Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности
В работе рассматриваются нелинейные эллиптические системы высокого порядка нестрого дивергентного вида при структурном условии, обеспечивающем коэрцитивность и монотонность в паре со степенью оператора Лапласа. Устанавливаются априорные оценки, которые не вырождаются при вырождении этого условия и п...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123932 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности / Е.А. Калита // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 95-101. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123932 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239322017-09-15T03:03:06Z Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности Калита, Е.А. В работе рассматриваются нелинейные эллиптические системы высокого порядка нестрого дивергентного вида при структурном условии, обеспечивающем коэрцитивность и монотонность в паре со степенью оператора Лапласа. Устанавливаются априорные оценки, которые не вырождаются при вырождении этого условия и потере коэрцитивности, что приводит к разрешимости вырождающихся систем. Результаты принципиально отличаются от результатов, возможных: для систем строго дивергентного вида. У роботі розглядаються нелінійні еліптичні системи високого порядку нестрого дивергентного вигляду при структурних умовах, що забезпечують коерцитивність та монотонність у парі зі степінню оператора Лапласа. Встановлюються апріорні оцінки, які не вироджуються при виродженні цих умов та втраті коерцитивності, що призводить до розв'язності вироджених систем. Результати принципово відрізняються від результатів, можливих для систем строго дивергентного вигляду. We consider high order nonlinear elliptic systems of nonstrictly divergent form under structure condition provides coercivity and monotonicity in pair with some degree of Laplacian. We establish a priori estimates which do not degenerate under degeneration of structure condition and failing of coercivity. It gives solvability for systems with degeneration. Our results are principally different from results which are possible for strictly divergent systems. 2010 Article Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности / Е.А. Калита // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 95-101. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123932 517.956 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматриваются нелинейные эллиптические системы высокого порядка нестрого дивергентного вида при структурном условии, обеспечивающем коэрцитивность и монотонность в паре со степенью оператора Лапласа. Устанавливаются априорные оценки, которые не вырождаются при вырождении этого условия и потере коэрцитивности, что приводит к разрешимости вырождающихся систем. Результаты принципиально отличаются от результатов, возможных: для систем строго дивергентного вида. |
| format |
Article |
| author |
Калита, Е.А. |
| spellingShingle |
Калита, Е.А. Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Калита, Е.А. |
| author_sort |
Калита, Е.А. |
| title |
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности |
| title_short |
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности |
| title_full |
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности |
| title_fullStr |
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности |
| title_full_unstemmed |
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности |
| title_sort |
разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123932 |
| citation_txt |
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении эллиптичности / Е.А. Калита // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 95-101. — Бібліогр.: 5 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kalitaea razrešimostʹnelinejnyhélliptičeskihsistemnestrogodivergentnogovidaprivyroždeniiélliptičnosti |
| first_indexed |
2025-07-09T00:33:38Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:33:38Z |
| _version_ |
1837127402640113664 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20
УДК 517.956
c©2010. Е.A. Калита
РАЗРЕШИМОСТЬ НЕЛИНЕЙНЫХ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
НЕСТРОГО ДИВЕРГЕНТНОГО ВИДА ПРИ ВЫРОЖДЕНИИ
ЭЛЛИПТИЧНОСТИ
В работе рассматриваются нелинейные эллиптические системы высокого порядка нестрого дивер-
гентного вида при структурном условии, обеспечивающем коэрцитивность и монотонность в паре
со степенью оператора Лапласа. Устанавливаются априорные оценки, которые не вырождаются
при вырождении этого условия и потере коэрцитивности, что приводит к разрешимости вырож-
дающихся систем. Результаты принципиально отличаются от результатов, возможных для систем
строго дивергентного вида.
Ключевые слова: нелинейные эллиптические системы, высокий порядок, вырождение, нестрого
дивергентные, разрешимость.
Рассматривается нелинейная эллиптическая система
Lu = (−div)tA(Dsu) = f(x), (1)
x ∈ Rn, s, t – целые неотрицательные, s + t четное положительное, u, f – вектор-
функции размерности N > 1, A – функция размерности ntN . Предполагается, что
A(0) = 0 и выполнено следующее структурное условие: функция B, определяемая
равенством
∆mu + divt B(Dsu) = κ divtA(Dsu),
где m = (s + t)/2, при подходящем нормирующем множителе κ > 0, липшицева с
константой единица:
|B(ξ)−B(η)| 6 |ξ − η|. (2)
Здесь модуль обозначает норму в конечномерном евклидовом пространстве, для
B – размерности ntN , для ξ, η – nsN , как и для Dsu.
Примерами нелинейных операторов с вырождением, удовлетворяющих (2), будут
∆u− |D2u|, (s = 2, t = 0), ∆2u−
n∑
i=1
∂xi |∂xiD
2u| (s = 3, t = 1),
а также линейный оператор с постоянными коэффициентами
∆(s+t)/2u− ∂s+tu/∂xs+t
1 ,
который приведен здесь только для иллюстрации возможного типа вырождения –
разумеется, мы не получаем никаких новых результатов для линейных операторов
с постоянными коэффициентами.
95
Е.A. Калита
Отметим, что более сильное условие
|B(ξ)−B(η)| 6 K|ξ − η|, K < 1, (3)
обеспечивает сильную монотонность оператора L в паре с ∆(s−t)/2 в пространстве
Hs
0 . При K = 1 сильная монотонность (и коэрцитивность) теряются, остается только
простая монотонность. В случае дивергентных систем (s = t) условие (3) равносиль-
но стандартной паре структурных условий
(A(ξ)−A(η), ξ − η) > c1|ξ − η|2, |A(ξ)−A(η)| 6 c2|ξ − η|,
а условие (2) равносильно
(A(ξ)−A(η), ξ − η) > c0 |A(ξ)−A(η)|2.
(буквой c будем обозначать различные несущественные положительные константы).
Ясно, что это условие не позволяет установить существование решений системы (1).
Оказывается, нестрого дивергентный случай (s 6= t) в этом отношении полно-
стью отличается от строго дивергентного. Именно, при n > 3 мы устанавлива-
ем существование решений u ∈ Hs
b−2 ∩ Hs−1
a−2, где Hs
a – пространство с нормой
‖Dsu; L2(Rn; (1 + |x|)a)‖, если a, b лежат в определенном интервале (a∗, 0) при s > t
или (0, a∗) при s < t.
Отметим, что подобный эффект обнаруживался ранее. В работе Кордеса [1]
рассматривались квазилинейные эллиптические уравнения второго порядка неди-
вергентного вида. Оказалось, что структурное условие, обеспечивающее коэрцитив-
ность оператора в паре с оператором Лапласа в
◦
W 2
2 даже при вырождении, позво-
ляет иметь априорную оценку W 2
2 -решений в пространстве C1/2. Укажем, что для
одного уравнения в случае t = 0, s = 2m (или s = 0, t = 2m) условие (2) равно-
сильно вырожденному условию Кордеса на матрицу "коэффициентов" ∂A(ξ)/∂ξ,
рассматриваемую как квадратная матрица nm × nm. В работе [2] нами устанавли-
валось, что для системы (1) с условием (3) при s > t, n > 3 решения класса Hs
loc
принадлежат пространству Морри, причем показатель морриевости не стремится к
нулю при K → 1 – в отличие от хорошо известных результатов для дивергентных
систем.
Для описания интервала значений a, b, при которых есть разрешимость,
рассмотрим оператор T s,t = Ds∆−mdivt – векторное преобразование Рисса
– оператор с символом ζs|ζ|−s−tζt, переводящий вектор-функции размер-
ности nt в вектор-функции размерности ns. Обозначим T s,t
a – его норма в
пространстве L2(Rn; |x|a) (строго говоря, из одной декартовой степени этого
пространства в другую). Как известно, T s,t
a < ∞ при a ∈ (−n, n), T s,t
0 = 1,
и T s,t
a логарифмически выпукло по a по теореме Рисса-Торина. Обозначим
a∗ = a∗(s, t, n) = min{a ∈ (−n, n) : T s,t
a = 1}, a∗ = a∗(s, t, n) = max{a ∈ (−n, n) : T s,t
a = 1}.
В [3], [4] устанавливался следующий результат.
Теорема А. Пусть s 6= t, n > 3. Тогда a∗ 6= a∗,
(a∗, a∗) ⊂
{
(3− n, 0), s > t
(0, n− 3), s < t,
96
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении
эллиптичности.
один конец интервала всегда ноль, и вложение переходит в равенство при t = 0
или s = 0. Кроме того, при a ∈ (a∗, a∗) для f ∈ L2(Rn; |x|a)
‖T s,tf‖2
a 6 ‖f‖2
a − ca‖D∆−1f‖2
a−2,
ca = c(a∗ − a)(a− a∗), константа c > 0 зависит только от s, t, n.
Здесь (и только здесь) ‖ · ‖a обозначает норму в L2(Rn; |x|a), в дальнейшем ‖ · ‖a
будет обозначать норму в L2(Rn; (1 + |x|)a); ‖ · ‖ω – норма в L2(Rn;ω), ω(x) –
неотрицательная весовая функция, ‖ · ‖Q – норма в L2(Q).
Обозначим It – потенциал Рисса порядка t – оператор с символом |ζ|−t; H−t
a при
t > 0 – пространство с нормой ‖Itf ; L2(Rn; (1 + |x|)a)‖.
Наш основной результат составляет следующая теорема.
Теорема 1. Пусть s 6= t, n > 3. Пусть a, b ∈ (a∗, a∗), f ∈ H2−t
b+2 ∩ H1−t
a+2. Тогда
система (1) имеет решение u ∈ Hs
b−2 ∩ Hs−1
a−2, и справедливы оценки
‖Dsu ‖b−2 6 c ‖It−2 f‖b+2, (4)
‖Ds−1u‖a−2 6 c‖It−1 f‖a+2 (5)
(при t = 0, 1 предполагаем f ∈
◦
H2−t
b+2 ∩
◦
H1−t
a+2, при этом полагаем It−2 = D2−t,
It−1 = D1−t; при s = 0 полагаем Ds−1 = D∆−1).
Норма Ds−1u здесь понимается с точностью до тривиальных решений системы
(1) – полиномов степени меньше s, то есть, ‖Ds−1u‖a−2 6 · · · обозначает: существует
полином P степени degP < s такой, что ‖Ds−1(u− P )‖a−2 6 · · ·
Доказательство. Покажем, что если u ∈ Hs
a – решение системы (1), то справед-
лива оценка (5). При этом вместо условия (2) нам будет достаточно условия
|B(ξ)| 6 |ξ|. (6)
Обозначим
ω(x) =
(∫
r−aψ(y)dy
)−1
, (7)
r = |x− y|, ψ – неотрицательная гладкая функция с носителем в шаре {x : |x| < 1}
и нормировкой
∫
ψ dy = 1. Подставим в интегральное тождество пробную функцию
v = ∆−mdivs(ωDsu) ∈ Ht−a:
(Lu, v) = (f, v). (8)
По условию (6) в левой части имеем (для кратности полагаем, что нормирующий
множитель κ = 1)
(Lu, v) > ‖Dsu‖2
ω − ‖B‖ω‖Dtv‖1/ω > ‖Dsu‖2
ω − ‖Dsu‖ω‖T t,s(ωDsu)‖1/ω.
Отметим, что при сопряжении (T s,t)∗ = T t,s, L∗2,a = L2,−a, поэто-
му a∗(t, s, n) = a∗(s, t, n), и условие теоремы a ∈ (a∗, a∗) обеспечивает
97
Е.A. Калита
−a ∈ (a∗(t, s, n), a∗(t, s, n)). Для нормы T t,s по теореме Фубини и теореме А находим
(g – произвольное из L2,1/ω = L2(Rn; 1/ω))
‖T t,sg‖2
1/ω =
∫
|T t,sg|2
(∫
r−aψ dy
)
dx =
∫ (∫
|T t,sg|2r−adx
)
ψ dy
6
∫ ∫ (
|g|2r−a − ca|D∆−1g|2r−a−2
)
dxψ dy = ‖g‖2
1/ω − ca‖D∆−1g‖2
1/ν ,
ν =
( ∫
r−a−2ψ dy
)−1. В (8) получаем
ca‖D∆−1(ωDsu)‖2
1/ν 6 (f, v).
В правой части
(f, v) =
∫
Ds+1∆−mf D∆−1(ωDsu)dx 6 ‖Ds+1∆−mf‖ν ‖D∆−1(ωDsu)‖1/ν ,
что дает
‖D∆−1(ωDsu)‖1/ν 6 c‖Ds+1∆−mf‖ν . (9)
Здесь Ds+1∆−m = Ds+1Is+1It−1, и с учетом ν ³ (1 + |x|)a+2 по ограниченности
преобразований Рисса в L2 со степенным весом (a+2 ∈ (−n, n) следует из |a| < n−3
(теорема А)) имеем
‖Ds+1∆−mf‖ν ³ ‖f ; H1−t
a+2‖.
В левой части (9), обозначая g = D∆−1(ωDsu), имеем
Ds−1u = ∆−1div(ω−1div g) = ∆−1div2(ω−1g)−∆−1div
(
gD
1
ω
)
(10)
(строго говоря, не Ds−1u, а Ds−1(u− P ), где P – полином степени degP < s такой,
что Ds−1(u − P ) ∈
◦
H1
a(Rn)). Поскольку a − 2 > −n, для второго слагаемого по
неравенству Харди
∥∥∆−1div
(
gD
1
ω
)∥∥
µ
6 c
∥∥D∆−1div
(
gD
1
ω
)∥∥
ω
,
µ =
( ∫
r−a+2ψ dy
)−1, и далее, по ограниченности преобразований Рисса D∆−1div в
L2,ω
idem 6 c
∥∥ gD
1
ω
∥∥
ω
6 c‖g‖1/ν ,
так как ∣∣D 1
ω
∣∣2 6 a2
(∫
r−a−1ψ dy
)2
6 a2
∫
r−a−2ψ dy
∫
r−aψ dy.
Для первого слагаемого в (10) по ограниченности преобразований Рисса ∆−1div2 в
L2,µ (a− 2 ∈ (−n, n) следует из |a| < n− 3)
‖∆−1div2(ω−1g)‖µ 6 c‖g‖µ/ω2 6 c‖g‖1/ν ,
98
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении
эллиптичности.
с учетом
1/ω2 =
(∫
r−aψ dy
)2
6
∫
r−a+2ψ dy
∫
r−a−2ψ dy = 1/µν.
Теперь из (8) находим
‖Ds−1u‖µ 6 c‖f ; H1−t
a+2‖,
что совпадает с (5).
Для доказательства оценки (4) подставим в интегральное тождество пробную
функцию ∆−h∆−mdivs(ωDsuh), где uh(x) = ∆hu(x) = u(x + h) − u(x), h ∈ Rn;
ω =
( ∫
(δr−a + r−b)ψ dy
)−1, δ > 0 – параметр. Рассуждая аналогичным способом
доказательству (5), находим
‖Ds−1un‖µ 6 c‖It−1 fn‖ν ,
где
µ(x) =
(∫
(δr−a + r−b)r2ψ dy
)−s
, ν(x) =
(∫
(δr−a + r−b)r−2ψ dy
)−1
.
Разделив обе части на |h|, при h → 0, получаем
‖Dsu‖µ 6 c‖It−2f‖ν .
Правая часть ограничена равномерно по δ > 0, поэтому при δ → 0 получаем (4) –
для решений u ∈ Hs
a.
Рассмотрим регуляризованную систему
Lεu = (−1)tε∆mu + Lu = f, (11)
ε > 0 произвольно малое. Нетрудно проверить (опираясь на теорему А), что опера-
тор Lε сильно монотонен в паре с оператором ∆−mdivs(ωDsu) в пространстве Hs
a,
если вес ω определяется (7). Действительно, для u, v ∈ Hs
a
(Lεu− Lεv, ∆−mdivs(ωDs(u− v))
)
= (1 + ε)‖Ds(u− v)‖2
ω +
∫
(B(Dsu)−B(Dsv))T t,s(ωDs(u− v))dx
> (1 + ε)‖Ds(u− v)‖2
ω − ‖Ds(u− v)‖ω‖T t,s(ωDs(u− v))‖1/ω.
По теореме Фубини и теореме А аналогично доказательству оценки (5) (от теоремы
А здесь требуется только T t,s
−a = 1 при a ∈ (a∗, a∗)) находим
‖T t,s(ωDs(u− v))‖1/ω 6 ‖Ds(u− v)‖ω,
что дает (Lεu− Lεv, ∆−mdivs(ωDs(u− v))
)
> ε‖Ds(u− v)‖2
ω.
99
Е.A. Калита
Как известно, сильно монотонный липшиц-непрерывный оператор обратим, и об-
ратный – тоже сильно монотонен и липшиц-непрерывен (см., например, [5], гл. 4).
По неравенству Харди из f ∈ H1−t
a+2 следует f ∈ H−t
a (при a > −n, но по теореме А
всегда |a| < n− 3), поэтому система (11) имеет единственное решение uε ∈ Hs
a.
Система (11) при ε > 0 удовлетворяет условию (2), поэтому решения uε ∈ Hs
a
удовлетворяют оценкам (4), (5) равномерно по ε > 0. По слабой компактности про-
странств Hs
a для любой последовательности εj → 0 соответствующая последова-
тельность решений uεj имеет хотя бы одну точку накопления u ∈ Hs
b−2 ∩ Hs−1
a−2 в
слабой топологии. Поскольку u ∈ Hs
loc, u лежит локально в пространстве моно-
тонности Hs
0 оператора L (в паре с оператором ∆(s−t)/2). Стандартная процедура,
используемая при доказательстве леммы Минти-Браудера (основная лемма теории
монотонных операторов, см., например, [5], гл. 4), вместе с процедурой локализации
позволяет установить, что u удовлетворяет интегральному тождеству для системы
(1) с пробными функциями из Ht
comp. Теорема доказана.
1. Cordes H.O. Über die ersti Randvertaufgabe bei quasilinear Differentialgleichungen zweiter
Ordnung in mehr als zwei Variablen // Math. Ann. – 1956. – V. 131, № 3. – P. 287–312.
2. Калита Е.А. Регулярность по Морри нелинейных эллиптических систем высокого порядка
при вырождении эллиптичности // Матем. заметки. – 2002. – Т. 72, № 2. – С. 198–206.
3. Калита Е.А. О весовых нормах преобразований Рисса // Докл. РАН. – 2002. – Т. 383, № 1. –
С. 12–14.
4. Калита Е.А. О равенстве единице весовых норм преобразований Рисса // Матем. заметки. –
2002. – Т.72, № 6. – С. 869–882.
5. Гаевский Х., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные
дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.
E. A. Kalita
Solvability for nonlinear elliptic systems of nonstrictly divergent form under
degeneration of ellipticity.
We consider high order nonlinear elliptic systems of nonstrictly divergent form under structure
condition provides coercivity and monotonicity in pair with some degree of Laplacian. We establish
a priori estimates which do not degenerate under degeneration of structure condition and failing of
coercivity. It gives solvability for systems with degeneration. Our results are principally different
from results which are possible for strictly divergent systems.
Keywords:nonlinear elliptic systems, high order, degeneration, nonstrictly divergent, solvability.
100
Разрешимость нелинейных эллиптических систем нестрого дивергентного вида при вырождении
эллиптичности.
Є. О. Калита
Розв’язнiсть нелiнiйних елiптичних систем нестрого дивергентного вигляду при
виродженнi елiптичностi.
У роботi розглядаються нелiнiйнi елiптичнi системи високого порядку нестрого дивергентно-
го вигляду при структурних умовах, що забезпечують коерцитивнiсть та монотоннiсть у парi
зi степiнню оператора Лапласа. Встановлюються апрiорнi оцiнки, якi не вироджуються при
виродженнi цих умов та втратi коерцитивностi, що призводить до розв’язностi вироджених
систем. Результати принципово вiдрiзняються вiд результатiв, можливих для систем строго
дивергентного вигляду.
Ключовi слова: нелiнiйнi елiптичнi системи, вищий порядок, виродження, нестрого ди-
вергентнi, розв’язнiсть.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
ekalita@mail.ru
Получено 15.07.2010
101
|