Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса
Найдены оценки снизу наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается прямой круговой конус с радиусом основания r и высотой h, где h >= r....
Збережено в:
| Дата: | 2009 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123902 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса / Л.В. Елец // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 90-93. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123902 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239022017-09-14T03:03:03Z Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса Елец, Л.В. Найдены оценки снизу наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается прямой круговой конус с радиусом основания r и высотой h, где h >= r. 2009 Article Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса / Л.В. Елец // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 90-93. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123902 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Найдены оценки снизу наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является множеством Помпейю. В качестве множества рассматривается прямой круговой конус с радиусом основания r и высотой h, где h >= r. |
| format |
Article |
| author |
Елец, Л.В. |
| spellingShingle |
Елец, Л.В. Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Елец, Л.В. |
| author_sort |
Елец, Л.В. |
| title |
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса |
| title_short |
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса |
| title_full |
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса |
| title_fullStr |
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса |
| title_full_unstemmed |
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса |
| title_sort |
оценка снизу экстремального радиуса помпейю для прямого кругового конуса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123902 |
| citation_txt |
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса / Л.В. Елец // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 90-93. — Бібліогр.: 12 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT eleclv ocenkasnizuékstremalʹnogoradiusapompejûdlâprâmogokrugovogokonusa |
| first_indexed |
2025-07-09T00:29:51Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:29:51Z |
| _version_ |
1837127169316225024 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 517.5
c©2009. Л.В. Елец
ОЦЕНКА СНИЗУ ЭКСТРЕМАЛЬНОГО РАДИУСА
ПОМПЕЙЮ ДЛЯ ПРЯМОГО КРУГОВОГО КОНУСА
Найдены оценки снизу наименьшего радиуса шара, в котором данное множество является мно-
жеством Помпейю. В качестве множества рассматривается прямой круговой конус с радиусом
основания r и высотой h, где h ≥ r.
Введение и формулировка основного результата. Пусть Rn – веществен-
ное евклидово пространство размерности n > 2 с евклидовой нормой | · |, M(n) –
группа движений Rn, Mot(A,B) = {λ ∈ M(n) : λA ⊂ B}, BR = {x ∈ Rn : |x| < R}.
Компактное множество A ⊂ Rn называется множеством Помпейю в B (будем обо-
значать это A ∈ Pomp(B)), если всякая локально суммируемая функция f : B → C,
для которой ∫
λA
f(x) dx = 0 ∀λ ∈ Mot(A,B), (1)
равна нулю почти всюду в B. Классическая проблема Помпейю об описании класса
Pomp(Rn) изучалась во многих работах, см. обзор [1] и [2] с обширной библиографи-
ей. Из результата Вильямса [3] следует, что если граница множества липшицева, но
не вещественно-аналитическая, то A ∈ Pomp(Rn). В.В.Волчковым было доказано,
что если некоторое множество A ∈ Pomp(Rn), то A ∈ Pomp(BR) при достаточно
большом R. В связи с этим в [6] поставлена следующая
Проблема. Для данного множества A найти
R(A) = inf{R > 0: A ∈ Pomp(BR)}.
Первые результаты, содержащие оценки сверху для величины R(A), получены
К.А.Беренстейном и Р.Гэем, см. [4]. Достаточно полная история данного вопроса
содержится в [3], [4].
В данной работе получены оценки снизу величины R(A) для множества
A =
{
(x, y, z) ∈ R3 : 0 6 z 6 h
(
1− 1
r
√
x2 + y2
)} (2)
– прямого кругового конуса с радиусом основания r и высотой h, где h ≥ r.
Всюду в дальнейшем полагается, что n = 3 и множество A имеет вид (2). Рас-
смотрим классы функций P(A,B) – множество функций из Lloc(B), удовлетворяю-
щих (1); Pn(A,B) = P(A,B) ∩ Cn(B) (n = 1, 2, . . . ,∞).
Основным результатом работы является
Теорема. Пусть h ≥ r, тогда R(A) ≥ (5h2 + r2)/(8h).
90
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса
Геометрические конструкции и вспомогательные утверждения.Для ком-
пактного множества K обозначим r∗(K) = inf{R > 0 : λK ⊂ BR, λ ∈ M(n)} –
наименьший из радиусов шаров, содержащий K. Тогда
r∗(A) =
{
(h2 + r2)/(2h), h > r,
r, h ≥ r.
(3)
Обозначим образующие конуса в соответствии с рис.1 и B̄R = {x ∈ R3 : |x| ≤ R}.
Пусть Max∗(R, r, h) и Min∗(R, r, h) – соответственно наибольшее и наименьшее рас-
стояние от центра шара B̄R до объекта ∗ (вершины B, образующей AB, или основа-
ния ) конуса λA при всех возможных движениях λ ∈ Mot(A, B̄R). Для определения
величин заметим, что экстремальные расстояния достигаются при расположении
треугольника ABC в наибольшем сечении шара, то есть в круге, содержащем центр
шара. Поэтому далее будут рассматриваться положения треугольника ABC в круге
радиуса R.
На рис.1 a) мы видим ближайшее расстояние от вершины B до центра шара. Дви-
гая прямую AC в плоскости ABC или в плоскостях, параллельных основанию кону-
са, можно только увеличить расстояние от вершины B до центра шара. Остальные
же движения конуса в шаре получаются путем совмещения указанных выше и пово-
ротов, которые не дают новых результатов. Таким образом, рис. 1 a) действительно
изображает MinB(R, r, h). Очевидно, этот рисунок показывает и Maxbase(R, r, h).
Рис.1 b) изображает MaxAB(R, r, h). Наибольшим расстоянием от AB до центра
шара будет случай, когда вершины A и B лежат на сфере радиуса R. В этом слу-
чае, для удобства вычислений расстояния. мы всегда можем расположить конус в
наибольшем сечении шара.
a) b)
Рис. 1. Дальнее положение основания и образующей конуса
Решив геометрические задачи по нахождению упомянутых выше расстояний для
соответствующих экстремальных положений λA в B̄R, изображенных на рис.1, при-
ходим к следующим результатам:
Maxbase(R, r, h) =
√
R2 − r2, Minbase(R, r, h) = h−R,
MaxB(R, r, h) = R, MinB(R, r, h) = h−
√
R2 − r2,
MaxAB(R, r, h) =
√
R2 − h2 + r2
4
.
91
Л.В. Елец
Обозначим r̃(R, r, h) – наименьший радиус шарового слоя, в котором находится
основание и вершина B конуса λA при всех λ ∈ Mot(A, B̄R). Тогда
r̃(R, r, h) = min{Minbase(R, r, h),MinB(R, r, h)} = h−R.
Для доказательства основного результата нам понадобится
Лемма. Пусть 0 < r̃ < R, функция f ∈ C∞(Rn) : f 6= 0 в Br̃,∞, радиальная и
имеет нулевые интегралы по всем прямым, расстояние d от которых до центра
шара BR, d < r̃. Тогда для любого конуса λA ⊂ BR, где λ ∈ Mot(A, B̄R), вершина
B и основание которого лежат в шаровом слое Br̃,R, а прямолинейные отрезки
имеют непустое пересечение с шаром Br̃, интеграл
∫
λA
f(x)dx = 0 ∀λ ∈ Mot(A,BR).
Доказательство. Доказательство этой леммы в точности повторяет доказатель-
ство Леммы 4 (см. [12]). ¤
Доказательство основного результата.
Доказательство. Покажем сначала, что при R < (5h2 + r2)/(8h) фигура λA
удовлетворяет условию леммы. Максимальное расстояние образующих конуса до
центра шара BR не должно превышать r̃, а его основание и вершина B должны
находиться в шаровом слое Br̃,R. Эти условия обеспечивает система уравнений
MaxAB(R, r, h) < r̃,
r̃ > 0,
h ≥ r
(4)
или, что то же самое,
√
R2 − h2+r2
4 < h−R,
h−R > 0,
h ≥ r.
(5)
Решив данную систему, получаем R < (5h2 + r2)/(8h) при любых h ∈ (−∞, +∞) и
r ∈ (−∞, +∞) Так как конус λA (λ ∈ Mot(A, B̄R)) удовлетворяет условиям леммы,
верно следующее ∫
λA
f(x)dx = 0 ∀λ ∈ Mot(A,BR).
Таким образом, при R < (5h2+r2)/(8h) функция f(x), удовлетворяющая услови-
ям леммы, является примером ненулевой функции из класса Pn(A,B). Итак, имеем
оценку снизу для R(A) ≥ (5h2 + r2)/(8h) при h ≥ r. ¤
1. Zalcman L. A bibliographic survey of Pompeiu problem // Approximation dy solutions of partial
differential equations / ed. B. Fuglede et al., 1992. – P.185-194.
92
Оценка снизу экстремального радиуса Помпейю для прямого кругового конуса
2. Zalcman L. Supplementary bibliography to ’A bibliographic survey of Pompeiu problem’ in Radon
Transforms and Tomography // Comtemp. Math. – 2001. – V.278. – P.69-74.
3. Williams S.A. A partial solution of the Pompeiu problem // Math. Ann. 1976. – V.223. – P.183-190.
4. Berenstein C.A., Gay R. Le problem de Pompeiu locate // J. Anal. Math. – 1989. – V.52. – P.133-166.
5. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations // Kluwer Academic Publishers
DordRecht/Boston/London 2003, 454p.
6. Volchkov V.V., Volchkov V.V. Harmonic Analysis of Mean Periodic Functions on Symmetric Spaces
and the Heisenberg Group, // Springer Monographs in Mathematics
Springer-Velgrad London 2009, 671p.
7. Волчков В.В. О функциях с нулевыми интегралами по кубам // Укр. мат. ж. – 1991. – Т.43 –
C.859-863.
8. Машаров П.А. Экстремальные задачи о множествах с локальным свойством Помпейю // До-
повiдi НАН України. – 2001. – №7. – C.25-29.
9. Машаров П.А. Решение локального варианта проблемы Помпейю для треугольника Рело //
Вiстник Днiпропетровського унiверситету. Математика. – 2001. – Вып.6. – C.72-81.
10. Машаров П.А. Про цилiндри з локальною властивiстю Помпейю // Вiстник Донецького нацiо-
нального унiверситету. Серiя А. Природничi науки. – 2000. – №1. – C.21-25.
11. Елец Л.В., Машаров П.А. Об одной экстремальной задаче о множествах Помпейю // Укр. мат.
ж. – 2009. – Т.61. – C.61-72.
12. Елец Л.В. Оценка снизу радиуса Помпейю для прямого кругового конуса // Вiстник Днiпро-
петровського унiверситету. Математика. – 2009. – Вып.14. – C.73-79.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
lyusi@list.ru
Получено 15.10.09
93
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|