Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции
В работе рассматривается модель нагнетания в пласт нефтяных месторождений смеси воды с композицией химических реагентов, меняющих гидродинамические характеристики пластовых флюидов. Полученная модель сводится к уравнениям одномерной фильтрации с учетом уравнения адсорбции и конвективной диффузии. На...
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123914 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции / Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 184-190. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123914 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239142017-09-14T03:03:04Z Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции Панахов, Г.М. Аббасов, Г.М. Омрани, А.Н. В работе рассматривается модель нагнетания в пласт нефтяных месторождений смеси воды с композицией химических реагентов, меняющих гидродинамические характеристики пластовых флюидов. Полученная модель сводится к уравнениям одномерной фильтрации с учетом уравнения адсорбции и конвективной диффузии. На основе метода прогонки предложены конечно-разностные алгоритмы моделирования в сеточной области исследуемого процесса. Приведены оценки погрешности аппроксимации и установлена точность аппроксимации по времени и состоянию системы. 2009 Article Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции / Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 184-190. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123914 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматривается модель нагнетания в пласт нефтяных месторождений смеси воды с композицией химических реагентов, меняющих гидродинамические характеристики пластовых флюидов. Полученная модель сводится к уравнениям одномерной фильтрации с учетом уравнения адсорбции и конвективной диффузии. На основе метода прогонки предложены конечно-разностные алгоритмы моделирования в сеточной области исследуемого процесса. Приведены оценки погрешности аппроксимации и установлена точность аппроксимации по времени и состоянию системы. |
| format |
Article |
| author |
Панахов, Г.М. Аббасов, Г.М. Омрани, А.Н. |
| spellingShingle |
Панахов, Г.М. Аббасов, Г.М. Омрани, А.Н. Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Панахов, Г.М. Аббасов, Г.М. Омрани, А.Н. |
| author_sort |
Панахов, Г.М. |
| title |
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции |
| title_short |
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции |
| title_full |
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции |
| title_fullStr |
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции |
| title_full_unstemmed |
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции |
| title_sort |
численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123914 |
| citation_txt |
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции / Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 184-190. — Бібліогр.: 7 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT panahovgm čislennoerešenieuravneniâfilʹtraciivporistojsredesučetomadsorbcii AT abbasovgm čislennoerešenieuravneniâfilʹtraciivporistojsredesučetomadsorbcii AT omranian čislennoerešenieuravneniâfilʹtraciivporistojsredesučetomadsorbcii |
| first_indexed |
2025-07-09T00:31:25Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:31:25Z |
| _version_ |
1837127265658339328 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 531.38
c©2009. Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани
ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ В
ПОРИСТОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ АДСОРБЦИИ
В работе рассматривается модель нагнетания в пласт нефтяных месторождений смеси воды с ком-
позицией химических реагентов, меняющих гидродинамические характеристики пластовых флю-
идов. Полученная модель сводится к уравнениям одномерной фильтрации с учетом уравнения ад-
сорбции и конвективной диффузии. На основе метода прогонки предложены конечно-разностные
алгоритмы моделирования в сеточной области исследуемого процесса. Приведены оценки погреш-
ности аппроксимации и установлена точность аппроксимации по времени и состоянию системы.
Закачка в пласт химических реагентов растворов полимера, содержащих раство-
ренные и взвешенные вещества, сопровождается их диффузией с пластовым флюи-
дом и массообменом с твердой фазой скелета горной породы. При этом основными
видами массообмена являются процессы сорбции и десорбции, при которых макро-
молекулы распределяются определенным образом между твердой фазой и раство-
ром.
Адсорбция растворов полимеров на поверхности твердого тела определяет осо-
бенности структуры граничного слоя, характер упаковки макромолекул, а, следо-
вательно, подвижность цепей, их релаксационные и другие свойства. Процессы ад-
сорбции играют существенную роль при формировании закупоривающих свойств
высоко проницаемых пор пласта нефтяных месторождений [2–3].
В работе представлены результаты численного моделирования процесса завод-
нения нефтеносного пласта, проводимого с применением композиции химических
реагентов, добавляемых к воде, нагнетаемой в пласт, что способно существенно ме-
нять гидродинамические характеристики пластовых флюидов. За основу матема-
тической модели принимается уравнение одномерной фильтрации с учетом конвек-
тивной диффузии, а также уравнения сохранения полимерного вещества с учетом
кинетики сорбционного процесса. Процесс адсорбции предполагается равновесным.
Связь адсорбции с концентрацией задается изотермой Генри. C учетом явлений ад-
сорбции и конвективной диффузии уравнение при ϑ = ϑ0 − const имеет вид [2–5].
ϑ
∂U
∂x
+
∂(mU)
∂t
+
∂as
∂t
= D
∂2U
∂x2
, (1)
где m = m(x, t) – пористость среды, U = U(x, t) – показатель концентрации адсор-
бента в сечении пористой трубки, отстоящей от начала слоя на расстоянии x, D –
коэффициент диффузии. Между пористостью m(x, t) и адсорбцией имеется следу-
ющая связь:
m(x, t) = m0 ± Γ
2δ
U(x, t). (2)
184
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции
Здесь Γ – коэффициент Генри, δ – плотность сорбирующего вещества в твердой фазе
(начальная пористость, в частности, для раствора ПАА δ = 1,1 г/м3).
При линейной изотерме
as(x, t) = ΓC∗(x, t). (3)
Предположим, что выполнено условие
C∗(x, t) =
U(x, t)
2
. (4)
Тогда из (1)–(4) имеем:
∂m
∂t
= ± Γ
2δ
∂U
∂t
,
∂(mU)
∂t
=
∂m
∂t
U + m
∂U
∂t
= [m0 ± Γ
2δ
(U + 1)]
∂U
∂t
.
В результате уравнение (1) может быть переписано в виде
ϑ
∂U
∂x
+ [m0 ± Γ
2δ
(U + 1)]
∂U
∂t
= D
∂2U
∂x2
. (5)
Уравнение (5) является уравнением параболического типа и может быть иссле-
довано численными методами. Дополним уравнение (5) следующими начальными и
граничными условиями:
U(x, t)|x=0 = U(0, t) = U0(t), t ∈ [0, T ], (6)
U(x, t)|t=0 = U(x, 0) = U1(x), x ∈ (0, 1], (7)
a(x, t)|t=0 = a(x, 0) = a0(x), x ∈ (0, 1], (8)
m(x, t)|t=0 = m(x, 0) = m0(x), x ∈ (0, 1], (9)
Решение задач (5)–(9) будем искать с помощью методов приближенных вычисле-
ний, а именно методом конечных разностей [6, 7]. Введем прямоугольную сеточную
область Wh
τ = Dh ×Dτ , где
Dh = {xk = kh, k = 0, 1, . . . K, xK = 1}, (10)
Dτ = {tn = nτ, n = 0, 1, . . . N, tN = T}. (11)
В узловых точках (x, t) ≡ (xk, tn) ∈ Wh
τ уравнение (5) заменим дискретным
соотношением
ϑ
U(x + ∆x)− U(x−∆x)
2∆x
+ {m0 ± Γ
2δ
[U(x, t) + 1]}U(x, t + ∆t)− U(x, t)
∆t
=
=D
U(x + ∆x, t)− 2U(x, t) + U(x−∆x, t)
(∆x)2
. (12)
185
Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани
Таким образом, уравнение (12) представлено в виде явной разностной схемы,
которая условно устойчива. Приведем его к каноническому виду, разрешая относи-
тельно Un
k (x, t + ∆t) на n + 1-ом временном слое. Получаем
Un
k (x, t + ∆t) = (A + B)U(x−∆x, t) + (1− 2B)U(x, t) + (B −A)U(x + ∆x, t), (13)
где
A =
ϑ∆t
2∆x{m0 ± Γ
2δ (U + 1)} , B =
D∆t
(∆x)2{m0 ± Γ
2δ (U + 1)} ,
∆x,∆t – шаги дискретизации сетки Wh
τ по переменным x и t соответственно.
Достаточным условием положительности коэффициентов уравнения (13) явля-
ется
A ≤ B ≤ 0, 5 (14)
Неравенство (14) равносильно условию
∆t
∆x
≤ 2min(B; 0, 5). (15)
Полагая x = xk, t = tn, k = 0, 1, . . . K, n = 0, 1, . . . N , с помощью выражения
(13) вычисляем последовательно значения U(x, t) во всех точках сеточной области
Wh
τ : U0
0 , U0
1 , . . . , U0
K , U1
0 , U1
1 , . . . , U1
K , . . . , UN
0 , UN
1 , . . . , UN
K .
Для определения устойчивости разностной схемы (13) введем сеточную норму
max
k
|U(xk, tn)| = max
k
|Un
k | = ‖Un‖. (16)
Из условий (15) и положительности коэффициентов уравнения (13) следует, что
‖U(xk, tn+1‖ ≤ ‖U(xk, tn)‖. (17)
Поэтому экстремальное значение решения конечно-разностной схемы (13) достига-
ется либо на границах области (k = 0, k = K), либо на начальном слое (n = 0).
Рис. 1. Шаблон дискретизации для явной разностной схемы, σ = 0
186
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции
Рис. 2. Шаблон дискретизации для неявной разностной схемы, σ = 1
Рис. 3. Шаблон дискретизации для явной и неявной разностных схем, 0 < σ < 1
Аппроксимируем уравнение (5) с помощью неявной разностной схемы (рис.2)
ϑ
U(x + ∆x, t)− U(x−∆x, t)
2∆x
+ {m0 ± Γ
2δ
[U(x, t) + 1]}U(x, t + ∆t)− U(x, t)
∆t
=
=D
U(x + ∆x, t + ∆t)− 2U(x, t + ∆t) + U(x−∆x, t + ∆t)
(∆x)2
. (18)
Умножая обе части уравнения (18) на множитель
∆t
m0 ± Γ
2δ [U(x, t) + 1]
,
приводим его к каноническому виду:
ϑ∆t
2∆x[m0 ± Γ
2δ [U(x, t) + 1]]
[U(x + ∆x, t)− U(x−∆x, t)] + U(x, t + ∆t)− U(x, t) =
=
D∆t
(∆x)2[m0 ± Γ
2δ [U(x, t) + 1]
[U(x + ∆x, t + ∆t)− 2U(x, t + ∆t) + U(x−∆x, t + ∆t)].
(19)
Полагая U(x, t) = U(xk, tn) = Un
k , уравнение (19) можно переписать в виде
(Bn
k + An
k)Un+1
k−1 + (1− 2Bn
k )Un+1
k + (Bn
k −An
k)Un+1
k+1 = Un
k (20)
187
Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани
или
an
kUn+1
k−1 + bn
kUn+1
k + cn
kUn+1
k+1 = Un
k , (21)
где
An
k =
ϑ∆t
2∆x{m0 ± Γ
2δ (Un
k + 1)} , Bn
k =
D∆t
(∆x)2{m0 ± Γ
2δ (Un
k + 1)} ,
an
k = Bn
k + An
k , bn
k = 1− 2Bn
k , cn
k = Bn
k −An
k .
Уравнение (21) может также быть записано в матричном виде:
An+1
u,k Un+1 = Bu,k. (22)
В результате получена система линейных алгебраических уравнений для определе-
ния значений функции Un+1
k , k = 0,K, n = 0, N в узлах сеточной области Wh
τ
временного слоя n + 1.
Рассмотрим теперь комбинацию явной и неявной разностных схем. С этой целью
перепишем уравнения (12) и (13) в операторном виде
ϑ
U(x, t + ∆t)− U(x, t)
∆t
= D
U(x + ∆x, t)− 2U(x, t) + U(x−∆x, t)
(∆x)2
−
− ϑ
U(x + ∆x, t)− U(x−∆x, t)
2∆x
≡ L1U
n
k , (23)
ϑ
U(x, t + ∆t)− U(x, t)
∆t
= D
U(x + ∆x, t + ∆t)− 2U(x, t + ∆t) + U(x−∆x, t−∆t)
(∆x)2
−
− ϑ
U(x + ∆x, t + ∆t)− U(x−∆x, t + ∆t)
2∆x
≡ L2U
n+1
k . (24)
Умножая равенства (23) и (24) на числовые параметры σ и 1− σ, соответствен-
но, и складывая полученные выражения, получаем однопараметрическое семейство
комбинаций явных и неявных схем:
ϑ
Un−1
k − Un
k
∆t
= σL1U
n
k + (1− σ)L2U
n+1
k , (25)
где 0 ≤ σ ≤ 1. В частности, при σ = 0 получаем неявную разностную схему, а при
σ = 1 явную схему численного интегрирования уравнения (5). Отметим также, что
метод шеститочечной симметричной схемы Крапка-Никольсона получается из (25)
при σ = 0, 5.
В формулах (24) и (25) L1, L2 являются линейными разностными операторами.
Целесообразность их использования в виде смешанной разностной схемы объясня-
ется следующими причинами.
В явной разностной схеме при переходе от n-го временного слоя на слой n + 1
число арифметических операций минимально и пропорционально K – числу разби-
ений области Dh = {xk = kh, k = 0, 1, . . . K}. Однако, получаемое при этом решение
188
Численное решение уравнения фильтрации в пористой среде с учетом адсорбции
является условно устойчивым, т.е. устойчивым при малом времени t. Преимуще-
ство неявной разностной схемы заключается в том, что решение задачи абсолютно
устойчиво, но число арифметических действий пропорционально M3.
Исследуем погрешность предложенной аппроксимации решения уравнения (5).
Для этого положим
Pn
k = U(xk, tn) + δUn
k , (26)
где U(xk, tn) точное решение уравнения (5), Pn
k – приближенное решение конечно-
разностного аналога уравнения (5) в сеточной области Wh
τ , δUn
k – погрешность.
Подставляя (26) в (5) и считая U(x, t) гладкой функцией, при малых ∆x,∆t можем
записать
ϑ
δUn+1
k − δUn
k
∆t
= σδPn+1
k + (1− σ)L2δP
n
k +
[
ϑ
∂U
∂t
− L1U
]n
k
+ O(∆t,∆x2). (27)
Так как U(xk, tn) точное решение в сеточной области Wh
τ , то
[
ϑ
∂U
∂t
− L1U
]n
k
= 0. (28)
Сравнивая (26) с (25) заключаем, что решение исходной задачи удовлетворяет
(5) с точностью до погрешности аппроксимации O(∆t, ∆x2), т.е. сеточное уравнение
аппроксимирует исходную задачу (5) первым порядком точности по времени t и
вторым порядком точности по ∆x.
Уравнение (25) можно записать в виде (22):
An+1
u,k Un+1 = Bn
u,k. (29)
Матрица Au,k =
{
aj
u,i
}i=1,M
j=1,N
является матрицей трехдиагонального типа, кото-
рая образована с помощью компонент трех векторов
au = (au,1, au,1, . . . au,K),
bu = (bu,1, bu,1, . . . bu,K),
cu = (cu,1, cu,1, . . . cu,K).
(30)
Уравнение (29) запишем в компактном виде, удобном для программирования,
определяя координаты этих векторов по следующим алгоритмам:
an
u,1 = 0; au,k = an
u,k; k = 1,K,
cu,K = 0; cu,k = cn
u,k; k = n− 1, n = 1,K − 1,
bu,k = au,k,k, k = 1, K.
(31)
Таким образом, трёхдиагональная матрица An
u,k и вектор правой части с размер-
ностью K Bn
u,k заданы в n-ом временном слое. Решение ищется в n+1-ом временном
189
Г.М. Панахов, Г.М. Аббасов, А.Н. Омрани
слое. Из полученных оценок следует сходимость сеточного решения к точному ре-
шению исходного уравнения (5). Система алгебраических уравнений (29) решается
с помощью метода прогонки. Необходимое условие его устойчивости имеет вид:
|bn
u,k| ≥ |an
u,k|+ |cn
u,k|, k = 1,K, n = 1, N. (32)
Отметим, что преимущество метода прогонки, используемого в работе, заключа-
ется в его высокой экономичности. Требуемое количество арифметических операций
имеет порядок K ∼ 1
h , т.е. минимально.
Таким образом, в работе были получены эффективные алгоритмы решения за-
дачи одномерной фильтрации жидкости с учетом уравнения адсорбции и конвектив-
ной диффузии. Уравнение, описывающее исследуемый процесс, дискретизируется в
сеточной области и полученные соотношения решаются методом прогонки. Приве-
дены оценки погрешности аппроксимации и показано, что точность аппроксимации
имеет первый порядок по временному шагу разбиения ∆t и второй порядок по про-
странственному шагу ∆x.
1. Мирзаджанзаде А.Х., Хасанов М.М., Бахтизин Р.Н. Этюды о моделировании сложных систем
нефтедобычи. Нелинейность, неравновесность, неоднородность. – Уфа: Гилем, 1999, 464с.
2. Халимов Э.М., Сатаров М.М., Зайнетдинов Ю.З., Галлямов М.Н. Повышение эффективности
разработки нефтяных месторождений Башкирии. – Уфа. Башкнигоиздат, 1972, 190с.
3. Швецов И.А., Манырин В.Н. Физико-химические методы увеличения нефтеотдачи пластов. –
Самара, 2000, 336с.
4. Рабинович Н.Р. Инженерные задачи механики сплошной среды в бурении. – М: Недра, 1987,
270с.
5. Мирзаджанзаде А.Х., Аметов И.М., Басниев К.С. и др. Технология добычи природных газов,
1987, 414с.
6. Ентов В.М., Мусин Р.М. Микромеханика нелинейных двухфазных течений в пористых средах.
Сеточное моделирование и перкаляционный анализ // Изв. РАН, МЖГ, 1997, №2.
7. Аббасов Г.М. Численное исследование процесса вытеснения жидкости в двухфазном нефте-
носном пласте // Труды ИПММ НАН Украины. – Т.14. – 2007. – С.3-7.
Институт прикладной математики БГУ, Баку
hummet_abbasov@mail.ru
Получено 19.05.09
190
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|