Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе
Рассматривается смешанная граничная задача для стационарной системы теории упругости в двусвязной области с дополнительным динамическим условием на части границы. Неизвестными являются смещения u и некоторая дополнительная функция p. Методом построения регуляризатора доказано существование гладкого...
Збережено в:
| Дата: | 2010 |
|---|---|
| Автор: | |
| Формат: | Стаття |
| Мова: | Russian |
| Опубліковано: |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України
2010
|
| Назва видання: | Труды Института прикладной математики и механики |
| Онлайн доступ: | http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123961 |
| Теги: |
Додати тег
Немає тегів, Будьте першим, хто поставить тег для цього запису!
|
| Назва журналу: | Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| Цитувати: | Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе / Н.В. Краснощек // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 137-149. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
Репозитарії
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine| id |
irk-123456789-123961 |
|---|---|
| record_format |
dspace |
| spelling |
irk-123456789-1239612017-09-16T03:03:41Z Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе Краснощек, Н.В. Рассматривается смешанная граничная задача для стационарной системы теории упругости в двусвязной области с дополнительным динамическим условием на части границы. Неизвестными являются смещения u и некоторая дополнительная функция p. Методом построения регуляризатора доказано существование гладкого решения в пространствах Гельдера. Розглянуто мішану граничну задачу для стаціонарної системи теорії пружності в двозв'язній області з додатковою динамічною умовою на частині межі. Невідомими є переміщення и та додаткова функція р. За допомогою методу побудови регуляризатора доведено існування гладкого розв'язку в просторах Гельдера. We consider mixed boundary-value problem for stationaty system of the theory of elasticity in doublyconnected domain with additional dynamical condition on a part of boundary. Displacements u and some additional function ½ is unknowns. The existence of smooth solution in Holdet spaces is proved by use of the method of construction of regularizer. 2010 Article Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе / Н.В. Краснощек // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 137-149. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. 1683-4720 http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123961 517.9 ru Труды Института прикладной математики и механики Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| institution |
Digital Library of Periodicals of National Academy of Sciences of Ukraine |
| collection |
DSpace DC |
| language |
Russian |
| description |
Рассматривается смешанная граничная задача для стационарной системы теории упругости в двусвязной области с дополнительным динамическим условием на части границы. Неизвестными являются смещения u и некоторая дополнительная функция p. Методом построения регуляризатора доказано существование гладкого решения в пространствах Гельдера. |
| format |
Article |
| author |
Краснощек, Н.В. |
| spellingShingle |
Краснощек, Н.В. Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе Труды Института прикладной математики и механики |
| author_facet |
Краснощек, Н.В. |
| author_sort |
Краснощек, Н.В. |
| title |
Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе |
| title_short |
Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе |
| title_full |
Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе |
| title_fullStr |
Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе |
| title_full_unstemmed |
Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе |
| title_sort |
об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе |
| publisher |
Інститут прикладної математики і механіки НАН України |
| publishDate |
2010 |
| url |
http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/123961 |
| citation_txt |
Об одной начально-краевой задаче для стационарной системы теории упругости с дополнительным динамическим условием на границе / Н.В. Краснощек // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. — Донецьк: ІПММ НАН України, 2010. — Т. 21. — С. 137-149. — Бібліогр.: 15 назв. — рос. |
| series |
Труды Института прикладной математики и механики |
| work_keys_str_mv |
AT krasnoŝeknv obodnojnačalʹnokraevojzadačedlâstacionarnojsistemyteoriiuprugostisdopolnitelʹnymdinamičeskimusloviemnagranice |
| first_indexed |
2025-07-09T00:36:40Z |
| last_indexed |
2025-07-09T00:36:40Z |
| _version_ |
1837127592415592448 |
| fulltext |
ISSN 1683-4720 Труды ИПММ НАН Украины. 2010. Том 21
УДК 517.9
c©2010. Н.В. Краснощек
ОБ ОДНОЙ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ СТАЦИОНАРНОЙ
СИСТЕМЫ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМ
ДИНАМИЧЕСКИМ УСЛОВИЕМ НА ГРАНИЦЕ
Рассматривается смешанная граничная задача для стационарной системы теории упругости в дву-
связной области с дополнительным динамическим условием на части границы. Неизвестными яв-
ляются смещения u и некоторая дополнительная функция ρ. Методом построения регуляризатора
доказано существование гладкого решения в пространствах Гельдера.
Ключевые слова: упругость, задача Коши, регуляризатор, оценки Шаудера.
1. Введение. Пусть Ω область типа кольца с внешней границей Σ и внутренней
- Γ. Предполагаем, что кривые Σ и Γ принадлежат классу C6+α. Пусть b и q -
положительные постоянные, n = (n1, n2), s = (s1, s2)- соответственно нормаль и
касательная к кривой Γ, а ∆Γ- оператор Лапласа-Бельтрами на Γ. Введем некоторые
обозначения линейной теории упругости (в рамках плоской деформации)
σij(u) = E
1+ν
(
1
2
(
∂ui
∂xj
+ ∂uj
∂xi
)
+ ν
1−2ν
(
∂u1
∂x1
+ ∂u2
∂x2
)
δij
)
,
Tr σ(u) = σ11(u) + σ22(u) + σ33(u) = E
1−2ν
(
∂u1
∂x1
+ ∂u2
∂x2
)
.
Кроме того, введем следующие операторы
Liu = 1
1−2ν
∂
∂xi
div u + ∆ui, Q
(
x, ∂
∂x
)
u = −q
2∑
i=1
ni(x)∆Γ (∂xiTr σ(u)) ,
B1
(
x, ∂
∂x
)
u = si(x)σij(u) nj(x), B2
(
x, ∂
∂x
)
u = ni(x)σij(u) nj(x).
Здесь и ниже по всем повторяющимся индексам (кроме k) производится суммиро-
вание от 1 до 2.
Задача состоит в том, чтобы найти функции u(x, t) = (u1(x, t), u2(x, t)) и ρ(x, t),
удовлетворяющие системе
Liu = 0, x ∈ Ω, t > 0, i = 1, 2, (1)
граничным условиям
u = 0 x ∈ Σ, t > 0,
B1
(
x, ∂
∂x
)
u = 0, B2
(
x, ∂
∂x
)
u = b∆Γρ, x ∈ Γ, t > 0,
(2)
динамическому условию
ρt = Q
(
x,
∂
∂x
)
u + h(x, t), x ∈ Γ, t > 0, (3)
137
Н.В. Краснощек
и нулевому начальному условию
ρ|t=0 = 0 x ∈ Γ. (4)
Задачу данного вида можно получить из постановки задачи, предложенной в
работе [1], которая моделирует распространение полости в упругом теле. Для это-
го сначала нужно свести задачу со свободной границей к задаче в фиксированной
области, а затем линеаризовать полученную нелинейную задачу на начальных дан-
ных (по этому поводу см., например, работу [2]), тогда вектор-функцию u можно
интерпретировать как смещения, а - ρ как отклонение свободной границы от ее на-
чального положения в направлении нормали. Заметим, что начальные данные для
u не задаются, а находятся из решения задачи (1)-(4) при ρ|t=0 = 0. Отсюда, в силу
известных результатов (см., например, [3]), u(x, 0) = 0. Для классической разреши-
мости исходной задачи естественно потребовать выполнение условия согласования:
h(x, 0) = 0 при x ∈ Γ.
Задачу (1)-(4) можно записать в виде задачи Коши для функции ρ на кривой Γ
Aρ ≡ ρt −Qρ = h(x, t), x ∈ Γ, t > 0, ρ|t=0 = 0, x ∈ Γ, (5)
где и A, Q -линейные, нелокальные операторы. В данной работе доказана классиче-
ская разрешимость задачи (1)-(4) методом построения регуляризатора (см. [4], гл.
IV) для оператора A. При помощи данного подхода доказательство существования
решения начально-краевой задачи для эллиптического уравнения с динамическим
условием на границе области проводилось в работе [5] в весовых классах Гельдера
и в работе [6] в пространствах Бесова-Никольского. По поводу других подходов см.
работы [2], [7]-[10].
План работы состоит в следующем. В первом разделе введены необходимые обо-
значения, пространства, сформулированы некоторые вспомогательные утверждения
и основной результат. Во втором разделе рассмотрена модельная задача в полупро-
странстве, в третьем доказана основная теорема.
2. Предварительные сведения. Основной результат. Пусть Q некоторое
множество на плоскости. Следуя [4], введем следующие обозначения (m - целое неот-
рицательное число, 0 < α < 1):
|v|(0)
Q = sup
x∈Q
|v(x)| , |v|(m)
Q =
∑
0≤|j|≤m
∣∣Djv
∣∣(0)
Q
,
〈v〉(α)
x,Q = sup
x,y∈Q; x6=y
|v(x)−v(y)|
|x−y|α , 〈v〉(m+α)
x,Q =
∑
|j|=m
〈
Djv
〉(α)
x,Q
.
Кроме того, введем следующие полунормы:
〈v〉(α)
x,Q×[0,T ] = sup
t∈[0,T ]
sup
x,y∈Q; x6=y
|v(x, t)− v(y, t)|
|x− y|α ,
〈v〉(β)
t,Q×[0,T ] = sup
t,s∈[0,T ]; t 6=s
sup
x∈Q
|v(x, t)− v(x, s)|
|t− s|(β)
, 0 < β < 1,
138
Об одной задаче для системы теории упругости
〈v〉(α, α
5
)
Q×[0,T ] = 〈v〉(α)
x,Q×[0,T ] + 〈v〉(
α
5
)
t,Q×[0,T ] , 〈v〉
( 5+α
5 )
t,Q×[0,T ] =
∑
0<5+α−|l|<5
〈Dl
xv〉
(
5+α−|l|
5
)
t,Q×[0,T ]
[v]
(α, α
5
)
Q×[0,T ] = sup
t,s∈[0,T ]; t 6=s
〈v(·,t)−v(·,s)〉(α)
x,Q
|t−s|α5 = sup
t,s∈[0,T ]; t 6=s
sup
x,y∈Q; x6=y
|v(x,t)−v(y,t)−v(x,s)+v(y,s)|
|t−s|α5 |x−y|α ,
〈v〉(
5+α
5 )
t,Q×[0,T ] =
∑
0<5+α−|l|<5
〈Dl
xv〉
(
5+α−|l|
5
)
t,Q×[0,T ] .
Всюду ниже будем использовать очевидные неравенства:
〈uv〉(α)
x,Q×[0,T ] ≤ 〈u〉(α)
x,Q×[0,T ] |v|
(0)
Q×[0,T ] + |u|(0)
Q×[0,T ] 〈v〉
(α)
x,Q×[0,T ]
〈uv〉(β)
t,Q×[0,T ] ≤ 〈u〉(β)
t,Q×[0,T ] |v|
(0)
Q×[0,T ] + |u|(0)
Q×[0,T ] 〈v〉
(β)
t,Q×[0,T ] ,
[uv]
(α, α
5
)
Q×[0,T ] ≤ [u]
(α, α
5
)
Q×[0,T ] |v|
(0)
Q×[0,T ] + 〈u〉(
α
5
)
t,Q×[0,T ] 〈v〉
(α)
x,Q×[0,T ] +
+ 〈u〉(α)
x,Q×[0,T ] 〈v〉
(α
5
)
t,Q×[0,T ] + |u|(0)
Q×[0,T ] [uv]
(α, α
5
)
Q×[0,T ] .
(6)
Далее введем функциональные пространства Cm+α(Q) и C
α
5 ([0, T ]; Cm+α(Q)) с
нормами:
|v|(m+α)
Q ≡ |v|(m)
Q + 〈v〉(m+α)
x,Q
и
|v|(m+α, α
5
)
Q×[0,T ] ≡ sup
t∈[0,T ]
|v(·, t)|(m+α)
Q + sup
t,s∈[0,T ]; t6=s
|v(·,t)−v(·,s)|(m+α)
Q
|t−s|α5 .
Старшая полунорма в C
α
5 ([0, T ];Cα(Q)) имеет вид
〈〈v〉〉(α, α
5
)
Q×[0,T ] = 〈v〉(α)
x,Q×[0,T ] + 〈v〉(
α
5
)
t,Q×[0,T ] + [v]
(α, α
5
)
Q×[0,T ] ,
а в C
α
5 ([0, T ]; Cm+α(Q)) соответственно -
〈〈v〉〉(m+α, α
5
)
Q×[0,T ] =
∑
|j|=m
(〈
Dj
xv
〉(α, α
5
)
Q×[0,T ]
+
[
Dj
xv
](α, α
5
)
Q×[0,T ]
)
,
Пространства вида C
α
5 ([0, T ]; Cm+α(Q)) будут полезны при определении гладкости
функции u. Для функции ρ понадобятся пространства P 5+α, 5+α
5 (Q× [0, T ]) с конеч-
ной нормой
|v|(5+α, 5+α
5
)
Q×[0,T ] ≡ |v|(5+α, α
5
)
Q×[0,T ] + |vt|(α, α
5
)
Q×[0,T ] +
∑
1≤|l|≤5
〈Dl
xv〉
(
5+α−|l|
5
)
t,Q×[0,T ]
и старшей полунормой
〈〈v〉〉(5+α, 5+α
5
)
Q×[0,T ] = 〈〈v〉〉(5+α, α
5
)
Q×[0,T ] + 〈〈vt〉〉(α, α
5
)
Q×[0,T ] +
∑
1≤|l|≤5
〈Dl
xv〉
(
5+α−|l|
5
)
t,Q×[0,T ] .
139
Н.В. Краснощек
Сформулируем основной результат данной работы.
Теорема 1. Пусть α ∈ (0, 1), S, Γ ∈ C6+α, h(x, 0) = 0 и τ достаточно ма-
ло, тогда для любого h ∈ C
α
5 ([0, τ ];Cα(Γ)) существует ρ ∈ P 5+α, 5+α
5 (Q× [0, T ])
единственное решение задачи (5), которое удовлетворяет оценке
|ρ|(5+α, 5+α
5 )
Γ×[0,τ ] ≤ C |ρ|(α, α
5 )
Γ×[0,τ ]. (7)
Метод построения регуляризатора, предложенный В.А.Солонниковым в (см.
Главу IV монографии [4]), в нашем случае нуждается в некоторой модификации.
Проблема в том, что в отличие от начально-краевой задачи для параболического
уравнения, например, второго порядка, где производные первого порядка по про-
странственным переменным принадлежат классу Гёльдера по переменной t с по-
казателем, большим, чем правая часть уравнения (и, соответственно, производные
второго порядка); в задаче (1)–(4) относительно неизвестной функции u переменная
t выступает как параметр, поэтому, вообще говоря, и сама функция, и все ее про-
изводные обладают одинаковой гладкостью по времени: той, что задаётся "правой
частью" b(x, t)∆Γρ. Поэтому, так же как в работе [5], нам понадобятся некоторые
вспомогательные утверждения.
Лемма 1.A) Пусть v ∈ C
α
5 ([0, T ]; Cm+α(Q))
⋂
C
4+α
5 ([0, T ]; C(Q)), тогда v ∈
C
α
5
+
4(4−m+α)
5(4+α) ([0, T ]; Cm(Q)) при m = 1, .., 4 и, кроме того,
|v|(m+α, α
5
)
Q×[0,T ] ≤ C T
4(4−m)
5(4+α) |v|(4+α, α
5
)
Q×[0,T ] , m = 1, ..3.
Б) Пусть v ∈ P 5+α, 5+α
5 (Q× [0, T ]), тогда v ∈ C
α
5
+
(5−α)(5−m+α)
25 ([0, T ]; Cm(Q)) и
|v|(m+α, α
5
)
Q×[0,T ] ≤ C T
(5−α)(5−m)
5(5+α) |v|(5+α,
(5+α)
5
)
Q×[0,T ] , m = 1, ..4.
Утверждения леммы непосредственно вытекают из следующих неравенств
|v|(m)
Q ≤ C
(
|v|(s+α)
Q
) m
s+α
(
|v|(0)
Q
) s+α−m
s+α
, m ≤ s,
|v|(m+α)
Q ≤ C
(
|v|(s+α)
Q
)m
s
(
|v|(α)
Q
) s−m
s
, m < s,
являющихся частным случаем интерполяционных неравенств Главы 3 монографии
[11] (см. также [12]).
3. Модельная задача. Обозначим D = {x ∈ R2 : x2 > 0}, S = {x ∈ R2 : x2 =
0}. Рассмотрим задачу найти функции w, p такие, что
1
1− 2ν
∇div w + ∆w = 0, x ∈ D, t > 0, (8)
w → 0, при x2 →∞,
σ12(w) = 0, σ22(w) = b ∂2p
∂x2
1
, x ∈ S, t > 0,
(9)
140
Об одной задаче для системы теории упругости
pt = q ∂3 Tr σ(w)
∂x2
1∂x2
+ ψ(x, t), x ∈ S, t > 0,
ρ|t=0 = 0, x ∈ S.
. (10)
Всюду ниже полагаем, что ψ(x1, t) = 0 для всех x1 ∈ R1 при t ≤ 0. Обозна-
чим через w̃, p̃, ψ̃ образы Фурье функций w, p и ψ при преобразовании Фурье по
переменной x1. Система (8) для w и граничные условия (9) перейдут в соотношения
iξ
1−2ν (iξw̃1 + dw̃2
dx2
) + d2w̃1
dx2
2
− ξ2w̃1 = 0,
1
1−2ν
d
dx2
(iξw̃1 + dw̃2
dx2
) + d2w̃2
dx2
2
− ξ2w̃2 = 0,
w̃ → 0, при x2 →∞,
iEξ
2(1+ν)
[
iξw̃2 + dw̃1
dx2
]
= 0, E
(1+ν)
[
dw̃2
dx2
+ ν
1−2ν (iξw̃1 + dw̃2
dx2
)
]
= −b ξ2p̃, x2 = 0,
(11)
Решение задачи (11) имеет вид
w̃1 = b(1+ν)
E iξ ((1− 2ν)− |ξ|x2) p̃ e−|ξ|x2 ,
w̃2 = b(1+ν)
E |ξ| (2(1− ν) + |ξ|x2) p̃ e−|ξ|x2 ,
(12)
кроме того,
iξw̃1 +
dw̃2
dx2
= −2b
E
(1 + ν)(1− 2ν)|ξ|2p̃ e−|ξ|x2 . (13)
Теперь для p̃ из (10), (13) получим
p̃t = −2 bq |ξ|5p̃ + ψ̃(x, t), x ∈ ω, t > 0, p̃(ξ, 0) = 0.
Т.о. функцию p можно записать в виде:
p(x1, t) =
t∫
0
dτ
+∞∫
−∞
G(x1 − ξ1, t− τ)ψ(ξ1, τ)dξ1, где (a = 2bq)
G(x1, t) = 1
2π
+∞∫
−∞
exp
(−a|ξ|5t + iξx1
)
dξ при t > 0; G(x1, t) = 0 при t < 0.
Сделаем в представлении для функции G замену λ = ξt1/5, приходим к выраже-
нию
G(x1, t) = t−
1
5
1
π
+∞∫
0
exp
(−aλ5
)
cos(y)dλ, где y = x1/t1/5.
Используя метод интегрирования по частям (ср. [2]), можно доказать следующую
лемму.
Лемма 2. Имеют место оценки
∣∣∣Dk
t Dl
x1
G(x1, t)
∣∣∣ ≤ C t−
5k+l+1
5
1
1 + (|x|5/t)
5(k+j)+l+1
5
, (14)
где j = 0 при нечётных значениях k и j = 1 при чётных k и k = 0.
141
Н.В. Краснощек
Лемма 3. Справедливы неравенства
〈
D5
x1
p
〉(α)
x,R1×[0,T ]
≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
, (15)
〈
Dl
x1
p
〉( 5+α−l
5 )
t,R1×[0,T ]
≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
, (16)
〈pt〉(α, α
5
)
R1×[0,T ]
≤ C 〈ψ〉(
α
5
)
t,R1×[0,T ]
, (17)
[
D5
x1
p
](α, α
5
)
R1×[0,T ]
≤ C [ψ]
(α, α
5
)
R1×[0,T ]
. (18)
Доказательство. Прежде всего следует отметить, что используемые здесь мето-
ды изложены в монографии [4]. Ввиду ограниченности объёма статьи оценим только
величину
〈
Dl
x1
p
〉( 5+α−l
5 )
t,R1×[0,T ]
.
Для получения оценки (16) рассмотрим выражение (0 < h < t, l = 1, .., 5)
Dl
x1
p(x1, t)−Dl
x1
p(x1, t− h) =
t∫
t−2h
ds
∫
R1
Dl
x1
G(x1 − y, t− s)(ψ(y, s)− ψ(x1, s))dy−
−
t∫
t−2h
ds
∫
R1
Dl
x1
G(x1 − y, t− h− s)(ψ(y, s)− ψ(x1, s))dy+ (19)
+
t−2h∫
−∞
ds
∫
R1
(Dl
x1
G(x1 − y, t− s)−Dl
x1
G(x1 − y, t−−s))(ψ(y, s)− ψ(x1, s))dy =
3∑
i=1
Ii.
Слагаемые I1 и I2 оцениваются одинаковым образом. Например,
|I1| ≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
t∫
t−2h
ds
∫
R1
(t− s)−
l+1
5
|x1−y|αdy
1+
( |x1−y|5
t−s
) l+6
5
≤
≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
t∫
t−2h
(t− s)
α−l
5 ds ≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
h
5+α−l
5 .
К последнему слагаемому применяем оценку (14)
|I3| = |
t−2h∫
−∞
ds
t∫
t−h
dτ
∫
R1
DtD
l
x1
G(x1 − y, τ − s)(ψ(y, s)− ψ(z, s))dy| ≤
≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
t−2h∫
−∞
ds
t∫
t−h
dτ
∫
R1
|x1−y|α
(τ−s)
l+6
5 +|x1−y|l+6
dτ ≤
≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
t∫
t−h
dτ
t−2h∫
−∞
(τ − s)
α−l
5
−1ds ≤
≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
t∫
t−h
(τ − (t− 2h)
α−l
5 )dτ ≤ C 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
h
5+α−l
5 ,
142
Об одной задаче для системы теории упругости
что влечет за собой оценку (16).
Ход рассуждений при доказательстве оценки (18), аналогично работе [2], состоит
в том, чтобы, исходя из представления
D5
x1
p(x1, t) =
+∞∫
−∞
ds
+∞∫
−∞
D5
x1
G(x1 − y, s)(ψ(y, t− s)− ψ(x1, t− s))dy,
оценить для разности |D5
x1
p(x1, t)−D5
x1
p(x1, t− h)|/h
α
5 константу Гельдера по пере-
менной x1, что фактически сводится к оценке (15). ¤
Сформулируем без доказательства следующее утверждение:
Лемма 4. Пусть ψ(x1, t) = 0 при |x1| > M , t ≥ 0 для некоторого M > 0, тогда
|Dl
x1
p(x1, t)| ≤ Ct
5+α−l
5 〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
1
|x1|5+l−α
при |x1| > 2M (l = 1, .., 5). (20)
Лемма 5. Справедливы неравенства
〈w1〉(
4+α
5 )
t,D×[0,T ] + 〈w2〉(
4+α
5 )
t,D×[0,T ] ≤ C 〈ψ〉(
α
5 )
t,R1×[0,T ]
, (21)
∑
|l|=4
(〈Dl
xw1〉(
α
5 )
x,D×[0,T ] + 〈Dl
xw2〉(
α
5 )
x,D×[0,T ]) ≤ C〈ψ〉(α)
x,R1×[0,T ]
, (22)
∑
|l|=4
(〈Dl
xw1〉(α)
t,D×[0,T ] + 〈Dl
xw2〉(α)
t,D×[0,T ]) ≤ C〈ψ〉(α, α
5
)
R1×[0,T ]
, (23)
∑
|l|=4
([Dl
xw1]
(α)
t,D×[0,T ] + [Dl
xw2]
(α)
t,D×[0,T ]) ≤ C[ψ](
α, α
5 )
R1×[0,T ]
. (24)
Доказательство. Определим K(x1, x2) = 1
π
x1
x2
1+x2
2
= 1
π
∫
R1
exp(−|ξ|x2+iξx1)dξ. Вернём-
ся к формулам (12), (13). Из (12) получим
∂w1
∂x1
+
∂w2
∂x2
= −b(1− 2ν)
E
(K ∗ px1x1) , (25)
здесь и всюду ниже (K ∗ f) =
∫
R1
K(x1 − y1, x2)f(y1)dy1.
Из (13) следует w1 = w
(1)
1 + w
(2)
1 , w2 = w
(1)
2 + w
(2)
2 , где
w
(1)
1 (x, t) = b(1+ν)(1−2ν)
2E
(K ∗ px1) , w
(2)
1 (x, t) = b(1+ν)
2E
(x2Kx2 ∗ px1) ,
w
(1)
2 (x, t) = − b(1+ν)
E
(x2Kx1 ∗ px1x1) , H(x1, t) = ∫
R1
|ξ|exp(−a|ξ|5t+iξx1),
w
(2)
2 (x, t) = b(1+ν)
2E
∫
R1
K(x1−y1,x2)dy1
t∫
0
ds
∫
R1
H(y1−z1,t−s)ψ(z1,s)dz1.
143
Н.В. Краснощек
Непосредственно из данных представлений следует оценка
〈w1〉(
4+α
5 )
t,Q×[0,T ] + 〈w(1)
2 〉(
4+α
5 )
t,Q×[0,T ] ≤ C〈px1〉(
4+α
5 )
t,Q×[0,T ]. (26)
Также как в Лемме 2, используя метод интегрирования по частям, приходим к
оценке ∣∣∣Dk
t Dl
x1
H(x1, t)
∣∣∣ ≤ C t−
5k+l+2
5
1
1 + (|x|5/t)
5k+l+2
5
.
Отмечая, что
∫
R1
K(x1, x2)dx1 = π при x2 > 0 и повторяя рассуждения Леммы 3 (см.
оценку (16), приходим к оценке
〈w(2)
2 〉(
4+α
5 )
t,Q×[0,T ] ≤ C〈ψ〉(
α
5 )
t,Q×[0,T ]. (27)
Из оценок (26), (27) следует (21).
Из представления (25) видим, что w1,x1 +w2,x2 является гармонической функци-
ей в полуплоскости D для всех t ≥ 0, принимающей при x2 = 0 граничное значение
b(1−2ν)(1+ν)
E px1x1(x1, t). Оценка (20) позволяет использовать результаты гл. III моно-
графии [13]: ∑
|l|=3
〈Dl
x(w1,x1 + w2,x2)〉(α)
x,D×[0,T ] ≤ C〈D5
x1
p〉(α)
x,D×[0,T ].
Располагая данной оценкой, оценкой
〈D4
x1
w1〉(α)
x,D×[0,T ] + 〈D4
x1
w2〉(α)
x,D×[0,T ] ≤ C〈ψ〉(α)
x,D×[0,T ], (28)
и дифференцируя систему (8), можно получить оценку (22) для всех производных.
При доказательстве (28) ограничимся оценкой производной ∂4w
(2)
1
∂x4
1
. Введём обо-
значение K∗(x1, x2) = b(1+ν)
E x2Kx2(x1, x2). Следуя рассуждениям §2 главы III моно-
графии [13], получим
|D4
x1
w
(2)
1 (x1, x2, t)−D4
x1
w
(2)
1 (x1, x2, t)| ≤ C〈D5
x1
p〉(α)
x,R1×[0,T ]
|x1 − x1|α. (29)
Далее, снова также как в монографии [13], выводим формулу
∂4w
(2)
1
∂x4
1
(x1, x2, t)− ∂4w
(2)
1
∂x4
1
(x1, x2, t) =
=
∫
|x1−y1|≤|x2−x2|
K∗(y1, x2)
(
∂5p
∂y5
1
(y1, t)− ∂5p
∂x5
1
(x1 − y1, t)
)
dy1−
− ∫
|x1−y1|≤|x2−x2|
K∗(y1, x2)
(
∂5p
∂y5
1
(y1, t)− ∂5p
∂x5
1
(x1 − y1, t)
)
dy1+
+
∫
|x1−y1|>|x2−x2|
(K∗(y1, x2)−K∗(y1, x2))
(
∂5p
∂y5
1
(y1, t)− ∂5p
∂x5
1
(x1 − y1, t)
)
dy1.
144
Об одной задаче для системы теории упругости
При оценке первого и второго слагаемых воспользуемся тем, что |K∗(x1, x2)| ≤
C/|x1|, а при оценке последнего- |K∗(x1, x2)−K∗(x1, x2)| ≤ C|x2 − x2|/|x1|2, в итоге
|D4
x1
w
(2)
1 (x1, x2, t)−D4
x1
w
(2)
1 (x1, x2, t)| ≤ C〈D5
x1
p〉(α)
x,R1×[0,T ]
|x2 − x2|α.
Из последнего неравенства и оценки (29) вытекает оценка (28). К оценкам (23)-(24)
приходим, комбинируя рассуждения, приведенные выше при доказательстве Леммы
3 и оценок (21)-(22). ¤
4. Построение регуляризатора. Доказательство Теоремы 1. Введем раз-
биение области Ω на подобласти ω(k) и Ω(k). Ввиду ограниченности объёма статьи,
ограничимся ссылкой на Главу IV монографии [4], где приведено подробное описа-
ние данных множеств. Нас, в первую очередь, будут интересовать множества ω(k),
Ω(k), примыкающие к кривой Γ, участки границы γ(k) = Γ
⋂
ω(k), Γ(k) = Γ
⋂
Ω(k) и
соответствующий им набор индексов k ∈ N. Предполагается, что можно указать та-
кое число d > 0, что в круге радиуса d > 0 с центром в ξ(k) ∈ γ(k), кривая Γ задается
в местной системе координат в точке ξ(k) уравнением y2 = F (k)(y1). Координаты {x}
и {y} связаны соотношениями
yi =
2∑
i=1
β
(k)
ij (xj − ξ
(k)
j ) i = 1, 2; y = B(k)(x− ξ(k)), (30)
где B(k) = ‖β(k)
ij ‖i,j=1,2- ортогональная матрица. Напомним, что при переходе от
координат {x} к локальным координатам {y}, вектор смещения и компоненты тензо-
ра напряжений преобразуются по правилу
ui(x) =
2∑
i=1
β
(k)
ji uj(y), σij(u(x)) =
2∑
m,l=1
β
(k)
mi σml(u(y))β(k)
lj , Tr σ(u(x)) = Tr σ(u(x)).
Локальное "выпрямление"границы осуществляется при помощи замены пере-
менных
z1 = y1, z2 = y2 − F (k)(y1), (31)
причем производные связаны соотношениями ∂
∂y1
= ∂
∂z1
− Fz1
∂
∂z2
, ∂
∂y2
= ∂
∂z2
.
Следуя [4], введем также функции η(k), ζ(k) такие, что 0 ≤ ζ(k) ≤ 1, |Ds
xζ(k)| ≤
c
λ|s| ,
∑
k
η(k)(x)ζ(k)(x) = 1, ζ(k) =
{
1 при x ∈ ω(k),
0 при x ∈ Ω(k)\ω(k).
Прямую и обратную связь
между x и z через соотношения (30), (31) обозначим x = Zk(z) и z = Z−1
k (x).
Обозначим через p(k), w(k) решение задачи (8)-(10), в которой положим ψ =
h(k) ≡ Z−1
k {η(k)h}. Леммы 3 и 4 приводят к оценке
〈〈p(k)〉〉(5+α, 5+α
5
)
S×[0,T ] + 〈〈w(k)〉〉(m+α, α
5
)
D×[0,T ] ≤ C〈〈h(k)〉〉(α, 5+α
5
)
S×[0,T ] . (32)
Введем пространства Cm+α = {h ∈ C
α
5 ([0, τ ]; Cm+α(Γ)) : h|t=0 = 0}, (m = 0, .., 5),
P5+α =
{
ρ ∈ P 5+α, 5+α
5 (Γ× [0, τ ]) : ρ|t=0 = 0
}
. Оператор R, действующий из Cα в
145
Н.В. Краснощек
P5+α, определим следующим образом:
Rh =
∑
k
η(k)Zk{p(k)}. (33)
Здесь и всюду ниже, по умолчанию, суммирование производится по всем значениям
k ∈ N. В пространстве Cα введем норму {h}(α)
Γ×[0,τ ] = sup
k
〈〈h〉〉(α, α
5
)
Γ(k)×[0,τ ]
. Следуя доказа-
тельству Леммы 4.2 Главы IV монографии [4], можно доказать, что при τ = κλ
5(4+α)
4 ,
h ∈ Cα справедливы неравенства
{h}(α)
Γ×[0,τ ] ≤ 〈〈h〉〉(α)
Γ×[0,τ ] ≤ c {h}(α)
Γ×[0,τ ] ,
причём правое неравенство имеет место при дополнительном предположении, что
h ∈ C
α
5
+ 4α
5(4+α) ([0, τ ]; C(Γ)).
Далее определим вспомогательную функцию vh(x) по правилу vh =
∑
k
η(k)θ(k),
θ(k) = Zk{B(k)∗w(k)}, где B(k)∗- транспонированная матрица B(k).
Обозначим через uh решение задачи
Liuh = 0, i = 1, 2, x ∈ Ω, t > 0,
uh = 0 x ∈ Σ, t > 0,
B1
(
x, t, ∂
∂x
)
uh = 0, B2
(
x, t, ∂
∂x
)
u = b∆ΓRh, x ∈ Γ, t > 0.
(34)
Тогда, как видим, (ср. (5))
ARh =
∂
∂t
Rh−Q
(
x,
∂
∂x
)
uh. (35)
Доказательство Теоремы 1. Следуя подходу, предложенному в работе [14], разо-
бьём доказательство на два этапа. Первый - состоит в том, чтобы доказать, что
оператор R является правым регуляризатором оператора A, т.е. при любых h ∈ Cα
справедливо соотношение ARh = h + T h, в котором T ограниченный оператор в
пространстве Cα и
‖T ‖ ≤ 1
2
, (36)
если τ достаточно мало. На втором этапе доказывается справедливость оценки (7).
Возвращаясь к равенству (35), непосредственно из определения функций p(k),
w(k), vh получим
∂
∂tRh−Quh = h +
∑
k
η(k)[Zk
∂3 qTr σ(w(k))
∂z2
1∂z2
−QZkB(k)∗w(k)]+
+
∑
k
[η(k)QZkB(k)∗w(k) −Qη(k)ZkB(k)∗w(k)] +Q(vh − uh) = h +
∑
i
Tih.
(37)
Как будет показано ниже, "малость"второго T1h и третьего T2 слагаемых обеспе-
чивается за счёт того, что в них присутствуют либо произведения "старших произ-
водных"на функции, нормы которых "достаточно малы"либо же "младшие произ-
водные". Наконец, соответствующая норма четвертого слагаемого T3h будет мала,
146
Об одной задаче для системы теории упругости
так как функция vh "достаточно хорошо приближает" функцию uh, а именно явля-
ется решением неоднородной задачи вида (34), с правыми частями, нормы которых
"малы" при малых τ .
Второе слагаемое T1h из (37) можно записать в виде:
T1h =
∑
k
η(k)Zk
{(
P
(
z, ∂
∂z
)− P (
0, ∂
∂z
))
Tr σ(w(k)) + P
(
z, ∂
∂z
)
Tr σ〈Fz1 , w
(k)〉} ,
где P(z, ∂
∂z
) = −qn
(k)
j (z)( 1
(1+F2
z1
(z))1/2
∂
∂z1
)2( ∂
∂zj
+Fzj (z) ∂
∂z2
), P(0, ∂
∂z
) = q ∂3
∂z2
1z2
, а также
Tr σ〈Fz1 , w
(k)〉 = − E
(1+ν)(1−2ν)
Fz1w
(k)
1,z1
.
Применяя Лемму 1, неравенства (6) и оценку (32), получим
{T1h}(α)
Γ×[0,τ ] ≤ C(κ
4
5(4+α) + κ
12
5(4+α) + λ + λα)|h|(α, α
5
)
Q×[0,T ]. (38)
Т.к.
σij(η(k)θ(k)) = η(k)σij(θ(k)) +
[
σij , η
(k)
]
θ(k),[
σij , η
(k)
]
θ(k) ≡ E
1+ν
(
1
2(η(k)
xj θ
(k)
i + η
(k)
xi θ
(k)
j ) + ν
1−2ν η
(k)
xl θ
(k)
l δij
)
,
(39)
Tr σ(η(k)θ(k)) = η(k)Tr σ(θ(k)) +
[
Tr σ, η(k)
]
(θ(k)),[
Tr σ, η(k)
]
(θ(k)) = E
(1+ν)(1−2ν)η
(k)
xi θ
(k)
i ,
выводим, что T2h =
∑
k
([
Q, η(k)
]′
(θ(k)) +
[
Q, η(k)
]′′
(θ(k))
)
, где
[
Q, η(k)
]′
(θ(k)) = −qni(x)
(
∂2
∂ω2 η
(k)
xi Tr σ(θ(k)) + 2 ∂
∂ωη
(k)
xi
∂
∂ωTr σ(θ(k))+
+η
(k)
xi
∂2
∂ω2Tr σ(θ(k)) + ∂2
∂ω2 η(k)(Tr σ(θ(k)))xi + 2 ∂
∂ωη(k) ∂
∂ω (Tr σ(θ(k)))xi
)
,
[
Q, η(k)
]′′
(θ(k)) = −qni
∂2
∂ω2 (
[
Trσ, η(k)
]
(θ(k)))xi .
Снова применяя Лемму 1, неравенства (6) и оценку (32), получим
{T2h}(α)
Γ×[0,τ ] ≤ C(κ
4
5(4+α) + κ
12
5(4+α) + λ + λα)|h|(α, α
5
)
Q×[0,T ]. (40)
Для оценки слагаемого T3 необходимо получить представления для выражений
Livh, Bivh, i = 1, 2.
Непосредственными вычислениями можно убедиться в том, что при известном
наборе функций p(k) и w(k), разность vh − uh является решением задачи вида
Ln(vh − uh) = fn, x ∈ Ω, n = 1, 2, t > 0,
Bi
(
x, t, ∂
∂x
)
(vh − uh) = gi, x ∈ Γ, i = 1, 2, t > 0,
vh − uh = 0 x ∈ Σ, t > 0.
147
Н.В. Краснощек
где, например,
fn =
∑
k
(
η(k)β
(k)
in Zk
{(
Li(z, ∂
∂z )− Li(0, ∂
∂z )
)
w(k)+ + Li(z, ∂
∂z ) ′ Fz1
∂w
(k)
1
∂z2
}
+
+β
(k)
in
[
Li, η
(k)
]
(θ(k))
)
,
Li(z, ∂
∂z )w(k) = 1
1−2ν
(
∂
∂zi
+ Fzi(z) ∂
∂z2
)
div w(k) +
(
∂
∂z1
+ Fz1(z) ∂
∂z2
)2
w
(k)
i + ∂2
∂z2
2
w
(k)
i ,
Li(z, ∂
∂z ) ′ = 1
1−2ν
(
∂
∂zi
+ Fzi(z) ∂
∂z2
)
, Li(0, ∂
∂z )w(k) = 1
1−2ν
∂
∂zi
div w(k) + ∆w
(k)
i = 0,
[
Li, η
(k)
]
(θ(k)) ≡ 1
1−2ν
(
η
(k)
xixjθ
(k)
j + η
(k)
xi θ
(k)
j,xi
+ η
(k)
xi θ
(k)
j,xj
)
+ θ
(k)
i ∆η(k) + 2η
(k)
xj θ
(k)
i,xj
.
Из результатов работы [15] следует оценка
|vh − uh|(4+α, α
5
)
Ω×[0,T ] ≤
(
2∑
i=1
|fi|(2+α, α
5
)
Ω×[0,T ] +
2∑
i=1
|gi|(3+α, α
5
)
Γ×[0,T ]
)
, (41)
Лемма 1, неравенства (6) и оценки (32), (41) приводят к оценке
{T3h}(α)
Γ×[0,τ ] ≤ C(κ
4
5(4+α) + κ
12
5(4+α) + κ
5−α
5(5+α) + κ
4(5−α)
5(5+α) + λ + λα)|h|(α, α
5
)
Q×[0,T ]. (42)
Из (38), (40), (42) при достаточно малых κ, λ вытекает (36).
Для доказательства оценки (7) применяется метод Шаудера. Разбиение единицы
при помощи срезающих функций χ(k) = η(k)ξ(k) приводит к модельной задаче вида
(8)-(10), и оценка (7) следует из Лемм 1, 3 и 5. 2
В заключение автор приносит глубокую благодарность Б.В.Базалию и Н.В.Ва-
сильевой за полезные консультации.
1. Barra F., Herrera M., Procaccia I. Conformal Dynamics of Precursors to Fracture // Europhysics
Letters.- 2003.– 63, 708.
2. Базалий Б.В. Задача Стефана для уравнения Лапласа с учетом кривизны свободной границы
// Укр.мат.журнал. – 1997. – т.49. – С.1299-1315.
3. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. – М.:
Физматгиз, 1966. – 707 с.
4. Ладыженская О.А., Солонников В.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения
параболического типа. – Москва: Наука, 1967. – 736 c.
5. Васильева Н.В. Об одной краевой задаче со старшими производными в граничном условии,
возникающей при исследовании задачи Hele-Shaw с нерегулярной границей // Труды ИПММ
НАН Украины. – 2002. – т. 7. – P. 33–44.
6. Mucha P. On the weak solutions to the Stefan problem with Gibbs-Thompson correction // Differen-
tial and integral equations. - V. 20, - 2007. P. 769-792.
7. Esher J., Simonett G. Classical solutions for Hele-Shaw models with surface tension // Adv.
Differential Eqs. – 1997. – V.2. - No. 4. – P. 619-642.
8. Bum Ja Jin Estimates of the solutions of the elastic system in a moving domain with free upper
interface // Nonlinear Analysis. – 2002. – v. 51. – P. 1009–1029.
9. Гусаков В.Н., Дегтярев С.П. Существование гладкого решения в одной задаче фильтрации
// Укр. матем. журнал.- 1989. - 41, No.9. - С.1192-1198.
10. Antontsev S.N., Gonçalves C.R., Meirmanov A.M. Exact estimates for the classical solutions to the
free boundary problem in the Hele-Shaw cell // Advances in Differential Equations. – 2003. – v. 8.
– P. 1259-1280.
148
Об одной задаче для системы теории упругости
11. Крылов Н.В. Лекции по эллиптическим и параболическим уравнениям в пространствах Гёль-
дера. – Новосибирск: Научная книга, 1998. – 176 c.
12. Lunardi A. Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems. – Basel, Boston,
Berlin: Birkhäuser, 1995. – 424 p.
13. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического
типа. – Москва: Наука, 1973. – 576 c.
14. Bizhanova G.I., Rodrigues J.F. Classical solutions to parabolic systems with free boundary of Stefan
type // Advances in Differential Equations. – 2005. – v. 10. – P. 1345-1388.
15. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial
differential equations satisfying general boundary conditions II // Comm. Pure Appl. Math. – 1964.
– v. 17. – P. 35-92.
M.V.Krasnoschok
On an initial-boundary value problem for stationaty system of the theory of elasticity with
additional dynamical condition on a boundary of domain.
We consider mixed boundary-value problem for stationaty system of the theory of elasticity in doubly-
connected domain with additional dynamical condition on a part of boundary. Displacements u and some
additional function ρ is unknowns. The existence of smooth solution in Holdet spaces is proved by use
of the method of construction of regularizer.
Keywords: elasticity, Cauchy problem, regularizer, Schauder estimates.
М.В. Краснощок
Про одну початково-крайову задачу для стацiонарної системи пружностi з додатковою
динамiчною умовою на частинi межi областi.
Розглянуто мiшану граничну задачу для стацiонарної системи теорiї пружностi в двозв’язнiй об-
ластi з додатковою динамiчною умовою на частинi межi. Невiдомими є перемiщення u та додаткова
функцiя ρ. За допомогою методу побудови регуляризатора доведено iснування гладкого розв’язку
в просторах Гельдера.
Ключовi слова: пружнiсть, задача Кошi, регуляризатор, оцiнки Шаудера.
Ин-т прикл. математики и механики НАН Украины, Донецк
krasnoschok@iamm.ac.donetsk.ua
Получено 9.11.10
149
|