Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея
Отримана нижня оцінка для інтеграла від функції з класу Жеврея, що є розв’язком рівняння згортки. Також знайдена інтегральна оцінка для гладкої на півпрямій функції....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123881 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея / А.М. Міненкова // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 133-137. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123881 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238812017-09-13T03:03:23Z Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея Міненкова, А.М. Отримана нижня оцінка для інтеграла від функції з класу Жеврея, що є розв’язком рівняння згортки. Також знайдена інтегральна оцінка для гладкої на півпрямій функції. 2009 Article Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея / А.М. Міненкова // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 133-137. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123881 517.5 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Отримана нижня оцінка для інтеграла від функції з класу Жеврея, що є розв’язком рівняння згортки. Також знайдена інтегральна оцінка для гладкої на півпрямій функції. |
| format |
Article |
| author |
Міненкова, А.М. |
| spellingShingle |
Міненкова, А.М. Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Міненкова, А.М. |
| author_sort |
Міненкова, А.М. |
| title |
Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея |
| title_short |
Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея |
| title_full |
Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея |
| title_fullStr |
Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея |
| title_full_unstemmed |
Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея |
| title_sort |
неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу жеврея |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123881 |
| citation_txt |
Неінтегровність продовження розв'язку рівняння згортки з класу Жеврея / А.М. Міненкова // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 133-137. — Бібліогр.: 2 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT mínenkovaam neíntegrovnístʹprodovžennârozvâzkurívnânnâzgortkizklasuževreâ |
| first_indexed |
2025-07-09T00:27:01Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:27:01Z |
| _version_ |
1837127018597056512 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 517.5
c©2009. А.М. Мiненкова
НЕIНТЕГРОВНIСТЬ ПРОДОВЖЕННЯ РОЗВ’ЯЗКУ
РIВНЯННЯ ЗГОРТКИ З КЛАСУ ЖЕВРЕЯ
Отримана нижня оцiнка для iнтеграла вiд функцiї з класу Жеврея, що є розв’язком рiвняння
згортки. Також знайдена iнтегральна оцiнка для гладкої на пiвпрямiй функцiї.
Вступ. Нехай T ∈ E ′(R1), T 6= 0, де E ′(R1) – простiр розподiлiв з компактними
носiями i нехай r(T ) – довжина найменшого вiдрiзку, що мiстить носiй T . Припу-
стимо, що
−∞ ≤ a < b ≤ +∞, b− a > 2r(T ).
Введемо наступне позначення
(a, b)T = {t ∈ R1 : t− suppT ⊂ (a, b)}.
Позначимо C∞
T (a, b) – клас нескiнченно диференцiйовних функцiй f , якi є розв’я-
зком рiвняння згортки
(f ∗ T )(t) = 0, t ∈ (a, b)T . (1)
Нехай T̂ = 〈T, e−izt〉 – перетворення Фур’є T , Z(T̂ ) – множина усiх нулiв T̂ .
Тепер опишемо клас функцiй Жеврея. Для α ≥ 1 позначимо через Gα[a, b] мно-
жину всiх функцiй f ∈ C∞[a, b] таких, що
∫ b
a
|f(t)|dt ≤ γqqαq, q = 1, 2, ...,
де γ > 0 залежить тiльки вiд f, a, b. Також
Gα(a, b) = {f ∈ C∞(a, b) : f ∈ Gα[c, d] ∀ [c, d] ⊂ [a, b]}.
Якщо функцiя f ∈ Gα(a, b) є розв’язком рiвняння (1), то будемо казати, що
f ∈ Gα
T (a, b).
Появi цiєї роботи передувало вивчення властивостей полiномiв з експонент (див.
[1]) та питання про поведiнку продовження розв’язкiв рiвняння згортки (див. [2]).
У зв’язку з цим у [2, Глава 3] було отримано наступнi результати.
Теорема 1.(див. [2, Theorem 3.17]) Нехай T ∈ E ′(R1), T 6= 0, a ∈ R й припусти-
мо, що
sup
λ∈Z(T̂ )
Imλ
ln(2 + |λ|) = +∞. (2)
Тодi iснує f ∈ C∞
T (a,+∞) така, що якщо ε > 0 i F ∈ D′(a − ε, a + ε), тодi
F |(a,a+ε) 6= f |(a,a+ε).
133
А.М. Мiненкова
Теорема 2.(див. [2, Remark 3.4]) Нехай T ∈ E ′(R1), T 6= 0, a ∈ R, α ≥ 1 й
припустимо, що
sup
λ∈Z(T̂ )
Imλ
(1 + |λ|)1/α
= +∞. (3)
Тодi iснує f ∈ Gα
T (a,+∞) така, що для всiх ε > 0 i F ∈ D′(a − ε, a + ε), тодi
F |(a,a+ε) 6= f |(a,a+ε).
1. Оцiнка iнтегралiв для гладких на пiвпрямiй функцiй. Розглянемо по-
ведiнку iнтеграла вiд гладких функцiй, якi є розв’язками рiвняння згортки (1),
близько до границi визначення. Використовуючи умови Теореми 1, отримаємо на-
ступне твердження.
Теорема 3. Нехай T ∈ E ′(R1), T 6= 0, a ∈ R i T задовольняє (2). Тодi iснує
f ∈ C∞
T (a,+∞) така, що для деякої додатньої послiдовностi {εn}+∞
n=1 : εn → 0 при
достатньо великих n ∫ a+εn
a+εn/2
|f(t)|dt ≥ cε1−n
n , (4)
де c > 0 – деяка константа, що не залежить вiд n.
Доведення. Позначимо через {ζk}∞k=1 деяку послiдовнiсть нулiв T̂ , яка, згiдно
умовi (2), має наступнi властивостi
1) Imζk>1 i |ζk+1|/|ζk|>2;
2) Imζk+1 > (2k + Imζk) ln(3 + |ζk+1|).
Вважаючи
f(t) =
∞∑
k=1
|ζk|keiζk(t−a), t ∈ (a,+∞),
з доведення Теореми 1 (див. [2, Theorem 3.17]) вiдомо, що f ∈ C∞
T (a,+∞).
Нехай s ∈ N, s ≥ 2. Розглянемо вiдрiзок
[
a + 1
2Imζs
, a + 1
Imζs
]
. Використовуючи
1), отримаємо
s−1∑
k=1
|ζk|k|eiζk(t−a)| =
s−1∑
k=1
|ζk|ke−Imζk(t−a) ≤
s−1∑
k=1
|ζk|k = (5)
= |ζs−1|s−1
s−1∑
k=1
|ζk|k
|ζs−1|s−1
≤ 2|ζs−1|s−1.
Згiдно властивостям 1) i 2)
∞∑
k=s+1
|ζk|k|eiζk(t−a)| =
∞∑
k=s+1
|ζk|ke−Imζk(t−a) ≤
∞∑
k=s+1
|ζk|ke−Imζk/Imζs = (6)
134
Неiнтегровнiсть продовження розв’язку рiвняння згортки з класу Жеврея
=
∞∑
k=s+1
ek ln |ζk|−Imζk/Imζs =
∞∑
k=s+1
eImζk(k ln |ζk|/Imζk−1/Imζs) ≤
≤
∞∑
k=s+1
e
− Imζk
2Imζs ≤ c1,
де c1 не залежить вiд s i t.
Тодi з нерiвностей (5) i (6) отримаємо
|f(t)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
|ζk|keiζk(t−a)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
|ζs|seiζs(t−a) +
∑
k∈N\{s}
|ζk|keiζk(t−a)
∣∣∣∣∣∣
>
>
1
2
∣∣∣|ζs|seiζs(t−a)
∣∣∣ ≥ 1
2
|ζs|se−Imζs(t−a).
Використовуючи попередню нерiвнiсть, маємо наступну низку оцiнок.
∫
Es
|f(t)|dt ≥ 1
2
a+1/Imζs∫
a+1/2Imζs
|ζs|se−Imζs(t−a)dt =
1
2
|ζs|s e−Imζs(t−a)
−Imζs
∣∣∣∣∣
a+1/Imζs
a+1/2Imζs
= (7)
=
1
2
|ζs|s 1− e1/2
−2eImζs
≥ 1
4e
(Imζs)s e1/2 − 1
Imζs
>
e1/2 − 1
4e
(Imζs)s.
Положимо εs = 1
Imζs
, тодi з (7) випливає, що
∫ a+εs
a+εs/2
|f(t)|dt ≥ e1/2 − 1
4e
ε1−s
s .
Тобто отримана оцiнка (4). Теорема доведена. ¤
2. Приклад неiнтегровної функцiї класу Жеврея, яка є розв’язком рiв-
няння згортки. У цьому роздiлi статтi розглянемо розв’язок рiвняння згортки (1)
iз классу Жеврея i покажемо й в цьому випадку характер неiнтегрованостi на гра-
ницi визначення функцiї.
Теорема 4. Нехай T ∈ E ′(R1), T 6= 0, a ∈ R i T задовольняє (3). Тодi iснує
f ∈ Gα
T (a,+∞) така, що для певної додатньої послiдовностi {εn}+∞
n=1 : εn → 0 при
достатньо великих n справджується нерiвнiсть (4).
Доведення. Нехай iснує {ζk}∞k=1 – послiдовнiсть нулiв T̂ ,що згiдно умовi (2), має
такi властивостi
i) Imζk>1 i |ζk+1|/|ζk|>2;
ii) Imζk+1 > ((α + 1)k + 3 + Imζk)(3 + |ζk+1|)1/α.
135
А.М. Мiненкова
Визначимо функцiю f наступним чином
f(t) =
∞∑
k=1
|ζk|keiζk(t−a), t ∈ (a,+∞),
тодi з [2, Remark 3.4], i) та ii) видно, що f ∈ Gα
T (a,+∞).
Спочатку розглянемо значення функцiї f на вiдрiзку
[
a + 1
2Imζs
, a + 1
Imζs
]
, де
s ∈ N, s ≥ 2. Використовуючи властивiсть i), отримаємо
s−1∑
k=1
|ζk|k|eiζk(t−a)| =
s−1∑
k=1
|ζk|ke−Imζk(t−a) ≤
s−1∑
k=1
|ζk|k = (8)
= |ζs−1|s−1
s−1∑
k=1
|ζk|k
|ζs−1|s−1
≤ 2|ζs−1|s−1.
Згiдно властивостi i) та ii)
∞∑
k=s+1
|ζk|k|eiζk(t−a)| =
∞∑
k=s+1
|ζk|ke−Imζk(t−a) ≤
∞∑
k=s+1
|ζk|ke−Imζk/Imζs = (9)
=
∞∑
k=s+1
ek ln |ζk|−Imζk/Imζs ≤
∞∑
k=s+1
ek(1+|ζk|)1/α−Imζk/Imζs
≤
∞∑
k=s+1
e
− Imζk
2Imζs ≤ c2,
де c2 не залежить вiд s i t.
Тодi з нерiвностей (8) i (9) маємо
|f(t)| =
∣∣∣∣∣
∞∑
k=1
|ζk|keiζk(t−a)
∣∣∣∣∣ =
∣∣∣∣∣∣
|ζs|seiζs(t−a) +
∑
k∈N\{s}
|ζk|keiζk(t−a)
∣∣∣∣∣∣
>
>
1
2
∣∣∣|ζs|seiζs(t−a)
∣∣∣ ≥ 1
2
|ζs|se−Imζs(t−a).
Таким чином, отримаємо наступну нерiвнiсть
∫
Es
|f(t)|dt ≥ 1
2
a+1/Imζs∫
a+1/2Imζs
|ζs|se−Imζs(t−a)dt =
1
2
|ζs|s e−Imζs(t−a)
−Imζs
∣∣∣∣∣
a+1/Imζs
a+1/2Imζs
= (10)
=
1
2
|ζs|s 1− e1/2
−2eImζs
≥ 1
4e
(Imζs)s e1/2 − 1
Imζs
>
e1/2 − 1
4e
(Imζs)s.
Положимо εs = 1
Imζs
, тодi використовуючи (10), отримаємо оцiнку (4). Теорема
доведена. ¤
136
Неiнтегровнiсть продовження розв’язку рiвняння згортки з класу Жеврея
1. Леонтьев А.Ф. Последовательности полиномов из экспонент. – М.: Наука, 1980. – 384c.
2. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Mean periodic functions. – Donetsk: Donetsk National University
Press., 2008. – 194c.
Iн-т прикл. математики та механiки НАН України, Донецьк
a.minenkova@gmail.com
Получено 22.04.09
137
|