О величинах, связанных с кратно монотонными функциями

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Заставный, В.П.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123903
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями / В.П. Заставный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 94-100. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123903
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1239032017-09-14T03:03:05Z О величинах, связанных с кратно монотонными функциями Заставный, В.П. 2009 Article О величинах, связанных с кратно монотонными функциями / В.П. Заставный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 94-100. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123903 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
format	Article
author	Заставный, В.П.
spellingShingle	Заставный, В.П. О величинах, связанных с кратно монотонными функциями Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Заставный, В.П.
author_sort	Заставный, В.П.
title	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями
title_short	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями
title_full	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями
title_fullStr	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями
title_full_unstemmed	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями
title_sort	о величинах, связанных с кратно монотонными функциями
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123903
citation_txt	О величинах, связанных с кратно монотонными функциями / В.П. Заставный // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 94-100. — Бібліогр.: 5 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT zastavnyjvp oveličinahsvâzannyhskratnomonotonnymifunkciâmi
first_indexed	2025-07-09T00:29:59Z
last_indexed	2025-07-09T00:29:59Z
_version_	1837127176295546880
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19 УДК 517.5 c©2009. В.П. Заставный О ВЕЛИЧИНАХ, СВЯЗАННЫХ С КРАТНО МОНОТОННЫМИ ФУНКЦИЯМИ Для кратно монотонной функции h ∈ Mm+1, m ∈ N, с условиями 0 < h(+0) ≤ 1 и h(+∞) = 0 определяется величина γm(ρ, h), ρ ≥ 1, как точная верхняя грань тех γ ∈ R, для которых функция 1−(1+γx)h(x) xρ ∈ Mm. В работе указанная величина вычисляется для функций e−t, (1+t)−µ и (1−t)µ +. 1. Определения и формулировка основных результатов. Определение 1. Функция h называется m-кратно монотонной, m ∈ N, если h ∈ Cm−1(0, +∞) и функция (−1)m−1h(m−1) – неотрицательна, убывает, выпукла вниз на (0, +∞), и существует конечный предел h(+∞) ≥ 0. Класс таких функций обозначим через Mm. Для функции h ∈ Mm+1, m ∈ N, с условиями 0 < h(+0) ≤ 1 и h(+∞) = 0 определим величину γm(ρ, h), ρ ≥ 1, как точную верхнюю грань тех γ ∈ R, для которых функция λρ,γ(x) ∈ Mm, где λρ,γ(x) = 1− (1 + γx)h(x) xρ = 1− h(x) xρ − γ h(x) xρ−1 . (1) Замечание 1. Из леммы 1 вытекает, что для любой функции h ∈ Mm+1, m ∈ N, с условиями 0 < h(+0) ≤ 1 и h(+∞) = 0, при любом ρ ≥ 1 выполняется неравенство 0 ≤ γm(ρ, h) < +∞. Теорема 1. Пусть h(t) = e−t и m ∈ N. Тогда γm(1, h) = 1 m+2 , γm(ρ, h) = 1 при ρ ≥ 2. Если 1 < ρ < 2, то 0 < γ̃m+1(ρ) ≤ γm(ρ, h) < 1, где γ̃n(ρ) = min { fk,n(ρ) k(ρ− 1) , k = 1, . . . , n + 1 } , n ∈ N , fk,n(ρ) = Γ(ρ + n)Γ(n− k + 2) Γ(ρ + n− k)Γ(n + 1) − (n− k + 1) , 1 ≤ k ≤ n + 1 . (2) Теорема 2. Пусть hµ(t) = (1 + t)−µ, µ ≥ 1 и m ∈ N. Тогда γm(ρ, hµ) = µ при ρ ≥ 2, γm(1, hµ) = µ+m+1 m+2 , γm(ρ, h1) = 1 при ρ ≥ 1. Если 1 ≤ ρ < 2, µ > 1, то γm(ρ, hµ) < µ. Теорема 3. Пусть Hµ(t) = (1− t)µ +, µ ≥ m+1, m ∈ N. Тогда γm(1, Hµ) = µ−m−1 m+2 и γm(ρ,Hµ) = µ при ρ ≥ 2. Если 1 ≤ ρ < 2, то γm(ρ, Hµ) < µ. 2. Свойства функций из Mm. Теорема 4. Пусть m ∈ N. Тогда следующие три условия эквивалентны. Работа выполнена при поддержке ДФФД, проект Ф25.1/055 94 Кратно монотонные функции 1. h ∈ Cm−1(0, +∞) и функции (−1)kh(k), k = 0, 1, . . . ,m − 1, неотрицательны, убывают и выпуклы вниз на (0, +∞). 2. Функция h ∈ Mm. 3. Существует неотрицательная борелевская мера µ на [0, +∞), для которой величина µ([0, a]) конечна для всех a > 0 и h(x) = ∫ +∞ 0 (1− xs)m + dµ(s) , x > 0 . (3) Из представления (3) следует, что h(+∞) = µ({0}) и h(+0) = µ([0, +∞)). Форму- лу (3) для кратно монотонных функций в 1940г. получил Schoenberg. Доказатель- ство теоремы 4 можно найти в работе Williamson [1] (см. также работу Lévy [2]). Из теоремы 4, вытекает, что Mm+1 ⊂ Mm. Отметим следующие два свойства (см. [1]): 1) Если f, g ∈ Mm, то и fg ∈ Mm. 2) Если f ∈ Mm, то lim x→+∞xkf (k)(x) = 0 при k = 1, . . . ,m (у выпуклой функции во всех точках существуют односторонние производные, которые совпадают почти всюду). Введем следующие функции ϕm(x) := (m + 1) ∫ 1 0 (1− xs)m + ds , x ≥ 0 , m ∈ N . Из теоремы 4 вытекает, что ϕm ∈ Mm. Очевидно ϕm ∈ Cm−1[0, +∞) и ϕm(x) = 1− (1− x)m+1 + x , x > 0 ; ϕ(k−1) m (x) = (−1)k−1(k − 1)! xk , x > 1, k ∈ N. (4) Поэтому для любой неотрицательной конечной борелевской меры µ на [0,+∞) f(x) := ∫ +∞ 0 ϕm(xs)s dµ(s) ∈ Mm . (5) Следствие 1. Если h ∈ Mm+1 при некотором m ∈ N и существует конечный предел h(+0) ≤ 1, то λ(x) = 1−h(x) x ∈ Mk при всех k = 1, . . . , m. Доказательство. Для функции h имеет место представление (3) (с заменой m на m+1). В нашем случае мера µ из этого представления конечна и h(+0) = µ([0, +∞)). Учитывая (5), получаем, что λ(x) = 1− h(+0) x + h(+0)− h(x) x = 1− h(+0) x + ∫ +∞ 0 ϕm(xs)s dµ(s) ∈ Mm . Осталось учесть, что Mm ⊂ Mk при всех k = 1, . . . , m. Замечание 2. Очевидно f ∈ M := ⋂ m∈NMm ⇐⇒ f ∈ C∞(0, +∞) и неравен- ство f (k)(x) ≥ 0 выполняется для всех k ∈ Z+ и x > 0. Такие функции называют- ся вполне монотонными на (0,+∞). Теорема Бернштейна-Хаусдорфа-Уиддера [3, 4, 5] утверждает, что функция f вполне монотонна на (0, +∞) (f ∈ M) ⇐⇒ 95 В.П. Заставный f(x) = ∫ +∞ 0 e−xt dµ(t), x > 0, где µ неотрицательная борелевская мера на [0, +∞) та- кая, что интеграл сходится для всех x > 0. Из следствия 1 вытекает, что λ(x) = 1−h(x) x ∈ M для любой функции h ∈ M с условием h(+0) ≤ 1. 3. Общие свойства величины γm(ρ, h) и функции λρ,γ(x). Лемма 1. Если при некотором m ∈ N функция h ∈ Mm+1, 0 < h(+0) ≤ 1 и h(+∞) = 0, то справедливы следующие утверждения: 1. Если при некоторых ρ ≥ 1, γ ∈ R функция (−1)m−1λ (m−1) ρ,γ (x) выпукла вниз на (0,+∞), то (−1)m−1λ (m−1) ρ,γ (x) неотрицательна и убывает к нулю на (0,+∞) и, значит, функция λρ,γ(x) ∈ Mm. 2. Если ρ ≥ 1, то 0 ≤ γm(ρ, h) < +∞. 3. Если ρ ≥ 1, то (−1)m−1λ (m−1) ρ,γ (x) выпукла вниз на (0, +∞) ⇐⇒ λρ,γ(x) ∈ Mm ⇐⇒ γ ≤ γm(ρ, h). 4. Функция γm(ρ, h) возрастает по ρ ∈ [1,+∞). 5. Если дополнительно h ∈ Mm+2, то γm+1(ρ, h) ≤ γm(ρ, h) при ρ ≥ 1. Доказательство. Из следствия 1 вытекает, что обе функции 1−h(x) x и h(x) при- надлежат классу Mm. Так как x−ε ∈ Mm при всех ε ≥ 0, то обе функции f(x) = 1−h(x) xρ и g(x) = h(x) xρ−1 принадлежат классу Mm при всех ρ ≥ 1. Отсюда следует, что γm(ρ, h) ≥ 0. Из свойств функций из Mm вытекает, что f (k)(+∞) = 0 и g(k)(+∞) = 0 при всех k = 1, . . . , m, а если h(+∞) = 0, то и при k = 0. Поэтому λ (m−1) ρ,γ (+∞) = 0 при любых ρ ≥ 1 и γ ∈ R. Отсюда следует утверждение 1. Равенство γm(ρ, h) = +∞ не возможно, ибо в противном случае функция h(x) xρ−1 будет одновременно выпуклой вниз и вверх на (0,+∞), что противоречит условиям h(+∞) = 0 и h(+0) > 0. Утвер- ждение 3 вытекает из первого. Утверждение 4 вытекает из того, что произведение двух функций из Mm также является функцией из Mm. Утверждение 5 вытекает из вложений Mm+2 ⊂ Mm+1 ⊂ Mm. Лемма 1 доказана. Лемма 2. Пусть m ∈ N и h ∈ Mm+1 ⋂ Cm+1(0, +∞), 0 < h(+0) ≤ 1, h(+∞) = 0. Тогда справедливы следующие утверждения: 1. Функция λρ,γ(x) = 1−(1+γx)h(x) xρ ∈ Mm ⇐⇒ (−1)m+1λ (m+1) ρ,γ (x) ≥ 0 для всех x > 0. 2. Если ρ ≥ 1, то γm(ρ, h) = infx>0 ( 1−h(x) xρ )(m+1) ( h(x) xρ−1 )(m+1) , где точная нижняя грань вы- числяется по всем x > 0, для которых знаменатель отличен от нуля. 3. Если дополнительно h ∈ C1[0, +∞), h(0) = 1, то γm(ρ, h) ≤ −h′(0), ρ ≥ 1. 4. Если дополнительно h ∈ Cm+2[0,+∞), h(0) = 1, то справедливо неравенство (−1)m+1h(m+1)(0) > 0 и 96 Кратно монотонные функции γm(1, h) = inf x>0 { − ∫ x 0 tm+1h(m+2)(t) dt xm+2h(m+1)(x) } ≤ − 1 m + 2 · h(m+2)(0) h(m+1)(0) , (6) где точная нижняя грань вычисляется по всем x > 0, для которых знамена- тель отличен от нуля. 5. Если дополнительно h ∈ Cm+2[0, +∞), h(0) = 1 и h′′(0) < 2(h′(0))2, то при 1 ≤ ρ < 2 выполняется неравенство γm(ρ, h) < −h′(0). Доказательство. Утверждение 1 вытекает из леммы 1. Утверждение 2 вытека- ет из первого, следует только учесть, что при ρ ≥ 1 выпуклыми вниз на (0, +∞) являются обе функции (−1)m−1 ( 1−h(x) xρ )(m−1) и (−1)m−1 ( h(x) xρ−1 )(m−1) . Докажем утверждения 3 и 4. Очевидно при 0 ≤ n ≤ m+1 справедливо равенство λ(n) ρ,γ(x) = n∑ k=0 Ck n (1− (1 + γx)h(x))(k) (−1)n−kΓ(ρ + n− k) Γ(ρ) x−ρ−n+k . Если 1 ≤ n ≤ m + 1, то после не сложных преобразований получаем Γ(ρ)xρ+n(−1)nλ(n) ρ,γ(x) = (1− h(x))Γ(ρ + n)− γΓ(ρ)xn+1(−1)nh(n)(x)− − n∑ k=1 Γ(ρ + n− k)Ck nxk ( (−1)kh(k)(x) + γk(ρ− 1) n− k + 1 (−1)k−1h(k−1)(x) ) . (7) Если λρ,γ(x) ∈ Mm, то выражение (7) должно быть неотрицательным при всех 1 ≤ n ≤ m + 1 и x > 0. Если дополнительно h ∈ C1[0, +∞), h(0) = 1, то из (7) при n = 1 вытекает неравенство (ρ − 1)(h′(0) + γ) ≤ 0. Поэтому при ρ > 1 должно выполняться неравенство γm(1, h) ≤ γm(ρ, h) ≤ −h′(0). Утверждение 3 доказано. Докажем утверждение 4. Пусть h ∈ Cm+2[0, +∞), h(0) = 1. Тогда при 0 ≤ n ≤ m + 1 справедливо равенство 1 = h(0) = n∑ k=0 xk(−1)kh(k)(x) k! + 1 n! ∫ x 0 tn(−1)n+1h(n+1)(t) dt , x > 0 . (8) Из последнего равенства находим выражение для (1−h(x)) и подставляем его в (7). Тогда при 1 ≤ n ≤ m + 1 будет выполняться равенство Γ(ρ)xρ+n(−1)nλ(n) ρ,γ(x) = Γ(ρ + n) n! ∫ x 0 tn(−1)n+1h(n+1)(t) dt− γΓ(ρ)xn+1(−1)nh(n)(x)+ n∑ k=1 Γ(ρ + n− k)Ck nxk n− k + 1 ( (−1)kh(k)(x)fk,n(ρ)− γk(ρ− 1)(−1)k−1h(k−1)(x) ) , (9) где fk,n(ρ) = Γ(ρ+n)Γ(n−k+2) Γ(ρ+n−k)Γ(n+1) − (n − k + 1). При 1 ≤ n ≤ m + 1 и ρ = 1 получаются равенства xn+1(−1)nλ (n) 1,γ(x) = ∫ x 0 tn(−1)n+1h(n+1)(t) dt− γxn+1(−1)nh(n)(x) . (10) 97 В.П. Заставный Отсюда вытекает, что при 1 ≤ n ≤ m + 1 и x > 0 справедливы равенства ( 1− h(x) x )(n) = − 1 xn+1 ∫ x 0 tnh(n+1)(t) dt . (11) Из последнего равенства при n = m + 1 и утверждения 2 вытекает справедливость равенства в (6). Неравенство в (6) очевидно, следует только учесть, что из (3) выте- кает неравенство (−1)m+1h(m+1)(0) > 0 (в противном случае h(x) ≡ const на (0, +∞), что противоречит условию h(+∞) < h(+0)). Утверждение 4 доказано. Докажем утверждение 5. Пусть h ∈ Cm+2[0, +∞), h(0) = 1 и γ = −h′(0). Из равенства (9) вытекает, что при 2 ≤ n ≤ m + 1 и x → +0 справедливо соотношение Γ(ρ)xρ+n(−1)nλ(n) ρ,γ(x) = (ρ− 1)(2− ρ) 2 Γ(ρ + n− 2)(h′′(0)− 2(h′(0))2)x2 + o(x2). Если h′′(0) − 2(h′(0))2 < 0, то при 1 < ρ < 2 при достаточно малых положитель- ных x будет выполняться неравенство (−1)m+1λ (m+1) ρ,γ (x) < 0 и, значит, γm(1, h) ≤ γm(ρ, h) < −h′(0). Лемма 2 доказана. 4. Доказательство теоремы 1. Из равенства (9) вытекает, что при всех ρ ≥ 1, γ ∈ R, n ∈ N и x > 0 выполняются соотношения Γ(ρ)xρ+n(−1)nλ(n) ρ,γ(x) = Γ(ρ + n) n! ∫ x 0 tne−t dt− γΓ(ρ)xn+1e−x+ e−x n∑ k=1 Γ(ρ + n− k)Ck nxk n− k + 1 (fk,n(ρ)− γk(ρ− 1)) > ( Γ(ρ + n) (n + 1)! − γΓ(ρ) ) xn+1e−x+ e−x n∑ k=1 Γ(ρ + n− k)Ck nxk n− k + 1 (fk,n(ρ)− γk(ρ− 1)) . (12) Если взять ρ = 1 и γ = 1 m+2 , то (−1)m+1λ (m+1) 1,γ (x) > 0 при x > 0. Поэтому γm(1, h) ≥ 1 m+2 . Противоположное неравенство вытекает из (6). Если в (12) взять ρ = 2 и γ = 1, то (−1)nλ (n) 2,1 (x) > 0 при всех x > 0, n ∈ N. По- этому при любых m ∈ N и ρ ≥ 2 выполняются неравенства 1 ≤ γm(2, h) ≤ γm(ρ, h) ≤ −h′(0) = 1 и, значит, γm(ρ, h) = 1 при всех ρ ≥ 2. Если при ρ > 1 в (12) взять γ = γ̃n(ρ) (см. (2)), то (−1)nλ (n) ρ,γ(x) > 0 при всех x > 0. Здесь мы учли, что при k = n + 1 справедливо равенство fk,n(ρ) k(ρ−1) = Γ(ρ+n) (n+1)! Γ(ρ) . Поэтому γ̃m+1(ρ) ≤ γm(ρ, h) при всех m ∈ N и ρ > 1. Так как при фиксированном 1 ≤ k ≤ n функция Γ(ρ+n) Γ(ρ+n−k) = ∏k j=1(ρ + n − j) строго возрастает по ρ > 0, то fk,n(ρ) > fk,n(1) = 0 при всех ρ > 1 и 1 ≤ k ≤ n. Поэтому γ̃n(ρ) > 0 всех ρ > 1 и n ∈ N. Неравенство γm(ρ, h) < 1 при 1 < ρ < 2 вытекает из леммы 2. Теорема 1 доказана. Следствие 2. Если h ∈ M и h(+0) ≤ 1, то λ(x) = 1−h(x)+xh′(x) x2 ∈ M . 98 Кратно монотонные функции Доказательство. Из теоремы 1 вытекает, что функция ϕ(x) = 1−(1+x)e−x x2 яв- ляется вполне монотонной на (0, +∞). Очевидно ϕ ∈ C∞(0, +∞) и при любом k ∈ Z+ функция ϕ(n)(s)sn+2 непрерывна и ограничена на (0, +∞) (см. равенство (12) при ρ = 2). Поэтому для любой неотрицательной конечной борелевской меры µ на [0, +∞) f(x) := ∫ (0,+∞) ϕ(xs)s2 dµ(s) ∈ M . (13) Если h ∈ M , h(+0) ≤ 1, то по теореме Бернштейна-Хаусдорфа-Уиддера h(x) = ∫ +∞ 0 e−xs dµ(s), x > 0, где µ неотрицательная борелевская мера на [0, +∞) такая, что интеграл сходится для всех x > 0. В нашем случае мера µ из этого представления конечна (т.к. h(+0) = µ([0,+∞))) и h(+0)− h(x) = ∫ [0,+∞) (1− e−xs) dµ(s) = ∫ (0,+∞) (1− e−xs) dµ(s) , x > 0 . Учитывая (13), получаем, что λ(x) = 1− h(+0) x2 + h(+0)− h(x) + xh′(x) x2 = 1− h(+0) x2 + ∫ (0,+∞) ϕ(xs)s2 dµ(s) ∈ M . Следствие 2 доказано. 5. Доказательство теоремы 2. К функции h(x) = (1+x)−µ+1, µ ≥ 1 применя- ем следствие 2. Тогда 1−h(x)+xh′(x) x2 = 1−(1+µx)hµ(x) x2 ∈ M . Поэтому при любых m ∈ N и ρ ≥ 2 выполняются неравенства µ ≤ γm(2, hµ) ≤ γm(ρ, hµ) ≤ −h′µ(0) = µ и, значит, γm(ρ, hµ) = µ при всех ρ ≥ 2. Пусть λρ,γ,µ(x) = 1−(1+γx)hµ(x) xρ и ψρ,γ,µ(x) = Γ(ρ)xρ+n(−1)nλ (n) ρ,γ,µ(x). Если взять ρ = 1 и γ = µ+n n+1 , то из равенства (10) вытекает, что ψ ′ 1,γ,µ(x) = xn+1(−1)n h (n) µ (x) (µ+n)(µ−1) n(1+x) ≥ 0 при x ≥ 0. Поэтому ψ1,γ,µ(x) ≥ ψ1,γ,µ(+0) = 0 при x > 0. Таким образом, если n ∈ N, µ ≥ 1 и γ = µ+n n+1 , то при всех x > 0 выполняется неравенство (−1)nλ (n) 1,γ,µ(x) ≥ 0 (если µ > 1, то (−1)nλ (n) 1,γ,µ(x) > 0 при x > 0). Поэтому µ + m + 1 m + 2 ≤ γm(1, hµ) ≤ − 1 m + 2 · h(m+2)(0) h(m+1)(0) = µ + m + 1 m + 2 . Если µ = 1 и ρ ≥ 1, то 1 = γm(1, h1) ≤ γm(ρ, h1) ≤ −h′1(0) = 1. Неравенство γm(ρ, hµ) < µ при 1 ≤ ρ < 2, µ > 1 вытекает из леммы 2. Теорема 2 доказана. 6. Доказательство теоремы 3.Пусть ρ ≥ 1, µ ≥ m+1 и λρ,γ,µ(x) = 1−(1+γx)Hµ(x) xρ . Очевидно Hµ ∈ Mm+1. Учитывая лемму 1 и то, что функция (−1)m−1λ (m) ρ,γ,µ(x) непре- рывна (0, +∞) и возрастает на [1, +∞), получаем, что следующие пять условий эк- вивалентны: 99 В.П. Заставный 1) γ ≤ γm(ρ, Hµ). 2) λρ,γ,µ(x) ∈ Mm. 3) Функция (−1)m−1λ (m−1) ρ,γ,µ (x) выпукла вниз на (0, +∞). 4)Функция (−1)m−1λ (m) ρ,γ,µ(x) возрастает на (0, +∞). 5) (−1)m+1λ (m+1) ρ,γ,µ (x) ≥ 0 при x ∈ (0, 1). Так как h = Hµ ∈ C∞[0, 1) и Hµ(0) = 1, то равенства (7)–(10) справедливы при любых n ∈ N и x ∈ (0, 1). Докажем, что если ρ = 1, n ∈ N, µ ≥ n, то (−1)nλ (n) 1,γ,µ(x) ≥ 0∀x ∈ (0, 1) ⇐⇒ γ ≤ − H (n+1) µ (0) (n + 1)H(n) µ (0) = µ− n n + 1 . (14) Необходимость в (14) вытекает из равенства (10), т.к. (−1)nλ (n) 1,γ,µ(+0) = (−1)n+1H (n+1) µ (0) (n + 1) − γ(−1)nH(n) µ (0) . Достаточность в (14) надо доказать только для γ = µ−n n+1 . Для указанного γ поло- жим ψ(x) = xn+1(−1)nλ (n) 1,γ,µ(x). Из равенства (10) вытекает, что при всех x ∈ (0, 1) выполняется неравенство ψ′(x) = xn+1(1− x)µ−n−1 (µ− n)Γ(µ + 2) (n + 1)Γ(µ− n + 1) ≥ 0 . Поэтому ψ(x) ≥ ψ(+0) = 0 при x ∈ (0, 1) (если µ > n, то ψ(x) > 0 при всех x ∈ (0, 1)). Равенство γm(1,Hµ) = µ−m−1 m+2 вытекает из (14) при n = m + 1. Докажем, что γm(ρ, Hµ) = µ при ρ ≥ 2. Из равенства (7) при n = 1, которое справедливо при x ∈ (0, 1), вытекает неравенство γm(ρ,Hµ) ≤ −H ′ µ(0) при ρ ≥ 1 (см. доказательство утверждения 3 в лемме 2). Поэтому γm(2,Hµ) ≤ γm(ρ,Hµ) ≤ µ при ρ ≥ 2. Неравенство γm(2,Hµ) ≥ µ вытекает из очевидного равенства 1− (1 + µt)(1− t)µ + t2 = µ(µ + 1) ∫ 1 0 s(1− st)µ−1 + ds ∈ Mm . (15) Здесь мы воспользовались условием µ ≥ m + 1. Неравенство γm(ρ, hµ) < µ при 1 ≤ ρ < 2 доказывается точно так же, как и утверждение 5 в лемме 2. Теорема 3 доказана. 1. F.R.E. Williamson Multiply monotone functions and their Laplace transforms, Duke Math. J., 23 (1956), 189-207. 2. F.P. Lévy Extensions d’un théoréme de D.Dugué et M. Girault, Zeitschrift für Wahrscheinlichkeits- theorie und verwandte Gebiete, 1 (1962), 159–173. 3. S.N. Bernstein Sur les fonctions absolument monotones, Acta Math., 52 (1929), №1. – P.1-66. 4. F. Hausdorff Summationsmethoden und Momentfolgen. II, Math. Zeitschrift, 9 (1921), №1. – P.280- 299. 5. D.V. Widder Necessary and sufficient conditions for the representation of a function as a Laplace integral, Trans. Amer. Math. Soc., 33 (1931), №4. – P.851-892. Донецкий национальный ун-т zastavn@rambler.ru Получено 04.09.09 100 титул Научное издание Том 19 содержание Том 19 Донецк, 2009 Основан в 1997г.

О величинах, связанных с кратно монотонными функциями

Репозитарії

Схожі ресурси