Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина

Указан новый случай существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела, которые допускают первые интегралы и инвариантные соотношения класса Чаплыгина [1]....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2009
Автор:	Мазнев, А.В.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123910
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 155-161. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123910
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1239102017-09-14T03:03:08Z Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина Мазнев, А.В. Указан новый случай существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела, которые допускают первые интегралы и инвариантные соотношения класса Чаплыгина [1]. 2009 Article Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 155-161. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123910 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Указан новый случай существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела, которые допускают первые интегралы и инвариантные соотношения класса Чаплыгина [1].
format	Article
author	Мазнев, А.В.
spellingShingle	Мазнев, А.В. Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Мазнев, А.В.
author_sort	Мазнев, А.В.
title	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина
title_short	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина
title_full	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина
title_fullStr	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина
title_full_unstemmed	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина
title_sort	об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса чаплыгина
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123910
citation_txt	Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина / А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 155-161. — Бібліогр.: 8 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT maznevav obodnomslučaesuŝestvovaniâintegriruûŝegomnožitelâuravnenijdinamikitverdogotelanainvariantnyhsootnošeniâhklassačaplygina
first_indexed	2025-07-09T00:30:55Z
last_indexed	2025-07-09T00:30:55Z
_version_	1837127231136071680
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19 УДК 531.38 c©2009. А.В. Мазнев ОБ ОДНОМ СЛУЧАЕ СУЩЕСТВОВАНИЯ ИНТЕГРИРУЮЩЕГО МНОЖИТЕЛЯ УРАВНЕНИЙ ДИНАМИКИ ТВЕРДОГО ТЕЛА НА ИНВАРИАНТНЫХ СООТНОШЕНИЯХ КЛАССА ЧАПЛЫГИНА Указан новый случай существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела, которые допускают первые интегралы и инвариантные соотношения класса Чаплыгина [1]. Введение. В динамике твердого тела с неподвижной точкой, как правило, рас- сматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения следующего вида ẋi = Xi(x1, ..., xn), ∂Xi ∂xi = 0 (i = 1, n), (1) то есть в уравнение, относительно которого записана производная от переменной по времени, сама переменная не входит. Предполагаем, что правые части уравнений (1) непрерывно-дифференцируемы до порядка k в области En ⊂ Rn. Указанным выше свойствам ( ∂Xi ∂xi = 0) удовлетворяют, например, уравнения Д.Гриоли [2] ẋ1 = (a3 − a2)x2x3 + a3x3 ∂L(ν1, ν2, ν3) ∂ν2 − a2x2 ∂L(ν1, ν2, ν3) ∂ν3 + +ν3 ∂U(ν1, ν2, ν3) ∂ν2 − ν2 ∂U(ν1, ν2, ν3) ∂ν3 , ẋ2 = (a1 − a3)x3x1 + a1x1 ∂L(ν1, ν2, ν3) ∂ν3 − a3x3 ∂L(ν1, ν2, ν3) ∂ν1 + +ν1 ∂U(ν1, ν2, ν3) ∂ν3 − ν3 ∂U(ν1, ν2, ν3) ∂ν1 , (2) ẋ3 = (a2 − a1)x1x2 + a2x2 ∂L(ν1, ν2, ν3) ∂ν1 − a1x1 ∂L(ν1, ν2, ν3) ∂ν2 + +ν2 ∂U(ν1, ν2, ν3) ∂ν1 − ν1 ∂U(ν1, ν2, ν3) ∂ν2 , ν̇1 = a3x3ν2 − a2x2ν3, ν̇2 = a1x1ν3 − a3x3ν1, ν̇3 = a2x2ν1 − a1x1ν2. (3) Уравнения (2), (3) имеют первые интегралы a1x 2 1 + a2x 2 2 + a3x 2 3 − 2U(ν1, ν2, ν3) = 2E, (4) x1ν1 + x2ν2 + x3ν3 + L(ν1, ν2, ν3) = k, ν2 1 + ν2 2 + ν2 3 = 1. 155 А.В. Мазнев В уравнениях (2), (3) и интегралах (4) обозначено: x = (x1, x2, x3) – вектор мо- мента количества движения тела; ν = (ν1, ν2, ν3) – единичный вектор оси симметрии силовых полей; L = L(ν1, ν2, ν3), U = U(ν1, ν2, ν3) – дифференцируемые функции переменных ν1, ν2, ν3; E и k — произвольные постоянные. Если в (2)–(4) положить L = (λ · ν) − 1 2 (B · ν · ν), U = (s · ν) − 1 2 (C · ν · ν), то приходим к уравнениям класса Кирхгофа, которые описывают движение твердого тела в поле сил, являющемся суперпозицией центрального ньютоновского поля сил, магнитного поля сил и электрического поля сил. В указанных выше выражениях для L(ν1, ν2, ν3), U = U(ν1, ν2, ν3) λ и s постоянные векторы (λ = (λ1, λ2, λ3), s = (s1, s2, s3)); B и C – симметричные матрицы третьего порядка. Когда B = = 0, C = 0, то получим уравнения движения гиростата с неподвижной точкой [3]. Для интегрирования в квадратурах уравнений (2), (3) с интегралами (4) необ- ходимо знать дополнительный первый интеграл. Это свойство основано на теореме Якоби [4]. Пусть система (1) допускает n− 2 первых интеграла ϕk(x1, ..., xn) = ck (k = 1, n− 2). (5) Тогда она допускает дополнительный интеграл и интегрируется в квадратурах. (Этот термин означает, что решение уравнений (1) можно получить с помощью обращения интегралов от известных функций). В работе [5] рассмотрены вопросы интегрирования системы (1) в двух случа- ях. В первом случае предполагается, что она допускает n − 3 первых интеграла и одно инвариантное соотношение класса Т.Леви-Чивиты [6]. То есть выполняются соотношения ϕi(x1, ..., xn) = ci (i = 1, n− 3), (6) dϕ dt = n∑ j=1 dϕ(x1, ..., xn) dxj Xj(x1, ..., xn) = ϕ(x1, ..., xn)λ(x1, ..., xn), где ci – произвольные постоянные и поэтому уравнения (1) имеют инвариантное соотношение ϕ(x1, ..., xn) = 0 (grad ϕ(x1, ..., xn)\|ϕ=0 6= 0). (7) Во втором случае система (1) допускает n− 4 первых интеграла ϕk(x1, ..., xn) = = ck (k = 1, n− 4) и два инвариантных соотношения класса Т.Леви-Чивиты [6] ϕ(x1, ..., xn) = 0, g(x1, ..., xn) = 0, (8) для которых выполняются уравнения ϕ̇ = ϕ(x1, ..., xn)λ11(x1, ..., xn) + g(x1, ..., xn)λ12(x1, ..., xn), (9) ġ = ϕ(x1, ..., xn)λ21(x1, ..., xn) + g(x1, ..., xn)λ22(x1, ..., xn), где левые части уравнений (9) – производные от левых частей равенств (8) в силу уравнений (1). 156 Об одном случае существования интегрирующего множителя В работе [5] получены достаточные условия интегрируемости уравнений (1), для которых интегрирующий множитель приведенной системы имеет определенный ана- лог с интегрирующим множителем приведенной системы в случае Якоби (результа- ты Якоби подробно изложены в книге П.В.Харламова [3]). Данная работа посвящена исследованию условий интегрируемости уравнений (1) в случае, когда они допускают k первых интегралов и l инвариантных соотношений класса Чаплыгина (k + l = n − 2). То есть предполагаем, что имеют место соотно- шения ϕj(x1, ..., xn) = cj (j = 1, k), (10) ġ1 = gm11 1 λ11 + gm12 2 λ12 + ... + gm1l l λ1l, ġ2 = gm21 1 λ21 + gm22 2 λ22 + ... + gm2l l λ2l, (11)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ġl = gml1 1 λl1 + gml2 2 λl2 + ... + gmll l λll. В системе (11) mij > 0, λij = λij(x1, ..., xn), cj (j = 1, k) – произвольные посто- янные (ϕ̇j(x1, ..., xn) = 0). На основании (11) система (1) допускает l инвариантных соотношений g1(x1, ..., xn) = 0, g2(x1, ..., xn) = 0, ..., gl(x1, ..., xn) = 0. (12) Если в системе (11) положить, что mij = 1 (∀i, j), то получим случай Т.Леви-Чивиты [6]. Для варианта двух инвариантных соотношений уравнения Т.Леви-Чивиты запи- саны в виде (9). Наиболее полно инвариантные соотношения класса Т.Леви-Чивиты исследовал А.М.Ковалев [7]. Приведенная система. Условия Якоби. Обозначим через x = (x1, ..., xn)T . Следуя [1, 4, 5], введем в точке x(0) ∈ En и ее окрестности новые координаты y1, ..., yn xi = qi(y1, ..., yn) (i = 1, n), (13) где y = (y1, ..., yn)T ∈ E∗ n ⊂ Rn. Якобиан замены переменных (13) обозначим так D(y1, ..., yn) = ∣∣∣∣ ∂qi(y1, ..., yn) ∂yj ∣∣∣∣ (i, j = 1, n). (14) Очевидно для (14) предполагаем D(y1, ..., yn) 6= 0 в E∗ n. Это значит, что замена (13) обратима, то есть из формул (13) можно получить yi = Qi(x1, ..., xn) (i = 1, n). (15) Причем y (0) i = Qi(x (0) 1 , ..., x (0) n ) и в силу D(y1, ..., yn) 6= 0, где D выражается формулой (14), для якобиана замены (15) выполняются условия D∗(x1, ..., xn) = ∣∣∣∣ ∂Qi(x1, ..., xn) ∂xj ∣∣∣∣ 6= 0 (i, j = 1, n), (16) 157 А.В. Мазнев D∗(x1, ..., xn) = 1 〈D(y1, ..., yn)〉 , (17) где обозначено 〈D(y1, ..., yn)〉 = D ( Qi(x1, ..., xn), ..., Qn(x1, ..., xn) ) . (18) С помощью замены (13) уравнения (1) преобразуются к виду ẏi = Yi(y1, ..., yn) (i = 1, n). (19) Для уравнений (2), (19) имеет место тождество Якоби [4] n∑ i=1 ∂Xi(x1, ..., xn) ∂xi = 〈 1 D(y1, ..., yn) n∑ j=1 ∂D(y1, ..., yn)Yj(y1, ..., yn) ∂yj 〉 . (20) Для преобразования системы (1) к системе (19) воспользуемся уравнениями (10), (12) и положим yj = ϕj(x1, ..., xn) (j = 1, k), yk+1 = g1(x1, ..., xn), ..., yk+l = gl(x1, ..., xn), (21) yn−1 = xn−1, yn = xn. Тогда на основании (10), (11) в силу k + l = n− 2 из системы (1) получим ẏ1 = 0, ..., ẏk = 0, (22) ẏk+1 = ym11 k+1Λ11 + ym12 k+2Λ12 + ... + ym1l k+lΛ1l, ẏk+2 = ym21 k+1Λ21 + ym22 k+2Λ22 + ... + ym2l k+lΛ2l, (23) · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ẏk+l = yml1 k+1Λl1 + yml2 k+2Λl2 + ... + ymll k+lΛll, ẏn−1 = Yn−1(y1, ..., yn), ẏn = Yn(y1, ..., yn). (24) В системе (23) Λij = Λij(y1, ..., yn). Случай n-2 первых интегралов [4]. Если в системе (22)–(24) положить, что существует только n− 2 первых интегралов системы (1), а инвариантные соотноше- ния отсутствуют, то из (22)–(24) следует y1 = c1, ..., yn−2 = cn−2, ẏn−1 = Yn−1(c1, ..., cn−2, yn−1, yn), (25) ẏn = Yn(c1, ..., cn−2, yn−1, yn). Условие Якоби (20) принимает вид (так как левая часть равна нулю в силу (1)) ∂D(c1, ..., cn−2, yn−1, yn)Yn−1(c1, ..., cn−2, yn−1, yn) ∂yn−1 + 158 Об одном случае существования интегрирующего множителя + ∂D(c1, ..., cn−2, yn−1, yn)Yn(c1, ..., cn−2, yn−1, yn) ∂yn = 0. (26) То есть в силу (26) функция D(c1, ..., cn−2, yn−1, yn) является интегрирующим мно- жителем последних двух уравнений из системы (25). Это значит, что система (25) до- пускает дополнительный первый интеграл z(c1, ..., cn−2, yn−1, yn) = cn−1 (cn−1 – произвольная постоянная). Выражая из него, например, yn−1, получим yn−1 = = yn−1(c1, ..., cn−2, cn−1, yn). Подстановка этой функции в уравнение для yn системы (25) приводит к уравнению, из которого путем обращения интеграла можно опре- делить функцию yn = yn(c1, ..., cn−2, cn−1, cn, t), (27) где cn – произвольная постоянная, возникшая из операции обращения интеграла. Таким образом, приведенная система (25) интегрируется в квадратурах. Это озна- чает, что интегрируется и система (1). Зависимость переменных xi от времени легко определить, используя указанные выше преобразования. Случай k первых интегралов; mii=1 (i = 1,l) . Предположим, что в системе (22)–(24) mii = 1, Λii(y1, ..., yk, yk+1, ..., yk+i−1, 0, yk+i+1, ..., yn) 6= 0. Тогда на первых интегралах y1 = c1, ..., yk = ck и инвариантных соотношениях yk+1 = 0, ..., yk+l = = 0 (k + l = n− 2) система (22)–(24) примет вид y1 = c1, ..., yk = ck, yk+1 = 0, ..., yk+l = 0, ẏn−1 = Yn−1(c1, ..., ck, 0, ..., 0,︸︷︷︸ l yn−1, yn), ẏn = Yn(c1, ..., ck, 0, ..., 0,︸︷︷︸ l yn−1, yn). (28) Аналог якобиана (14) можно получить, разрешив уравнения (21) относительно пе- ременных x1, ..., xn. В силу формулы (17) его можно получить так D(y1, ..., yn) = 1 〈D∗(x1, ..., xn)〉 . (29) В формуле (29) в силу соотношений (21) D∗ имеет вид D∗(x1, ..., xn) = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ∂ϕ1 ∂x1 . . . ∂ϕk ∂x1 ∂g1 ∂x1 . . . ∂gl ∂x1 0 0 ∂ϕ1 ∂x2 . . . ∂ϕk ∂x2 ∂g1 ∂x2 . . . ∂gl ∂x2 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ∂ϕ1 ∂xn−2 . . . ∂ϕk ∂xn−2 ∂g1 ∂xn−2 . . . ∂gl ∂xn−2 0 0 ∂ϕ1 ∂xn−1 . . . ∂ϕk ∂xn−1 ∂g1 ∂xn−1 . . . ∂gl ∂xn−1 1 0 ∂ϕ1 ∂xn . . . ∂ϕk ∂xn ∂g1 ∂xn . . . ∂gl ∂xn 0 1 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ . (30) 159 А.В. Мазнев Формула Якоби (20) на основании формул (21), (22), (28)–(30) примет вид (эту фор- мулу выпишем на первых интегралах и инвариантных соотношениях из (28)) Λ11(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) + Λ22(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) + ...+ +Λll(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)+ + ∂D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)Yn−1(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) ∂yn−1 + (31) + ∂D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)Yn(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) ∂yn = 0. Предположим, что выполняется условие Λ11(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) + Λ22(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) + ...+ +Λll(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) = 0. (32) Тогда в силу (32) из (31) следует ∂D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)Yn−1(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) ∂yn−1 + (33) + ∂D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)Yn(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) ∂yn = 0. При выполнении условия (33) последние два уравнения из системы (28) интегриру- ются в квадратурах, а их интегрирующим множителем является функция D(yn−1, yn) = D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn). (34) В силу (29), (30), (34) получен аналог результата Якоби [4] и обобщение результатов статьи [5]. Исключение составляет случай одного инвариантного соотношения, так как для него в силу предположений данной статьи условие (32) выполняться не может. Итак, установлено достаточное условие (32) интегрирования системы (1), кото- рая допускает k первых интегралов и l инвариантных соотношений класса С.А.Чап- лыгина при mii = 1 (i = 1, l). Его можно использовать и в случае, когда уравнения (11) принимают вид ġj = g mjj j λjj , то есть при условии, что эти уравнения допускают l инвариантных соотношений нулевого слоя [8]. Общий случай. Рассмотрим общий случай, то есть предварительно не накла- дывая ограничений на числа mij . Выполнив преобразования (21), получим систему (22)–(24). Рассмотрим условие (20). Как и ранее в силу условия из (1) левая часть равенства (20) равна нулю. Тогда в силу условий (22) оно примет вид n∑ j=k+1 ∂D(y1, ..., yn) Yj(y1, ..., yn) ∂yj = 0. (35) 160 Об одном случае существования интегрирующего множителя Рассмотрим уравнение (35) на первых интегралах ym = cm (m = 1, k) и инвариант- ных соотношениях yk+1 = 0, ..., yk+l = 0 D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)[m11y m11−1 k+1 Λ11(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)+ +... + mlly mll−1 k+l Λll(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)]+ + ∂D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)Yn−1(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) ∂yn−1 + (36) + ∂D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn)Yn(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) ∂yn = 0. С.А.Чаплыгин [1] исследовал случай mii > 1 (i = 1, l). Тогда из (36) на инвариант- ных соотношениях yk+1 = 0, ..., yk+l = 0 получим условие (33), при выполнении кото- рого последние два уравнения из системы (28) интегрируются в квадратурах. В этом случае интегрирующий множитель уравнений (28) очевиден: D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn). Поскольку случаи mii = 1 (i = 1, l), mii > 1 (i = 1, l) рассмотрены, то остается рассмотреть случай, когда часть величин mii равна единице, а часть mii больше единицы. Без ограничения общности положим m11 > 1, ..., mσσ > 1,mσ+1 σ+1 = 1, ...,mll = 1. (37) Так как D(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) 6= 0, то для обобщения указанных выше ре- зультатов положим Λσ+1 σ+1(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) + ... + Λll(c1, ..., ck, 0, ..., 0, yn−1, yn) = 0. (38) При выполнении равенства (38) последние два уравнения из (28) допускают инте- грирующий множитель (34) и поэтому система (23) интегрируется. Это означает, что и система (1) также интегрируется в квадратурах. 1. Чаплыгин С.А. О принципе последнего множителя // Собр. соч. – М.-Л.: Гостехтеориздат, 1948. – Т.I: Теоретическая механика. Математика. – С.5-14. 2. Grioli G. Questioni di dinamica del corpo rigido // Atti Accad. Naz. Lincei. Rend. Cl. sci. fis. e natur. – 1963. – 35, №1-2. – P.35-39. 3. Харламов П.В. Лекции по динамике твердого тела. – Новосибирск: Изд-во Новосиб. гос. ун-та. – 1965. – 221c. 4. Jacobi C.G. Nouvelle theorie de la rotation d’un corps de revolution grave suspendu en un point quelconque de son axe // Gesammelte Werke. Berlin. – 1882. – B.2. – S.477-492. 5. Горр Г.В., Щетинина Е.К. Об интегрирующем множителе уравнений динамики твердого тела на инвариантных многообразиях // Доп. НАН України. – 2007. – №1. – С.60-66. 6. Леви-Чивита Т., Амальди У. Курс теоретической механики: в 2-х т. – М.: Изд-во иностр. лит. – 1951. – 555с. 7. Ковалев А.М. Вложение инвариантных многообразий в семейство интегральных многообразий и анализ решения Гесса // Механика твердого тела. – 2005. – Вып.35. – C.19-30. 8. Харламов П.В. Об инвариантных соотношениях системы дифференциальных уравнений // Ме- ханика твердого тела. – 1974. – Вып.6. – C.15-24. Донецкий национальный ун-т a.maznev@donnu.edu.ua Получено 19.09.09 161 титул Научное издание Том 19 содержание Том 19 Донецк, 2009 Основан в 1997г.

Об одном случае существования интегрирующего множителя уравнений динамики твердого тела на инвариантных соотношениях класса Чаплыгина

Репозитарії

Схожі ресурси