О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств
Рассмотрено вариационное неравенство, соответствующее нелинейному вырождающемуся анизотропному эллиптическому оператору, множеству ограничений достаточно широкого класса и правой части класса L¹. Установлено условие относительно повышения интегрируемости правой части, при котором решение рассматрива...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123952 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств / Ю.С. Горбань // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 56-63. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123952 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239522017-09-16T03:03:23Z О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств Горбань, Ю.С. Рассмотрено вариационное неравенство, соответствующее нелинейному вырождающемуся анизотропному эллиптическому оператору, множеству ограничений достаточно широкого класса и правой части класса L¹. Установлено условие относительно повышения интегрируемости правой части, при котором решение рассматриваемого вариационного неравенства принадлежит L¹. Розглянуто варіаційну нерівність, яка відповідає: нелінійному впродному анізотропному еліптичному оператору множині обмежень досить широкого класу і правій частині класу L¹. Встановлено умову відносно підвищення інтегрованості правої частини, при якій розв'язок варіаційної нерівності належить L¹. A variational inequality corresponding to a nonlinear degenerate anisotropic elliptic operator, a set of constraints of a sufficiently large class and an L¹-right-hand side is considered. A condition on the improvement of integrability of the right-hand side under which the solution of the variational inequality belongs to L¹ is established. 2010 Article О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств / Ю.С. Горбань // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 56-63. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123952 517.9 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассмотрено вариационное неравенство, соответствующее нелинейному вырождающемуся анизотропному эллиптическому оператору, множеству ограничений достаточно широкого класса и правой части класса L¹. Установлено условие относительно повышения интегрируемости правой части, при котором решение рассматриваемого вариационного неравенства принадлежит L¹. |
| format |
Article |
| author |
Горбань, Ю.С. |
| spellingShingle |
Горбань, Ю.С. О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Горбань, Ю.С. |
| author_sort |
Горбань, Ю.С. |
| title |
О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств |
| title_short |
О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств |
| title_full |
О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств |
| title_fullStr |
О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств |
| title_full_unstemmed |
О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств |
| title_sort |
о невесовом условии суммируемости t-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123952 |
| citation_txt |
О невесовом условии суммируемости T-решений вырождающихся анизотропных вариационных неравенств / Ю.С. Горбань // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 56-63. — Бібліогр.: 9 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT gorbanʹûs onevesovomusloviisummiruemostitrešenijvyroždaûŝihsâanizotropnyhvariacionnyhneravenstv |
| first_indexed |
2025-07-09T00:35:46Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:35:46Z |
| _version_ |
1837127537936826368 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.9
c©2010. Ю.С. Горбань
О НЕВЕСОВОМ УСЛОВИИ СУММИРУЕМОСТИ T -РЕШЕНИЙ
ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ АНИЗОТРОПНЫХ
ВАРИАЦИОННЫХ НЕРАВЕНСТВ
Рассмотрено вариационное неравенство, соответствующее нелинейному вырождающемуся анизо-
тропному эллиптическому оператору, множеству ограничений достаточно широкого класса и пра-
вой части класса L1. Установлено условие относительно повышения интегрируемости правой части,
при котором решение рассматриваемого вариационного неравенства принадлежит L1.
Ключевые слова: вариационное неравенство, T -решение, суммируемость решения.
1. Введение. В статье рассматривается вариационное неравенство, соответству-
ющее нелинейному вырождающемуся анизотропному эллиптическому оператору A,
множеству ограничений V достаточно широкого класса и правой части f класса L1.
Анизотропия и вырождение оператора A характеризуются присутствием в услови-
ях роста и коэрцитивности относительно его коэффициентов наборов показателей
q = {q1, . . . , qn} и весовых функций ν = {ν1, . . . , νn}, а сам оператор определен на
соответствующем соболевском пространстве
◦
W 1,q(ν, Ω). Предполагается, что множе-
ство ограничений V ⊂
◦
W 1,q(ν, Ω) содержит ограниченные функции и удовлетворяет
следующему условию: если u, v ∈ V и k > 0, то u − Tk(u − v) ∈ V , где Tk – стан-
дартная срезающая функция. Этому условию удовлетворяют, например, множества
функций, определяемые односторонними и двусторонними ограничениями. Поня-
тие T -решения рассматриваемого вариационного неравенства введено в работах [1–
3]. Там же установлены теоремы существования и единственности такого решения
и описаны его свойства суммируемости. В частности, установлены условия на по-
казатели qi и показатели суммируемости функций 1/νi, при которых T -решение
принадлежит пространству L1 (см., например, [3, следствие 6.2]). Цель данной ра-
боты – получение такой же суммируемости T -решения без использования указанных
условий, но в предположении несколько повышенной суммируемости функции f .
Среди других работ, относящихся к исследованию вариационных неравенств с
L1-правыми частями, отметим, например, статьи [4–7], посвященные односторонним
задачам Дирихле.
2. Предварительные сведения. В этом пункте приведем ряд результатов из
работы [3], необходимых для дальнейшего изложения.
Пусть n ∈ N, n > 2, Ω – ограниченное открытое множество в Rn, и пусть для
любого i ∈ {1, . . . , n} имеем qi ∈ (1, n).
56
Положим q = {qi : i = 1, . . . , n},
q =
(
1
n
n∑
i=1
1
qi
)−1
.
Пусть для любого i ∈ {1, . . . , n} νi – неотрицательная функция на Ω такая, что
νi > 0 почти всюду на Ω,
νi ∈ L1
loc(Ω), (1/νi)
1/(qi−1) ∈ L1(Ω). (1)
Положим ν = {νi : i = 1, . . . , n}. Через W 1,q(ν,Ω) обозначим множество всех
функций u ∈ L1(Ω), таких, что для любого i ∈ {1, . . . , n} существует обобщенная
производная Diu и νi|Diu |qi ∈ L1(Ω).
Пусть ‖ · ‖1,q,ν – отображение из W 1,q(ν, Ω) в R такое, что для любой функции
u ∈ W 1,q(ν, Ω)
‖u‖1,q,ν =
∫
Ω
|u|dx +
n∑
i=1
(∫
Ω
νi|Diu| qidx
)1/qi
.
Отображение ‖ · ‖1,q,ν есть норма в W 1,q(ν, Ω) и ввиду второго из включений (1) мно-
жество W 1,q(ν, Ω) есть банахово пространство относительно нормы ‖ · ‖1,q,ν . Кроме
того, в силу первого из включений (1) имеем C∞
0 (Ω) ⊂ W 1,q(ν, Ω).
Через
◦
W 1,q(ν, Ω) обозначим замыкание множества функций C∞
0 (Ω) в простран-
стве W 1,q(ν, Ω). Очевидно, что множество
◦
W 1,q(ν,Ω) является банаховым простран-
ством относительно нормы, индуцированной нормой ‖ · ‖1,q,ν . Заметим еще, что про-
странство
◦
W 1,q(ν, Ω) рефлексивно. Подробное доказательство этого утверждения
дано в [1].
Далее, пусть для любого k > 0 Tk – функция на R такая, что
Tk(s) =
{
s, если |s| 6 k,
k sign s, если |s| > k.
Через
◦
T 1,q(ν, Ω) обозначим множество всех функций u : Ω → R таких, что для
любого k > 0 имеем Tk(u) ∈
◦
W 1,q(ν, Ω).
Заметим, что
◦
W 1,q(ν, Ω) ⊂
◦
T 1,q(ν, Ω).
Для произвольных u : Ω → R и x ∈ Ω положим
k(u, x) = min{l ∈ N : |u(x)| 6 l}.
Определение 2.1. Пусть u ∈
◦
T 1,q(ν, Ω) и i ∈ {1, . . . , n}. Тогда δiu – функция на
Ω такая, что для любого x ∈ Ω
δiu(x) = DiTk(u,x)(u)(x).
57
Ю.С. Горбань
Предложение 2.1. Пусть u ∈
◦
T 1,q(ν,Ω) и i ∈ {1, . . . , n}. Тогда для любого k > 0
имеем DiTk(u) = δiu · 1{ |u|<k} п.в. на Ω.
Заметим, что если u ∈
◦
W 1,q(ν, Ω), то для любого i ∈ {1, . . . , n} имеем δiu = Diu
п.в. на Ω.
Предложение 2.2. Пусть u ∈
◦
T 1,q(ν, Ω), v ∈
◦
W 1,q(ν,Ω)∩L∞(Ω). Тогда u− v ∈
◦
T 1,q(ν, Ω) и для любых i ∈ {1, . . . , n} и k > 0 имеем
DiTk(u− v) = δiu−Div п.в. на {|u− v| < k}.
Предложение 2.3. Существует положительная постоянная c0, зависящая
только от n, q и ‖1/νi‖L1/(qi−1)(Ω), i = 1, . . . , n, такая, что для любой функции
u ∈
◦
W 1,q(ν, Ω) имеем
( ∫
Ω
|u|n/(n−1)dx
)(n−1)/n
6 c0
n∏
i=1
( ∫
Ω
νi|Diu|qidx
)1/nqi
.
3. Определение и существование T -решений вариационных неравенств
с L1-данными. Материал, излагаемый в этом пункте, взят из работы [3].
Пусть c1, c2 > 0, g1, g2 ∈ L1(Ω), g1, g2 > 0 на Ω, и пусть для любого i ∈ {1, . . . , n}
ai – функция Каратеодори на Ω × Rn. Будем считать, что для почти всех x ∈ Ω и
любых ξ ∈ Rn справедливы неравенства
n∑
i=1
(1/νi)
1/(qi−1)(x)|ai(x, ξ)|qi/(qi−1) 6 c1
n∑
i=1
νi(x)|ξi|qi + g1(x), (2)
n∑
i=1
ai(x, ξ)ξi > c2
n∑
i=1
νi(x)|ξi|qi − g2(x). (3)
Кроме того, будем предполагать, что для почти всех x ∈ Ω и любых ξ, η ∈ Rn, ξ 6= η,
справедливо неравенство
n∑
i=1
[ai(x, ξ) − ai(x, η)] (ξi − ηi) > 0. (4)
Заметим, что в силу (2) для любых u, v ∈
◦
W 1,q(ν,Ω) и i ∈ {1, . . . , n} функция
ai(x,∇u)Div суммируема на Ω.
Пусть A – оператор из
◦
W 1,q(ν, Ω) в
( ◦
W 1,q(ν,Ω)
)∗ такой, что для любых функций
u, v ∈
◦
W 1,q(ν, Ω)
〈Au, v〉 =
∫
Ω
{
n∑
i=1
ai(x,∇u)Div
}
dx.
58
Пусть V – замкнутое выпуклое множество в
◦
W 1,q(ν,Ω), удовлетворяющее усло-
виям:
V ∩ L∞(Ω) 6= ∅, (5)
если u, v ∈ V и k > 0, то u− Tk(u− v) ∈ V. (6)
Определение 3.1. Пусть f ∈ L1(Ω). T -решением вариационного неравенства,
соответствующего тройке (A, V, f), будем называть функцию u ∈
◦
T 1,q(ν,Ω) такую,
что:
(i) для любых v ∈ V ∩ L∞(Ω) и k > 1 имеем v − Tk(v − u) ∈ V ;
(ii) если v ∈ V ∩ L∞(Ω), k > 1 и k1 = k + ||v||L∞(Ω), то
〈ATk1(u), Tk(u− v)〉 6
∫
Ω
fTk(u− v)dx.
Теорема 3.1. Пусть f ∈ L1(Ω). Тогда существует T -решение вариационного
неравенства, соответствующего тройке (A, V, f).
Подробное доказательство теоремы 3.1 дано в [3]. Отметим, что неравенства (3)
и (4) и условие (6) играют существенную роль в этом доказательстве. В [3] также
установлено, что для любой функции f ∈ L1(Ω) T -решение вариационного нера-
венства, соответствующего тройке (A, V, f), единственно. При этом неравенство (4)
тоже существенно использовалось.
4. О принадлежности T -решений вариационных неравенств простран-
ству L1(Ω). В работе [3] доказан следующий результат.
Предложение 4.1. Пусть m ∈ Rn и выполняются условия:
i ∈ {1, . . . , n} ⇒ mi > 1/(qi − 1), 1/νi ∈ Lmi(Ω), (7)
n∑
i=1
1 + 2mi
miqi
< n + 1. (8)
Пусть f ∈ L1(Ω), и пусть u – T -решение вариационного неравенства, соответ-
ствующего тройке (A, V, f). Тогда u ∈ L1(Ω).
Таким образом, предложение 4.1 дает условия на показатели qi и показатели mi
суммируемости функций 1/νi, при которых T -решения рассматриваемых вариаци-
онных неравенств с L1-правыми частями принадлежат пространству L1(Ω).
Основной результат настоящей работы, подробно излагаемый ниже, показывает,
что вместо условий (7) и (8) принадлежность изучаемых T -решений пространству
L1(Ω) обеспечивается некоторой повышенной суммируемостью правой части нера-
венства.
Предложение 4.2. Пусть σ > n/q и f ∈ Lσ(Ω). Пусть u – T -решение ва-
риационного неравенства, соответствующего тройке (A, V, f). Тогда существует
λ0 > 1, зависящее только от n, q и σ, такое, что для любого λ ∈ [1, λ0) имеем
u ∈ Lλ(Ω).
59
Ю.С. Горбань
Доказательство. Положим
σ1 =
n
2q
+
1
2
min(σ, n).
Имеем n/q < σ1 < n, σ1 < σ. Следовательно, f ∈ Lσ1(Ω).
Положим
σ2 =
n− σ1
σ1(n− 1)
, σ3 =
1− σ2
q
.
Легко видеть, что σ2 ∈ (0, 1). Следовательно, σ3 ∈ (0, 1).
Положим
σ4 =
σ2
q(1− σ3)
, λ0 =
n(1− σ4)
n− 1
.
Поскольку σ1 > n/q, имеем λ0 > 1.
Теперь, учитывая условие (5), зафиксируем функцию ψ ∈ V ∩L∞(Ω) и положим
M =
∫
Ω
{
n∑
i=1
νi|Diψ|qi
}
dx.
Через ci, i = 3, 4, . . . , будем обозначать положительные постоянные, зависящие
только от n, q, c0, c1, c2, σ, M , ‖g1‖L1(Ω), ‖g2‖L1(Ω), ‖f‖Lσ1 (Ω) и ‖ψ‖L∞(Ω).
Зафиксируем k > 1 и положим
k1 = k + ‖ψ‖L∞(Ω), k2 = k1 + ‖ψ‖L∞(Ω),
I =
∫
{|u−ψ|<k1}
{
n∑
i=1
νi|DiTk2(u)|qi
}
dx, I1 =
∫
Ω
{
n∑
i=1
νi|DiTk1(u− ψ)|qi
}
dx,
J =
∫
{|u−ψ|<k1}
{
n∑
i=1
ai(x,∇Tk2(u))Diψ
}
dx.
В силу определения 3.1 имеем
〈ATk2(u), Tk1(u− ψ)〉 6
∫
Ω
fTk1(u− ψ)dx. (9)
При этом из определения оператора A и предложений 2.1 и 2.2 следует, что
〈ATk2(u), Tk1(u− ψ)〉 =
∫
{|u−ψ|<k1}
{
n∑
i=1
ai(x,∇Tk2(u))DiTk2(u)
}
dx− J. (10)
В свою очередь, ввиду (3) имеем
∫
{|u−ψ|<k1}
{
n∑
i=1
ai(x,∇Tk2(u))DiTk2(u)
}
dx > c2I − ‖g2‖L1(Ω). (11)
60
Из (9)–(11) выводим неравенство
c2I 6
∫
Ω
fTk1(u− ψ)dx + ‖g2‖L1(Ω) + J. (12)
Используя (2) и неравенство Юнга, для последнего слагаемого в правой части (12)
получаем следующую оценку:
J 6 c2
2
I + c3.
Отсюда и из (12) вытекает, что
I 6 2
c2
∫
Ω
fTk1(u− ψ)dx + c4. (13)
Теперь оценим интеграл в правой части неравенства (13). Имеем
∫
Ω
fTk1(u− ψ)dx 6
∫
Ω
|f ||Tk1(u− ψ)|σ2 |Tk1(u− ψ)|1−σ2dx
6 k1
σ2
∫
Ω
|f ||Tk1(u− ψ)|1−σ2dx. (14)
Поскольку f ∈ Lσ1(Ω), используя неравенство Гельдера и учитывая определение
числа σ2, получаем
∫
Ω
|f ||Tk1(u− ψ)|1−σ2dx 6 ‖f‖Lσ1 (Ω)
(∫
Ω
|Tk1(u− ψ)|n/(n−1)dx
)(σ1−1)/σ1
. (15)
Так как Tk1(u− ψ) ∈
◦
W 1,q(ν, Ω), из предложения 2.3 выводим, что
(∫
Ω
|Tk1(u− ψ)|n/(n−1)dx
)(n−1)/n
6 c0I1
1/q. (16)
Из (14)–(16) следует неравенство
∫
Ω
fTk1(u− ψ)dx 6 c5k1
σ2I1
σ3 .
Отсюда и из (13) получаем, что
I 6 c6k
σ2I1
σ3 + c4. (17)
Используя неравенство Юнга с показателями 1/(1− σ3) и 1/σ3, устанавливаем
c6k
σ2I1
σ3 = 2nσ3c6k
σ2 · 2−nσ3I1
σ3 6 c7k
σ2/(1−σ3) + 2−nI1. (18)
В свою очередь, используя предложения 2.1 и 2.2, находим, что
I1 6 2n−1I + 2n−1M. (19)
61
Ю.С. Горбань
Из (17)–(19) вытекает неравенство
I 6 c8k
σ2/(1−σ3). (20)
Легко видеть, что ∫
{|u|<k}
{
n∑
i=1
νi|DiTk2(u)|qi
}
dx 6 I. (21)
Кроме того, используя предложение 2.1, устанавливаем, что
n∑
i=1
∫
Ω
νi|DiTk(u)|qidx =
∫
{|u|<k}
{
n∑
i=1
νi|DiTk2(u)|qi
}
dx. (22)
Из (20)–(22) получаем неравенство
n∑
i=1
∫
Ω
νi|DiTk(u)|qidx 6 c8k
σ2/(1−σ3), (23)
а поскольку Tk(u) ∈
◦
W 1,q(ν, Ω), в силу предложения 2.3 имеем
(∫
Ω
|Tk(u)|n/(n−1)dx
)(n−1)/n
6 c0
n∏
i=1
(∫
Ω
νi|DiTk(u)|qidx
)1/nqi
.
Отсюда и из (23) вытекает, что
∫
Ω
|Tk(u)|n/(n−1)dx 6 c9k
nσ4/(n−1). (24)
В свою очередь, учитывая, что для любого s ∈ R, |s| > k, справедливо равенство
|Tk(s)| = k, получаем неравенство
kn/(n−1)meas{|u| > k} 6
∫
Ω
|Tk(u)|n/(n−1)dx. (25)
Из (24) и (25) следует, что
meas{|u| ≥ k} 6 c9k
−λ0 .
Поскольку полученное неравенство верно для любого k > 1, применяя лемму 2.6
из [8], заключаем, что для любого λ ∈ [1, λ0) справедливо включение u ∈ Lλ(Ω).
Предложение доказано. ¤
Отметим, что в доказательстве предложения 4.2 при оценке интеграла I исполь-
зованы приемы, аналогичные предложенным в лемме 6 из работы [9].
1. Ковалевский А.А., Горбань Ю.С. Вырождающиеся анизотропные вариационные неравенства с
L1-данными. – Донецк, 2007. – 92 с. – (Препринт / НАН Украины. Ин-т прикл. математики и
механики; 2007.01).
62
2. Kovalevsky A.A., Gorban Y.S. Degenerate anisotropic variational inequalities with L1-data // C. R.
Math. Acad. Sci. Paris. – 2007. – 345, №8. – P. 441-444.
3. Ковалевский А.А., Горбань Ю.С. О T -решениях вырождающихся анизотропных эллиптических
вариационных неравенств с L1-данными // Известия Российской АН. Сер. матем. – 2011. – 75,
№1. – C. 101-160.
4. Boccardo L., Cirmi G.R. Existense and uniqueness of solution of unilateral problems with L1 data
// J. Convex Analysis. – 1999. – 6, №1. – P. 195-206.
5. Oppezzi P., Rossi A.M. Renormalized solutions for divergence problems with L1-data // Atti. Sem.
Mat. Fis. Univ. Modena. – 1998. – 46, suppl. – P. 889-914.
6. Brandolini B., Randazzo L. An existense result for a class of variational inequalities with L1-data //
Ricerche Mat. – 2001. – 50, №2. – P. 195-207.
7. Aharouch L., Akdim Y., Azroul E. Quasilinear degenerate elliptic unilateral problems // Abstract
and Applied Analysis. – 2005. – 1. – P. 11-31.
8. Ковалевский А.А. Энтропийные решения задачи Дирихле для одного класса нелинейных эл-
липтических уравнений четвертого порядка с L1 правыми частями // Известия Российской АН.
Сер. матем. – 2001. – 65, №2. – C. 27-80.
9. Ковалевский А.А. О суммируемости решений нелинейных эллиптических уравнений с правыми
частями из классов, близких к L1 // Матем. заметки. – 2001. – 70, №3. – С. 375-385.
Yu.S. Gorban
On a nonweighted condition of summability of T -solutions of degenerate anisotropic
variational inequalities.
A variational inequality corresponding to a nonlinear degenerate anisotropic elliptic operator, a set of
constraints of a sufficiently large class and an L1-right-hand side is considered. A condition on the
improvement of integrability of the right-hand side under which the solution of the variational inequality
belongs to L1 is established.
Keywords: variational inequality, T -solution, summability of solution.
Ю.С. Горбань
Про невагову умову сумовностi T -розв’язкiв виродних анiзотропних варiацiйних нерiв-
ностей.
Розглянуто варiацiйну нерiвнiсть, яка вiдповiдає нелiнiйному виродному анiзотропному елiптично-
му оператору множинi обмежень досить широкого класу i правiй частинi класу L1. Встановлено
умову вiдносно пiдвищення iнтегровностi правої частини, при якiй розв’язок варiацiйної нерiвностi
належить L1.
Ключовi слова: варiацiйна нерiвнiсть, T -розв’язок, сумовнiсть розв’язку.
Донецкий национальный ун-т
yuliya_gorban@mail.ru
Получено 29.12.10
63
|