Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
Данная статья посвящена кольцевым Q--гомеоморфизмам. Исследуется проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов между областями в метрических пространствах с мерами. Сформулированы условия на функцию Q(x) и границу области, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допус...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123886 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах / Е.С. Смоловая // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 166-177. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123886 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238862017-09-13T03:03:25Z Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах Смоловая, Е.С. Данная статья посвящена кольцевым Q--гомеоморфизмам. Исследуется проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов между областями в метрических пространствах с мерами. Сформулированы условия на функцию Q(x) и границу области, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение на границу. Результаты применимы, в частности, к римановым многообразиям, пространствам Левнера, группам Карно и Гейзенберга. 2009 Article Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах / Е.С. Смоловая // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 166-177. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123886 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Данная статья посвящена кольцевым Q--гомеоморфизмам. Исследуется проблема продолжения на границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов между областями в метрических пространствах с мерами. Сформулированы условия на функцию Q(x) и границу области, при которых всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение на границу. Результаты применимы, в частности, к римановым многообразиям, пространствам Левнера, группам Карно и Гейзенберга. |
| format |
Article |
| author |
Смоловая, Е.С. |
| spellingShingle |
Смоловая, Е.С. Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Смоловая, Е.С. |
| author_sort |
Смоловая, Е.С. |
| title |
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_short |
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_full |
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_fullStr |
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_full_unstemmed |
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| title_sort |
продолжение по непрерывности кольцевых q-гомеоморфизмов в метрических пространствах |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123886 |
| citation_txt |
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах / Е.С. Смоловая // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 166-177. — Бібліогр.: 44 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT smolovaâes prodolženieponepreryvnostikolʹcevyhqgomeomorfizmovvmetričeskihprostranstvah |
| first_indexed |
2025-07-09T00:27:34Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:27:34Z |
| _version_ |
1837127035746516992 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 517.5
c©2009. Е.С. Смоловая
ПРОДОЛЖЕНИЕ ПО НЕПРЕРЫВНОСТИ КОЛЬЦЕВЫХ
Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ В МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ
Данная статья посвящена кольцевым Q-гомеоморфизмам. Исследуется проблема продолжения на
границу так называемых кольцевых Q-гомеоморфизмов между областями в метрических простран-
ствах c мерами. Сформулированы условия на функцию Q(x) и границу области, при которых
всякий кольцевой Q-гомеоморфизм допускает непрерывное или гомеоморфное продолжение на
границу. Результаты применимы, в частности, к римановым многообразиям, пространствам Лев-
нера, группам Карно и Гейзенберга.
Введение. В последние годы ведущие специалисты в своих работах активно
изучают кольцевые Q-гомеоморфизмы, см., напр., [29]. Исторически данным гоме-
оморфизмам предшествовали Q-гомеоморфизмы, чья концепция была предложена
Олли Мартио, см., напр., [25]. Понятие кольцевых Q-гомеоморфизмов мотивиро-
вано определением квазиконформности по Герингу, см., напр., [11] и представляет
собой обобщение и локализацию этого определения, которое впервые было введено
В. Рязановым, У.Сребро и Э.Якубовым на плоскости, [33], [36]. Изначально понятие
кольцевого Q-гомеоморфизма на комплексной плоскости было изучено и получило
начало к тщательному рассмотрению для решения вырожденных уравнений Бель-
трами, см., напр., [29], [33]. Заметим также, что при ограниченности функции Q(x),
понятия кольцевого Q-гомеоморфизма и Q-гомеоморфизма эквивалентны. В общем
же случае каждый Q-гомеоморфизм является кольцевым, но не наоборот. В рабо-
те [33] предложены примеры кольцевых Q-гомеоморфизмов в определенной точке
x0, таких что 0 < Q(x) < 1 на некотором множестве, для которого x0 является
точкой плотности. Результаты, полученные для Q-гомеоморфизмов переносятся на
кольцевые Q-гомеоморфизмы, см., напр., [39]. Это касается проблемы локального
поведения Q-гомеоморфизмов в Rn в случае Q ∈ BMO [23]–[25], Q ∈ FMO и в
других случаях [16], [29], [33], [36]. Так же установлены свойства ACL для Q-гоме-
оморфизмов в Rn, n ≥ 2 при локально интегрируемом Q(x), см., напр., [37], [38].
Там же показана дифференцируемость п. в. и принадлежность Q-гомеоморфизмов
соболевскому классу W1,1
loc .
В статье [29] изучаются свойства слабо плоских пространств, которые являются
далеко идущим обобщением недавно введенных пространств Левнера, см., напр., [1],
[3], [12], [15], [41], и которые включают в себя, в частности, широко известные группы
Карно и Гейзенберга, см. [4]–[8], [13], [14], [18], [19], [21], [26], [28]. На этой основе, в
работе [29] была построена теория граничного поведения и устранимых особенностей
для Q-гомеоморфизмов, применимая во всех перечисленных классах пространств.
Там же, в частности, доказаны обобщение и усиление известной теоремы Геринга-
Мартио о гомеоморфной продолжимости на границу квазиконформных отображе-
166
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
ний между областями квазиэкстремальной длины, см. [10].
В теории квазиконформных отображений и их обобщений большую роль игра-
ют различные модульные неравенства. В связи с этим, следующая концепция была
предложена профессором Олли Мартио, см., напр., [23]–[25] и [16]–[17]. Пусть G и G′
– области в Rn, n ≥ 2, и пусть Q : G → [1,∞] – измеримая функция. Гомеоморфизм
f : G → G′ называется Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) ≤
∫
G
Q(x) · ρn(x) dm(x) (1)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции ρ семейства Γ. Эта
концепция является естественным обобщением геометрического определения квази-
конформного отображения, см. 13.1 и 34.6 в [42]. Концепция также естественным
образом связана с теорией модулей с весом, см., напр., [27] и [40].
Напомним, что борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для
семейства кривых Γ в Rn, пишут ρ ∈ admΓ, если
∫
γ
ρ ds ≥ 1 (2)
для всех γ ∈ Γ. Модуль семейства кривых Γ определяется равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
G
ρn(x) dm(x) , (3)
где m – мера Лебега в Rn.
Проблема локального и граничного поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в
Rn в случае Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания) в работах [23]–[25] и
[30]–[32], а в случае Q ∈ FMO (конечного среднего колебания) и в других случаях в
работах [16]–[17], [33]–[35]. Ранее модульная техника для метрических пространств
развивалась, например, в работах [9], [12], [15] и [22].
В дальнейшем (X, d, µ) обозначает пространство X с метрикой d и локально
конечной борелевой мерой µ. Областью в X будем называть открытое множество,
любые две точки которого можно связать непрерывной кривой.
Пусть G и G′ – области с конечными хаусдорфовыми размерностями α и α′ ≥ 1
в пространствах (X, d, µ) , и (X ′, d′, µ′) и пусть Q : G → [0,∞] – измеримая функция.
Говорим, что гомеоморфизм f : G → G′ является Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) ≤
∫
G
Q(x) · ρα(x) dµ(x) (4)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции ρ для Γ.
Модуль семейств кривых Γ в пространстве (X, d, µ) задаем равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
G
ρα(x) dµ(x) , (5)
167
Е.С. Смоловая
где допустимые функции для Γ, по-прежнему, определяются условием вида (2). В
случае пространства (X ′, d′, µ′) в (5) берем хаусдорфову размерность α′ области G′.
Будем говорить, что гомеоморфизм f : G → G′ называется кольцевым Q-гомео-
морфизмом в точке x0 ∈ G, если
M(4(fC0, fC1, G′)) ≤
∫
A∩G
Q(x) · ηα(d(x, x0)) dµ(x) (6)
выполняется для любого кольца A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ X : r1 < d(x, x0) <
r2} , 0 < r1 < r2 < ∞, и любых двух континуумов C0 и C1, которые принадлежат
различным компонентам дополнения кольца A в пространстве X и любой измеримой
функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1. (7)
Напомним, что если γ : [a, b] → X – непрерывная кривая в метрическом простран-
стве (X, d), то ее длина есть супремум сумм
k∑
i=1
d(γ(ti), γ(ti−1)) (8)
над всеми разбиениями a = t0 ≤ t1 ≤ ... ≤ tk = b интервала [a, b]. Кривая γ называ-
ется спрямляемой, если ее длина конечна.
Пространство (X, d, µ) называется α-регулярным по Альфорсу, если существует
постоянная C ≥ 1 такая, что
C−1rα ≤ µ(Br) ≤ Crα (9)
для всех шаров Br в X радиуса r < diam X. Как известно, α-регулярные простран-
ства имеют хаусдорфову размерность α, см., напр., [12], c. 61. Пространство (X, d, µ)
будем называть регулярным по Альфорсу, если оно α-регулярно по Альфорсу для
некоторого α ∈ (1,∞).
Будем говорить, что пространство (X, d, µ) – α-регулярно сверху в точке x0 ∈ X,
если существует постоянная C > 0 такая, что
µ(B(x0, r)) ≤ Crα (10)
для всех шаров B(x0, r) с центром в точке x0 ∈ X радиуса r < r0. Будем также гово-
рить, что пространство (X, d, µ) – α-регулярно сверху, если условие (10) выполнено
в каждой точке.
1. О связностях в топологических пространствах. Приведем некоторые
топологические определения и замечания общего характера, которые будут полезны
в дальнейшем. Пусть T – произвольное топологическое пространство. Кривой в T
168
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
называется непрерывное отображение γ : [a, b] → T . В дальнейшем |γ| обозначает
γ([a, b]). Если A, B и C – множества в T , то ∆(A,B, C) обозначает множество всех
кривых γ, которые соединяют A и B в C, т.е. γ(a) ∈ A, γ(b) ∈ B и γ(t) ∈ C, t ∈ (a, b).
Напомним, что топологическое пространство связно, если его нельзя разбить на
два непустых открытых множества. Компактные связные пространства называются
континуумами. Топологическое пространство T будем называть линейно связным,
если любые две точки x1 и x2 можно соединить непрерывным путем γ : [0, 1] →
T, γ(0) = x1 и γ(1) = x2. Областью в T будем называть открытое линейно связное
множество. Область G называется локально связной в точке x0 ∈ ∂G, если для
любой окрестности U точки x0 найдется окрестность V ⊆ U точки x0 такая, что
V ∩ G связно, см. [20], c.232. Аналогично, мы говорим, что область G локально
линейно связна в точке x0 ∈ ∂G, если для любой окрестности U точки x0 найдется
окрестность V ⊆ U точки x0 такая, что V ∩G линейно связно. Ниже представлены
результаты, полученные в работе [29].
Предложение 1.Пусть T – топологическое (метрическое) пространство с базой B
топологии, состоящей из линейно связных множеств. Тогда произвольное открытое
множество Ω в T является связным тогда и только тогда, когда Ω линейно связно.
Следствие 1. Открытое множество Ω в Rn , n ≥ 2 , или в любом многообразии
является связным тогда и только тогда, когда Ω линейно связно.
Замечание 1. Таким образом, если область G в Rn , n ≥ 2, локально связна
в точке x0 ∈ ∂G, то она и локально линейно связна в x0. Тоже самое верно и на
многообразиях. Как мы покажем далее, связность и линейная связность эквива-
лентны для открытых множеств в так называемых слабо плоских пространствах,
которые включают в себя хорошо известные широкие классы пространств Левнера,
группы Карно и Гейзенберга.
Предложение 2. Если область G в метрическом пространстве (X, d) локально
линейно связна в точке x0 ∈ ∂G, то x0 достижима из G некоторым непрерывным
путем.
Предложение 3. Пусть Ω – открытое множество в произвольном топологичес-
ком пространстве T . Тогда
∆(Ω, T \ Ω, T ) > ∆(Ω, ∂Ω, Ω) . (11)
Предложение 4. Пусть γ – спрямляемая кривая в метрическом пространстве
(X, d), соединяющая точки x1 ∈ B(x0, r1) и x2 ∈ X \B(x0, r2), где 0 < r1 < r2 < ∞ ,
а ρ : [0,∞] → [0,∞] – борелевская функция. Тогда
∫
γ
ρ(d(x, x0)) ds ≥
r2∫
r1
ρ(r) dr. (12)
Предложение 5. Если Ω и Ω′ – открытые множества в метрических пространст-
вах (X, d) и (X ′, d′), а f : Ω → Ω′ – гомеоморфизм, то предельное множество f в
169
Е.С. Смоловая
точке x0 ∈ ∂Ω,
C(x0, f) := {x′ ∈ X ′ : x′ = lim
n→∞ f(xn), xn → x0} , (13)
находится на границе множества Ω′.
2. О слабо плоских границах. В данной секции G – область конечной ха-
усдорфовой размерности α ≥ 1 в пространстве (X, d, µ) с метрикой d и локально
конечной борелевской мерой µ.
Будем говорить, что граница области G сильно достижима в точке x0 ∈ ∂G,
если, для любой окрестности U точки x0, найдется компакт E ⊂ G, окрестность
V ⊂ U точки x0 и число δ > 0 такие, что
M(∆(E,F ; G)) ≥ δ (14)
для любого континуума F в G, пересекающего ∂U и ∂V.
Будем также говорить, что граница ∂G – слабо плоская в точке x0 ∈ ∂G, если
для любого числа P > 0 и окрестности U точки x0 найдется ее окрестность V ⊂ U
такая, что
M(∆(E, F ; G)) ≥ P (15)
для любых континуумов E и F в G, пересекающих ∂U и ∂V.
Граница ∂G называется сильно достижимой и слабо плоской, если соответ-
ствующие свойства имеют место в каждой точке границы.
Предложение 6. Если ∂G – слабо плоская в точке x0 ∈ ∂G, то ∂G сильно
достижима из G в точке x0.
Лемма 1. Пусть G – открытое линейно связное множество в (X, d, µ). Если
∂G – слабо плоская в точке x0 ∈ ∂G, то G локально линейно связно в x0.
3. О конечном среднем колебании относительно меры. Пусть G – область
в пространстве (X, d, µ). Аналогично [16] будем говорить, что функция ϕ : G → R
имеет конечное среднее колебание в точке x0 ∈ G, сокр. ϕ ∈ FMO(x0), если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
|ϕ(x)− ϕε| dµ(x) < ∞ , (16)
где
ϕε = −
∫
G(x0,ε)
ϕ(x)dµ(x) =
1
µ(G(x0, ε))
∫
G(x0,ε)
ϕ(x)dµ(x)
– среднее значение функции ϕ(x) по множеству G(x0, ε) = {x ∈ G : d(x, x0) < ε}
относительно меры µ. Здесь условие (16) включает предположение, что ϕ интегри-
руема относительно меры µ по некоторому множеству G(x0, ε), ε > 0.
Пpeдложeниe 7. Если для некоторого набора чисел ϕε ∈ R, ε ∈ (0, ε0],
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
|ϕ(x)− ϕε|dµ(x) < ∞ , (17)
170
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
то ϕ ∈ FMO(x0).
Следствие 2. В частности, если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
|ϕ(x)|dµ(x) < ∞ , (18)
то ϕ ∈ FMO(x0).
Варианты следующей леммы были сначала доказаны для BMO функций и внут-
ренних точек области G в Rn при n = 2 и n ≥ 3, соответственно в [30]–[32] и [24]–[25],
а затем для граничных точек G в Rn, n ≥ 2, с условием удвоения меры и FMO
функций в [16].
Лемма 2. Пусть G – область в пространстве (X, d, µ) α-регулярном сверху c
α ≥ 2 в точке x0 ∈ G и
µ(G ∩B(x0, 2r)) ≤ γ · logα−2 1
r
· µ(G ∩B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0) . (19)
Тогда для любой неотрицательной функции ϕ : G → R класса FMO(x0)
∫
G∩A(ε,ε0)
ϕ(x) dµ(x)(
d(x, x0) log 1
d(x,x0)
)α = O
(
log log
1
ε
)
(20)
при ε → 0 и некотором ε0 ∈ (0, δ0), где δ0 = min (e−e, d0), d0 = sup
x∈G
d(x, x0),
A(ε, ε0) = {x ∈ X : ε < d(x, x0) < ε0}. (21)
Замечание 2. Отметим, что условие (19) слабее условия удвоения меры:
µ(G ∩B(x0, 2r)) ≤ γ · µ(G ∩B(x0, r)) ∀ r ∈ (0, r0) , (22)
которое использовалось ранее в контексте Rn, n ≥ 2 , в работе [16]. Заметим также,
что условие (22) автоматически выполняется во внутренних точках области G, если
X регулярно по Альфорсу.
Лемма 2(а). Пусть G – область в локально компактном метрическом про-
странстве (X, d). Тогда любое компактное множество C в G может быть вло-
жено в континуум K из G.
Доказательство. Для любого x ∈ C существует шар B(x, r) c r = δ(x) <
dist(x, ∂G) такой что B(x, r) – компакт, см., напр., замечание 3, п. 41 в [20]. То-
гда существует ограниченное количество таких шаров, покрывающих C. К тому
же, существует конечный набор связных компонент Ci i = 1, 2, ..., n, для которых
шары покрывают C. Заметим, что Ci компактны и связны, то есть они континуумы.
Возьмем любые точки x0 ∈ G и xi ∈ Ci i = 1, 2, ..., n и соединим x0 и xi кривыми γi
в G. Тогда
K =
n⋃
i=1
(|γi| ∪ Ci)
171
Е.С. Смоловая
является только континуумом в G, содержащим C.
4. О непрерывном продолжении на границу. В дальнейшем (X, d, µ) и
(X ′, d′, µ′) – пространства c метриками d и d′ и локально конечными борелевски-
ми мерами µ и µ′, а G и G′ – области конечной хаусдорфовой размерности α и
α′ ≥ 1 в (X, d) и (X ′, d′), соответственно.
Лемма 3. Пусть область G локально линейно связна в точке x0 ∈ ∂G, G′ –
компакт, а f : G → G′ – кольцевой Q-гомеоморфизм в граничной точке x0 такой,
что ∂G′ сильно достижима хотя бы в одной точке предельного множества
C(x0, f) = {y ∈ X ′ : y = lim
k→∞
f(xk), xk → x0, xk ∈ G} , (23)
Q : G → [0,∞] – измеримая функция, удовлетворяющая условию
∫
G(x0,ε)
Q(x) · ψα
x0,ε(d(x, x0)) dµ(x) = o(Iα
x0
(ε)) (24)
при ε → 0, где G(x0, ε) = {x ∈ G : ε < d(x, x0) < ε(x0)}, ε(x0) ∈ (0, d(x0)), d(x0) =
sup
x∈G
d(x, x0), и ψx0,ε(t) – семейство неотрицательных измеримых (по Лебегу) функ-
ций на (0,∞) таких, что
0 < Ix0(ε) =
ε0∫
ε
ψx0,ε(t) dt < ∞ , ∀ ε ∈ (0, ε0) . (25)
Тогда f продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Доказательство. Покажем, что предельное множество E = C(x0, f) состоит
из единственной точки. Отметим, что E 6= ∅ ввиду компактности G′, см., напр.,
замечание 3, п.41 в [20]. По условию леммы, ∂G′ сильно достижима в некоторой
точке y0 ∈ E. Допустим, что существует хотя бы еще одна точка y∗ ∈ E. Пусть
V = B(y0, r0), где 0 < r0 < d(y0, y
∗).
В силу локальной линейной связности области G в точке x0, найдется последова-
тельность окрестностей Uk точки x0 такая, что Gk = G∩Uk – области и d(Uk) → 0 при
k →∞. Тогда найдутся точки yk и y∗k ∈ Fk = fGk близкие к y0 и y∗, соответственно,
для которых d′(y0, yk) < r0 и d′(y0, y
∗
k) > r0, которые можно соединить непрерыв-
ными кривыми Ck в областях Fk. По построению
Ck ∩ ∂B(y0, r0) 6= ∅ , (26)
ввиду связности Ck.
По условию сильной достижимости найдется компакт K1 ⊂ G′ и число δ > 0
такие, что
M(∆(K1, Ck, G
′)) ≥ δ , (27)
для больших k, поскольку dist(y0, Ck) → 0 при k → ∞. Выберем, согласно Лемме
2(а), континуум K2, такой что K1 ⊂ K2 и K2 ⊂ G. Заметим, что
4(K1, Ck, G
′) ⊆ 4(K2, Ck, G
′), (28)
172
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
поэтому
M(4(K2, Ck, G
′)) ≥ M(4(K1, Ck, G
′)) ≥ δ. (29)
Также заметим, что K = f−1(K2) является континуумом как непрерывный образ
континуума. Таким образом, ε0 = dist(x0,K) > 0 в G. Обозначим шар Bε = {x ∈
X : d(x, x0) < ε}, ε ∈ (0, ε0). Пусть ψ∗x0,ε – борелевская функция, такая что ψ∗x0,ε(t) =
ψx0,ε(t) для п.в. t ∈ (0,∞), которая существует по теореме Лузина.
Тогда для функции
ηε(t) =
{
ψ∗x0,ε(t)/Ix0(ε), t ∈ (ε, ε0),
0, t 6∈ (ε, ε0),
(30)
выполнено
ε0∫
ε
ηε(t) dt ≥ 1.
То есть,
ε0∫
ε
ηε(t) dt = 1
Ix0 (ε)
ε0∫
ε
ψ∗x0,ε(t)dt. Используя то, что ψ∗x0,ε(t) = ψx0,ε(t) п. в.,
а
ε0∫
ε
ψx0,ε(t)dt = Ix0(ε), получим
ε0∫
ε
ηε(t) dt ≥ 1.
Обозначим A = A(ε, ε(x0), x0). Возьмем континуумы C0 ∈ Bε ∩ G и C1 = K.
Следовательно,
M(4(fC0, fC1, G
′) 6
∫
A∩G
Q(x) · ηα
ε (d(x, x0))dµ(x) =
=
∫
G(x0,ε)
Q(x) · (ψ∗x0,ε(d(x, x0)))α/Iα
x0
(ε) dµ(x) =
=
1
Iα
x0
(ε)
∫
G(x0,ε)
Q(x) · ψα
x0,ε(d(x, x0))dµ(x) → 0 (31)
при ε → 0 по (24) и так как ψ∗x0,ε(t) = ψx0,ε(t) п.в.
С другой стороны, для любого ε ∈ (0, ε0) при больших k имеет место включение
Gk ⊂ Bε, и потому Ck ⊂ fBε. Следовательно, f−1(Ck) ⊂ Bε. Так как C0 ∈ Bε ∩G, а
C1 ∈ (X\Bε) ∩G, получим (27), что противоречит (31).
Следствие 3. В частности, если
lim
ε→0
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x) · ψα(d(x, x0)) dµ(x) < ∞ , (32)
где ψ(t) – неотрицательная измеримая функция на (0,∞) такая, что
0 < I(ε, ε0) :=
ε0∫
ε
ψ(t) dt < ∞ ∀ ε ∈ (0, ε0) ,
173
Е.С. Смоловая
и I(ε, ε0) →∞ при ε → 0, то кольцевой Q-гомеоморфизм f : G → G′ продолжим в
точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Здесь предполагается, что функция Q продолжена нулем вне G.
Замечание 3. Другими словами, достаточно, чтобы сингулярный интеграл в (34)
сходился в смысле главного значения в точке x0 хотя бы для одного ядра ψ с неин-
тегрируемой особенностью в нуле. Более того, как показывает лемма, достаточно,
чтобы указанный интеграл даже расходился, но с контролируемой скоростью:
∫
ε<d(x,x0)<ε0
Q(x) · ψα(d(x, x0)) dµ(x) = o(Iα(ε, ε0)). (33)
Выбирая в лемме 3 ψ(t) ≡ 1/t, получаем следующую теорему.
Теорема 1. Пусть G локально линейно связна в точке x0 ∈ ∂G, G′ – компакт
и ∂G′ сильно достижима. Если измеримая функция Q : G → [0,∞] удовлетворяет
условию ∫
G(x0,ε,ε0)
Q(x)dµ(x)
d(x, x0)α
= o
([
log
1
ε
]α)
(34)
при ε → 0, где G(x0, ε, ε0) = {x ∈ G : ε < d(x, x0) < ε0}, для ε0 < d(x0) =
sup
x∈G
d(x, x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : G → G′ продолжим в точку
x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Комбинируя леммы 2 и 3, выбирая ψε(t) ≡ t log 1
t , t ∈ (0, δ0), получаем следую-
щую теорему.
Теорема 2. Пусть X α-регулярно сверху в точке x0 ∈ ∂G, α ≥ 2, где G локаль-
но линейно связна и удовлетворяет условию (19), а G′ компактно и ∂G′ сильно
достижима. Если Q ∈ FMO(x0), то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : G → G′
продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
Комбинируя теорему 2 и следствие 2, получаем следующее утверждение.
Следствие 4. В частности, если
lim
ε→0
−
∫
G(x0,ε)
Q(x) dµ(x) < ∞ , (35)
где G(x0, ε) = {x ∈ G : d(x, x0) < ε}, то любой кольцевой Q-гомеоморфизм f : G →
G′ продолжим в точку x0 по непрерывности в (X ′, d′).
5. О продолжении на границу обратных отображений.
Лемма 4. Пусть f : G → G′ – кольцевой Q-гомеоморфизм с Q ∈ L1
µ(G). Если
область G локально линейно связна в точках x1 и x2 ∈ ∂G, x1 6= x2, а G′ имеет
слабо плоскую границу, то C(x1, f) ∩ C(x2, f) = ∅.
Доказательство. Пусть Ei = C(xi, f), i = 1, 2, и δ = d(x1, x2). Предположим E1∩
E2 6= ∅. Так как область G локально линейно связна в точках x1 и x2, существуют
окрестности U1 и U2 точек x1 и x2, соответственно, такие, что W1 = G ∩ U1 и W2 =
174
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
G∩U2 – области и U1 ⊂ B1 = B(x1, δ/3) и U2 ⊂ B2 = B(x2,
2δ
3 ). Тогда по неравенству
треугольника dist(W1,W2) ≥ δ
3 и пусть функция
η(x) =
{
3
δ , x ∈ ( δ
3 ; 2δ
3 ),
0, x 6∈ ( δ
3 ; 2δ
3 ).
Тогда имеем
2δ
3∫
δ
3
η(t) dt =
2δ
3∫
δ
3
3
δ dt = 1. Следовательно, для любых континуумов
K1 ⊂ W1 и K2 ⊂ W2:
M(4(fK1, fK2, G
′)) ≤
∫
A( δ
3
; 2δ
3
;x1)
Q(x)ηα(d(x1, x2)) dµ(x) ≤
≤ 3α
δα
∫
A( δ
3
; 2δ
3
;x1)∩G
Q(x) dµ(x) < ∞, (36)
поскольку Q ∈ L1
µ(G).
Последняя оценка противоречит, однако, условию слабой плоскости (15), если
найдется y0 ∈ E1 ∩ E2 . Действительно, тогда y0 ∈ fW1 ∩ fW2 и в областях W ∗
1 =
fW1 и W ∗
2 = fW2 найдется по непрерывной кривой, пересекающей любые наперед
заданные сферы ∂B(y0, r0) и ∂B(y0, r∗) с достаточно малыми радиусами r0 и r∗ .
Поэтому предположение, что E1 ∩ E2 6= ∅ неверно.
1. Balogh Z., Koskela, P. Quasiconformality, quasisymmetry, and removability in Loewner spaces //
With an appendix by Jussi Vaisala. Duke Math. J. – 2000. – V.101, N3. – P.554-577.
2. Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. – М.: Наука, 1969.
3. Brania A., Yang Sh. Domains with controlled modulus and quasiconformal mappings // Nonlinear
Stud. – 2002. – V.9, N1. – P.57-73.
4. Водопьянов С.К. Отображения с ограниченным искажением и конечным искажением на груп-
пах Карно // Сиб. мат. журн. – 1999. – Т.40, №4. – С.764-804.
5. Водопьянов С.К. Монотонные функции и квазиконформные отображения на группах Карно //
Сиб. мат. журн. – 1996. – Т.37, №6. – С.1269-1295.
6. Водопьянов С.К., Исангулова Д.В. Дифференцируемость отображений пространств Карно-
Каратеодори в топологии Соболева и BV-топологии // Докл. РАН. – 2005. – Т.401, №3. –
C.295-300.
7. Водопьянов С.К., Кудрявцева Н. А. Нормальные семейства отображений на группах Карно //
Сиб. мат. журн. – 1996. – Т.37, №2. – С.273-286.
8. Vodop’yanov S., Markina I. On value distribution for quasimeromorphic mappings on H-type Carnot
groups // Bull. Sci. Math. Mexicana. – 2003. – 130, N6. – P.467-523.
9. Fuglede B. Extremal length and functional completion // Acta Math. – 1957. – V.98. – P.171-219.
10. Gehring F.W. and Martio O. Quasiextremal distance domains and extension of quasiconformal
mappings // J. d’Anal. Math. – 1985. – V.24. – P.181-206.
11. Gehring F.W. Rings and quasiconformal mappings in sace // Trans. Amer. Math. Soc. – 1962. –
V.103. – P.353-393.
12. Heinonen J. Lectures on Analysis on Metric Spaces. New York: Springer, 2001.
13. Heinonen J. A capacity estimate on Carnot groups // Bull. Sci. Math. – 1995. – V.119, N1. –
P.475-484.
175
Е.С. Смоловая
14. Heinonen J., Holopainen I. Quasiregular mappings on Carnot groups // J. Geom. Anal. – 1997. –
V.7. – N1. – P.109-148.
15. Heinonen J., Koskela P. Quasiconformal maps in metric spaces with controlled geometry // Acta
Math. – 1998. – V.181, N1. – P.1-61.
16. Ignat’ev A., Ryazanov V. Finite mean oscillation in the mapping theory // Ukrainian Math. Bull. –
2005. – V.2, N3. – P.403-424.
17. Ignat’ev A., Ryazanov V. To the theory of the boundary behavior of space mappings // Ukrainian
Math. Bull. – 2006. – V.3, N2. – P.189-201.
18. Koranyi A., Reimann H. Quasiconformal mappings on the Heisenberg group // Invent, math. – 1985.
– V.80. – P.309-338.
19. Koranyi A., Reimann H. Foundations for the theory of quasiconformal mappings on the Heisenberg
group // Adv. Math. – 1995. – V.111, №1. – P.1-87.
20. Куратовский К. Топология. – T.2. – М.: Мир, 1969.
21. Marguh’s G. A., Mostow G. D. The differential of quasi-conformal mapping of a Carnot-Caratheodory
spaces // Geometric and Functional Analysis. – 1995. – V.5, №2. – P.402-433.
22. Martio O. Modern tools in the theory of quasiconformal maps // Texts in Math. Ser. B, 27. Univ.
Combra, Dept. Mat., Coimbra. – 2000. – P.1-43.
23. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d’Anal.
Math. – 2004. – V.93. – P.215-236.
24. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Q−homeomorphisms // Contemporary Math. –
2004. – V.364. – P.193-203.
25. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q−homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. Math. – 2005. – V.30. – P.49-69.
26. Mitchell J. On Carnot-Caratheodory metrics // J. Differential Geometry. – 1985. – V.21. – P.35-45.
27. Ohtsuka M. Extremal length and precise functions. Tokyo: Gakkotosho Co., Ltd., 2003.
28. Pansu P. Metriques de Carnot-Caratheodory et quasiisometries des espaces symetriques de rang un
// Ann. of Math. – 1989. – V.119. – P.1-60.
29. Ryazanov V., Salimov R. Weakly flat spaces and boundaries in the mapping theory// Ukrainian
Math. Bull., 4 (2007), №2. – P.199–234.
30. Рязанов В., Сребро У., Якубов Э. К теории BMO-квазирегулярных отображений // Докл. РАН.
– 1999. – T.369, №1. – P.13–15.
31. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. BMO-qasikonformal mappings // J. d’Anal. Math. – 2001. –
V.83. – P.1-20.
32. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Plane mappings with dilatation dominated by functions of
bounded mean oscillation // Sib. Adv. in Math. – 2001. – V.11, №2. – P.94–130.
33. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solution of Beltrami equations // J. d’Anal. Math. –
2005. – V.96. – P.117-150.
34. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Finite mean oscillation and Beltrami equation // Israel J. Math.
– 2006. – N153. – P.247-266.
35. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. To the theory of the Beltrami equation // Укр. мат. журн. –
2006. – T.58. – N11. – С.1571 - 1583.
36. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Ukrainian
Math. Bull. – 4 (2007), no.1. – P.79-115.
37. Salimov R. ACL and differentiability of Q-homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math.,
33 (2008). – P.295-301.
38. Салимов Р. ACL и дифференцируемость одного обобщения квазиконформных отображений //
Изв. РАН. Сер. матем., 2008, 72:5. – C.141-148.
39. Салимов Р., Севостьянов Е. ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеомор-
физмов // Труды ИПММ НАН Украины. – 2008. – Вып.16. – С.171-178.
40. Тамразов П. М.Модули и экстремальные метрики в неориентируемых и скрученных римановых
многообразиях // Укр. мат. журн. – 1998. – Т.50, № 10. – С.1388-1398.
41. Tyson J. T. Metric and geometric quasiconformality in Ahlfors regular Loewner spaces // Conform.
Geom. Dyn. – 5 (2001). – P.21-73 (electronic).
176
Продолжение по непрерывности кольцевых Q-гомеоморфизмов в метрических пространствах
42. Väisälä J. Lectures on n−Dimensional Quasiconformal Mappings // Lecture Notes in Math. 229,
Berlin etc., Springer–Verlag, 1971.
43. Vuorinen M. Exceptional sets and boundary behavior of quasiregular mappings in n−space // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A1. Math., Dissertattiones. – 1976. – No.11. – P.1-44.
44. Whyburn G.T. Analytic topology. Rhode Island: American Mathematical Society, 1942.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
smolovayaes@yandex.ru
Получено 24.04.09
177
|