Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса
Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса.
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123925 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса / Н.П. Волчкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 34-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123925 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239252017-09-15T03:02:51Z Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса Волчкова, Н.П. Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса. Одержано аналог асимптотичного ряду Бесселя для функцій Феррерса. An analog of the Bessel asymptotic expansion for the Ferrers functions is obtained. 2010 Article Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса / Н.П. Волчкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 34-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123925 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса. |
| format |
Article |
| author |
Волчкова, Н.П. |
| spellingShingle |
Волчкова, Н.П. Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Волчкова, Н.П. |
| author_sort |
Волчкова, Н.П. |
| title |
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса |
| title_short |
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса |
| title_full |
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса |
| title_fullStr |
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса |
| title_full_unstemmed |
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса |
| title_sort |
аналог асимптотического ряда бесселя для функций феррерса |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123925 |
| citation_txt |
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса / Н.П. Волчкова // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 34-38. — Бібліогр.: 8 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT volčkovanp analogasimptotičeskogorâdabesselâdlâfunkcijferrersa |
| first_indexed |
2025-07-09T00:32:47Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:32:47Z |
| _version_ |
1837127350978871296 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20
УДК 517.5
c©2010. Н.П. Волчкова
АНАЛОГ АСИМПТОТИЧЕСКОГО РЯДА БЕССЕЛЯ
ДЛЯ ФУНКЦИЙ ФЕРРЕРСА
Получен аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса.
Ключевые слова: функции Лежандра, функции Феррерса, асимптотический ряд.
Хорошо известно [1, глава 2, § 29, (29.4)], что функция Бесселя первого рода
Jν(z) имеет при z →∞, | arg z| ≤ π − ε (ε ∈ (0, π)) асимптотическое разложение
Jν(z) ∼
√
2
πz
[
cos
(
z − νπ
2
− π
4
) ∞∑
k=0
(−1)k(ν, 2k)(2z)−2k −
sin
(
z − νπ
2
− π
4
) ∞∑
k=0
(−1)k(ν, 2k + 1)(2z)−2k−1
]
, (1)
где
(ν,m) =
Γ
(
1
2 + ν + m
)
m!Γ
(
1
2 + ν −m
) , Γ − гамма-функция.
Цель данной работы – получить аналог разложения (1) для функций Феррерса
(см. [2, глава 3, § 3, п. 57]). Функции Феррерса Tµ
ν (x) (µ, ν ∈ C, x ∈ (−1, 1)) опреде-
ляются равенством
Tµ
ν (x) =
eiπµ
Γ(1− µ)
(
1 + x
1− x
)µ
2
F
(
−ν, ν + 1; 1− µ;
1− x
2
)
,
где F - гипергеометрическая функция Гаусса. Они тесно связаны с функциями Ле-
жандра первого рода и играют важную роль в различных вопросах анализа. В част-
ности, с точностью до постоянного множителя, функция
(sin θ)1−
n
2 T
1−n
2
l+n
2
−1(cos θ), (l ∈ Z+, n ∈ N\{1})
является зональной сферической функцией на стандартной n -мерной сфере Sn =
{x ∈ Rn : |x| = 1}.
Для k ∈ Z+, p ∈ N, α ∈ C и r ∈ (0, π) положим
dk(r) =
(−1)[
k+1
2 ]
k+1 ctgr, если k нечетно,
(−1)[
k+1
2 ]
k+1 , если k четно, k 6= 0,
0, если k = 0,
34
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса
A0 = (sin r)α− 1
2 ,
Ap = (sin r)α− 1
2
p∑
m=1
(−1)m
(
1
2 − α
)
m
m!
∑
k1+...+km=p
p!
k1! . . . km!
dk1(r) . . . dkm(r),
где (a)k = Γ(a+k)
Γ(a) - символ Похгаммера. Основным результатом данной работы яв-
ляется
Теорема 1. Пусть ε ∈ (0, π). Тогда при λ → ∞, | arg λ| ≤ π − ε имеет место
асимптотическое разложение
Tµ
λ− 1
2
(cos r) ∼ 2eiπµ
√
2πΓ(1
2 − µ)(sin r)−µ
×
(
cos
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(1−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 1
2
)
(2ν)!
A2ν
(iλ)2ν−µ+ 1
2
+ (2)
sin
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(3−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 3
2
)
(2ν + 1)!
A2ν+1
(iλ)2ν−µ+ 3
2
)
.
Частные случаи теоремы 1 были известны ранее. Например, в [3, лемма 4.2]
было получено два члена асимптотического разложения (2). Этот результат затем
использовался для изучения некоторых вопросов интегральной геометрии на Sn.
Относительно других частных случаев теоремы 1 и близких вопросов см. [2, глава 6,
§ 3], [4, часть 1], [5, часть 2].
Доказательство теоремы 1.
Пусть сначала Reµ < 1
2 . Тогда по формуле Мелера-Дирихле (см. [6, 3.7 (27)])
Tµ
λ− 1
2
(cos r) =
eiπµ(sin r)µ
√
2πΓ(1
2 − µ)
∫ r
−r
eiλt(cos t− cos r)−µ− 1
2 dt. (3)
Обозначим
I(λ) =
∫ r
−r
eiλt(cos t− cos r)−µ− 1
2 dt.
Из асимптотического разложения интегралов Фурье (см. [7, глава 2, § 10, пункт 10.3,
теорема 10.2]) имеем
I(λ) ∼ ei(π( 1
2
−µ)−λr)
∞∑
p=0
(−1)p Γ
(
p− µ + 1
2
)
p!
Ap
(iλ)p−µ+ 1
2
+
eiλr
∞∑
p=0
Γ
(
p− µ + 1
2
)
p!
Ap
(iλ)p−µ+ 1
2
,
где
Ap =
dp
dtp
((
cos(t− r)− cos r
t
)−µ− 1
2
)∣∣∣∣∣
t=0
, p ≥ 0.
35
Н.П. Волчкова
Отсюда
I(λ) ∼ 2 cos
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(1−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 1
2
)
(2ν)!
A2ν
(iλ)2ν−µ+ 1
2
+
2 sin
(
λr − π
4
(1− 2µ)
)
ei π
4
(3−2µ)
∞∑
ν=0
Γ
(
2ν − µ + 3
2
)
(2ν + 1)!
A2ν+1
(iλ)2ν−µ+ 3
2
. (4)
Вычислим Ap. По формуле Тейлора
cos(t− r)− cos r
t
=
(cos t− 1) cos r + sin t sin r
t
=
1
t
( ∞∑
k=1
(−1)k
(2k)!
t2k cos r +
∞∑
k=0
(−1)k
(2k + 1)!
t2k+1 sin r
)
=
∞∑
k=0
tk
(k + 1)!
(−1)[
k+1
2 ]bk(r), (5)
где
bk(r) =
{
cos r, k − нечетно,
sin r, k − четно, k = 0, 1, . . . .
Перепишем (5) в виде
cos(t− r)− cos r
t
= sin r
(
1 +
∞∑
k=1
tk
(k + 1)!
(−1)[
k+1
2 ]ck(r)
)
= sin r(1 + τ(t)), (6)
где
τ(t) =
∞∑
k=1
tk
k!(k + 1)
(−1)[
k+1
2 ]ck(r), ck(r) =
ctg r, k − нечетно,
1, k − четно, k 6= 0,
0, k = 0,
k = 0, 1, . . . .
Положим F (x) = (1 + x)−µ− 1
2 . Тогда (см. (6))
Ap = (sin r)−µ− 1
2
dp
dtp
(
(1 + τ(t))−µ− 1
2
)∣∣∣∣
t=0
= (sin r)−µ− 1
2
dp
dtp
(F (τ(t)))
∣∣∣∣
t=0
.
Используем формулу
(F (τ(t)))(p) =
p∑
m=0
F (m)(τ(t))
m!
m∑
k=0
(
m
k
)
(−1)k(τ(t))k(τm−k(t))(p), p ≥ 0
36
Аналог асимптотического ряда Бесселя для функций Феррерса
(см. [8, доказательство теоремы 2.11]). Поскольку τ(0) = 0,
(F ◦ τ)(p) (0) =
p∑
m=1
F (m)(0)
m!
(τm)(p) (0), p ≥ 1. (7)
Положив в формуле
(f1 . . . fm)(p) =
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
f
(k1)
1 . . . f (km)
m
f1 = . . . = fm = τ , получим
(τm)(p) =
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
τ (k1) . . . τ (km), m ≥ 1. (8)
Из (7) и (8) находим
(F ◦ τ)(p) (0) =
p∑
m=1
F (m)(0)
m!
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
τ (k1)(0) . . . τ (km)(0), p ≥ 1.
Таким образом,
Ap = (sin r)−µ− 1
2
p∑
m=1
F (m)(0)
m!
∑
k1+···+km=p
p!
k1! . . . km!
τ (k1)(0) . . . τ (km)(0), p ≥ 1.
Учитывая, что
F (m)(0) = (−1)m
(
1
2
+ µ
)
m
и
τ (k)(0) =
(−1)[
k+1
2 ]
k + 1
ck(r) = dk(r),
из (3) и (4) получаем (2) для Reµ < 1
2 . Общий случай следует отсюда стандартным
методом продолжения по параметру (см. [6, 2.8 (30)] и [7, глава 2, § 10, пункт 10.3,
доказательство формулы (10.61)]). Таким образом, теорема 1 доказана.
1. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М: Наука, 1971. – 288 с.
2. Гобсон Е.В. Теория сферических и эллипсоидальных функций – М: ИЛ, 1952. – 476 с.
3. Волчков Вит.В. Локальная теорема о двух радиусах на сфере // Алгебра и анализ. – 2004. –
Т. 16. – Вып. 3. – С. 24-55.
4. Volchkov V.V. Integral Geometry and Convolution Equations. – Dordrecht: Kluwer Academic Publishers,
2003. – 454 pp.
5. Volchkov V.V., Volchkov Vit.V. Harmonic analysis of mean periodic functions on symmetric spaces
and the Heisenberg group. – London: Springer, 2009. – 671 pp.
6. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. – М: Наука, 1973. – Т. 1. – 294 с.
7. Риекстыньш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. – Рига: Зинатне, 1974. – 272 с.
37
Н.П. Волчкова
8. Nessel R.J., Wickeren E. Local Multiplier Criteria in Banach Spaces // Mathematica Balkanica.
New Series. – 1988. – V. 2. – Fasc. 2-3. – P. 114-132.
N.P. Volchkova
An analog of the Bessel asymptotic expansion for the Ferrers functions.
An analog of the Bessel asymptotic expansion for the Ferrers functions is obtained.
Keywords: the Legendre functions, the Ferrers functions, asymptotic expansion.
Н.П. Волчкова
Аналог асимптотичного ряду Бесселя для функцiй Феррерса.
Одержано аналог асимптотичного ряду Бесселя для функцiй Феррерса.
Ключовi слова: функцiї Лежандра, функцiї Феррерса, асимптотичний ряд.
Донецкий национальный технический университет
v.volchkov@mail.donnu.edu.ua
Получено 31.05.10
38
|