Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала
Решена задача определения напряженного состояния упруго-пластической изотропной оболочки произвольной кривизны с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала. Получена система сингулярных интегральных уравнений, которая решена численно методом механических квадратур. Исследовано влияние упро...
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автори: | , , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123899 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала / Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 65-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123899 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1238992017-09-14T03:02:51Z Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала Довбня, Е.Н. Яртемик, В.В. Гурьева, И.В. Решена задача определения напряженного состояния упруго-пластической изотропной оболочки произвольной кривизны с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала. Получена система сингулярных интегральных уравнений, которая решена численно методом механических квадратур. Исследовано влияние упрочнения материала на основные характеристики напряженного состояния. 2009 Article Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала / Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 65-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123899 539.3 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Решена задача определения напряженного состояния упруго-пластической изотропной оболочки произвольной кривизны с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала. Получена система сингулярных интегральных уравнений, которая решена численно методом механических квадратур. Исследовано влияние упрочнения материала на основные характеристики напряженного состояния. |
| format |
Article |
| author |
Довбня, Е.Н. Яртемик, В.В. Гурьева, И.В. |
| spellingShingle |
Довбня, Е.Н. Яртемик, В.В. Гурьева, И.В. Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Довбня, Е.Н. Яртемик, В.В. Гурьева, И.В. |
| author_sort |
Довбня, Е.Н. |
| title |
Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала |
| title_short |
Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала |
| title_full |
Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала |
| title_fullStr |
Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала |
| title_full_unstemmed |
Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала |
| title_sort |
напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123899 |
| citation_txt |
Напряженное состояние упруго-пластической изотропной оболочки с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала / Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 65-71. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT dovbnâen naprâžennoesostoânieuprugoplastičeskojizotropnojoboločkispoverhnostnojtreŝinojsučetomupročneniâmateriala AT ârtemikvv naprâžennoesostoânieuprugoplastičeskojizotropnojoboločkispoverhnostnojtreŝinojsučetomupročneniâmateriala AT gurʹevaiv naprâžennoesostoânieuprugoplastičeskojizotropnojoboločkispoverhnostnojtreŝinojsučetomupročneniâmateriala |
| first_indexed |
2025-07-09T00:29:24Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:29:24Z |
| _version_ |
1837127145274474496 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 539.3
c©2009. Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ УПРУГО-ПЛАСТИЧЕСКОЙ
ИЗОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ С ПОВЕРХНОСТНОЙ ТРЕЩИНОЙ
С УЧЕТОМ УПРОЧНЕНИЯ МАТЕРИАЛА
Решена задача определения напряженного состояния упруго-пластической изотропной оболочки
произвольной кривизны с поверхностной трещиной с учетом упрочнения материала. Получена
система сингулярных интегральных уравнений, которая решена численно методом механических
квадратур. Исследовано влияние упрочнения материала на основные характеристики напряжен-
ного состояния.
Введение. Упруго-пластическая изотропная оболочка с трещиной рассмотрена
в работах [5, 6]. При этом использовалась модель Леонова-Панасюка-Дагдейла (δc-
модель) и предполагалось, что распределение напряжений равномерно по всей длине
зоны пластичности и равно пределу текучести для квазихрупкого материала.
Однако в ряде случаев материал в зоне пластичности может быть деформирован
за предел пластичности, что характерно для упрочняющихся материалов [2, 3, 8, 9].
Современные прикладные проблемы механики деформационного упрочнения мате-
риалов рассмотрены в статье [1].
В работе [6] исследована задача о напряженном состоянии пологой изотропной
цилиндрической и сферической оболочек со сквозной трещиной, для решения кото-
рой использовалась δc-модель, обобщенная на материалы с упрочнением [4]. Ниже
рассмотрена аналогичная задача для изотропной оболочки произвольной гауссовой
кривизны с поверхностной трещиной.
Постановка задачи. Рассмотрим пологую изотропную оболочку произволь-
ной кривизны постоянной толщины h, на внешней стороне которой расположена
поверхностная трещина длиной 2l0 вдоль одной из линий главных кривизн. Глубина
трещины d, d1 = h− d (рис.1).
Рис. 1. Поверхностная трещина
Размеры трещины велики по сравнению с толщиной оболочки, но малы по срав-
нению с другими её линейными размерами, что позволяет рассматривать задачу о
65
Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева
равновесии тонкой оболочки с помощью двумерной теории оболочек. В рамках этой
теории трещины моделируются как математические разрезы срединной поверхно-
сти.
Оболочка отнесена к системе ортогональных координат (x, y, z), выбранной та-
ким образом, что координаты x и y ориентированы вдоль линий главных кривизн
срединной поверхности, а координата z направлена по нормали к ней. Будем счи-
тать, что оболочка и берега трещины нагружены симметричными относительно ли-
нии трещины усилиями и моментами. В процессе деформации оболочки берега тре-
щины не контактируют между собой.
Размеры трещины, уровень внешней нагрузки и свойства материала считаем
такими, что в окрестности трещины по всей глубине узкой полосой развиваются
пластические деформации. Далее, в соответствии с δc-моделью, зоны пластических
деформаций моделируем линиями разрыва упругих перемещений и углов поворота
на продолжении контура трещины, а реакцию материала пластической зоны счита-
ем распределенной по линейному закону [4, 6]:
T (s) = Pb(s),M(s) = Hb(s),
b(s) = (1−m∗)
|s| − τ∗
2(1− τ∗)
+
m∗
2
,
где m∗ = σB
σ
′
τ
, σB – граница прочности материала, s – координата вдоль которой
расположена трещина. P и H – неизвестные постоянные, удовлетворяющие усло-
вию пластичности Треска:
P
hστ
+
6|H|
h2στ
= 1,
или пластического шарнира:
(
P
hστ
)2
+
2|H|
h2στ
= 1.
Также считаем, что на продолжении трещины в глубину, то есть в области
x ∈ (−l0; l0), γ ∈ [−h
2 ; h
2 − d
]
действуют постоянные напряжения σ
′
τ = σB+στ
2 .
Таким образом, в рамках δc-модели вместо трещины длиной 2l0 вводится но-
вая фиктивная трещина неизвестной длины 2l, где l = l0 + lp, на берегах которой
выполняются условия:
T2(ls) =
T (ls)− T ∗2 (ls), τ∗ ≤ |s| ≤ 1
T l − T ∗2 (ls), |s| ≤ τ∗
M2(ls) =
M(ls)−M∗
2 (ls), τ∗ ≤ |s| ≤ 1
M l −M∗
2 (ls), |s| ≤ τ∗,
66
Напряженное состояние оболочки с трещиной с учетом упрочнения материала
где величинами со звездочкой обозначены компоненты общего напряженного состо-
яния, T ∗2 (ls) и M∗
2 (ls) – усилие и момент на линии трещины в оболочке без трещины,
lp – длина пластической зоны, τ∗ = l0
l .
T l и M l – усилие и момент, являющиеся реакцией материала на разрыв внутрен-
них связей под трещиной. Согласно нашим предположениям о напряжениях в этих
зонах, они определяются по формулам:
T l =
d1−h
2∫
−h
2
σ
′
τdz = σ
′
τd1, M l =
d1−h
2∫
−h
2
σ
′
τzdz = −σ
′
τ
2
d1(h− d1).
Построение системы сингулярных интегральных уравнений. В работе
[7] построена система сингулярных интегральных уравнений (СИУ) для решения
упругой задачи о напряженном состоянии оболочки произвольной кривизны с тре-
щиной:
1∫
−1
K11(x− t)ψ1(t)dt +
1∫
−1
K13(x− t)ψ3(t)dt = −π(T2(x)− T ∗2 )
1∫
−1
K31(x− t)ψ1(t)dt +
1∫
−1
K33(x− t)ψ3(t)dt = −πc2R2(M2(x)−M∗
2 ).
(1)
Ядра системы (1) приведены в работе [7].
ψ1 =
Eh
4l
d[v]
dt
, ψ3 =
D(1− v)(3 + v)
4l
R2c
2 d[θ2]
dt
.
Поскольку в нашей задаче правые части системы – разрывные функции, чис-
ленное решение с помощью метода механических квадратур или любого другого
приближенного метода затруднительно. Представим неизвестные функции в виде:
ψ1(t) = g1(t) + h1(t) = g1(t) + Phn(t)− T lhs(t),
ψ3(t) = g3(t) + h3(t) = g3(t) + c2R2Hhn(t)− c2R2M
lhs(t),
где h1(t), h3(t) – решения уравнений:
1∫
−1
hi(t)
t− x
dt = πfi(x), fi(x) =
{ −ai + b(x), τ∗ ≤ |s| ≤ 1
−ai, |s| ≤ τ∗ , i = 1, 3. (2)
Константы a1 и a3 определяются из условий существования решений уравне-
ний (2) по формулам:
a1 =
P
T ∗2
a
′
+
T l
T ∗2
2
π
arcsin(τ∗),
(3)
a3 =
c2R2H
T ∗2
a
′
+
c2R2M
l
T ∗2
2
π
arcsin(τ∗),
67
Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева
где
a
′
=
1−m∗
π(1− τ∗)
√
1− (τ∗)2 +
m∗ + 1− 2τ∗
π(1− τ∗)
arccos(τ∗).
Формулы (3) – трансцендентные уравнения, которые можно решить относитель-
но τ∗ численными методами при конкретных значениях a.
Решение уравнений (2) соответствует изотропной пластине с поверхностной тре-
щиной с учетом упрочнения материала и имеет вид:
ψ1(t) =
(
−T l
π
+
P
π
m∗ + 1− 2τ∗
2(1− τ∗)
)
ln
∣∣∣∣∣
τ∗ − t
τ∗ + t
· 1 + tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)
1− tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)
∣∣∣∣∣+
+
Pt
π
m∗ − 1
2(1− τ∗)
ln
∣∣∣∣∣
(1 + tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2))(1− tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2))
(τ∗ − t)(τ∗ + t)
∣∣∣∣∣
ψ3(t) =
(
−M l
π
+
H
π
m∗ + 1− 2τ∗
2(1− τ∗)
)
ln
∣∣∣∣∣
τ∗ − t
τ∗ + t
· 1 + tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)
1− tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)
∣∣∣∣∣+
+
Ht
π
m∗ − 1
2(1− τ∗)
ln
∣∣∣∣∣
(1 + tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2))(1− tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2))
(τ∗ − t)(τ∗ + t)
∣∣∣∣∣ .
Перепишем систему (1) относительно искомых функций ψ1(t) и ψ1(t), разделив
оба её уравнения на T ∗2 (учитывая то, что M∗
2 = 0 по постановке задачи). Итак,
теперь ψ1(t), ψ3(t) и константы a1, a3 будут иметь вид:
ψ1(t) = g1(t) + thn(t)− tlhs(t), ψ3(t) = g3(t) + mhn(t)−mlhs(t),
a1 = ta
′
+ tl
2
π
arcsin(τ∗), a3 = ma
′
+ ml 2
π
arcsin(τ∗),
где t = P
T ∗2
, tl = T l
T ∗2
, m = c2R2H
T ∗2
, ml = c2R2M l
T ∗2
hs(t) =
1
π
ln
∣∣∣∣∣
τ∗ − t
τ∗ + t
· 1 + tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)
1− tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)
∣∣∣∣∣
hn(t) =
m∗ + 1− 2τ∗
2(1− τ∗)
hs(t) +
t
π
m∗ − 1
2(1− τ∗)ln
ln
∣∣∣∣∣
(1− (tτ∗ +
√
(1− (τ∗)2)(1− t2)))2
(τ∗ − t)(τ∗ + t)
∣∣∣∣∣ .
Получим систему СИУ (4) с непрерывными правыми частями относительно неиз-
вестных t, m, g1(t), g3(t), которую будем сводить к системе линейных алгебраических
уравнений методом механических квадратур относительно значений неизвестных
функций в определенных точках (узлах интерполяционного полинома). Решив её
и построив интерполяционный полином, мы сможем найти значение подынтеграль-
ных функций в любых точках промежутка интегрирования, включая и вершины
68
Напряженное состояние оболочки с трещиной с учетом упрочнения материала
трещины.
1∫
−1
K11(x− t)g1(t)dt + t
[
1∫
−1
Kr
11(x− t)hn(t)dt + πa
′
]
+
+
1∫
−1
K13(x− t)g3(t)dt + m
1∫
−1
K13(x− t)hn(t)dt =
= π + tl
[
1∫
−1
Kr
11(x− t)hs(t)dt− 2 arcsin(τ∗)
]
+ ml
1∫
−1
K13(x− t)hs(t)dt
1∫
−1
K31(x− t)g1(t)dt + t
1∫
−1
K31(x− t)hn(t)dt+
+
1∫
−1
K33(x− t)g3(t)dt + m
[
1∫
−1
Kr
33(x− t)hn(t)dt + πa
′
]
=
= tl
1∫
−1
K31(x− t)hs(t)dt + ml
[
1∫
−1
Kr
33(x− t)hs(t)dt− 2 arcsin(τ∗)
]
.
(4)
Численное решение системы СИУ. Каждое уравнение СИУ (4) методом
механических квадратур сводится к системе n + 1 уравнения, каждое из которых
соответствует значению интегрального уравнения в точках xm = cos
(
π(2m−1)
2(n+1)
)
,
m = 1, n + 1 (внешние узлы), yk = cos
(
kπ
n+1
)
, k = 1, n (внутренние узлы).
Схематически представим матрицу полученной системы следующим образом:
A(x1, y1)..A(x1, yn) B(x1) C(x1, y1)..C(x1, yn) D(x1) P (x1)
...
...
...
...
...
A(xn+1, y1)..A(xn+1, yn) B(xn+1) C(xn+1, y1)..C(xn+1, yn) D(xn+1) P (xn+1)
E(x1, y1)..E(x1, yn) F (x1) G(x1, y1)..G(x1, yn) H(x1) R(x1)
...
...
...
...
...
E(xn+1, y1)..E(xn+1, yn) F (xn+1) G(xn+1, y1)..G(xn+1, yn) H(xn+1) R(xn+1)
где
A(xm, yk) =
1
n + 1
K11(xm − yk)(1− y2
k),
B(xm) =
1
n + 1
n∑
k=1
Kr
11(xm − yk)h(yk)
√
1− y2
k + a
′
,
C(xm, yk) =
1
n + 1
K13(xm − yk)(1− y2
k),
D(xm) =
1
n + 1
n∑
k=1
K13(xm − yk)h(yk)
√
1− y2
k,
E(xm, yk) =
1
n + 1
K31(xm − yk)(1− y2
k),
69
Е.Н. Довбня, В.В. Яртемик, И.В. Гурьева
F (xm) =
1
n + 1
n∑
k=1
K31(xm − yk)h(yk)
√
1− y2
k,
G(xm, yk) =
1
n + 1
K33(xm − yk)(1− y2
k),
H(xm) =
1
n + 1
n∑
k=1
Kr
33(xm − yk)h(yk)
√
1− y2
k + a
′
,
P (xm) = 1 + tl
[
1
n + 1
n∑
k=1
Kr
11(xm − yk)hs(yk)
√
1− y2
k −
2
π
arcsin(τ∗)
]
+
+
ml
n + 1
n∑
k=1
K13(xm − yk)hs(yk)
√
1− y2
k
R(xm) =
tl
n + 1
n∑
k=1
K31(xm − yk)hs(yk)
√
1− y2
k+
+ml
[
1
n + 1
n∑
k=1
Kr
33(xm − yk)hs(yk)
√
1− y2
k −
2
π
arcsin(τ∗)
]
.
Система совместна и не вырождена, для её решения можно применить метод
Гаусса.
Решаем систему СИУ методом последовательных приближений. В качестве ну-
левого приближения выбираем значение τ∗, соответствующее аналогичной задаче
для тонкой пластины. Если погрешность при проверке условия пластичности пре-
вышает требуемую точность (ε = 10−5), уточняем значение τ∗, решаем задачу в
новом приближении.
Результаты численных исследований. На рисунке 2 изображена зависи-
мость размера зоны пластичности τ∗ = l0
l от относительного уровня внешней нагруз-
ки n0 = σ0
στ
для цилиндрической оболочки с поверхностной трещиной при различных
значениях параметра m∗ = 1; 1, 5; 2, характеризующего упрочнение материала, при
этом l0
R2
= 0, 2, d1
h = 0, 1. Заметим, что если в выражение для b(x) подставить зна-
чение m∗ = 1, получим случай идеально упруго-пластического материала.
На рисунке 3 изображена зависимость параметра τ∗ от кривизны оболочки λ,
при этом l0
R2
= 0, 05, d1
h = 0, 1, n0 = 0, 3 для различных значений m∗ = 1; 1, 5; 2.
На рисунке 4 изображена зависимость τ∗ от d1
h для цилиндрической оболочки
при l0
R2
= 0, 05, n0 = 0, 6 при различных значениях m∗ = 1; 1, 5; 2.
Исследовано влияние уровня внешней нагрузки, глубины трещины и кривизны
оболочки на размер пластической зоны для идеально упруго-пластического (m∗ = 1)
и упрочняющегося (m∗ = 1, 5; 2) материалов. Как видим, вследствие упрочнения
материала, длина пластической зоны уменьшается.
70
Напряженное состояние оболочки с трещиной с учетом упрочнения материала
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
m*=1,5
m*=1
m*=2
Рис. 2. Зависимость τ∗ от n0
0,76
0,77
0,78
0,79
0,8
0,81
0,82
0,83
-1 -0,5 0 0,5 1
m*=2
m*=1,5
m*=1
Рис. 3. Зависимость τ∗ от λ
0,3
0,35
0,4
0,45
0,5
0,55
0,6
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5
m*=2
m*=1,5
m*=1
Рис. 4. Зависимость τ∗ от d1
h
1. Бастун В.Н. Прикладные проблемы механики процессов деформационного упрочнения кон-
струкционных металлических материалов // Прикладная механика. – 2005. – Т.41. – №10. –
С.12-51.
2. Данилов В.Л. К формулировке закона деформационного упрочнения // Известия АН СССР,
Механика твердого тела. – 1971. – №6. – С.146-150.
3. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Украинский мате-
матический журнал. – 1954. – 6, №3. – С.314-317.
4. Каминский А.А. Исследование роста усталостных трещин в материалах с упрочнением // При-
кладная механика. – 1984. – 20, №4. – С.54-60.
5. Корохiна О.А. Напружено-деформований стан пружно-пластичної оболонки з трiщиною : дис.
на здоб. наук. ступ. канд. фiз.-мат. наук : 01.02.04 / Наук. кер. К.М.Довбня. – Донецьк : ДонНУ,
2005. – С.133-158.
6. Кушнiр Р.М. Пружний та пружно-пластичний граничний стан оболонок з дефектами //
Львiв : НАНУ, Iнститут прикладних проблем механiки i математики iм. Я.С.Пiдстригача. Вид-
во "Сполом". – 2003. – 320с.
7. Шевченко В.П. Ортотропные оболочки с трещинами (разрезами) // Механика композитов : в
12т. – Т.7. – К.: А.С.К., 1998. – С.212-249.
8. Golub V.P. An approach to constructing a rheological model of a strain-hardening medium //
Int. Appl. Mech. – 2004. – 40, №7. – P.776-784.
9. Khan A. On the evolution of isotropic and kinematic hardening with finite plastic deformation. Part
1 // Int. О. Plasticity. – 1999. 15. – P.1265-1275.
Донецкий национальный ун-т
gurieva.irina@gmail.com
Получено 30.10.09
71
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|