Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника
В работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия системы уравнений Эйлера с ограничением на управляющий момент из множества в виде треугольника. В процессе исследования применяется теория критических гамильтонианов, с помощью которых получены необходимые условия стабилизируемости си...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123898 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника / В.В. Грушковская, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 53-64. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123898 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238982017-09-14T03:02:50Z Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. В работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия системы уравнений Эйлера с ограничением на управляющий момент из множества в виде треугольника. В процессе исследования применяется теория критических гамильтонианов, с помощью которых получены необходимые условия стабилизируемости системы. Основным результатом работы является утверждение о достаточных условиях стабилизируемости. 2009 Article Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника / В.В. Грушковская, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 53-64. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123898 517.977, 531.36 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия системы уравнений Эйлера с ограничением на управляющий момент из множества в виде треугольника. В процессе исследования применяется теория критических гамильтонианов, с помощью которых получены необходимые условия стабилизируемости системы. Основным результатом работы является утверждение о достаточных условиях стабилизируемости. |
| format |
Article |
| author |
Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. |
| spellingShingle |
Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Грушковская, В.В. Зуев, А.Л. |
| author_sort |
Грушковская, В.В. |
| title |
Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника |
| title_short |
Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника |
| title_full |
Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника |
| title_fullStr |
Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника |
| title_full_unstemmed |
Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника |
| title_sort |
стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123898 |
| citation_txt |
Стабилизация нелинейной системы с ограничивающим множеством в виде треугольника / В.В. Грушковская, А.Л. Зуев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 53-64. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT gruškovskaâvv stabilizaciânelinejnojsistemysograničivaûŝimmnožestvomvvidetreugolʹnika AT zueval stabilizaciânelinejnojsistemysograničivaûŝimmnožestvomvvidetreugolʹnika |
| first_indexed |
2025-07-09T00:29:16Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:29:16Z |
| _version_ |
1837127135515377664 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 517.977, 531.36
c©2009. В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
СТАБИЛИЗАЦИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ СИСТЕМЫ С
ОГРАНИЧИВАЮЩИМ МНОЖЕСТВОМ В ВИДЕ ТРЕУГОЛЬНИКА
В работе рассматривается задача стабилизации положения равновесия системы уравнений Эйлера
с ограничением на управляющий момент из множества в виде треугольника. В процессе исследова-
ния применяется теория критических гамильтонианов, с помощью которых получены необходимые
условия стабилизируемости системы. Основным результатом работы является утверждение о до-
статочных условиях стабилизируемости.
Введение. Одной из основных задач, рассматриваемых теорией управления,
является задача стабилизации особой точки аффинной системы дифференциальных
уравнений следующего вида:
ẋ = f0 (x) +
m∑
k=1
ukfk (x), (1)
где x – фазовый вектор системы из области X ⊆ Rn, u = (u1, u2, ..., um) ∈ U ⊆ Rm –
вектор управления, 0 ∈ X, 0 ∈ U , f0 (0) = 0, fk ∈ C1 (X), k = 0,m.
Задача стабилизации для данной системы состоит в нахождении функции
u = u (x) ∈ U такой, что решение x = 0 системы (1) с u = u (x) будет асимпто-
тически устойчивым по Ляпунову.
Один из подходов к решению этой задачи предложен в работе [1] для частного
случая систем, представимых с помощью двух критических гамильтонианов. Це-
лью данной статьи является распространение такого подхода на более широкий
класс управляемых систем. Поскольку свойство асимптотической устойчивости не
зависит от способа задания координат в окрестности особой точки, то естественно
искать условия стабилизируемости нелинейной системы (1) в терминах ее инвариан-
тов относительно преобразований с обратной связью. Полная система инвариантов
для нелинейных управляемых систем получена в работе [2] с помощью построения
вспомогательных функций (символов) на кокасательном расслоении фазового про-
странства. Для определения символов поставим в соответствие каждой точке x ∈ X,
элементу p кокасательного пространства T ∗xX и управлению u ∈ U следующее зна-
чение:
h (p, x, u) =
〈
p, f0 (x) +
m∑
k=1
ukfk (x)
〉
.
Определённая таким образом функция h : T ∗X × U → R называется гамильто-
нианом системы (1). Значение h (p, x, u) соответствует скорости системы вдоль на-
правления p, в зависимости от управления u. Если ограничивающее множество U
53
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
имеет вид выпуклого многогранника U = co {u(1), u(2), ..., u(µ)} ⊂ Rm, то определим
критические гамильтонианы системы (1) следующим образом [3]:
H1 (p, x) = h
(
p, x, u(1)
)
, . . . , Hµ (p, x) = h
(
p, x, u(µ)
)
. (2)
Тогда системе (1) можно поставить в соответствие конечный набор гамильтоновых
динамических систем в кокасательном расслоении T ∗X:
ẋ =
∂Hk
∂p
(p, x) , ṗ = −∂Hk
∂x
(p, x) , k = 1, ..., µ.
Из принципа максимума Понтрягина следует, что траектории этих гамильтоновых
систем определяют экстремальные по времени траектории исходной системы. Для
описания инвариантов и симметрий системы (1) в работах [2, 3] введены симметри-
ческие функции критических гамильтонианов:
Sk(p, x) = (H1)k + ... + (Hµ)k, k = 1, ..., µ.
Функции Sk : T ∗X → R будем называть символами системы (1). Все Sk являют-
ся вещественными аналитическими функциями, если векторные поля fk аналитич-
ны [2, 3]. Для исследования условий разрешимости задачи стабилизации системы (1)
воспользуемся следующей теоремой.
Теорема. (З. Артстейн, [4]) Стабилизируемость системы (1) с помощью управ-
ления с обратной связью u = u(x) класса C0(X \{0}) эквивалентна существованию
определенно-положительной функции v(x) класса C1(X), для которой
inf
u∈U
〈
∇v(x), f0(x) +
m∑
k=1
ukfk(x)
〉
< 0, ∀x ∈ X \ {0}, (3)
где ∇v(x) обозначает градиент функции v(x).
Если система (1) стабилизируема, то по теореме Артстейна условие (3) выполне-
но для некоторой определённо-положительной функции v(x), т.е. infu∈U h(p, x, u) < 0
для каждого x ∈ X \ {0} при p = ∇v(x). Поскольку критические гамильтонианы
Hk(p, x) соответствуют экстремальным значениям h(p, x, u), то отсюда следует необ-
ходимое условие стабилизируемости системы (1):
∀x ∈ X \ {0} ∃k ≤ µ, ∃p ∈ T ∗xX : Hk (p, x) < 0. (4)
В дальнейшем исследуем условия (4) для системы с тремя критическими гамиль-
тонианами.
1. Вычисление критических гамильтонианов. Предположим, что ограни-
чивающее множество U ⊂ Rm для системы (1) является треугольником с вершинами
u(j) = (u(j)
1 , u
(j)
2 , ..., u
(j)
m ), (j = 1, 2, 3):
U = co {u(1), u(2), u(3)} ⊂ Rm, (m ≥ 2).
54
Стабилизация нелинейной системы с ограничением на управление
Тогда критические гамильтонианы и символы системы (1) имеют вид:
Hj(p, x) = 〈p, f0(x)〉+
m∑
k=1
u
(j)
k 〈p, fk(x)〉,
Sj(p, x) = H1
j(p, x) + H2
j(p, x) + H3
j(p, x), (j = 1, 2, 3). (5)
Если задано инвариантное описание системы (1) с помощью символов S1, S2, S3,
то для анализа условия стабилизируемости (4) исследуем вопрос о существовании
вещественного решения (H1,H2,H3) с хотя бы одной отрицательной компонентой
Hj у следующей системы уравнений:
H1 + H2 + H3 = S1, H1
2 + H2
2 + H3
2 = S2, H1
3 + H2
3 + H3
3 = S3. (6)
Воспользуемся следующей теоремой.
Теорема. (О. Перрон, [5, с.5]) Пусть H1,H2, . . . , Hn – корни многочлена
Hn + a1H
n−1 + . . . + an = 0 (7)
с вещественными коэффициентами a1, a2,..., an, и пусть Sm = Hm
1 +Hm
2 +. . .+Hm
n ,
m = 0, 1, 2, . . . . Предположим, что числа α < β не являются корнями уравне-
ния (7), и что сигнатуры квадратичных форм
n∑
λ=1
n∑
j=1
(αSλ+j−2 − Sλ+j−1)xλxj ,
n∑
λ=1
n∑
j=1
(βSλ+j−2 − Sλ+j−1)xλxj
равны σα и σβ, соответственно. Тогда в интервале (α, β) содержится в точности
1
2(σβ − σα) различных корней уравнения (7).
В случае β = 0 приведенные выше квадратичные формы имеют вид
3∑
λ=1
3∑
j=1
(αSλ+j−2 − Sλ+j−1)xλxj , (8)
3∑
λ=1
3∑
j=1
(−Sλ+j−1) xλxj . (9)
Будем искать условия, при которых в интервале (−∞, 0) нет корней уравнения (7),
то есть σα = σβ при σα → −∞. Очевидно, что если хотя бы один Si < 0, то си-
стема (6) либо не имеет решений со всеми вещественными компонентами Hi, либо
имеет вещественное решение с хотя бы одной отрицательной компонентой Hi. Будем
предполагать, что все Si ≥ 0. Запишем матрицы A и B квадратичных форм (8) и (9)
при α → −∞:
A =
3α− S1 αS1 − S2 αS2 − S3
αS1 − S2 αS2 − S3 αS3 − S4
αS2 − S3 αS3 − S4 αS4 − S5
= −α
−3 −S1 −S2
−S1 −S2 −S3
−S2 −S3 −S4
+ o (1)
,
B =
−S1 −S2 −S3
−S2 −S3 −S4
−S3 −S4 −S5
,
55
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
где−α > 0. Таким образом, для исследования квадратичной формы (8) при α → −∞
можно рассматривать матрицу Ã =
−3 −S1 −S2
−S1 −S2 −S3
−S2 −S3 −S4
, и в невырожденном случае
сигнатуры σα, σβ определяются с помощью матриц Ã, B: σα = σA = σ
Ã
, σβ = σB.
Возможны следующие случаи.
1) H = 0 не является решением уравнения (7). Приведём квадратичную фор-
му (8) к каноническому виду методом Якоби: ∆1 = −3,
∆2 =
∣∣∣∣
−3 −S1
−S1 −S2
∣∣∣∣ = 3S2 − S2
1 = (H1 −H2)
2 + (H2 −H3)
2 + (H1 −H3)
2 ≥ 0.
∆2 = 0 ⇔ H1 = H2 = H3, и в этом случае Hi > 0 ∀ i = 1, 3.
∆3 =
∣∣∣∣∣∣
−3 −S1 −S2
−S1 −S2 −S3
−S2 −S3 −S4
∣∣∣∣∣∣
= S3
2 + S2
1S4 − 2S1S2S3 + 3S2
3 − 3S2S4 =
= −(H1 −H2)
2(H2 −H3)
2(H1 −H3)
2 ≤ 0.
а) ∆3 < 0. Квадратичная форма имеет вид 1
∆1
x2
1+
∆1
∆2
x2
2+
∆2
∆3
x2
3 = λ1x
2
1+λ2x
2
2+λ3x
2
3,
λi < 0∀i = 1, 3. Следовательно, σα = −3 и σβ = σα = −3.
Приведём к каноническому виду квадратичную форму (9): ∆′
1 = −S1 < 0;
∆′
2 =
∣∣∣∣
−S1 −S2
−S2 −S3
∣∣∣∣ = S1S3 − S2
2 ;
∆′
3 =
∣∣∣∣∣∣
−S1 −S2 −S3
−S2 −S3 −S4
−S3 −S4 −S5
∣∣∣∣∣∣
= S1S3S5 + S2S3S4 − S3
3 − S2
2S5 − S1S
2
4 .
Канонический вид квадратичной формы (9): 1
∆′1 x2
1 + ∆′1
∆′2 x2
2 + ∆′2
∆′3 x2
3 = µ1x
2
1 +
+ µ2x
2
2 + µ3x
2
3. σβ = −3, следовательно,
µ1 < 0;
µ2 < 0;
µ3 < 0;
⇔
1
∆′1 < 0;
∆′1
∆′2 < 0;
∆′2
∆′3 < 0;
⇔
∆′
1 < 0;
∆′
2 > 0;
∆′
3 < 0;
⇔
⇔
S1 > 0;
S1S3 − S2
2 > 0;
S1S3S5 + 2S2S3S4 − S2
2S5 − S1S
2
4 − S3
3 < 0.
Выразив S4 и S5 через S1, S2, S3, получаем
S4 =
1
2
S2
2 +
1
6
S4
1 +
4
3
S1S3 − S2
1S2,
S5 =
1
12
S5
1 +
5
6
S2S3 +
1
2
S1S4 +
1
6
S2
1S3 − 1
3
S3
1S2 − 1
4
S1S
2
2 ,
и третье условие принимает вид
−S9
1 + 6S3
2S3 − 9S1S
4
2 − 10S6
1S3 + 12S7
1S2 − 34S3
1S2
3 − 36S2
3 − 48S5
1S2
2 + 66S3
1S3
2+
+78S4
1S2S3 + 126S1S2S
2
3 − 150S2
1S2
2S3 < 0.
56
Стабилизация нелинейной системы с ограничением на управление
Кроме того, с учётом полученного выражения для S4,
∆3 =
1
6
(
S6
1 − 3S3
2 + 18S2
3 − 9S4
1S2 + 8S3
1S3 + 21S2
1S2
2 − 36S1S2S3
)
.
b) ∆3 = 0. Тогда ∃i 6= j
(
i = 1, 3, j = 1, 3
)
: Hi = Hj . Пусть для определённости
H3 = H2. Тогда получаем следующую систему уравнений
H1 + 2H2 = S1,
H2
1 + 2H2
2 = S2,
H3
1 + 2H3
2 = S3.
Из первых двух уравнений получаем:
H1 =
1
3
S1 ±
√
2
6
√
3S2 − S2
1 ,H2 =
1
3
S1 ∓
√
2
6
√
3S2 − S2
1 .
Найдём, при каких условиях найденные H1,H2 удовлетворяют третьему уравне-
нию системы.
Если H1 = 1
3S1 +
√
2
3
√
3S2 − S2
1 , H2 = 1
3S1 −
√
2
6
√
3S2 − S2
1 , то условие разреши-
мости имеет вид 4S3
1 −
√
2
(
3S2 − S2
1
) 3
2 − 18S1S2 +18S3 = 0. При этом H1 > 0; H2 < 0
при выполнении условия S2
1 < S2.
Если H1 = 1
3S1 −
√
2
3
√
3S2 − S2
1 , H2 = 1
3S1 +
√
2
6
√
3S2 − S2
1 , то условие разреши-
мости имеет вид 4S3
1 +
√
2
(
3S2 − S2
1
) 3
2 − 18S1S2 +18S3 = 0. При этом H2 > 0; H1 < 0
при выполнении условия S2
1 < 2S2.
2) Осталось рассмотреть случай, когда H = 0 является решением уравнения (7),
то есть Hi = 0 для некоторого i = 1, 2, 3. Очевидно, что уравнение (7) может иметь
только один нулевой корень, так как в противном случае нет отрицательных кор-
ней. Из того, что H1H2H3 = 1
3S3 + 1
6S3
1 − 1
2S1S2 следует условие существования
нулевых корней системы (6): S3
1 −3S1S2 +2S3 = 0 ⇔ ∃Hi = 0, i = 1, 3. Тогда условие
разрешимости системы имеет вид S3
1 − 3S1S2 + 2S3 = 0, а условие существования
отрицательных корней – S2
1 < S2.
Обобщая все найденные условия, получаем следующий результат: для существо-
вания отрицательных корней системы (6) необходимо и достаточно, чтобы выпол-
нялись условия разрешимости
1. S2 > 0,
2. S2
1 < 3S2;
и одно из следующих условий:
1. (S1 ≤ 0) ∪ (S3 ≤ 0) ,
2.
Si > 0, ∀i = 1, 3,
13 − 3S1S2 + 2S3 = 0,
S2
1 < S2;
57
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
3.
Si > 0, ∀i = 1, 3,
S3
1 − 3S1S2 + 2S3 6= 0,
S6
1 − 3S3
2 + 18S2
3 − 9S4
1S2 + 8S3
1S3 + 21S2
1S2
2 − 36S1S2S3 = 0,
4S3
1 −
√
2
(
3S2 − S2
1
) 3
2 − 18S1S2 + 18S3 = 0,
S2
1 < S2;
4.
Si > 0, ∀i = 1, 3,
S3
1 − 3S1S2 + 2S3 6= 0,
S6
1 − 3S3
2 + 18S2
3 − 9S4
1S2 + 8S3
1S3 + 21S2
1S2
2 − 36S1S2S3 = 0,
4S3
1 +
√
2
(
3S2 − S2
1
) 3
2 − 18S1S2 + 18S3 = 0,
S2
1 < 2S2;
5.
Si > 0, ∀i = 1, 3,
S3
1 − 3S1S2 + 2S3 6= 0,
S6
1 − 3S3
2 + 18S2
3 − 9S4
1S2 + 8S3
1S3 + 21S2
1S2
2 − 36S1S2S3 < 0,
S1S3 − S2
2 ≤ 0;
6.
Si > 0, ∀i = 1, 3,
S3
1 − 3S1S2 + 2S3 6= 0,
S6
1 − 3S3
2 + 18S2
3 − 9S4
1S2 + 8S3
1S3 + 21S2
1S2
2 − 36S1S2S3 < 0,
−S9
1 + 6S3
2S3 − 9S1S
4
2 − 10S6
1S3 + 12S7
1S2 − 34S3
1S2
3 − 36S2
3 − 48S5
1S2
2+
+66S3
1S3
2 + 78S4
1S2S3 + 126S1S2S
2
3 − 150S2
1S2
2S3 ≥ 0.
2. Cтабилизация системы с тремя критическими гамильтонианами. Рас-
смотрим систему уравнений Эйлера с управлением (см., напр. [5]):
ẋ1 = A2−A3
A1
x2x3 + u1,
ẋ2 = A3−A1
A2
x1x3 + u2,
ẋ3 = A1−A2
A3
x2x3 + u3,
(10)
где x = (x1, x2, x3) ∈ R3, u = (u1, u2, u3) ∈ Ω,
Ω = {u ∈ R3 : u = λ1v
(1) + λ2v
(2) + λ3v
(3), λi ≥ 0, λ1 + λ2 + λ3 ≤ 1}. (11)
Вопросам исследования задачи управляемости и стабилизации системы вида (10)
посвящено множество работ, в частности, в работах [6], [7] рассматривалась задача
стабилизации системы с одним управлением, в [8] – с двумя управлениями, в [9] – с
тремя.
В данной работе к исследованию системы (10) применяется теория критических
гамильтонианов. Вычислим гамильтониан и критические гамильтонианы (2) систе-
мы (10) при p = (A1x1, A2x2, A3x3):
h (p, x, u) = 〈p, f (x, u)〉 = A1x1u1 + A2x2u2 + A3x3u3. (12)
58
Стабилизация нелинейной системы с ограничением на управление
В силу того, что ограничивающее множество Ω имеет вид (11), критические
гамильтонианы для системы (10) можно записать следующим образом:
Hi = A1x1v
(i)
1 + A2x2v
(i)
2 + A3x3v
(i)
3 =
〈
x, e(i)
〉
. (13)
Здесь
(
v
(i)
1 , v
(i)
2 , v
(i)
3
)
– координаты i-й вершины множества Ω,
e(i) =
(
A1v
(i)
1 , A2v
(i)
2 , A3v
(i)
3
)
.
Утверждение 1. Пусть выполнены следующие условия:
1. векторы e(1), e(2), e(3) компланарны;
2.
〈
e(2), e(3)
〉 ≥ 0,
〈
e(1), e(2)
〉 ≤ 0,
〈
e(1), e(3)
〉 ≤ 0;
3. ∠
(
e(1), e(2)
)
+ ∠
(
e(1), e(3)
)
= ∠
(
e(2), e(3)
)
.
Тогда ∀x ∈ R3\ {0} ∃i = 1, 3 : Hi ≤ 0.
Доказательство. Для вектора x 6= 0 возможны следующие варианты располо-
жения:
1. ∠
(
x, e(2)
)− ∠
(
x, e(3)
)
= −∠
(
e(2), e(3)
)
,
〈
x, e(2)
〉
> 0,
〈
x, e(3)
〉
< 0;
2. ∠
(
x, e(1)
)− ∠
(
x, e(3)
)
= −∠
(
e(1), e(3)
)
,
〈
x, e(1)
〉
> 0,
〈
x, e(3)
〉
< 0;
3. ∠
(
x, e(1)
)− ∠
(
x, e(2)
)
= −∠
(
e(1), e(2)
)
,
〈
x, e(1)
〉
> 0,
〈
x, e(2)
〉
< 0;
4. ∠
(
x, e(3)
)− ∠
(
x, e(2)
)
= −∠
(
e(2), e(3)
)
,
〈
x, e(2)
〉
< 0,
〈
x, e(3)
〉
> 0;
5. ∠
(
x, e(3)
)− ∠
(
x, e(1)
)
= −∠
(
e(1), e(3)
)
,
〈
x, e(1)
〉
< 0,
〈
x, e(3)
〉
> 0;
6. ∠
(
x, e(2)
)− ∠
(
x, e(1)
)
= −∠
(
e(1), e(2)
)
,
〈
x, e(1)
〉
< 0,
〈
x, e(2)
〉
< 0.
Рассмотрим эти случаи.
1)∠
(
x, e(2)
)
+
(
π − ∠
(
x, e(3)
))
= π − ∠
(
e(2), e(3)
)
и
〈
x, e(2)
〉
> 0,
〈
x, e(3)
〉
< 0.
Тогда
cos
(
∠
(
x, e(2)
)
− ∠
(
x, e(3)
))
= cos
(
∠
(
e(2), e(3)
))
=
〈
e(2), e(3)
〉
∣∣e(2)
∣∣ ∣∣e(3)
∣∣
и, по условию утверждения, cos
(
∠
(
x, e(2)
)− ∠
(
x, e(3)
)) ≤ 0. Отсюда
cos
(
∠
(
x, e(2)
))
· cos
(
∠
(
x, e(3)
))
+ sin
(
∠
(
x, e(2)
))
· sin
(
∠
(
x, e(3)
))
≤ 0.
Но sin
(
∠
(
x, e(2)
)) · sin (
∠
(
x, e(3)
))
> 0, значит
cos
(
∠
(
x, e(2)
))
· cos
(
∠
(
x, e(3)
))
≤ 0,
59
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
или 〈x,e(2)〉·〈x,e(3)〉
|x|4|e(2)|2|e(3)|2 ≤ 0 ⇔ 〈
x, e(2)
〉 · 〈x, e(3)
〉 ≤ 0⇔H2 · H3 ≤ 0. Таким образом, либо
H2 ≤ 0, либо H3 ≤ 0. Следовательно, ∃Hi ≤ 0 . Аналогичным образом рассматрива-
ются случаи 2) – 6). ¤
Замечание. Условие 1) в утверждении опустить нельзя, так как в противном
случае определитель системы (12) отличен от нуля, и, по правилу Крамера, для
любого набора Hi найдётся решение x ∈ R3. В частности, если все Hi > 0, i = 1, 3,
то найдётся ненулевое решение x ∈ R3.
3. Достаточные условия стабилизируемости твёрдого тела с ограниче-
нием на управление. Найдём функцию u = u (x) ∈ Ω такую, что решение x = 0
системы (10) с u = u (x) асимптотически устойчиво по Ляпунову. Определим следу-
ющие множества:
M1 =
{
x ∈ R3\ {0} : H1 (x) ≤ 0
}
,
M2 =
{
x ∈ R3\ {0} : (H1 (x) > 0) ∩ (H2 (x) ≤ 0)
}
,
M3 =
{
x ∈ R3\ {0} : (H1 (x) > 0) ∩ (H2 (x) > 0)
}
.
Заметим, что если выполняются условия утверждения 1, то
3⋃
i=1
Mi = R3\ {0},
Mi ∩Mj = ∅, и если x ∈ M3, то H3 (x) ≤ 0. Справедливо следующее утверждение.
Утверждение 2. Пусть выполнены условия утверждения 1, все A1, A2, A3
различны, и пусть функция u (x) : R3 → Ω, имеет вид:
u =
−g (x) cos
(
∠
(
x, e(1)
))
v(1), x ∈ M1;
−g (x) cos
(
∠
(
x, e(1)
))
cos
(
∠
(
x, e(2)
))
v(2), x ∈ M2;
−g (x) cos
(
∠
(
x, e(1)
))
cos
(
∠
(
x, e(2)
))
cos
(
∠
(
x, e(3)
))
v(3), x ∈ M3;
0, x = 0,
(14)
где g (x) : R3 → R – функция, удовлетворяющая следующим условиям:
1. g ∈ C0
(
R3
) ∩ C1
(
R3\{0});
2. 0 ≤ g (x) ≤ 1, ∀x ∈ R3;
3. g (x) = 0 ⇔ x = 0.
Тогда нулевое решение системы (10) асимптотически устойчиво.
Доказательство. Покажем, что для системы (10) с управлением вида (14) суще-
ствует определенно-положительная функция V ∈ C1(R3), удовлетворяющая усло-
виям:
1. V (x) →∞ при ‖x‖ → ∞;
2. V̇ (x) ≤ 0;
3. множество M =
{
x : V̇ (x) = 0
}
не содержит целых полутраекторий, кроме
x = 0.
60
Стабилизация нелинейной системы с ограничением на управление
Тогда, по теореме Барбашина-Красовского [10], следует, что нулевое решение систе-
мы (10) асимптотически устойчиво. В качестве V (x) возьмём определенно-положи-
тельную функцию
V (x) =
1
2
(
A1x
2
1 + A2x
2
2 + A3x
2
3
)
.
Тогда производная этой функции в силу системы (10) имеет вид
V̇ =
d
dt
V (x (t)) =
3∑
j=1
∂v
∂xj
· dxj
dt
= (∇V (x) , f (x)) =
3∑
i=1
Aixiui. (15)
Очевидно, что V (x) удовлетворяет условию 1). Докажем, что она удовлетворяет
также и условиям 2) – 3).
2) Проверим, что V̇ (x) ≤ 0.
Сравнивая (12) и (15) видим, что
V̇ (x) ≤ 0 ⇔ h (x, p, u) ≤ 0 ⇔ λ1H1 + λ2H2 + λ3H3 ≤ 0.
Функции λi(x) (i = 1, 2, 3) получаем из представления функции (13) в виде
u (x) = λ1 (x) v(1) + λ2 (x) v(2) + λ3 (x) v(3), т.е.
λ1 (x) =
{
−g (x) cos
(
∠
(
x, e(1)
))
, если x ∈ M1;
0, если x /∈ M1;
λ2 (x) =
{
−g (x) cos
(
∠
(
x, e(1)
))
cos
(
∠
(
x, e(2)
))
, если x ∈ M2;
0, если x /∈ M2;
λ3 (x) =
{
−g (x) cos
(
∠
(
x, e(1)
))
cos
(
∠
(
x, e(2)
))
cos
(
∠
(
x, e(3)
))
, если x ∈ M3;
0, если x /∈ M3.
Заметим, что 0 < λi ≤ 1 (i = 1, 2, 3), u (x) – непрерывно дифференцируема,
u (x) ∈ Ω.
Таким образом,
V̇ (x) =
−g(x)
|x||e(1)|
(
x, e(1)
)2
, если x ∈ M1;
−g(x)
|x|2|e(1)||e(2)|
(
x, e(1)
) (
x, e(2)
)2
, если x ∈ M2;
−g(x)
|x|3|e(1)||e(2)||e(3)|
(
x, e(1)
) (
x, e(2)
) (
x, e(3)
)2
, если x ∈ M3;
0, если x = 0.
Следовательно, V̇ (x) ≤ 0 ∀x ∈ R3 и условие 2) выполнено.
3) Проверим, что множество M =
{
x : V̇ (x) = 0
}
не содержит целых полутра-
екторий, кроме x = 0. Предположим противное: пусть
∃x̃ ∈ M, x̃ 6= 0 : x (t, x̃) ∈ M,∀t ≥ 0. (16)
61
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
Пусть для определённости x̃ ∈ M1. Тогда V̇ (x) = −g(x)
|x||e(1)|
(
x, e(1)
)2 и, так как x 6= 0,
то
(
x, e(1)
) ≡ 0, ∀t. Заметим, что в этом случае u (x) ≡ 0. Дважды дифференцируя
тождество
(
x, e(1)
) ≡ 0, получим
(
ẋ, e(1)
)
=
(
f, e(1)
)
= 0 и
(
ẍ, e(1)
)
=
(
∂f
∂xf, e(1)
)
= 0.
Таким образом, имеем следующую систему уравнений:
A1v
(1)
1 x1 + A2v
(1)
2 x2 + A3v
(1)
3 x3 = 0, (17)
v
(1)
1 (A2 −A3) x2x3 + v
(1)
2 (A3 −A1) x1x3 + v
(1)
3 (A1 −A2) x1x2 = 0, (18)
(A2 −A3) v
(1)
1 x1
(
A1 −A2
A3
x2
2 +
A3 −A1
A2
x2
3
)
+ (A3 −A1) v
(1)
2 x2
(
A2 −A3
A1
x2
3+ (19)
+
A1 −A2
A3
x2
1
)
+ (A1 −A2) v
(1)
3 x3
(
A2 −A3
A1
x2
2 +
A3 −A1
A2
x2
1
)
= 0.
Согласно свойству (16), система (17)–(19) должна быть разрешима относительно x,
и кроме того, все компоненты вектора x отличны от нуля (так как если есть хотя бы
одна нулевая координата xi, то x = 0 в силу системы (17)–(19)). Из уравнения (19)
получаем:
(A2 −A3) v
(1)
1 x1
(
A3 −A1
A2
x2
3 +
A1 −A2
A3
x2
2
)
+ (A3 −A1) (A1 −A2) x2
1
(
v
(1)
2 x2
A3
+
+
v
(1)
3 x3
A2
)
+ x2x3
A2 −A3
A1
(
(A1 −A2) v
(1)
3 x2 + (A3 −A1) v
(1)
2 x3
)
= 0.
Из (18) вытекает:
x2x3 = −
x1
(
(A3 −A1) v
(1)
2 x3 + (A1 −A2) v
(1)
3 x2
)
(A2 −A3) v
(1)
1
,
(A2 −A3) v
(1)
1 x1
(
A3 −A1
A2
x2
3 +
A1 −A2
A3
x2
2
)
+ (A3 −A1) (A1 −A2) x2
1×
×
(
v
(1)
2 x2
A3
+
v
(1)
3 x3
A2
)
−
x1
(
(A3 −A1) v
(1)
2 x3 + (A1 −A2) v
(1)
3 x2
)2
A1v
(1)
1
= 0.
Используя уравнение (17), получим такие соотношения:
x1 = −A2v
(1)
2 x2 + A3v
(1)
3 x3
A1v
(1)
1
,
62
Стабилизация нелинейной системы с ограничением на управление
(A2 −A3) v
(1)
1
(
A3 −A1
A2
x2
3 +
A1 −A2
A3
x2
2
)
− A2v
(1)
2 x2 + A3v
(1)
3 x3
A1v
(1)
1
(A3 −A1) (A1 −A2)×
×
(
v
(1)
2 x2
A3
+
v
(1)
3 x3
A2
)
−
(
(A3 −A1) v
(1)
2 x3 + (A1 −A2) v
(1)
3 x2
)2
A1v
(1)
1
= 0,
(
(A3 −A1) (A1 −A2) A2
3v
(1)2
3 −A2A3(A3 −A1)
2v
(1)2
2 +
+ (A2 −A3) (A3 −A1) A1A3v
(1)2
1
)
x2
3 +
(
(A3 −A1) (A1 −A2) A2
2v
(1)2
2 −
−A2A3(A1 −A2)
2v
(1)2
3 + (A2 −A3) (A1 −A2) A1A2v
(1)2
1
)
x2
2+
+4 (A3 −A1) (A1 −A2) A2A3v
(1)
2 v
(1)
3 x2x3 = 0.
Сделаем следующие замены:
a1 = − (A3 −A1) (A1 −A2) A2
3v
(1)2
3 −A2A3(A3 −A1)
2v
(1)2
2 +
+(A2 −A3) (A3 −A1) A1A3v
(1)2
1 ,
c1 = − (A3 −A1) (A1 −A2) A2
2v
(1)2
2 −A2A3(A1 −A2)
2v
(1)2
3 +
+(A2 −A3) (A1 −A2) A1A2v
(1)2
1 ,
b1 = −4 (A3 −A1) (A1 −A2) A2A3v
(1)
2 v
(1)
3 , τ =
x3
x2
.
Тогда получаем квадратное уравнение:
a1τ
2 − b1τ + c1 = 0. (20)
С другой стороны, аналогичным образом из (18) и (19) получаем
a2τ
2 − b2τ + c2 = 0, (21)
где
a2 = A3 (A3 −A1) v
(1)
2 v
(1)
3 , c2 = A2 (A1 −A2) v
(1)
2 v
(1)
3 ,
b2 = A1 (A2 −A3) v
(1)2
1 −A2 (A3 −A1) v
(1)2
2 −A3 (A1 −A2) v
(1)2
3 .
Следовательно, система (17)–(19) разрешима тогда и только тогда, когда урав-
нения (20) и (21) имеют хотя бы один общий корень, а это, в свою очередь, эк-
вивалентно условию 4a2
1a
2
2D1D2 =
(
a2
2D1 + a2
1D2 − (a2b1 − a1b2)
2
)2
. Таким образом,
при
4a2
1a
2
2D1D2 6=
(
a2
2D1 + a2
1D2 − (a2b1 − a1b2)
2
)2
система (17)–(19) неразрешима относительно x, а это приводит к противоречию с
условием (16). Аналогично доказывается, что M не содержит целых траекторий
63
В.В. Грушковская, А.Л. Зуев
при x ∈ M1 и x ∈ M2. Следовательно, условие 3) доказано. Таким образом, все
условия теоремы Барбашина-Красовского выполнены и нулевое решение системы
(10) асимптотически устойчиво. ¤
Заключение. В результате исследования задачи стабилизации положения рав-
новесия системы уравнений Эйлера (10) с управлением построена функция обрат-
ной связи (13), значения которой принадлежат множеству в виде треугольника (11),
при этом нулевое решение системы асимптотически устойчиво по Ляпунову. Даль-
нейший интерес представляет исследование задачи стабилизации с более общими
ограничениями на вектор управления, а также рассмотрение дополнительных кине-
матических уравнений, определяющих ориентацию твёрдого тела.
Работа частично поддержана грантом НАН Украины для молодых ученых.
1. Jakubczyk B., Zuyev A. Stabilizability conditions in terms of critical Hamiltonians and symbols //
Systems and Control Letters. – 2005. – Vol.54. – P.597-606.
2. Jakubczyk B. Critical Hamiltonians and Feedback Invariants // Geometry of Feedback and Optimal
Control: (B. Jakubczyk, W. Respondek eds.) – New York: Marcel Dekker, 1998. – P.219-256.
3. Jakubczyk B. Symmetries of nonlinear control systems and their symbols // Geometric control and
non-holonomic mechanics: (V. Jurdjevic et al. eds.) – Providence, RI: AMS, 1998. – P.183-198.
4. Artstein Z. Stabilization with relaxed controls // Nonlinear Analysis, Theory, Methods and Applica-
tions. – 1983. – Vol.7. – No.11. – P.1163-1173.
5. Perron O. Algebra. II: Theorie der algebraischen Gleichungen. – Berlin: W. de Gruyter & Co., 1933.
– 261c.
6. Аграчёв А.А., Сачков Ю. Л. Геометрическая теория управления. – М.: Физматлит, 2005. – 392с.
7. Ковалёв А.М., Исса Салем Абдалла Стабилизация равномерных вращений твёрдого тела вокруг
главной оси // Прикладная механика. – 1992. – Т.28 (38). – №9. – С.73-79.
8. Воротников В.И. Устойчивость динамических систем по отношению к части переменных. –
М.: Наука, 1991. – 288с.
9. Зубов В.И. Лекции по теории управления. – М.: Наука, 1975. – 496с.
10. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. – М.: Наука, 1970. – 240с.
Донецкий национальный ун-т
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
v_grushkovskaya@mail.ru
Получено 29.10.09
64
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|