Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии

Рассматриваются три задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии: задача сопряжения математической физики с поверхностной диссипацией энергии, соответствующая абстрактная проблема и их обобщение в виде многокомпонентных задач сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Каждая из этих за...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Андронова, О.А.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123893
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 10-22. — Бібліогр.: 6 cназв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123893
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1238932017-09-14T03:02:42Z Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии Андронова, О.А. Рассматриваются три задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии: задача сопряжения математической физики с поверхностной диссипацией энергии, соответствующая абстрактная проблема и их обобщение в виде многокомпонентных задач сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Каждая из этих задач приводит к изучению одного и того же линейного пучка операторов, действующего в соответственно подобранном гильбертовом пространстве. Свойства операторных коэффициентов этого пучка для всех трех задач идентичны и изучены ранее при рассмотрении начально-краевых задач с поверхностной диссипацией энергии. 2009 Article Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 10-22. — Бібліогр.: 6 cназв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123893 517.9:532 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Рассматриваются три задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии: задача сопряжения математической физики с поверхностной диссипацией энергии, соответствующая абстрактная проблема и их обобщение в виде многокомпонентных задач сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Каждая из этих задач приводит к изучению одного и того же линейного пучка операторов, действующего в соответственно подобранном гильбертовом пространстве. Свойства операторных коэффициентов этого пучка для всех трех задач идентичны и изучены ранее при рассмотрении начально-краевых задач с поверхностной диссипацией энергии.
format	Article
author	Андронова, О.А.
spellingShingle	Андронова, О.А. Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Андронова, О.А.
author_sort	Андронова, О.А.
title	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии
title_short	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии
title_full	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии
title_fullStr	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии
title_full_unstemmed	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии
title_sort	спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123893
citation_txt	Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии / О.А. Андронова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 10-22. — Бібліогр.: 6 cназв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT andronovaoa spektralʹnyezadačisoprâženiâspoverhnostnojdissipaciejénergii
first_indexed	2025-07-09T00:28:39Z
last_indexed	2025-07-09T00:28:39Z
_version_	1837127094801268736
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19 УДК 517.9:532 c©2009. О.А. Андронова СПЕКТРАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ДИССИПАЦИЕЙ ЭНЕРГИИ Рассматриваются три задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии: задача сопряже- ния математической физики с поверхностной диссипацией энергии, соответствующая абстрактная проблема и их обобщение в виде многокомпонентных задач сопряжения с поверхностной дисси- пацией энергии. Каждая из этих задач приводит к изучению одного и того же линейного пучка операторов, действующего в соответственно подобранном гильбертовом пространстве. Свойства операторных коэффициентов этого пучка для всех трех задач идентичны и изучены ранее при рассмотрении начально-краевых задач с поверхностной диссипацией энергии. Введение. Следует отметить, что ранее автором данной работы и Копачев- ским Н.Д. была исследована начально-краевая и спектральная задачи с поверхност- ной диссипацией энергии (см. [1], [2]). Изучение задач сопряжения с поверхностной диссипацией энергии связано с интересом рассмотрения диссипативных систем и с публикацией [3], посвященной исследованию подобных задач. 1. Задачи сопряжения математической физики с поверхностной дис- сипацией энергии. Ниже в пунктах 2–5 рассматривается первая из описанных выше задач, а именно спектральная проблема, порожденная стыковыми задачами сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Формулируется соответствую- щая проблема, описываются простейшие свойства решений. В следующих пунктах будет исследоваться обобщение этой задачи. Таким образом, все полученные ре- зультаты для более общей проблемы будут справедливы для задачи сопряжения математической физики с поверхностной диссипацией энергии. 2. Постановка задачи. Пусть области Ω1 и Ω2 из Rm пристыковываются друг к другу и имеют липшицевы границы. Пусть Γ – граница стыковки двух областей. Обозначим через Si = ∂Ωi\Γ, i = 1, 2, свободные границы областей Ωi. Рассмотрим начально-краевую задачу в областях Ω1 и Ω2: ∂2ui ∂t2 −4ui = fi (вΩi) , i = 1, 2, (1) при краевых условиях ui = 0 (наSi) , i = 1, 2, (2) и условиях сопряжения u1 = u2, ∂u1 ∂n − ∂u2 ∂n + u1 + α ∂u1 ∂t = ψ (наΓ) , α > 0. (3) Здесь ~n – орт нормали к Γ, направленный из Ω1 в Ω2. Особенностью задачи является наличие параметра α в граничном условии при первой производной по времени. Он характеризует изменение поверхностной диссипации энергии на общей границе Γ. Соответствующее слагаемое α(∂u1/∂t)Γ при α > 0 порождает поверхностную диссипацию полной энергии динамической системы. 10 Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии 3. Формулы Грина для задачи сопряжения с поверхностной диссипа- цией энергии. Заметим, что для гладких функций ui ∈ C2(Ωi), vi ∈ C1(Ωi), i = 1, 2, удовлетворяющих условию v1 = v2 (наΓ) и условиям (2), справедливы формулы Грина: − ∫ Ω1 4u1 v1 dΩ1 = ∫ Ω1 ∇u1 · ∇v1 dΩ1 − ∫ Γ ∂u1 ∂n v1 dΓ, − ∫ Ω2 4u2 v2 dΩ2 = ∫ Ω2 ∇u2 · ∇v2 dΩ2 + ∫ Γ ∂u2 ∂n v2 dΓ. (4) Складывая эти формулы Грина, получим соотношение 2∑ n=1 ∫ Ωi (−4ui) vi dΩi = 2∑ n=1 ∫ Ωi ∇ui · ∇vi dΩi− −    ∫ Γ ∂u1 ∂n v1 dΓ− ∫ Γ ∂u2 ∂n v2 dΓ    . (5) Добавим к правой части и отнимем выражение ∫ Γ u1 v1 dΓ. Сгруппировав слагаемые, получим формулу Грина в виде: 2∑ n=1 ∫ Ωi (−4ui) vi dΩi =    2∑ n=1 ∫ Ωi ∇ui∇vi dΩi + ∫ Γ u1v1 dΓ   − − ∫ Γ ( ∂u1 ∂n + ∂u2 ∂n + u1 ) v1 dΓ, (6) которая является формулой Грина для задачи сопряжения математической физики с поверхностной диссипацией энергии. 4. Основные функциональные пространства. Введем в рассмотрение функ- циональные пространства, необходимые для исследования задачи. Это пространство H: H := L2(Ω1)⊕ L2(Ω2). Пространство F := { u = (u1; u2), ui ∈ H1(Ωi), i = 1, 2, ui = 0 (наSi) , u1 = u2 (наΓ) } , с нормой, определенной по закону ‖u‖2 F = 2∑ k=1 ∫ Ωk \|∇uk\|2 dΩk + ∫ Γ \|u1\|2 dΓ. (7) 11 О.А. Андронова А также пространство G := L2(Γ), в котором скалярное произведение имеет вид (ϕ,ψ)Γ := ∫ Γ ϕψ̄ dΓ, ϕ, ψ ∈ L2(Γ). (8) 5. Простейшие свойства решений спектральной задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. При отыскании решений ui однородной (fi = 0, ψ = 0) задачи (1)–(3) с зависимостью от времени по закону e−λt приходим к спектральной задаче сопряжения с поверхностной диссипацией энергии λ2ui −4ui = 0 (вΩi) , i = 1, 2, (9) ui = 0 (наSi) , i = 1, 2, (10) u1 = u2, ∂u1 ∂n − ∂u2 ∂n + u1 − αλu1 = 0 (наΓ) , α > 0. (11) Здесь λ ∈ C – спектральный параметр. Заметим, что для решений этой задачи искомые функции u1(x) и u2(x) совпа- дают на "границе стыковки" Γ, в то время как их нормальные производные терпят разрыв. Получим некоторые свойства решений задачи (9)–(11). Домножим уравнение (9) для функции ui, i = 1, 2 на ūi, i = 1, 2 и проинтегрируем каждое по области Ωi, i = 1, 2 соответственно. Далее, применим к каждому равенству формулу Грина для оператора Лапласа. Складывая левые и правые части полученных равенств и используя первое условие в (11), получим λ2 2∑ k=1 ∫ Ωk \|uk\|2 dΩk + 2∑ k=1 ∫ Ωk \|∇uk\|2 dΩk − ∫ Γ ( ∂u1 ∂n − ∂u2 ∂n ) ū1 dΓ = 0. (12) Использование второго условия в (11) приводит к соотношению λ2    2∑ k=1 ∫ Ωk \|uk\|2 dΩk    − αλ ∫ Γ \|u1\|2 dΓ+ +    2∑ k=1 ∫ Ωk \|∇uk\|2 dΩk + ∫ Γ \|u1\|2 dΓ    = 0. (13) Вспоминая введенные в пункте 4 нормы и скалярные произведения в пространствах H,F,G, последнее равенство запишем в следующей форме: λ2‖u‖2 H − αλ‖γu‖2 G + ‖u‖2 F = 0. (14) Далее будем считать, что параметр диссипации α является неотрицательным и мо- жет принимать, в частности, значения α = 0 и α = +∞. Опишем простейшие свой- ства решений спектральной задачи (9)–(11). 10. Число λ = 0 не является собственным значением спектральных задач. 12 Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии 20. При α > 0 все собственные значения задачи расположены в правой комплекс- ной полуплоскости. В самом деле, пусть λ – собственное значение и u – соответствующий собственный элемент, тогда из (14) имеем λ‖u‖2 H − α‖γu‖2 G + λ̄ \|λ\|2 ‖u‖ 2 F = 0. Отсюда следует равенство: Reλ ‖u‖2 H − α‖γu‖2 G + Reλ \|λ\|2 ‖u‖ 2 F = 0. (15) Из последнего равенства получаем: Reλ = α‖γu‖2 G ‖u‖2 H + \|λ\|−2 ‖u‖2 F > 0. (16) Рассмотрим случай, когда λ = iω, ω 6= 0 ∈ R – чисто мнимое число, т.е. Reλ = 0. Тогда из (15) имеем αλ‖γu‖2 G = 0. Из последнего соотношения и (9)–(11) при α > 0 следует, что uk = 0, (k = 1, 2). Сле- довательно, числа вида λ = iω, ω 6= 0 ∈ R не являются собственными значениями задачи (9)–(11). Таким образом, свойство 20 установлено. 30. При α = 0 спектр задачи находится на мнимой оси (гиперболический случай). 40. Пусть α формально равно +∞, т.е. рассматриваются предельные задачи −4ui = λ2ui (в Ωi), ui = 0 (на ∂Ωi), i = 1, 2, (17) вместо (9)–(11). Отсюда следует, что при α → +∞ задача (9)–(11) распадается на две задачи (17) с условиями Дирихле на ∂Ωi. В этом случае спектр задачи (17) находится на мнимой оси. 6. Абстрактные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энер- гии. В пунктах 7–10 рассматривается абстрактный аналог задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии, сформулированной в пункте 2. Описывается метод исследования, который позволяет привести исходную задачу к эквивалент- ной спектральной проблеме для линейного операторного пучка в соответствующем гильбертовом пространстве. Базой для изучения этой проблемы является абстракт- ная формула Грина для тройки гильбертовых пространств, введенная в [4], [5]. 7. Формулировка задач. Будем считать, что заданы гильбертовы простран- ства E1,F1,G и оператор следа γ1 : F1 → G+ ⊂ G, для которых справедлива аб- страктная формула Грина 〈η1, L1u1〉E1 = (η1, u1)F1 − 〈γ1η1, ∂1u1〉G, ∀η1 ∈ F1, ∀u1 ∈ F1. (18) 13 О.А. Андронова Пусть также заданы гильбертовы пространства E2,F2,G и оператор следа γ2 : F2 → G+ ⊂ G такие, что имеет место абстрактная формула Грина: 〈η2, L2u2〉E2 = (η2, u2)F2 − 〈γ2η2, ∂2u2〉G, ∀η2 ∈ F2, ∀u2 ∈ F2. (19) Формулировка абстрактной задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энер- гии, обобщающая задачу (1)–(3), имеет вид: ∂2ui ∂t2 + Liui = fi (в Ei ) , (20) γ1u1 = γ2u2 (в G ) , (21) ∂1u1 + ∂2u2 + γ1u1 + α ∂ ∂t γ1u1 = 0 (в G ) , α > 0. (22) Здесь, как и ранее, λ – спектральный параметр, а искомые элементы ui, i = 1, 2, связаны граничными условиями (21), (22) в пространстве G. При fk ≡ 0 приходим к спектральной задаче сопряжения с поверхностной дис- сипацией энергии в абстрактной форме: L1u1 + λ2u1 = 0 (в E1 ) , u1 ∈ F1, (23) L2u2 + λ2u2 = 0 (в E2 ) , u2 ∈ F2, (24) γ1u1 = γ2u2 (в G ) , (25) ∂1u1 + ∂2u2 + γ1u1 − αλγ1u1 = 0 (в G ) , α > 0. (26) Введем искомый объект u в виде упорядоченной пары u := (u1;u2) ∈ E1 ⊕ E2, uk ∈ Ek. Если u ∈ F1 ⊕ F2, то справедливы формулы Грина (18) и (19). Складывая левые и правые части этих выражений будем иметь "общую" формулу Грина 2∑ k=1 〈ηk, Lkuk〉Ek = 2∑ k=1 (ηk, uk)Fk − 2∑ k=1 〈γkηk, ∂kuk〉G, (27) ∀η = (η1; η2) ∈ F1 ⊕ F2. 8. Основные функциональные пространства. Основными функциональны- ми пространствами, необходимыми при исследовании задачи (20)–(22), являются пространства E := E1 ⊕ E2, F := F1 ⊕ F2 со скалярными произведениями, введенны- ми по формулам (u, v)E = 2∑ k=1 (uk, vk)Ek , (u, v)F = 2∑ k=1 (uk, vk)Fk , (28) 14 Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии и пространство G. Рассмотрим в пространстве F множество V пар, которые удовлетворяют услови- ям V := {u = (u1; u2) ∈ F : γ1u1 = γ2u2 (в G )} . (29) Так как операторы γi : Fi → (G+), i = 1, 2 ограничены, то V – подпространство пространства F. Идея введения подпространства V при рассмотрении подобных задач описана в работе [3] и связана с особенностью исследуемых задач. Подпространство V будет играть важную роль при отыскании слабых решений задачи (20)–(22). Дальнейшие построения основаны на следующем предположении: Ni = Ei, Ni := Ker γi, i = 1, 2. (30) Лемма 1. Имеет место ортогональное разложение F = V ⊕ V ⊥, (31) V ⊥ := {u = (u1; u2) ∈ F : Liui = 0 (в Ei), i = 1, 2, ∂1u1 + ∂2u2 = 0 (в G )} . (32) Доказательство. Пусть η = (η1; η2) ∈ V , а u ∈ F ортогонально η в скалярном произведении (28) пространства F. Тогда, согласно формуле (27), с учетом (29), будем иметь 2∑ k=1 〈ηk, Lkuk〉Ek + 〈γ1η1, ∂1u1 + ∂2u2〉G = 0. (33) Полагая η = (η1; 0), η1 ∈ N1, убеждаемся, в силу предположения (30), что L1u1 = 0. Аналогично получаем, что L2u2 = 0. Тогда в выражении (33) первая сумма равна нулю. Далее, используя тот факт, что γiηi (ηi ∈ Fi) пробегает все G+, убеждаемся, что ∂1u1 + ∂2u2 = 0. Отсюда следует утверждение леммы. ¤ Воспользуемся далее формулой Грина для элементов из пространства V . Она получается из (27) с учетом краевого условия в (29). Имеем 2∑ i=1 〈ηi, Liui〉Ei = 2∑ i=1 (ηi, ui)Fi − 〈γ1u1, ∂1u1 + ∂2u2〉G. (34) Выделим в V подпространство N := N1 ⊕N2 ⊂ V ⊂ F ⊂ E. 15 О.А. Андронова В силу предположения (30) получаем свойства плотности N = V = E. Лемма 2. В скалярном произведении в F имеет место ортогональное разло- жение V = N ⊕N⊥, N⊥ := {u = (u1; u2) ∈ V : Liui = 0 (E), i = 1, 2} . (35) Доказательство. Оно следует непосредственно из формулы Грина (34) с учетом того, что для элементов из N имеет место равенство γ1u1 = γ2u2 = 0, а также из формулы (33). ¤ Введём в пространстве V скалярное произведение, определяемое по закону (η, u)V := 2∑ i=1 (ηi, ui)Fi + (γ1η1, γ1u1)G. (36) Замечание 1. Можно показать, что нормы, определяемые скалярными произве- дениями (28) и (36), эквивалентны. Преобразуем формулу Грина (34), выделив в ней в явной форме скалярное про- изведение (η, u)V , введенное по закону (36). Это даёт тождество 2∑ i=1 〈ηi, Liui〉Ej = (η, u)V − 〈γ1η1, ∂1u1 + ∂2u2 + γ1u1〉G, ∀η, u ∈ V. (37) Для элементов η и u из V введём обозначения Lu := (L1u1; L2u2) ∈ V ∗, (38) γη := (γ1η1) ∈ G+ ⊂→ G, (39) ∂u := ∂1u1 + ∂2u2 + γ1u1 ∈ (G+)∗, G+ ⊂→ G ⊂→ (G+)∗ := G−. (40) Тогда формулу (37) можно кратко записать в виде 〈η, Lu〉E = (η, u)V − 〈γη, ∂u〉G, η, u ∈ V. (41) В такой форме она имеет тот же вид, что и формула Грина для одного набора пространств E, V и G, а также оператора следа γ (см. (18), (19)). 9. Вспомогательные абстрактные краевые задачи. При исследовании за- дачи (23)–(26) будем использовать метод введения вспомогательных краевых задач. Будем разыскивать ее решение в виде суммы u = (u1; u2) = v + w = (v1; v2) + (w1; w2), (42) 16 Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии где v = (v1; v2) – решение первой вспомогательной задачи: Livi = fi := −λ2ui, i = 1, 2, (43) γ1v1 = γ2v2 (в G+) , ∂1v1 + ∂2v2 + γ1v1 = 0 (в G−) . (44) С учетом обозначений (38)–(40) коротко первую вспомогательную задачу можно переписать в виде Lv = f, ∂v = 0, f := (f1; f2). (45) Определение. Элемент v = (v1; v2) ∈ V называется слабым решением первой вспо- могательной задачи (43)–(44), если (η, v)V = 〈η, f〉E := 2∑ i=1 〈ηi, fi〉Ei , ∀η = (η1; η2) ∈ V. (46) Лемма 3. Если выполнено условие f ∈ V ∗, то задача (43)–(44) имеет един- ственное обобщенное решение v ∈ V , выражаемое формулой v = A−1f, D(A) = V, R(A) = V ∗. Сужение A оператора A на E, такое что D(A) ⊂ E, R(A) ⊂ E, обладает свой- ством A = A∗ À 0 в E. Если V ⊂→⊂→ E, то A−1 – компактный положительный оператор. Доказательство. Оно полностью повторяет схему доказательства подобных утвер- ждений в работе [5], см. также [6]. ¤ Рассмотрим теперь вторую вспомогательную задачу. Для решения w = (w1;w2) второй вспомогательной задачи возникает проблема: Liwi = 0, i = 1, 2, (47) γ1w1 = γ2w2 (в G+) , ∂1w1 + ∂2w2 + γ1w1 = ψ := αλγ1u1 (в G−) . (48) Используя обозначения (38)–(40), задачу (47)–(48) можно переписать в виде Lw = 0, ∂w = ψ. (49) Определение. Назовем элемент w = (w1; w2) ∈ V слабым решением второй вспо- могательной задачи (47)–(48), если для него выполнено тождество (η, w)V = 〈γ1η1, ψ〉G, ∀η = (η1; η2) ∈ V. (50) Лемма 4. Если выполнено условие ψ ∈ (G+)∗ = G−, то задача (47)–(48) имеет единственное слабое решение w ∈ V . При этом w = TMψ, 17 О.А. Андронова и оператор TM ограниченно действует из пространства G− в подпространство "гармонических" элементов M пространства V M := {w = TMψ : ψ ∈ (G+)∗} . Доказательства лемм 3 и 4 стандартны, потому здесь не приводятся. Аналогичную схему доказательства для близких задач можно найти, например, в [4], параграф 1.3. 10. Общая теорема о дискретности спектра. Вспоминая, что решение ис- ходной задачи (23)–(26) искалось в виде суммы u = v+w, и используя утверждения лемм 3 и 4, приходим к соотношению u = A−1f + TMψ = −λ2A−1u + αλTMγu, так как f = (−λ2u1;−λ2u2) = −λ2u, ψ = αλγ1u1 = αλγu, (см.(45), (48)). Последнее равенство приводит к операторному уравнению λ2A−1u− αλTMγu + u = 0. (51) Преобразуем это уравнение, осуществляя замену u = A−1/2η, η ∈ E. (52) После замены (52) для новой искомой функции η ∈ E получаем уравнение λ2A−1A−1/2η − αλTMγA−1/2η + A−1/2η = 0, (53) которое, после формального применения слева оператора A1/2, приобретает вид λ2A−1η − αλ(A1/2TM )(γA−1/2)η + η = 0. (54) Уравнение (54), после введения замен Q := γA−1/2 : E → G+, Q∗ := A1/2TM : G− → E0 := A1/2M ⊂ E, (55) примет вид λ2A−1η − αλQ∗Qη + η = 0, η ∈ E. (56) Замечание 2. Операторы Q и Q∗ взаимно сопряжены и ограничены. Если счи- тать, что G+ компактно вложено в G и Q : E → G, то Q компактен. Сужение Q∗\|G – также компактный оператор. Поэтому B := Q∗Q : E → E (57) является самосопряженным неотрицательным компактным оператором. Таким образом, используя эти обозначения, приходим к уравнению λ2A−1η − αλBη + η = 0. (58) 18 Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии Теорема 1. Cпектральная задача (23)–(26) равносильна спектральной задаче L(λ) := (λ2A−1 − αλB + I)η = 0, η = A−1/2u, η ∈ E, (59) B = Q∗Q, Q = γA−1/2 : E → G+, Q∗ = A1/2TM : G− → E0 := A1/2M ⊂ E. (60) При этом оператор A−1 – положительный, а B – неотрицательный. Если про- странство V компактно вложено в E, то A−1 – компактный оператор. Если G+ компактно вложено в G, то операторы Q и Q∗ компактны, а потому компактен и оператор B. Замечание 3. Свойства спектра пучка L(λ) = λ2A−1 − αλB + I, 0 6 B ∈ S∞(E), 0 < A−1 ∈ S∞(E) изучены ранее (см. [2], п.3.6, теорема 3.3) при рассмотрении спектральной задачи, порожденной проблемами с поверхностной диссипацией энергии. На основе одного результата Т.Я. Азизова в пункте 3.6 из [2] доказано, что спектр такого операторного пучка дискретен с предельной точкой на бесконечности. 11. Многокомпонентные задачи сопряжения с поверхностной диссипа- цией энергии. До сих пор рассматривались задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии только для двух областей в Rm таких, что одна область при- стыковывается к другой на части общей границы. Оказывается, что удается иссле- довать аналогичные проблемы и в случае, когда имеются несколько областей в Rm, произвольным образом пристыкованных одна к другой на различных частях их гра- ниц. Аналогичный подход можно использовать и для соответствующих абстрактных задач сопряжения с поверхностной диссипацией энергии, получив предварительно аналог "стыковой" абстрактной формулы Грина. Исследованию задач такого ти- па посвящен настоящий пункт. Схема получения "стыковой" абстрактной формулы Грина разработана Копачевским Н.Д. и описана в [3]. Абстрактная формула Грина, которая существенно использовалась выше, обобщается на случай задач сопряже- ния, когда искомые функции заданы в разных областях и удовлетворяют тем или иным условиям сопряжения. Пусть в Rm (m ≥ 2) имеется q ограниченных областей Ωj , j = 1, q, с липши- цевыми границами Γj = ∂Ωj . Эти области примыкают друг к другу по некоторым частям их границ, кроме того, могут быть такие части границ, которые являются свободными, т.е. не контактируют с соседними областями. Обозначим через Γjj , j = 1, q, свободные части границ Γj . Через Γjk обозначим ту часть границы Γj , которая стыкуется с частью границы области Ωk (k 6= j). При этом, очевидно, что Γjk = Γkj . Возникает матрица границ (Γjk) q j,k=1 , её элементы считаем (m− 1)-мерными измеримыми многообразиями с краем. 19 О.А. Андронова Приведём теперь формулировку абстрактной многокомпонентной задачи сопря- жения, опирающуюся на "стыковую" абстрактную формулу Грина (см. [3]), отве- чающую краевым задачам смешанного типа. Пусть имеется набор пространств Ej , Fj и Gj , j = 1, q, и операторов следа γj таких, что имеются q абстрактных формул Грина для каждого набора с номером j: 〈ηj , Ljuj〉Ej = (ηj , uj)Fj − 〈γjηj , ∂juj〉Gj , ∀ηj , uj ∈ Fj , j = 1, q. (61) Будем считать также, что выполнены условия, описанные в [3], обеспечивающие справедливость существования "стыковых" формул Грина для каждого набора про- странств с номером j. Итак, будем считать, что: 1. Имеют место ортогональные разложения G = q⊕ j=1 Gj , Gj = q⊕ k=1 Gjk, j = 1, q, Gjk = ⊕ l Gjkl, l = 1 (k > j), l = 1, 3 (k = j). (62) 2. Имеют место прямые разложения (G+)j = q∑ k=1 ˙(+)(G+)jk, j = 1, q, (G+)jk = ∑ l ˙(+)(G+)jkl, l = 1 (k > j), l = 1, 3 (k = j). (63) При k > j третий индекс l = 1 обозначает постановку условий первой задачи сопряжения, а при k = j изменение третьего индекса обозначает разбиение свободных от стыковки границ на три части и постановку на каждой из частей одного из трех различных граничных условий. 3. Каждое из пространств в разложении (63) имеет оснащение, т.е. (G+)jkl ⊂→ Gjkl ⊂→ (G+)∗jkl, ∀j, k, l. (64) 4. Оснащения (64) совпадают при перемене местами индексов j и k. Пусть γjkl : Fj → (G+)jkl, ∂jkl : Fj → (G+)∗jkl (65) – соответствующие ограниченные абстрактные операторы следа на часть границы и оператор дифференцирования по внешней нормали, определённые на части гра- ницы. Подробное построение приведенных выше операторов описано в [3]. С учетом введенных обозначений сформулируем постановку абстрактной много- компонентной задачи сопряжения. Она состоит в нахождении совокупности элемен- тов {uj}q j=1, uj ∈ Fj , таких, что выполнены уравнения Ljuj + λ2ajuj = 0, j = 1, q, (66) 20 Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии где λ ∈ C – спектральный параметр, а aj ∈ L ( Fj , F ∗ j ) – линейные ограниченные положительно определённые операторы: 〈uj , ajuj〉Ej ≥ cj‖uj‖2 Ej , cj > 0, j = 1, q. (67) Решения уравнений (66) должны удовлетворять также следующим абстрактным граничным условиям. При k > j эти условия имеют следующий вид: γjk1uj = γkj1uk, ∂jk1uj + ∂kj1uk + δjk1γjk1uj = αλ bjk1γjk1uj . (68) Здесь и ниже bjkl и δjkl – операторы из L ( (G+)jkl, (G+)∗jkl ) , причём операторы bjkl – положительно определённые, а δjkl – неотрицательные, т.е. 〈γjkluj , bjklγjkluj〉Gjkl ≥ cjkl‖γjkluj‖2 Gjkl , cjkl > 0, (69) 〈γjkluj , δjklγjkluj〉Gjkl ≥ 0. (70) При k = j имеем три типа условий. 1. Условие Ньютона-Неймана с параметром: ∂jj1uj + δjj1γjj1uj = λbjj1γjj1uj . (71) 2. Условие Ньютона-Неймана без параметра: ∂jj2uj + δjj2γjj2uj = 0. (72) 3. Условие Дирихле: γjj3uj = 0. (73) Далее, задача (66)–(73) исследуется с использованием абстрактных формул Гри- на для набора пространств с номером j, j = 1, q, методом введения вспомогательных абстрактных краевых задач. Следует отметить, что как и при исследовании абстрактной задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии, здесь вместо основного пространства F := q⊕ j=1 Fj (74) рассматривается подпространство V := { u = (u1, . . . , uq) ∈ F : γjk1uj = γkj1uk, (k > j); γjj3uj = 0, j = 1, q } , (75) в котором и разыскиваются слабые решения вспомогательных краевых задач. Так как все операторы γjkl : Fj → (G+)jkl ограничены, то V – подпространство про- странства F . Приведем без доказательства основной результат. 21 О.А. Андронова Теорема 2. Многокомпонентная абстрактная спектральная задача сопряже- ния с поверхностной диссипацией энергии (66)–(73) равносильна задаче M(λ)η := (I − αλB + λ2A)η = 0, η ∈ E. (76) При этом операторные коэффициенты имеют следующие свойства: 0 6 B ∈ S∞(E), 0 < A ∈ S∞(E), η = A−1/2u. Замечание 4. Рассмотрение многокомпонентной абстрактной спектральной за- дачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии свелось к исследованию свойств операторного пучкаM(λ). Свойства спектра такого пучка идентичны свой- ствам спектра операторного пучка, полученного в пункте 10 данной работы, см. теорему 1. Заключение. В данной работе приведены три задачи сопряжения с поверхност- ной диссипацией энергии: задача сопряжения математической физики с поверхност- ной диссипацией энергии, соответствующая абстрактная проблема и их обобщение в виде многокомпонентных задач сопряжения с поверхностной диссипацией энергии. Все они могут быть заменены эквивалентными проблемами для одного и того же линейного операторного пучка. Свойства спектра пучка всех трех задач идентичны и изучены ранее. 1. Андронова О.А. Начально-краевые задачи математической физики с поверхностной диссипа- цией энергии // Труды ИПММ НАН Украины. – Донецк, 2008. – Т.16. – С.13-25. 2. Андронова О.А., Копачевский Н.Д. О линейных задачах с поверхностной диссипацией энергии // Современная математика. Фундаментальные направления. – 2008. – Т.29. – С.11-28. 3. Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина для смешанных краевых задач // Ученые за- писки Таврического Национального Университета им. В.И.Вернадского, Серия "Математика. Механика. Информатика и Кибернетика". – Симферополь, 2007. – T.20 (59). – 2. – С.3-12. 4. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. – М.: Наука, 1989. – 416с. 5. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых про- странств, абстрактные краевые и спектральные задачи // Украинский математ. вестник, Т.1, №1 (2004). – С.69-97. 6. Копачевский Н.Д. Абстрактная формула Грина для тройки гильбертовых пространств и ее приложения к задаче Стокса // Таврический вестник информатики и математики (ТВИМ), Симферополь, №2, 2004. – С.52-80. Таврический национальный ун-т им.В.И. Вернадского o.andronova@list.ru Получено 25.02.09 22 титул Научное издание Том 19 содержание Том 19 Донецк, 2009 Основан в 1997г.

Спектральные задачи сопряжения с поверхностной диссипацией энергии

Institution

Ähnliche Einträge