Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів
У даній статті представлено теореми про середнє для функцій певного виду у випадку багатокутової області з поліноміальною вагою.
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Ukrainian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123888 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 184-188. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123888 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238882017-09-13T03:03:21Z Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів Трофименко, О.Д. У даній статті представлено теореми про середнє для функцій певного виду у випадку багатокутової області з поліноміальною вагою. 2009 Article Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 184-188. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123888 517.5 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
У даній статті представлено теореми про середнє для функцій певного виду у випадку багатокутової області з поліноміальною вагою. |
| format |
Article |
| author |
Трофименко, О.Д. |
| spellingShingle |
Трофименко, О.Д. Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Трофименко, О.Д. |
| author_sort |
Трофименко, О.Д. |
| title |
Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів |
| title_short |
Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів |
| title_full |
Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів |
| title_fullStr |
Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів |
| title_full_unstemmed |
Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів |
| title_sort |
деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123888 |
| citation_txt |
Деякі інтегральні рівності для певних класів поліномів / О.Д. Трофименко // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 184-188. — Бібліогр.: 4 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT trofimenkood deâkííntegralʹnírívnostídlâpevnihklasívpolínomív |
| first_indexed |
2025-07-09T00:27:56Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:27:56Z |
| _version_ |
1837127051216158720 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 517.5
c©2009. О.Д. Трофименко
ДЕЯКI IНТЕГРАЛЬНI РIВНОСТI ДЛЯ
ПЕВНИХ КЛАСIВ ПОЛIНОМIВ
У данiй статтi представлено теореми про середнє для функцiй певного виду у випадку багатоку-
тової областi з полiномiальною вагою.
Вступ. Нехай функцiя f ∈ C(D) (D : |z| < 1). f називається ареоларно моно-
генною в D тодi i тiльки тодi, коли
(
∂
∂z̄
)
f – аналiтична функцiя в D.
Деякi результати, пов’язанi з ареоларно моногенною функцiєю та багатокутни-
ками, представленi у роботах М.О.Рiда [1],[2]. Також певнi випадки iз середнiм зна-
ченням у вершинах n-кутника можна побачити у [3, гл.5].
Наступнi теореми присутнi в статтi М.О.Рiда "Теорема Федорова" [див.2].
Теорема. Нехай f(z) ∈ C(D), D : |z| < 1. Для того, щоб f(z) була аналiтичною
в D необхiдно i достатньо, щоб виконувалась рiвнiсть
∫
pn(z,r,ϕ)
f(ζ)dζ = 0
для кожного pn(z, r, ϕ) в D, де pn(z, r, ϕ) – правильний n-кутник з центром z i
радiусом r; ϕ – кут мiж горизонтальним променем справа вiд z i зовнiшньою нор-
маллю в точцi виходу промiння з багатокутника, −π
n ≤ ϕ ≤ π
n .
Теорема. Нехай f(z) ∈ C(D). Для того, щоб для кожного Pn(z, r, ϕ) в D
(Pn(z, r, ϕ) – замкнута скiнченна область, що обмежена pn(z, r, ϕ)), виконувалась
рiвнiсть ∫ ∫
Pn(z,r,ϕ)
(ζ − z)f(ζ)dξdη = 0
необхiдно i достатньо, щоб f(z) була полiномом порядка не бiльше n− 2, тобто
f(z) =
n−2∑
k=0
αkz
k, αk-const.
Теорема. Нехай f(z) ∈ C(D). Щоб f(z) була ареоларно моногенною виду f(z) =
n−3∑
k=0
αkz
k +
n−3∑
k=0
βkz̄
k
необхiдно i достатньо, щоб рiвнiсть
∫ ∫
Pn(z,r,ϕ)
(ζ − z)2f(ζ)dξdη = 0
виконувалась для кожного Pn(z, r, ϕ) в D.
184
Деякi iнтегральнi рiвностi для певних класiв полiномiв
1. Основнi результати. У данiй роботi представлено теореми, пов’язанi з ре-
зультатами роботи [4] iз замiною кругових областей на багатокутнi.
Теорема 1. Нехай L ∈ N, n ∈ N, L < n+1
2 i f(z) =
L−1∑
k=0
αkz
k +
L−1∑
k=0
βkz̄
k. Тодi для
кожного правильного n-кутника pn(z, r) з центром у точцi z i радiусом вписаного
кола r виконується рiвнiсть
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)n−Lf(ζ)dξdη = 0. (1)
Доведення. Розглянемо наступну низку перетворень.
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)n−Lf(ζ)dξdη =
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)n−L
(
L−1∑
k=0
αkz
k +
L−1∑
k=0
βkz̄
k
)
dξdη =
=
∫ ∫
Pn(0,r)
wn−L
L−1∑
k=0
αk(w + z)kdudv +
∫ ∫
Pn(0,r)
wn−L
L−1∑
k=0
βk(w̄ + z̄)kdudv =
=
n∑
ν=1
L−1∑
k=0
k∑
j=0
αk
2πν/n∫
2π(ν−1)/n
dϕ
r
cos(ϕ−2π(ν−1/2)/n)∫
0
ρmeimϕCj
kρ
jeiϕjzk−jρdρ+
+
n∑
ν=1
L−1∑
k=0
k∑
j=0
βk
2πν/n∫
2π(ν−1)/n
dϕ
r
cos(ϕ−2π(ν−1/2)/n)∫
0
ρmeimϕCj
kρ
je−iϕj z̄k−jρdρ =
=
n∑
ν=1
L−1∑
k=0
k∑
j=0
αkC
j
kz
k−j rm+j+2
m + j + 2
2πν/n∫
2π(ν−1)/n
ei(m+j)ϕ
cosm+j+2(ϕ− 2π(ν − 1/2)/n)
dϕ+
+
n∑
ν=1
L−1∑
k=0
k∑
j=0
βkC
j
kz̄
k−j rm+j+2
m + j + 2
2πν/n∫
2π(ν−1)/n
ei(m−j)ϕ
cosm+j+2(ϕ− 2π(ν − 1/2)/n)
dϕ. (2)
В iнтегралах зробимо замiну t = ϕ− 2π(ν − 1/2)/n.
Тодi з (2) маємо ∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)n−Lf(ζ)dξdη =
=
n∑
ν=1
L−1∑
k=0
k∑
j=0
αkC
j
kz
k−j rm+j+2
m + j + 2
π/n∫
−π/n
ei(m+j)(t+2π(ν−1/2)/n)
cosm+j+2t
dt+
185
О.Д. Трофименко
+
n∑
ν=1
L−1∑
k=0
k∑
j=0
βkC
j
kz
k−j rm+j+2
m + j + 2
π/n∫
−π/n
ei(m−j)(t+2π(ν−1/2)/n)
cosm+j+2t
dt,
де перший доданок з коефiцiєнтами αk позначимо A, а другий – B. Звiдси A 6= 0,
якщо n− L + j = qn, q ∈ Z.
A =
L−1∑
k=0
∑
q∈[n−L
n
, k+n−L
n ]∩N
(−1)q nαkC
qn−n+L
k zk−qn+n−Lrqn+2
qn + 2
π/n∫
−π/n
eiqnt
cosqn+2t
dt.
Подивимось на значення q.
min q = n−L
n , 0 < n−L
n < 1.
max q = n−L+k
n , 0 < n−L+k
n < n−L+L−1
n = n−1
n < 1.
Отже, 0 < q < 1. Тодi A = 0.
Тепер B 6= 0, якщо n− L− j = qn, q ∈ Z.
B =
L−1∑
k=0
∑
q∈[n−L−k
n
, n−L
n ]∩N
(−1)q nβkC
n−L−qn
k z̄k−n+L+qnr2n−2L−qn+2
2n− 2L− qn + 2
×
×
π/n∫
−π/n
eiqnt
cos2n−2L−qn+2t
dt.
Розглянемо дiапазон значень q в B.
min q = n−L−k
n ,0 < n−2L+1
n = n−L−L+1
n < n−L−k
n < 1.
max q = n−L
n , 0 < n−L
n < 1.
Отже,0 < q < 1. Тодi B = 0.
Тепер маємо A + B = 0. Таким чином, теорема доведена. ¤
Теорема 2. Нехай n,m, h ∈ N, 0 ≤ h ≤ n− s, 0 ≤ s ≤ m− 1 i функцiя
f(z) =
h∑
k=0
m−1∑
l=0
ck,lz
kz̄l,
де ck,l – довiльнi константи.
Тодi для кожного правильного n-кутника pn(z, r) з центром у точцi z i радiусом
r вписаного кола виконується рiвнiсть
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)sf(ζ)dξdη =
h+s∑
p=s
nr2p+2λp
(2p + 2)(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s (
∂
∂z̄
)p
f(z),
де λp =
π/n∫
−π/n
dt
cos2p+2t
dt.
186
Деякi iнтегральнi рiвностi для певних класiв полiномiв
Доведення.
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)sf(ζ)dξdη =
∫ ∫
Pn(0,r)
wsf(w + z)dudv =
=
n∑
ν=1
h∑
k=0
m−1∑
l=0
ck,l
2πν/n∫
2π(ν−1)/n
dϕ
r
cos(ϕ−2π(ν−1/2)/n)∫
0
ρseiϕs
k∑
j=0
Cj
kρ
jeiϕjzk−j×
×
l∑
p=0
Cp
l ρ
pe−iϕpz̄l−pρdρ =
n∑
ν=1
h∑
k=0
m−1∑
l=0
k∑
j=0
l∑
p=0
ck,lC
j
kC
p
l z
k−j z̄l−p rs+j+p+2
s + p + j + 2
×
×
2πν/n∫
2π(ν−1)/n
e(s+j−p)iϕ
coss+j+p+2(ϕ− 2π(ν − 1/2)/n)
dϕ.
Зробимо наступну замiну t = ϕ− 2π(ν − 1/2)/n. Тодi маємо
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)sf(ζ)dξdη =
=
h∑
k=0
m−1∑
l=0
k∑
j=0
l∑
p=0
ck,lC
j
kC
p
l z
k−j z̄l−p rs+j+p+2
s + p + j + 2
×
×
(
ei(s+j−p) π
n + ei(s+j−p) 3π
n + ... + ei(s+j−p)
π(2n−1)
n
) π/n∫
−π/n
e(s+j−p)it
coss+j+p+2t
dt =
=
h∑
k=0
m−1∑
l=0
l∑
p=0
∑
q∈[ s−p
n
, k+s−p
n ]∩N
(−1)qck,lC
qn+p−s
k Cp
l z
k−qn−p+sz̄l−p rqn+2p+2
qn + 2p + 2
×
×
π/n∫
−π/n
eiqnt
cosqn+2p+2t
dt.
Спираючись на значення q в останнiй сумi, отримаємо наступнi мiркування. Як-
що s > p, то q = 1. В iншому випадку q = 0. Отже, маємо окремi два доданки
h∑
k=0
m−1∑
l=0
(−1)ck,l
s∑
p=0
nCn+p−s
k Cp
l z
k−n−p+sz̄l−p rn+2p+2
n + 2p + 2
π/n∫
−π/n
eint
cosn+2p+2t
dt+
187
О.Д. Трофименко
+
h∑
k=0
m−1∑
l=s
l∑
p=s
ck,lnCp−s
k Cp
l z
k−p+sz̄l−p r2p+2
2p + 2
π/n∫
−π/n
dt
cos2p+2t
dt.
Поглянемо у першому доданку на Cn+p−s
k . За означенням бiномiального коефi-
цiєнта n + p − s ≤ k, звiдки отримаємо протирiччя. Аналогiчно в другому доданку
0 ≤ p− s ≤ k. Звiдси p ≤ k + s.
Тодi елементарними перетвореннями можна отримати наступне.
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)sf(ζ)dξdη =
h∑
k=0
m−1∑
l=s
min{l,k+s}∑
p=s
ck,lnCp−s
k Cp
l z
k−p+sz̄l−p r2p+2
2p + 2
×
×
π/n∫
−π/n
dt
cos2p+2t
dt =
∫ ∫
Pn(z,r)
(ζ − z)sf(ζ)dξdη =
h+s∑
p=s
h∑
k=p−s
m−1∑
l=p
ck,lnCp−s
k Cp
l z
k−p+sz̄l−p×
× r2p+2
2p + 2
π/n∫
−π/n
dt
cos2p+2t
dt =
h+s∑
p=s
nr2p+2λp
(2p + 2)(p− s)!p!
(
∂
∂z
)p−s (
∂
∂z̄
)p
f(z),
де λp =
π/n∫
−π/n
dt
cos2p+2t
dt. Тобто отримано твердження теореми. ¤
1. Maxwell O.Reade On areol monogenic functions. – Bulletin of the American Mathematical Society,
53, 1947. – РР.98-103.
2. Maxwell O.Reade A theorem of Fedoroff. – Duke Math.J., Vol. 18(1), 1951. – РР.105-109.
3. Volchkov V.V. Geometry and Convolution Equations. – Kluwer Academic Publishers.
Dordrecht/Boston/London, 2003. – 454p.
4. Трофименко О.Д. Теорема о среднем для полианалитических функций. – Донецк: Труды
ИПММ НАН Украины, 17, 2008. – С.194-196.
Донецький нацiональний ун-т
odtrofimenko@gmail.com
Получено 10.05.09
188
|