Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу
Знайдено умови існування і єдиності розв'язку початкової задачі для лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з тотожно виродженою матрицею при похідних із запізненням аргументу, вказано метод побудови його асимптотики....
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| 1. Verfasser: | |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Ukrainian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123891 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу / К.В. Шатковська // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 210-219. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123891 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238912017-09-13T03:03:28Z Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу Шатковська, К.В. Знайдено умови існування і єдиності розв'язку початкової задачі для лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з тотожно виродженою матрицею при похідних із запізненням аргументу, вказано метод побудови його асимптотики. 2009 Article Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу / К.В. Шатковська // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 210-219. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123891 517.91/943 uk Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Ukrainian |
| description |
Знайдено умови існування і єдиності розв'язку початкової задачі для лінійної сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з тотожно виродженою матрицею при похідних із запізненням аргументу, вказано метод побудови його асимптотики. |
| format |
Article |
| author |
Шатковська, К.В. |
| spellingShingle |
Шатковська, К.В. Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Шатковська, К.В. |
| author_sort |
Шатковська, К.В. |
| title |
Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_short |
Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_full |
Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_fullStr |
Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_full_unstemmed |
Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| title_sort |
асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123891 |
| citation_txt |
Асимптотичне розв'язання початкової задачі для виродженої сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь із запізненням аргументу / К.В. Шатковська // Труды Института прикладной математики и механики. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 18. — С. 210-219. — Бібліогр.: 7 назв. — укр. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT šatkovsʹkakv asimptotičnerozvâzannâpočatkovoízadačídlâvirodženoísingulârnozburenoísistemidiferencíalʹnihrívnânʹízzapíznennâmargumentu |
| first_indexed |
2025-07-09T00:28:21Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:28:21Z |
| _version_ |
1837127077174706176 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 18
УДК 517.91/943
c©2009. К.В. Шатковська
АСИМПТОТИЧНЕ РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОЧАТКОВОЇ ЗАДАЧI
ДЛЯ ВИРОДЖЕНОЇ СИНГУЛЯРНО ЗБУРЕНОЇ СИСТЕМИ
ДИФЕРЕНЦIАЛЬНИХ РIВНЯНЬ IЗ ЗАПIЗНЕННЯМ
АРГУМЕНТУ
Знайдено умови iснування i єдиностi розв’язку початкової задачi для лiнiйної сингулярно збуреної
системи диференцiальних рiвнянь з тотожно виродженою матрицею при похiдних iз запiзненням
аргументу, вказано метод побудови його асимптотики.
Розглянемо систему рiвнянь
εhB (t)
dx
dt
= A (t, ε) x (t, ε) + C (t, ε) x (t−∆, ε) , (1)
з початковою умовою
x (t, ε) = ξ (t, ε) , ∀t ∈ [−∆; 0] , (2)
де x, ξ – n-вимiрнi вектори, A(t, ε), C(t, ε), B(t) – квадратнi матрицi n-го порядку,
ε ∈ (0; ε0] – малий дiйсний параметр, h – натуральне число, ∆ > 0.
Питання про побудову асимптотичного розв’язку початкової задачi для системи
(1) досить детально вивчалось у випадку, коли матриця B(t) неособлива на всьо-
му промiжку змiни t. Бiблiографiю з цього питання можна знайти, наприклад, в
[1]. У роботi [2] вперше розглянуто випадок, коли матриця B(t) тотожно виродже-
на, де здiйснена спроба застосувати до системи (1) матричнi асимптотичнi методи,
розробленi в [1]. Як виявилось, такий пiдхiд наштовхується на суттєвi труднощi,
для подолання яких доводиться накладати досить жорсткi умови на коефiцiєнти
асимптотичних розвинень, якi будуються цими методами.
У данiй статтi пропонується iнший пiдхiд, який грунтується на теорiї асимпто-
тичного iнтегрування вироджених лiнiйних систем, розроблений у [3], що дозволяє
в явнiй формi виявляти умови на початковий вектор ξ(t, ε), якi запезпечують iсну-
вання i єдинiсть розв’язку, та ефективно будувати його асимптотику.
Будемо передбачати, що виконуються такi умови:
1◦. detB (t) = 0,∀t ∈ [0;T ];
2◦. Матричнi функцiї A(t, ε), C(t, ε) i вектор-функцiя ξ(t, ε) допускають на [0;T ]
рiвномiрнi асимптотичнi розвинення за степенями параметра ε:
A (t, ε)∼
∑
k>0
εkAk (t), C (t, ε)∼
∑
k>0
εkCk (t), (3)
ξ (t, ε)∼
∑
k>0
εkξk (t); (4)
3◦. Ak (t) , Ck (t) , ξk (t) ∈ C∞
[0;T ];
210
Асимптотичне розв’язання початкової задачi для системи диференцiальних рiвнянь
4◦. Гранична в’язка матриць A0 (t)−λB (t) регулярна [4] i має сталу кронекерову
структуру при всiх t ∈ [0;T ].
Розв’язок початкової задачi (1), (2) знаходиться методом крокiв на вiдрiзках
[0;∆], [∆; 2∆], . . . , що приводить до необхiдностi розв’язання задач Кошi
εhB (t)
dx1
dt
= A (t, ε) x1 (t, ε) + C (t, ε) ξ (t−∆, ε) , t ∈ [0;∆] ; (5)
x1 (0, ε) = ξ (0, ε) ; (6)
εhB (t)
dxs+1
dt
= A (t, ε) xs+1 (t, ε) + C (t, ε) xs (t−∆, ε) , t ∈ [s∆, (s + 1)∆] ; (7)
xs+1 (s∆, ε) = xs (s∆, ε) , s = 1, 2, . . . . (8)
Як показано в [3], при досить малих ε > 0 за виконання умов 1◦-4◦ та деяких
обмежень на структуру збурювальних матриць Ak (t) , k = 1, 2, . . . , системи (5), (7)
задовольняють умови теореми про звiднiсть до центральної канонiчної форми [5].
Тому згiдно з [5] задачi (5), (6) будуть однозначно розв’язними тодi i тiльки тодi,
коли виконуватимуться умови
k−1∑
i=0
di
dti
(
A (t, ε) ξ (0, ε) + C (t, ε) ξ (t−∆, ε) , ψ
(k−i)
j (t, ε)
)
t=0
= 0, (9)
k−1∑
i=0
di
dti
(
A (t, ε) xs (s∆, ε) + C (t, ε) xs (t−∆, ε) , ψ
(k−i)
j (t, ε)
)
t=s∆
= 0, (10)
k = 1, sj , j = 1, r, s = 1, 2, . . . ,
де ψ
(i)
j (t, ε) , i = 1, sj , j = 1, r – вектори, що утворюють повний жорданiв набiр мат-
рицi B∗ (t) вiдносно оператора L∗ (t) = A∗ (t, ε)+εh d
dtB
∗ (t), а символом (x, y) позна-
чається скалярний добуток векторiв.
Умова (9) накладає обмеження на початкову вектор-функцiю ξ(t, ε). Що ж сто-
сується умов (10), то, як виявилось, вони автоматично виконуються, якщо вико-
нується (9). Покажемо це, поклавши для спрощення r = 1, s = 2. Маємо
(
A (∆, ε) x1 (∆, ε) + C (∆, ε) x1 (0, ε) , ψ
(1)
1 (∆)
)
= 0; (11)
(
A (∆, ε) x1 (∆, ε) + C (∆, ε) x1 (0, ε) , ψ
(2)
1 (∆, ε)
)
+
+
d
dt
(
A (t, ε) x1 (∆, ε) + C (t, ε) x1 (t−∆, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)
t=∆
= 0. (12)
Оскiльки вектор x1(t, ε) є розв’язком початкової задачi (5), (6) на вiдрiзку [0;∆]
i, отже, A (∆, ε) x1 (∆, ε) = εhB (∆)x′1 (∆, ε)− C (∆, ε) x1 (0, ε) , а B∗ (t) ψ
(1)
1 (t) = 0,
∀t ∈ [0;T ], то звiдси одразу випливає, що рiвнiсть (11) виконується, а перший дода-
нок рiвностi (12) зводиться до вигляду
εh
(
B (∆)x′1 (∆, ε) , ψ
(2)
1 (∆, ε)
)
= εh
(
x′1 (∆, ε) , B∗ (∆)ψ
(2)
1 (∆, ε)
)
.
Взявши до уваги, що
211
К.В. Шатковська
B∗ (t) ψ
(2)
1 (t, ε) = L∗ (t, ε) ψ
(1)
1 (t) =
(
A∗ (t, ε) + εhB∗′ (t) + εhB∗ (t)
d
dt
)
ψ
(1)
1 (t) ,
матимемо
εh
(
B (∆)x′1 (∆, ε) , ψ
(2)
1 (∆, ε)
)
=
(
A (∆, ε) x′1 (∆, ε) , ψ
(1)
1 (∆)
)
+
+εh
(
B (t) x′1 (t) , ψ
(1)
1 (t)
)′
t=∆
− εh
(
B (∆)x′′1 (∆) , ψ
(1)
1 (∆)
)
=
=
(
A (∆, ε) x′1 (∆, ε) , ψ
(1)
1 (∆)
)
.
Аналогiчно перетворюючи другий доданок рiвностi (12), дiстанемо
d
dt
(
A (t, ε)x1 (∆, ε) + C (t, ε) x1 (t−∆, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)
t=∆
=
=
(
A (t, ε) x1 (t, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)′
t=∆
+
(
C (t, ε) x1 (t−∆, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)′
t=∆
−
−
(
A (∆, ε) x′1 (∆, ε) , ψ
(1)
1 (∆)
)
= εh
(
B (t) x′1 (t, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)′
t=∆
−
−
(
C (t, ε) ξ (t−∆, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)′
t=∆
+
(
C (t, ε) x1 (t−∆, ε) , ψ
(1)
1 (t)
)′
t=∆
−
−
(
A (∆, ε) x′1 (∆, ε) , ψ
(1)
1 (∆)
)
= −
(
A (∆, ε) x′1 (∆, ε) , ψ
(1)
1 (∆)
)
,
оскiльки x1 (t−∆, ε) = ξ (t−∆, ε) при t ∈ [0;∆] завдяки початковiй умовi (2). Отже,
рiвнiсть (12) також виконується.
Використовуючи подiбнi мiркування, методом iндукцiї встановимо, що умови
(10) виконуються при всiх можливих r i будь-яких s.
Застосуємо для побудови асимптотичних розв’язкiв початкових задач (5)-(8) ме-
тод, описаний у [6]. Для спрощення викладок розглянемо випадок, коли матрична
в’язка A0 (t) − λB (t) має простий спектр. А саме, будемо припускати, що викону-
ються умови:
5◦. В’язка матриць A0 (t) − λB (t) має n − 1 простих скiнченних елементарних
дiльникiв λ− λi (t) , i = 1, n− 1, i один – нескiнченний.
6◦. λi (t) 6= 0, ∀t ∈ [0;T ];
7◦. Reλi (t) 6 0, ∀t ∈ [0;T ] , i = 1, n− 1;
8◦. λi (t1) 6= λj (t2) для будь-яких t1 < t2, t1, t2 ∈ [0;T ] , i, j = 1, n− 1.
З умови 5◦ випливає, що матриця B(t) має просте нульове власне значення вiд-
носно матрицi A0(t). Власний вектор, який йому вiдповiдає, позначимо ϕ̃ (t), а вiд-
повiдний елемент нуль-простору спряженої матрицi B∗ (t) – ψ̃ (t). Оскiльки A0 –
приєднанi вектори в матрицi B(t) вiдсутнi, то ψ̃ (t) можна визначити так, що
(A0 (t) ϕ (t) , ψ (t)) = 1. (13)
212
Асимптотичне розв’язання початкової задачi для системи диференцiальних рiвнянь
Крiм того, згiдно з [7], можна домогтися, щоб вектори ϕ̃ (t) , ψ̃ (t) мали такий же
ступiнь гладкостi, що й матричнi функцiї A0(t), B(t), тобто ϕ̃ (t) , ψ̃ (t) ∈ C∞
[0;T ], що й
передбачатимемо в подальших викладках.
Власнi вектори матрицi A0(t) вiдносно B(t), якi вiдповiдають її власним значен-
ням λi (t) , i = 1, n− 1, позначимо ϕi(t), а вiдповiднi елементи нуль-простору матри-
цi (A0 (t)− λi (t) B (t))∗ − ψi (t) . При цьому визначимо їх так [3], щоб вони були
нескiнченно диференцiйовними на [0;T ] i виконувались спiввiдношення
(B (t) ϕi (t) , ψj (t)) = δij , i, j = 1, n− 1, (14)
де δij – символ Кронекера.
Виходячи з канонiчної форми матричної в’язки A0 (t)− λB (t) [4], неважко пе-
реконатися, що мають мiсце спiввiдношення
(
A0 (t) ϕi (t) , ψ̃ (t)
)
= 0, i = 1, n− 1; (15)
(B (t) ϕ̃ (t) , ψi (t)) = 0, i = 1, n− 1; (16)
H∗
i (t) A∗0 (t) ψ̃ (t) = ψ̃ (t) , (17)
де Hi(t) – напiвобернена матриця [3, c.18− 22] до матрицi A0 (t)− λi(t)B (t).
Iз спiввiдношення (13) випливає, що жорданiв набiр матрицi B∗ (t) вiдносно опе-
ратора L∗ (t) складається лише з одного вектора ψ̃ (t). Тому умова (9) спрощується
i набуває вигляду
(
A (0, ε) ξ (0, ε) + C (0, ε) ξ (−∆, ε) , ψ̃ (0)
)
= 0. (18)
Зокрема, згiдно з (3), (4) вона виконуватиметься, якщо коефiцiєнти ξk(t) розви-
нення (4) задовольнятимуть спiввiдношення
(
k∑
i=0
Ai (0) ξk−i (0) +
k∑
i=0
Ci (0) ξk−i (−∆), ψ̃ (0)
)
= 0, k = 0, 1, . . . . (19)
Оскiльки в даному випадку загальний розв’язок однорiдної системи, яка вiдпо-
вiдає (5), є лiнiйною комбiнацiєю її n− 1 лiнiйно незалежних розв’язкiв [3,п.3.2], то
розв’язок задачi (5), (6) будемо шукати у виглядi
x1 (t, ε) =
n−1∑
i=1
ui (t, ε) exp
ε−h
t∫
0
λi (t, ε) dt
+ v (t, ε) , (20)
де ui (t, ε) , i = 1, n− 1, v (t, ε) – n-вимiрнi вектори, а λi (t, ε) , i = 1, n− 1, – скалярнi
функцiї, якi зображуються у виглядi формальних розвинень
ui (t, ε) = ϕi (t) +
∞∑
k=1
εku
(i)
k (t);λi (t, ε) = λi (t) +
n−1∑
k=1
εkλ
(i)
k (t), i = 1, n− 1; (21)
v (t, ε) =
∞∑
k=0
εkvk (t). (22)
213
К.В. Шатковська
Пiдставивши (20) в систему (5) i прирiвнявши вирази при однакових експонентах
та вирази без експонент, матимемо
A (t, ε) ui (t, ε) = λi (t, ε) B (t)ui (t, ε) + εhB (t) u′i (t, ε) , i = 1, n− 1; (23)
A (t, ε) v (t, ε) = −C (t, ε) ξ (t−∆, ε) + εhB (t) v′ (t, ε) . (24)
Зафiксуємо в (23) iндекс i i прирiвняємо коефiцiєнти при однакових степенях ε
з урахуванням розвинень (3), (4), (21), дiстанемо
[A0 (t)− λi (t) B (t)]u(i)
0 (t) = 0, (25)
[A0 (t)− λi (t) B (t)]u(i)
k (t) = b
(i)
k (t) , k = 1, 2, . . . , (26)
де
b
(i)
k (t) = −
k∑
j=1
Aj (t) u
(i)
k−j (t) +
k∑
j=1
λ
(i)
j (t) B (t) u
(i)
k−j (t) + B (t)
(
u
(i)
k−h (t)
)′
. (27)
За виконання умови розв’язностi
(
b
(i)
k (t) , ψi (t)
)
= 0, k = 1, 2, . . . (28)
вектори u
(i)
k (t) з цих рiвнянь визначатимемо за формулами
u
(i)
0 (t) = c
(i)
0 ϕi (t) ;u(i)
k (t) = Hi (t) b
(i)
k (t) + c
(i)
k ϕi (t) , k = 1, 2, . . . , (29)
де c
(i)
k , k = 0, 1, . . . , – сталi, якi визначатимуться з початкової умови.
Для визначення ж функцiй λ
(i)
k , k = 1, 2, . . . , використаємо умову (28). З цiєю
метою, здiйснюючи взаємну пiдстановку формул (27), (29), вираз для векторiв b
(i)
k (t)
подамо у виглядi
b
(i)
k (t) =
k−1∑
s=0
k−s∑
j=1
P̃ k−s
j
(
HiL
(i)
)
ϕi (t) c(i)
s , (30)
де символом P k−s
j
(
HiL
(i)
)
позначається сума всiх можливих "добуткiв" j "множни-
кiв" HiL
(i)
k1
,HiL
(i)
k2
, . . . , HiL
(i)
kj
з натуральними iндексами k1, k2, . . . , kj , сума яких k1+
k2 + . . . + kj = k − s. При цьому
L(i)
s (t) = −As (t) + λ(i)
s (t) B (t) + δs,hB (t)
d
dt
, s = 1, 2, . . . . (31)
Вираз P̃ k−s
j
(
HiL
(i)
)
вiдрiзняється вiд P k−s
j
(
HiL
(i)
)
вiдсутнiстю у всiх його доданках
першого множника Hi (t), тобто HiP̃
k−s
j
(
HiL
(i)
)
= P k−s
i
(
HiL
(i)
)
.
Тодi з умови (28), враховуючи її рекурентний характер, знайдемо
λ
(i)
k (t) = (Ak (t) ϕi (t) , ψi (t))− δk,h
(
B (t) ϕ′i (t) , ψi (t)
)−
−
k∑
j=2
(
P̃ k
j
(
HiL
(i)
)
ϕi (t) , ψi (t)
)
, k = 1, 2, . . . . (32)
214
Асимптотичне розв’язання початкової задачi для системи диференцiальних рiвнянь
Пiдставивши (30) у (29), отримаємо вiдповiдний вираз для векторiв u
(i)
k (t):
u
(i)
k (t) =
k−1∑
s=0
k−s∑
j=1
c(i)
s P k−s
j
(
HiL
(i)
)
ϕi (t) + c
(i)
k ϕi (t) , k = 1, 2, . . . . (33)
Прирiвнявши коефiцiєнти при однакових степенях ε в рiвностi (24), дiстанемо
A0 (t) vk (t) = −
k∑
i=1
Ai (t) vk−i (t) + B (t) v′k−h (t)−
k∑
i=0
Ci (t) ξk−i (t−∆), k = 0, 1, . . . .
(34)
Оскiльки det A0 (t) 6= 0,∀t ∈ [0;T ] завдяки умовi 6◦, то звiдси однозначно визна-
чаються будь-якi коефiцiєнти розвинення (22):
vk (t) = A−1
0 (t) dk (t) , k = 1, 2, . . . , (35)
де dk (t) – права частина в (34).
Тепер для визначення сталих c
(i)
k в формулах (33) використаємо початкову умову
(6). Iз врахуванням (20), (33), (4) вона записується у виглядi
n−1∑
i=1
c
(i)
k ϕi (0) +
n−1∑
i=1
k−1∑
s=0
k−s∑
j=1
c(i)
s P k−s
j
(
HiL
(i)
)
ϕi (0)+vk (0) = ξk (0) , k = 0, 1, . . . . (36)
Поклавши в (36) k = 0, маємо
n−1∑
i=1
c
(i)
0 ϕi (0) = ξ0 (0)− v0 (0) . (37)
Вектори ϕi (0) , i = 1, n− 1, ϕ̃ (0), лiнiйно незалежнi в заданому n-вимiрному про-
сторi i, отже, утворюють його базис. Розкладемо за цим базисом вектор
ξ0 (0)−v0 (0). Нехай ξ0 (0)−v0 (0) =
n−1∑
i=1
α
(0)
i ϕi (0)+α
(0)
n ϕ̃ (0) . Взявши до уваги спiввiд-
ношення (13)− (16), звiдси дiстанемо
α
(0)
i = (B [ξ0 − v0] , ψi) , i = 1, n− 1;α(0)
n =
(
A0 [ξ0 − v0)] , ψ̃
)
.
Тодi з рiвностi (37) на пiдставi єдиностi розкладу вектора за базисом маємо
c
(i)
0 = α
(0)
i , i = 1, n− 1; α(0)
n =
(
A0 (0) [ξ0 (0)− v0 (0)] , ψ̃ (0)
)
= 0. (38)
Отже, з умови (37) однозначно визначаються сталi c
(i)
0 , i = 1, n− 1. Що ж сто-
сується рiвностi (38), то вона збiгається з умовою (19) при k = 0. Дiйсно, взявши до
уваги, що згiдно з (35) v0 (0) = −A0 (0) C0 (0) ξ0 (−∆) , маємо
(
A0 (0) ξ0 (0) + C0 (0) ξ0 (−∆) , ψ̃ (0)
)
= 0.
Поклавши в (36) k = 1, дiстанемо
215
К.В. Шатковська
n−1∑
i=1
c
(i)
1 ϕi (0) = ξ1 (0)− v1 (0)−
n−1∑
i=1
c
(i)
0 HiL
(i)
1 ϕi (0) = p1.
Як i на попередньому кроцi, сталi c
(i)
1 , i = 1, n− 1, звiдси однозначно визнача-
ються як коефiцiєнти розкладу вектора p1 у правiй частинi за базисними векторами
c
(i)
1 = (B (0) p1, ψi (0)) , i = 1, n− 1. Крiм того, з’являється умова
(
A0 (0) ξ1 (0)−A0 (0) v1 (0)−
n−1∑
i=1
c
(i)
0 A0 (0)HiL
(i)
1 ϕi (0), ψ̃ (0)
)
= 0. (39)
Покажемо, що ця умова збiгається з умовою (19) при k = 1. Дiйсно, врахувавши
спiввiдношення (17), (31), рiвнiсть (39) зведемо до вигляду
(
A0 (0) ξ1 (0)−A0 (0) v1 (0) + A1 (0)
n−1∑
i=1
c
(i)
0 ϕi (0), ψ̃ (0)
)
= 0.
Взявши до уваги (37), дiстанемо
(
A0 (0) ξ1 (0)−A0 (0) v1 (0) + A1 (0) ξ0 (0)−A1 (0) v0 (0) , ψ̃ (0)
)
= 0.
Нарештi, врахувавши, що v1 = A−1
0 [−A1v0 − C0ξ1 (−∆)− C1ξ0 (−∆)] , остаточно ма-
тимемо (
A0 (0) ξ1 (0) + A1 (0) ξ0 (0) + C0ξ1 (−∆) + C1ξ0 (−∆) , ψ̃ (0)
)
= 0.
Продовжуючи так i далi, з рiвностей (36) визначимо сталi c
(i)
k , i = 1, n− 1, при
k = 2, 3, . . . . При цьому методом математичної iндукцiї легко переконатися, що
умови сумiсностi рiвнянь (36) збiгаються з умовами (19).
Таким чином, якщо початкова вектор-функцiя ξ(t, ε) задовольняє умови (19),
то задача Кошi (5), (6) має формальний розв’язок вигляду (20), де коефiцiєнти
вiдповiдних розвинень (21), (22) визначаються за допомогою рекурентних формул
(32), (33), (35), а сталi c
(i)
k , i = 1, n− 1, k = 0, 1, . . . , – за описаним алгоритмом. Цей
розв’язок буде формальним розв’язком початкової задачi (1), (2) на вiдрiзку [0; ∆].
Водночас згiдно з теоремою 2.4 iз [3, c.67] виконання умови (19) гарантує iснуван-
ня i єдинiсть точного розв’язку x(1)(t, ε) задачi (5), (6) на заданому вiдрiзку [0;T ],
який є розв’язком початкової задачi (2) для системи рiвнянь (1) на [0;∆]. Виходя-
чи з умови 7◦, методами роботи [3] можна довести, що побудований формальний
розв’язок є асимптотичним розвиненням цього точного розв’язку, а саме, має мiсце
рiвнiсть
x(1) (t, ε) =
n−1∑
i=1
u(i)
m (t, ε) exp
ε−h
t∫
0
λ(i)
m (t, ε) dt
+vm (t, ε) + O
(
εm+1−h
)
, (40)
де u
(i)
m (t, ε), vm(t, ε), λ(i)
m (t, ε) утворюються шляхом обiрвання розвинень (21)–(22) на
m-у членi.
216
Асимптотичне розв’язання початкової задачi для системи диференцiальних рiвнянь
У результатi приходимо до такої теореми.
Теорема 1. Якщо виконуються умови 1◦− 8◦, а також умова (19), то почат-
кова задача (1), (2) має на вiдрiзку [0;∆] єдиний розв’язок, який виражається асимп-
тотичною формулою (40).
Для продовження цього розв’язку на вiдрiзок [∆; 2∆] розглянемо задачу (7), (8)
при s = 1, яка з врахуванням (40), запишеться у виглядi
εhB (t)
dx2
dt
= A (t, ε)x2 +
n−1∑
i=1
C (t, ε) u(i)
m (t−∆, ε) exp
ε−h
t−∆∫
0
λ(i)
m (t, ε) dt
+
+C (t, ε) vm (t−∆, ε) + O
(
εm+1−h
)
, t ∈ [∆; 2∆] ; (41)
x2 (∆, ε) =
n−1∑
i=1
u(i)
m (∆, ε) exp
ε−h
∆∫
0
λ(i)
m (t, ε) dt
+ vm (∆, ε) + O
(
εm+1−h
)
. (42)
За доведеним вище ця задача матиме єдиний розв’язок, який будемо шукати у
виглядi
x2 (t, ε) =
n−1∑
i=1
ui (t, ε) exp
ε−h
t∫
0
λi (t, ε) dt
+
n−1∑
i=1
ũi (t, ε) exp
ε−h
t∫
∆
λi (t, ε) dt
+
+
n−1∑
i=1
ûi (t, ε) exp
ε−h
t−∆∫
0
λi (t, ε) dt
+ ṽ (t, ε) , (43)
де вектори ui(t, ε) i функцiї λi(t, ε), i = 1, n− 1 – тi самi, що i в розв’язку (20),
побудованому на першому кроцi, а ṽ (t, ε), ũi (t, ε), ûi (t, ε), i = 1, n− 1 – вектори, якi
пiдлягають визначенню i зображаються формальними розвиненнями
ũi (t, ε) =
∑
k>0
εkũ
(i)
k (t), ûi (t, ε) =
∑
k>0
εkû
(i)
k (t), ṽ (t, ε) =
∑
k>0
εkṽk (t). (44)
Пiдставимо вектор (43) в систему (41) . Врахувавши спiввiдношення (23) та при-
рiвнявши вирази при однакових експонентах i без них, дiстанемо
εhB (t) ũ′i (t, ε) + λi (t, ε)B (t) ũi (t, ε) = A (t, ε) ũi (t, ε) , i = 1, n− 1;
εhB (t) û′i (t, ε) + λi (t−∆, ε) B (t) ûi (t, ε) =
= A (t, ε) ûi (t, ε) + C (t, ε) u(i)
m (t−∆, ε) , i = 1, n− 1;
εhB (t) ṽ′ (t, ε) = A (t, ε) ṽ (t, ε) + C (t, ε) vm (t−∆, ε) + O
(
εm+1−h
)
.
Пiдставляючи в цi спiввiдношення розвинення (3), (44), (21), (22) i прирiвнюючи ко-
ефiцiєнти при однакових степенях ε, отримаємо вiдповiднi формули для визна-
чення вектор-функцiй ũ
(i)
k (t), û
(i)
k (t), vk (t), k > 0. Зокрема, вектори ũ
(i)
k (t) знаходи-
тимуться за формулами, аналогiчними (33):
217
К.В. Шатковська
ũ
(i)
k (t) =
k−1∑
s=0
k−s∑
j=1
c̃(i)
s P k−s
j
(
HiL
(i)
)
ϕi (t) + c̃
(i)
k ϕi (t) , i = 1, n− 1, k > 0, (45)
в яких пiдлягають визначенню сталi c̃
(i)
s . Враховуючи умови 6◦, 8◦, для векторiв
û
(i)
k (t), ṽk(t), k > 1, отримаємо
û
(i)
k (t) = (A0 (t)− λi (t−∆)B (t))−1
[
k∑
s=1
λ(i)
s (t−∆)B (t) û
(i)
k−s (t)−
−
k∑
s=1
As (t) û
(i)
k−s (t)−
k∑
s=0
Cs (t) u
(i)
k−s (t−∆) + B (t) (ûk−h (t))′
]
; (46)
ṽk (t) = A−1
0 (t)
[
B (t) ṽ′k−h (t)−
k∑
s=1
As (t) ṽk−s (t)−
k∑
s=0
Cs (t) vk−s (t−∆)
]
. (47)
Як i на попередньому кроцi, для визначення сталих c̃
(i)
s , s = 1, n− 1, викорис-
таємо початкову умову (42), яка згiдно з (43) запишеться у виглядi
n−1∑
i=1
ui (∆, ε) exp
ε−h
∆∫
0
λi (t, ε) dt
+
n−1∑
i=1
ũi (∆, ε) +
n−1∑
i=1
ûi (∆, ε) + ṽ (∆, ε) =
=
n−1∑
i=1
u(i)
m (∆, ε) exp
ε−h
∆∫
0
λ(i)
m (t, ε) dt
+ vm (∆, ε) + O
(
εm+1−h
)
,
звiдки, прирiвнюючи коефiцiєнти при однакових степенях ε, матимемо
n−1∑
i=1
ũ
(i)
k (∆) +
n−1∑
i=1
û
(i)
k (∆) + ṽk (∆) = vk (∆) , k > 0.
Зокрема, при k = 0, взявши до уваги (45), дiстанемо
n−1∑
i=1
c̃
(i)
0 ϕi (∆) = v0 (∆)− ṽ0 (∆)−
n−1∑
i=1
û
(i)
0 (∆).
Мiркуючи так само, як i при визначеннi сталих c
(i)
0 , i = 1, n− 1 iз рiвностi (37),
звiдси знайдемо c̃
(i)
0 , i = 1, n− 1. При цьому з’явиться умова
(
A0 (∆) v0 (∆)−A0 (∆) ṽ0 (∆)−
n−1∑
i=1
A0 (∆) û
(i)
0 (∆) , ψ̃ (∆)
)
= 0. (48)
Покажемо, що вона виконується. Дiйсно, згiдно з (46), (47)
ṽ0 (∆) = −A−1
0 (∆)C0 (∆) v0 (0) ,
û
(i)
0 (∆) = − (A0 (∆)− λi (0)B (∆))−1 C0 (∆)u
(i)
0 (0) .
Тодi, взявши до уваги, що
218
Асимптотичне розв’язання початкової задачi для системи диференцiальних рiвнянь
A∗0 (t) ψ̃ (t) = ψ̃ (t), [(A0 (t)− λi (t−∆)B (t))∗]−1
ψ̃ (t) = ψ̃ (t), умову (48) запишемо у
виглядi A0 (∆) v0 (∆) + C0 (∆)
[
v0 (0) +
n−1∑
i=1
u
(i)
0 (0)
]
= 0, звiдки, враховуючи (29),
(35), (37), переконуємось у її виконаннi.
Аналогiчно визначаються сталi c̃
(i)
s при s > 1.
Методами [3] можна довести, що побудований у такий спосiб формальний роз-
в’язок (43) задачi (41), (42) є асимптотичним зображенням точного розв’язку
x(2)(t, ε) початкової задачi (1), (2) на вiдрiзку [∆; 2∆], а саме:
x(2) (t, ε) =
n−1∑
i=1
u(i)
m exp
ε−h
t∫
0
λ(i)
m (t, ε) dt
+
n−1∑
i=1
ũ
(i)
m−h exp
ε−h
t∫
∆
λ(i)
m (t, ε) dt
+
+
n−1∑
i=1
û
(i)
m−h exp
ε−h
t−∆∫
0
λ
(i)
m−h (t, ε) dt
+ ṽm−h + O
(
εm+1−2h
)
, (48)
де ũ
(i)
m−h(t, ε), û(i)
m−h(t, ε), ṽm−h(t, ε) утворюються з формальних розвинень (44), якщо
в них обмежитись першими m− h членами.
Отже, справджується така теорема.
Теорема 2. Якщо виконуються умови 1◦ − 8◦, i умова (19), то початкова за-
дача (1), (2) має на вiдрiзку [∆; 2∆] єдиний розв’язок, який виражається асимп-
тотичною формулою (48).
Продовжуючи аналогiчнi мiркування, можна побудувати асимптотику розв’язку
даної задачi на вiдрiзках [2∆; 3∆], . . . , [(k − 1)∆; k∆], k 6 T
∆ .
1. Фещенко С.Ф., Шкиль Н.И., Пидченко Ю.П., Сотниченко Н.А. Асимптотические методы в
теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. – К.: Наук.
думка, 1981. – 296с.
2. Самусенко П.Ф. Побудова асимптотичних розв’язкiв систем диференцiальних рiвнянь з вiдхи-
ленням аргументу та виродженою матрицею при похiдних // Нелiнiйнi коливання. – 2002. – т.5,
№4. – С.527-539.
3. Самойленко А.М., Шкiль М.I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вирод-
женням. – К.: Вища школа, 2000. – 294с.
4. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – М.: Наука, 1988. – 552с.
5. Самойленко А.М., Яковец В.П. О приводимости вырожденной линейной системы к централь-
ной канонической форме // Докл. АН Украины. – 1993. – №4. – С.10-15.
6. Яковець В.П., Кочерга O.I. Асимптотика розв’язку задачi Кошi для виродженої сингулярно
збуреної лiнiйної системи // Допов. НАН України. – 1999. – №5. – С.21-23.
7. Y. Sibuya. Some global properties of functions of one variable // Math.Anal. – 1965. – 161, №1. –
P.67-77.
Нацiональний педагогiчний ун-т
iменi М.П.Драгоманова, Київ
shatkovskakv@ukr.net
Получено 20.02.09
219
содержание
Том 18
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
содержание
Том 18
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|