Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора

Исследуется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику упругого манипулятора с нагрузкой. Получены условия наблюдаемости системы относительно выходного сигнала в виде угла наклона и компоненты тензора напряжений в фиксированной точке манипулятора. Предложена яв...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2005
1. Verfasser:	Зуев, А.Л.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2005
Schriftenreihe:	Механика твердого тела
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123782
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 217-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123782
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1237822017-09-10T03:05:05Z Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора Зуев, А.Л. Исследуется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику упругого манипулятора с нагрузкой. Получены условия наблюдаемости системы относительно выходного сигнала в виде угла наклона и компоненты тензора напряжений в фиксированной точке манипулятора. Предложена явная схема синтеза динамического наблюдателя Луенбергера, основанная на теореме Барбашина Красовского. 2005 Article Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 217-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос. 0321-1975 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123782 531.38, 531.08, 517.977.1 ru Механика твердого тела Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Исследуется управляемая система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику упругого манипулятора с нагрузкой. Получены условия наблюдаемости системы относительно выходного сигнала в виде угла наклона и компоненты тензора напряжений в фиксированной точке манипулятора. Предложена явная схема синтеза динамического наблюдателя Луенбергера, основанная на теореме Барбашина Красовского.
format	Article
author	Зуев, А.Л.
spellingShingle	Зуев, А.Л. Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора Механика твердого тела
author_facet	Зуев, А.Л.
author_sort	Зуев, А.Л.
title	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
title_short	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
title_full	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
title_fullStr	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
title_full_unstemmed	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
title_sort	синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2005
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123782
citation_txt	Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора / А.Л. Зуев // Механика твердого тела: Межвед. сб. науч. тр. — 2005. — Вип. 35. — С. 217-223. — Бібліогр.: 17 назв. — рос.
series	Механика твердого тела
work_keys_str_mv	AT zueval sintezdinamičeskogonablûdatelâdlâmodeliuprugogomanipulâtora
first_indexed	2025-07-09T00:17:09Z
last_indexed	2025-07-09T00:17:09Z
_version_	1837126379682922496
fulltext	ISSN 0321-1975. Ìåõàíèêà òâåðäîãî òåëà. 2005. Âûï. 35 ÓÄÊ 531.38, 531.08, 517.977.1 c©2005. À.Ë. Çóåâ ÑÈÍÒÅÇ ÄÈÍÀÌÈ×ÅÑÊÎÃÎ ÍÀÁËÞÄÀÒÅËß ÄËß ÌÎÄÅËÈ ÓÏÐÓÃÎÃÎ ÌÀÍÈÏÓËßÒÎÐÀ Èññëåäóåòñÿ óïðàâëÿåìàÿ ñèñòåìà îáûêíîâåííûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, îïèñûâàþùàÿ äèíà- ìèêó óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà ñ íàãðóçêîé. Ïîëó÷åíû óñëîâèÿ íàáëþäàåìîñòè ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî âûõîäíîãî ñèãíàëà â âèäå óãëà íàêëîíà è êîìïîíåíòû òåíçîðà íàïðÿæåíèé â ôèêñèðîâàííîé òî÷êå ìà- íèïóëÿòîðà. Ïðåäëîæåíà ÿâíàÿ ñõåìà ñèíòåçà äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ Ëóåíáåðãåðà, îñíîâàííàÿ íà òåîðåìå Áàðáàøèíà�Êðàñîâñêîãî. Ââåäåíèå. Çàäà÷àì óïðàâëåíèÿ ìåõàíè÷åñêèìè ñèñòåìàìè ñ óïðóãèìè ýëåìåíòàìè ïîñâÿùåí ðÿä ðàáîò îòå÷åñòâåííûõ è çàðóáåæíûõ àâòîðîâ [7 � 9, 13, 16, 17]. Ðàñïðîñòðà- íåííîé ìàòåìàòè÷åñêîé ìîäåëüþ óïðóãîãî ýëåìåíòà â òàêèõ èññëåäîâàíèÿõ ÿâëÿåòñÿ áàëêà Ýéëåðà�Áåðíóëëè. Ýòà ìîäåëü îáëàäàåò ñëåäóþùèì àñèìïòîòè÷åñêèì ðàñïðåäå- ëåíèåì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé λ1, λ2,... çàäà÷èØòóðìà-Ëèóâèëëÿ: λn ðàñòåò ïðîïîðöèî- íàëüíî n4 ñ ðîñòîì n [9, ñ. 176]. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñîîòâåòñòâóþùèå ìîäàëüíûå ÷àñòîòû óïðóãèõ êîëåáàíèé ωn = √ λn ïðèáëèæåííî ðàñïðåäåëåíû êàê n2 ïðè âîçðàñòàíèè n. Îäíàêî, ýêñïåðèìåíòàëüíûå èñïûòàíèÿ ãèáêîãî ìàíèïóëÿòîðà [11] â âèäå óïðàâëÿåìîé ïîæàðíîé ëåñòíèöû ïîêàçûâàþò, ÷òî ìîäàëüíûå ÷àñòîòû ωn ðàñòóò ïî÷òè ëèíåéíî â çàâèñèìîñòè îò íîìåðà n. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äëÿ àäåêâàòíîãî îïèñàíèÿ êîëåáàíèé òàêîé ñèñòåìû ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ìîäåëü, îòëè÷íóþ îò áàëêè Ýéëåðà-Áåðíóëëè. Âîçìîæ- íûì óòî÷íåíèåì ìîäåëè ìàíèïóëÿòîðà ÿâëÿåòñÿ áàëêà Ñ.Ï. Òèìîøåíêî [2], äëÿ êîòîðîé ìîäàëüíûå ÷àñòîòû ωn = √ λn äîïóñêàþò ëèíåéíóþ ïî n îöåíêó â ñëó÷àå áàëêè ñî ñâî- áîäíûì êîíöîì [5]. Óïðàâëÿåìîñòü è ñòàáèëèçàöèÿ áàëêè Òèìîøåíêî èññëåäîâàëèñü â ðàáîòàõ [4 � 6, 10, 14, 15], [9, Chap. 5.1.2]. Âî âñåõ ýòèõ ðàáîòàõ îäèí èç êîíöîâ áàëêè ïðåäïîëàãàåò- ñÿ ñâîáîäíûì. Â ñòàòüå [12] äîêàçàíà ñòàáèëèçèðóåìîñòü ìîäåëè áàëêè Òèìîøåíêî â ñëó÷àå óïðàâëåíèÿ, ïðèëîæåííîãî ê òî÷å÷íîé ìàññå íà êîíöå áàëêè. Â ñòàòüå [1] ïðåäëîæåíà ìîäåëü ãèáêîãî ìàíèïóëÿòîðà â âèäå áàëêè Òèìîøåíêî, íåñóùåé òâåðäîå òåëî-íàãðóçêó â ïîëå ñèëû òÿæåñòè. Äëÿ ïðèáëèæåííûõ ïî Ãàëåðêè- íó óðàâíåíèé äâèæåíèÿ â öèòèðóåìîé ðàáîòå ïîñòðîåíî óïðàâëåíèå â âèäå îáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ, îáåñïå÷èâàþùåå ñòàáèëèçàöèþ ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Äëÿ ðåàëè- çàöèè òàêîãî óïðàâëåíèÿ íåîáõîäèìà èíôîðìàöèÿ î ïîëíîì ôàçîâîì âåêòîðå ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè. Ïîñêîëüêó èçìåðåíèå ôàçîâîãî âåêòîðà íåäîñòóïíî íà ïðàê- òèêå, òî íåîáõîäèìî ðåøèòü çàäà÷ó íàáëþäåíèÿ äëÿ îöåíêè íåäîñòàþùèõ êîîðäèíàò ïî äîñòóïíûì çíà÷åíèÿì âûõîäà ñèñòåìû. Â íàñòîÿùåé ñòàòüå ðåøåíà çàäà÷à íàáëþäåíèÿ ôàçîâîãî âåêòîðà ìîäåëè ìàíèïó- ëÿòîðà, ïðåäëîæåííîé â [1]. 1. Äèíàìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ãàëåðêèíà â ñòàòüå [1] áûëè ïîëó÷åíû ïðèáëèæåííûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè. Â öèòèðóåìîé ðàáîòå èñïîëüçîâàíà ìîäåëü áàëêè Òèìîøåíêî [2, ñ. 389], ê íèæíåìó êîíöó êîòîðîé ïðèëîæåí óïðàâëÿþùèé ìîìåíò M(t), à âåðõíèé êîíåö íåñåò òâåðäîå òåëî-íàãðóçêó ìàññûm. Ïîñòîÿííîìó çíà÷åíèþ óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòàM(t) = 217 À.Ë. Çóåâ = M0 ñîîòâåòñòâóåò ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ñèñòåìû, îïðåäåëÿåìîå âåëè÷èíàìè ϕ(t) = ϕ0 = const, w(x, t) = w0(x), ψ(x, t) = ψ0(x), x ∈ [0, l], (1) ãäå ϕ(t) � óãîë ìåæäó öåíòðàëüíîé ëèíèåé áàëêè è ãîðèçîíòàëüíûì íàïðàâëåíèåì â òî÷êå ïðèëîæåíèÿ óïðàâëÿþùåãî ìîìåíòà; w(x, t) � îòêëîíåíèå öåíòðàëüíîé ëèíèè áàë- êè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé, õàðàêòåðèçóþùåé åå íåäåôîðìèðîâàííîå ïîëîæåíèå; ψ(x, t) � óãîë ïîâîðîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè â òî÷êå ñ ëàãðàíæåâîé êîîðäèíàòîé x ∈ [0, l] â ìîìåíò âðåìåíè t ≥ 0; l � äëèíà áàëêè. Ôîðìóëû, îïðåäåëÿþùèå ïîëîæåíèå ðàâíî- âåñèÿ (1) â çàâèñèìîñòè îò ìîìåíòà M0, ïðèâåäåíû â [1]. Â óêàçàííîé ñòàòüå ïî ïðîèç- âîëüíîìó íàïåðåä çàäàííîìó ÷èñëó N ≥ 1 îïðåäåëÿþòñÿ ôóíêöèè ϕ(t) = ϕ0 + ϕ̃(t), w(x, t) = w0(x) + N∑ i=1 wi(x)qi(t), ψ(x, t) = ψ0(x) + N∑ i=1 ψi(x)qi(t) (2) äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ äâèæåíèÿ ñèñòåìû â îêðåñòíîñòè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâå- ñèÿ (1). ×èñëî N õàðàêòåðèçóåò êîëè÷åñòâî ñòåïåíåé ñâîáîäû, ïðåäñòàâëÿþùèõ êîëåáà- íèÿ óïðóãîé áàëêè. Ôóíêöèè qi(t) â ôîðìóëå (2) ÿâëÿþòñÿ îáîáùåííûìè êîîðäèíàòàìè i-é ìîäû êîëåáàíèé áàëêè; (w1(x), ψ1(x)), (w2(x), ψ2(x)),..., (wN(x), ψN(x)) � ñîáñòâåííûå ôóíêöèè, ñîîòâåòñòâóþùèå N ìèíèìàëüíûì ñîáñòâåííûì ÷èñëàì λ1 ≤ λ2 ≤ ... ≤ λN çàäà÷è Øòóðìà�Ëèóâèëëÿ: K(ψ′ i(x)− w′′ i (x))− λiρwi(x) = 0, K(ψi(x)− w′ i(x))− EIψ′′ i (x)− λiIρψi(x) = 0, x ∈ (0, l), wi(0) = ψi(0) = 0, K(w′ i(l)− ψi(l))−mλiwi(l) = 0, EIψ′ i(l)− λiJcψi(l) = 0, i = 1, N, (3) ãäå ρ � ëèíåéíàÿ ïëîòíîñòü (ìàññà íà åäèíèöó äëèíû áàëêè), E � ìîäóëü Þíãà, I � ìî- ìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, Iρ = ρI/A � ìàññîâûé ìîìåíò èíåðöèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè, m � ìàññà òâåðäîãî òåëà-íàãðóçêè, Jc � öåíòðàëüíûé ìîìåíò èíåðöèè òâåðäîãî òåëà-íàãðóçêè. Êîýôôèöèåíò K ðàâåí kGA, ãäå G � ìîäóëü ñäâèãà, A � ïëî- ùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè, k � ãåîìåòðè÷åñêàÿ êîíñòàíòà, îïðåäåëÿåìàÿ ôîðìîé ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ áàëêè. Ôóíêöèè wi(x) è ψi(x) îïèñûâàþò ñîîòâåòñòâåííî îòêëîíå- íèå öåíòðàëüíîé ëèíèè áàëêè è óãîë ïîâîðîòà ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ â i-é ìîäå óïðóãèõ êîëåáàíèé. Áóäåì ñ÷èòàòü âñå âåëè÷èíû ρ, EI, K, Iρ ïîëîæèòåëüíûìè êîíñòàíòàìè, ïîëàãàÿ òàêæå, ÷òî òåëî-íàãðóçêà ïðèêðåïëåíî ê áàëêå â ñâîåì öåíòðå ìàññ (c = 0 â îáîçíà÷åíèÿõ ðàáîòû [1]). Ëèíåàðèçîâàííûå óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ [1], ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ ìåòîäà Ãàëåð- êèíà, çàïèñûâàþòñÿ â ìàòðè÷íîì âèäå ñëåäóþùèì îáðàçîì: ż1 = A11z1 + A12z2 +B1u, ż2 = A21z1 + A22z2 +B2u, (4) ãäå z1 = (ϕ̃, ˙̃ϕ)T , z2 = (q1, q̇1, q2, q̇2, ..., qN , q̇N)T , z = (zT 1 , z T 2 )T � ôàçîâûé âåêòîð; óïðàâëå- íèå u ñâÿçàíî ñ ìîìåíòîì M ëèíåéíûì ïðåîáðàçîâàíèåì u = (M −M0) ( J0 + ∫ l 0 w0 2(x)ρ dx+mw0 2(l) )−1 , 218 Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ äëÿ ìîäåëè óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà J0 � ìîìåíò èíåðöèè îïîðû ìàíèïóëÿòîðà îòíîñèòåëüíî îñè äåéñòâèÿ ìîìåíòà M . Êî- ýôôèöèåíòû ñèñòåìû (4) òàêîâû: A11 = ( 0 1 d0 0 ) , A12 = ( 0 0 0 0 ... 0 0 d1 0 d2 0 ... dN 0 ) , A21 =  0 0 a1 − b1d0 0 0 0 a2 − b2d0 0 ... ... 0 0 aN − bNd0 0  , A22 =  0 1 0 0 ... 0 0 −λ1 − b1d1 0 −b1d2 0 ... −b1dN 0 0 0 0 1 ... 0 0 −b2d1 0 −λ2 − b2d2 0 ... −b2dN 0 ... ... ... ... . . . ... ... 0 0 0 0 ... 0 1 −bNd1 0 −bNd2 0 ... −λN − bNdN 0  , B1 = ( 0 1 ) , B2 = (0,−b1, ..., 0,−bN)T , ãäå aj = ∫ l 0 ρwj dx+mwj(l)∫ l 0 (ρwj 2 + Iρψj 2)dx+mwj 2(l) + Jcψj 2(l) g sinϕ0, bj = ∫ l 0 (ρxwj + Iρψj)dx+mlwj(l) + Jcψj(l)∫ l 0 (ρwj 2 + Iρψj 2)dx+mwj 2(l) + Jcψj 2(l) , d0 = ∫ l 0 ρw0 dx+mw0(l) J0 + ∫ l 0 w0 2(x)ρ dx+mw0 2(l) g cosϕ0, dj = λj (∫ l 0 (ρxwj + Iρψj)dx+mlwj(l) + Jcψj(l) ) + g (∫ l 0 ρwj dx+mwj(l) ) sinϕ0 J0 + ∫ l 0 w0 2(x)ρ dx+mw0 2(l) , j = 1, N , g � óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ. 2. Óñëîâèÿ íàáëþäàåìîñòè. Êîíñòðóêöèÿ ðåàëüíîãî ìàíèïóëÿòîðà íå ïðåäïî- ëàãàåò âîçìîæíîñòü èçìåðåíèÿ çíà÷åíèé ôóíêöèé w(x, t) è ψ(x, t) â êàæäîé òî÷êå x ∈ (0, l). Ñëåäîâàòåëüíî, îöåíêó çíà÷åíèé ôàçîâîãî âåêòîðà ñèñòåìû (4) ìîæíî ïîëó- ÷èòü òîëüêî ïóòåì ðåøåíèÿ çàäà÷è íàáëþäåíèÿ ïî íåïîëíîé èíôîðìàöèè èçìåðåíèé. Ê òàêèì èçìåðåíèÿì íà ïðàêòèêå îòíîñÿòñÿ ïîêàçàíèÿ äàò÷èêîâ íàïðÿæåíèé, ðàñïî- ëîæåííûõ â íåêîòîðîé òî÷êå ìàíèïóëÿòîðà ñ êîîðäèíàòîé x = l0, 0 ≤ l0 ≤ l. Ó÷èòûâàÿ òîëüêî ãëàâíóþ ÷àñòü òåíçîðà íàïðÿæåíèé â òî÷êå x = l0, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî äàò÷èê îáåñïå÷èâàåò èçìåðåíèÿ ôóíêöèè ψ′(x, t)\|x=l0 ïðè âñåõ t ≥ 0. Âû÷èòàÿ èç ôóíêöèé ϕ(t), ψ′(x, t)\|x=l0 èõ çíà÷åíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùèå ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ (1), çàäàäèì âûõîä ñèñòåìû (4) ñëåäóþùèì îáðàçîì: y1(t) = ϕ̃(t), y2(t) = N∑ j=1 ψj ′(l0)qj(t). (5) Âûðàæåíèÿ (5) ïåðåïèøåì â âèäå y1 = C1z1, y2 = C2z2, C1 = (1, 0), C2 = (χ1, 0, χ2, 0, ..., χN , 0), (6) 219 À.Ë. Çóåâ ãäå χj = ψj ′(l0). Öåëü äàííîé ðàáîòû ñîñòîèò â ðåøåíèè çàäà÷è íàáëþäåíèÿ, ò.å. íåîáõîäèìî îöåíèòü ïîëíûé ôàçîâûé âåêòîð z(t) ñèñòåìû (4) ïðè èçâåñòíîé èíôîðìàöèè î çíà÷åíèÿõ u, y. Ñôîðìóëèðóåì äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ ðàçðåøèìîñòè òàêîé çàäà÷è. Ëåììà 1. Ñèñòåìà (4) ñ âûõîäîì (6) íàáëþäàåìà, åñëè∣∣∣∣∣∣∣∣∣ π11 π12 ... π1N π21 π22 ... π2N ... ... . . . ... πN1 πN2 ... πNN ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 6= 0, (7) ãäå π1,j = χj, πk,j = −λjπk−1,j − dj ∑N i=1 πk−1,ibi, j = 1, N, k = 2, N. Â ÷àñòíîñòè, ïðè N = 1 óñëîâèå (7) ýêâèâàëåíòíî íåðàâåíñòâó χ1 6= 1, à ïðè N = 2 � ñëåäóþùåìó: χ1χ2(λ1 − λ2 + b1d1 − b2d2) + b2χ 2 2d1 − b1χ 2 1d2 6= 0. Äîêàçàòåëüñòâî. Èñïîëüçóÿ âûõîä y1, çàïèøåì ñèñòåìó (4), (6) ñëåäóþùèì îáðà- çîì: z1 = (y1, ẏ1) T , ż2 = A22z2 +B2u+ (0, a1 − b1d0, ..., 0, aN − bNd0) Ty1, y2 = C2z2. (8) Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî êîìïîíåíòû âåêòîðà z1(t) îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç ôóíê- öèþ y1, à ïîäñèñòåìà îòíîñèòåëüíî z2 íàáëþäàåìà, åñëè ïàðà (A22, C2) óäîâëåòâîðÿåò ðàíãîâîìó óñëîâèþ íàáëþäàåìîñòè Êàëìàíà [3, Òåîðåìà 3.1]: rank  C2 C2A22 ... C2A 2N−1 22  = 2N. Íåïîñðåäñòâåííûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî det  C2 C2A22 ... C2A 2N−1 22  = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ π11 π12 ... π1N π21 π22 ... π2N ... ... . . . ... πN1 πN2 ... πNN ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ 2 . Òàêèì îáðàçîì, èç ñîîòíîøåíèÿ (7) ñëåäóåò ðàíãîâîå óñëîâèå íàáëþäàåìîñòè äëÿ ñè- ñòåìû (4), (6). � 3. Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ. Ïðè âûïîëíåííè óñëîâèé Ëåììû 1 âîçìîæíî ïîñòðîèòü íàáëþäàòåëü Ëóåíáåðãåðà ÿâíûì îáðàçîì äëÿ ëþáîãî êîëè÷åñòâà N óïðóãèõ êîîðäèíàò. Ïðîöåäóðà ñèíòåçà íàáëþäàòåëÿ îïèñàíà íèæå. Òåîðåìà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñèñòåìà (4), (6) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ íàáëþäàå- ìîñòè (7), à òàêæå 0 < λ1 < ... < λN , bjdj > 0 äëÿ âñåõ j = 1, N . 220 Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ äëÿ ìîäåëè óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà Òîãäà äëÿ ëþáîãî óïðàâëåíèÿ u(·) ∈ L1 ([0,+∞) → R) è íà÷àëüíûõ óñëîâèé z(0), z̄(0) ∈ R2N+2 ñîîòâåòñòâóþùåå ðåøåíèå z(t) ñèñòåìû (4) ïðè t → +∞ ýêñ- ïîíåíöèàëüíî ñòðåìèòñÿ ê ðåøåíèþ z̄(t) ñèñòåìû ˙̄z1 = (A11 − F1C1)z̄1 + A12z̄2 + F1y1 +B1u, ˙̄z2 = (A22 − F22C2)z̄2 + F21y1 + F22y2 +B2u, (9) ãäå F1 = (φ1, d0 + φ2) T , F21 = (0, a1 − b1d0, 0, a2 − b2d0, ..., 0, aN − bNd0) T , F22 = (f1, 0, f2, 0, ..., fN , 0)T , (f1, f2, ..., fN)T = γQ−1(χ1, χ2, ..., χN)T , (10) Q =  λ1d1 b1 + d2 1 d1d2 ... d1dN d2d1 λ2d2 b2 + d2 2 ... d2dN ... ... . . . ... dNd1 dNd2 ... λNdN bN + d2 N  . Çäåñü φ1, φ2, γ � ïðîèçâîëüíûå ïîëîæèòåëüíûå êîíñòàíòû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ââåäåì îøèáêè íàáëþäåíèé: e1 = z1 − z̄1, e2 = z2 − z̄2. Âû÷èòàÿ óðàâíåíèÿ (9) èç (4), ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó: ė1 = H1e1 + A12e2, ė2 = H2e2, ãäå H1 = A11 − F1C1, H2 = A22 − F22C2. Âñå êîðíè ïîëèíîìà det(H1 − µI) = ∣∣∣∣ −φ1 − µ 1 −φ2 −µ ∣∣∣∣ = µ2 + φ1µ+ φ2, î÷åâèäíî, èìåþò îòðèöàòåëüíûå âåùåñòâåííûå ÷àñòè ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé φ1 > 0, φ2 > 0. Ïîêàæåì, ÷òî âåùåñòâåííûå ÷àñòè âñåõ ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé ìàòðèöû H2 =  −f1χ1 1 ... −f1χN 0 −λ1 − b1d1 0 ... −b1dN 0 −f2χ1 0 ... −f2χN 0 −b2d1 0 ... −b2dN 0 ... ... . . . ... ... −fNχ1 0 ... −fNχN 1 −bNd1 0 ... −λN − bNdN 0  îòðèöàòåëüíû ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû. Îáîçíà÷èì e2 = (ξ1, η1, ..., ξN , ηN)T è ðàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó 2W (e2) = N∑ j=1 djη 2 j bj + (ξ1, ξ2, ..., ξN)Q(ξ1, ξ2, ..., ξN)T . 221 À.Ë. Çóåâ Óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî ôîðìà 2W (e2) îïðåäåëåíà ïîëîæèòåëüíî â ñëó÷àå λj > 0, bjdj > 0. Äåéñòâèòåëüíî, âñå ãëàâíûå ìèíîðû ∆j ìàòðèöû Q ïîëîæèòåëüíû: ∆j = (λ1d1)(λ2d2) · · · (λjdj) b1b2 · · · bj ( 1 + j∑ i=1 bidi λi ) > 0, j = 1, N. Òîãäà ôîðìà W ïîëîæèòåëüíî îïðåäåëåíà ïî êðèòåðèþ Ñèëüâåñòðà. Èç íåðàâåíñòâà det(Q) = ∆N > 0 ñëåäóåò òàêæå ñóùåñòâîâàíèå Q−1 â ôîðìóëå (10). Âû÷èñëÿÿ ïðîèç- âîäíóþ W â ñèëó ñèñòåìû ė2 = H2e2, ïîëó÷èì Ẇ (e2) = −γ(C2e2) 2 ≤ 0. Ïîñêîëüêó Ẇ îáíóëÿåòñÿ íà ìíîæåñòâå KerC2 = {e2 ∈ R2N : C2e2 = 0 }, ïðîâåðèì ñóùåñòâîâàíèå íåòðèâèàëüíûõ ïîëóòðàåêòîðèé ñèñòåìû ė2 = H2e2 íà KerC2. Ïóñòü C2e2(t) ≡ 0, t ≥ 0, òîãäà dk dtk C2e2(t) = C2(A22 − F22C2) ke2(t) = C2A k 22e2(t) = 0 äëÿ t ≥ 0, k ≥ 0. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî äëÿ ëþáîãî t ≥ 0 âåêòîð e2(t) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñëåäóþùåé ñèñòåìû ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé: C2A k 22e2(t) = 0, k = 0, 2N − 1. (11) Ñèñòåìà (11) äîïóñêàåò òîëüêî òðèâèàëüíîå ðåøåíèå e2(t) = 0 ïðè âûïîëíåíèè ðàíãîâî- ãî óñëîâèÿ (7). Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíåéíàÿ ñèñòåìà ė2 = H2e2 àñèìïòîòè÷åñêè óñòîé÷èâà ïî òåîðåìå Áàðáàøèíà�Êðàñîâñêîãî. Èòàê, ìàòðèöû H1 è H2 ãóðâèöåâû ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé òåîðåìû. Äèíàìèêà îøèáîê íàáëþäåíèÿ äëÿ ñèñòåì (4), (9) îïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèìè óðàâíåíèÿìè:( ė1 ė2 ) = ( H1 A12 0 H2 )( e1 e2 ) . (12) Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ñïåêòð ìàòðèöû ñèñòåìû (12) ÿâëÿåòñÿ îáúåäèíåíèåì ñïåêòðîâ H1 è H2. Ñëåäîâàòåëüíî, òðèâèàëüíîå ðåøåíèå ñèñòåìû (12) ýêñïîíåíöèàëüíî óñòîé÷èâî, ‖z(t)− z̄(t)‖ → 0 ïðè t→ +∞. � 4. Çàêëþ÷åíèå. Â ñòàòüå ïðåäëîæåíà ÿâíàÿ ñõåìà ñèíòåçà äèíàìè÷åñêîãî íàáëþ- äàòåëÿ ôàçîâîãî âåêòîðà äëÿ ïðèáëèæåííîé ïî Ãàëåðêèíó ñèñòåìû ñ N óïðóãèìè ñòå- ïåíÿìè ñâîáîäû è äâóìåðíûì âåêòîðîì âûõîäà. Ýòîò ðåçóëüòàò îáîñíîâûâàåò âîçìîæ- íîñòü ïðàêòè÷åñêîé ðåàëèçàöèè ñòàáèëèçèðóþùåãî óïðàâëåíèÿ â âèäå îáðàòíîé ñâÿçè ïî ñîñòîÿíèþ, ïîñòðîåííîãî â ñòàòüå [1]. This work is supported in part by the Alexander von Humboldt Foundation. 1. Çóåâ À.Ë. Óïðàâëåíèå óïðóãèì ìàíèïóëÿòîðîì â ðàìêàõ ìîäåëè áàëêè Òèìîøåíêî // Ïðèêë. ìåõàíèêà. � 2005. � 41, � 12. � Ñ. 107-115. 2. Òèìîøåíêî Ñ.Ï., ßíã Ä.Õ., Óèâåð Ó. Êîëåáàíèÿ â èíæåíåðíîì äåëå. � Ì.: Ìàøèíîñòðîåíèå, 1985. � 472 ñ. 3. Óîíýì Ì. Ëèíåéíûå ìíîãîìåðíûå ñèñòåìû óïðàâëåíèÿ. � Ì.: Íàóêà, 1980. � 376 ñ. 222 Ñèíòåç äèíàìè÷åñêîãî íàáëþäàòåëÿ äëÿ ìîäåëè óïðóãîãî ìàíèïóëÿòîðà 4. Kim J.U., Renardy Y. Boundary control of the Timoshenko beam // SIAM J. Control. Optim. � 1987. � 25. � P. 1417-1429. 5. Krabs W. and Sklyar G.M. On the Controllability of a Slowly Rotating Timoshenko Beam // J. for Anal. and Appl. � 1999. � 18, � 2. � P. 437-448. 6. Krabs W. and Sklyar G.M. On the stabilizability of a slowly rotating Timoshenko beam // Z. Anal. Anwend. � 2000. � 19, � 1. � P. 131-145. 7. Lagnese J.E.and Leugering G. Controllability of Thin Elastic Beams and Plates // In: The control handbook (ed.: W.S. Levine). � Boca Raton: CRC Press, 1996. � P. 1139-1156. 8. Lasiecka I. and Triggiani R. Control theory for partial di�erential equations: continuous and approximation theories. 2: Abstract hyperbolic-like systems over a �nite time horizon. � Cambrigde: Cambridge University Press, 2000. � 1067 p. 9. Luo Z.-H., Guo B.-Z. and Morgul O. Stability and Stabilization of In�nite Dimensional Systems. � London: Springer-Verlag, 1999. � 403 p. 10. Morg�ul O. Boundary control of a Timoshenko beam attached to a rigid body: planar motion // Int. J. Control. � 1991. � 54, � 4. � P. 763-791. 11. Sawodny O., Aschemann H. and Bulach A. Mechatronical designed control of �re-rescue turntable ladders as �exible link robots // Proc. 15th IFAC World Congress. � Barcelona, 2002. � D. � P. 139� 144. 12. Shi D.-H., Hou S.H. and Feng D.-X. Feedback stabilization of a Timoshenko beam with an end mass // Int. J. Control. � 1998. � 69, � 2. � P. 285-300. 13. Talebi H.A., Patel R.V. and Khorasani K. Control of Flexible-link Manipulators Using Neural Networks. � London: Springer-Verlag, 2001. � 142 p. 14. Taylor S.W. A smoothing property of a hyperbolic system and boundary controllability // J. of Comput. and Appl. Math. � 2000. � 114. � P. 23-40. 15. Taylor S.W. and Yau S.C.B. Boundary control of a rotating Timoshenko beam // Australian and New Zealand Industrial and Appl. Math. J. � 2003. � 44(E). �P. 143-184. 16. Xu C.Z. and Baillieul J. Stabilizability and stabilization of a rotating body-beam system with torque control // IEEE Trans. on Autom. Control. � 1993. � 38. � P. 754�1765. 17. Zuyev A. Partial asymptotic stabilization of nonlinear distributed parameter systems // Automatica. � 2005. � 41, � 1. � P. 1-10. Èí-ò ïðèêë. ìàòåìàòèêè è ìåõàíèêè ÍÀÍ Óêðàèíû, Äîíåöê al zv@mail.ru Ïîëó÷åíî 15.02.2005 223

Синтез динамического наблюдателя для модели упругого манипулятора

Institution

Ähnliche Einträge