Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред

Разработан численно аналитический метод решения задач вязкоупругости анизотропной среды при обобщенном плоском напряженном состоянии пластины. Указаны соотношения для нахождения резольвент интегральных уравнений, связывающих напряжения и деформации, а также выписаны уравнения закона Гука в любой мом...

Ausführliche Beschreibung

Gespeichert in:

Bibliographische Detailangaben
Datum:	2009
1. Verfasser:	Нескородев, Р.Н.
Format:	Artikel
Sprache:	Russian
Veröffentlicht:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2009
Schriftenreihe:	Труды Института прикладной математики и механики
Online Zugang:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123912
Tags:	Tag hinzufügen Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Zitieren:	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 168-177. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.

Institution

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123912
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1239122017-09-14T03:03:20Z Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред Нескородев, Р.Н. Разработан численно аналитический метод решения задач вязкоупругости анизотропной среды при обобщенном плоском напряженном состоянии пластины. Указаны соотношения для нахождения резольвент интегральных уравнений, связывающих напряжения и деформации, а также выписаны уравнения закона Гука в любой момент времени. Проведены численные исследования и сравнение с уже известными результатами. 2009 Article Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 168-177. — Бібліогр.: 10 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123912 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	Разработан численно аналитический метод решения задач вязкоупругости анизотропной среды при обобщенном плоском напряженном состоянии пластины. Указаны соотношения для нахождения резольвент интегральных уравнений, связывающих напряжения и деформации, а также выписаны уравнения закона Гука в любой момент времени. Проведены численные исследования и сравнение с уже известными результатами.
format	Article
author	Нескородев, Р.Н.
spellingShingle	Нескородев, Р.Н. Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Нескородев, Р.Н.
author_sort	Нескородев, Р.Н.
title	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред
title_short	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред
title_full	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред
title_fullStr	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред
title_full_unstemmed	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред
title_sort	численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2009
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123912
citation_txt	Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред / Р.Н. Нескородев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 168-177. — Бібліогр.: 10 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT neskorodevrn čislennoanalitičeskijmetodrešeniâzadačlinejnojvâzkouprugostidlâanizotropnyhsred
first_indexed	2025-07-09T00:31:09Z
last_indexed	2025-07-09T00:31:09Z
_version_	1837127247624929280
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19 УДК 539.3 c©2009. Р.Н. Нескородев ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ ДЛЯ АНИЗОТРОПНЫХ СРЕД Разработан численно аналитический метод решения задач вязкоупругости анизотропной среды при обобщенном плоском напряженном состоянии пластины. Указаны соотношения для нахождения резольвент интегральных уравнений, связывающих напряжения и деформации, а также выписаны уравнения закона Гука в любой момент времени. Проведены численные исследования и сравнение с уже известными результатами. Введение. Одним из основных методов решения задач вязкоупругости являет- ся метод, основанный на применении принципа Вольтерра [1–3]. Непосредственное применение этого принципа к анализу напряженно-деформированного состояния пластин является весьма затруднительным. Это объясняется тем, что для таких задач зависимость перемещений и напряжений от упругих постоянных не является явной. Кроме того, при использовании принципа Вольтерра большое значение име- ет аналитическая форма задания ядер ползучести и релаксации. Экспериментально найденные значения этих ядер задаются дискретным набором величин, соответству- ющим некоторым фиксированным значениям времени. По этим экспериментальным значениям, различными методами строят аналитические аппроксимации ядер в спе- циальной форме. Такая аппроксимация является источником дополнительных по- грешностей, так как построить аналитическое выражение ядра, хорошо описыва- ющего экспериментально найденные величины на достаточно большом временном интервале довольно сложно. В настоящей работе предлагается метод, не требующий аналитического описания ядер ползучести и релаксации, что освобождает от необ- ходимости проведения аналитической аппроксимации экспериментальных значений. Проверка предложенного метода на достоверность осуществлялась сравнением ре- зультатов решения задачи для изотропной пластины с круговым отверстием. Ме- тод с использованием принципа Вольтерра, который дает точное решение задачи, и предложенный в настоящей работе дают одинаковые результаты. 1. Основные соотношения вязкоупругих сред. 1.1. Связь между напряжениями и деформациями вязкоупругих сред. Наиболее общая форма линейного вязкоупругого соотношения между напряжения- ми и деформациями для изотермических процессов нагружения анизотропных тел представляются в виде [1, 4, 5]: s (t) = t∫ 0 R (t− τ) de (τ) dτ dτ. (1) Здесь s = {si}, e = {ek} – векторы напряжений и деформаций,R = {Rik} ( i, k = 1, 6 ) 168 Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости – матрица, компоненты которой называются функциями релаксации материала. Они характеризуют вязкоупругий материал так же, как их упругие аналоги – мо- дули упругости R (0) = A – характеризуют упругий. Иную форму вязкоупругих соотношений деформации – напряжения можно за- писать, поменяв в (1) ролями деформации и напряжения e (t) = t∫ 0 P (t− τ) ds (τ) dτ dτ. (2) Здесь компоненты матрицы P = {Pik} называются функциями ползучести матери- ала. Они характеризуют вязкоупругий материал также, как их упругие аналоги – коэффициенты деформации P (0) = a характеризуют свойства упругого материала. Установлено [4], что ядра R или P должны иметь сингулярную составляющую в виде δ-функции. Тип δ особенностей ядер R и P является фундаментальным свой- ством мгновенной реакции тела. Вязкоупругие тела обычно предполагаются мгно- венно упругими, то есть при больших скоростях нагружения или деформации ведут себя как идеально упругие. Закон Гука получается из (1) и (2) в предположении, что R (t− τ) = R0δ (t− τ), P (t− τ) = P0δ (t− τ), где R0 и P0 – матрицы константы. 1.2. Определение ядер ползучести и релаксации. В опытах на ползучесть, мгновенно прикладываются и поддерживаются постоянные напряжения s (t) = σ̄ h (t), где h (t) функция Хевисайда, а σ̄ = {σi} – вектор напряжений констант [4,5]. Инте- грирование уравнения (2) в этом случае дает e (t) = P (t) σ̄h (t) . (3) По формуле (3) определяются значения функции P (t) по величинам измерен- ных деформаций во времени. Из уравнения (1) с учетом (3) найдем соотношения между функциями ползучести P (t) и релаксации R (t) E = R (t) P (0) + t∫ 0 R (t− τ) dP (τ) dτ dτ . (4) В опытах на релаксацию мгновенно прикладываются и поддерживаются посто- янные деформации e (t) = ε̄ h (t), где ε̄ = {εi} – вектор деформаций констант. Интегрирование уравнения (1) в этом случае дает s (t) = R (t) ε̄h (t) . (5) По формуле (5) определяются значения функции R (t) по величине измеренных напряжений во времени. Из уравнения (2) с учетом (5) найдем соотношения между функциями релаксации R (t) и ползучести P (t) E = P (t) R (0) + t∫ 0 P (t− τ) dR (τ) dτ dτ . (6) 169 Р.Н. Нескородев Из уравнения (4) находится функция релаксации R (t) по известной функции пол- зучести P (t), а из уравнения (6), наоборот. 1.3. Численное представление решений уравнений вязкоупругости. Ре- шение уравнения (4) проведем численным методом. В этом случае нет необходи- мости использования аналитической аппроксимации экспериментальных значений функции P (t) в специальном виде. Пусть временной отрезок [0, t] разбит на N рав- ных интервалов длиной h точками, соответствующими значениям времени τ0 = 0, τ1 = h, . . . , τn = nh, . . . , τN = t, и пусть P0, P1, . . . , PN – известные из эксперимента значения функции ползучести P (τ) в этих точках. Тогда соотношение (4) в точках сетки можно приближенно записать так Rn = ( E− n∑ i=1 Rn−i (Pi −Pi−1) ) A (n = 0, 1, ..., N) , (7) где Pi = P (τi), Rn−i = R (τn − τi) – значения функций в точке τ = τi. Из полученных соотношений (7), по известным функциям ползучести в точках сетки находятся функции релаксации. Решение уравнения (6) осуществляется аналогичным образом Pn = ( E− n∑ i=1 Pn−i (Ri −Ri−1) ) a (n = 0, 1, ..., N) . (8) Уравнения (1) и (2) в точках сетки можно записать в виде s (t) = Rn en h (t− τn) (n = 0, 1, ..., N) , (9) e (t) = Pn sn h (t− τn) (n = 0, 1, ..., N) . (10) Для определения напряжений, деформаций и перемещений при заданных на- грузках, необходимо провести решение задачи вязкоупругости, используя уравнения состояния в форме (9) или (10). Это соответствует решению задачи теории упруго- сти с уравнением закона Гука в момент времени t = τn. 2. Изотропная среда. В этом пункте приведено решение упругой задачи для изотропной пластины, ослабленной круговым отверстием. Решение представлено в виде явной зависимости перемещений и напряжений от упругих постоянных и при- ложенных усилий. Это дает возможность построить точное решение вязкоупругой задачи методом Вольтерра и провести численные исследования. Результаты этих ис- следований далее будут использованы в качестве теста при решении этой же задачи методом, предложенным в первом пункте. 2.1. Пластина с круговым отверстием. Решение упругой задачи для беско- нечной изотропной пластины, ослабленной круговым отверстием радиуса R, когда на бесконечности заданы усилия σ0 x = p, σ0 y = q, τ0 xy = 0, представляются в виде [6] σr = 2a + b1 r2 − ( b + 4a1 r2 − 3b3 r4 ) cos (2θ) , 170 Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости σθ = 2a− b1 r2 + ( b− 3b3 r4 ) cos (2θ) , τrθ = ( b + 3b3 r4 − 2a1 r2 ) sin (2θ) , (11) ur = r 2G [a (κ− 1)− b cos (2θ)] + 1 2Ḡ [ −b1 r + ( a1 (κ̄ + 1) r − b3 r3 ) cos (2θ) ] , uθ = r 2G b sin (2θ)− 1 2Ḡ ( a1 (κ̄− 1) r + b3 r3 ) sin (2θ) . В соотношениях (11) введены обозначения: a = (p + q) /4, b = (q − p)/2, κ = (3− ν) / (1 + ν); черточками сверху обозначены величины Ḡ и κ̄, которые при решении вязкоупругой задачи будут меняться во времени. Из граничных условий на контуре неподкрепленного отверстия σr = τrθ = 0, когда r = R, находим коэффициенты функций (11). Они будут такими a1 = −bR2, b1 = −2aR2, b3 = −bR4. (12) Из соотношений (11) и (12) видно, что в рассматриваемой задаче напряжения от времени не зависят, а изменяются только перемещения. 2.2. Решение вязкоупругих задач методом Вольтерра. Уравнения наслед- ственной теории упругости Вольтерра получают заменой в соотношениях классиче- ской теории упругости констант G, E и ν операторами Ḡ, Ē и ν̄. Согласно принципу Вольтерра задачу вязкоупругости можно решать как задачу обычной теории упру- гости и лишь в окончательном результате заменить упругие константы G, E и ν операторами Ḡ, Ē и ν̄, которые определены соотношениями [2] Ḡ = G (1− P ∗) , Ē = E (1−M∗) , ν̄ = ν (1 + L∗) . (13) Каждый из временных операторов (13) состоит из двух элементов: упругих по- стоянных G, E, ν, а также интегральных операторов P ∗, M∗, L∗ с ядрами наслед- ственности P (t− τ), M (t− τ) и L (t− τ) P ∗f = t∫ 0 P (t− τ) f (τ) dτ, M∗f = t∫ 0 M (t− τ) f (τ) dτ, L∗f = t∫ 0 L (t− τ) f (τ) dτ. (14) Ядро ползучести вида L (t− τ) = δЭα (−β; t− τ) , (15) где Эα (−β; t− τ) = ∞∑ n=0 (−β)n (t− τ)α+n(1+α) Γ [(n + 1) (1 + α)] , (16) предложено в работе [2]. Используя соотношения (13)–(15), найдем ν̄ = ν [ 1 + δ Э∗α (−β) ] , (17) 171 Р.Н. Нескородев где L∗ • 1 = δ ∫ t 0 Эα (−β; t− τ) • 1 dτ = δ Э∗α (−β). В формулы для перемещений (11) входят операторы 1/Ḡ и κ̄/Ḡ. Расшифруем их, учитывая, что соотношения между различными упругими операторами такие же, как и соотношения между упругими постоянными, а также считая, что объ- емная деформация материала пластинки является упругой [2, 3]. Воспользуемся равенствами 1− 2ν E = 1− 2ν̄ Ē , Ḡ = Ē 2 (1 + ν̄) , κ̄ = 3− ν̄ 1 + ν̄ . (18) Из этих равенств, с учетом (17) и свойств оператора Э∗α (−β) [2] находим 1 Ḡ = 1 G [ 1 + δ2Э∗α (−β2) ] , κ̄ Ḡ = κ G [ 1 + δ4Э∗α (−β2) ] , (19) δ2 = 3νδ/ (1− 2ν) / (1 + ν) , β2 = β − 2νδ/ (1− 2ν) , δ4 = 5νδ/ (3− ν) / (1− 2ν) . Для вычисления интегрального оператораЭ∗α (−β) используют функциюМиттаг- Леффлера [2] β Э∗α (−β) • 1 = β t∫ 0 Эα (β; t− τ) • 1 dτ = 1− E1+α (−η) , (20) которая определена формулой E1+α (−η) = 1− η ϕ (1) + η2 ϕ (2) − η3 ϕ (3) + ..., ϕ (n) = Γ [n (1 + α) + 1] , η = β t1+α. (21) Исследования показали, что вычисление функции (21) для больших значений аргумента η вызывает трудности. Поэтому, при вычислении функции Э∗α (−β) ис- следователи вместо (20) применяют формулу [2] Э∗α (−β) = [1− exp (−η ω)] /β, ω = (1 + α)1+α . (22) 3. Плоская задача теории упругости анизотропного тела. В этом пунк- те приведено точное решение упругой задачи для анизотропной пластинки, ослаб- ленной отверстием эллиптической формы. Полученное решение не содержит явной зависимости напряжений и перемещений от упругих постоянных, поэтому решение вязкоупругой задачи осуществляется методом, предложенным в первом пункте. 3.1. Обобщенное плоское напряженное состояние. Рассмотрим упругое равновесие анизотропной пластины толщиной 2h. Отнесем ее к декартовой системе координат Ox1x2x3 так, чтобы ее срединная плоскость совпала с плоскостью Ox1x2, а ось Ox3 была нормальна к срединной плоскости. Уравнения закона Гука предста- вим в компактной форме σ̄ = Aε̄ или ε̄ = aσ̄, a = A−1. (23) 172 Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости Здесь σ̄ = {σi}, ε̄ = {εk} – векторы напряжений и деформаций, A = {Aik} – матрица модулей упругости, a = {aik} – матрица коэффициентов деформации ( i, k = 1, 6 ) . В задаче растяжения-сжатия введем средние по толщине значения перемещений, напряжений и деформаций: u∗ = 1 2h h∫ −h u dx3 = 1 2h h∫ −h [u1, u2, u3] dx3 = [u∗1, u∗2, 0] , (24) ε̄∗ = 1 2h h∫ −h ε̄ dx3 = [ε∗1, ε ∗ 2, ε ∗ 3, 0, 0, ε∗6] , σ̄∗ = 1 2h h∫ −h σ̄ dx3 = [σ∗1, σ ∗ 2, σ ∗ 3, 0, 0, σ∗6] . Напряженное состояние пластинки в этом случае называют обобщенным плос- ким напряженным состоянием, а напряжения σ3, σ4 и σ5 полагают равными нулю [7]. Для средних по толщине пластинки напряжений, из первого уравнения (23) с учетом (24), получим σ∗i = (Ai1∂1 + Ai6∂2) u∗1 + (Ai6∂1 + Ai2∂2) u∗2 + Ai3ε ∗ 3. (25) Чтобы удовлетворить условиям σ∗3 = σ∗4 = σ∗5 = 0, полагаем A41 = A42 = A43 = A51 = A52 = A53 = A56 = A46 = 0, (26) ε∗3 = − [ A31 A33 ε∗1 + A32 A33 ε∗2 + A36 A33 ε∗6 ] . Тогда уравнения закона Гука для обобщенного плоского напряженного состоя- ния пластинки запишутся так σ∗i = Bikε ∗ k, ε∗i = aikσ ∗ k, Bik = Aik −Ai3A3k/A33 (i, k = 1, 2, 6) . (27) Далее уравнения закона Гука (27) будем использовать в форме (23). Для этого следует индексы i и k равные 6 заменить индексами m и n равными 3 и убрать звез- дочки: σ̄ = [σ∗1, σ∗2, σ∗6] = [σ1, σ2, σ3], ε̄ = [ε∗1, ε∗2, ε∗6] = [ε1, ε2, ε3], A = {Bik} = {Amn}, a = {aik} = {amn}. Уравнения равновесия приводятся к системе дифференциальных уравнений от- носительно перемещений L11u1 + L12u2 = 0, L21u1 + L22u2 = 0, (28) где L11 = A11∂ 2 1 + 2A13∂1∂2 + A33∂ 2 2 , L22 = A33∂ 2 1 + 2A23∂1∂2 + A22∂ 2 2 , (29) L12 = L21 = A13∂ 2 1 + (A12 + A33) ∂1∂2 + A23∂ 2 2 . 173 Р.Н. Нескородев 3.2. Перемещения и напряжения в пластине с отверстиями. Функции, определяющие перемещения и деформации в пластине без отверстия, когда на бес- конечности заданы усилия σ0 1 = p, σ0 2 = q, σ0 3 = 0, представляются в форме u0 1 = ε0 1x1 + ε0 3 2 x2, u0 2 = ε0 3 2 x1 + ε0 2x2, (30) ε0 1 = a11p + a12q, ε0 2 = a21p + a22q, ε0 3 = a31p + a32q. Перемещения и напряжения, учитывающие влияние отверстий, описываются функциями u00 k и σ00 i , являющимися результатом интегрирования системы (28) u00 k = 2Re 2∑ j=1 RkjΦj(zj), (31) σ00 1 = 2Re ( µ2 1Φ ′ 1 + µ2 2Φ ′ 2 ) , σ00 2 = 2Re ( Φ′1 + Φ′2 ) , σ00 3 = −2Re ( µ1Φ′1 + µ2Φ′2 ) . (32) Здесь Φj(zj) – произвольные функции обобщенных комплексных переменных zj = x1 + µjx2; µj – параметры, являющиеся корнями характеристического урав- нения l11 (µ) l22 (µ)− l12 (µ) l21 (µ) = 0; величины lik (µ) получены из операторов (29) заменой операций дифференцирования ∂1 и ∂2 значениями 1 и µ соответственно; Φ′j = dΦj/dzj ; Rkj = R∗ kj/∆j (µj); R∗ 11 = l22 (µ1), R∗ 21 = −l21 (µ1), R∗ 12 = −l12 (µ2), R∗ 22 = l11 (µ2), ∆j = [ A21R ∗ 1j + A23R ∗ 2j + µj ( A22R ∗ 2j + A23R ∗ 1j )] . Таким образом, смещения и напряжения, отражающие влияние отверстий, выра- жаются через две функции Φj(zj). Исследование напряженного состояния пластины с неподкрепленными отверстиями сводится к определению этих функций из гранич- ных условий на контурах отверстий. В рассматриваемом случае эти условия имеют вид [7] 2Re [µ1Φ1 + µ2Φ2] = −px2 + c1, 2Re [Φ1 + Φ2] = −qx1 + c2. (33) Функции Φj(zj) можно рассматривать как функции обычных комплексных пе- ременных zj = x1j + ix2j , где x1j = x1 + αjx2, x2j = βjx2, µj = αj + iβj . (34) При этом комплексные потенциалы Φj(zj) должны быть определены не в области S, занятой срединной плоскостью пластины, а в областях Sj , полученных из области S путем аффинных преобразований (34). 3.3. Пластина с эллиптическим отверстием. Рассмотрим пластину, которая ослаблена отверстием эллиптического сечения. Полуоси эллипса a и b. Уравнение контура L в параметрической форме имеет вид x1 = a cos θ, x2 = b sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π. (35) Эллиптическому контуру L в областях Sj соответствуют эллипсы Lj , уравнения контуров которых запишутся так tj = x1 + µjx2 = Rjσ + mj/σ, (36) 174 Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости Rj = (a− iµjb) /2, mj = (a + iµjb) /2, σ = cos (θ) + i sin (θ) . Функция, отображающая внешность единичного круга на внешность эллиптиче- ского контура Lj , на основании формулы (36), принимает вид zj = Rjςj + mj/ςj , ςj = rjσ, rj ≥ 1. (37) Из соотношений (36) и (37) видно, что на контуре единичного круга имеем ра- венство ςj = σ. Это обстоятельство дает возможность для кругового или эллипти- ческого контура получить точное решение задачи. Представим функцию Φj(zj) в виде: Φj(zj) = aj/ςj , (38) где переменная ςj связана с zj зависимостями (37). Методом рядов из условий (33) найдем систему алгебраических уравнений отно- сительно коэффициентов функции (38): µ1a1 + µ2a2 = −ipb/2, a1 + a2 = −qa/2. (39) 4. Численные исследования. Задача определения напряжений и перемеще- ний в изотропной пластине с круговым отверстием с учетом ползучести, осуществ- лялась в соответствии с соотношениями пункта 2. Значения параметров: ν = 0.25, α = −0.5, β = 0.0065 c−0.5 и δ = 0.05615 c−0.5 для алюминиевых образцов заимство- ваны из монографии [3]. Результаты для отверстия радиуса R = 1 приведены ниже. Такие же результаты получились при решении этой задачи методами, изложенными в первом и третьем пунктах. При этом, уравнение закона Гука следует выбирать в форме (10), а для проведения исследований для изотропных сред были использо- ваны алгоритмы, разработанные для анизотропных материалов с учетом методики, предложенной в работе [8]. На рис.1 представлены значения максимальных перемещений ur, возникающих в точке A, в зависимости от времени t, когда пластинки растягиваются на бесконеч- ности усилиями интенсивности q вдоль оси Oy. Кривая 1 соответствует значениям перемещений, вычисленных при помощи функции Миттаг-Леффлера (21), а кривая 2 – значениям перемещений, вычисленных по експоненциальной формуле (22). В таб- лице 1 приведены значения перемещений ur и uϑ в характерных точках кругового отверстия в различные моменты времени. Левый столбец для каждого перемеще- ния соответствует точным значениям, а правый посчитан с помощью приближенной формулы (22). Таблица 1 t, час ur(θ = 0),м−10 ur(θ = π/2),м−10 uθ(θ = π/4),м−10 0 -0.4 -0.4 1.2 1.2 0.8 0.8 100 -1.0529 -0.8702 3.8115 3.0808 2.4322 1.9755 500 -1.5375 -1.3292 5.7501 4.9166 3.6438 3.1229 1000 -1.7726 -1.6022 6.6905 6.0089 4.2316 3.8056 5000 -2.2622 -2.3111 8.6486 8.8444 5.4554 5.5777 175 Р.Н. Нескородев Рис. 1. Как видно из рис.1 и таблицы 1 стабилизация изменения перемещений происхо- дит через достаточно большой промежуток времени, а использование аппроксима- ции оператора Работнова в виде (22) для некоторых значений времени дает погреш- ность 16.5%. Численные исследования были проведены также для ортотропной пластины, из- готовленной из композитного материала на основе эпоксидного связующего. Зна- чения упругих и реологических констант следующие [9]: E0 11 = 23.0 · 103 МПа, λ1 = 0.0323 c−(1+α), β1 = 0.157 c−(1+α) E0 22 = 16.0 · 103 МПа, λ2 = 0.1295 c−(1+α), β2 = 0.2745 c−(1+α), G0 12 = 3.08 · 103 МПа, λg = 0.0717 c−(1+α), βg = 0.0276 c−(1+α), ν12 = 0.11, ν21 = 0.0765, α = −0.846. Проведенные численные исследования показали, что для ортотропного матери- ала напряжения зависят от времени. Максимальные значения возникают в точке θ = π/2 и растут со временем. В таблице 2 приведены напряжения σθ/p в точках контура эллиптического отверстия для случая растяжения пластинки усилиями ин- тенсивности p вдоль оси Ox. Соотношение полуосей эллипса a/b = 2. Слева даны значения напряжений, полученные по предложенной методике, а справа – по мето- дике, предложенной в работе [10]. Таблица 2 t, c σθ σθ, [10] 0 π/6 π/3 π/2 0 π/6 π/3 π/2 0 -0.8341 0.3995 1.6465 2.5529 -0.8341 0.3995 1.6465 2.5529 10 -0.7965 0.3778 1.6335 2.5997 -0.7964 0.3915 1.6501 2.5992 200 -0.7861 0.3692 1.6252 2.6244 -0.7860 0.3897 1.6511 2.6236 400 -0.7837 0.3669 1.6226 2.6316 -0.7836 0.3893 1.6513 2.6308 600 -0.7823 0.3655 1.6210 2.6361 -0.7823 0.3891 1.6514 2.6353 Как видно, результаты полученные по методике, предложенной в данной работе, 176 Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости хорошо согласуются с уже известными результатами. 1. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. – М: Изд-во Моск. ун-та, 1981. – 344с. 2. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. – М.: Наука, 1966. – 752c. 3. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. – Киев: Наукова думка, 1968. – 887с. 4. Ильюшин А.А.,Победря Б.Е. Основы математической теории термовязко-упругости. – М: На- ука, 1970. – 280с. 5. Кристенсен Р. Введение в теорию вязкоупругости. – М.: Мир, 1974. – 338с. 6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.: На- ука, 1966. – 707с. 7. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. – М.: Гостехиздат, 1957. – 463с. 8. Космодамианский А.С., Нескородев Н.М. Связь уравнений плоской теории упругости для ани- зотропного и изотропного тел // Прикладная математика и механика. – 1998. – Т.62, №2. – С.344-346. 9. Каминский А.А., Гаврилов Д.А. Длительное разрушение полимерных и композитных матери- алов с трещинами. – К.: Наук. думка, 1992. – 248c. 10. Подильчук И.Ю. Исследование концентрации напряжений в вязкоупругой ортотропной пла- стине с эллиптическим отверстием // Прикл. механика. – 1997. – Т.33, №9. – С.64-73. Донецкий национальный ун-т nesk_rom@matfak.dongu.donetsk.ua Получено 16.11.09 177 титул Научное издание Том 19 содержание Том 19 Донецк, 2009 Основан в 1997г.

Численно-аналитический метод решения задач линейной вязкоупругости для анизотропных сред

Institution

Ähnliche Einträge