О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием
Рассматривается задача о стабилизации движения управляемой системы с запаздывающей обратной связью. Решение находится с помощью теорем со знакопостоянными функционалами Ляпунова. В качестве примеров приводятся решение задачи о стабилизации положения равновесия управляемой линейной нестационарной мех...
Збережено в:
| Дата: | 2005 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2005
|
| Назва видання: | Механика твердого тела |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123781 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием / С.В. Павликов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 212-216. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123781 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1237812017-09-10T03:05:05Z О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием Павликов, С.В. Рассматривается задача о стабилизации движения управляемой системы с запаздывающей обратной связью. Решение находится с помощью теорем со знакопостоянными функционалами Ляпунова. В качестве примеров приводятся решение задачи о стабилизации положения равновесия управляемой линейной нестационарной механической системы с одной степенью свободы и решение задачи о стабилизации неустойчивого стационарного вращательного движения твердого тела вокруг средней главной оси инерции. 2005 Article О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием / С.В. Павликов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 212-216. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123781 517.929 : 531.36 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается задача о стабилизации движения управляемой системы с запаздывающей обратной связью. Решение находится с помощью теорем со знакопостоянными функционалами Ляпунова. В качестве примеров приводятся решение задачи о стабилизации положения равновесия управляемой линейной нестационарной механической системы с одной степенью свободы и решение задачи о стабилизации неустойчивого стационарного вращательного движения твердого тела вокруг средней главной оси инерции. |
| format |
Article |
| author |
Павликов, С.В. |
| spellingShingle |
Павликов, С.В. О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием Механика твердого тела |
| author_facet |
Павликов, С.В. |
| author_sort |
Павликов, С.В. |
| title |
О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием |
| title_short |
О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием |
| title_full |
О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием |
| title_fullStr |
О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием |
| title_full_unstemmed |
О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием |
| title_sort |
о стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2005 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123781 |
| citation_txt |
О стабилизации движения управляемой системы с запаздыванием / С.В. Павликов // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 212-216. — Бібліогр.: 3 назв. — рос. |
| series |
Механика твердого тела |
| work_keys_str_mv |
AT pavlikovsv ostabilizaciidviženiâupravlâemojsistemyszapazdyvaniem |
| first_indexed |
2025-07-09T00:17:04Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:17:04Z |
| _version_ |
1837126370659926016 |
| fulltext |
ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35
ÓÄÊ 517.929 : 531.36
c©2005. Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
Î ÑÒÀÁÈËÈÇÀÖÈÈ ÄÂÈÆÅÍÈß
ÓÏÐÀÂËßÅÌÎÉ ÑÈÑÒÅÌÛ Ñ ÇÀÏÀÇÄÛÂÀÍÈÅÌ
Ðàññìàòðèâàåòñÿ çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàþùåé îáðàòíîé
ñâÿçüþ. Ðåøåíèå íàõîäèòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåì ñî çíàêîïîñòîÿííûìè ôóíêöèîíàëàìè Ëÿïóíîâà. Â
êà÷åñòâå ïðèìåðîâ ïðèâîäÿòñÿ ðåøåíèå çàäà÷è î ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ óïðàâëÿåìîé
ëèíåéíîé íåñòàöèîíàðíîé ìåõàíè÷åñêîé ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû è ðåøåíèå çàäà÷è î ñòàáè-
ëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî ñòàöèîíàðíîãî âðàùàòåëüíîãî äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñðåäíåé ãëàâíîé
îñè èíåðöèè.
1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è. Îñíîâíûå îïðåäåëåíèÿ. Ïóñòü R = ]−∞, +∞[ åñòü
äåéñòâèòåëüíàÿ îñü, R+ = [0, +∞[, Rn åñòü äåéñòâèòåëüíîå ëèíåéíîå ïðîñòðàíñòâî n-
âåêòîðîâ x ñ íîðìîé |x|, h > 0 � íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, C[α,β] � áàíàõîâî ïðî-
ñòðàíñòâî íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé ϕ : [α, β] → Rn ñ íîðìîé ‖ϕ‖ = sup (|ϕ(s)|, α ≤ s ≤ β),
CH =
{
ϕ ∈ C[−h,0] : ‖ϕ‖ < H
}
, äëÿ íåïðåðûâíîé ôóíêöèè x : ]−∞, +∞[ → Rn è êàæäî-
ãî t ∈ R ôóíêöèÿ xt ∈ C[−h,0] îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì xt (s) = x(t+ s) äëÿ −h ≤ s ≤ 0,
ïîä ẋ(t) áóäåì ïîíèìàòü ïðàâîñòîðîííþþ ïðîèçâîäíóþ.
Ðàññìàòðèâàåòñÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà, äâèæåíèå êîòîðîé îïèñûâàåòñÿ ôóíêöèî-
íàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèåì çàïàçäûâàþùåãî òèïà:
ẋ(t) = f(t,xt, u(t,xt)), (1)
çäåñü xt ∈ CH , x(t) ∈ Rn, u = u(t,xt) ∈ U,u(t,0) = 0, ãäå u : R+ × CH → Rm åñòü
óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå, U � íåêîòîðûé êëàññ äîïóñòèìûõ íåïðåðûâíûõ óïðàâëåíèé;
f(t,xt, u) : R+ × CH × Rm → Rn, f(t,0,0) ≡ 0, åñòü íåïðåðûâíîå îòîáðàæåíèå, óäîâëå-
òâîðÿþùåå â R+ × CH × Rm óñëîâèÿì ñóùåñòâîâàíèÿ, åäèíñòâåííîñòè è íåïðåðûâíîé
çàâèñèìîñòè ðåøåíèé (1) îò íà÷àëüíûõ äàííûõ.
Îïðåäåëåíèå 1. Óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u = u0(t,xt) íàçûâàåòñÿ ñòàáèëèçèðó-
þùèì, åñëè îíî îáåñïå÷èâàåò àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî ðåøåíèÿ x = 0
óðàâíåíèÿ (1).
Ðàññìîòðèì ïðèìåíåíèå òåîðåì èç [1, 2] ê ðåøåíèþ ïîñòàâëåííîé çàäà÷è î ñòàáè-
ëèçàöèè. Ïóñòü ïðè íåêîòîðîì u0 ∈ U äâèæåíèå óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû îïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèåì
ẋ(t) = f 0(t,xt), f 0(t,ϕ) = f(t,ϕ, u0(t,ϕ)). (2)
Ïðè ýòîì ïðàâàÿ ÷àñòü f 0(t,ϕ) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèÿì ïðåäêîìïàêòíîñòè, ñóùåñòâî-
âàíèÿ è åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèé êàê ñàìîãî óðàâíåíèÿ, òàê è ïðåäåëüíûõ ê íåìó óðàâ-
íåíèé [2, 3]
ẋ(t) = f ∗0(t,xt), (3)
ãäå f ∗0 åñòü ïðåäåëüíàÿ òî÷êà ñåìåéñòâà ñäâèãîâ {f τ
0, f
τ
0(t,ϕ) = f 0(τ + t,ϕ), τ ∈ R+} â
íåêîòîðîì ïðîñòðàíñòâå F íåïðåðûâíûõ ôóíêöèé f : R+ × Γ → Rn, Γ ⊂ CH [3].
Áóäåì äàëåå òàêæå èñïîëüçîâàòü îïðåäåëåíèÿ è îöåíêè, ââåäåííûå â ðàáîòå [2].
212
Î ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì
Äëÿ íåêîòîðîãî íåïðåðûâíîãî ôóíêöèîíàëà V : R+ × CH → R ÷åðåç V̇ (α, ϕ) îïðå-
äåëèì âåðõíþþ ïðàâîñòîðîííþþ ïðîèçâîäíóþ â ñèëó óðàâíåíèÿ (2) â òî÷êå (α, ϕ) ∈
∈ R+ × CH . Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ ýòîé ïðîèçâîäíîé èìååò ìåñòî îöåíêà
V̇ (α, ϕ) ≤ −W (α, ϕ) ≤ 0,
ãäå ôóíêöèîíàë W : R+ × CH → R+ îãðàíè÷åí, ðàâíîìåðíî íåïðåðûâåí íà êàæäîì
ìíîæåñòâå R+ ×K äëÿ êàæäîãî êîìïàêòà K ⊂ CH .
Ñîîòâåòñòâåííî ìîæíî îïðåäåëèòü ñåìåéñòâî {W ∗ : R+ × Γ → R+} ïðåäåëüíûõ ê
W ôóíêöèîíàëîâ W ∗, ïðåäåëüíóþ ïàðó (f ∗0, W
∗) è ïðåäåëüíîå ìíîæåñòâî V −1
∞ (t, c) [2].
2. Òåîðåìû î ñòàáèëèçàöèè. Íà îñíîâàíèè òåîðåì îá àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷è-
âîñòè èç ðàáîò [1,2] èìååì ñëåäóþùèå äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ñòàáèëèçèðóåìîñòè ïîëî-
æåíèÿ x = 0 ñèñòåìû (1).
Òåîðåìà 1. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóþò ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà V (t,ϕ) : R+×
×CH → R+ è óïðàâëåíèå u0(t,xt) ∈ U òàêèå, ÷òî âûïîëíÿþòñÿ óñëîâèÿ:
1) a1(|ϕ(0)|) ≤ V (t,ϕ) ≤ a2(‖ϕ‖), V̇ (t,ϕ) ≤ −W (t,ϕ) ≤ 0 ∀(t,ϕ) ∈ R+ × CH ;
2) äëÿ ëþáîé ïðåäåëüíîé ïàðû (f ∗0, W
∗) ìíîæåñòâî {W ∗(t,ϕ) = 0} íå ñîäåðæèò
ðåøåíèé óðàâíåíèÿ ẋ(t) = f ∗0(t,xt), êðîìå íóëåâîãî x = 0.
Òîãäà u0(t,xt) åñòü ñòàáèëèçèðóþùåå óïðàâëåíèå. Ïðè ýòîì ðåøåíèå x = 0 óðàâ-
íåíèÿ (1) ðàâíîìåðíî àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî.
Òåîðåìà 2. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ñèñòåìû (1) ìîæíî íàéòè óïðàâëÿþùåå âîçäåé-
ñòâèå u0 ∈ U è ôóíêöèîíàë V = V (t,ϕ) òàêèå, ÷òî:
1) |V (t,ϕ)| ≤ a1(‖ϕ‖) äëÿ (t,ϕ) ∈ R+ × CH , V (t,ϕ) ≥ 0 äëÿ êàæäîãî t ∈ R+ è
êàæäîé ôóíêöèè ϕ ∈ CH òàêîé, ÷òî ‖ϕ‖ = |ϕ(0)|;
2) ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèîíàëà V â ñèëó ñèñòåìû (2) V̇ (t,ϕ) ≤ −W (t,ϕ) ≤ 0 äëÿ
âñåõ (t,ϕ) ∈ R+ × {ϕ ∈ CH : V (t,ϕ) > 0, ‖ϕ‖ = |ϕ(0)|};
3) äëÿ êàæäîé ïðåäåëüíîé ïàðû (f ∗0, W
∗) ìíîæåñòâî{V −1
∞ (t, c) : c = const >
> 0}
⋂
{W ∗(t,ϕ) = 0} íå ñîäåðæèò ðåøåíèé x∗(t,ϕ) óðàâíåíèÿ (3);
4) ðåøåíèå x = 0 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâî îòíîñèòåëüíî ìíîæåñòâà {V −1
∞ (t, c) :
c ≤ 0} ðàâíîìåðíî ïî ñîâîêóïíîñòè ïðåäåëüíûõ óðàâíåíèé (3).
Òîãäà óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå u = u0(t,ϕ) ðåøàåò çàäà÷ó î ñòàáèëèçàöèè ïîëî-
æåíèÿ x = 0 ñèñòåìû (1).
Ïðèìåð 1. Çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ëèíåéíîé ìåõàíè÷åñêîé
ñèñòåìû ñ îäíîé ñòåïåíüþ ñâîáîäû, îïèñûâàåìîé óðàâíåíèåì
ẍ = p(t)x− f(t)ẋ + u, (4)
ãäå p(t) è f(t) åñòü îãðàíè÷åííûå ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíûå ïî t ∈ R+, à u åñòü óïðàâ-
ëÿþùåå âîçäåéñòâèå, ïðîïîðöèîíàëüíîå îòêëîíåíèþ x, îïðåäåëÿåìîìó â öåïè îáðàòíîé
ñâÿçè ñ çàïàçäûâàíèåì τ = τ(t),
u(t, xt) = −k(t)x(t− τ(t)), 0 ≤ τ(t) ≤ h > 0, (5)
ãäå k(t) åñòü íåêîòîðàÿ ðàâíîìåðíî íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ. Óðàâíåíèåì òèïà (4) ìîæåò
îïèñûâàòüñÿ, íàïðèìåð, â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè äâèæåíèå ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà
â âÿçêîé ñðåäå âáëèçè åãî íåóñòîé÷èâîãî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, êîãäà åãî òî÷êà ïîäâåñà
ñîâåðøàåò âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿ, óïðàâëÿåìûå êîëåáàíèÿ òàêîãî ìàÿòíèêà è ò.ä.
213
Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
 äàííîé ïîñòàíîâêå óðàâíåíèå (4) ïðèâîäèòñÿ ê âèäó
ẍ(t) = p(t)x(t)− f(t)ẋ(t)− k(t)x(t− τ(t)).
Ïîëîæèì äëÿ óäîáñòâà x1 = x, x2 = ẋ è ïðèâåäåì ýòî óðàâíåíèå ê ñèñòåìå
ẋ1(t) = x2(t),
ẋ2(t) = (p(t)− k(t))x1(t)− f(t)x2(t) + k(t)
0∫
−τ(t)
x2(t + s)ds.
(6)
Äîïóñòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ k(t) îïðåäåëÿåòñÿ èç óñëîâèé
0 < α0 ≤ ω(t) = k(t)− p(t) ≤ α1, α0, α1 − const,
f(t)
ω(t)
+
ω̇(t)
2ω2(t)
≥ µ0, µ0 > hL, L = sup
t≥0
(
|k(t)|
ω(t)
)
.
(7)
Ñèñòåìà, ïðåäåëüíàÿ ê ñèñòåìå (6), èìååò àíàëîãè÷íûé âèä
ẋ1(t) = x2(t),
ẋ2(t) = −ω∗(t)x1(t)− f ∗(t)x2(t) + k∗(t)
0∫
−τ∗(t)
x2(t + s)ds,
(8)
ãäå ω∗(t), f∗(t), k∗(t), τ ∗(t) åñòü êîýôôèöèåíòû, ïðåäåëüíûå ê ñîîòâåòñòâóþùèì êîýô-
ôèöèåíòàì èç (6).  ÷àñòíîñòè, ω∗(t) = lim
tn→+∞
ω(tn + t), è çíà÷èò, 0 < α0 ≤ ω∗(t) ≤ α1
äëÿ âñåõ t ∈ R. Äëÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèîíàëà 2V (t, ϕ1, ϕ2) =
h
ω(t)
ϕ2
2(0) + hϕ2
1(0)+
+µ0
0∫
−h
0∫
−s
ϕ2
2(u)duds â ñèëó ñèñòåìû (6) ìîæíî èç íåðàâåíñòâ (7) íàéòè îöåíêó
V̇ (t, ϕ1, ϕ2) =
(
−f(t)
ω(t)
− ω̇(t)
2ω2(t)
)
hϕ2
2(0) +
k(t)
ω(t)
h
0∫
−τ(t)
ϕ2(0)ϕ2(s)ds+
+
µ0
2
0∫
−h
(ϕ2
2(0)− ϕ2
2(s))ds ≤ −
0∫
−h
(µ0
2
ϕ2
2(0)− hLϕ2(0)ϕ2(s) +
µ0
2
ϕ2
2(s)
)
ds ≤
≤ −
0∫
−h
(
µ0 − hL
2
(ϕ2
2(0) + ϕ2
2(s)) + hL(ϕ2(0)− ϕ2(s))
2
)
ds ≤ −W (ϕ1, ϕ2) ≤ 0,
ãäå W (ϕ1, ϕ2) =
µ0 − hL
2
0∫
−h
(ϕ2
2(0) + ϕ2
2(s))ds.
214
Î ñòàáèëèçàöèè äâèæåíèÿ óïðàâëÿåìîé ñèñòåìû ñ çàïàçäûâàíèåì
Ìíîæåñòâî {W (ϕ1, ϕ2) = 0} ≡ {ϕ2(s) = 0,−h ≤ s ≤ 0}. Ðåøåíèå ïðåäåëüíîé
ñèñòåìû (8) (x1(t), x2(t)), ñîäåðæàùååñÿ âî ìíîæåñòâå {W (ϕ1, ϕ2) = 0}, åñòü x2(t) ≡
≡ 0. Ïîäñòàâëÿÿ x2(t) ≡ 0 â ñèñòåìó (8), íàõîäèì, ÷òî åäèíñòâåííûì òàêèì ðåøåíèåì
âîçìîæíî ÿâëÿåòñÿ òîëüêî ðåøåíèå x1(t) = x2(t) ≡ 0.
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 1 ïîëó÷àåì, ÷òî óïðàâëÿþùåå âîçäåéñòâèå (5) ðåøàåò çàäà÷ó
î ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ ẋ = x = 0 ñèñòåìû (4).
Óñëîâèÿ (7) äëÿ ñëó÷àÿ k(t) = k0 = const > 0 â ãðóáîé ôîðìå ìîãóò áûòü ïðåä-
ñòàâëåíû â âèäå óñëîâèé äëÿ îïðåäåëåíèÿ êîýôôèöèåíòà óñèëåíèÿ k0 è ìàêñèìàëüíîãî
èíòåðâàëà çàïàçäûâàíèÿ h
k0 = p2 −
1
2
p3
f1
+
ε
f1
, h <
ε(k0 − p2)
k0(k0 − p1)2
, ãäå ε > 0 − ïðîèçâîëüíîå ÷èñëî,
f1 = min
t≥0
f(t) > 0, p1 = min
t≥0
p(t), p2 = max
t≥0
p(t), p3 = min
t≥0
ṗ(t).
Ïðèìåð 2. Çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè íåóñòîé÷èâîãî ñòàöèîíàðíîãî âðàùàòåëüíîãî
äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñðåäíåé îñè èíåðöèè.
Óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà âîêðóã íåïîäâèæíîé òî÷êè äîïóñêàþò ñòàöèî-
íàðíîå âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå âîêðóã ãëàâíîé îñè (ïðèìåì åå çà îñüOz), íåóñòîé÷èâîå,
åñëè ýòà îñü ñðåäíÿÿ, B > C > A. Ðàññìîòðèì çàäà÷ó î ñòàáèëèçàöèè òàêîãî äâèæåíèÿ,
à èìåííî, äâèæåíèÿ âîêðóã îñè Oz, p = q = 0, r = r0 = const > 0. Óðàâíåíèÿ âîçìó-
ùåííîãî äâèæåíèÿ ïîä äåéñòâèåì óïðàâëÿþùèõ âîçäåéñòâèé â ëèíåéíîì ïðèáëèæåíèè
ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå
dx1
dt
=
(B − C)
A
r0x2 + u1,
dx2
dt
=
(C − A)
B
r0x1 + u2,
dx3
dt
= u3.
(9)
Çàäà÷à î ñòàáèëèçàöèè ïîëîæåíèÿ x1 = x2 = x3 = 0 ýòîé ñèñòåìû ðåøàåòñÿ óïðàâëÿþ-
ùèìè âîçäåéñòâèÿìè
u1 = −k1x1(t− τ(t)), u2 = −k1x2(t− τ(t)), u3 = −k2x3(t− τ(t)), (10)
ãäå τ(t), 0 ≤ τ(t) ≤ h, åñòü çàïàçäûâàíèå â ñèñòåìå óïðàâëåíèÿ, k1 è k2 � êîýôôèöèåíòû
óñèëåíèÿ, âûáèðàåìûå èç óñëîâèé
k1 >
r0µ1µ2
AB
, 2hk1
(r0µ1µ2
AB
+ k1
)
< k1 −
r0µ1µ2
AB
,
k2 > 0, 2k2h < 1, µ1 =
√
A(C − A), µ2 =
√
B(B − C).
(11)
Äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ ïðîâîäèòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì.
Óðàâíåíèÿ, ïðåäåëüíûå ê (9), (10), èìåþò àíàëîãè÷íûé âèä ñ çàïàçäûâàíèåì τ ∗(t),
ïðåäåëüíûì ê τ(t), τ ∗(t) = lim
tn→+∞
τ(tn + t), è ñîîòâåòñòâåííî, 0 ≤ τ ∗(t) ≤ h.
Äëÿ ôóíêöèîíàëà
V1(ϕ1, ϕ2, ϕ3) =
1
2
(µ1ϕ1(0) + µ2ϕ2(0))
2 +
1
2
ϕ2
3(0)
215
Ñ.Â. Ïàâëèêîâ
íàõîäèì, ÷òî åãî ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó (9) â ñîîòâåòñòâèè ñ (11) äëÿ çíà÷åíèé (ϕ1, ϕ2, ϕ3) ∈
∈ {V1 > 0, ‖ϕ‖ = |ϕ(0)|} óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâó
V̇1(t, ϕ1, ϕ2, ϕ3) ≤ −λ0((µ1ϕ1(0) + µ2ϕ2(0))
2 + ϕ2
3(0)) ≤ 0,
ãäå λ0 > 0 åñòü íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ.
Ðåøåíèå (x1(t), x2(t), x3(t)), ñîäåðæàùååñÿ â ìíîæåñòâå {µ1x1 + µ2x2 = 0, x3 = 0},
äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñîîòíîøåíèÿì
ẋ1(t) = −r0µ1µ2
AB
x1(t)− k1x1(t− τ ∗(t)), x2(t) = −µ1
µ2
x1(t), x3(t) = 0.
Àñèìïòîòè÷åñêàÿ óñòîé÷èâîñòü ïî x3 ñ î÷åâèäíîñòüþ ñëåäóåò èç ïîñëåäíåãî ðàâåí-
ñòâà. Äëÿ îïðåäåëåíèÿ àñèìïòîòè÷åñêîé óñòîé÷èâîñòè ïî x1 (à çíà÷èò, è ïî x2) ïðåîá-
ðàçóåì ïåðâîå ðàâåíñòâî
ẋ1(t) = −
(r0µ1µ2
AB
+ k1
)
x1(t) + k1
0∫
−τ∗(t)
ẋ1(s + t)ds =
= −
(r0µ1µ2
AB
+ k1
)
x1(t)− k1
0∫
−τ∗(t)
(r0µ1µ2
AB
x1(s + t) + k1x1(s + t− τ ∗(s + t))
)
ds.
Èòàê, x1(t) äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ âèäà
ẋ(t) = −
(
µ1µ2r0√
AB
+ k1
)
x(t)− k1
0∫
−τ∗(t)
(
µ1µ2r0√
AB
x(s + t) + kx(s + t− τ ∗(s + t))
)
ds. (12)
Âîçüìåì ôóíêöèîíàë Ëÿïóíîâà V2 = ϕ2(0). Åãî ïðîèçâîäíàÿ â ñèëó ýòîãî óðàâíå-
íèÿ íà ìíîæåñòâå {V2 > 0, ‖ϕ‖ = |ϕ(0)|} ôóíêöèé ϕ ∈ C, ϕ : [−2h, 0] → R ñ ó÷åòîì
óñëîâèé (11) áóäåò óäîâëåòâîðÿòü íåðàâåíñòâó
V̇ (t, ϕ) < −µ1µ2r0√
AB
ϕ2(0).
Íà îñíîâàíèè òåîðåìû 2 óñòàíàâëèâàåì àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü íóëåâîãî
ðåøåíèÿ x = 0 óðàâíåíèÿ (12) íåçàâèñèìî îò èçìåíåíèÿ τ ∗(t). Ñîîòâåòñòâåííî èìååì
ðàâíîìåðíóþ àñèìïòîòè÷åñêóþ óñòîé÷èâîñòü x1 = x2 = x3 = 0 ïî x1 è x2. ×òî è
òðåáîâàëîñü äîêàçàòü.
Ðàáîòà âûïîëíåíà ïðè ôèíàíñîâîé ïîääåðæêå ÐÔÔÈ (ïðîåêò � 05-01-00765) è â
ðàìêàõ ïðîãðàììû "Ãîñóäàðñòâåííàÿ ïîääåðæêà âåäóùèõ íàó÷íûõ øêîë"
(ÍØ-2000.2003.1)
1. Àíäðååâ À.Ñ., Õóñàíîâ Ä.Õ.Ê ìåòîäó ôóíêöèîíàëîâ Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè è íåóñòîé-
÷èâîñòè // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. � 1998. � 34, �7. � Ñ.876-885.
2. Àíäðååâ À.Ñ., Ïàâëèêîâ Ñ.Â. Íåçíàêîîïðåäåëåííûå ôóíêöèîíàëû Ëÿïóíîâà â çàäà÷å îá óñòîé-
÷èâîñòè ôóíêöèîíàëüíî-äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñ êîíå÷íûì çàïàçäûâàíèåì // Ìåõàíèêà
òâåðäîãî òåëà. � 2004. � 34. � Ñ.112-118.
3. Àíäðååâ À.Ñ., Õóñàíîâ Ä.Õ.Ïðåäåëüíûå óðàâíåíèÿ â çàäà÷å îá óñòîé÷èâîñòè ôóíêöèîíàëüíî-äèôôå-
ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ // Äèôôåðåíö. óðàâíåíèÿ. � 1998. � 34, �4. � Ñ.435-440.
Óëüÿíîâñêèé ãîñ. óí-ò, Ðîññèÿ
mtu@sv.ulsu.ru
Ïîëó÷åíî 19.10.05
216
|