïîäâèæíîé òî÷êè, ïî ôîðìå ñîâïàäàþò ñ óðàâíåíèÿìè ðàâíîâåñèÿ èçîòðîïíîãî óïðó- ãîãî ñòåðæíÿ, äåôîðìèðîâàííîãî êîíöåâûìè íàãðóçêàìè. Ýòîò ôàêò íîñèò íàçâàíèå êèíåòè÷åñêîé àíàëîãèè Êèðõãîôà.  ðàáîòå [10] ïîêàçàíî, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðà ìîìåíòà x+ λ ïðè îïðåäåëåííûõ ïðåäïîëîæåíèÿõ � ëèíåéíûå è îäíîðîäíûå ôóíêöèè êîìïîíåíò âåêòîðà ω − ω0, è âû- ïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ (2), à ñìûñë âåêòîðà λ ñëåäóåò èç åãî ïðåäñòàâëåíèÿ â âèäå λ = −Aω0, ãäå A � ìàòðèöà æåñòêîñòåé ñòåðæíÿ, à ω0 � âåêòîð Äàðáó îñè â íåíàãðó- æåííîì ñîñòîÿíèè.  ñëó÷àå, êîãäà ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ óïðóãîé ñèììåòðèè ìàòåðèàëà, èç êîòîðîãî ñòåðæåíü èçãîòîâëåí, ìàòðèöà A � äèàãîíàëüíà.  îáùåì ñëó÷àå àíèçîòðîïíîãî ñòåðæíÿ ìàòðèöà A ïîëíîñòüþ çà- ïîëíåíà. Ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ïðè âûïîëíåíèè ñîîòíîøåíèé (2) äîïóñêàåò òðè èíòåãðàëà γ · γ = 1, (x+ λ) · γ = K, x · ω − 2P (e · γ) = 2H. (3) Àíàëîãèÿ Êèðõãîôà ìåæäó äâóìÿ çàäà÷àìè íåïîëíàÿ, òàê êàê â çàäà÷å î äâèæåíèè ãèðîñòàòà íà ýëåìåíòû ìàòðèöû A åñòü îãðàíè÷åíèÿ â âèäå íåðàâåíñòâ A11 + A33 > > A22, A22+A33 > A11, A11+A22 > A33.  òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé æåñòêîñòè ñòåðæíÿ òàêæå óäîâëåòâîðÿþò íåêîòîðîìó îãðàíè÷åíèþ â âèäå íåðàâåíñòâ. Äëÿ àíèçîòðîïíûõ ñòåðæíåé òàêîå íåðàâåíñòâî áûëî ïîëó÷åíî â [10].  ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñòåðæíÿ ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ óïðóãîé ñèììåòðèè, ýòî íåðàâåíñòâî èìååò âèä A11 ≤ 2µ 1 + ν A22A33 A22µ+ A33 , (4) ãäå µ è ν � áåçðàçìåðíûå ïîñòîÿííûå: µ = G12 G13 , 1 + ν = 2E1 G12 , à E1, G12, G13 � ìîäóëü Þíãà è ìîäóëè ñäâèãà, âõîäÿùèå â îáîáùåííûé çàêîí Ãóêà. Åñëè ïîëîæèòü â íåðàâåí- ñòâå (4) µ = 1, òî ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî äëÿ èçîòðîïíûõ ñòåðæíåé, êîòîðîå óñòàíîâèë Å.Ë. Íèêîëàè. 2. Ðåøåíèå À.È. Äîêøåâè÷à.  ðàáîòå [6] ïîëó÷åíî ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (1) â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî e1 = 1, e2 = 0, e3 = 0, A22 = A33, Aij = 0 (i 6= j), λ3 = 0. Ââåäåì áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû x1 = λ2x, x2 = λ2y, x3 = λ2z, τ = λ2t A22 , g = A22 A11 , p = A22P λ2 2 , k = pK λ2 , 2h = 2A22H λ2 2 , λ1 = rλ2. Íàëîæèì íà ïîñòîÿííûå èíòåãðàëîâ îãðàíè÷åíèÿ: p2 = [ (b− 2a(a+ 1))2 + a2(1− a)2n4 + ( 2a(1− a)b+ a3(a+ 1)(a2 − 3a+ 4) ) n2 ]/ (1− a2)4, 175 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ k = a(a− 2)n [ −b+ a(a− 1)n2 − (a+ 1)(a2 + 1) ]/ (1− a2)3, (5) 2h = [ 2(a2 + a− 1)b+ a2(1− a)(a+ 3)n2 + 4a(a+ 1) ]/ (1− a2)2, ãäå a = ( 1∓ √ g2 − g + 1 )/ (1− g), n = r(1− a2) / (a2 − a+ 1). Òîãäà ñèñòåìà äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) äîïóñêàåò ðåøåíèå, â êîòîðîì îñíîâíûå áåçðàçìåðíûå ïåðåìåííûå ñâÿçàíû ðàâåíñòâàìè: y = (ax2 − anx+ b)/(1− a2), z2 = [−a2x4 + 2a3nx3 − a ( a(a+ 1)(a− 3) + a3n2 + 2b ) x2 + 2a2n(b− a− 1)x− b2+ +2a(a+ 1)b+ a2(1− a2)n2]/(1− a2)2, (6) pγ1 = [−a(a+ 1)x2 + a2(a+ 1)nx− b+ a2(1− a)n2 + 2a(a+ 1)]/(1− a2)2, pγ2 = [ax3 +a(1− 2a)nx2 +(b+a2(a− 1)n− 2a(a+1))x+(a2(a+1)+(1−a)b)n]/(1−a2)2, pγ3 = [x+ (1− a)n]z/(1− a2).  ðåøåíèè (6) ïåðåìåííàÿ x âûñòóïàåò â êà÷åñòâå íåçàâèñèìîé. Çàâèñèìîñòü åå îò âðåìåíè t óñòàíàâëèâàåòñÿ îáðàùåíèåì ýëëèïòè÷åñêîãî èíòåãðàëà t − t0 = A22 λ2 x∫ x0 dx z , ïîëó÷àåìîãî èíòåãðèðîâàíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1).  äèíàìèêå ãèðîñòàòà ðåøåíèå (6) îïèñûâàåò äâèæåíèå ñèììåòðè÷íîãî ãèðîñòàòà, ó êîòîðîãî öåíòð ìàññ ëå- æèò íà ïåðâîé ãëàâíîé îñè, à âåêòîð ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìîìåíòà íàõîäèòñÿ â ãëàâíîé ïëîñêîñòè. Ýòî ðåøåíèå òðåõïàðàìåòðè÷åñêîå. Ñâîáîäíûé ïàðàìåòð a ñâÿçàí ñ ðàñïðå- äåëåíèåì ìàññ. Ïàðàìåòð n óêàçûâàåò íà âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ãèðîñòàòè÷åñêîãî ìî- ìåíòà. Òðåòèé áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð b, êàê ñëåäóåò èç (5), õàðàêòåðèçóåò íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ èñõîäíûõ ïåðåìåííûõ.  ìåõàíèêå ñòåðæíåé ðåøåíèå (6) îïèñûâàåò ðàâíîâåñèå ñòåðæíÿ, ó êîòîðîãî ïî- ïåðå÷íîå ñå÷åíèå ñîâïàäàåò ñ ïëîñêîñòüþ óïðóãîé ñèììåòðèè ìàòåðèàëà è ãëàâíûå æåñòêîñòè ïðè èçãèáå ðàâíû.  íåíàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè îñü ñòåðæíÿ ðàñïîëîæåíà ïî âèíòîâîé ëèíèè è îòñóòñòâóåò ïîâîðîò ãëàâíûõ îñåé èçãèáà è êðó÷åíèÿ îòíîñèòåëü- íî åñòåñòâåííîãî áàçèñà. Ñîîòíîøåíèÿ (5) âûäåëÿþò íåêîòîðûé êëàññ êîíöåâûõ óñèëèé. Îíè íàêëàäûâàþò îãðàíè÷åíèÿ íà ïîäàòëèâîñòü ñòåðæíÿ, è ýòè îãðàíè÷åíèÿ ñâÿçàíû ñ ïàðàìåòðîì a; äàþò çíà÷åíèå êðèâèçíû è êðó÷åíèÿ îñè ñòåðæíÿ â èñõîäíîé ñèñòåìå è ñâÿçàíû ñ ïàðàìåòðîì n; ÷åðåç ïàðàìåòð b âû÷èñëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ êîíöåâîé ñèëû P è ìîìåíòà K.  çàäà÷å äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà èç íåðàâåíñòâà A22 + A33 > A11 ñëåäóåò g > 0, 5. Ïðîèçâîäíàÿ ïî g îò ÷åòâåðòîãî ðàâåíñòâà â (5) èìååò âèä da dg = 2(g2 − g + 1) 1 2 ∓ (g + 1) 2(g − 1)2(g2 − g + 1) 1 2 è ÿâëÿåòñÿ ïîëîæèòåëüíîé âåëè÷èíîé ïðè g = 0, 5. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà a ïðè g = 0, 5, g = 1 è g →∞ è ïîëó÷èì îãðàíè÷åíèÿ: a < −1, 2− √ 3 < a < 1, a > 2 + √ 3. (7) 176 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî ãèðîñòàò èìååò ïîëîñòè, çàïîëíåííûå âðàùàþùåéñÿ æèäêî- ñòüþ, òî g > 0, è ïàðàìåòð a èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ: a < −1, 0 < a < 1, a > 2. (8)  ìåõàíèêå ñòåðæíåé îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà a íàéäåíà â ðàáîòå [5], îíà ñîâïà- äàåò ñ (8). Îáëàñòü (7) ÿâëÿåòñÿ ïîäîáëàñòüþ (8), çíà÷èò ïî ïàðàìåòðó a ðåøåíèå (6) îáëàäàåò áîëüøåé îáùíîñòüþ â ìåõàíèêå ñòåðæíåé, ÷åì â çàäà÷å î äâèæåíèè ñèñòåì òâåðäûõ òåë.  äàëüíåéøåì â ñîîòíîøåíèÿõ (6) óäîáíî ïåðåéòè ê íîâîé íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé v = x − n, à çà ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû âûáðàòü âåëè÷èíû ñ = n(a − 2), b̃ = b − a(a2− −1)n− 2a(a+ 1). Îïóñòèì çíàê âîëíû è ïåðåïèøåì ñîîòíîøåíèÿ (6), èñïîëüçóÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ v è íîâûå ïàðàìåòðû: p2 = [ b2 + a2(a+ 1)2n2 ]/ (1− a2)4, k = −an [ b+ (a+ 1)3 ]/ (1− a2)3, (9) 2h = [ 2(a2 + a− 1)b+ a(a2 − 1)n2 (a− 2) + 4a2(a+ 1)2 ]/ (1− a2)2; y = (av2 − anv + b+ 2a(a+ 1))/(1− a2), z2 = [−a2v4 + 2a2nv3 + (−a2n2 − 2ab− a2(a+ 1)2)v2 + 2an(b+ a(a+ 1))v− −b(b+ 2a(a+ 1))]/(1− a2)2, pγ1 = [−a(a+ 1)v2 + a(a+ 1)nv − b]/(1− a2)2, pγ2 = [av3 + 2anv2 + (b+ an2)v − n(b+ a(a+ 1))]/(1− a2)2, (10) pγ3 = (v − n)z/(1− a2); t− t0 = A22 λ2 v∫ v0 dv z . (11) Äëÿ òîãî ÷òîáû ñîîòíîøåíèÿ (10), (11) îïðåäåëÿëè âåùåñòâåííûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, íåîáõîäèìî ïîòðåáîâàòü z2(v) ≥ 0. Ïóñòü ó ìíîãî÷ëåíà ÷åòâåðòîãî ïîðÿäêà z2 = z2(v) äèñêðèìèíàíò G � ïîëîæèòåëüíàÿ âåëè÷èíà è âûïîëíÿþòñÿ äâà íåðàâåíñòâà: G1 = a2 12 ( a2n2 − 4ab− 2a2(a+ 1)2 ) > 0, (12) G2 = a7(a+ 1) 4 [ 4(a− 1)b+ 3a(1− a)n2 + a(a+ 1)3 ] > 0, òîãäà óðàâíåíèå z2 = 0 èìååò ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ êîðíÿ: v1, v2, v3, v4. Îáëàñòü èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé v � äâóõñâÿçíàÿ è ñîñòîèò èç äâóõ èíòåðâàëîâ: [v1, v2], [v3, v4]. Åñëè ïðè G > 0 õîòÿ áû îäíî èç íåðàâåíñòâ (12) íå âûïîëíÿåòñÿ, òî âñå êîðíè êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûå è äåéñòâèòåëüíûõ ðåøåíèé íå ñóùåñòâóåò. 177 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ Êîãäà äèñêðèìèíàíò G ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, óðàâíåíèå z2(v) = 0 èìååò äâà ðàçëè÷íûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ v1, v2, íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ v ïðèíàäëå- æèò îäíîñâÿçíîìó èíòåðâàëó [v1, v2].  ñëó÷àå ðàâåíñòâà íóëþ äèñêðèìèíàíòà G óðàâ- íåíèå z2 = 0 èìååò êðàòíûé êîðåíü v = c. Äåòàëüíûé àíàëèç îáëàñòè èçìåíåíèÿ ïåðå- ìåííîé v, êîãäà G = 0, áóäåò äàí â ñëåäóþùåì ïóíêòå. 3. Âåòâëåíèå ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ. Ñòàöèîíàðíûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû äèô- ôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) îïèñûâàþò â äèíàìèêå ãèðîñòàòà ðàâíîìåðíûå âðàùå- íèÿ, â ñòàòèêå òîíêîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ îíè îïðåäåëÿþò ðàâíîâåñíûå ôîðìû â âèäå âèíòîâîé ëèíèè. Åñëè ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîå, òî èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) ïðè A22 = A33 ñëåäóåò ðàâåíñòâî ω3 = 0. Ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ âîçìîæíû [11, 7] òîëüêî âîêðóã âåðòèêàëüíîé îñè: ωi = = ωγi (i = 1, 2, 3). Èç ñîîòíîøåíèÿ ω3 = 0 ñëåäóåò ðàâåíñòâî γ3 = 0. Ðàññìîòðèì ñîâìåñòíî ïåðâîå è òðåòüå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû (1) è ïîëó÷èì åùå îäíî óñëîâèå ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ dω2 3 dω1 = 0. Íà òðàåêòîðèÿõ, îïðåäåëÿå- ìûõ ñîîòíîøåíèÿìè (10), (11), óñëîâèÿ ω3 = 0, γ3 = 0 âûïîëíÿþòñÿ, åñëè óðàâíåíèå z2(v) = 0 èìååò êðàòíûé êîðåíü v = c. Äëÿ ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1) ïðè âûïîëíåíèè ðàâåíñòâ (10), (11) ñîîòíîøåíèÿ A11 dω1 dt − λ2ω3 = 0, ω2 − f1(A11, A22, λ1, λ2, P, ω1) = 0, ω3 2 − f2(A11, A22, λ1, λ2, P, ω1) = 0, γ1 − f3(A11, A22, λ1, λ2, P, ω1) = 0, (13) γ2 − f4(A11, A22, λ1, λ2, P, ω1) = 0, γ3 − f5(A11, A22, λ1, λ2, P, ω1)ω3 = 0 ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ãðàíè÷íîå óñëîâèå ïðè íåêîòîðîì t = t∗. Ñëåäóÿ ðàáîòàì [12 � 14], íàçîâåì (13) ãðàíè÷íûì ôóíêöèîíàëîì, êîòîðûé îáîçíà÷èì ñëåäóþùèì îá- ðàçîì: B(u,d, t) = 0, ãäå d = (A11, A22, λ1, λ2, P ), u = (ω1, ω2, ω3, γ1, γ2, γ3). Ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå u0 = (ω10, ω20, ω30, γ10, γ20, γ30) ïðè îïðåäåëåííîì çíà- ÷åíèè d. Çàïèøåì íåîáõîäèìîå óñëîâèå âåòâëåíèÿ [13] ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ u0 íà ôóíêöèîíàëå  â âèäå ðàâåíñòâà íóëþ ÿêîáèàíà Bu(u0,d0, t) = 0:∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂ ∂ω1 ( A11 dω1 dt − λ2ω3 ) − ∂f1 ∂ω1 − ∂f2 ∂ω1 − ∂f3 ∂ω1 − ∂f4 ∂ω1 − [ f5 ∂ω3 ∂ω1 + ω3 ∂f5 ∂ω1 ] 0 1 0 0 0 0 −λ2 0 2ω3 0 0 −f5 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 è äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèé[ 2ω3 ∂ ∂ω1 ( A11 dω1 dt − λ2ω3 ) − ∂f2 ∂ω1 ]∣∣∣∣ ω3=0 = 0, ∂ω2 3 ∂ω1 ∣∣∣∣ ω3=0 = 0. (14) 178 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà Åñëè â êà÷åñòâå ôóíêöèîíàëà B(u,d, t) èñïîëüçîâàòü ñîîòíîøåíèÿ (10), òî óñëîâèÿ (14) â áåçðàçìåðíûõ ïåðåìåííûõ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå z2(c) = 0, dz2(v) dv ∣∣∣∣ v=c = 0. (15) Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ âåòâëåíèÿ ñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ â ñèëó ñî- îòíîøåíèé dω2 3 dω1 = 0, ω3 = 0 ñîâïàäàþò ñ äîñòàòî÷íûìè óñëîâèÿìè ñóùåñòâîâàíèÿ òàêèõ ðåøåíèé. Ýòè óñëîâèÿ áóäóò äîñòàòî÷íûìè äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ îòâåòâëÿþùèõñÿ íåñòà- öèîíàðíûõ ðåøåíèé u = u(d, t), åñëè âûïîëíÿþòñÿ òðåáîâàíèÿ òåîðåìû I, ïðèâåäåííîé â ðàáîòå [13] íà ñòð. 20.  èçó÷àåìîé ïîñòàíîâêå ýòè òðåáîâàíèÿ ýêâèâàëåíòíû óñëîâèþ íåïðåðûâíîñòè íåñòàöèîíàðíîãî ðåøåíèÿ (6) â îêðåñòíîñòè òî÷êè v = c. 4. Óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé. Èçó÷èì óñëîâèÿ ñóùå- ñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ (10) ñèñòåìû (1) âèäà ω1 = ω10, ω2 = ω20, ω3 = 0, γ1 = γ10, γ2 = γ20, γ3 = 0. Èç ðàâåíñòâ (15) ñëåäóåò, ÷òî âòîðîå ñîîòíîøåíèå (10) ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå z2(v) = = a2(v − c)2z2(v)/(1− a2)2, ãäå z2(v) = z20v 2 + z21v + z22. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè áóäåì ñ÷èòàòü c > 0, êàê âèäíî èç äàëüíåéøåãî àíàëèçà, ýòî îãðàíè÷åíèå íå óìåíüøàåò îáùíîñòè. Çíà÷åíèå æå v = 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ z2 = 0, åñëè b = 0 èëè b+ 2a(a+ 1) = 0, è êàê ñëåäóåò èç (10), íå ìîæåò áûòü êðàòíûì. Ñðàâíèì êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ v ïðàâûõ ÷àñòåé âòîðîãî ðàâåíñòâà (10) è ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷åííîãî äëÿ z2(v).  ðåçóëüòàòå íàéäåíî âûðàæåíèå äëÿ z2(v) : z2(v) = n(a2 − 1)/(2c − n) − (v − n + c)2 è äâà óðàâíåíèÿ, ñâÿçûâàþùèå ñâîáîäíûå ïàðàìåòðû a, b, n è äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð c: b = ac(n− c)− a(a+ 1)[(a+ 1)c− n]/(2c− n), (16) (n− 2c)2 = (a+ 1)(a− 1)2c2/[a+ 1 + (1− a)c2]. Íàëè÷èå äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ z2(v) = 0 çàâèñèò îò çíàêà âåëè÷èíû Dz2 = = n(a2 − 1)/(2c − n). Åñëè Dz2 > 0, òî îáà êîðíÿ äåéñòâèòåëüíûå è âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëå v1,2 = n− c∓ √ Dz2 . Çíà÷åíèå v = c ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé äëÿ èíòåðâàëà [v1, v2], êîãäà âûðàæå- íèå z2(c) = n(a2 − 1)/(2c− n)− (2c− n)2 íåîòðèöàòåëüíî. Äàëüíåéøèé àíàëèç óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñâîäèòñÿ ê èññëåäîâàíèþ çíàêà ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâ äëÿ Dz2 è z2(v) ïðè óñëîâèè ðàçðåøèìîñòè óðàâíåíèÿ (16) íà îáëàñòè äîïó- ñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a.  ðåçóëüòàòå áóäåì ïîëó÷àòü íåêîòîðûå îãðàíè÷åíèÿ íà ïàðàìåòðû a, b, n, c è îáëàñòü èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé, ÷òî ïîçâîëèò óñòà- íàâëèâàòü âèä äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà (èëè âîçìîæíûå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ). Ïóñòü ïàðàìåòð n îòëè÷åí îò íóëÿ, íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, â äàëüíåéøèõ èññëåäî- âàíèÿõ ñ÷èòàåì åãî ïîëîæèòåëüíûì. Îáëàñòü (8) èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà a âêëþ÷àåò â ñåáÿ îáëàñòü (7). Ïðèâåäåì îñíîâíûå ðåçóëüòàòû àíàëèçà ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé â çàäà÷å î ðàâíîâåñèè ñòåðæíåé è çàòåì ïåðåíåñåì ýòè ðåçóëüòàòû â çàäà÷ó î äâèæåíèè ãèðîñòàòà. 179 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ Åñëè ïàðàìåòð a èçìåíÿåòñÿ íà ëó÷å a > 2, òî äèñêðèìèíàíò îòðèöàòåëåí, ïðè ýòîì íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé c äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó c2 < a+ 1 a− 1 , à ïàðàìåòð n äîëæåí èçìåíÿòüñÿ â ïðåäåëàõ 0 < n < 2c.  ýòîì ñëó÷àå åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû (1) � ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå è èìååò âèä (10): x0 = c a− 2 [ a+ (a− 1) ( a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ) 1 2 ] , y0 = a a− 1 [ 1 + ( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 ] , γ10 = a(a+ 1) 1− a [( a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ) 1 2 − 1 ] [( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 + a ] × (17) × [ 1− a− a ( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 ]/ P0, γ20 = −a(a+ 1)c [( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 + a ]/ P0, z0 = γ30 = 0, ãäå P0 = ∣∣∣∣a(a+ 1) [ ((a+ 1 + (1− a)c2)/(a+ 1)) 1 2 + a ]/ (1− a) ∣∣∣∣× × √√√√[( a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ) 1 2 − 1 ]2 [ 1− a− a ( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 ]2 + (a− 1)2c2 . Íà äàííîì ðåøåíèè êðó÷åíèå ñòåðæíÿ è åãî ãëàâíûå êðèâèçíû (3) ïðèíèìàþò ïîñòîÿííûå çíà÷åíèÿ äëÿ âñåõ çíà÷åíèé äóãîâîé êîîðäèíàòû s. Ïîýòîìó îñü äåôîðìè- ðîâàííîãî ñòåðæíÿ ðàñïîëîæåíà ïî âèíòîâîé ëèíèè. Ïóñòü ïàðàìåòð a èçìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëå (2, 3).  çàâèñèìîñòè îò îãðàíè÷åíèé íà íà÷àëüíûå äàííûå âîçìîæíû ñëåäóþùèå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ. 1. Åñëè âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ c2 < a+ 1 3 √ 4(a− 1) − a+ 1 a− 1 , 2(a− 1)c3 a+ 1 < n < 2c, òî óðàâíåíèå z2(v) = 0 èìååò äâà äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ. Òî÷êà v = c ÿâëÿåòñÿ âíóòðåí- íåé äëÿ èíòåðâàëà [v1, v2]. Êîãäà íà÷àëüíîå çíà÷åíèå v = c, òî ñèñòåìà (1) äîïóñêàåò åäèíñòâåííîå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå, êîòîðîå èìååò âèä x0 = c a− 2 [ a+ (1− a) ( a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ) 1 2 ] , y0 = a 1− a [ 1− ( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 ] , 180 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà γ10 = a(a+ 1) 1− a [( a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ) 1 2 + 1 ] [( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 − a ] × (18) × [ a ( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 + 1− a ]/ P0, γ20 = a(a+ 1)c [( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 − a ]/ P0, z0 = γ30 = 0, ãäå P0 = ∣∣∣∣a(a+ 1) [(( a+ 1 + (1− a)c2 )/ (a+ 1) ) 1 2 − a ]/ (1− a) ∣∣∣∣× × √√√√[( a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ) 1 2 + 1 ]2 [ 1− a+ a ( a+ 1 + (1− a)c2 a+ 1 ) 1 2 ]2 + (a− 1)2c2 . Ýòî ðåøåíèå îïðåäåëÿåò âèíòîâóþ ëèíèþ, ïî êîòîðîé ðàñïîëîæåíà îñü íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ. Ïóñòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå v 6= c, òîãäà íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ v èçìåíÿåòñÿ â îäíîì èç äâóõ ïîëóîòêðûòûõ èíòåðâàëîâ [v1, c) èëè (c, v2]. Ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé v íà ëþáîì èç ýòèõ èíòåðâàëîâ ðåøåíèå (6) îïèñûâà- åò àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ. Ýòè àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ îòâåòâëÿþòñÿ îò âèíòîâûõ è ðåøåíèå ïðåäñòàâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåìåíòàðíîé ôóíêöèè s = A22 λ2 ∣∣∣∣a2 − 1 a ∣∣∣∣ √ 2c− n n(a2 − 1)− (2c− n)3 × × ln ∣∣∣∣∣ [ n(a2 − 1)− (2c− n)3 (2c− n)(v − c) + √ n(a2 − 1)− (2c− n)3 2c− n √ n(a2−1) 2c−n − (v − n+ c)2 v − c + +n− 2c ]/√ n(a2 − 1) 2c− n ∣∣∣∣∣, (êîãäà v → c∓ 0, òî äóãîâàÿ êîîðäèíàòà s íåîãðàíè÷åííî âîçðàñòàåò). 2. Ïóñòü âûïîëíÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ: c2 = a+ 1 3 √ 4(a− 1) − a+ 1 a− 1 , n = 2(a− 1)c3 a+ 1 . Òîãäà çíà÷åíèå v = c = v2 ÿâëÿåòñÿ òðåõêðàòíûì êîðíåì óðàâíåíèÿ z2 = 0 è ñòàöèî- íàðíîå ðåøåíèå óðàâíåíèé (1) èìååò âèä ω10 = A22c [ a+ (1− a) ( 2 a− 1 ) 1 3 ]/ (λ2(a− 2)), ω20 = A22a [ 1− ( a− 1 2 ) 1 3 ]/ (λ2(1− a)), 181 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ γ10 = a(a+ 1) 1− a [( 2 a− 1 ) 1 3 + 1 ][ −a+ (a− 1 2 ) 1 3 ][ 1− a+ a ( a− 1 2 ) 1 3 ]/ P0, (19) γ20 = a(a+ 1)c [ −a+ (a− 1 2 ) 1 3 ]/ P0, ω30 = 0, γ30 = 0, ãäå P0 = ∣∣∣∣a(a+1) [(a− 1 2 ) 1 3−a ]/ (1−a) ∣∣∣∣× √[( 2 a− 1 ) 1 3 +1 ]2[ 1− a+ a (a− 1 2 ) 1 3 ]2 + (a− 1)2c2. Ðåøåíèå (19) îïèñûâàåò âèíòîâóþ ëèíèþ, ïî êîòîðîé ðàñïîëîæåíà äåôîðìèðî- âàííàÿ îñü ñòåðæíÿ. Åñëè íà÷àëüíîå çíà÷åíèå v 6= c, òî íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ v èçìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëå [v1, c). Ðåøåíèå (6) îïðåäåëÿåò àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìû ðàâíî- âåñèÿ äåôîðìèðîâàííîé îñè. Ïðè ýòîì äóãîâàÿ êîîðäèíàòà s ÿâëÿåòñÿ àëãåáðàè÷åñêîé ôóíêöèåé ïåðåìåííîé v: s = A22(a 2 − 1) λ2a(2c− n) √ 2n− 3c− v v − c . Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà íàéäåì çàâèñèìîñòü v = (a2 − 1)2(2n− 3c)/a2 + c(2c− n)2(λ2s/A22) 2 (a2 − 1)2/a2 + (2c− n)2(λ2s/A22)2 . (20) Èç ðàâåíñòâà (20) ñëåäóåò, ÷òî îñíîâíûå ïåðåìåííûå ÿâíî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç ðàöèî- íàëüíûå ôóíêöèè îò s. Çíà÷èò ìîæíî ýëåìåíòàðíî âû÷èñëèòü äëÿ êàæäîé òî÷êè îñè ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû ñòåðæíÿ. Äàäèì èíòåðïðåòàöèþ ïîëó÷åííûõ âûøå ðåçóëüòàòîâ â çàäà÷å î äâèæåíèè ãèðîñòà- òà, èìåþùåãî ïîëîñòè, çàïîëíåííûå âðàùàþùåéñÿ æèäêîñòüþ. Ïðè âûïîëíåíèè óñëî- âèé ï. 2 è ðàâåíñòâà v = c ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (19) îïðåäåëÿåò ðàâíîìåðíûå âðàùå- íèÿ ãèðîñòàòà âîêðóã âåðòèêàëè. Íàïðàâëåíèå âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè ω â ãèðîñòàòå âû÷èñëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ âòîðîãî è òðåòüåãî ðàâåíñòâ (19). Ýòîò âåêòîð ëåæèò â ãëàâíîé ïëîñêîñòè γ3 = 0. Åñëè íà÷àëüíîå çíà÷åíèå v 6= c, òî ñîîòíîøåíèå (18) óñòàíàâëèâàåò ñâÿçü çàâèñèìîé ïåðåìåííîé v îò âðåìåíè t ïðè t ∈ [0,∞). Ïîäñòàâèì (20) â (6) è ïîëó÷èì ðåøåíèå óðàâíåíèé (1) â âèäå ñîîòíîøåíèé: ω1 = λ2 1∑ k=0 ϕk(a)τ 2k A11 1∑ k=0 γk(a)τ 2k , ω2 = λ2 2∑ k=0 ψk(a)τ 2k A22 ( 1∑ k=0 γk(a)τ 2k )2 , ω3 = λ2τ A22 ( 1∑ k=0 γk(a)τ 2k )2 , (21) γ1 = 2∑ k=0 βk(a)τ 2k( 2∑ k=0 γk(a)τ 2k )2 , γ2 = 3∑ k=0 δk(a)τ 2k( 1∑ k=0 γk(a)τ 2k )3 , γ3 = τ 1∑ k=0 rk(a)τ 2k( 1∑ k=0 γk(a)τ 2k )3 . Íàïîìíèì, ÷òî τ = λ2t/A22. Ðåøåíèå (21) îïèñûâàåò àñèìïòîòè÷åñêèå ðàâíîìåðíûå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà [1] è èìååò â êà÷åñòâå ïðåäåëüíîé òî÷êè (ïðè t → ∞ ) ñîîòíîøåíèå (19). Ðåøåíèå èíòåðåñ- íî òåì, ÷òî ïåðåìåííûå Ýéëåðà�Ïóàññîíà ÿâëÿþòñÿ ýëåìåíòàðíûìè àëãåáðàè÷åñêèìè 182 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âñòðå÷àåòñÿ êðàéíå ðåäêî â èçâåñòíûõ ñëó÷àÿõ èíòåãðèðóåìîñòè óðàâíåíèé Ýéëåðà�Ïóàññîíà. 3. Åñëè íà÷àëüíûå äàííûå óäîâëåòâîðÿþò ñîîòíîøåíèÿì a+ 1 a− 1 − a+ 1 3 √ 4(a− 1) < c2 < 1 4 (a+ 1)2(3− a)/(a+ 1), n < 2(a− 1)c3/(a+ 1), òî ýòî çíà÷èò, ÷òî v = c ÿâëÿåòñÿ èçîëèðîâàííûì êîðíåì óðàâíåíèÿ z2(v) = 0 è ñóùå- ñòâóåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (18), êîòîðîå îïèñûâàåò âèíòîâóþ ôîðìó ðàâíîâåñèÿ îñè ñòåðæíÿ. Êîãäà íà÷àëüíîå çíà÷åíèå v 6= c, òî ïåðåìåííàÿ v èçìåíÿåòñÿ íà èíòåðâàëå [v1, v2]. Çàâèñèìîñòü v = v(c) ïîñëå èíòåãðèðîâàíèÿ (11) ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: v = c+ n(a2 − 1)/(2c− n)− (2c− n)2 (2c− n) ( n ( (a2 − 1) )/ (2c− n) ) 1 2 cos ( λ2a A22(a2 − 1) √ (2c− n)2 − n(a2 − 1) 2c− n s ) , (22) ãäå v � ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T = 2π λ2a A22(a2 − 1) √ (2c− n)2 − n(a2 − 1) 2c− n . Ñ ïîìîùüþ ôîðìóëû (22) îñíîâíûå çàâèñèìîñòè (10) âûðàæàþòñÿ â ÿâíîì âèäå êàê ôóíêöèè ïåðåìåííîé s.  ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèå (10) îïèñûâàåò ôîðìû ðàâíîâåñèÿ, êîòî- ðûå íå ÿâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèìè. Ïðè ýòîì â êàæäîé òî÷êå îñè ñòåðæíÿ ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâ (10) ìîæíî âû÷èñëèòü åãî ãåîìåòðè÷åñêèå ïàðàìåòðû � êðó÷åíèå ω1 è ãëàâíûå êðèâèçíû ω2, ω3. Çàìå÷àíèå. Åñëè íà íà÷àëüíûå äàííûå íàëîæèòü îãðàíè÷åíèå â âèäå ðàâåíñòâ c = = ∓ √ (a+ 1)2(3− a)/(4(a− 1)), òî èç ñîîòíîøåíèÿ (16) ñëåäóåò, ÷òî n = 0.  ýòîì ñëó- ÷àå îñü íåäåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ ðàñïîëîæåíà ïî äóãå îêðóæíîñòè λ1 = 0. Óðàâ- íåíèå z2(v) = 0 èìååò äâà äåéñòâèòåëüíûõ èçîëèðîâàííûõ êîðíÿ v = ∓c âòîðîé êðàòíî- ñòè. Ðåøåíèå ñèñòåìû (1) ñóùåñòâóåò, åñëè íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ v = ∓c. Ýòî ðåøåíèå áó- äåò ñòàöèîíàðíûì è âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëàì (17) ïðè c = ∓ √ (a+ 1)2(3− a)/(4(a− 1)). Îíî îïðåäåëÿåò âèíòîâóþ ôîðìó ðàâíîâåñèÿ äåôîðìèðîâàííîãî ñòåðæíÿ. 4. Êîãäà ïàðàìåòð a èçìåíÿåòñÿ â èíòåðâàëå (2, 3), à íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà c óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì 1 4 (a+ 1)2(3− a)/(a+ 1) < c2 < (a+ 1)(a− 1), (23) óðàâíåíèå v = ∓c èìååò äâà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà (1) ïðè äîïóùåíèÿõ (5) èìååò òîëüêî ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå âèäà (17). Îñü äåôîðìè- ðîâàííîãî ñòåðæíÿ èìååò ôîðìó âèíòîâîé ëèíèè. 5. Åñëè ñîîòíîøåíèå äëÿ æåñòêîñòåé ñòåðæíÿ óäîâëåòâîðÿåò â áåçðàçìåðíîì âèäå íåðàâåíñòâó a ≥ 3, à íà÷àëüíûå äàííûå ëåæàò â ïðåäåëàõ c2 < (a + 1)/(a− 1), n > 2c, òî óðàâíåíèå z2(v) = 0 èìååò åäèíñòâåííûé äåéñòâèòåëüíûé êðàòíûé êîðåíü v = c. Îñü 183 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ ñòåðæíÿ äî è ïîñëå äåôîðìàöèè ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé âèíòîâóþ ëèíèþ (ðåøåíèå (10), (11) ìîæåò áûòü òîëüêî ñòàöèîíàðíûì è âû÷èñëÿòüñÿ ïî ôîðìóëàì (17)). 6. Ïóñòü ïàðàìåòð a ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (0, 1).  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (16) èìååò ðåøåíèå n1,2 = c [ 2∓ (1− a) √ a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 ] . (24) Ïðè ðàâåíñòâå n = n1 äèñêðèìèíàíò Dz2 îòðèöàòåëåí. Ïîýòîìó îáëàñòü èçìåíåíèÿ íåçàâèñèìîé ïåðåìåííîé v ñîñòîèò èç èçîëèðîâàííîé òî÷êè v = c. Íàãðóæåííûé ñòåð- æåíü ðàñïîëîæåí ïî âèíòîâîé ëèíèè, ãåîìåòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè êîòîðîé îïðåäå- ëÿåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (17). Ïàðàìåòð c ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Åñëè ïàðàìåòð n âû÷èñëÿåòñÿ ïî âòîðîé ôîðìóëå (24), òî óðàâíåíèå z2(v) = 0 èìå- åò åùå äâà äåéñòâèòåëüíûõ è ðàçëè÷íûõ êîðíÿ: v = v1,2. Òî÷êà v = c � âíóòðåííÿÿ äëÿ èíòåðâàëà [v1, v2]. Ñóùåñòâóåò ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå âèäà (18), êîòîðîå îïðåäå- ëÿåò âèíòîâóþ ôîðìó ðàâíîâåñèÿ íàãðóæåííîãî ñòåðæíÿ. Ïóñòü íà÷àëüíîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé v 6= c, òîãäà ýòà íåçàâèñèìàÿ ïåðåìåííàÿ èçìåíÿåòñÿ â îäíîì èç ïîëóîò- êðûòûõ èíòåðâàëîâ [v1, c) èëè (c, v2]. Ðåøåíèå (10) îïèñûâàåò àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ äåôîðìèðîâàííîé îñè ñòåðæíÿ, êîòîðûå îòâåòâëÿþòñÿ îò âèíòîâûõ. Ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ. Èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû àíàëèçà óñëîâèé ñóùåñòâîâà- íèÿ ñòàöèîíàðíûõ ôîðì ðàâíîâåñèÿ òîíêîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ è ïðèâåäåì óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ãèðîñòàòà. Åñëè ãèðîñòàò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòåìó òâåðäûõ òåë, òî îãðàíè÷åíèÿ íà îáëàñòü äîïóñòèìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a îïðåäåëÿþò íåðàâåíñòâà (7). Ïóñòü ïàðàìåòð a èçìåíÿåòñÿ íà ëó÷å a < −1, à íà÷àëüíûå äàííûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì c2 < (a + 1)/(a − 1), 0 < n < 2c. Òîãäà ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (17) îïðåäåëÿ- åò ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ãèðîñòàòà, ó êîòîðîãî êîíóñîì îñåé ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé áóäåò ïëîñêîñòü γ3 = 0. Âòîðîå è òðåòüå ñîîòíîøåíèå (17) îïðåäåëÿþò îðèåíòàöèþ âåêòîðà óãëîâîé ñêîðîñòè â ãèðîñòàòå. Åñëè îòíîøåíèå ãëàâíûõ ìîìåíòîâ èíåðöèè ãèðîñòàòà óäîâëåòâîðÿåò â áåçðàçìåð- íîì âèäå íåðàâåíñòâó a > 2 + √ 3, à íà÷àëüíûå äàííûå îïðåäåëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿìè (9), òî åäèíñòâåííî âîçìîæíûå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà � ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ. Ýòè âðà- ùåíèÿ îïèñûâàåò ðåøåíèå (17). Ïóñòü ïàðàìåòð a ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (2− √ 3, 1), à ïàðàìåòð n óäîâëåòâîðÿåò ïåðâîìó ðàâåíñòâó (24). È â ýòîì ñëó÷àå ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (17) îïðåäåëÿåò ðàâ- íîìåðíûå âðàùåíèÿ, äðóãèõ äâèæåíèé íåò. Êîãäà ïàðàìåòð n âû÷èñëÿåòñÿ ïî âòîðîé ôîðìóëå (24), òî ðåàëèçóþòñÿ äâà âèäà äâèæåíèé. Ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå (18) îïèñû- âàåò ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ. Åñëè æå ïåðåìåííàÿ v èçìåíÿåòñÿ â îäíîì èç èíòåðâàëîâ [v1, c) èëè (c, v2], òî ðåøåíèå äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ (11) íàõîäèì ïî óêàçàí- íîé ýëåìåíòàðíîé ôîðìóëå, ãäå äóãîâàÿ êîîðäèíàòà s äîëæíà áûòü çàìåíåíà íà âðåìÿ t. Äëÿ ðåøåíèÿ (10), â êîòîðîì îñíîâíûå ïåðåìåííûå çàâèñÿò îò âðåìåíè, âûïîëíÿ- åòñÿ òåîðåìà î íåîáõîäèìûõ è äîñòàòî÷íûõ óñëîâèÿõ ñóùåñòâîâàíèÿ àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíîìåðíûõ äâèæåíèé, äîêàçàííàÿ â ðàáîòå [1]. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ãèðîñòàò èìååò ïîëîñòè ñ èäåàëüíîé æèäêîñòüþ. Òîãäà îáëàñòü èçìåíåíèÿ ïàðàìåòðà a îïðåäåëåíà íåðàâåíñòâàìè (8).  ýòîì ñëó÷àå èññëåäîâàíèÿ ñó- ùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé â ìåõàíèêå ñòåðæíåé ïîëíîñòüþ ïåðåíîñÿòñÿ â 184 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà äèíàìèêó ãèðîñòàòà. Ïðè ýòîì âèíòîâûì ôîðìàì ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóþò ðàâíîìåð- íûå âðàùåíèÿ, à àñèìïòîòè÷åñêèì ôîðìàì ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóþò àñèìïòîòè÷åñêè ðàâíîìåðíûå äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà. Îòìåòèì, ÷òî ïðè îãðàíè÷åíèÿõ (22) ïåðèîäè÷åñêîå ðåøåíèå (10) îïðåäåëÿåò äâèæåíèå ãèðîñòàòà, êîòîðîå íå ÿâëÿåòñÿ àñèìïòîòè÷åñêè ðàâ- íîìåðíûì äâèæåíèåì. Áèôóðêàöèÿ è óñòîé÷èâîñòü ðåøåíèÿ â ñòàöèîíàðíîì ñëó÷àå. Òåîðèÿ áè- ôóðêàöèé ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñîçäàíà À. Ïóàíêàðå è Í.Ã. ×åòàåâûì äëÿ ëàãðàíæå- âûõ êîíñåðâàòèâíûõ ìåõàíè÷åñêèõ ñèñòåì.  ðàáîòàõ Â.Í. Ðóáàíîâñêîãî [8, 9] ïîêàçàíî, ÷òî ýòà òåîðèÿ ïðèìåíèìà òàêæå äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ñ èçâåñòíûìè ïåðâûìè èí- òåãðàëàìè. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ W = 2H − ω ( 3∑ i=1 (Aiiωi + λi)γi −K ) + 1 2 qω2(γ2 1 + γ2 2 + γ2 3 − 1), (25) êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ èíòåãðàëîì ñèñòåìû äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé (1). Çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ ωi, γi (i = 1, 2, 3), äëÿ êîòîðûõ èíòåãðàë (25) èìååò ñòàöèîíàðíûå çíà÷å- íèÿ ïðè óñëîâèÿõ (5) è äàííîé âåëè÷èíå K èíòåãðàëà ïëîùàäåé, ñîîòâåòñòâóþò ðàâ- íîìåðíûå âðàùåíèÿ ãèðîñòàòà (èëè ñòàöèîíàðíûå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ ñòåðæíÿ). Îíè îïðåäåëÿþòñÿ ïî ìåòîäó íåîïðåäåëåííûõ ìíîæèòåëåé Ëàãðàíæà èç óðàâíåíèé ∂W ∂ω = 0, ∂W ∂q = 0, ∂W ∂γi = 0, ∂W ∂ωi = 0. (26) Èç ïîñëåäíèõ øåñòè óðàâíåíèé (26) íàõîäèì ωi = ωγi, γi = ei − ωλi ω2(Aii − q) . (27) Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â (3), ïîëó÷èì óðàâíåíèÿ: Φ(ω, q) = ω4 − 3∑ i=1 (ei − ωλi) 2 (Aii − q)2 = 0, (28) K(ω, q) = 1 ω3 3∑ i=1 (Aiiei − qωλi)(ei − ωλi) (Aii − q)2 .  ïðîñòðàíñòâå K,ωi, γi (i = 1, 2, 3) óðàâíåíèÿ (27), (28) îïðåäåëÿþò êðèâóþ Q.  îêðåñòíîñòè òî÷êè ñàìîïåðåñå÷åíèÿ Q ñîâïàäàþò, ïî ìåíüøåé ìåðå, äâà âåùåñòâåííûõ êîðíÿ (26), à çíà÷èò, ðàâåí íóëþ ãåññèàí D ôóíêöèè W ïî ïåðåìåííûì ω, q, ωi, γi (i = = 1, 2, 3). Ìíîæåñòâî ðåøåíèé (26), (27) ãåîìåòðè÷åñêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü â ïðîñòðàíñòâå K,ω, q â âèäå êðèâîé Q̃, îïðåäåëÿåìîé óðàâíåíèÿìè (28). Ìåæäó òî÷êàìè êðèâûõ Q è Q̃ óñòàíàâëèâàåòñÿ áèåêòèâíîå îòîáðàæåíèå ôîðìóëàìè (27), à çíà÷èò òî÷êàì áèôóð- êàöèè êðèâîé Q ñîîòâåòñòâóþò òî÷êè âåòâëåíèÿ êðèâîé Q̃, ãäå óíè÷òîæàåòñÿ ÿêîáèàí D̃ óðàâíåíèé (28). 185 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ Èñïîëüçóåì ðåçóëüòàòû ðàáîòû [9] è çàïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ dK dq è dω dq . Òîãäà dK dq = − D D(2) , dω dq = D(1) D(2) , ãäå D = A11A22A33ω 6(B1 + ω2B2B3), D(1) = −A11A22A33ω 8B3, D(2) = 1 2 A11A22A33ω 4(q − A11)(q − A22)(q − A33) ∂Φ ∂ω , B1 = ∑ 1,2,3 (q − A11)[2ω(A22 − A33)γ2γ3 + λ2γ3 − λ3γ2] 2, B2 = 3∑ i=1 Aiiγ 2 i , B3 = ∑ 1,2,3 (q − A22)(q − A33)γ 2 1 . Ñîîòíîøåíèå ìåæäó ÿêîáèàíàìè D è D̃ èìååò âèä D = 1 2 A11A22A33ω 4(A11 − q)(A22 − q)(A33 − q)D̃. Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè äâèæåíèé (27) â ñëó÷àå, êîãäà∑ (1,2,3) [2ω(A22 − A33)γ2γ3 + λ2γ3 − λ3γ2] 2 6= 0, ïðèâîäÿòñÿ ê íåðàâåíñòâàì B1 > 0, D > 0. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ D < 0 íåâîçìó- ùåííîå äâèæåíèå íåóñòîé÷èâî [9]. Èññëåäóåì áèôóðêàöèþ è óñòîé÷èâîñòü ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé äëÿ òî÷íîãî ðåøå- íèÿ [6]. Ââåäåì äîïîëíèòåëüíûé ïàðàìåòð µ âìåñòî ïàðàìåòðà c ñ ïîìîùüþ ðàâåíñòâà µ2 = a+ 1 a+ 1 + (1− a)c2 . (29) Ïåðåïèøåì îãðàíè÷åíèÿ (16), êîòîðûå äàþò óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé n = c[2∓ (1− a)µ], b+ a(c− n)c = a(a+ 1) µ (−µ± 1), c = √ (a+ 1)(1− µ2) (1− a)µ2 . (30) Ââåäåì áåçðàçìåðíûå âåëè÷èíû ω̃ = A22ω λ2 , q̃ = q A11 . Èç ñîîòíîøåíèé (27) è (30) ïîëó÷èì çàâèñèìîñòü q = g y(c) + 1 y(c) = g µ± a a(µ± 1) , ω = (1− a2) Pµ± 1 c(−aµ± 1) . (31) Çíàê âîëíû â (31) îïóùåí. Âòîðîå ðàâåíñòâî (31) îïðåäåëÿåò êðèâóþ ω = ω(µ). Òî÷êè µ1,2 = ∓1 a íà îñè Oµ ÿâëÿþòñÿ ïðåäåëüíûìè è íåäîñòèæèìûìè. Ïîñòîÿííóþ â 186 Áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé Ýéëåðà�Êèðõãîôà èíòåãðàëå, êîòîðàÿ â áåçðàçìåðíîì âèäå äàíà âòîðîé ôîðìóëîé (9), çàïèøåì ñëåäóþ- ùèì îáðàçîì K = −a(a− 2)λ1 a2 − a+ 1 b+ (a+ 1)3√ b2 + a2(a+ 1)2n2 . (32)  ñèëó ñîîòíîøåíèé (30) âåëè÷èíà K, îïðåäåëÿåìàÿ ðàâåíñòâîì (32), ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îäíîãî ñâîáîäíîãî ïàðàìåòðà µ. Ìíîæåñòâî ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé (27) ãåîìåòðè÷åñêè ìîæíî ïðåäñòàâèòü íà ïëîñêîñòè (K,µ) êðèâîé ˜̃ Q, îïðåäåëÿåìîé óðàâ- íåíèåì (32) íà ñîîòíîøåíèÿõ (30). Ìåæäó òî÷êàìè êðèâûõ Q̃ è ˜̃ Q óñòàíàâëèâàåòñÿ âçàèìíîîäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå ôîðìóëàìè (31). Èç ðàâåíñòâ, ñâÿçûâàþùèõ D, D̃,K è Φ, ñëåäóåò, ÷òî â òî÷êàõ áèôóðêàöèè îáðàùàåòñÿ â íóëü ïðîèçâîäíàÿ dK dµ = 0. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïî µ îò ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (32) è çàïèøåì óðàâíåíèå áèôóðêàöèè db dµ [ (a+ 1)b− a2n2 ] + a2n [ b+ (a+ 1)3 ]dn dµ = 0. Ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ñ ó÷åòîì ñîîòíîøåíèé (30) äàåò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ äëÿ µ: µ = ∓ 3 √ 2 (a− 1) , µ = ∓1 a . Âåðíåìñÿ ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé c. Êàê ñëåäóåò èç (30), ïðè µ = ∓1 âåëè÷èíà c ñòàíîâèòñÿ ìíèìîé. Ïîýòîìó çíà÷åíèÿ µ = ∓1/a íå ìîãóò áûòü òî÷êàìè áèôóðêàöèè. Èññëåäóåì âîçìîæíîñòü âåòâëåíèÿ ïðè µ = ∓ 3 √ 2/(a− 1).  ýòîì ñëó÷àå c óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó c2 = (a+1) [ 1− a 3 √ 4(a− 1) +1 ]/ (a−1), êîòî- ðîå ñîâïàäàåò ñ ïåðâûì ñîîòíîøåíèåì ï. 4. Ðàíåå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè ýòèõ óñëîâèÿõ óðàâíåíèå z2(v) = 0 èìååò òðåõêðàòíûé êîðåíü v = c. Ïðè ýòîì ñóùåñòâóþò îãðàíè÷å- íèÿ íà ïàðàìåòð a â âèäå íåðàâåíñòâà 2 < a < 3. Òàê êàê ðåøåíèå (10) ðåàëèçóåòñÿ â äèíàìèêå ñèñòåìû òâåðäûõ òåë ïðè óñëîâèÿõ (11), êîòîðûå ïðîòèâîðå÷àò íåðàâåíñòâàì 2 < a < 3, òî ðàâíîìåðíûå âðàùåíèÿ ãèðîñòàòà Äîêøåâè÷à íå ðàçâåòâëÿþòñÿ. Îáà óñëîâèÿ áèôóðêàöèè íå èìåþò ñìûñëà.  ìåõàíèêå òîíêîãî óïðóãîãî ñòåðæíÿ óñëîâèÿ âåòâëåíèÿ ÿâëÿþòñÿ óðàâíåíèåì ñâÿçè íà ïàðàìåòðû a è µ, ïðè êîòîðîì ïðîèñõîäèò áèôóðêàöèÿ ñòàöèîíàðíûõ ôîðì ðàâíîâåñèÿ, ò. å. ïðè îäíîé è òîé æå âåëè÷èíå êîíöåâîãî ìîìåíòà K ðåàëèçóþòñÿ ñëåäó- þùèå âèíòîâûå ðàâíîâåñíûå ôîðìû. Ïåðâûå îïðåäåëÿþòñÿ îãðàíè÷åíèÿìè (18). Îò íèõ îòâåòâëÿþòñÿ àñèìïòîòè÷åñêèå ôîðìû ðàâíîâåñèÿ. Âòîðûå ðåàëèçóþòñÿ ïðè óñëîâèÿõ (20). Äëÿ àíàëèçà óñëîâèé óñòîé÷èâîñòè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîëó÷àåìûå èç (28) ñîîòíîøåíèÿ D = 1 2 A11A22A33ω 4(A11 − q)(A22 − q)(A33 − q) ∂Φ ∂ω dK dq , ω4B2 = 1 2 A11A22A33(A11 − q)(A22 − q)(A33 − q) ∂Φ ∂ω dω dq . 187 À.À. Èëþõèí, Ñ.À. Êîëåñíèêîâ Èç íèõ òàêæå ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå D = B2ω 8dK dq / dω dq , êîòîðîå ñ ïîìîùüþ (31) ïðåîáðàçóåòñÿ ê âèäó D = B2ω 8dK dµ / dω dµ , ãäå B2 = (A22− q)[(A22− q)γ2 1+ +(A11− q)γ2 2 ]. Àíàëèç çíàêà âåëè÷èíû D ñ ïîìîùüþ ïðîèçâîäíûõ dK dµ è dω dµ ïðè óñëîâèÿõ ñóùå- ñòâîâàíèÿ ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ïîêàçàë, ÷òî äëÿ âñåõ ðåàëèçóåìûõ ñëó÷àåâ D < 0. À çíà÷èò, íå âûïîëíÿåòñÿ íåîáõîäèìîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèé. Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ãðàíòà ÒÃÏÈ (ïðèêàç � 96 îò 31.08.2005, � 1, ï. 1). 1. Ãîðð Ã.Â., Èëþõèí À.À., Êîâàëåâ À.Ì., Ñàâ÷åíêî À.ß. Íåëèíåéíûé àíàëèç ïîâåäåíèÿ ìåõàíè÷å- ñêèõ ñèñòåì. � Êèåâ: Íàóê. äóìêà, 1984. � 285 ñ. 2. Èëþõèí À.À. Ïðîñòðàíñòâåííûå çàäà÷è íåëèíåéíîé òåîðèè óïðóãèõ ñòåðæíåé. � Êèåâ: Íàóê. äóì- êà, 1979. � 216 ñ. 3. Íèêîëàè Å.Ë. Ê çàäà÷å îá óïðóãîé ëèíèè äâîÿêîé êðèâèçíû // Òð. ïî ìåõàíèêå. � Ì.: ÎÃÈÇ, 1955. � C. 45�277. 4. Kirchhof G. Uber das Gleichgewicht und die Bewegung eines unendlich dunen elastishen Stabes // J. f�ur Math. � 1859. � 56. � S. 254�277. 5. Èëþõèí À.À. Èçãèá è êðó÷åíèå èçîòðîïíîãî ñòåðæíÿ ñ ðàâíûìè ãëàâíûìè æåñòêîñòÿìè ïðè èçãèáå // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1971. � Âûï. 3. � Ñ. 161�164. 6. Äîêøåâè÷ À.È. Íîâîå ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ãèðîñòàòà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó // Òàì æå. � 1970. � Âûï.2. � Ñ. 12�15. 7. Õàðëàìîâ Ï. Â. Î ðàâíîìåðíûõ âðàùåíèÿõ òåëà, èìåþùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó// Ïðèêë. ìàòå- ìàòèêà è ìåõàíèêà. � 1964. � 28, âûï. 3. � C. 158�159. 8. Ðóáàíîâñêèé Â.Í. Î áèôóðêàöèè è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé â íåêîòîðûõ çàäà÷àõ äèíàìèêè òâåðäîãî òåëà // Òàì æå. � 1974. � 38, âûï. 4. � Ñ. 616�627. 9. Ðóáàíîâñêèé Â.Í. Î áèôóðêàöèè è óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé ñèñòåì ñ èçâåñòíûìè ïåðâûìè èíòåãðàëàìè // Çàäà÷è èññëåä. óñòîé÷èâîñòè è ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ. � 1975. � Âûï. 1. � C. 121�200. 10. Èëþõèí À.À. Îáîáùåíèå óñëîâèÿ Å.Ë. Íèêîëàè â òåîðèè òîíêèõ ñòåðæíåé // Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. � 1970. � Âûï. 2. � Ñ. 99�104. 11. Êîâàëåâ À. Ì. Î ñòàöèîíàðíûõ ðåøåíèÿõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ òåëà, èìåþ- ùåãî íåïîäâèæíóþ òî÷êó // Ìàòåìàòè÷åñêàÿ ôèçèêà. � 1968. � Âûï. 5. � Ñ. 87�102. 12. Âàéíáåðã Ì.Ì. Òðåíîãèí Â.À. Òåîðèÿ âåòâëåíèÿ ðåøåíèé íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé. � Ì.: Íàóêà, 1969. � 527 ñ. 13. Êåëëåð Äæ., Àíòìàí Ñ. Òåîðèÿ âåòâëåíèÿ è íåëèíåéíûå çàäà÷è íà ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ. � Ì.: Ìèð, 1969. � C. 87�102. 14. Antman S. General solutions for plane extensible elasticae hawing nonlinear stress - strain laws // Quart. Appl. Math. � 1968. � 26. � P. 35�47. Òàãàíðîãñêèé ãîñ. ïåäàãîãè÷åñêèé èí-ò, Ðîññèÿ Ïîëó÷åíî 11.10.05 188

Схожі ресурси