Интегрируемость и устойчивость

В работе изучается задача выделения устойчивых переменных для нелинейной автономной системы дифференциальных уравнений, допускающей нулевое решение, при известной функции Ляпунова со знакопостоянной производной. С помощью метода дополнительных функций функция Ляпунова преобразована к виду, позволяющ...

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Ковалёв, А.М.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123934
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Интегрируемость и устойчивость / А.М. Ковалёв // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 109-115. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123934
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1239342017-09-15T03:03:09Z Интегрируемость и устойчивость Ковалёв, А.М. В работе изучается задача выделения устойчивых переменных для нелинейной автономной системы дифференциальных уравнений, допускающей нулевое решение, при известной функции Ляпунова со знакопостоянной производной. С помощью метода дополнительных функций функция Ляпунова преобразована к виду, позволяющему выделить устойчивые переменные и получить интеграл, а также частный интеграл в зависимости от структуры движения. Обсуждена связь этих вопросов с методом связки интегралов Четаева. Рассмотрены движения твердого тела с маховиком и гироскопа Горячева-Чаплыгина. Получены интегралы движений из построенных функций Ляпунова. У роботі вивчається задача виділення стійких змінних для нелінійної автономної системи диференціальних рівнянь, яка допускає нульовий розв'язок, при відомій функції Ляпунова зі знакосталою похідною. За допомогою методу додаткових функцій функцію Ляпунова перетворено до вигляду, який дозволяє виділити стійкі змінні й одержати інтеграл, а також окремий інтеграл залежно від структури руху. Обговорено зв'язок цих питань із методом в'язки інтегралів Четаєва. Розглянуто рухи твердого тіла з маховиком і гіроскопа Горячева-Чаплигіна. Отримано інтеграли рухів із побудованих функцій Ляпунова. In the paper, the problem of the selection of the stable variables is investigated for a nonlinear autonomous system of differential equations, admitting zero solution, with a known Lyapunov function having the derivative of constant sign. With the help of the additional functions method, a Lyapunov function is transformed into the form that allows to select the stable variables and to obtain an integral and also partial integral depending on the motion structure. The connection between these questions and the Chetaev integral bundles method is discussed. The motions of a rigid body with a rotor and the Goryachev–Chaplygin gyroscope are considered. The motion integrals are obtained from the Lyapunov functions constructed. 2010 Article Интегрируемость и устойчивость / А.М. Ковалёв // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 109-115. — Бібліогр.: 13 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123934 531.36 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе изучается задача выделения устойчивых переменных для нелинейной автономной системы дифференциальных уравнений, допускающей нулевое решение, при известной функции Ляпунова со знакопостоянной производной. С помощью метода дополнительных функций функция Ляпунова преобразована к виду, позволяющему выделить устойчивые переменные и получить интеграл, а также частный интеграл в зависимости от структуры движения. Обсуждена связь этих вопросов с методом связки интегралов Четаева. Рассмотрены движения твердого тела с маховиком и гироскопа Горячева-Чаплыгина. Получены интегралы движений из построенных функций Ляпунова.
format	Article
author	Ковалёв, А.М.
spellingShingle	Ковалёв, А.М. Интегрируемость и устойчивость Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Ковалёв, А.М.
author_sort	Ковалёв, А.М.
title	Интегрируемость и устойчивость
title_short	Интегрируемость и устойчивость
title_full	Интегрируемость и устойчивость
title_fullStr	Интегрируемость и устойчивость
title_full_unstemmed	Интегрируемость и устойчивость
title_sort	интегрируемость и устойчивость
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123934
citation_txt	Интегрируемость и устойчивость / А.М. Ковалёв // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 109-115. — Бібліогр.: 13 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT kovalëvam integriruemostʹiustojčivostʹ
first_indexed	2025-07-09T00:33:52Z
last_indexed	2025-07-09T00:33:52Z
_version_	1837127415990583296
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20 УДК 531.36 c©2010. А.М.Ковалев ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ В работе изучается задача выделения устойчивых переменных для нелинейной автономной системы дифференциальных уравнений, допускающей нулевое решение, при известной функции Ляпунова со знакопостоянной производной. С помощью метода дополнительных функций функция Ляпуно- ва преобразована к виду, позволяющему выделить устойчивые переменные и получить интеграл, а также частный интеграл в зависимости от структуры движения. Обсуждена связь этих вопросов с методом связки интегралов Четаева. Рассмотрены движения твердого тела с маховиком и гиро- скопа Горячева–Чаплыгина. Получены интегралы движений из построенных функций Ляпунова. Ключевые слова: функции Ляпунова, дополнительные функции, интегрируемость, устойчи- вые переменные, метод связок интегралов Четаева. Анализ исследований устойчивости методом функций Ляпунова показывает, что среди них можно выделить две основные группы в соответствии со свойствами про- изводной функции Ляпунова. К первой группе, в которой, практически, решены все вопросы, относятся исследования с функцией Ляпунова, имеющей знакоопре- деленную производную. Во вторую группу входят задачи, связанные с функциями Ляпунова, имеющими знакопостоянную производную. Задачи второй группы намно- го богаче и сложнее задач первой группы, и на важность их исследования одним из первых указал Н.Н.Красовский [1]. Новые возможности в решении этих задач связаны с созданием метода дополнительных функций [2–4], позволяющего преоб- разовать функцию Ляпунова со знакопостоянной производной таким образом, что множество обращения производной в нуль становится инвариантным [5, 6]. Именно свойство инвариантности позволило получить новые результаты по асимптотиче- ской устойчивости [7, 8] и неустойчивости [5, 6]. Применение метода дополнительных функций к задачам устойчивости, выпол- ненное в настоящей работе, показало, что устойчивые движения связаны со свой- ством интегрируемости системы. Подтверждением этого является и метод связки интегралов Четаева [9–11], позволяющий строить функцию Ляпунова из известных интегралов движения. С другой стороны, предлагаемый подход показывает, что при известной функции Ляпунова для устойчивых движений ее можно преобразовать к такому виду, из которого, в зависимости от структуры движения, можно получить интегралы, а также частные интегралы системы. В первом пункте данной статьи ставится задача выделения устойчивых пере- менных для устойчивого по Ляпунову нулевого решения, как переменных, которые при неограниченном возрастании времени не стремятся к нулю. Свойствам функций Ляпунова, выделяющим устойчивые переменные, посвящен пункт 2. Существование интегралов, в том числе частных интегралов, и их получение из преобразованной функции Ляпунова рассмотрено в пункте 3. Здесь же обсуждается связь этих во- просов с методом связки интегралов Четаева. В пункте 4 на примере равновесия 109 А.М.Ковалев твердого тела с маховиком показывается, каким образом можно построить инте- грал для системы, описывающей рассматриваемое движение. Изучению равновесия гироскопа Горячева–Чаплыгина посвящен пункт 5. Демонстрируется возможность получения классических интегралов, а также возможность “поднятия” частного ин- теграла Горячева–Чаплыгина до “полного” интеграла. Некоторые итоги представ- ленного исследования приведены в заключении. 1. Выделение устойчивых переменных. Рассматривается устойчивость ну- левого решения системы ẋ = f(x), f(0) = 0; x ∈ D ⊂ Rn, t ∈ [t0, ∞), (1) где D – некоторая окрестность нуля, функция f(x) предполагается непрерывно диф- ференцируемой достаточное число раз для x ∈ D. Точка означает дифференциро- вание по времени t зависимой переменной x, а также функции V (x) в силу системы (1): V̇ (x) = 〈∇V (x), f(x)〉. Здесь ∇ – оператор дифференцирования, в применении к скалярной функции он дает градиент, а к вектор-функции – матрицу Якоби; символ 〈, 〉 означает скалярное произведение. С целью более детальной характеристики движений в окрестности нулевого ре- шения воспользуемся подходом, принятым в частичной устойчивости, и введем по- нятия устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых переменных. Определение 1. Переменная y = g(x) (y ∈ R1) называется устойчивой, асимп- тотически устойчивой, неустойчивой, если нулевое решение системы (1) является, соответственно, устойчивым, асимптотически устойчивым, неустойчивым относи- тельно этой переменной. Отметим, что устойчивые переменные при неограниченном возрастании времени не стремятся к нулю, оставаясь все время в заданной ограни- ченной области. Рассмотрим задачу выделения устойчивых переменных для систем с известной функцией Ляпунова со знакопостоянной производной. Для исследования использу- ем метод дополнительных функций, который был успешно применен в статье [7] для выделения асимптотически устойчивых переменных. 2. Функции Ляпунова для устойчивых переменных. Метод дополнитель- ных функций позволяет преобразовать функцию Ляпунова со знакопостоянной про- изводной к виду, при котором множество обращения в нуль производной является инвариантным [7]. Этот результат, содержащийся в теореме 6 работы [7], следует выделить в отдельную теорему. Теорема 1. Пусть для системы (1) известна знакоопределенная функция V (x), производная которой в силу системы (1) является функцией знакопостоянной, знака противоположного V (x). Множество обращения V̇ (x) в нуль описывает- ся функциями ϕi(x), дифференцируемыми достаточное число раз; знакоопределен- ность V (x) определяется формой конечного порядка, знакопостоянство V̇ (x), нера- венства ϕ (kj) i (x) 6= 0 определяются членами разложения в окрестности нуля ко- нечного порядка. Тогда добавлением дополнительных функций Vai(x) функция V (x) приводится к виду Vf (y, z) = Vf1(y) + Vf2(y, z), (2) 110 Интегрируемость и устойчивость где функции y(x), z(x) являются достаточное число раз дифференцируемыми функциями, при этом y(0) = 0, z(0) = 0, det ∂(y, z) ∂(x) ∣∣∣∣ x=0 6= 0; множество M = {(y, z) : y = 0} является инвариантным; функции Vf (y, z), Vf1(y), Vf2(0, z) являются знакоопределенными; V̇f2(y, z) = 0; V̇f1(y) является функцией знакоопре- деленной, знака противоположного Vf (y, z). Доказательство теоремы 1 является частью доказательств теорем 6, 7 работы [7]. С использованием преобразованной функции (2) в этих теоремах доказано, что нулевое решение системы (1) асимптотически устойчиво относительно переменной y, и это множество является максимальным, т.е. относительно оставшихся перемен- ных z нулевое решение устойчиво неасимптотически. В принятых в данной работе терминах этот результат можно сформулировать следующим образом. Теорема 2. Пусть для системы (1) известна функция Ляпунова со знакопо- стоянной производной. Тогда путем преобразования ее к виду (2) переменные x разделяются на устойчивые переменные z и асимптотически устойчивые пере- менные y. 3. Интегралы и метод Четаева. Вид преобразованной функции (2) и ее свой- ства указывают на связь задачи о выделении устойчивых переменных с существова- нием интегралов системы (1). Свойства функций Vf2(y, z), V̇f2(y, z), Vf2(0, z), уста- навливаемые теоремой 1, позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема 3. Пусть переменные системы (1) разделены на устойчивые перемен- ные z и асимптотически устойчивые переменные y и построена функция Ляпунова (2). Тогда у системы (1) существует интеграл Vf2(y, z), при этом частный инте- грал Vf2(0, z) является знакоопределенным. Из данной теоремы вытекает следствие. Следствие 1. Все переменные системы (1) являются устойчивыми тогда и только тогда, когда существует знакоопределенный интеграл, который является функцией Ляпунова для нулевого решения. Именно для решения вопроса об устойчивости в случае, описанном в следствии 1, Н.Г. Четаев предложил метод связки интегралов [9–11] для построения функции Ля- пунова. Если же в случае устойчивого решения среди переменных имеются асимп- тотически устойчивые, то функция Ляпунова имеет более сложный вид (2). Тем не менее, она включает в себя интеграл в качестве составной части. Таким образом, задачи исследования устойчивых решений и интегрирования динамических систем являются, в определенном смысле, обратными друг другу: зная функцию Ляпунова, можно указать интеграл, и наоборот. Это означает, что результаты из одной области можно использовать при решении задач из другой области. Продемонстрируем это на двух классических задачах динамики систем твердых тел. 4. Равновесие твердого тела с маховиком. Рассмотрим движение относи- тельно центра масс твердого тела с маховиком. Уравнения движения можно запи- сать в форме [12] (Aω + λe)• = (Aω + λe)× ω, λ̇ = −αλ . (3) 111 А.М.Ковалев Здесь ω – угловая скорость тела; λ – величина кинетического момента маховика, e – единичный вектор направления кинетического момента маховика, A – тензор инерции системы тело–маховик, α – коэффициент усиления. Система (3) допускает положение равновесия ω = 0, λ = 0. Для исследования его на устойчивость в качестве функции Ляпунова примем функцию V = (Aω + λe)2 + λ2. (4) Для производной V̇ (x) имеем выражение V̇ = −2αλ2. Функция (4) имеет вид (2): V = V1(λ) + V2(λ, ω), где V, V1(λ) = λ2, V2(0, ω) = (Aω)2 являются положительно определенными функциями; V̇2(λ, ω) = 0; V̇1(λ) является при α > 0 отрицательно определенной функцией; множество M = {(λ, ω) : λ = 0} является инвариантным. На основании теоремы 2 заключаем, что для системы (3) переменные ωi являются устойчивыми, а переменная λ – асимптотически устойчивая. Применяя теорему 3 к функции (4), устанавливаем, что у системы (3) существу- ет интеграл V2(λ, ω) = (Aω + λe)2, при этом частный интеграл V2(0, ω) = (Aω)2 является положительно определенным. Таким образом, знание функции Ляпунова (4) позволило получить интеграл си- стемы (3). С другой стороны, знание этого интеграла не приводит непосредственно к построению функции Ляпунова (например, методом Четаева), а требует дополни- тельных рассуждений. 5. Движение гироскопа Горячева–Чаплыгина. Движение гироскопа Горя- чева–Чаплыгина описывается уравнениями [13]: 4ṗ = 3qr, 4q̇ = −3pr − aγ3, ṙ = aγ2, (5) γ̇1 = rγ2 − qγ3, γ̇2 = pγ3 − rγ1, γ̇3 = qγ1 − pγ2, где p, q, r и γ1, γ2, γ3 – проекции на подвижные оси, соответственно, вектора угловой скорости тела и единичного вектора вертикали, a – параметр, характеризующий распределение масс тела. Уравнения (5) допускают интегралы: J1 = 4(p2 + q2) + r2 − 2aγ1 = c1, J2 = 4(pγ1 + qγ2) + rγ3 = c2, J3 = γ2 1 + γ2 2 + γ2 3 = 1. При c2 = 0 уравнения (5) допускают дополнительный интеграл [13] J4 = r(p2 + q2) + apγ3 = c4. (6) Положению равновесия тела соответствуют следующие значения переменных: p0 = q0 = r0 = 0, γ10 = ±1, γ20 = γ30 = 0. (7) 112 Интегрируемость и устойчивость Для рассмотрения устойчивости решения (7) системы (5) введем возмущения: p = x1, q = x2, r = x3, γ1 = γ10 + x4, γ2 = x5, γ3 = x6 и запишем уравнения и интегралы возмущенного движения: 4ẋ1 = 3x2x3, 4ẋ2 = −3x1x3 − ax6, ẋ3 = ax5, ẋ4 = x3x5 − x2x6, ẋ5 = −γ10x3 + x1x6 − x3x4, (8) ẋ6 = γ10x2 + x2x4 − x1x5, Jp1 = −2ax4 + 4(x2 1 + x2 2) + x2 3, Jp2 = 4γ10x1 + 4(x1x4 + x2x5) + x3x6, (9) Jp3 = 2γ10x4 + x2 4 + x2 5 + x2 6. Постоянные интегралов (9) выбраны таким образом, чтобы в начале координат ин- тегралы обращались в нуль. Выберем в качестве функции Ляпунова интеграл V = γ10 a [ 4(x2 1 + x2 2) + x2 3 ] + x2 4 + x2 5 + x2 6. (10) На основании следствия 1 заключаем, что при aγ10 > 0 все переменные системы (8) являются устойчивыми. Поставим задачу получения из интеграла (10) новых интегралов. В качестве первого варианта рассмотрим две функции V1s = x2 4 +x2 5 +x2 6, V2s = 4(x2 1 +x2 2)+x2 3. Находим V̇1s = 2γ10(x2x6 − x5x3) = −2γ10ẋ4, V̇2s = 2a(x5x3 − x2x6) = 2aẋ4. Отсюда следует, что функции V1f = V1s+2γ10x4, V2f = V2s−2ax4 будут интегралами системы (8). При этом V1f = Jp3, V2f = Jp1 и V = γ10 a Jp1 + Jp3. Еще пару интегралов можно получить, взяв одним из них Jp2. Тогда второй интеграл получается из формулы (10) как J = V − Jp2. В силу построения эти четыре интеграла зависимы. Независимыми являются три классических интеграла (9). Для получения четвертого независимого интеграла можно использовать частный интеграл (6), который на инвариантном многообразии M = {x : Jp2 = 0} являет- ся независимым от известных трех интегралов (9). Однако эта задача ввиду своей сложности представляет предмет самостоятельного исследования. Заключение. В настоящей статье предложена дальнейшая детализация свой- ства устойчивости путем введения устойчивых, асимптотически устойчивых и неустойчивых переменных. Такое деление переменных существенно расширяет пред- ставление о локальном поведении траекторий в окрестности изучаемого движения и будет особенно полезным при переходе к глобальному анализу движения. Рассмот- рен случай устойчивого решения в предположении, что функция Ляпунова известна. 113 А.М.Ковалев Исследование основано на приведении функции Ляпунова к специальному виду, ко- гда множество обращения производной в нуль инвариантно. Такое преобразование всегда возможно с помощью метода дополнительных функций. Специальный вид позволяет разделить переменные на устойчивые и асимптотически устойчивые, а также получить интеграл движения. В случае, когда все переменные устойчивые, существует знакоопределенный интеграл, что обосновывает применение в этой си- туации метода связки интегралов Четаева. Однако связь свойств интегрируемости и устойчивости является более сложной, что демонстрирует ситуация, когда имеются асимптотически устойчивые переменные. Вопросы существования интеграла и по- строения функции Ляпунова в этом случае требуют дополнительного анализа, что показывают рассмотренные механические системы. 1. Красовский Н.Н. Критерии, основанные на функциях Ляпунова со знакопостоянными произ- водными. Дополнение III к монографии: МалкинИ.Г. Теория устойчивости движения. – М.: Наука, 1966. – С. 463–467. 2. Ковалев А.М. Построение функции Ляпунова со знакоопределенной производной для систем, удовлетворяющих теореме Барбашина–Красовского // Прикл. математика и механика. – 2008. Т. 72. – Вып. 2. – С. 266–272. 3. Ковалев А.М., Суйков А.С. Построение функции Ляпунова при выполнении теоремы Барбашина—Красовского // Докл. НАН Украины (математика). – 2008. – №12. – С. 22–27. 4. Ковалев А.М., Суйков А.С. Функции Ляпунова для систем, удовлетворяющих условиям теоре- мы Барбашина–Красовского // Проблемы управления и информатики. – 2008. – №6. – С. 5–15. 5. Ковалев А.М. Инвариантность и неустойчивость // Прикл. математика и механика. – 2009. В печати. 6. Ковалев А.М. Решение задач неустойчивости с использованием метода дополнительных функ- ций // Докл. НАН Украины (математика). – 2009. – № 11. – С. 21–27. 7. Ковалев А.М. Инвариантность и асимптотическая устойчивость // Прикл. математика и ме- ханика. – 2009. В печати. 8. Ковалев А.М. Метод дополнительных функций в задачах частичной устойчивости // Докл. НАН Украины (математика). – 2009. – №7. – С. 17–23. 9. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращательных движений снаряда // Прикл. математика и ме- ханика. – 1946. – Т. 10. Вып. 1. – С. 135–138. 10. Четаев Н.Г. Об устойчивости вращения твердого тела с одной неподвижной точкой в случае Лагранжа // Прикл. математика и механика. – 1954. – Т. 18. Вып. 1. – С. 457–458. 11. Четаев Н.Г. Устойчивость движения. – М.: Наука, 1990. – 176 с. 12. Volterra V. Sur la theorie des variations des latitudes // Acta math.– 1899. – V. 22. – P. 201–358. 13. Чаплыгин С.А. Новый случай вращения тяжелого твердого тела, подпертого в одной точке. (Сообщено 28 дек. 1899 г. В Моск. мат. об-ве). Собр. соч. Т. 1. М.; Л., 1948. – С. 118–124. (Изд. 1-е. – Труды отд-ния физ. наук о-ва любителей естествознания. 1901. Т. 10. Вып. 2. – С. 32–34). A.M.Kovalev Integrability and stability In the paper, the problem of the selection of the stable variables is investigated for a nonlinear autonomous system of differential equations, admitting zero solution, with a known Lyapunov function having the derivative of constant sign. With the help of the additional functions method, a Lyapunov function is transformed into the form that allows to select the stable variables and to obtain an integral and also partial integral depending on the motion structure. The connection between these questions and the Chetaev integral bundles method is discussed. The motions of 114 Интегрируемость и устойчивость a rigid body with a rotor and the Goryachev–Chaplygin gyroscope are considered. The motion integrals are obtained from the Lyapunov functions constructed. Keywords: Lyapunov functions, additional functions, integrability, stable variables, Chetaev integral bundles method. О.М.Ковальов Iнтегровнiсть i стiйкiсть У роботi вивчається задача видiлення стiйких змiнних для нелiнiйної автономної системи ди- ференцiальних рiвнянь, яка допускає нульовий розв’язок, при вiдомiй функцiї Ляпунова зi знакосталою похiдною. За допомогою методу додаткових функцiй функцiю Ляпунова перетво- рено до вигляду, який дозволяє видiлити стiйкi змiннi й одержати iнтеграл, а також окремий iнтеграл залежно вiд структури руху. Обговорено зв’язок цих питань iз методом в’язки iнте- гралiв Четаєва. Розглянуто рухи твердого тiла з маховиком i гiроскопа Горячева–Чаплигiна. Отримано iнтеграли рухiв iз побудованих функцiй Ляпунова. Ключовi слова: функцiї Ляпунова, додатковi функцiї, iнтегровнiсть, стiйкi змiннi, метод в’язок iнтегралiв Четаєва. Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк kovalev@iamm.ac.donetsk.ua Получено 31.05.10 115

Интегрируемость и устойчивость

Репозитарії

Схожі ресурси