Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой
Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия анизотропной пластины, плоские грани которой покрыты диафрагмой. Для этого класса задач получены однородные решения. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптической полостью, на боковой поверхности которой...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123921 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой / Е.В. Алтухов, А.В. Винник // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 3-12. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123921 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239212017-09-15T03:02:07Z Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой Алтухов, Е.В. Винник, А.В. Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия анизотропной пластины, плоские грани которой покрыты диафрагмой. Для этого класса задач получены однородные решения. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптической полостью, на боковой поверхности которой заданы постоянные по толщине внешние усилия. Розглянуто тривимірну задачу пружньої рівноваги анізотропної пластини, плоскі грані якої покриті діафрагмою. Для цього класу задач одержано однорідні розв'язки. Проведено чисельні дослідження напруженого стану нескінченної пластини з еліптичною порожниною, на бічній поверхні якої завдано постійні по товщині зовнішні зусилля. The three-dimensional problem of an elastic equilibrium of an anisotropic plate which flat edges are covered with a diaphragm is considered. For this class of problems homogeneous solutions are obtained. Numerical researches of a stress state of an infinite plate with an elliptic cavity on which lateral surface exterior efforts are set fixed on width carried out. 2010 Article Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой / Е.В. Алтухов, А.В. Винник // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 3-12. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123921 539.3 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия анизотропной пластины, плоские грани которой покрыты диафрагмой. Для этого класса задач получены однородные решения. Проведены численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптической полостью, на боковой поверхности которой заданы постоянные по толщине внешние усилия. |
| format |
Article |
| author |
Алтухов, Е.В. Винник, А.В. |
| spellingShingle |
Алтухов, Е.В. Винник, А.В. Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Алтухов, Е.В. Винник, А.В. |
| author_sort |
Алтухов, Е.В. |
| title |
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой |
| title_short |
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой |
| title_full |
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой |
| title_fullStr |
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой |
| title_full_unstemmed |
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой |
| title_sort |
напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123921 |
| citation_txt |
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой / Е.В. Алтухов, А.В. Винник // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 3-12. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT altuhovev naprâžennoesostoânieanizotropnyhplastinstorcamipokrytymidiafragmoj AT vinnikav naprâžennoesostoânieanizotropnyhplastinstorcamipokrytymidiafragmoj |
| first_indexed |
2025-07-09T00:32:19Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:32:19Z |
| _version_ |
1837127321474039808 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20
УДК 539.3
c©2010. Е.В. Алтухов, А.В. Винник
НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
С ТОРЦАМИ, ПОКРЫТЫМИ ДИАФРАГМОЙ
Рассмотрена трехмерная задача упругого равновесия анизотропной пластины, плоские грани ко-
торой покрыты диафрагмой. Для этого класса задач получены однородные решения. Проведены
численные исследования напряженного состояния бесконечной пластины с эллиптической поло-
стью, на боковой поверхности которой заданы постоянные по толщине внешние усилия.
Ключевые слова: трехмерные oднородные решения, анизотропные пластины, слой с эллипти-
ческой полостью.
Введение. Развитию аналитических методов решения трехмерных задач тео-
рии упругости анизотропного тела и исследованию концентрации напряжений в
элементах конструкций из композиционных материалов посвящены обзорные ста-
тьи [1 – 4]. Эффективным методом решения трехмерных задач статики упругих
трансверсально-изотропных пластин является метод однородных решений [5, 6]. В
работе [6] получены однородные решения уравнений трехмерной теории упругости
для трансверсально-изотропных пластин, на плоских гранях которых нормальное
напряжение и тангенциальные смещения равны нулю. На их основе получено точ-
ное решение задачи о напряженном состоянии слоя с цилиндрической полостью. В
данной статье аналогичные исследования проведены для анизотропных пластин с
одной плоскостью упругой симметрии.
Постановка задачи и построение однородных решений. Рассмотрим ани-
зотропную пластину толщиной 2h, которая отнесена к прямоугольной системе ко-
ординат Ox1x2x3. Пластина имеет плоскость упругой симметрии, совпадающую со
срединной плоскостью Ox1x2. Для решения задачи о напряженном состоянии рас-
сматриваемой пластины необходимо проинтегрировать уравнения равновесия в пе-
ремещениях [3], которые представляются таким образом:
(L11 + A55∂
2
3)u1 + (L12 + A54∂
2
3)u2 + L13∂3u3 = 0,
(L21 + A45∂
2
3)u1 + (L22 + A44∂
2
3)u2 + L23∂3u3 = 0,
L31∂3u1 + L32∂3u2 + (L33 + A33∂
2
3)u3 = 0.
(1)
Здесь
L11 = A11∂
2
1 + 2A16∂1∂2 + A66∂
2
2 , L12 = A16∂
2
1 + (A12 + A66)∂1∂2 + A26∂
2
2 ,
L22 = A66∂
2
1 + 2A26∂1∂2 + A22∂
2
2 , L13 = α13∂1 + α45∂2,
L33 = A55∂
2
1 + 2A45∂1∂2 + A44∂
2
2 , L23 = α45∂1 + α23∂2,
L21 = L12, L31 = L13, L32 = L23, α13 = A13 + A55, α23 = A23 + A44,
α45 = A36 + A45, ∂i = ∂/∂xi, Aij − модули упругости.
3
Е.В. Алтухов, А.В. Винник
Вводя следующие обозначения для напряжений σ1 = σ11, σ2 = σ22, σ3 = σ33,
σ4 = σ23, σ5 = σ13, σ6 = σ12, уравнения обобщенного закона Гука [7] запишем в
следующей форме:
σi = (Ai1∂1 + Ai6∂2)u1 + (Ai6∂1 + Ai2∂2)u2 + Ai3∂3u3 (i = 1, 2, 3, 6),
σi = Ai5∂3u1 + Ai4∂3u2 + (Ai5∂1 + Ai4∂2)u3 (i = 4, 5).
(2)
Решение системы (1) необходимо осуществлять с учетом граничных условий сме-
шанного типа на плоских гранях пластины [5]
σ33(x1, x2,±h) = 0, ui(x1, x2,±h) = 0 (i = 1, 2). (3)
Решения системы (1), удовлетворяющие граничным условиям (3), называются
однородными [8]. В случае симметричной деформации пластины относительно сре-
динной плоскости представим компоненты вектора перемещений в виде [5, 6]
ui =
∞∑
k=1
uik(x1, x2) cos(βkx3) (i = 1, 2),
u3 =
∞∑
k=1
u3k(x1, x2) sin(βkx3), βk = (2k − 1)π/(2h).
(4)
Аналогично при кососимметричном нагружении пластины имеем
ui =
∞∑
k=1
uik(x1, x2) sin(δkx3) (i = 1, 2),
u3 =
∞∑
k=0
u3k(x1, x2) cos(δkx3), δk = kπh−1.
(5)
Тогда граничные условия (3) будут удовлетворены, а из уравнений равновесия
(1) получим системы дифференциальных уравнений для определения неизвестных
функций uik (i = 1, 3). Например, используя разложения (5), будем иметь
L33u30 = 0 k = 0, (6)
3∑
n=1
D
(k)
in unk = 0 (i = 1, 3) k ≥ 1, (7)
где
D
(k)
11 = A55 − λ2
kL11, D
(k)
12 = A54 − λ2
kL12, D
(k)
13 = λkL13,
D
(k)
21 = A45 − λ2
kL21, D
(k)
22 = A44 − λ2
kL22, D
(k)
23 = λkL23,
D
(k)
31 = λkL31, D
(k)
32 = λkL32, D
(k)
33 = λ2
kL33 −A33, λk = (δk)−1 = h/(kπ).
4
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой
Общее решение уравнения (6) представим так
u30 = 2Re [ϕ3(z3)/(A45 + A44µ3)] . (8)
Здесь ϕ3(z3) – произвольная аналитическая функция обобщенной комплексной пе-
ременной z3 = x1 + µ3x2; µ3 – корень характеристического уравнения
A55 + 2A45µ + A44µ
2 = 0.
В результате, выражения для напряжений (2) становятся такими:
σ40 = 2Reϕ′3(z3), σ50 = −2Re
[
µ3ϕ
′
3(z3)
]
, ϕ′3(z3) = dϕ3/dz3,
σ10 = σ20 = σ30 = σ60 = 0.
(9)
Соотношения (8) и (9) можно использовать при решении задач типа антиплос-
кой деформации для пластин с полостями. Пусть пластина деформируется уси-
лиями, приложенными к боковым поверхностям полостей, и внешними усилиями
σ∞5 = t5, σ∞4 = t4, заданными на бесконечности. Тогда граничные условия для
определения комплексной функции ϕ3(z3) на поверхности r-той полости имеют вид
σ50n1r + σ40n2r = −n1rt5 − n2rt4 + Nr(s), (10)
где Nr(s) – касательная составляющая внешних усилий, приложенных к боковой
поверхности; n1r = cos(nr, x1), n2r = cos(nr, x2), nr – нормаль к контуру Lr.
Решение системы уравнений (7) будем находить в виде разложения по параметру
λk = h/(kπ)
unk = ϕnk +
∞∑
p=0
λp+1
k unkp. (11)
Подставляя разложения (11) в уравнения равновесия (7), получим
A55ϕ1k + A54ϕ2k + λk(A55u1k0 + A54u2k0 + L13ϕ3k)+
+ λ2
k[A55u1k1 + A54u2k1 − L11ϕ1k − L12ϕ2k + L13u3k0]+
+
∞∑
p=2
λp+1
k [A55u1kp + A54u2kp − L11u1k,p−2 − L12u2k,p−2 + L13u3k,p−1] = 0;
(12)
A45ϕ1k + A44ϕ2k + λk(A45u1k0 + A44u2k0 + L23ϕ3k)+
+ λ2
k[A45u1k1 + A44u2k1 − L21ϕ1k − L22ϕ2k + L23u3k0]+
+
∞∑
p=2
λp+1
k [A45u1kp + A44u2kp − L21u1k,p−2 − L22u2k,p−2 + L23u3k,p−1] = 0;
(13)
5
Е.В. Алтухов, А.В. Винник
A33ϕ3k + λk(A33u3k0 − L31ϕ1k − L32ϕ2k)+
+ λ2
k[A33u3k1 − L31u1k0 − L32u2k0 − L33ϕ3k]+
+
∞∑
p=2
λp+1
k [A33u3kp − L31u1k,p−1 − L32u2k,p−1 − L33u3k,p−2] = 0.
(14)
Для системы уравнений (12)-(14) рассмотрим два способа ее решения.
1. Введем функции ϕk так, чтобы ϕ1k = ∂2ϕk, ϕ2k = −∂1ϕk, а функцию ϕ3k
положим равной нулю. Уравнения (12)-(14) в этом случае запишутся в форме:
u1k0 = u2k0 = u3k1 = 0, u3k0 = A−1
33 (L31∂2 − L32∂1)ϕk;
(A55∂2 −A54∂1)ϕk+
+ λ2
k[A55u1k1 + A54u2k1 − (L11∂2 − L12∂1 −A−1
33 L13(L31∂2 − L32∂1))ϕk] = 0;
(15)
(A45∂2 −A44∂1)ϕk+
+ λ2
k[A45u1k1 + A44u2k1 − (L21∂2 − L22∂1 −A−1
33 L23(L31∂2 − L32∂1))ϕk] = 0;
(16)
A55u1kp + A54u2kp = L11u1k,p−2 + L12u2k,p−2 − L13u3k,p−1,
A45u1kp + A44u2kp = L21u1k,p−2 + L22u2k,p−2 − L23u3k,p−1,
u3kp = (L31u1k,p−1 + L32u2k,p−1 + L33u3k,p−2)/A33 p ≥ 2.
(17)
Выражения в квадратных скобках уравнений (15) и (16) представим следующим
образом:
A55u1k1 + A54u2k1 − (L11∂2 − L12∂1 −A−1
33 L13(L31∂2 − L32∂1))ϕk =
= −(A55∂2 −A54∂1)(a∂2
1 + b∂1∂2 + c∂2
2)ϕk;
(18)
A45u1k1 + A44u2k1 − (L21∂2 − L22∂1 −A−1
33 L23(L31∂2 − L32∂1))ϕk =
= −(A45∂2 −A44∂1)(a∂2
1 + b∂1∂2 + c∂2
2)ϕk.
(19)
Для определения неизвестных a, b и c рассмотрим два случая.
1.1. Будем считать
a = a1 = (A54b1 + A11 − α12 − (α2
13 − α13α23 − α2
45)/A33)/A55,
b = b1 = (A54c1 + 2A16 −A26 − α45(2α13 − α23)/A33)/A55,
c = c1 = (A66 − α2
45/A33)/A55.
Тогда функции u1k1 и u2k1 определяются из уравнений
A55u1k1 + A54u2k1 = (A54a1 + α13α45/A33 −A16)∂3
1ϕk,
A45u1k1 + A44u2k1 = (β1∂
3
2 + β2∂
2
2∂1 + β3∂2∂
2
1 + β4∂
3
1)ϕk,
(20)
6
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой
где
β1 = A26 − α23α45/A33 −A45c1,
β2 = α12 −A22 − (α13α23 + α2
45 − α2
23)/A33 −A45b1 + A44c1,
β3 = A16 − 2A26 − α45(α13 − 2α23)/A33 −A45a1 + A44b1,
β4 = α2
45/A33 −A66 + A44a1.
Из соотношений (15) и (16) получим уравнения для функций ψ1k = ϕk
ψ1k − λ2
k(a1∂
2
1 + b1∂1∂2 + c1∂
2
2)ψ1k = 0. (21)
1.2. Возьмем теперь
a = a2 = (A66 − α2
45/A33)/A44,
b = b2 = (A54a2 + 2A26 −A16 + α45(α13 − 2α23)/A33)/A44,
c = c2 = (A54b2 + A22 − α12 − (α2
23 − α13α23 − α2
45)/A33)/A44.
Функции u1k1 и u2k1 в этом случае определяются из уравнений:
A45u1k1 + A44u2k1 = −(A45c2 + α23α45/A33 −A26)∂3
2ϕk,
A55u1k1 + A54u2k1 = (γ1∂
3
2 + γ2∂
2
2∂1 + γ3∂2∂
2
1 + γ4∂
3
1)ϕk,
(22)
где
γ1 = A66 − α45α45/A33 −A55c2,
γ3 = A11 − α12 − (α2
13 − α13α23 − α2
45)/A33 −A55a2 + A54b2,
γ2 = 2A16 −A26 − α45(2α13 − α23)/A33 −A55b2 + A54c2,
γ4 = α13α45/A33 −A16 + A54a2.
Разрешающие для функций ψ2k = ϕk уравнения (15) и (16) примут вид
ψ2k − λ2
k(a2∂
2
1 + b2∂1∂2 + c2∂
2
2)ψ2k = 0. (23)
2. Если положить ϕ1k = ϕ2k = 0, ϕ3k = ψ3k, u1k0 = ∂1ψ3k, u2k0 = ∂2ψ3k, то
уравнения (12)-(14) становятся такими:
u1k1 = u2k1 = u3k0 = u3k1 = 0;
[(α13 + A55)∂1 + (α45 + A54)∂2]ψ3k+
+ λ2
k[A55u1k2 + A54u2k2 − (L11∂1 + L12∂2)ψ3k] = 0;
(24)
[(α45 + A45)∂1 + (α23 + A44)∂2]ψ3k+
+ λ2
k[A45u1k2 + A44u2k2 − (L21∂1 + L22∂2)ψ3k] = 0;
(25)
7
Е.В. Алтухов, А.В. Винник
ψ3k − λ2
k(a3∂
2
1 + b3∂1∂2 + c3∂
2
2)ψ3k = 0, (26)
где a3 = (α13 + A55)/A33, b3 = 2(α45 + A45)/A33, c3 = (α23 + A44)/A33;
A55u1kp + A54u2kp = L11u1k,p−2 + L12u2k,p−2 − L13u3k,p−1,
A45u1kp + A44u2kp = L21u1k,p−2 + L22u2k,p−2 − L23u3k,p−1 p ≥ 3,
u3kp = (L31u1k,p−1 + L32u2k,p−1 + L33u3k,p−2)/A33 p ≥ 2.
(27)
Система уравнений (24)-(25) приводится к уравнению (26), если функции u1k2 и
u2k2 удовлетворяют уравнениям:
A55u1k2 + A54u2k2 = (η1∂
3
1 + η2∂
2
1∂2 + η3∂1∂
2
2 + η4∂
3
2)ψ3k,
A45u1k2 + A44u2k2 = (δ1∂
3
1 + δ2∂
2
1∂2 + δ3∂1∂
2
2 + δ4∂
3
2)ψ3k,
(28)
где η1 = A11 − (α13 + A55)a3, η3 = A66 + α12 − (α13 + A55)c3 − (A45 + α45)b3,
η2 = 3A16 − (α13 + A55)b3 − (A45 + α45)a3, η4 = A26 − (A54 + α45)c3;
δ1 = A16 − (α45 + A45)a3, δ2 = A66 + α12 − (α23 + A44)a3 − (A45 + α45)b3,
δ3 = 3A26 − (α23 + A44)b3 − (A45 + α45)c3, δ4 = A22 − (A44 + α23)c3.
Из полученных соотношений видно, что функции ψ1k, ψ2k, и ψ3k находятся из
решения обобщенных метагармонических уравнений (21), (23) и (26), которые имеют
одинаковую структуру вида
[
1− λ2
kci
(
∂2
2 + bi/ci∂1∂2 + ai/ci∂
2
1
)]
ψik = 0 (i = 1, 3). (29)
Все остальные функции разложений (11) выражаются через ψik при помощи
введенных выше обозначений для ψik, а также из формул (17) и (27).
Общее решение уравнения (29) представляется суперпозицией функций Бесселя
мнимого аргумента
ψik(zi, zi) =
∞∑
n=0
(
zn
i
n!
+
zn
i
n!
)
ρ
−n/2
i [Ci1nIn(2qik
√
ρi) + Ci2nKn(2qik
√
ρi)],
где zi = x1 + µix2, ρi = zizi, q2
ik = 1/
[
λ2
kci(µi − µi)2
]
, µi = − bi
2ci
+ 1
2
√
(( bi
ci
)2 − 4ai
ci
).
Следует отметить, что после подстановки разложений (4) в уравнения (1) и про-
ведения рассуждений, подобных приведенным выше, можно получить аналогичные
разрешающие уравнения для случая симметричного нагружения пластины.
Численные исследования. В качестве примера исследуем напряженное состо-
яние бесконечной пластины произвольной толщины 2h. Пластина ослаблена эллип-
тической полостью, контур L которой задан уравнениями в параметрической форме
x1 = a cos θ, x2 = b sin θ,
8
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой
где a и b – полуоси эллипса; 0 ≤ θ ≤ 2π. К пластине приложены независимые от
переменной x3 внешние усилия, которые были описаны выше. При численной реа-
лизации будем использовать интегральную форму граничных условий (10) с учетом
того, что при параметрическом задании контура
n1r = dx2/ds, n2r = −dx1/ds, ds =
√
dx2
1 + dx2
2. (30)
Тогда из выражений (9) и (10) с учетом (30) следует
2Reϕ3(z3) = −
∫ s
0
Nr(s)ds + t5x2 − t4x1 + c3. (31)
Поскольку внешние усилия не зависят от переменной x3, то будем считать, что
Nr(s) = Pf(θ). Подынтегральную функцию в (31) разложим на контуре L в ряд по
степеням величины σ = exp (iθ)
F (θ) = f(θ)
√
a2 sin2 (θ) + b2 cos2 (θ) = a0 +
n∑
k=1
(akσ
−k + akσ
k),
a0 =
1
N
N∑
p=1
F (θp), ak =
1
N
N∑
p=1
F (θp) exp (iθpk), (N ≥ 2n + 1).
Узлы θp равномерно расположены на интервале (0, 2π]: 0 < θ1 < θ2 < ... < θN = 2π.
Интеграл в правой части условий (31) примет вид
−
∫ s
0
Nr(s)ds = −P
∫ θ
0
F (θ)dθ = −P
[
a0θ + i
n∑
k=1
(
ak
k
σ−k − ak
k
σk
)]
.
Функция ϕ3(z3) определена в области S3, получаемой из заданной области S
аффинными преобразованиями [8]
x13 = x1 + γ3x2, x23 = β3x2, µ3 = γ3 + iβ3.
Эллиптический контур L перейдет в области S3 в эллиптический контур L3,
уравнение которого запишется так
t3 = x1 + µ3x2 = R3σ + m3/σ,
где R3 = (a− iµ3b)/2, m3 = (a + iµ3b)/2, σ = eiθ = cos(θ) + i sin(θ).
Отобразим конформно внешность единичной окружности |ζ3| ≥ 1 на внешность
эллипса L3 в области S3
z3 = R3ζ3 + m3/ζ3.
Функцию ϕ3(z3) представим в виде ряда
ϕ3(z3) = α ln ζ3 +
∞∑
k=1
αk/ζk
3 . (32)
9
Е.В. Алтухов, А.В. Винник
Величины α, αk определяются из граничного условия на поверхности полости.
Подставляя функцию (32) в граничные условия (31) и применяя метод рядов,
получим систему алгебраических уравнений относительно коэффициентов α и αk.
Из этой системы следует
iα− iα = −Pa0, αk = −Piak/k (k ≥ 1). (33)
Коэффициент α найдем из первого уравнения (33) и условия однозначности пе-
ремещений
α/(A45 + A44µ3)− α/(A45 + A44µ3) = 0.
Численные исследования были проведены для некоторой модельной ортотропной
пластинки. Когда направления осей координат совпадают с главными направлени-
ями упругости, комплексный параметр µ3 возьмем равным 0.25i. При повороте осей
координат Ox1 и Ox2 на угол ϕ вокруг оси Ox3 получаем срезы, обладающие свой-
ствами пластинки, имеющей плоскость упругой симметрии. Например, для ϕ = 300
получим µ3 = 0.5302 + 0.3265i, для ϕ = 600 будем иметь µ3 = 1.3674 + 0.8421i, а для
ϕ = 900 µ3 = 4i.
Исследования проводились для случая N(s) = P = const, t4 = t5 = 0 в зависи-
мости от различных значений параметра ϕ и полуосей a, b эллиптической полости.
Анализ значений напряжений σθx3/P = (σ40 cos (n, x1)− σ50 cos (n, x2))/P на конту-
рах эллиптических и круговой полостей показали, что напряжения на контуре яв-
ляются знакопеременными и для эллиптических полостей их значения существенно
меняются в зависимости от угла ϕ (табл. 1). При этом для пластины с плоскостью
упругой симметрии (ϕ = 300 и ϕ = 600) имеет место увеличение концентрации на-
пряжений по сравнению с ортотропным случаем (ϕ = 00 и ϕ = 900). Для круговой
полости максимальные по абсолютному значению напряжения остаются постоянны-
ми для любого среза, меняется лишь точка локализации этих значений.
Таблица 1.
а=1, b=0.5 a=1, b=1 a=0.5, b=1
θ ϕ ϕ ϕ
0 30 60 90 0 30 60 90 0 30 60 90
0 0 -1.37 -0.53 0 0 -1.37 -0.53 0 0 -1.37 -0.53 0
15 1.19 -1.51 -1.51 -0.58 1.87 -1.87 -0.88 -0.25 1.91 -1.52 -0.65 -0.10
30 0.63 1.25 -2.72 -1.19 1.37 0 -1.37 -0.53 2.26 -1.41 -0.81 -0.21
45 0.37 1.02 -0.32 -1.81 0.88 1.87 -1.87 -0.88 1.81 0.32 -1.02 -0.37
60 0.21 0.81 1.41 -2.26 0.53 1.37 0 -1.37 1.19 2.72 -1.25 -0.63
75 0.10 0.65 1.52 -1.91 0.25 0.88 1.87 -1.87 0.58 1.51 1.51 -1.19
90 0 0.53 1.37 0 0 0.53 1.37 0 0 0.53 1.37 0
105 -0.10 0.41 1.17 1.91 -0.25 0.25 0.88 1.87 -0.58 -0.04 0.48 1.19
120 -0.21 0.29 0.95 2.26 -0.53 0 0.53 1.37 -1.19 -0.42 0.09 0.63
135 -0.37 0.13 0.71 1.81 -0.88 -0.25 0.25 0.88 -1.81 -0.71 -0.13 0.37
150 -0.63 -0.09 0.42 1.19 -1.37 -0.53 0 0.53 -2.26 -0.95 -0.29 0.21
165 -1.19 -0.48 0.04 0.58 -1.87 -0.88 -0.25 0.25 -1.91 -1.17 -0.41 0.10
180 0 -1.37 -0.53 0 0 -1.37 -0.53 0 0 -1.37 -0.57 0
В табл. 2 даны максимальные и минимальные значения напряжений σθx3/P ,
возникающие на контурах различных эллиптических полостей. Вычисления прово-
дились для пластин, обладающих разной степенью анизотропии. Исследованы три
10
Напряженное состояние анизотропных пластин с торцами, покрытыми диафрагмой
вида ортотропных материалов с чисто мнимыми параметрами µ3 и для каждого из
этих материалов рассмотрены срезы, соответствующие углу поворота ϕ = 450. В
табл. 2 также приведены напряжения для изотропной пластины, у которой µ3 = i.
Таблица 2.
№ µ3 a=1,
b=0.1
a=1,
b=0.5
a=1, b=1 a=0.5,
b=1
a=0.1,
b=1
1 0.25i 0.950 1.570 1.875 2.288 4.013
-0.950 -1.570 -1.875 -2.288 -4.013
0.882 + 0.471i 0.954 1.318 1.875 2.607 4.836
-4.836 -2.607 -1.875 -1.318 -0.954
2 0.5i 0.345 0.435 0.750 1.136 2.354
-0.345 -0.435 -0.750 -1.136 -2.354
0.600 + 0.800i 1.014 0.600 0.750 1.087 2.250
-2.250 -1.087 -0.750 -0.600 -1.014
3 0.707i 0.723 0.037 0.354 0.720 1.730
-0.723 -0.037 -0.354 -0.720 -1.730
0.333 + 0.943i 1.070 0.414 0.354 0.601 1.551
-1.551 -0.601 -0.354 -0.414 -1.070
4 i 1.195 0.348 0 0.348 1.195
-1.195 -0.348 0 -0.348 -1.195
Из данных табл. 2 следует также, что расположение эллиптической полости от-
носительно направлений упругости существенно влияет на величину напряжений.
Так, при µ3 = 0.25i максимальные напряжения меняются от значения 0.950 до 4.013,
а при ϕ = 450 - от 0.954 до 4.836. Когда параметр µ3 приближается к мнимой еди-
нице (ослабление анизотропии), т. е. свойства анизотропного материала стремятся
к свойствам изотропного материала, различие между максимальными значениями
напряжений при различном расположении полостей уменьшаются.
На рисунке линии со
Рис. 1. Распределение напряжений σθx3/P около эллиптической поло-
сти в зависимости от параметра µ3. Сплошная кривая – µ3 = 0.25i;
штриховая – µ3 = 0.882 + 0.471i; полуоси эллипса – a = 1, b = 0.5.
стрелками у контура
эллипса показывают
зоны сжимающих на-
пряжений, а со стрел-
ками у линий напря-
жений — зоны растя-
гивающих напряже-
ний. Как видно из ри-
сунка, наличие в ма-
териале более общего
вида анизотропии при-
водит к существенно-
му перераспределению
напряжений вблизи
контура.
Выводы. Получены однородные решения уравнений трехмерной теории упруго-
сти для анизотропных пластин, на плоских гранях которых нормальное напряжение
11
Е.В. Алтухов, А.В. Винник
и тангенциальные перемещения равны нулю. Предложены способы интегрирования
разрешающих уравнений. Найдено явное аналитическое решение задачи типа ан-
типлоской деформации для пластины с эллиптической полостью в случае действия
постоянной по толщине нагрузки. Проведенные исследования напряженного состоя-
ния пластины позволяют сделать выводы о том, что расположение полости относи-
тельно направлений упругости существенно влияет на места возникновения концен-
трации напряжений на контуре и на величину напряжения в этих местах, а усиление
анизотропии, как правило, приводит к увеличению максимальных по абсолютному
значению напряжений.
1. Космодамианский А.С. Концентрация внутренней энергии в многосвязных телах // Прикл.
механика. — 2002. — 38, №4. — С. 21–48.
2. Космодамианский А.С. Постранственные задачи теории упругости для многосвязных пластин:
Обзор // Прикл. механика. — 1983. — 19, №12. — С. 3–21.
3. Немиш Ю.Н. Развитие аналитических методов в трехмерных задачах статики анизотропных
тел (обзор) // Прикл. механика. — 2000. — 36, №2. — С. 3–38.
4. Подильчук Ю.Н. Точные аналитические решения пространственных граничных задач статики
трансверсально – изотропного тела в канонической форме (обзор) // Прикл. механика. — 1997.
-– 33, №10. -– С. 3–30.
5. Алтухов Е.В. Статические трехмерные задачи для трансверсально – изотропных пластин //
Механика композитов: В 12 т; Т 7: Концентрация напряжений / Под ред. А.Н. Гузя, А.С.
Космодамианского, В.П. Шевченко. — К.: А.С.К., 1998. -– С. 114–137.
6. Алтухов Е.В. Напряженное состояние транстропных пластин с торцами, покрытыми диафраг-
мой // Теорет. и прикл. механика. — 1996. — Вып. 26. — С. 3–12.
7. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. -– М.: Наука, 1977. -– 415 с.
8. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. -– М.: Гостехиздат, 1955. -– 491 с.
E.V. Altukhov, A.V. Vinnik
Anisotropic plates’ stressed state in case the flat edges are covered with a diaphragm.
The three-dimensional problem of an elastic equilibrium of an anisotropic plate which flat edges
are covered with a diaphragm is considered. For this class of problems homogeneous solutions are
obtained. Numerical researches of a stress state of an infinite plate with an elliptic cavity on which
lateral surface exterior efforts are set fixed on width carried out.
Keywords: three-dimensional homogeneous solutions, anisotropic plates, layer with an elliptic cavity.
Є.В. Алтухов, A.В. Вiнник
Напружений стан анiзотропних пластин з торцями, що покритi дiафрагмою.
Розглянуто тривимiрну задачу пружньої рiвноваги анiзотропної пластини, плоскi гранi якої
покритi дiафрагмою. Для цього класу задач одержано однорiднi розв’язки. Проведено чисельнi
дослiдження напруженого стану нескiнченної пластини з елiптичною порожниною, на бiчнiй
поверхнi якої завдано постiйнi по товщинi зовнiшнi зусилля.
Ключовi слова: тривимiрнi однорiднi розв’язки, анiзотропнi пластини, шар з елiптичною
порожниною.
Донецкий национальный ун-т Получено 16.11.2009
12
|