Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями

Рассмотрена задача определения частот краевого резонанса при симметричных по толщине колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными плоскими гранями. Описан алгоритм применения в рассматриваемой задаче метода рядов по базисной системе динамических однородных решений. Рассчитаны значени...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Смоктий, О.Д.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123885
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями / О.Д. Смоктий // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 159-165. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123885
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1238852017-09-13T03:03:10Z Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями Смоктий, О.Д. Рассмотрена задача определения частот краевого резонанса при симметричных по толщине колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными плоскими гранями. Описан алгоритм применения в рассматриваемой задаче метода рядов по базисной системе динамических однородных решений. Рассчитаны значения приведенных частот краевого резонанса для ряда трансверсально-изотропных материалов с различными показателями волновой анизотропии, а также значения верхних границ частотных интервалов, априори содержащих частоту краевого резонанса. Рассчитаны и проанализированы амплитудные формы колебаний приторцевой зоны трансверсально-изотропных полуслоев на частотах краевого резонанса и на частотах, близких к первой ненулевой частоте запирания нормальных бегущих Р-SV волн дчя рассматриваемых полуслоев 2009 Article Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями / О.Д. Смоктий // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 159-165. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123885 539.3 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассмотрена задача определения частот краевого резонанса при симметричных по толщине колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными плоскими гранями. Описан алгоритм применения в рассматриваемой задаче метода рядов по базисной системе динамических однородных решений. Рассчитаны значения приведенных частот краевого резонанса для ряда трансверсально-изотропных материалов с различными показателями волновой анизотропии, а также значения верхних границ частотных интервалов, априори содержащих частоту краевого резонанса. Рассчитаны и проанализированы амплитудные формы колебаний приторцевой зоны трансверсально-изотропных полуслоев на частотах краевого резонанса и на частотах, близких к первой ненулевой частоте запирания нормальных бегущих Р-SV волн дчя рассматриваемых полуслоев
format	Article
author	Смоктий, О.Д.
spellingShingle	Смоктий, О.Д. Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Смоктий, О.Д.
author_sort	Смоктий, О.Д.
title	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями
title_short	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями
title_full	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями
title_fullStr	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями
title_full_unstemmed	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями
title_sort	краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123885
citation_txt	Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями / О.Д. Смоктий // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 159-165. — Бібліогр.: 12 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT smoktijod kraevojrezonansprisimmetričnyhkolebaniâhtransversalʹnoizotropnogopolusloâsosvobodnymigranâmi
first_indexed	2025-07-09T00:27:29Z
last_indexed	2025-07-09T00:27:29Z
_version_	1837127024077963264
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18 УДК 539.3 c©2009. О.Д. Смоктий КРАЕВОЙ РЕЗОНАНС ПРИ СИММЕТРИЧНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ПОЛУСЛОЯ СО СВОБОДНЫМИ ГРАНЯМИ Рассмотрена задача определения частот краевого резонанса при симметричных по толщине ко- лебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными плоскими гранями. Описан ал- горитм применения в рассматриваемой задаче метода рядов по базисной системе динамических однородных решений. Рассчитаны значения приведенных частот краевого резонанса для ряда трансверсально-изотропных материалов с различными показателями волновой анизотропии, а так- же значения верхних границ частотных интервалов, априори содержащих частоту краевого резо- нанса. Рассчитаны и проанализированы амплитудные формы колебаний приторцевой зоны транс- версально-изотропных полуслоев на частотах краевого резонанса и на частотах, близких к первой ненулевой частоте запирания нормальных бегущих P-SV волн для рассматриваемых полуслоев. Введение. Различные аспекты явления краевого резонанса при установивших- ся упругих колебаниях изотропного полуслоя (полуполосы) исследованы и обобще- ны в работах [1–9, 12]. Применительно к полуслою с начальными деформациями в толщинном направлении и смешанными краевыми условиями на плоских гранях особенности проявления краевого резонанса описаны в публикации [11]. Данная работа посвящена анализу отдельных характеристик краевого резонанса для ра- нее не исследованного случая возбуждения симметричных по толщине колебаний в трансверсально-изотропном полуслое со свободными от напряжений плоскими гра- нями. 1. Постановка задачи. Рассматривается трансверсально-изотропный полуслой с нормированными упругими постоянными cij , занимающий в системе безразмерных прямоугольных координат Ox1x2x3 область: V = {0 ≤ x1 < +∞, −∞ < x2 < +∞, −h ≤ x3 ≤ h} . (1) Плоские грани полуслоя свободны от механических напряжений σ3j \|x3=±h = 0, j = 1, 3 (2) Колебания полуслоя инициируются приложенными на боковой поверхности сим- метричными по его толщине внешними нормальными усилиями либо обусловлены действием уединенной гармонической бегущей нормальной волны, принадлежащей некоторой моде дисперсионного спектра и падающей на боковую поверхность из глубины полуслоя. В общем случае граничные условия на боковой поверхности по- луслоя x1 = 0 для комплексных амплитудных характеристик тензора динамических напряжений имеют вид σ11\|x1=0 = χ (x3) , σ13\|x1=0 = ζ (x3) , x3 = [−h, h], (3) 159 О.Д. Смоктий где χ (x3) = χ (−x3) , ζ(−x3) = −ζ(x3). Сформулированная таким образом краевая задача описания и анализа поля упругих волн P-SV типа в рассматриваемом полуслое исследуется далее в работе на основе метода рядов по базисным однородным решениям (метода разложения характеристик искомого волнового поля по базисной системе бегущих и краевых стоячих нормальных волн). 2. Форма численно-аналитического решения краевой задачи. На осно- ве общей схемы применения метода рядов по базисным динамическим однородным решениям [10] комплексные амплитудные характеристики исследуемого волнового поля в области V – амплитудные функции волновых упругих перемещений и дина- мических напряжений на боковой поверхности полуслоя, представляются в виде: u1 = ∞∑ p=1 BpΘ̃p(γp, x3), u2 ≡ 0, u3 = ∞∑ p=1 BpM̃p(γp, x3), σ11 = ∞∑ p=1 BpΦ̃p(γp, x3), σ13 = ∞∑ p=1 BpΨ̃p(γp, x3). (4) Суммирование в представлениях (1) осуществляется по упорядоченному множеству волновых чисел – корней дисперсионного уравнения для симметричных нормальных P-SV волн в трансверсально-изотропном полуслое. Для образующих это множество действительных значений γp (Re(γp) > 0) и мнимых значений γp (Im(γp) > 0) имеем Θ̃(γp, x1, x3) = Θ(γp,x3)eiγpx1 , M̃(γp, x1, x3) = M(γp,x3)eiγpx1 , Φ̃(γp, x1, x3) = Φ(γp,x3)eiγpx1 , Ψ̃(γp, x1, x3) = Ψ(γp,x3)eiγpx1 , а для входящих в указанное множество комплексных значений γp (Re(γp) > 0, Im(γp) > 0) Θ̃(γp, x1, x3) = Θ(γp, x3)eiγpx1 + Θ(−γ̄p, x3)e−iγ̄px1 , M̃(γp, x1, x3) = M(γp, x3)eiγpx1 + M(−γ̄p, x3)e−iγ̄px1 , Φ̃(γp, x1, x3) = Φ(γp, x3)eiγpx1 + Φ(−γ̄p, x3)e−iγ̄px1 , Ψ̃(γp, x1, x3) = Ψ(γp, x3)eiγpx1 + Ψ(−γ̄p, x3)e−iγ̄px1 . Здесь Φp(γp,x3) = c13f / 3p(x3)− c11γ 2 pf ( 1px3), Ψp = c44iγp(f ( 3px3) + f / 1p(x3)), Θp = iγpf1p(x3), Mp = f3p(x3), f1p(x3) = α2p cos(σ(p) 1 x3)− α1p cos(σ(p) 2 x3), α1p = (κ1p − σ(p) 1 ) sin σ(p) 1 h, f3p(x3) = α2pκ1p cos(σ(p) 1 x3)− α1pκ2p cos(σ(p) 2 x3), α2p = (κ2p − σ(p) 2 ) sinσ(p) 2 h. 160 Краевой резонанс в транверсально-изотропном полуслое Для нахождения неизвестных произвольных коэффициентов Bp в редуцирован- ных рядах (3) в реализуемом исследовании используется метод наименьших квад- ратов, в соответствии с которым искомые величины определяются из системы ли- нейных алгебраических уравнений N∑ p=1 Bp h∫ −h (Φ̃p(γp, 0, x3)Φ̃j(γj , 0, x3) + Ψ̃p(γp, 0, x3)Ψ̃j(γj , 0, x3))dx3 = = h∫ −h (Φ̃j(γj , 0, x3)χ(x3) + Ψ̃j(γj , 0, x3)ζ(x3))dx3, (j = 1, N), (5) в которой N – количество слагаемых в рассматриваемом представлении исследуемо- го волнового поля по системе базисных нормальных волн. Для интегралов в соотно- шении (5) после соответствующих преобразований получены явные аналитические представления. Для исследования специфики проявления краевого резонанса в рассматривае- мом полуслое используются приемы варьирования вида функций, характеризую- щих внешние гармонические воздействия, варьирования частотного параметра и последующего выявления случаев выраженной локализации волнового поля вблизи боковой поверхности полуслоя x1 = 0. При исследовании варианта рассматриваемой задачи, в котором колебания полу- слоя обусловлены падающей из его глубины нормальной волной, в качестве предва- рительного вспомогательного этапа анализа частот краевого резонанса в настоящей работе применена методика определения специальных критических значений угла падения α парциальной SV-составляющей бегущей нормальной волны низшей мо- ды, при котором угол отражения β парциальной P-составляющей этой волны от свободного торца полуслоя равен нулю [5, 6]. Частотная зависимость для искомо- го критического значения определяется соотношением k1 cosα = k2 cosβ, в котором k1 и k2 – соответственно волновые числа для парциальной SV-составляющей пада- ющей волны и P-составляющей отраженной от торца нормальной волны. В итоге частота, соответствующая искомому критическому углу падения, вычисляется как корень нелинейного алгебраического уравнения cosα = Reσ(1) 1 /(γ2 1 + (Reσ(1) 1 )2)1/2, где γ1(Ω) – волновое число (действительнозначный корень дисперсионного уравне- ния) для распространяющейся нормальной волны низшей моды. 3. Результаты численных исследований. В процессе численных исследова- ний анализ эффекта краевого резонанса для трансверсально-изотропного полуслоя был осуществлен на основе результатов решения задачи о колебаниях полуслоя при внешнем гармоническом нагружении вида (3) с амплитудными характеристиками χ(x3) = cos(πx3), ζ(x3) = 0. (6) Был реализован также поиск значений приведенной частоты, ограничивающей свер- ху частотный диапазон возникновения краевого резонанса, на основе анализа задачи о падении бегущей нормальной волны низшей моды на свободный торец полуслоя из его глубины. 161 О.Д. Смоктий В качестве нормирующего параметра для координат и амплитудных характери- стик упругих перемещений выбиралось значение полутолщины h рассматриваемого тела. В процессе расчетов установлено, что оптимальным для получения контрастной картины проявления краевого резонанса является задание в (3) самоуравновешен- ного нормального нагружения, для которого h∫ −h χ(x3)dx3 = 0, h∫ −h ζ(x3)dx3 = 0. (7) В работе рассмотрены случаи возбуждения колебаний в полуслое из ряда кон- кретных конструкционных материалов. Достоверность проведенных численных ис- следований контролировалась, в частности, сравнением результатов использования разработанного алгоритма применительно к изотропному полуслою с коэффициен- том Пуассона ν = 0.31 с результатами, полученными для данного варианта задачи в работах Городецкой, Гринченко, Мелешко [3, 5, 6, 9]. В частности, при исследовании рассматривались материалы, волноводные свой- ства которых характеризуются различными альтернативными величинами так на- зываемого приведенного параметра волновой анизотропии ∆ [10], значение которого определяет особенности структуры дисперсионного спектра нераспространяющихся нормальных волн в соответствующих волноводах. Так для полуслоя из материалов BaTiO3, PbT iO3 значение параметра \|∆\| близко к нулю, вследствие чего эти ма- териалы характеризуются малой волноводной анизотропией. Для полуслоя из мо- нокристалла Co параметр ∆ принимает большое положительное значение, чему со- ответствует дисперсионный спектр, в котором краевые стоячие волны описываются преимущественно комплексными ветвями. Для полуслоя из монокристалла β-кварца параметр ∆ имеет отрицательное значение, и в этом случае краевые стоячие волны практически полностью принадлежат мнимым модам. Для характеристики часто- ты краевого резонанса используется приведенный параметр вида Ω = Ω̃/Ω̃∗1, где Ω̃ = ρω2h2/c∗, Ω̃∗1 – значение первой ненулевой безразмерной частоты запирания нормальных P-SV волн в рассматриваемом полуслое, ρ – плотность материала по- луслоя (кг/м3), h − полутолщина слоя (м), c∗ = 1010 Па. На основе проведенных расчетов получено подтверждение того факта, что ча- стота краевого резонанса Ωe для трансверсально-изотропного полуслоя также нахо- дится в интервале, ограниченном сверху частотой, соответствующей критическому углу падения парциальной SV-составляющей в бегущей волне низшей моды с нуле- вой частотой запирания на свободный торец полуслоя. 162 Краевой резонанс в транверсально-изотропном полуслое Результаты расчетов представлены в таблице. Характеристики явления краевого резонанса. Тип материала полуслоя Значение кри- тического угла α падения SV- составляющей нормальной волны на тор- цевую поверх- ность полуслоя, рад Приведенное значение частот- ного параметра, соответствующе- го критическому углу падения α Приведенная частота крае- вого резонанса Ωe Изотропный, ν = 0.31 1,01840 0,962230 0,862963 BaTiO3 1,02999 0,928078 0,828000 PbT iO3 0,87000 0,996429 0,905000 β−кварц 0,91899 0,959505 0,874194 Co 0,93299 0,982379 0,851724 Ni 1,01799 0,900272 0,807407 Важным аспектом исследования специфики краевого резонанса является ана- лиз форм колебаний приторцевой зоны полуслоя на частоте краевого резонанса Ωe и при частотах, отличающихся от Ωe. Так на рис. 1 представлена амплитудная фор- ма колебаний зоны вблизи торца изотропного полуслоя при краевом резонансе, а на рис. 2, 3, 4 – аналогичные формы для полуслоя из нескольких трансверсально- изотропных материалов. Рис. 1. Изотропный полуслой, ν = 0.31 Рис. 2. Полуслой из керамики BaTiO3 163 О.Д. Смоктий Рис. 3. Полуслой из монокристалла β−кварца Рис. 4. Полуслой из монокристалла Co Для характеристики контрастности явления краевого резонанса на рис. 5, 6, 7, 8 показаны амплитудные формы колебаний приторцевой зоны полуслоев из тех же материалов на частотах, близких к приведенной частоте Ω∗1 = 1. Рис. 5. Изотропный полуслой, ν = 0.31 Рис. 6. Полуслой из керамики BaTiO3 Рис. 7. Полуслой из монокристалла β−кварца Рис. 8. Полуслой из монокристалла Co Таким образом, в работе впервые получены результаты, которые дают характе- 164 Краевой резонанс в транверсально-изотропном полуслое ристику некоторых аспектов явления краевого резонанса в трансверсально-изотропном упругом полуслое со свободными плоскими гранями. Прежде всего они дают осно- вание заключить, что при всех варьируемых сочетаниях параметров полуслоя в нем имеет место явление краевого резонанса. Для рассчитанных значений приве- денной частоты краевого резонанса Ωe не выявлено сколь либо выраженной связи с параметром ∆ волновой анизотропии материала полуслоя. Выявлены некоторые особенности в формах амплитудных колебаний приторцевой зоны трансверсально- изотропного полуслоя на частоте краевого резонанса. 1. Гомилко А.М., Городецкая Н.С., Мелешко В.В. О динамическом принципе Сен-Венана для упругой полуполосы // Теор. и прикл. мех. – Вища школа. – 1991. – Вып.22.– С.40. 2. Гомилко А.М., Городецкая Н.С., Мелешко В.В. Краевой резонанс при вынужденных изгибных колебаниях полуполосы // Акуст. журнал – 1991. – Вып.37, N5. – С.908-914. 3. Гомилко А.М., Городецкая Н.С. Краевой резонанс при вынужденных колебаниях волновода // XI Всесоюз.акуст конференция. – 1991. – М. – С.127-130. 4. Гомилко А.М., Гринченко В.Т., Мартыненко О.Н. Краевой резонанс в полубесконечном жест- ко защемленном волноводе // Прикл. математика и механика. – 1991. – Вып.55, N6. – С.982-988. 5. Городецкая Н.С. Еще раз о краевом резонансе // Акуст. вестн. – 2000. – Т.3, N4. – С.35-44. 6. Городецкая Н.С., Гринченко В.Т. Анализ физических особенностей явления краевого резонан- са в упругих телах // Акуст. вестн. – 2004. – Т.7, N1. – С.30-43. 7. Гринченко В.Т., Городецкая И.С. Об эффективности возбуждения краевой моды в упругой полуполосе // Прикл. механика. – 1998. – Вып.34, N2. –С.17-25. 8. Гринченко В.Т., Городецкая И.С. Краевой резонанс при изгибных колебаниях полуполосы // Докл. АН УССР. Сер.А. – 1985. – N4. – С.20-23. 9. Гринченко В.Т., Мелешко В.В. Гармонические колебания и волны в упругих телах. – Киев: Наук. думка, 1981. – 284с. 10. Космодамианский А.С., Сторожев В.И. Динамические задачи теории упругости для анизо- тропных сред. – Киев: Наук. думка, 1985. – 176с. 11. Kaplunov J.D., Prikazchikov D.A., Rogerson G.A. Edge vibration of a pre-stressed semi-infinite strip with traction-free edge and mixed face boundary conditions // Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. – 2004. – Vol.55, N4. – P.701-719. 12. Torvik P.J. Reflection of wave trains in semi-infinite plate. // J. Acoust. Soc. Amer. – 1967. – N41. – P.346-353. Донецкий национальный ун-т smokty_oksana@mail.ru Получено 165

Краевой резонанс при симметричных колебаниях трансверсально-изотропного полуслоя со свободными гранями

Репозитарії

Схожі ресурси