Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов
В работе изучается топология расщепления конечнократных изолированных: собственных значений вещественных самосопряженных операторов. Основным инструментом исследования является специальный локальный диффеоморфизм в пространстве самосопряженных операторов, предложенный D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh.Yuki...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123880 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов / Е.А. Масюта // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 123-132. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123880 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238802017-09-13T03:03:05Z Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов Масюта, Е.А. В работе изучается топология расщепления конечнократных изолированных: собственных значений вещественных самосопряженных операторов. Основным инструментом исследования является специальный локальный диффеоморфизм в пространстве самосопряженных операторов, предложенный D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh.Yukita. 2009 Article Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов / Е.А. Масюта // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 123-132. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123880 517.984+517.988 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе изучается топология расщепления конечнократных изолированных: собственных значений вещественных самосопряженных операторов. Основным инструментом исследования является специальный локальный диффеоморфизм в пространстве самосопряженных операторов, предложенный D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh.Yukita. |
| format |
Article |
| author |
Масюта, Е.А. |
| spellingShingle |
Масюта, Е.А. Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Масюта, Е.А. |
| author_sort |
Масюта, Е.А. |
| title |
Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов |
| title_short |
Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов |
| title_full |
Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов |
| title_fullStr |
Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов |
| title_full_unstemmed |
Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов |
| title_sort |
топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123880 |
| citation_txt |
Топология расщепления кратных собственных значений вещественных самосопряженных операторов / Е.А. Масюта // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 123-132. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT masûtaea topologiârasŝepleniâkratnyhsobstvennyhznačenijveŝestvennyhsamosoprâžennyhoperatorov |
| first_indexed |
2025-07-09T00:26:55Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:26:55Z |
| _version_ |
1837127011145875456 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 517.984+517.988
c©2009. Е.А. Масюта
ТОПОЛОГИЯ РАСЩЕПЛЕНИЯ КРАТНЫХ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕ-
НИЙ ВЕЩЕСТВЕННЫХ САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ
В работе изучается топология расщепления конечнократных изолированных собственных значений
вещественных самосопряженных операторов. Основным инструментом исследования является спе-
циальный локальный диффеоморфизм в пространстве самосопряженных операторов, предложен-
ный D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh.Yukita.
В статье [1] нами были описаны многообразия ограниченных вещественных само-
сопряженных операторов, имеющих собственное знаение фиксированной кратности.
Работа опиралась на основопологающую статью В.И.Арнольда "Моды и квазимо-
ды" [2] (относящуюся к конечномерному случаю) а также на ее развитие в ста-
тье D.Fujiwara, M.Tanikawa, Sh.Yukita [3] и монографии Я.М.Дымарского [4] (слу-
чай компактных операторов). Здесь мы расширяем задачу и описываем тополо-
гию стратификации окрестности выбранного фиксированного оператора, отслежи-
вая все случаи расщепления его m-кратного собственного значения. Мы показываем,
что исследуемая окрестность диффеоморфна прямому произведению аналогичной
окрестности в пространстве m-мерных операторов и некоторого банахова шара, ко-
торый не влияет на топологию расщепления. Подробно описаны случаи двукратно-
го и трехкратного вырождения собственного значения, чаще всего встречающиеся
в приложениях.
Автор выражает благодарность Я.М.Дымарскому за постановку проблемы и по-
стоянную поддержку.
1. Вспомогательные утверждения.
Основные обозначения. Здесь описан диффеоморфизм, введенный в рабо-
те [3]. Подробное описание конструкции дано в [1].
Пусть H – вещественное гильбертово сепарабельное пространство со скалярным
произведением 〈·, ·〉, Ls – банахово пространство ограниченных самосопряженных
операторов с обычной операторной нормой ‖·‖. Пусть A0 – фиксированный оператор
из Ls, Vε(A0) = {A : ‖A − A0‖ < ε}, λ0 – изолированная точка спектра оператора
A0. Тогда [5] λ0 – это изолированное собственное значение (и только) оператора A0
некоторой конечной кратности. Обозначим через Ls(A0, ε, m) ⊂ Ls множество всех
таких операторов A, что:
1. A ⊂ Vε(A0);
2. ∃ λ ∈ (λ0 − ε; λ0 + ε) – изолированное в указанной окрестности собственное
значение оператора A.
В обозначении Ls(A0, ε,m) мы поставили m потому, что известно [6], что в силу
123
Е.А. Масюта
изолированности, кратность отслеживаемого собственного значения λ(A) ∈ (λ0 −
ε; λ0 + ε) равна m.
Распрямляющий диффеоморфизм.Определим локальный диффеоморфизм
в окрестности Vε(A0). Пусть H1 ⊂ H – собственное подпространство A0, порожден-
ное собственными векторами, которые отвечают собственному значению λ0;
{u0
1, u
0
2, . . .} – ортонормированный базис в H1. Пусть H⊥ – ортогональное допол-
нение к H1 в H. Обозначим через ν1 и ν⊥ ортогональные проекторы на H1 и H⊥,
соответственно. Понятно, что оператор B представим в виде B = B11 +B1⊥+B⊥1 +
B⊥⊥ или в блочном виде
B =
(
B11 B1⊥
B⊥1 B⊥⊥
)
. (1)
Определим антисимметрический оператор Ant(B) = −B1⊥ + B⊥1 и самосопряжен-
ный блочно-диагональный оператор Diag(B) = B11 + B⊥⊥.
Рассмотрим отображение
Ψ : Ls → Ls, Ψ(B) = exp(Ant(B))(A0 + Diag(B))(exp(−Ant(B))), (2)
где операторная экспонента exp(C) = E + C + (1/2!)C2 + . . . .
Лемма 1. Существует такое ε > 0, что отображение Ψ диффеоморфно отоб-
ражает некоторую окрестность V (0) ⊂ Ls нуля пространства Ls на ε-окрест-
ность Vε(A0) ⊂ Ls точки A0.
С помощью диффеоморфизма Ψ мы будем исследовать операторы в ε-окрест-
ности оператора A0.
Многообразие операторов, обладающих изолированными собственны-
ми значениями. Здесь мы рассмотрим операторы , близкие A0 и обладающие од-
ним изолированным собственным значением фиксированной кратности. Определим
линейные функционалы
lij : Ls → R, lij(B) := 〈Bui, uj〉 − δij〈Bu1, u1〉,
где 1 ≤ i ≤ j ≤ m, если m конечно, и 1 ≤ i ≤ j < ∞, если m бесконечно, i · j > 1, δij
– символ Кронекера.
Имеет место
Теорема 1. Справедливы следующие утверждения:
1. Существует такое малое ε > 0, что Ls(A0, ε,m) ⊂ Ls является C∞ – под-
многообразием.
2. Кратность собственного значения λ оператора A ∈ Ls(A0, ε, m) равна m.
3. Коразмерность Ls(A0, ε, m) в Ls вычисляется по формуле Арнольда:
codimLs(A0, ε, m) =
(m− 1)(m + 2)
2
.
124
Топология расщепления собственных значений
4. Подмногообразие Ls(A0, ε,m) определяется следующим образом:
Ls(A0, ε, m) = {C ∈ Vε(A0) : 〈Ψ−1(C)ui, uj〉 − δij〈Ψ−1(C)u1, u1〉 = 0},
где 1 ≤ i ≤ j ≤ m, i · j > 1.
5. Касательное пространство TA0Ls(A0, ε,m) в точке A0 определяется услови-
ями:
TA0Ls(A0, ε, m) = {B ∈ Ls : lij(B) = 0},
где 1 ≤ i ≤ j ≤ m, i · j > 1.
Замечание. Справедливы также аналогичные теоремы и для операторов, обладаю-
щих конечным или счетным числом собственных значений конечной или бесконеч-
ной кратности.
2. Топология расщепления m-кратного изолированного собственного
значения.
Комбинаторика расщепления кратного собственного значения. Рассмот-
рим все операторы в достаточно малой окрестности оператора A0. Понятно, что
здесь присутствуют операторы A, обладающие собственными значениями близкими
к λ0, но меньшей кратности. То есть в исследуемой окрестности происходит расщеп-
ление собственного значения λ0 исходного оператора A0 на некоторое количество
собственных значений λi оператора A. Через i нами обозначены внутренние номера
полученных в окрестности точки λ0 собственных значений в порядке их возраста-
ния. Обозначим через −→η = {m1, . . . ,mi, . . . , ml} набор, состоящий из кратностей
собственных значений λi. Множество операторов A, у которых i-тое собственное
значение λi ∈ (λ0 − ε; λ0 + ε) имеет кратность mi, обозначим Ls(A0, ε, m,−→η ).
Известно [6], что при возмущении оператора, сумма кратностей всех близких
собственных значений в точности равна кратности собственного значения λ0 возму-
щаемого оператора. Ниже мы дадим новое доказательство этого факта (с помощью
введенного диффеоморфизма Ψ) и подсчитаем количество всевозможных вариантов
расщепления собственного значения λ0 оператора A0 при его возмущении.
Теорема 2. Справедливы следующие утверждения.
1. Сумма кратностей mi собственных значений λi (i = 1, . . . , l) возмущенного
оператора A, которые принадлежат окрестности точки λ0, равна m.
2. При возмущении оператора A0 возможно ровно k = 2m−1 вариантов расщеп-
ления его изолированного собственного значения λ0 кратности m.
Доказательство. Возьмем произвольный малый оператор B ∈ Ls и применим к
нему отображение Ψ. В силу (1) и (2), оператор
A := Ψ(B) = exp
(
0 −B1⊥
B⊥1 0
)(
λ0E11 + B11 0
0 A0
⊥⊥ + B⊥⊥
)
exp
(
0 B1⊥
−B⊥1 0
)
,
125
Е.А. Масюта
где E11 – единичный блок размерности m. Оператор A и оператор
A0 + Diag(B) =
(
λ0E11 + B11 0
0 A0
⊥⊥ + B⊥⊥
)
(3)
ортогонально эквивалентны. Поэтому достаточно исследовать спектр оператора (3).
Заметим, что если B11 = δE11, то A0 + Diag(B) ∈ Ls(A0, ε, m) и, следовательно,
A ∈ Ls(A0, ε, m).
Поскольку возмущение B мало, то в окрестности изолированной точки λ0 спектр
оператора A будет состоять только из собственных значений блока λ0E11 + B11.
Последний имеет размерность m. Следовательно, сумма кратностей собственных
значений λi равна m. То есть A ∈ Ls(A0, ε, m,−→η ). Первое утверждение доказано.
Докажем теперь второе утверждение. Поскольку наборы −→η определяются не
только значениями кратностей mi, но и порядком их расположения, то поставлен-
ная задача о подсчете количества различных наборов −→η равносильна известной
комбинаторной задаче о представлении натурального числа m в виде суммы нату-
ральных слагаемых с учетом их порядка. Последняя решена, например, в [7]. Итак,
существует k = 2m−1 всевозможных наборов −→η при возмущении оператора A0. ¤
Cвязь бесконечномерного и конечномерного случаев. Покажем, что топо-
логия расщепления m-кратного изолированного собственного значения самосопря-
женного оператора в гильбертовом пространстве сводится к расщеплению m-крат-
ного собственного значения самосопряженного оператора, действующего в Rm.
Введем обозначения по аналогии с бесконечномерным случаем. Пусть L
(m)
s – про-
странство вещественных самосопряженных операторов, действующих в Rm, Em ∈
L
(m)
s – единичный оператор, а A0
m := λ0Em ⊂ L
(m)
s . Обозначим L
(m)
s (A0
m, ε, m) ⊂ L
(m)
s
– многообразие самосопряженных операторов, ε-близких A0
m и обладающих изо-
лированным m-кратным собственным значением λ, близким к λ0. Понятно, что
L
(m)
s (A0
m, ε, m) = {λEm, λ ∈ (λ0 − ε; λ0 + ε)}.
Обозначим L
(m)
s (A0
m, ε, m,−→η ) ⊂ L
(m)
s – множество операторов A, ε-близких A0
m,
у которых i-тое собственное значение λi ∈ (λ0 − ε;λ0 + ε) имеет кратность mi, а−→η = {m1, . . . , mi, . . . , ml} – набор кратностей собственных значений λi оператора
A0
m,
∑
mi = m, l ≤ m.
C помощью оператора A0
m можно записать оператор A0 следующим образом.
Обозначим Ã0
m =
(
A0
m 0
0 0
)
∈ Ls оператор, полученный из A0
m путем добавления
к нему нулевых бесконечномерных блоков, а Ã0
⊥ =
(
0 0
0 A0
⊥⊥
)
∈ Ls. Тогда A0 =
Ã0
m+Ã0
⊥. Пусть Vε,y,m(0) – ε-шар малых самосопряженных операторов вида
(
0 ∗
∗ ∗
)
,
где звездочки обозначают произвольные малые блоки.
Справедливы следующие утверждения:
Теорема 3. Малая окрестность Vε(A0) оператора A0 диффеоморфна прямому
произведению малой окрестности V
(m)
ε (A0
m) конечномерного оператора A0
m на ε-
126
Топология расщепления собственных значений
шар малых самосопряженных операторов специального вида из пространства
Vε,y,m(0):
Vε(A0) ∼= V (m)
ε (A0
m)× Vε,y,m(0).
Доказательство. Возьмем произвольные малые операторы B = B11 ∈ L
(m)
s и
By = (B1⊥ + B⊥1 + B⊥⊥) ∈ Vε,y,m(0) и применим к ним отображение Ψ:
A := Ψ(B11 + By) = exp(Ant(By))(λ0E11 + B11 + A0
⊥⊥ + B⊥⊥) exp(−Ant(By)) (4)
Дальнейшее доказательство немедленно следует из свойств отбражения Ψ и факти-
чески повторяет доказательство теоремы 2. ¤
Лемма 2. Диффеоморфизм (4) сохряняет спектр оператора A0 и конечномер-
ного оператора A0
m в окрестности точки λ0.
Следствие 1. Множество Ls(A0, ε,m,−→η ) является C∞-подмногообразием диф-
феоморфным L
(m)
s (A0
m, ε, m,−→η )× Vε,y,m(0):
Ls(A0, ε,m,−→η ) ∼= L(m)
s (A0
m, ε,m,−→η )× Vε,y,m(0).
Доказательтво следствия следует из леммы 2.
Следствие 2. Многообразие Ls(A0, ε, m,−→η ) гомотопно многообразию
L
(m)
s (A0
m, ε, m,−→η ):
Ls(A0, ε, m,−→η ) ∼ L(m)
s (A0
m, ε,m,−→η ).
Доказательство следствия сразу вытекает из гомотопической тривиальности
шара Vε,y,m(0).
Опишем точки,принадлежащие замыканию многообразия Ls(A0, ε,m,−→η ), но не
принадлежащие ему:
Теорема 4. Множество Ls(A0, ε, m,−→ηi )\Ls(A0, ε, m,−→ηi ) содержит все подмно-
жества Ls(A0, ε, m,−→ηi ), для которых наборы −→ηi получаются в результате слия-
ния некоторых (по крайней мере, двух) рядом стоящих собственных значений. При
этом кратности собственных значений складываются.
Так множество Ls(A0, ε, 3, {1, 1, 1})\Ls(A0, ε, 3, {1, 1, 1}) содержит в себе подмно-
жества Ls(A0, ε, 3, {2, 1}) и Ls(A0, ε, 3, {1, 2}) (полученные путем слияния двух ря-
дом стоящих собственных значений), и подмножество Ls(A0, ε, 3) (полученное путем
слияния всех трех собственных значений).
3. Случаи двукратных и трехкратных собственных значений.
Топология расщепления собственого значения кратности два. Рассмот-
рим случай m = 2. Для операторов A, близких к A0, возможны следующие наборы
кратностей: либо A ∈ Ls(A0, ε, 2) (собственное значение λ ∈ (λ0−ε; λ0+ε) оператора
127
Е.А. Масюта
A остается двукратным), либо A ∈ Ls(A0, ε, 2, {1, 1}) (собственное значение λ0 рас-
щепляется на два однократных собственных значения λ1 и λ2). Следовательно,
Vε(A0) = Ls(A0, ε, 2) ∪ Ls(A0, ε, 2, {1, 1}).
Гомотопически нетривиальным является только многообразие Ls(A0, ε, 2, {1, 1}).
Его описывает
Теорема 5. Ls(A0, ε, 2, {1, 1}) ∼= (S1 × (−ε; ε)× (0, ε))× Vε,y,2(0).
Доказательство. Многообразие Ls(A0, ε, 2, {1, 1}) ∼= V
(2)
ε (A0
2)\L(2)
s (A0
2, ε, 2). Мно-
гообразие L
(2)
s (A0
2, ε, 2) – это отрезок, а окрестность V
(2)
ε (A0
2) оператора A0
2 является
трехмерным шаром. Таким образом, Ls(A0, ε, 2, {1, 1}) диффеоморфно шару, из ко-
торого удалили ось. Что в свою очередь диффеоморфно произведению S1×(−ε; ε)×
(0, ε). ¤
Из теоремы 5 сразу вытекает
Теорема 6. Ls(A0, ε, 2, {1, 1}) ∼ S1.
Топология расщепления собственого значения кратности три. Пусть
m = 3. Для операторов A, близких к A0, возможны следующие наборы кратностей:
либо A ∈ Ls(A0, ε, 3) (собственное значение λ ∈ (λ0 − ε; λ0 + ε) оператора A остает-
ся трехратным), либо A ∈ Ls(A0, ε, 3, {2, 1}) (собственное значение λ0 расщепляется
на одно двукратное и одно однократное собственные значения λ1 = λ2 и λ3), либо
A ∈ Ls(A0, ε, 3, {1, 2}) (собственное значение λ0 расщепляется на одно однократное
и одно двукратное собственные значения λ1 и λ2 = λ3), либо A ∈ Ls(A0, ε, 3, {1, 1, 1})
(собственное значение λ0 расщепляется на три однократных собственных значения
λ1, λ2 и λ3). Следовательно,
Vε(A0) = Ls(A0, ε, 3) ∪ Ls(A0, ε, 3, {2, 1}) ∪ Ls(A0, ε, 3, {1, 2}) ∪ Ls(A0, ε, 3, {1, 1, 1}).
Воспользуемся евклидовой нормой оператора A в пространстве L
(3)
s , которая опре-
деляется по формуле [8]:
‖A‖ :=
√√√√
3∑
i,j=1
a2
i,j ,
где ai,j – элементы матрицы, задающей оператор A в данном базисе. Так как ‖A‖
не зависит от выбора ортонормированного базиса в R3, то для оператора A =
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ2
∈ L
(3)
s квадрат нормы равен ‖A‖2 = λ2
1 + λ2
2 + λ2
3.
В силу теоремы 3 достаточно рассмотреть трехмерный случай. Поскольку
L
(3)
s (A0
3, ε, 3, {1, 2})\{A0
3} диффеоморфно (S5∩L
(3)
s (A0
3, ε, 3, {1, 2}))×(0, ε), нам доста-
точно рассмотреть исследуемые объекты на сфере S5. Рассмотрим сферу S5 радиуса
r = 1(так как в трехмерном случае радиус не существенен). Собственные значения
128
Топология расщепления собственных значений
операторов A, у которых первое собственное значение однократно, а второе – дву-
кратно, удовлетворяют условиям:
{
λ1 < λ2 = λ3
λ2
1 + 2λ2
2 = 1
. (5)
Допустимый набор (λ1, λ2), определяемый условиями (5), можно параметризи-
ровать углом α ∈ (0;π) между вектором ( 1√
3
, 1√
3
) и вектором (λ1, λ2). Итак, все
исследуемые операторы из L
(3)
s (A0
3, ε, 3, {1, 2}) × S5 определяются углом α ∈ (0; π)
и выбором произвольного собственного направления e1, отвечающего λ1 (так как
плоскость, ортогональная e1, автоматически является собственной для λ2 = λ3).
Все указанные направления e1 в R3 образуют проективную плоскость RP 2. При
фиксированном угле α полученная проективная плоскость вложена в S5.
Таким образом, справедливо следующее утверждение
Теорема 7. Ls(A0, ε, 3, {2, 1}) ∼= Ls(A0, ε, 3, {1, 2}) ∼=
(
(RP 2)× (0, π)× (0, ε)
) ×
Vε,y,3(0).
Из теоремы 7 следует
Теорема 8. Ls(A0, ε, 3, {1, 2}) ∼= Ls(A0, ε, 3, {2, 1}) ∼ RP 2.
Геометрия многообразия L
(3)
s (A0, ε, {1, 2}). Зафиксируем радиус сферы S5
равным ε = 1. Рассмотрим многообразие L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2})∩S5 ∼= RP 2×(0, π). Вто-
рой сомножитель (0, π) характеризует пару собственных значений (λ1, λ2 = λ3), а
первый сомножитель содержит все операторы, у которых зафиксированы собствен-
ные значения: (λ1, λ2 = λ3), причем λ2
1 + 2λ2
2 = 1.
Обозначим L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2}, α) многообразие L
(3)
s (A0, ε, {1, 2}) с фиксированным
углом α ∈ (0, π). Найдем при каком значении угла α ∈ (0, π) многообразие
L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2}, α)∩S5 ∼= RP 2 достигает своего наибольшего диаметра и вычислим
этот диаметр. Итак, пусть собственные значения, определяемые условиями (5), за-
фиксированы. Пусть A,B ∈ L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2}, α)∩S5 – операторы обладающие ука-
занными собственными значениями; {e1(A), e2(A), e3(A)} и {e1(B), e2(B), e3(B)}
– собственные векторы этих операторов. Без ограничения, A =
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ2
, а
B = V AV −1, где V – матрица прехода от базиса {e1(A), e2(A), e3(A)} к базису
{e1(B), e2(B), e3(B)}.
Лемма 3. Максимальный диаметр многообразия L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2}, α) ∩ S5 дос-
тигается при λ1 = −
√
2
3 , λ2 = 1√
6
и равен
√
3
2 .
Доказательство. Так как расстояние ‖A − B‖ зависит только от угла между
e1(A) и e1(B), то без ограничения общности можно считать, что e1(B) поворачива-
ется в плоскости {e1(A), e2(A)}. Тогда:
e1(B) = Rϕ
Oe1(A) =
cosϕ
− sinϕ
0
, e2(B) = Rϕ
Oe2(A) =
sinϕ
cosϕ
0
, e3(B) = e3(A).
129
Е.А. Масюта
Матрица перехода V и обратная ей V −1 имеют следующий вид:
V =
cosϕ sinϕ 0
− sinϕ cosϕ 0
0 0 1
, V −1 =
cosϕ − sinϕ 0
sinϕ cosϕ 0
0 0 1
.
Разность операторов A и B равна :
A−B = A− V AV −1 = (λ1 − λ2)
sin2 ϕ cosϕ sinϕ 0
cosϕ sinϕ − sin2 ϕ 0
0 0 0
.
Поэтому ‖A−B‖ = |λ1 − λ2|
√
2 sin4 ϕ + 2 sin2 ϕ cos2 ϕ =
√
2| sinϕ||λ1 − λ2|.
Норма разности операторов A и B достигает максимума по ϕ при ϕ = π
2 .
Найдем теперь максимум нормы разности операторов A и B по λ1 и λ2. Перепи-
шем условие (5) в виде {
λ1 = cosα
λ2 =
√
2
2 sinα
и найдем максимум (λ1−λ2)2. Так как (λ1−λ2)2 = 3
2 cos2(α+α0) (где α0 удовлетво-
ряет условиям cosα0 =
√
2
3 , sinα0 = 1√
3
), то максимум нормы разности операторов
A и B по λ1 и λ2 достигается при α = −α0 и α = π−α0. Учитывая условие λ1 < λ2,
получаем, что λ1 = −
√
2
3 и λ2 = 1√
6
.
Итак, диаметр L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2}, α) ∩ S5 достигается тогда, когда векторы e1(A)
и e1(B) перпендикулярны и λ1 = −
√
2
3 и λ2 = 1√
6
.
Рассмотрим самые далекие операторы A и B из L3
s(A
0, ε, 3, {1, 2}, α)∩S5 и найдем
угол между ними.
A =
λ1 0 0
0 λ2 0
0 0 λ2
=
−
√
2
3 0 0
0 1√
6
0
0 0 1√
6
, B =
λ2 0 0
0 λ1 0
0 0 λ2
=
1√
6
0 0
0 −
√
2
3 0
0 0 1√
6
.
Угол между операторами A и B найдем из соотношения cos ÂB = Tr(A·B)
|A|·|B| . Для этого
вычислим Tr(A ·B): так как A ·B =
−1
3 0 0
0 −1
3 0
0 0 1
6
, то Tr(A ·B) = −1
2 .
Следовательно, cos ÂB = Tr(A·B)
|A|·|B| = −1
2 , и угол между операторами A и B равен
ÂB = 120◦.
Вычислим ‖A−B‖ =
√
2| sinϕ||λ1 − λ2| =
√
3
2 . ¤
4. Случай конечного числа собственных значений. Пусть A0 – фикси-
рованный оператор из Ls, обладающий изолированными точками спектра
130
Топология расщепления собственных значений
λ0
1, . . . , λ
0
k, . . . , λ
0
n (k = 1, . . . , n), которые являются собственными значениями крат-
ности m1 ≤ ∞, . . . ,mk ≤ ∞, . . . ,mn ≤ ∞, соответственно. Пусть далее
ζn = (m1, . . . , mk, . . . , mn) – набор из кратностей, выбранных собственных значений
оператора A0.
Обозначим через Ls(A0, ε, ζn) множество таких операторов A, что:
1. A ⊂ Vε(A0) ⊂ Ls;
2. ∃ λk ∈ (λ0
k− ε; λ0
k + ε) – изолированные в указанных окрестностях собственные
значения оператора A.
Представим произвольный малый оператор B в блочном виде, согласованным с
разложением на блоки оператора A0:
B =
B11 · · · B1n B1⊥
...
. . .
...
...
Bn1 · · · Bnn Bn⊥
B⊥1 · · · B⊥n B⊥⊥
.
Определим самосопряженный блочно-диагональный и антисимметрический опе-
раторы
Diagn(B) =
B11 · · · 0 0
...
. . .
...
...
0 · · · Bnn 0
0 · · · 0 B⊥⊥
, Antn(B) =
0 · · · −B1n −B1⊥
...
. . .
...
...
Bn1 · · · 0 −Bn⊥
B⊥1 · · · B⊥n 0
.
Далее, аналогично формуле (2), определим локальный диффеоморфизм
Ψn : Ls → Ls, Ψn(B) = exp(Antn(B))(A0 + Diagn(B))(exp(−Antn(B)).
С помощью отображения Ψn мы будем исследовать операторы в ε-окрестности
оператора A0. Как и ранее, здесь возможны два случая:
1. Оператор A обладает собственными значениями λk с кратностями , отвечаю-
щими набору ζn ( то есть A ∈ Ls(A0, ε, ζn)).
2. Произошло расщепление собственных значений в окрестности исходных.
Мы будем рассматривать второй случай. Множество операторов с таким рас-
щеплением обозначим Ls(A0, ε, ζn, θ), где θ = {−→η 1, ...,
−→η k, ...
−→η n} – набор из наборов
кратностей, полученных при возмущении (здесь −→η k – набор соответствующий рас-
щеплению k-того собственного значения).
Замечание. Если мы зафиксируем только одно собственное значение и не будем
отслеживать остальные – мы вернемся к рассмотренным выше результатам.
131
Е.А. Масюта
Как уже известно для mk возможно ровно 2mk−1 различных наборов −→η k. Сле-
довательно, количество различных наборов θ равно
l = 2m1−1 · . . . · 2mk−1 · . . . · 2mn−1 = 2
(
n∑
i=1
mi
)
−n
.
Справедлива следующая теорема:
Теорема 9. Множество Ls(A0, ε, ζn, θ) ⊂ Vε(A0) является C∞-многообразием
диффеоморфным
L(m1)
s (A0
m, ε, m1,
−→η 1)×. . .×L(mk)
s (A0
mk
, ε, mk,
−→η k)×. . .×L(mn)
s (A0
mn
, ε,mn,−→η n)×Vε,y,ζn(0),
где Vε,y,ζn(0) – шар малых операторов, у которых диагональные блоки нулевые, а
остальные блоки произвольные малые.
Доказательство фактически повторяет доказательство теоремы 2.
1. Масюта Е.А.Многообразие самосопряженных операторов, обладающих изолированным собст-
венным значением // Нелинейные граничные задачи. – 2007. – 17. – С.74-86.
2. Арнольд В.И. Моды и квазимоды // Функциональный анализ и его приложения. – 1972. – 6,
№2. – С.94-101.
3. Fujiwara D., Tanikawa M., Yukita Sh. The spectrum of Laplasian and Boundary Perturbation. I //
Proc. Jap. Acad. Ser. A. – 1978. – 54, № 4. – Р.87-91.
4. Дымарский Я.М. Метод многообразий в теории собственных векторов нелинейных операторов
// Современная математика. Фундаментальные направления. – 2007. – Т.24. – С.3-159.
5. Хелемский А.Я. Лекции по функциональному анализу. – М.: МЦНМО, 2004. – 552с.
6. Бирман М.Ш., Соломяк М.3. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбер-
товом пространстве. Учеб. пособие. – Л., Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. – 264с.
7. Виленкин Н.Я. Популярная комбинаторика. - М.: Наука, 1975. – 208с.
8. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т Современная геометрия: Методы и приложения.
– 2-е изд., перераб. – М.: Наука, 1986. – 760с.
Луганский национальный ун-т им. Тараса Шевченко
cegec@yandex.ru
Получено 15.04.09
132
|