Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов
В данной статье для кольцевых Q-гомеоморфизмов f : Rⁿ → Rⁿ установлен порядок роста на бесконечности.
Gespeichert in:
| Datum: | 2009 |
|---|---|
| Hauptverfasser: | , |
| Format: | Artikel |
| Sprache: | Russian |
| Veröffentlicht: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2009
|
| Schriftenreihe: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Online Zugang: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123917 |
| Tags: |
Tag hinzufügen
Keine Tags, Fügen Sie den ersten Tag hinzu!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Zitieren: | Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов / Р.Р. Салимов, Е.С. Смоловая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 209-213. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
Institution
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123917 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239172017-09-14T03:03:21Z Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов Салимов, Р.Р. Смоловая, Е.С. В данной статье для кольцевых Q-гомеоморфизмов f : Rⁿ → Rⁿ установлен порядок роста на бесконечности. 2009 Article Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов / Р.Р. Салимов, Е.С. Смоловая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 209-213. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123917 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В данной статье для кольцевых Q-гомеоморфизмов f : Rⁿ → Rⁿ установлен порядок роста на бесконечности. |
| format |
Article |
| author |
Салимов, Р.Р. Смоловая, Е.С. |
| spellingShingle |
Салимов, Р.Р. Смоловая, Е.С. Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Салимов, Р.Р. Смоловая, Е.С. |
| author_sort |
Салимов, Р.Р. |
| title |
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов |
| title_short |
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов |
| title_full |
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов |
| title_fullStr |
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов |
| title_full_unstemmed |
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов |
| title_sort |
поведение на бесконечности кольцевых q-гомеоморфизмов |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2009 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123917 |
| citation_txt |
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов / Р.Р. Салимов, Е.С. Смоловая // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2009. — Т. 19. — С. 209-213. — Бібліогр.: 19 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT salimovrr povedenienabeskonečnostikolʹcevyhqgomeomorfizmov AT smolovaâes povedenienabeskonečnostikolʹcevyhqgomeomorfizmov |
| first_indexed |
2025-07-09T00:31:47Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:31:47Z |
| _version_ |
1837127289372934144 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2009. Том 19
УДК 517.5
c©2009. Р.Р. Салимов, Е.С. Смоловая
ПОВЕДЕНИЕ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ КОЛЬЦЕВЫХ
Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ
В данной статье для кольцевых Q-гомеоморфизмов f : Rn → Rn установлен порядок роста на
бесконечности.
Введение. Ввиду того, что емкости и модули являются основным геометри-
ческим методом в современной теории отображений, следующая концепция бы-
ла предложена профессором Олли Мартио, см., напр., [10]. Пусть G и G′ – обла-
сти в Rn, n ≥ 2, и пусть Q : G → [1,∞] – измеримая функция. Гомеоморфизм
f : G → Rn = Rn
⋃{∞} называется Q-гомеоморфизмом, если
M(fΓ) ≤
∫
G
Q(x) · ρn(x) dm(x) (1)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции ρ семейства Γ.
Эта концепция является естественным обобщением геометрического определения
квазиконформного отображения по Вяйсяля, см., напр., [4]. Целью теории Q-гоме-
оморфизмов является установление взаимосвязей между различными свойствами
мажоранты Q и самого отображения f .
Напомним, что борелева функция ρ : Rn → [0,∞] называется допустимой для
семейства кривых Γ в Rn, пишут ρ ∈ admΓ, если∫
γ
ρ ds ≥ 1 (2)
для всех γ ∈ Γ. Модуль семейства кривых Γ определяется равенством
M(Γ) = inf
ρ∈adm Γ
∫
G
ρn(x) dm(x) , (3)
где m – мера Лебега в Rn.
Проблемы локального и граничного поведения Q-гомеоморфизмов в Rn изуча-
лись в случае Q ∈ BMO (ограниченного среднего колебания) в работах [8]–[11],
Q ∈ FMO (конечного среднего колебания) и в других случаях в работах [1], [12]–
[14]. В работе [15] установлено свойство ACL для Q-гомеоморфизмов в Rn, n ≥ 2
при Q ∈ L1
loc(G). Также показана принадлежность таких Q-гомеоморфизмов собо-
левскому классу W1,1
loc и дифференцируемость п.в. Эти результаты были перенесены
на кольцевые Q-гомеоморфизмы в работе [16]. В данной работе для кольцевых Q-
гомеоморфизмов f : Rn → Rn устанавливается порядок роста на бесконечности.
Пусть G и G′ – области в Rn, n ≥ 2. Будем говорить, что гомеоморфизм f : G → G′
называется кольцевым Q-гомеоморфизмом в точке x0 ∈ G, если
209
Р.Р. Салимов, Е.С. Смоловая
M(4(fS1, fS2, G′)) ≤
∫
A
Q(x) · ηn(|x− x0|) dm(x) (4)
выполняется для любого кольца A = A(r1, r2, x0) = {x ∈ Rn : r1 < |x − x0| < r2},
Si = S(x0, ri) = {x ∈ Rn : |x− x0| = ri}, i = 1, 2, 0 < r1 < r2 < d0 = dist(x0, ∂G), и
для любой измеримой функции η : (r1, r2) → [0,∞] такой, что
r2∫
r1
η(r) dr ≥ 1. (5)
Следуя работе [6], пару E = (A,C), где A ⊂ Rn – открытое множество и C
– непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором. E
называем кольцевым конденсатором, если B = A\C – кольцо, т.е., если B – область,
дополнение которой Rn \B состоит в точности из двух компонент. E называем огра-
ниченным конденсатором, если множество A является ограниченным. Говорят, что
конденсатор E = (A, C) лежит в области G, если A ⊂ G . Очевидно, что если
f : G → Rn – открытое отображение и E = (A,C) – конденсатор в G, то (fA, fC)
также конденсатор в fG . Далее fE = (fA, fC) .
Пусть E = (A, C) – конденсатор. W0(E) = W0(A, C) – семейство неотрица-
тельных функций u : A → R1 таких, что 1) u ∈ C0(A), 2) u(x) ≥ 1 для x ∈ C, и
3) u принадлежит классу ACL и пусть
|∇u| =
(
n∑
i=1
(∂iu)2
)1/2
. (6)
Величину
capE = cap (A, C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|n dm (7)
называют ёмкостью конденсатора E . Известно, что
(cap E)n−1 ≥ bn
d(C)n
m(A)
, (8)
где d(C) – диаметр компакта C, m(A) – мера Лебега множества A, bn – положитель-
ная константа, зависящая только от размерности n, см. Лемму 5.9 в [6] и
cap E = M(∆(∂A, ∂C; A \ C)) , (9)
где, для множеств S1, S2 и S3 в Rn, n ≥ 2, ∆(S1, S2;S3) обозначает семейство всех
непрерывных кривых, соединяющих S1 и S2 в S3, см. [2], [3] и [19].
Известно, что
cap E ≥ (inf mn−1 S)n
[m(A \ C)]n−1 , (10)
где mn−1 S – (n − 1)-мерная мера Лебега C∞ – многообразия S, являющегося гра-
ницей S = ∂U ограниченного открытого множества U , содержащего C и содержа-
щегося вместе со своим замыканием U в A, а точная нижняя грань берется по всем
таким S, см. предложение 5 из [5].
210
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов
Из (10) следует, что
inf mn−1 S ≥
[
m(A \ C)
]n−1
n
(capE)
1
n . (11)
Применяя изопериметрическое неравенство, получаем
capE ≥ nnΩn
[
m(C)
m(A \ C)
]n−1
. (12)
В дальнейшем, B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r}.
Для доказательства основного результата нам потребуется следующая лемма.
Лемма 1. Пусть f : Rn → Rn – кольцевой Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ Rn,
0 < r < R < ∞, тогда
m(fB(x0, r)) ≤ m(fB(x0, R)) · exp
−n
R∫
r
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
, (13)
где qx0(t) = 1
wn−1·tn−1 ·
∫
|x−x0|=t
Q(x)ds.
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо Rt(x0) = {x : t < |x−x0| < t+4t}.
Пусть Ct = B(x0, t), At+4t = B(x0, t + 4t), имеем конденсатор (At+4t, Ct), тогда
(fAt+4t, fCt) – кольцевой конденсатор в Rn согласно (9)
cap(fAt+4t, fCt) = M(4(∂fAt+4t, ∂fCt; fRt(x0))) . (14)
Определим функцию Φ(t) для данного гомеоморфизма f следующим образом
Φ(t) = m(fB(x0, t)). В силу неравенства (12), получим
cap(fAt+4t, fCt) ≥ nnΩn
[
m(fCt)
m(fAt+4t\fCt)
]n−1
. (15)
По критерию кольцевого Q-гомеоморфизма, см., напр., [9] с.137, имеем
cap(fAt+4t, fCt) ≤ wn−1(
t+∆t∫
t
ds
sq
1
n−1
x0
(s)
)n−1 . (16)
Следовательно,
nnΩn
[
m(fCt)
m(fAt+4t\fCt)
]n−1
≤ wn−1(
t+∆t∫
t
ds
sq
1
n−1
x0
(s)
)n−1 . (17)
Обозначая, через Φ(t) = m(f(x0, t)), имеем
n
Φ(t)
Φ(t + ∆t)− Φ(t)
≤ 1
t+∆t∫
t
ds
sq
1
n−1
x0
(s)
. (18)
211
Р.Р. Салимов, Е.С. Смоловая
Разделив обе части на ∆t, получим
n
1
∆t
·
t+∆t∫
t
ds
sq
1
n−1
x0 (s)
≤ 1
Φ(t)
· Φ(t + ∆t)− Φ(t)
∆t
. (19)
Устремляя ∆t к нулю, имеем для п.в. t
n
1
tq
1
n−1
x0 (t)
≤ Φ′(t)
Φ(t)
. (20)
Интегрируя обе части неравенства (20) по t ∈ [r,R], получим
n
R∫
r
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
≤ ln
Φ(R)
Φ(r)
. (21)
И, следовательно, имеем
exp
n
R∫
r
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
≤ Φ(R)
Φ(r)
, (22)
Наконец, обозначая Φ(r) = m(fB(x0, r)) и Φ(R) = m(fB(x0, R)), получим оценку
m(fB(x0, r)) ≤ m(fB(x0, R)) · exp
−n
R∫
r
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
. (23)
1. О поведении на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов. Фор-
мулируемая ниже теорема представляет собой аналог известной теоремы Лиувил-
ля о несуществовании отличной от константы, ограниченной во всей плоскости
аналитической функции. Для квазирегулярных отображений данное утверждение
получено в работе [7]. Аналогичные вопросы для кольцевых Q-отображений иссле-
довались в работах [17], [18].
Теорема 1. Пусть f : Rn → Rn – кольцевой Q-гомеоморфизм в точке x0 ∈ Rn.
Тогда
lim inf
R→∞
L(x0, f, R) · exp
−
R∫
r0
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
> 0, (24)
где
L(x0, f, R) = sup
|x−x0|≤R
|f(x)− f(x0)|
и r0 – произвольное положительное число.
212
Поведение на бесконечности кольцевых Q-гомеоморфизмов
Доказательство. Замечая, что m(fB(x0, R)) ≤ Ωn · Ln(x0, f, R), из леммы 1
получаем
m(fB(x0, r0)) ≤ Ωn · Ln(x0, f, R) · exp
−n
R∫
r0
dt
tq
1
n−1
x0 (t)
. (25)
Очевидно, что m(fB(x0, r0)) > 0 и от R никак не зависит. Переходя к нижнему
пределу в (25), при R →∞, получаем (24).
1. Ignat’ev A., Ryazanov V. Finite mean oscillation in the mapping theory // Ukrainian Math. Bull. –
2005. – V.2, №3. – P.403-424.
2. Gering F.W. Quasiconformal mappings in Complex Analysis and its Applications // V.2, Internatio-
nal Atomic Energy Agency, Vienna, 1976.
3. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arc. Mat. – 1975. – 13. – P.131-144.
4. Väisälä J. Lectures on n−Dimensional Quasiconformal Mappings // Lecture Notes in Math. 229,
Berlin etc., Springer–Verlag, 1971.
5. Кругликов В.И. Ёмкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные
в среднем // Матем. сб. – T.130, №2. – C.185-206.
6. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. Math. – 1969. – 448. – 40pp.
7. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Distortion and singularities of quasiregular mappings // Ann.
Acad. Sci. Fenn. Ser. A. Math. – 1970. – 465. – 13pp.
8. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Mappings with finite length distortion // J. d’Anal.
Math. – 2004. – V.93. – P.215-236.
9. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Moduli in modern mapping theory // Springer,
New York, 2009.
10. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On Q−homeomorphisms // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. Math. – 2005. – V.30. – P.49-69.
11. Martio O., Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. Q−homeomorphisms // Contemporary Math. –
2004. – V.364. – P.193-203.
12. Ryazanov V., Salimov R. Weakly flat spaces and boundaries in the mapping theory // Ukrainian
Math. Bull. – 2007. – V.4, №2. – P.199-234.
13. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. On ring solution of Beltrami equations // J. d’Anal. Math. –
2005. – V.96. – P.117-150.
14. Ryazanov V., Srebro U., Yakubov E. The Beltrami equation and ring homeomorphisms // Ukrainian
Math. Bull. – 2007. – T.4, №1. – P.79-115.
15. Салимов Р. Абсолютная непрерывность на линиях и дифференцируемость одного обобщения
квазиконформных отображений // Изв. РАН. Сер. матем., 2008, 72:5. – С.141-148.
16. Салимов Р., Севостьянов Е. ACL и дифференцируемость почти всюду кольцевых гомеомор-
физмов // Труды ИПММ НАН Украины. – 2008. – T.16. – С.171-178.
17. Севостьянов Е. Теоремы Лиувилля, Пикара и Сохоцкого для кольцевых отображений //
Український математичний вiсник. – 2008. – T.5, №3. – С.366-381.
18. Севостьянов Е. Устранение особенностей и аналоги теоремы Сохоцкого–Вейерштрасса // Укр.
мат. журн. – 2009. – Т.61, №1. – С.116-126.
19. Shlyk V.A. On the equality between p-capacity and p-modulus // Sibirsk. Mat. Zh. – 1993. – V.34,
№6. – P.216-221; transl. in Siberian Math. J. – 1993. – V.34, №6. – P.1196-1200.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
salimov@iamm.ac.donetsk.ua
smolovayaes@yandex.ru
Получено 10.11.09
213
титул
Научное издание
Том 19
содержание
Том 19
Донецк, 2009
Основан в 1997г.
|