О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики
В работе получены новые классы регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом, в случае, когда постоянен угол между собственной осью в гиростате и осью, не совпадающей с осью симметрии силовых полей. Механическая модель действующих на гиростат моментов и сил описана уравнениями...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123953 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 64-75. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123953 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239532017-09-16T03:03:24Z О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики Горр, Г.В. Мазнев, А.В. В работе получены новые классы регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом, в случае, когда постоянен угол между собственной осью в гиростате и осью, не совпадающей с осью симметрии силовых полей. Механическая модель действующих на гиростат моментов и сил описана уравнениями Кирхгофа-Пуассона. У роботі отримано нові класи регулярної прецесії гіростата зі змінним гіростатичним моментом, у випадку, коли є сталим кут між власною віссю в гіростаті та віссю, яка не співпадає: з віссю симетрії силових полів. Механічну модель діючих на гіростат моментів та сил описано рівняннями Кірхгофа- Пуассона. The new classes of regular precession of gyrostat are in-process got with a variable gyrostatic moment in the case when a corner is permanent between an own ax in a gyrostat and ax which does not coincide with the ax of symmetry of the power fields. The mechanical model of moments and forces operating on a gyrostat is described by equalizations of Kirchhofa-Poissona. 2010 Article О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 64-75. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123953 531.38 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе получены новые классы регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом, в случае, когда постоянен угол между собственной осью в гиростате и осью, не совпадающей с осью симметрии силовых полей. Механическая модель действующих на гиростат моментов и сил описана уравнениями Кирхгофа-Пуассона. |
| format |
Article |
| author |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. |
| spellingShingle |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Горр, Г.В. Мазнев, А.В. |
| author_sort |
Горр, Г.В. |
| title |
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики |
| title_short |
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики |
| title_full |
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики |
| title_fullStr |
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики |
| title_full_unstemmed |
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики |
| title_sort |
о некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123953 |
| citation_txt |
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим моментом относительно наклонной оси в обобщенной задаче динамики / Г.В. Горр, А.В. Мазнев // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 64-75. — Бібліогр.: 16 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT gorrgv onekotoryhklassahregulârnojprecessiigirostatasperemennymgirostatičeskimmomentomotnositelʹnonaklonnojosivobobŝennojzadačedinamiki AT maznevav onekotoryhklassahregulârnojprecessiigirostatasperemennymgirostatičeskimmomentomotnositelʹnonaklonnojosivobobŝennojzadačedinamiki |
| first_indexed |
2025-07-09T00:35:52Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:35:52Z |
| _version_ |
1837127544548098048 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 531.38
c©2010. Г. В. Горр, А. В. Мазнев
О НЕКОТОРЫХ КЛАССАХ РЕГУЛЯРНОЙ ПРЕЦЕССИИ
ГИРОСТАТА С ПЕРЕМЕННЫМ ГИРОСТАТИЧЕСКИМ
МОМЕНТОМ ОТНОСИТЕЛЬНО НАКЛОННОЙ ОСИ
В ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧЕ ДИНАМИКИ
В работе получены новые классы регулярной прецессии гиростата с переменным гиростатическим
моментом, в случае, когда постоянен угол между собственной осью в гиростате и осью, не совпада-
ющей с осью симметрии силовых полей. Механическая модель действующих на гиростат моментов
и сил описана уравнениями Кирхгофа-Пуассона.
Ключевые слова: гиростат, регулярная прецессия, гиростатический момент, потенциальные
и гироскопические силы
1. Введение. В книгах [6,8,11,13] даны обзоры по динамике твердого тела и ги-
ростата, которые посвящены исследованию уравнений движения в предположении,
что гиростатический момент постоянен в подвижной системе координат по направ-
лению и величине. Уравнения П. В. Харламова [12] позволяют исследовать и зада-
чи с переменным гиростатическим моментом. В [9] проведен анализ равномерных
вращений уравновешенного гиростата; в [10] рассмотрены некоторые случаи равно-
мерных движений гиростата в предположении, что центр тяжести не совпадает с
неподвижной точкой; в [1,2,3,5] исследованы условия существования равномерных
вращений гиростата в общем случае и регулярных прецессий тяжелого гиростата
как относительно вертикали, так и относительно наклонной оси; в [4] изучены ма-
ятниковые движения гиростата в поле силы тяжести.
Данная статья посвящена рассмотрению задачи о движении гиростата, которая
описывается уравнениями Кирхгофа–Пуассона. Найдены новые классы регулярных
прецессий гиростата с переменным гиростатическим моментом в случае неверти-
кальной оси в пространстве.
2. Постановка задачи. Рассмотрим уравнения движения гиростата [16] под
действием потенциальных и гироскопических сил
Aω̇ = Aω × ω + λ(t)(α× ω)− λ̇(t)α + ω ×Bν + ν × (Cν − s),
ν̇ = ν × ω,
(1)
где ω = (ω1, ω2, ω3) — вектор угловой скорости тела-носителя; ν = (ν1, ν2, ν3) —
единичный вектор; α = (α1, α2, α3) — единичный вектор гиростатического момента
λ(t)α = λ(t); s = (s1, s2, s3) — вектор, сонаправленный с вектором обобщенного
центра масс гиростата; A — тензор инерции гиростата с компонентами Aij ; B =
(Bij), C = (Cij) — постоянные симметричные матрицы третьего порядка; точка над
переменными обозначает производную по времени t.
64
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата
Уравнения (1) допускают первые интегралы
ν · ν = 1, (Aω + λ(t)α) · ν − 1
2
(Bν · ν) = k. (2)
Здесь k — произвольная постоянная.
Рассмотрим регулярные прецессии гиростата относительно оси, не совпадающей
по направлению с вектором ν. Введем в неподвижном пространстве единичный век-
тор γ с началом в неподвижной точке. Угол между векторами ν и γ обозначим
через κ. Тогда имеем уравнения [7]
γ̇ = γ × ω, γ · ν = c0, (c0 = cosκ). (3)
Свяжем с гиростатом единичный вектор a так, чтобы a = (0, 0, 1).
Рассмотрим класс регулярных прецессий гиростата относительно вектора γ [7]
a · γ = a0, ω = na + mγ, (4)
где a0 = cos θ0, θ0, n и m — постоянные параметры.
На основании соотношений (4) в работе [7] получено векторное равенство
γ = (a′0 sin t, a′0 cos t, a0). (5)
Здесь a′0 = sin θ0 Подстановка значений ω из (4) и γ (5) в уравнение Пуассона из
системы (1) приводит к тождеству. При рассмотрении уравнения (1) найдем разло-
жение вектора ν в базисе a, γ, a× γ
ν = (c0 + a0b
′
0 sin(mt + ψ0))γ − b′0a sin(mt + ψ0)− b′0(γ × a) cos(mt + ψ0), (6)
где b′0 = b0
a′0
, b0 = sinκ, ψ0 — постоянная.
Подставим выражение ω из (4) и выражение ν из (6) в динамическое уравнение
из (1)
λ̇(t)α = [n(α× a) + m(α× γ)]λ(t) + n2(Aa× a) + m2(Aγ × γ)−
−nm[Sp(A)(γ × a)− 2(Aγ × a)] + (c0 + a0b
′
0 sin(mt + ψ0))(s× γ)−
−b′0(s× a) sin(mt + ψ0)− b′0[s× (γ × a)] cos(mt + ψ0)+
+(c0 + a0b
′
0 sin(mt + ψ0))[n(a×Bγ) + m(γ ×Bγ)]−
−b′0[n(a×Ba) + m(γ ×Ba)] sin(mt + ψ0)−
−b′0[n(a×B(γ × a)) + m(γ ×B(γ × a))] cos(mt + ψ0)+
+(c0 + a0b
′
0 sin(mt + ψ0))2(γ × Cγ)−
−b′0(γ × Ca + a× Cγ)(c0 + a0b
′
0 sin(mt + ψ0)) sin(mt + ψ0)−
−b′0[γ × C(γ × a) + (γ × a)× Cγ](c0 + a0b
′
0 sin(mt + ψ0)) cos(mt + ψ0)+
+
b′20
2
[a× C(γ × a) + (γ × a)× Ca] sin 2(mt + ψ0)+
+b′20 (a× Ca) sin2(mt + ψ0) + b′20 [(γ × a)× C(γ × a)] cos2(mt + ψ0),
(7)
65
Г. В. Горр, А. В. Мазнев
где Sp(A) — след матрицы A.
Введем обозначения
A2 =
a′20
2
(A22 −A11), A′2 = a′20 A12, A1 = 2a0σ1, A′1 = 2a0σ
′
1,
σ1 = a′0A23, σ′1 = a′0A13, σ0 = a0A33, A∗0 = −a′20
2
(A11 + A22),
A0 =
1
2
[a′20 (A11 + A22) + 2a2
0A33], A′0 =
a′20
2
(A11 + A22 − 2A33),
B2 =
a′20
2
(B22 −B11), B′
2 = a′20 B12, B1 = 2a0κ1, B′
1 = 2a0κ′1,
κ1 = a′0B23, κ′1 = a′0B13, κ0 = a0B33, B∗
0 = −a′20
2
(B11 + B22),
B0 =
1
2
[a′20 (B11 + B22) + 2a2
0B33], B′
0 =
a′20
2
(B11 + B22 − 2B33),
C2 =
a′20
2
(C22 − C11), C ′
2 = a′20 C12, C1 = 2a0ε1, C ′
1 = 2a0ε
′
1,
ε1 = a′0C23, ε′1 = a′0C13, ε0 = a0C33, C∗
0 = −a′20
2
(C11 + C22),
C0 =
1
2
[a′20 (C11 + C22) + 2a2
0C33], C ′
0 =
a′20
2
(C11 + C22 − 2C33);
(8)
P2 = mB2 + 2c0C2, P ′
2 = mB′
2 + 2c0C
′
2,
P1 = a′0a0s2 + a′20 mκ1 + c0(1− 2a2
0)ε1, P ′
1 = a′0a0s1 + a′20 mκ′1 + c0(1− 2a2
0)ε
′
1,
Q1 = a′0s2 − a0c0ε1, Q′
1 = a′0s1 − a0c0ε
′
1, Q0 = −mB∗
0 ,
R2 = (1 + a2
0)C2, R′
2 = (1 + a2
0)C
′
2, R1 = a0a
′2
0 ε1, R′
1 = a0a
′2
0 ε′1,
S2 = m2A2 −mc0B2 +
1
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C2,
S′2 = m2A′2 −mc0B
′
2 +
1
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C
′
2,
S1 = a0m
2σ1 + a′0c0s2 − a0c0mκ1 +
a0
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)ε1,
S′1 = a0m
2σ′1 + a′0c0s1 − a0c0mκ′1 +
a0
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)ε
′
1;
(9)
L2 = a0nB2 − c0C2, L′2 = a0nB′
2 − c0C
′
2,
L1 = a′0s2 − a′20 nκ1 − a0c0ε1, L1 = a′0s1 − a′20 nκ′1 − a0c0ε
′
1,
U2 = nB2 − a0c0C2, U ′
2 = nB′
2 − a0c0C
′
2,
U1 = a0a
′
0s2 − c0(2a2
0 − 1)ε1, U ′
1 = a0a
′
0s1 − c0(2a2
0 − 1)ε′1,
U0 = nB∗
0 − a0c0C
′
0 − a′20 s3,
Π2 = n(2mA2 − c0B2), Π′2 = n(2mA′2 − c0B
′
2),
Π1 = n[(n + 2a0m)σ1 − a0c0κ1], Π′1 = n[(n + 2a0m)σ′1 − a0c0κ′1];
(10)
66
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата
D2 = c0(1− 2a2
0)C2 − a0(n + a0m)B2,
D′
2 = c0(1− 2a2
0)C
′
2 − a0(n + a0m)B′
2,
D1 = a′20 [−a′0s2 + (n + 2a0m)κ1 + 4a0c0ε1],
D′
1 = a′20 [−a′0s1 + (n + 2a0m)κ′1 + 4a0c0ε
′
1],
D0 = c0(1− 2a2
0)C
′
0 − a′20 [a0s3 +
a0
2
(n + a0m)(B11 + B22) + ma′20 B33],
E2 = (n + a0m)B2 + a0c0C2, E′
2 = (n + a0m)B′
2 + a0c0C
′
2,
E1 = a′20 (mκ1 + c0ε1), E′
1 = a′20 (mκ′1 + c0ε
′
1);
(11)
G2 = m(a0m + 2n)A2 − c0(n + a0m)B2 +
a0
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C2,
G′
2 = m(a0m + 2n)A′2 − c0(n + a0m)B′
2 +
a0
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C
′
2,
G1 = a′0a0c0s2 + [(n + a0m)2 − a′20 m2]σ1 − c0(a0n + (2a2
0 − 1)m)κ1+
+
2a2
0 − 1
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)ε1,
G′
1 = a′0a0c0s1 + [(n + a0m)2 − a′20 m2]σ′1 − c0(a0n + (2a2
0 − 1)m)κ′1+
+
2a2
0 − 1
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)ε
′
1,
G0 = a0m
2A′0 − a′20 mnA33 − a′20 c0s3 + c0(nB∗
0 − a0mB′
0)+
+
a0
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C
′
0.
(12)
Умножим обе части уравнения (7) скалярно на независимые векторы a,γ, a×γ.
Тогда на основании (7) и обозначений (8)–(12) получим
α3λ̇(t) = a′0mα1 cosnt · λ(t) + Φ1(t), (13)
(α1a
′
0 sinnt + a0α3)λ̇(t) = −a′0α1n cosnt · λ(t) + Φ2(t), (14)
a′0α1 cosnt · λ̇(t) = a′0[α1(n + a0m) sin nt− α3a
′
0m]λ(t) + Φ3(t), (15)
где
Φ1(t) = b′0(−a0P
′
2 cos 2nt + a0P2 sin 2nt + P ′
1 cosnt−
−P1 sinnt) sin(mt + ψ0) + b′0(−P2 cos 2nt− P ′
2 sin 2nt + Q1 cosnt+
+Q′
1 sinnt + Q0) cos(mt + ψ0) +
b′20
2
(−2a0C2 cos 2nt− 2a0C
′
2 sin 2nt+
+a′20 ε1 cosnt + a′20 ε′1 sinnt) sin 2(mt + ψ0)+
+
b′20
2
(R′
2 cos 2nt−R2 sin 2nt−R′
1 cosnt + R1 sinnt) cos 2(mt + ψ0)+
+(S′2 cos 2nt− S2 sin 2nt + S′1 cosnt− S1 sinnt),
(16)
67
Г. В. Горр, А. В. Мазнев
Φ2(t) = b′0(L
′
2 cos 2nt− L2 sin 2nt + L′1 cosnt−
−L1 sinnt) sin(mt + ψ0) + b′0(U2 cos 2nt + U ′
2 sin 2nt + U1 cosnt+
+U ′
1 sinnt + U0) cos(mt + ψ0) +
b′20
2
(−R2 cos 2nt−R′
2 sin 2nt+
+2R1 cosnt + 2R′
1 sinnt + a′20 C ′
0) sin 2(mt + ψ0) + b′20 (a0C
′
2 cos 2nt−
−a0C2 sin 2nt− a′20 ε′1 cosnt + a′20 ε1 sinnt) cos 2(mt + ψ0)+
+(−Π′2 cos 2nt + Π2 sin 2nt−Π′1 cosnt + Π1 sinnt),
(17)
Φ3(t) = b′0(D2 cos 2nt + D′
2 sin 2nt + D1 cosnt + D′
1 sinnt+
+D0) sin(mt + ψ0) + b′0(E
′
2 cos 2nt− E2 sin 2nt− E′
1 cosnt+
+E1 sinnt) cos(mt + ψ0) +
a′20 b′20
2
(−C ′
2 cos 2nt + C2 sin 2nt−
−a0ε
′
1 cosnt + a0ε1 sinnt) sin 2(mt + ψ0)+
+
a′20 b′20
2
(−a0C2 cos 2nt− a0C
′
2 sin 2nt + (1− 2a2
0)ε1 cosnt+
+(1− 2a2
0)ε
′
1 sinnt− a0C
′
0) cos 2(mt + ψ0)+
+(G2 cos 2nt + G′
2 sin 2nt + G1 cosnt + G′
1 sinnt + G0).
(18)
При выводе формул (13)–(18) использована подвижная система координат, в кото-
рой α = (α1, 0, α3), что не ограничивает общности задачи.
3. Случай α = a, a0 = 0, m = n, ψ0 = 0. Положим в уравнениях (13)–(15)
α1 = 0, a0 = 0, m = n. Эти условия примем и в обозначениях (8)–(12), (16)–(18).
Тогда уравнения (13)–(15) принимают вид
λ̇(t) = Φ1(t), Φ2(t) = 0, λ(t) =
1
n
Φ3. (19)
Потребуем, чтобы уравнения из системы (19) были совместными. Тогда с помощью
(16)-(18) и обозначений (8)–(12) получим
A12 = 0, C22 = C11, B33 = −B22, nB12 = −b0C23,
b2
0C23 = n2A23, n(B22 −B11) = 2b0C13, s2 = nB23 + C23,
b0(s1 − nB13 − c0C13) + n2(A22 −A11) = 0,
b2
0(C11 − C33) + n2(A22 −A11) = 0, b0n(B11 + B22) + 2b0s3 + 2n2A13 = 0.
(20)
В силу условий (20) функцию λ(t) из (19) представим так
λ(t) =
1
n
[
− b2
0
4
C23 cos 3nt− b2
0
4
C13 sin 3nt +
(n2
2
(A22 −A11)−
−b0n
2
B13 − c0b0C13
)
cos 2nt + b0(c0C23 − nB23) sin 2nt+
+(c0nB23 + (c2
0 +
b2
0
4
)C23) cos nt + (b0c0(C11 − C33)− nb0B33 + c0nB13−
−(b2
0 − c2
0)C13) sin nt− b0s1
2
+ n2A33 − c0
2
(2s3 + b0C13 + n(B11 + B22))
]
.
(21)
68
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата
Решение уравнений (1), описывающее регулярную прецессию (4), (5), можно запи-
сать так
γ = (sinnt, cosnt, 0),
ν = γ cosκ − a sinκ sinnt− (γ × a) cosκ cosnt,
ω = n(a + γ).
(22)
Если гиростат движется под действием силы тяжести, то из формулы (21) выте-
кает, что λ(t) = const. Это значит, что аналога решения (21), (22) для классической
задачи нет. Данное свойство отражено в [5].
4. Случай α = a, m = n, ψ0 = 0, a0 6= 0. При выполнении указанных условий
систему уравнений (13)–(15) запишем так
Φ̇3(t)− a′20 nΦ1(t) = 0, Φ2(t)− a0Φ1(t) = 0, λ(t) =
1
a′20 n
Φ3(t). (23)
Подставим функции Φi из (16)–(18) в первые два уравнения системы (23) и потребу-
ем, чтобы полученные равенства были тождествами по t. Тогда получим следующие
условия на параметры задачи (1):
A12 = 0, A23 = 0, B12 = 0, B22 = B11, Cij = 0 (i 6= j),
C22 = C11, b2
0(C11 − C33) + n2(A22 −A11) = 0, s2 = n(a0 + 1)B23,
b0[s1 − n(a0 + 1)B13] + n2(a0 + 1)(A22 −A11) = 0,
n[(a0 + 1)2B11 + a′20 B33] + 2a0s3 = 0, b′20 (1− a0)[n(a0 + 1)B11 + s3]+
+a′0b
′
0(a0 + 1)n2A13 − a0c0n
2(A22 −A11) = 0.
(24)
Функцию λ(t) определим из последнего равенство системы (23) с учетом равенств
(24)
λ(t) =
1
n
{
− a0 + 1
2
[a0b
′
0nB13 − n2(A22 −A11)] cos 2nt+
+
a0 + 1
2
b′0nB23 sin 2nt + a′0c0nB23 cosnt +
1
b′0
[a′20 b′20 nB11+
+a′0b
′
0c0B13 + a′0a0b
′
0nA13 − c0(a0 + 1)n2(A22 −A11)] sin nt + λ∗
}
,
λ∗ =
1
2a′20
(b′0D
′
1 − b′0E
′
1 + 2G0).
(25)
Таким образом, из (25) вытекает, что λ(t) — тригонометрический многочлен второго
порядка. Это свойство отличает функцию λ(t) из (21).
Запишем решение в исследуемом варианте
γ = (a′0 sinnt, a′0 cosnt, a0), ω = n(a + γ),
ν = (c0 + a0b
′
0 sinnt)γ − b′0a sinnt− b′0(γ × a) cosnt.
(26)
Рассмотрим классический случай, то есть положим в равенствах (24), (25)
Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3). Тогда получим: A22 = A11, s1 = 0, s2 = 0, s3 = 0,
69
Г. В. Горр, А. В. Мазнев
A13 = 0, λ(t) = const. Это значит, что аналог решения (25), (26) в классической
задаче отсутствует. Этот факт согласуется с результатом [5].
5. Случай α = a, m = 2n, ψ0 = π
2 . Положим в уравнениях (13)–(15) α1 = 0,
α3 = 1, m = 2n, ψ0 = π
2 . Тогда можно показать, что при выполнении условий
C33 = C22 = C11, B22 = B11, Aij = 0 (i 6= j),
Bij = 0 (i 6= j), Cij = 0 (i 6= j), s2 = s1 = 0,
b′0[n(1 + 2a0)B11 + s3] + 2n2(a0 + 1)(A22 −A11) = 0,
a′20 b′0(B33 + B11)− 2a0(a0 + 1)n(A22 −A11) = 0,
(27)
система (13)–(15) допускает решение
λ(t) = a′20 [b′0B11 + n(A22 −A11)] cos 2nt. (28)
Регулярная прецессия гиростата относительно наклонной оси описывается фор-
мулами
γ = (a′0 sinnt, a′0 cosnt, a0), ω = n(a + 2γ),
ν = (c0 + a0b
′
0 cos 2nt)γ − b′0a cos 2nt + b′0(γ × a) sin 2nt.
(29)
Прецессия (29) имеет аналог в классической задаче о движении гиростата при
a0 = 0 (θ0 = π
2 ). Условия на параметр s3 и функцию λ(t) упрощаются
b0s3 + 2n2(A22 −A11) = 0, λ(t) = n(A22 −A11) cos 2nt. (30)
Для обобщенной задачи (1) из условий (27), (28) следует, что матрицу C в первом
уравнении из системы (1) можно считать нулевой. Важное свойство прецессии (29)
при условиях (27) состоит в том, что a0 6= 0.
Система уравнений (13)–(15) при ψ0 = 0 и m = 2n допускает решение
s = 0, Bij = 0, Cij = 0 (i, j = 1, 3), a0 = −1
2
, A22 = A11,
λ(t) = −n
√
3(A13 sinnt + A23 cosnt) + A11n,
(31)
которое очевидно отличается от решения (30). В случае (31) первое уравнение си-
стемы (1) можно записать в виде
d(Aω + λ(t)α)
dt
= 0. (32)
Из (32) следует, что вектор Aω+λ(t)α = c, где c — постоянный вектор. То есть систе-
ма (1) становится системой Жуковского с переменным гиростатическим моментом.
Этот вектор можно принять за вектор, сонаправленный с вектором ν. Прецессию,
соответствующую случаю (31), можно интерпретировать, как движение, для кото-
рого ось, ортогональная круговому сечению эллипсоида инерции, будет составлять
угол 120◦ с некоторой осью в пространстве.
70
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата
6. Случай α1 = 1, α2 = 0, α3 = 0, ψ0 = 0, m = n. Приведенные выше приме-
ры регулярных прецессий гиростата характеризовались свойством, что вектор ги-
ростатического момента сонаправлен с вектором, определяющим ось собственного
вращения гиростата. Представляет интерес случай, когда α · a = 0. В уравнениях
(13)–(15) положим ψ0 = 0, m = n. Тогда из первого уравнения этой системы следует
λ(t) =
1
a′0n cosnt
(−T ′4 cos 4nt + T4 sin 4nt + T3 cos 3nt + T ′3 sin 3nt+
+T2 cos 2nt + T ′2 sin 2nt + T1 cosnt + T ′1 sinnt + T0),
(33)
где
T ′4 =
1
4
b′20 (1 + a0)2C ′
2, T4 =
1
4
b′20 (1 + a0)2C2,
T3 =
b′0
4
(a0 + 1)(2P2 + b′0a
′2
0 ε′1), T ′3 =
b′0
4
(a0 + 1)(2P ′
2 + b′0a
′2
0 ε1),
T2 = −b′0
2
[a′0(a0 + 1)s2 + a′20 nκ1 + c0(1− 2a2
0 − a0)ε1]− n2A′2+
+nc0B
′
2 −
1
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C
′
2,
T ′2 = −b′0
2
[a′0(a0 + 1)s1 + a′20 nκ′1 + c0(1− 2a2
0 − a0)ε′1] + n2A2−
−nc0B2 +
1
2
(a′20 b′20 − 2c2
0)C2,
T1 =
b′0
2
(1− a0)P2 − b′0Q0 − a0n
2σ′1 − a′0c0s1 + a0c0nκ′1−
−1
4
a′20 b′20 (a0 + 1)ε1 + a0c
2
0ε
′
1,
T ′1 =
b′0
2
(1− a0)P ′
2 + a0n
2σ1 + a′0c0s2 − a0c0nκ1−
−1
4
a′20 b′20 (1− 3a0)ε′1 + a0c
2
0ε1,
T0 =
1
4
[2b′0P1 − 2b′0Q1 + b′0C
′
2(2a0 − 1− a2
0)].
(34)
Подстановка функции (33) в уравнение (14) и требование того, чтобы полученное
равенство было тождеством для всех значений t приводит к условиям на параметры,
из которых выпишем часть условий
Cij = 0 (i 6= j), C22 = C11, B12 = 0, B22 = B11. (35)
На основании обозначений (8)–(10), (34) функция (33) примет вид
λ(t) =
1
a′0n cosnt
(T2 cos 2nt + T ′2 sin 2nt + T1 cosnt + T ′1 sinnt + T0). (36)
71
Г. В. Горр, А. В. Мазнев
Здесь Ti, T
′
i в силу (34), (35) имеют значения
T2 = −1
2
[b0a
′
0((a0 + 1)s2 + a′0nκ1) + 2n2A′2],
T ′2 = −1
2
[b0a
′
0((a0 + 1)s1 + a′0nκ′1)− 2n2A2],
T1 = −b′0Q0 − a0n
2σ′1 − a′0c0s1 + a0c0nκ′1,
T ′1 = a0n
2σ1 + a′0c0s2 − a0c0nκ1.
(37)
Поскольку λ(t) должна быть ограниченной функцией времени, то из формулы (36)
следует, что должны выполняться равенства T0 = T2, T ′1 = 0. Тогда из (36) вытекает
λ(t) =
1
a′0n
(2T ′2 sinnt + T1). (38)
Внесем функцию (38) в уравнения (14), (15) и потребуем, чтобы полученные равен-
ства были тождествами по t. Тогда в дополнение к условиям (35) получим равенства
s2 = 0, A12 = 0, A23 = 0, B23 = 0, s1 =
1
3
a0(a0 − 1)nB13,
(a0 + 1)nB13 + b0(C11 − C33) = 0,
b0[a0c0(C11 − C33) + s3] + n2(a0 + 1)A13 − c0s1 = 0,
b′0(a0 + 1)s1 + a′0n
2[a0A22 − (a0 + 1)A33]− a′0c0s3+
+a′0c0n[a0B33 − (a0 + 1)B11] +
a0a
′
0
2
(C11 − C33)(b2
0 − 2c2
0) = 0,
b0n[(a0 + 1)2B11 + a′20 B33]− 2a0(a0 + 1)n2A13 + (a0 + 1)c0s1−
−c0n
2a′20 (1− a0)B13 = 0.
(39)
При выполнении условий (35), (38), (39) движение гиростата является регулярной
прецессией (26).
Рассмотрим частный случай: a0 = 0. Запишем в этом случае условия (35), (39)
s2 = 0, s1 = 0, A12 = 0, A23 = 0, B12 = 0, B23 = 0, B22 = B11,
Cij = 0 (i 6= j), C22 = C11, nB13 + b0(C11 − C33) = 0,
s3 = −n2
b0
A13, n(b0A33 − c0A13) + b0c0B11 = 0,
b0(B11 + B33)− c0B13 = 0,
(40)
где b0 = sinκ, c0 = cosκ. Величины T1, T
′
1 из (38) упрощаются и так как a′0 = 1, то
λ(t) = n(A22 −A11) sinnt−B11. (41)
Для задачи о движении гиростата в поле силы тяжести из (40), (41) имеем
s3 = − n2
sinκ
A13, tgκ =
A13
A33
, λ(t) = n(A22 −A11) sinnt. (42)
72
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата
В работе [5] условия (42) получены несколько другим способом. Интересно отметить,
что значение угла κ между векторами совпадает со значением κ в решении Гриоли
[15]. Но в силу условий s2 = 0, s1 = 0, A22 − A11 6= 0 центр масс не лежит на
перпендикуляре к круговому сечению эллипсоида инерции.
7. Об исследовании условий существования прецессий в общем случае.
В общем случае можно исключить из уравнений (13), (14) λ̇(t)
λ(t) =
α3Φ2(t)− (α1a
′
0 sinnt + a0α3)Φ1(t)
a′0α1[α1a′0m sinnt + α3(a0m + n)] cos nt
. (43)
Второе выражение для λ(t) найдем, подставив в левую часть равенства (14) α3λ̇(t)
из уравнения (13), а a′0α1λ̇(t) из уравнения (15)
λ(t) =
(Φ2(t)− a0Φ1(t)) cos nt− Φ3(t) sin nt
a′0[α1(n + a0m)− a′0α3m sinnt]
. (44)
Приравнивая правые части равенств (43), (44), получим
ϕ1(t)Φ1(t) + ϕ2(t)Φ2(t) + ϕ3(t)Φ3(t) = 0, (45)
где
ϕ1(t) = −a0a
′
0mα2
1 sin2 nt + α1α3[(a′20 − a2
0)m− a0n] sinnt + a′0(a0α
2
3m− α2
1n),
ϕ2(t) = a′0α
2
1m sin2 nt + α1α3(n + a0m) sinnt− a′0m,
ϕ3(t) = α1[a′0α1m sinnt + α3(a0m + n)] cos nt.
(46)
Второе уравнение получим, рассмотрев уравнение, которое является линейной ком-
бинацией соотношений (43), (44) и не содержит выражения n + a0m. Вычислим
производную по времени левой части полученного уравнения в силу уравнения (13)
и используем (44)
a0Φ1(t)[−a′0α1m(a0m + α2
3n) sin nt + α3(α2
1n(n + a0m)+
+a′20 m2)] cos nt + a′0m
2(α1a0 sinnt− α3a
′
0)Φ2(t) cos nt+
+a′0α1m(n + a0m cos2 nt)Φ3(t) + α1[α1(n + a0m)−
−a′0α3m sinnt][(a′0α1 + a0α3 sinnt)Φ̇1(t)− α3(Φ2(t) sinnt+
+Φ3(t) cosnt)˙ ] = 0.
(47)
Условия существования получим, требуя, чтобы уравнения (45), (47) были тожде-
ствами по t.
В [5] даны необходимые условия существования регулярных прецессий в клас-
сической задаче. В обозначениях, принятых в данной работе, часть условий можно
записать так
s ‖ a, a0 = 0, α1A12 = 0. (48)
73
Г. В. Горр, А. В. Мазнев
В обобщенной задаче (1) первые два условия из (48) могут не выполняться (см.,
например, условия (27), (39)). Это значит, что регулярная прецессия гиростата от-
носительно наклонной оси в задаче о движении гиростата под действием потенци-
альных и гироскопических сил может существовать при более общих условиях, чем
в классической задаче.
1. Волкова О. С. О стабилизации равномерных вращений вокруг наклонной оси твердого тела,
несущего маховики // Труды Ин-та прикладной математики и механики. — 2007. — Т. 14. —
С. 41–51.
2. Волкова О. С. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого тела, несущего махо-
вик // Механика твердого тела. — 2008. — Вып. 38. — С. 80–86.
3. Волкова О. С. Регулярные прецессии тяжелого гиростата вокруг вертикальной оси // Труды
Ин-та прикладной математики и механики. — 2009. — Т. 19. — С. 30–35.
4. Волкова О. С., Гашененко И. Н. Маятниковые вращения тяжелого гиростата с переменным
гиростатическим моментом // Механика твердого тела. — 2009. — Вып. 39. — С. 42–49.
5. Волкова О. С. Некоторые классы движений тяжелого гиростата с переменным гиростатиче-
ским моментом. — Автореферет диссертации на соискание ученой степени кандидата физ.-мат.
наук по специальности 01.02.01 — теоретическая механика. ИПММ НАНУ. — Донецк 2010. —
19 с.
6. Горр Г. В., Кудряшова Л. В., Степанова Л. А. Классические задачи динамики твердого тела.
Киев: Наук. думка, 1978. — 296 с.
7. Горр Г. В., Мазнев А. В., Щетинина Е. К. Прецессионные движения в динамике твердого
тела и в динамике систем связанных твердых тел. — Донецк: ДонНУ, 2009. — 222 с.
8. Горр Г. В., Мазнев А. В. Динамика гиростата, имеющего неподвижную точку. — Донецк:
ДонНУ, 2010. — 364 с.
9. Дружинин Э. И. О перманентных вращениях уравновешенного неавтономного гиростата //
Прикл. математика и механика. — 1999. — 63, вып. 5. — С. 825–826.
10. Ковалева Л. М., Позднякович Е. В. Равномерные вращения вокруг наклонной оси твердого
тела с одним маховиком // Механика твердого тела. — 2000. — Вып. 30. — С. 100–105.
11. Харламов П. В. Лекции по динамике твердого тела. — Новосибирск: Изд-во Новосиб. ун-та. —
1965. —221 с.
12. Харламов П. В. Об уравнениях движения системы твердых тел // Механика твердого тела. —
1972. — Вып. 4. — С. 52–73.
13. Харламова Е. И., Мозалевская Г. В. Интегродифференциальное уравнение динамики твердого
тела. — Киев: Наук. думка. — 1986. — 269 с.
14. Яхья Х. М. Новые интегрируемые случаи задачи о движении гиростата // Вестник Моск.
ун-та. Сер. Математика и механика. — 1987. — Вып. 4. — С. 88–90.
15. Grioli G. Esistenza e determinazione delle precessioni regolari dinamicamente possibili per un solido
pesante asimmetrico // Ann. Mat. Pura et Appl. Ser. 4 — 1947. — V. 26, f. 3–4. — P. 271–281.
16. Yehia H. M. On the motion of a rigid body acted upon potential and gyroscopic forces. I: The
equations of motion and their transformations // J. Mecan Theor. Appl. — 1986. — V. 5, N 5. —
P. 742–754.
G.V. Gorr,O.V. Maznyev
About some classes of regular precession of gyrostat with a variable gyrostatic moment in
relation to a sloping ax in the generalized task of dynamics.
The new classes of regular precession of gyrostat are in-process got with a variable gyrostatic moment
in the case when a corner is permanent between an own ax in a gyrostat and ax which does not coincide
with the ax of symmetry of the power fields. The mechanical model of moments and forces operating on
74
О некоторых классах регулярной прецессии гиростата
a gyrostat is described by equalizations of Kirchhofa-Poissona.
Keywords: gyrostat, regular precession, gyrostatic moment, pendulum motions, potential and gyroscopic
forces.
Г. В. Горр, О. В. Мазнев
Про деякi класи регулярної прецесiї гiростата зi змiнним гiростатичним моментом вiд-
носно похилої осi в узагальненiй задачi динамiки.
У роботi отримано новi класи регулярної прецесiї гiростата зi змiнним гiростатичним моментом,
у випадку, коли є сталим кут мiж власною вiссю в гiростатi та вiссю, яка не спiвпадає з вiссю
симетрiї силових полiв. Механiчну модель дiючих на гiростат моментiв та сил описано рiвняннями
Кiрхгофа-Пуассона.
Ключовi слова: гiростат, регулярна прецесiя, гiростатичний момент, потенцiйнi та гiроско-
пiчнi сили.
Донецкий национальный университет
maznev_av@rambler.ru
Получено 12.12.10
75
|