Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования

В работе получен аналог известной теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений отрезка вещественной оси в пространства Фреше. Доказана новая теорема о представимости обобщённо абсолютно непрерывных отображений в виде узкого интеграла Данжуа-Бохнера....

Повний опис

Збережено в:

Бібліографічні деталі
Дата:	2010
Автор:	Стонякин, Ф.С.
Формат:	Стаття
Мова:	Russian
Опубліковано:	Інститут прикладної математики і механіки НАН України 2010
Назва видання:	Труды Института прикладной математики и механики
Онлайн доступ:	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123941
Теги:	Додати тег Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
Назва журналу:	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
Цитувати:	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования / Ф.С. Стонякин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 168-176. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.

Репозитарії

Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine

id	irk-123456789-123941
record_format	dspace
spelling	irk-123456789-1239412017-09-15T03:03:14Z Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования Стонякин, Ф.С. В работе получен аналог известной теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений отрезка вещественной оси в пространства Фреше. Доказана новая теорема о представимости обобщённо абсолютно непрерывных отображений в виде узкого интеграла Данжуа-Бохнера. У роботі отримано аналог відомої теореми Данжуа-Юнг-Сакса про контингенцію для відображень відрізка дійсної вісі в просторі Фреше. Доведено нову теорему про зображуваність узагальнено абсолютно неперервних відображень у вигляді вузького інтеграла Данжуа-Бохнера. In the paper an analog of well-known Denjoy-Yuong-Saks’s theorem about contingency for real segment mappings into Frechet spaces is obtained. A new theorem about representation of each generalized absolutely continuous mapping as narrow Denjoy-Bochner integral is proved. 2010 Article Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования / Ф.С. Стонякин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 168-176. — Бібліогр.: 11 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123941 517.98 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України
institution	Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine
collection	DSpace DC
language	Russian
description	В работе получен аналог известной теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений отрезка вещественной оси в пространства Фреше. Доказана новая теорема о представимости обобщённо абсолютно непрерывных отображений в виде узкого интеграла Данжуа-Бохнера.
format	Article
author	Стонякин, Ф.С.
spellingShingle	Стонякин, Ф.С. Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования Труды Института прикладной математики и механики
author_facet	Стонякин, Ф.С.
author_sort	Стонякин, Ф.С.
title	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования
title_short	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования
title_full	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования
title_fullStr	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования
title_full_unstemmed	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования
title_sort	аналог теоремы данжуа-юнг-сакса о контингенции для отображений в пространства фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования
publisher	Інститут прикладної математики і механіки НАН України
publishDate	2010
url	http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123941
citation_txt	Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования / Ф.С. Стонякин // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 20. — С. 168-176. — Бібліогр.: 11 назв. — рос.
series	Труды Института прикладной математики и механики
work_keys_str_mv	AT stonâkinfs analogteoremydanžuaûngsaksaokontingenciidlâotobraženijvprostranstvafrešeiodnoegopriloženievteoriivektornogointegrirovaniâ
first_indexed	2025-07-09T00:34:37Z
last_indexed	2025-07-09T00:34:37Z
_version_	1837127464146436096
fulltext	ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 20 УДК 517.98 c©2010. Ф.С. Стонякин АНАЛОГ ТЕОРЕМЫ ДАНЖУА-ЮНГ-САКСА О КОНТИНГЕНЦИИ ДЛЯ ОТОБРАЖЕНИЙ В ПРОСТРАНСТВА ФРЕШЕ И ОДНО ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ В ТЕОРИИ ВЕКТОРНОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ В работе получен аналог известной теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений отрезка вещественной оси в пространства Фреше. Доказана новая теорема о представимости обоб- щённо абсолютно непрерывных отображений в виде узкого интеграла Данжуа-Бохнера. Ключевые слова: теорема Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции, пространство Фреше, локально выпуклое пространство, σ-абсолютно непрерывное отображение, компактный субдифференциал, узкий интеграл Данжуа-Бохнера. Введение. Хорошо известен следующий результат [1], который является след- ствием теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции [2, 3], описывающей поведение производных чисел любой вещественной функции f : [a; b] → R. Теорема 1. Для почти всех x ∈ [a; b] либо f дифференцируема в точке x, либо существует бесконечное производное число f в точке x. Как отмечено в [4], для отображений в нормируемые пространства данный ре- зультат имеет место для метрических производных чисел (предельных точек отно- шения ‖f(x+t)−f(x)‖ t при t → 0). В настоящей работе получено обобщение теоремы 1 на случай почти всюду сепа- рабельнозначного отображения вещественного отрезка в пространство Фреше для обычных производных чисел (предельных точек отношения f(x+t)−f(x) t при t → 0 в топологии соответствующего пространства Фреше) (теорема 3). На базе теоремы 3 доказан новый результат о представимости (сильно) обобщённо абсолютно непре- рывных (далее — σ-абсолютно непрерывных) отображений вещественного отрезка в вещественное отделимое локально выпуклое пространство (ЛВП) в виде узкого интеграла Данжуа-Бохнера (теорема 6). 1. Аналог теоремы Данжуа о контингенции. Мы будем рассматривать отображения F : [a; b] → E, где E — пространство Фреше с определяющей си- стемой полунорм {‖ · ‖j}j∈N. Под почти всюду сепарабельнозначным отображением мы понимаем такое отображение F , что для некоторого множества e нулевой меры (здесь мы имеем в виду классическую меру Лебега на прямой) множество F ([a; b]\e) содержится в замкнутом сепарабельном подпространстве E0 ⊂ E. Напомним [5], что в банаховом случае почти всюду сепарабельнозначность является необходимым условием интегрируемости по Бохнеру. Условимся обозначать через ∂̂F (x) любое производное число отображения F в точке x ∈ [a; b] (т.е. ∂̂F (x) = lim k→∞ F (x+hk)−F (x) hk для некоторой числовой последовательности hk → 0; в частности, ∂̂F (x) = ∞, если lim k→∞ ‖F (x+hk)−F (x)‖j hk = ∞ для любого j ∈ N), через m и m∗ — классическую меру 168 Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше ... Лебега на прямой и соответствующую внешнюю меру. Напомним некоторые опре- деления и один результат из [3]. Определение 1. Пусть задана произвольная точка x ∈ R и множество G ⊂ R. Если существует предел d(x,G) = lim l=(ã;̃b)→x m∗(l ⋂ E) ml , то он называется внешней плотностью множества G в точке x. Определение 2. Если d(x,G) = 1 то точка x называется точкой внешней плот- ности множества G. Теорема 2. Для любого множества G почти все его точки являются точками внешней плотности G. Переходим к основному результату данного пункта. Мы отправляемся от дока- зательства классической теоремы Данжуа-Юнг-Сакса в [3]. Теорема 3. Пусть F : [a; b] → E почти всюду сепарабельнозначно на [a; b]. Тогда для почти всех x ∈ [a; b] выполняется одно из следующих условий: (i) существует производное число ∂̂F (x) = ∞ ; (ii) для некоторой числовой последовательности hk → 0 последовательность 4F (x,hk) hk не содержит сходящейся подпоследовательности; (iii) все производные числа F в точке x конечны и совпадают, т.е. существует производная F ′(x). Доказательство. Так как отображение F почти всюду сепарабельнозначно, то по- чти все значения F на [a; b] содержатся в некотором замкнутом сепарабельном под- пространстве E0 ⊂ E. Отсюда следует, что в E0 содержатся как все дроби F (x2)−F (x1) x2−x1 (x1, x2 ∈ [a; b]), так и все производные числа ∂̂F (x) (x ∈ [a; b]) в случае, если они существуют и конечны. Обозначим через Λ произвольное счётное всюду плотное подмножество E0, а через T — множество всех точек x ∈ [a; b], в которых не выполняется ни одно из условий (i) — (iii) доказываемой теоремы. Предположим, что m∗T > 0. Для произвольного x ∈ T найдутся p, q ∈ Λ, рациональное число r, а также натуральные числа s, n и j, при которых 1) ∂̂1F (x) ∈ Bj r(p), ∂̂2F (x) ∈ Bj r(q), где ∂̂1F (x) и ∂̂2F (x) являются некоторыми производными числами отображения F в точке x, а Bj r(z) = {z̃ ∈ E \| ‖z̃−z‖j < < r}, Bj r(p) ⋂ Bj r(q) = ∅; 2) если x− 1/n < x′ < x + 1/n, то F (x′)− F (x) x′ − x ∈ Bj s(ϑ) (ϑ — нуль в E) . 169 Ф.С. Стонякин Обозначим через T (p, q, r, s, n, j) множество всех x ∈ T , удовлетворяющих усло- виям 1) и 2) при фиксированных p, q, r, s, n, j. Поскольку как множество Λ, так и множества рациональных и натуральных чисел счётны, то система {T (p, q, r, s, n, j)} также состоит из счётного числа множеств. Так как эта система покрывает T , то существует некоторое множество H = T (p, q, r, s, n, j) с положительной внешней ме- рой m∗H > 0. Следовательно, по теореме 2, H имеет точки внешней плотности. Это означает, что мы можем окружить одну из них интервалом ` = (a, b) с условиями a, b ∈ H, m` < 1 n , m∗(` ⋂ H) > (1− δ)m`, где 0 < δ < 1 2 . Пусть Ẽ — множество точек внешней плотности множества ` ⋂ H, которые при- надлежат ` ⋂ H. Тогда m∗Ẽ = m∗(` ⋂ H) и к каждой точке x ∈ Ẽ сходятся две последовательности (для определённости, справа) x′l → x + 0 и x′′l → x + 0 точек из Ẽ, для которых F (x′l)− F (x) x′l − x ∈ Bj r(p) , F (x′′l )− F (x) x′′l − x ∈ Bj r(q) (l = 1, 2, ...) . Система отрезков S′ = {[x; x′l]}, взятых для всех x ∈ E и l = 1, 2, 3, ..., образует покрытие множества E по Витали. Поэтому по теореме Витали [3] из неё можно выбрать конечное число отрезков d′k = [a′k; b ′ k] с суммой длин ∑ md′k > (1− 2δ)m` . Аналогично из S′′ = {[x; x′′l ]} можно выбрать конечное число отрезков d′′k = = [a′′k; b ′′ k] с суммой длин ∑ md′′k > (1− 2δ)m` . Чтобы привести к противоречию допущение m∗H > 0, подсчитаем двумя спосо- бами разность F (b)− F (a). 1◦) Интервал ` = (a; b) разобъём на конечное число отрезков d′k = [a′k; b ′ k] и конечное число оставшихся интервалов 4′ k = (u′k; v ′ k). Отрезок d′k есть некоторое множество вида [x;x′l]. Для него F (b′k)− F (a′k) b′k − a′k ∈ Bj r(p) и F (b′k)− F (a′k) ∈ Bj r(p) ·md′k . Суммируя по всем d′k, получаем ∑ [F (b′k)− F (a′k)] ∈ Bj r(p) · ∑ md′k . (1) У интервала 4′ k = (u′k, v ′ k) оба конца u′k, v′k ∈ H, причём v′k − u′k < 1 n . Поэтому F (v′k)− F (u′k) v′k − u′k ∈ Bj s(ϑ) и F (v′k)− F (u′k) ∈ Bj s(ϑ) ·m4′ k . Суммарно по всем 4′ k будет ∑ [F (v′k)− F (u′k)] ∈ Bj s(ϑ) · ∑ m4′ k . (2) Разность F (b)− F (a) складывается из сумм (1) и (2). Следовательно, F (b)− F (a) ∈ Bj r(p) · ∑ md′k + Bj s(ϑ) · ∑ m4′ k . (3) 170 Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше ... Подставляя в (3) тождество ∑ md′k = m`−∑ m4′ k и неравенство ∑ m4′ k < < 2δm`, получаем F (b)− F (a) ∈ Bj r(p) ·m` + (Bj s(ϑ)−Bj r(p)) · ∑ m4′ k ⊂ ⊂ Bj r(p) ·m` + (Bj s(ϑ)−Bj s+2r(ϑ)) · ∑ m4′ k = Bj r(p) ·m`+ +Bj 2s+2r(ϑ) · ∑ m4′ k ⊂ Bj r(p) ·m` + 2δBj 2s+2r(ϑ) ·m` , в силу выпуклости Bj r(p) и Bj 2s+2r(ϑ). Но δ > 0 выбиралось после того, как p, q, r, s, n и j были зафиксированы. Поэтому для достаточно малых δ > 0 будет F (b)− F (a) m` ∈ Bj r(p) . (4) 2◦) Разбивая интервал ` = (a, b) на конечное число отрезков d′′k = [a′′k; b ′′ k] и ко- нечное число оставшихся интервалов 4′′ k = (u′′k; v ′′ k), по схеме пункта 1◦), аналогично получаем F (b)− F (a) m` ∈ Bj r(q) . (5) Остаётся лишь заметить, что оценки (4) и (5) несовместны ввиду условия Bj r(p) ⋂ Bj r(q) = ∅. ¤ Замечание 1. Условие (ii) теоремы 3 характерно только для отображений в бесконечномерные пространства. В конечномерных пространствах любая последо- вательность содержит сходящуюся подпоследовательность (пусть к ∞). Что же ка- сается бесконечномерного случая, то существуют банаховозначные отображения, для которых условие (ii) теоремы 3 выполняется всюду на области определения. Приведём пример такого отображения, которое рассматривалось в [5] как пример липшицева отображения, нигде не имеющего производной. Пример. Пусть L1(I) — пространство вещественных измеримых по Лебегу функ- ций x = ξ(t), заданных на I = [0; 1] с нормой ‖x‖ = 1∫ 0 \|ξ(t)\|dt. Рассмотрим отобра- жение y(·) : I = [0; 1] → L1(I), определяемое равенствами y(s)(t) = 1 для 0 6 t 6 s , y(s)(t) = 0 для s 6 t 6 1 . Предположим, что существует точка s0 ∈ I и некоторая числовая последова- тельность hk ↘ 0 такие, что соответствующая последовательность ỹk = y(s0 + hk)− y(s0) hk (k ∈ N) сходится в L1(I). Тогда ∀ε > 0 ∃k0 ∈ N ∀k > k0 : ‖ỹk − ỹk0‖ < ε . (6) 171 Ф.С. Стонякин Поскольку y(s + h)− y(s) h (t) =    1 h , для s 6 t 6 s + h , 0 , в противном случае , то мы имеем ‖ỹk − ỹk0‖ = ∥∥∥∥ y(s0 + hk)− y(s0) hk − y(s0 + hk0)− y(s0) hk0 ∥∥∥∥ = = 1∫ 0 ∣∣∣∣ ( y(s0 + hk)− y(s0) hk − y(s0 + hk0)− y(s0) hk0 ) (t) ∣∣∣∣ dt = = s0+hk∫ s0 ∣∣∣∣ 1 hk − 1 hk0 ∣∣∣∣ dt + s0+hk0∫ s0 dt hk0 = hk · ( 1 hk − 1 hk0 ) + + hk0 − hk hk0 = 2− 2 hk hk0 → 2 при k →∞ , что противоречит (6) при ε < 2, то есть условие (ii) теоремы 3 выполняется всюду на I. 2. Компактные субдифференциалы отображений в ЛВП. В данном пунк- те мы рассмотрим определение изучавшегося ранее (см. [6] — [9]) компактного суб- дифференциала, которое потребуется нам в дальнейшем. Обозначим через U(0) про- извольную замкнутую абсолютно выпуклую окрестность нуля в вещественном от- делимом локально выпуклом пространстве (ЛВП) E. Определение 3. Пусть {Bδ}δ>0 — убывающая по вложениям при δ → +0 систе- ма замкнутых выпуклых подмножеств отделимого вещественного ЛВП E, B ⊂ E. Будем говорить, что множество B = ⋂ δ→+0 Bδ есть K-предел системы {Bδ}δ>0 при δ → +0 : B = K − lim δ→+0 Bδ , если: ∀U = U(0) ⊂ E ∃δ = δU > 0 : (0 < δ < δU ) ⇒ (Bδ ⊂ B + U(0)) . Из определения 3 вытекает замкнутость и выпуклость множества B. Далее бу- дем обозначать через I ⊂ R — некоторый отрезок, E — произвольное вещественное отделимое ЛВП, convA — выпуклую замкнутую оболочку множества A и рассмат- ривать отображения F : I → E. Определение 4. Пусть x ∈ I, δ > 0. Частный K-субдифференциал отображения F в точке x0, отвечающий данному δ > 0, есть замкнутое выпуклое множество ∂KF (x0, δ) = conv { F (x0 + h)− F (x0) h ∣∣∣∣ 0 <\| h \|< δ } . 172 Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше ... Определение 5. Назовём отображение F : I → E компактно субдифференцируе- мым или K-субдифференцируемым в точке x0 ∈ I, если существует K-предел част- ных K-субдифференциалов ∂KF (x0) = K − lim δ→+0 ∂KF (x0, δ) . Полученное множе- ство ∂KF (x0) назовём компактным субдифференциалом, или K-субдифференциалом отображения F в точке x0. Если отображение F дифференцируемо в точке x0 в обычном смысле, то оно яв- ляется компактно субдифференцируемым, причём ∂KF (x0) = F ′(x0). В то же время, как показано в [7], существуют компактно субдифференцируемые отображения, не имеющие обычной производной. Из теоремы 3 вытекает важное следствие, которое будет использовано далее. Теорема 4. Если E — пространство Фреше, а отображение F : [a; b] → E почти всюду сепарабельнозначно и К-субдифференцируемо на [a; b], то оно почти всюду дифференцируемо на [a; b]. Доказательство. Легко видеть, что в любой точке компактной субдифферен- цируемости множество предельных точек f(x+t)−f(x) t при t → 0 конечно. Следова- тельно, по теореме 3, это множество одноточечно почти всюду на [a; b], откуда и вытекает справедливость доказываемого утверждения. ¤ 3. Теорема о представимости σ-абсолютно непрерывных отображе- ний в виде интеграла Данжуа-Бохнера. В работе [9] для отображений F : I = [a; b] → E, где E — произвольное вещественное отделимое локально вы- пуклое пространство, получен следующий результат о представимости (сильно) аб- солютно непрерывных отображений в виде неопределённого интеграла Бохнера. На- помним вначале, что селектором многозначного отображения Φ : A → 2E (A ⊂ R) называется произвольное отображение Φ̂ : A → E такое, что Φ̂(x) ∈ Φ(x) для всех x ∈ A. Теорема 5. Пусть F : I = [a; b] → E абсолютно непрерывно и почти всюду компактно субдифференцируемо на [a; b]. Тогда любой селектор ∂̂KF ∈ ∂KF инте- грируем по Бохнеру на I и верно равенство F (x) = F (a) + (B) x∫ a ∂̂KF (t)dt (a 6 x 6 b) . Замечание 2. Напомним, что интегрируемость по Бохнеру некоторого отобра- жения в ЛВП E означает его интегрируемость во всех фактор-пространствах, по- строенных по ядрам определяющих полунорм локально выпуклого пространства E, пополненных относительно фактор-норм. Замечание 3. В работе [9] также построен пример всюду компактно субдиффе- ренцируемого абсолютно непрерывного отображения, которое почти везде не имеет обычной производной. Это означает, что в условии теоремы 5 нельзя заменить ком- пактную субдифференцируемость обычной дифференцируемостью. В данном пункте, используя теорему 4, мы обобщим предыдущий результат на случай (сильно) σ-абсолютно непрерывных отображений. Начнём с обобщения на 173 Ф.С. Стонякин отображения в ЛВП понятий абсолютной непрерывности, σ-абсолютной непрерыв- ности и интегрируемости по Данжуа-Бохнеру (в узком смысле), которые хорошо известны для банаховозначных отображений [10]. Определение 6. Отображение F : I = [a; b] → E называется (сильно) абсолют- но непрерывным на множестве G ⊂ [a; b], если для произвольной непрерывной полунормы ‖ · ‖ на E и любого ε > 0 существует такое δ > 0, что для всяко- го набора неперекрывающихся отрезков {[αi;βi]}n i=1, имеющих непустое пересече- ние с G и удовлетворяющих условию n∑ i=1 (βi − αi) < δ, выполняется неравенство n∑ i=1 ‖F (βi)− F (αi)‖ < ε. Определение 7. Отображение F : I = [a; b] → E называется (сильно) σ- абсолютно непрерывным на множестве G ⊂ [a; b], если G представимо в виде счёт- ного объединения множеств, на каждом из которых F является абсолютно непре- рывным. Замечание 4. Легко видеть, что любое абсолютно непрерывное отображение яв- ляется σ-абсолютно непрерывным. Однако существуют σ-абсолютно непрерывные отображения, которые не являются абсолютно непрерывными в обычном смысле. Соответствующий пример построен в [11]. Определение 8. Пусть E — банахово пространство. Отображение f : [a; b] → E называется интегрируемым по Данжуа-Бохнеру (в узком смысле), если существует почти всюду дифференцируемое (сильно) σ-абсолютно непрерывное отображение F : I = [a; b] → E такое, что F ′(t) = f(t) почти всюду. Подобно интегрируемости по Бохнеру, будем определять интегрируемость по Данжуа-Бохнеру в ЛВП E как интегрируемость во всех фактор-пространствах, по- строенных по ядрам определяющих полунорм ЛВП E и пополненных относительно фактор-норм. Перейдём к основному результату данного пункта. Теорема 6. Пусть отображение F : [a; b] → E (сильно) σ-абсолютно непрерыв- но и почти всюду компактно субдифференцируемо на [a; b]. Тогда любой селектор ∂̂KF ∈ ∂KF интегрируем по Данжуа-Бохнеру на I и верно равенство F (x) = F (a) + (DB) x∫ a ∂̂KF (t)dt (a 6 x 6 b) . (7) Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай банахова пространства E. Непо- средственно из определений 6 и 7 вытекает, что если F σ-абсолютно непрерывно, то оно непрерывно в каждой точке области определения, а следовательно, сепарабель- нозначно. Далее, согласно теореме 4 почти всюду на [a; b] существует производная f(t) = F ′(t). Положим f(t) = ϑ (ϑ — нуль в E) в точках недифференцируемо- сти отображения F . Таким образом, для отображения f : [a; b] → E существует σ-абсолютно непрерывное отображение F : [a; b] → E, удовлетворяющее условию 174 Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше ... f(t) = F ′(t) для почти всех t ∈ I, откуда ввиду определения 8 и вытекает представ- ление (7) для отображений в банаховы пространства. 2) Пусть теперь E — произвольное вещественное отделимое ЛВП. Обозначим че- рез Êj пополнения фактор-пространств Ej = E/ker‖ · ‖j относительно фактор-норм ‖ · ‖̂j = ‖ · ‖j , ϕj : E → Ej — канонические вложения. Для каждого из отображе- ний Fj = ϕj(F ) : I → Êj выполнены условия теоремы (непосредственной проверкой можно установить, что если F K-субдифференцируемо в E, то Fj : I → Êj яв- ляется K-субдифференцируемым в банаховом пространстве Ej). В силу пункта 1) настоящего доказательства, ∀j ∈ J имеет место представление Fj(x) = Fj(a) + (DB) x∫ a ∂̂KFj(t)dt (a 6 x 6 b) . (8) И, наконец, из (8) согласно определению 8 вытекает утверждение теоремы. ¤ Замечание 5. Как следует из замечаний 3 и 4, в условии теоремы 6 нельзя ни заменить К-субдифференцируемость обычной дифференцируемостью (в случае про- извольного ЛВП), ни заменить σ-абсолютную непрерывность обычной абсолютной непрерывностью. 1. Garg K. M. A unified theory of bilateral derivatives.// Real Analysis Exchange. — 2002. — Vol. 27. — № 1. — P. 81 – 122. 2. Cакс С. Теория интеграла. — М.: «Факториал Пресс», 2004. — 496 с. 3. Брудно А. Л. Теория функций вещественной переменной. — М.: Наука, 1971. — 119 с. 4. Duda J., Maleva O. Metric derivative numbers and continuous metric differentiability via homeo- morphisms.// arXiv: math/0608403v1 [math.CA], 15 Aug 2006. — P. 1 – 21. 5. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. — М.: ИЛ, 1962 — 829 с. 6. Орлов И. В., Стонякин Ф. С. К-субдифференциалы и К-теорема о среднем для отображений в локально выпуклые пространства.// Международная конференция, посвящённая памяти И.Г. Петровского «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы». Тезисы докладов. — М.: МГУ, 2007. — С. 220 – 221. 7. Стонякин Ф. С. Компактный субдифференциал вещественных функций.//Динамические си- стемы. — 2007.— Вып. 23 — С. 99 – 112. 8. Стонякин Ф. C. Сравнение компактного субдифференциала с субдифференциалами Кларка, Фреше и обобщёнными дифференциалами Сассманна. // Компьютерная математика. — 2008. — № 2. — С. 50 – 56. 9. Orlov I. V., Stonyakin F. S. Compact variation, compact subdifferentiability and indefinite Bochner integral.// Methods of Functional Analysis and Topology. — 2009. — Vol. 15. — № 1. — P. 74 – 90. 10. Солодов А. П. Определение типа Римана для узкого интеграла Данжуа – Бохнера .// Фунда- ментальная и прикладная математика. — 2001.— Т.7. — № 3. — С. 887 – 895. 11. Bruckner A. M., Fleissner R. J., Fordan J. The minimal integral which includeds Lebesgue integrable functions and derivatives. // Colloq. Math. — 1986.— Vol. 50. — P. 289 – 293. 175 Ф.С. Стонякин F.S. Stonyakin Analog of Denjoy-Young-Saks’s theorem about contingency for mappings into Frechet spaces and one its application in vector integration theory. In the paper an analog of well-known Denjoy-Yuong-Saks’s theorem about contingency for real segment mappings into Frechet spaces is obtained. A new theorem about representation of each generalized absolutely continuous mapping as narrow Denjoy-Bochner integral is proved. Keywords: Denjoy-Yuong-Saks’s theorem, Frechet space, locally convex space, σ-absolutely continuous mapping, compact subdifferential, narrow Denjoy-Bochner integral. Ф. С. Стонякiн Аналог теореми Данжуа- Юнг- Сакса про контингенцiю для вiдображень у про- сторi Фреше та одне його застосування в теорiї векторного iнтегрування. У роботi отримано аналог вiдомої теореми Данжуа-Юнг-Сакса про контингенцiю для вiдобра- жень вiдрiзка дiйсної вiсi в просторi Фреше. Доведено нову теорему про зображуванiсть уза- гальнено абсолютно неперервних вiдображень у виглядi вузького iнтеграла Данжуа-Бохнера. Ключовi слова: теорема Данжуа-Юнг-Сакса про контингенцiю, простiр Фреше, локально опуклий простiр, σ- абсолютно неперервне вiдображення, компактний субдиференцiал, вузь- кий iнтеграл Данжуа-Бохнера. Таврический национальный университет им. В.И. Вернадского, Симферополь fedyor@mail.ru Получено 19.02.09 176

Аналог теоремы Данжуа-Юнг-Сакса о контингенции для отображений в пространства Фреше и одно его приложение в теории векторного интегрирования

Репозитарії

Схожі ресурси