О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля
В работе рассматриваются Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля. Получена оценка меры образа шара при таких отображениях и исследовано асимптотическое поведение в нуле....
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автори: | , |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123959 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля / Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 118-126. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123959 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239592017-09-16T03:03:36Z О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р. В работе рассматриваются Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля. Получена оценка меры образа шара при таких отображениях и исследовано асимптотическое поведение в нуле. У роботі розглядаються Q-гомеоморфізми відносно p-модуля. Отримано оцінку міри образу кулі при таких відображеннях і досліджено асимптотичну поведінку в нулі. In this article we consider the Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus. It is obtained a measure estimate of the volume for the image of the ball and study the asymptotic behavior at zero under such mappings. 2010 Article О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля / Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 118-126. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123959 517.5 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
В работе рассматриваются Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля. Получена оценка меры образа шара при таких отображениях и исследовано асимптотическое поведение в нуле. |
| format |
Article |
| author |
Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р. |
| spellingShingle |
Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р. О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Ковтонюк, Д.А. Салимов, Р.Р. |
| author_sort |
Ковтонюк, Д.А. |
| title |
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля |
| title_short |
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля |
| title_full |
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля |
| title_fullStr |
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля |
| title_full_unstemmed |
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля |
| title_sort |
о локальном поведении q-гомеоморфизмов относительно p-модуля |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123959 |
| citation_txt |
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля / Д.А. Ковтонюк, Р.Р. Салимов // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 118-126. — Бібліогр.: 14 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT kovtonûkda olokalʹnompovedeniiqgomeomorfizmovotnositelʹnopmodulâ AT salimovrr olokalʹnompovedeniiqgomeomorfizmovotnositelʹnopmodulâ |
| first_indexed |
2025-07-09T00:36:24Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:36:24Z |
| _version_ |
1837127576940707840 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.5
c©2010. Д.А Ковтонюк, Р.Р. Салимов
О ЛОКАЛЬНОМ ПОВЕДЕНИИ Q-ГОМЕОМОРФИЗМОВ ОТНОСИ-
ТЕЛЬНО p-МОДУЛЯ
В работе рассматриваются Q-гомеоморфизмы относительно p-модуля. Получена оценка меры об-
раза шара при таких отображениях и исследовано асимптотическое поведение в нуле.
Ключевые слова:p-модуль, Q-гомеоморфизм, асимптотическое поведение.
1. Введение. Напомним некоторые определения. Борелева функция % : Rn →
[0,∞] называется допустимой для семейства кривых Γ в Rn, пишут % ∈ admΓ, если
∫
γ
%(x) ds > 1 (1)
для всех γ ∈ Γ. Пусть p > 1, тогда p-модулем семейства кривых Γ называется
величина
Mp(Γ) = inf
%∈admΓ
∫
Rn
%p(x) dm(x). (2)
Здесь m обозначает меру Лебега в Rn. В дальнейшем полагаем M(Γ) = Mn(Γ).
Свойства p-модуля, определённого соотношением (2), в некоторой мере анало-
гичны свойствам меры Лебега m в Rn. А именно:
1) p-модуль пустого семейства кривых равен нулю:
Mp(∅) = 0;
2) p-модуль обладает свойством монотонности относительно семейств кривых:
Γ1 ⊂ Γ2 ⇒ Mp(Γ1) 6 Mp(Γ2);
3) p-модуль обладает свойством полуаддитивности:
Mp
( ∞⋃
i=1
Γi
)
6
∞∑
i=1
Mp(Γi),
см. теорему 6.2 разд. 6 гл. I в [1]. Заметим также, что если Γ∞ – некоторое семейство,
состоящее из неспрямляемых кривых, то Mp(Γ∞) = 0, см. разд. 6 гл. I на с. 18 в
[1]. Упомянем ещё об одном свойстве модуля. Говорят, что семейство кривых Γ1
минорируется семейством Γ2, пишем Γ1 > Γ2, если для каждой кривой γ ∈ Γ1
существует подкривая, которая принадлежит семейству Γ2. Известно, что если Γ1 >
Γ2, то Mp(Γ1) < Mp(Γ2), см. [1].
118
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля
Хорошо известно, см., напр., разд. 13 гл. II в [1], что в основу геометрического
определения квазиконформных отображений, заданных в области G из Rn, n > 2,
положено условие
M(fΓ) 6 K M(Γ) (3)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области G, где M(·) – (конформный)
модуль семейства кривых, определённый нами выше при p = n. Другими слова-
ми, стандартное определение квазиконформности сводится к тому, что n-модуль
любого семейства кривых искажается не более, чем в K раз. Отметим, что выраже-
ние ”конформный модуль” употребляется в случае p-модуля, определённого в (2),
при p = n. Упомянутое выше словосочетание вполне оправдано тем, что для лю-
бого конформного отображения g : G → Rn, заданного в области G ⊂ Rn, и для
произвольного семейства кривых Γ, лежащего в области G, выполнено равенство:
M(gΓ) = M(Γ), см., напр., теорему 8.1 гл. I в [1]. Отметим, что при p 6= n, даже
линейные отображения fk(x) = kx, k 6= 0, не сохраняют модуль семейств кривых, а
именно, Mp (fkΓ) = kn−pMp(Γ), см. теорему 8.2 там же. Предположим, что p 6= n и
Mp(fΓ) 6 K Mp(Γ) (4)
для произвольного семейства Γ кривых γ в области G. При дополнительном пред-
положении, что f в (4) является гомеоморфизмом, известным математиком Ф. Ге-
рингом установлено, что отображение f является локально квазиизометричным.
Другими словами, при некоторой постоянной C > 0 и всех x0 ∈ G справедлива
оценка
lim
x→x0
|f(x)− f(x0)|
|x− x0| 6 C,
см., напр., теорему 2 в [2]. Целью данной работы является получение на основе
используемой нами техники исследования аналога следующего результата из работы
[3] для более общих классов.
Предположим, что f : R3 → R3 – K-квазиконформное отображение, такое что
f(0) = 0. Тогда
lim inf
x→0
|f(x)|
|x|α 6 1,
где α – постоянная, зависящая только от коэффициента квазиконформности K.
Для отображения f : G → Rn, имеющего в G частные производные почти всюду,
пусть f ′(x) – якобиева матрица отображения f в точке x, ‖f ′(x)‖ = max
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h| .
Внешняя дилатация отображения f в точке x есть величина
KO(x, f) =
‖f ′(x)‖n
|J(x, f)| ,
если якобиан J(x, f) := det f ′(x) 6= 0, KO(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KO(x, f) = ∞ в
остальных точках. Внутренняя дилатация отображения f в точке x есть величина
KI(x, f) =
|J(x, f)|
l (f ′(x))n ,
119
Д.А Ковтонюк, Р.Р. Салимов
если якобиан J(x, f) 6= 0, KI(x, f) = 1, если f ′(x) = 0, и KI(x, f) = ∞ в остальных
точках. В формуле выше, как обычно,
l
(
f ′(x)
)
= min
h∈Rn\{0}
|f ′(x)h|
|h| .
Всюду далее B(x0, r) = {x ∈ Rn : |x− x0| < r} , Bn = B(0, 1) , Br = B(0, r),
ωn−1 – площадь единичной сферы Sn−1 в Rn, Ωn – объём единичного шара Bn в Rn,
nΩn = ωn−1. Пусть G – область в Rn, n ≥ 2 и Q : G → [0,∞] – измеримая функция.
Тогда qx0(r) = 1
ωn−1rn−1
∫
|x−x0|=r
Q(x)dA означает среднее интегральное значение над
сферой |x − x0| = r, где dA – элемент площади поверхности. В дальнейшем при
x0 = 0 полагаем q(t) = qx0(t). Запись m(A) означает меру Лебега множества A в Rn.
Следуя работе [4], пару E = (A, C), где A ⊂ Rn – открытое множество и C –
непустое компактное множество, содержащееся в A, называем конденсатором. Кон-
денсатор E называем кольцевым конденсатором, если B = A \C – кольцо, т.е., если
B – область, дополнение которой Rn \ B состоит в точности из двух компонент.
Конденсатор E называем ограниченным конденсатором, если множество A являет-
ся ограниченным. Говорят, что конденсатор E = (A, C) лежит в области G, если
A ⊂ G. Очевидно, что если f : G → Rn – открытое отображение и E = (A,C) –
конденсатор в G, то (fA, fC) также конденсатор в fG. Далее fE = (fA, fC).
Пусть E = (A,C) – конденсатор. W0(E) = W0(A,C) – семейство неотрицатель-
ных функций u : A → R1 таких, что 1) u ∈ C0(A), 2) u(x) > 1 для x ∈ C и 3) u
принадлежит классу ACL и пусть
|∇u| =
(
n∑
i=1
(∂iu)2
)1/2
. (5)
При p > 1 величину
capp E = capp (A,C) = inf
u∈W0(E)
∫
A
|∇u|p dm (6)
называют p-ёмкостью конденсатора E. В дальнейшем мы будем использовать ра-
венство
capp E = Mp(∆(∂A, ∂C; A \ C)), (7)
где для множеств S1, S2 и S3 в Rn, n > 2, ∆(S1,S2;S3) обозначает семейство всех
непрерывных кривых, соединяющих S1 и S2 в S3, см. [5], [6] и [7].
Известно, что при p > 1
capp E > (inf mn−1 σ)p
[m(A \ C)]p−1 , (8)
где mn−1 σ – (n−1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, являющегося границей
σ = ∂U ограниченного открытого множества U , содержащего C и содержащегося
120
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля
вместе со своим замыканием U в A, а точная нижняя грань берется по всем таким
σ, см. предложение 5 из [8].
Пусть G – область в Rn, n > 2, и пусть Q : G → [1,∞] – измеримая функция.
Гомеоморфизм f : G → Rn будем называть Q-гомеоморфизмом относительно p-
модуля, если
Mp(fΓ) 6
∫
G
Q(x) · %p(x) dm(x) (9)
для любого семейства Γ путей в G и любой допустимой функции % для Γ.
Определение Q-гомеоморфизма относительно p-модуля впервые встречается в
работе [9]. Такие отображения являются естественным обобщением квазиконформ-
ных и локально квазиизометрических отображений. Заметим, что если Q(x) 6 K
п.в. при p = n, отображение f является K-квазиконформным, см., напр., [1], и
локально K-квазиизометричным в случае 1 < p 6= n, см. [2]. Целью теории Q-
гомеоморфизмов является установление взаимосвязей между различными свойства-
ми мажоранты Q и самого отображения f . Неравенство вида (9) при p = n уста-
новлено В.Я. Гутлянским в работе [10] совместно с К. Бишопом, О. Мартио и М.
Вуориненом для квазиконформных отображений, где Q было равно KI(x, f). По-
следнее обстоятельство, собственно, и положило начало рассмотрению классов отоб-
ражений, удовлетворяющих упомянутому выше соотношению. Отметим также, что
неравенство вида (9) при p = n было установлено Ю.Ф. Струговым в работе [11]
для так называемых отображений, квазиконформных в среднем. При p = n про-
блема локального поведения Q-гомеоморфизмов изучалась в Rn в случае Q ∈ BMO
(ограниченного среднего колебания), в случае Q ∈ FMO (конечного среднего коле-
бания) и в других случаях, см. монографию [2].
2. Искажение объема. В этом разделе получена оценка меры образа шара при
Q-гомеоморфизмах относительно p-модуля. Впервые оценка площади образа круга
при квазиконформных отображениях встречается в работе М.А. Лаврентьева, см.
[13].
Лемма 1. Пусть n > 2, f : Bn → Bn – Q-гомеоморфизм относительно p-
модуля. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
m(fBr) 6 Ωn ·
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
n(p−1)
p−n
, (10)
а при p = n имеет место оценка
m(fBr) 6 Ωn · exp
−n
1∫
r
dt
tq
1
n−1 (t)
. (11)
Доказательство. Рассмотрим сферическое кольцо Rt = {x ∈ Bn : t < |x| <
t + 4t}. Пусть (At+4t, Ct) – конденсатор, где Ct = Bt, At+4t = Bt+4t. Тогда
121
Д.А Ковтонюк, Р.Р. Салимов
(fAt+4t, fCt) – кольцевой конденсатор в Rn и согласно (7) имеем
capp(fAt+4t, fCt) = Mp(4(∂fAt+4t, ∂fCt; fRt)). (12)
В силу неравенства (8) получим
capp (fAt+4t, fCt) > (inf mn−1 σ)p
m (fAt+∆t \ fCt)
p−1 , (13)
где mn−1 σ – (n−1)-мерная мера Лебега C∞-многообразия σ, являющегося границей
σ = ∂U ограниченного открытого множества U , содержащего fCt и содержащегося
вместе со своим замыканием U в fAt+4t, а точная нижняя грань берется по всем
таким σ.
С другой стороны, в силу определения Q-гомеоморфизма относительно p-модуля,
имеем
capp (fAt+4t, fCt) 6
∫
Rt
Q(x)%p(x) dm(x).
Заметим, что функция %(x) = 1
|x| ln t+∆t
t
·χRt(x), где χRt(x) – характеристическая
функция множества Rt, является допустимой для семейства 4(∂At+4t, ∂Ct;Rt) и
поэтому
capp (fAt+4t, fCt) 6 1(
ln t+∆t
t
)p
∫
Rt
Q(x)
|x|p dm(x). (14)
Комбинируя неравенства (13) и (14), получим
(inf mn−1 σ)p
m (fAt+∆t \ fCt)
p−1 6 1(
ln t+∆t
t
)p
∫
Rt
Q(x)
|x|p dm(x).
Заметим, что по теореме Фубини имеем
∫
Rt
Q(x)
|x|p dm(x) =
t+∆t∫
t
dt
tp
∫
St
Q(x) dA = ωn−1
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
и, таким образом,
inf mn−1 σ 6 ω
1
p
n−1
[m (fAt+∆t \ fCt)]
p−1
p
ln t+∆t
t
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
1
p
.
Далее, воспользовавшись изопериметрическим неравенством
inf mn−1 σ > n · Ω
1
n
n (m(fCt))
n−1
n ,
122
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля
получим
n · Ω
1
n
n (m(fCt))
n−1
n 6 ω
1
p
n−1
[m (fAt+∆t \ fCt)]
p−1
p
ln t+∆t
t
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
1
p
. (15)
Определим функцию Φ(t) для данного гомеоморфизма f следующим образом
Φ(t) := m (fBt). Тогда из соотношения (15) следует, что
n · Ω
1
n
n Φ
n−1
n (t) 6 ω
1
p
n−1
[
Φ(t+∆t)−Φ(t)
∆t
] p−1
p
ln(t+∆t)−ln t
∆t
1
∆t
t+∆t∫
t
tn−p−1q(t) dt
1
p
. (16)
Далее, устремляя в неравенстве (16) ∆t к нулю, и учитывая монотонное возрастание
функции Φ по t ∈ (0, 1), для п.в. t имеем:
nΩ
p−n
n(p−1)
n
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
6 Φ′(t)
Φ
p(n−1)
n(p−1) (t)
. (17)
Рассмотрим неравенство (17) при 1 < p < n. Интегрируя обе части неравенства по
t ∈ [r, 1] и учитывая, что
1∫
r
Φ′(t)
Φ
p(n−1)
n(p−1) (t)
dt 6 n(p− 1)
p− n
(
Φ
p−n
n(p−1) (1)− Φ
p−n
n(p−1) (r)
)
,
см., напр., теорему 7.4. гл. IV в [14], получим
1∫
r
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
6 1
Ω
p−n
n(p−1)
n
· p− 1
p− n
(
Φ
p−n
n(p−1) (1)− Φ
p−n
n(p−1) (r)
)
. (18)
Из неравенства (18) получаем, что
Φ(r) 6
Φ
p−n
n(p−1) (1) + Ω
p−n
n(p−1)
n
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
n(p−1)
p−n
.
Наконец, обозначая в последнем неравенстве Φ(r) = m(fBr) и учитывая, что
m(fBn) 6 Ωn, имеем оценку
m(fBr) 6 Ωn
1 +
n− p
p− 1
1∫
r
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
n(p−1)
p−n
.
123
Д.А Ковтонюк, Р.Р. Салимов
Неравенство (10) доказано.
Осталось рассмотреть случай p = n. В этом случае неравенство (17) примет вид:
n
tq
1
n−1 (t)
6 Φ′(t)
Φ(t)
. (19)
Интегрируя обе части неравенства (19) по t ∈ [r, 1], учитывая, что
1∫
r
Φ′(t)
Φ(t)
dt 6 ln
Φ(1)
Φ(r)
,
см., напр., теорему 7.4. гл. IV в [14], получим
n
1∫
r
dt
tq
1
n−1 (t)
6 ln
Φ(1)
Φ(r)
.
И, следовательно, имеем
exp
n
1∫
r
dt
tq
1
n−1 (t)
6 Φ(1)
Φ(r)
,
а потому
Φ(r) 6 Φ(1) · exp
−n
1∫
r
dt
tq
1
n−1 (t)
.
Наконец, обозначая в последнем неравенстве Φ(r) = m(fBr), получим оценку
m(fBr) 6 Ωn · exp
−n
1∫
r
dt
tq
1
n−1 (t)
.
Неравенство (11) доказано, что завершает доказательство леммы. ¤
3. Поведение в точке. Лемма, приведенная в предыдущей секции, позволяет
нам также описать асимптотическое поведение Q-гомеоморфизмов относительно p-
модуля в нуле.
Предложение 1. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, – гомеоморфизм, f(0) = 0. Тогда
если
m(fBr) 6 Ωn Rn(r), (20)
то
lim inf
x→0
|f(x)|
R(|x|) 6 1. (21)
124
О локальном поведении Q-гомеоморфизмов относительно p-модуля
Доказательство. Положим min
|x|=r
|f(x)| = lf (r). Тогда, учитывая, что f(0) = 0,
получаем Ωn lnf (r) 6 m(fBr) и, следовательно,
lf (r) 6
(
m(fBr)
Ωn
) 1
n
. (22)
Таким образом, учитывая неравенства (22) и (20), имеем
lim inf
x→0
|f(x)|
R(|x|) = lim inf
r→0
lf (r)
R(r)
6 lim inf
r→0
(
m(fBr)
Ωn
) 1
n
· 1
R(r)
6 1.
Предложение доказано. ¤
Комбинируя лемму и предложение с функцией R(r) =
(
1 + n−p
p−1
1∫
r
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
) p−1
p−n
при 1 < p < n и R(r) = exp
{
1∫
r
dt
tq
1
n−1 (t)
}
при p = n,
получаем следующий результат.
Теорема 1. Пусть f : Bn → Bn, n > 2, – Q-гомеоморфизм относительно p-
модуля, f(0) = 0. Тогда при 1 < p < n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)| ·
1 +
n− p
p− 1
1∫
|x|
dt
t
n−1
p−1 q
1
p−1 (t)
p−1
n−p
6 1,
а при p = n имеет место оценка
lim inf
x→0
|f(x)| · exp
1∫
|x|
dt
tq
1
n−1 (t)
6 1.
1. Väisälä J. Lectures on n-Dimensional Quasiconformal Mappings // Lecture Notes in Math. 1971.
– V. 229. – Berlin etc., Springer-Verlag, 229 pp.
2. Gehring F.W. Lipschitz mappings and the p-capacity of ring in n-space // Advances in the theory
of Riemann surfaces (Proc. Conf. Stonybrook, N.Y., 1969), Ann. of Math. Studies. – 1971. – V. 66.
– P. 175–193.
3. Ikoma K. On the distortion and correspondence under quasiconformal mappings in space // Nagoya
Math. J. – 1965. – V. 25. – P. 175-203.
4. Martio O., Rickman S., Vaisala J. Definitions for quasiregular mappings // Ann. Acad. Sci. Fenn.
Ser. A1. Math. – 1969. – V. 448. – P. 1-40.
5. Gehring F.W. Quasiconformal mappings in Complex Analysis and its Applications, V. 2. –
International Atomic Energy Agency, Vienna, 1976.
6. Hesse J. A p-extremal length and p-capacity equality // Arc. Mat. – 1975. – V. 13. – P. 131-144.
7. Shlyk V. A. On the equality between p-capacity and p-modulus // Sibirsk. Mat. Zh. – 1993. – V.
34, no. 6. – P. 216-221.
8. Кругликов В.И. Ёмкости конденсаторов и пространственные отображения, квазиконформные
в среднем // Матем. сб. – 1986. – Т. 130, № 2. – C. 185-206.
125
Д.А Ковтонюк, Р.Р. Салимов
9. Golberg A. Differential properties of (α, Q)-homeomorphisms // Further Progress in Analysis, World
Scientific Publ. – 2009. – P. 218-228.
10. Bishop C.J., Gutlyanskii V.Ya., Martio O., Vuorinen M. On conformal dilatation in space // Intern.
Journ. Math. and Math. Scie. – 2003. – V. 22. – P. 1397-1420.
11. Стругов Ю.Ф. Компактность классов отображений, квазиконформных в среднем // ДАН
СССР. – 1978. – Т. 243, № 4. – С. 859-861.
12. Martio O., Ryazanov V., Srebro U. and Yakubov E. Moduli in Modern Mapping Theory. – New
York: Springer, 2009. – 367 p.
13. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптиче-
ского типа. – М., 1962. – 136 с.
14. Сакс С. Теория интеграла, – М., ИЛ, 1949.
D.A. Kovtonyuk, R.R. Salimov
On local behavior of Q-homeomorphisms with respect to p-modulus.
In this article we consider the Q-homeomorphisms with respect to the p-modulus. It is obtained a measure
estimate of the volume for the image of the ball and study the asymptotic behavior at zero under such
mappings.
Keywords: p-modulus, Q-homeomorphism, asymptotic behavior.
Д.О. Ковтонюк, Р.Р. Салiмов
Про локальну поведiнку Q-гомеоморфiзмiв вiдносно p-модуля.
У роботi розглядаються Q-гомеоморфiзми вiдносно p-модуля. Отримано оцiнку мiри образу кулi
при таких вiдображеннях i дослiджено асимптотичну поведiнку в нулi.
Ключовi слова: p-модуль, Q-гомеоморфiзм, асимптотична поведiнка.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
denis kovtonyuk@bk.ru, ruslan623@yandex.ru
Получено 21.11.10
126
|